Довести зворотну теорему пифагора. Урок "теорема- зворотна теоремі пифагора"
Теорема Піфагора говорить:
У прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи:
a 2 + b 2 \u003d c 2,
- a і b - катети, що утворюють прямий кут.
- з - гіпотенуза трикутника.
Формули теореми Піфагора
- a \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - b ^ (2))
- b \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
- c \u003d \\ sqrt (a ^ (2) + b ^ (2))
Доказ теореми Піфагора
Площа прямокутного трикутника обчислюється за формулою:
S \u003d \\ frac (1) (2) ab
Для обчислення площі довільного трикутника формула площі:
- p - напівпериметр. p \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c),
- r - радіус вписаного кола. Для прямоугольнікаr \u003d \\ frac (1) (2) (a + b-c).
Потім прирівнюємо праві частини обох формул для площі трикутника:
\\ Frac (1) (2) ab \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c) \\ frac (1) (2) (a + b-c)
2 ab \u003d (a + b + c) (a + b-c)
2 ab \u003d \\ left ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) \\ right)
2 ab \u003d a ^ (2) + 2ab + b ^ (2) -c ^ (2)
0 \u003d a ^ (2) + b ^ (2) -c ^ (2)
c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)
Зворотній теорема Піфагора:
Якщо квадрат одного боку трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то трикутник прямокутний. Тобто для будь-якої трійки позитивних чисел a, b і c, Такий, що
a 2 + b 2 \u003d c 2,
існує прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c.
теорема Піфагора - одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Доведено вона вченим математиком і філософом Піфагором.
значення теореми в тому, що з її допомогою можна довести інші теореми і вирішувати завдання.
Додатковий матеріал:
теорема Піфагора - одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення
між сторонами прямокутного трикутника.
Вважається, що доведена грецьким математиком Піфагором, на честь якого і названа.
Геометрична формулювання теореми Піфагора.
Спочатку теорема була сформульована таким чином:
У прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів,
побудованих на катетах.
Алгебраїчна формулювання теореми Піфагора.
У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.
Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, А довжини катетів через a і b:
обидві формулювання теореми Піфагораеквівалентні, але друга формулювання більш елементарна, вона не
вимагає поняття площі. Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу і
вимірявши тільки довжини сторін прямокутного трикутника.
Зворотній теорема Піфагора.
Якщо квадрат одного боку трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то
трикутник прямокутний.
Або, іншими словами:
Для будь-якої трійки позитивних чисел a, b і c, Такий, що
існує прямокутний трикутник з катетами a і bі гіпотенузою c.
Теорема Піфагора для рівнобедреного трикутника.
Теорема Піфагора для рівностороннього трикутника.
Доведення теореми Піфагора.
На даний момент в науковій літературі зафіксовано 367 доказів даної теореми. Ймовірно, теорема
Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. таке різноманіття
можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.
Зрозуміло, концептуально всі їх можна розбити на мале число класів. Найвідоміші з них:
докази методом площ, аксіоматичні і екзотичні докази (Наприклад,
за допомогою диференціальних рівнянь).
1. Доказ теореми Піфагора через подібні трикутники.
Наступний доказ алгебраїчної формулювання - найбільш просте із доказів, що будуються
безпосередньо з аксіом. Зокрема, вона не використовує поняття площі фігури.
нехай ABC є прямокутний трикутник з прямим кутом C. Проведемо висоту з C і позначимо
її підстава через H.
трикутник ACH подібний трикутнику ABC за двома кутами. Аналогічно, трикутник CBH подібний ABC.
Ввівши позначення:
отримуємо:
,
що відповідає -
склавши a 2 і b 2, отримуємо:
або, що й треба було довести.
2. Доказ теореми Піфагора методом площ.
Нижче наведені докази, незважаючи на їх позірну простоту, зовсім не такі прості. Всі вони
використовують властивості площі, докази яких складніше докази самої теореми Піфагора.
- Доказ через равнодополняемость.
Розташуємо чотири рівних прямокутних
трикутника так, як показано на малюнку
праворуч.
Чотирикутник зі сторонами c - квадратом,
так як сума двох гострих кутів 90 °, а
розгорнутий кут - 180 °.
Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку,
площі квадрата зі стороною ( a + b), А з іншого боку, сумі площ чотирьох трикутників і
Що і потрібно було довести.
3. Доказ теореми Піфагора методом нескінченно малих.
Розглядаючи креслення, показаний на малюнку, і
спостерігаючи зміна бокуa, ми можемо
записати наступне співвідношення для нескінченно
малих збільшень сторінз і a (Використовуючи подобу
трикутників):
Використовуючи метод поділу змінних, знаходимо:
Більш загальний вираз для зміни гіпотенузи в разі збільшень обох катетів:
Інтегруючи це рівняння і використовуючи початкові умови, отримуємо:
Таким чином, ми приходимо до бажаного відповіді:
Як неважко бачити, квадратична залежність в остаточній формулі з'являється завдяки лінійної
пропорційності між сторонами трикутника і приростами, тоді як сума пов'язана з незалежними
вкладами від збільшення різних катетів.
Більш просте доказ можна отримати, якщо вважати, що один з катетів не відчуває збільшення
(В даному випадку катет b). Тоді для константи інтегрування отримаємо:
На думку Ван-дер-Вардена, дуже ймовірно, що співвідношення в загальному вигляді було відомо в Вавилоні вже близько XVIII століття до н. е.
Приблизно в 400 році до н. е., згідно Проклу, Платон дав метод знаходження піфагорових трійок, що поєднує алгебру і геометрію. Близько в 300 року до н. е. в «Засадах» Евкліда з'явилося найстаріше аксіоматичне доведення теореми Піфагора.
формулювання
Основна формулювання містить алгебраїчні дії - в прямокутному трикутнику, довжини катетів якого рівні a (\\ displaystyle a) і b (\\ displaystyle b), А довжина гіпотенузи - c (\\ displaystyle c), Виконано співвідношення:
.Можлива і еквівалентна геометрична формулювання, яка вдається до поняття площі фігури: в прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах. У такому вигляді теорема сформульована в Засадах Евкліда.
Зворотній теорема Піфагора - твердження про прямоугольности всякого трикутника, довжини сторін якого пов'язані співвідношенням a 2 + b 2 \u003d c 2 (\\ displaystyle a ^ (2) + b ^ (2) \u003d c ^ (2)). Як наслідок, для будь-якої трійки позитивних чисел a (\\ displaystyle a), b (\\ displaystyle b) і c (\\ displaystyle c), Такий, що a 2 + b 2 \u003d c 2 (\\ displaystyle a ^ (2) + b ^ (2) \u003d c ^ (2)), Існує прямокутний трикутник з катетами a (\\ displaystyle a) і b (\\ displaystyle b) і гіпотенузою c (\\ displaystyle c).
докази
У науковій літературі зафіксовано не менше 400 доказів теореми Піфагора, що пояснюється як фундаментальне значення для геометрії, так і елементарністю результату. Основні напрямки доказів: алгебраїчне використання співвідношень елементів трикутника (такий, наприклад, популярний метод подібності), метод площ, існують також різні екзотичні докази (наприклад, за допомогою диференціальних рівнянь).
Через подібні трикутники
Класичне доказ Евкліда направлено на встановлення рівності площ між прямокутниками, освіченими з розсічення квадрата над гипотенузой висотою з прямого кута з квадратами над катетами.
Конструкція, яка використовується для доказу наступна: для прямокутного трикутника з прямим кутом C (\\ displaystyle C), Квадратів над катетами і і квадрата над гипотенузой A B I K (\\ displaystyle ABIK) будується висота C H (\\ displaystyle CH) і продовжує її промінь s (\\ displaystyle s), Який розбиває квадрат над гипотенузой на два прямокутника і. Доказ націлене на встановлення рівності площ прямокутника A H J K (\\ displaystyle AHJK) з квадратом над катетом A C (\\ displaystyle AC); рівність площ другого прямокутника, що становить квадрат над гипотенузой, і прямокутника над іншим катетом встановлюється аналогічним чином.
Рівність площ прямокутника A H J K (\\ displaystyle AHJK) і A C E D (\\ displaystyle ACED) встановлюється через конгруентність трикутників △ A C K \u200b\u200b(\\ displaystyle \\ triangle ACK) і △ A B D (\\ displaystyle \\ triangle ABD), Площа кожного з яких дорівнює половині площі квадратів A H J K (\\ displaystyle AHJK) і A C E D (\\ displaystyle ACED) відповідно в зв'язку з наступним властивістю: площа трикутника дорівнює половині площі прямокутника, якщо у фігур є загальна сторона, а висота трикутника до загальної стороні є іншою стороною прямокутника. Конгруентність трикутників випливає з рівності двох сторін (сторони квадратів) і куту між ними (складеного з прямою кута і кута при A (\\ displaystyle A).
Таким чином, доказом встановлюється, що площа квадрата над гипотенузой, складеного з прямокутників A H J K (\\ displaystyle AHJK) і B H J I (\\ displaystyle BHJI), Дорівнює сумі площ квадратів над катетами.
Доказ Леонардо да Вінчі
До методу площ відноситься також доказ, знайдене Леонардо да Вінчі. Нехай дано прямокутний трикутник △ A B C (\\ displaystyle \\ triangle ABC) з прямим кутом C (\\ displaystyle C) і квадрати A C E D (\\ displaystyle ACED), B C F G (\\ displaystyle BCFG) і A B H J (\\ displaystyle ABHJ) (Див. Рисунок). У цьому доказі на стороні H J (\\ displaystyle HJ) останнього в зовнішню сторону будується трикутник, конгруентний △ A B C (\\ displaystyle \\ triangle ABC), Притому відбитий як щодо гіпотенузи, так і щодо висоти до неї (тобто J I \u003d B C (\\ displaystyle JI \u003d BC) і H I \u003d A C (\\ displaystyle HI \u003d AC)). пряма C I (\\ displaystyle CI) розбиває квадрат, побудований на гіпотенузі на дві рівні частини, оскільки трикутники △ A B C (\\ displaystyle \\ triangle ABC) і △ J H I (\\ displaystyle \\ triangle JHI) рівні з побудови. Доказ встановлює конгруентність чотирикутників C A J I (\\ displaystyle CAJI) і D A B G (\\ displaystyle DABG), Площа кожного з яких, виявляється, з одного боку, яка дорівнює сумі половин площ квадратів на катетах і площі вихідного трикутника, з іншого боку - половині площі квадрата на гіпотенузі плюс площа вихідного трикутника. Разом, половина суми площ квадратів над катетами дорівнює половині площі квадрата над гипотенузой, що рівносильно геометричній формулюванні теореми Піфагора.
Доказ методом нескінченно малих
Існує кілька доказів, які вдаються до техніки диференціальних рівнянь. Зокрема, Харді приписується доказ, що використовує нескінченно малі збільшення катетів a (\\ displaystyle a) і b (\\ displaystyle b) і гіпотенузи c (\\ displaystyle c), І зберігають подобу з вихідним прямокутником, тобто, щоб забезпечити виконання наступних диференціальних співвідношень:
d a d c \u003d c a (\\ displaystyle (\\ frac (da) (dc)) \u003d (\\ frac (c) (a))), d b d c \u003d c b (\\ displaystyle (\\ frac (db) (dc)) \u003d (\\ frac (c) (b))).Розділення змінних з них виводиться диференціальне рівняння c d c \u003d a d a + b d b (\\ displaystyle c \\ dc \u003d a \\, da + b \\, db), Інтегрування якого дає співвідношення c 2 \u003d a 2 + b 2 + C o n s t (\\ displaystyle c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2) + \\ mathrm (Const)). Застосування початкових умов a \u003d b \u003d c \u003d 0 (\\ displaystyle a \u003d b \u003d c \u003d 0) визначає константу як 0, що в результаті дає твердження теореми.
Квадратична залежність в остаточній формулі з'являється завдяки лінійної пропорційності між сторонами трикутника і приростами, тоді як сума пов'язана з незалежними вкладами від збільшення різних катетів.
Варіації і узагальнення
Подібні геометричні фігури на трьох сторонах
Важливе геометричне узагальнення теореми Піфагора дав Евклід в «Засадах», перейшовши від площ квадратів на сторонах до площ довільних подібних геометричних фігур: сума площ таких фігур, побудованих на катетах, буде дорівнює площі подібної їм фігури, побудованої на гіпотенузі.
Головна ідея цього узагальнення полягає в тому, що площа подібної геометричної фігури пропорційна квадрату будь-якого свого лінійного розміру і зокрема квадрату довжини будь-якого боку. Отже, для подібних фігур з площами A (\\ displaystyle A), B (\\ displaystyle B) і C (\\ displaystyle C), Побудованих на катетах з довжинами a (\\ displaystyle a) і b (\\ displaystyle b) і гіпотенузі c (\\ displaystyle c) відповідно, має місце співвідношення:
A a 2 \u003d B b 2 \u003d C c 2 ⇒ A + B \u003d a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\\ displaystyle (\\ frac (A) (a ^ (2))) \u003d (\\ frac (B ) (b ^ (2))) \u003d (\\ frac (C) (c ^ (2))) \\, \\ Rightarrow \\, A + B \u003d (\\ frac (a ^ (2)) (c ^ (2) )) C + (\\ frac (b ^ (2)) (c ^ (2))) C).Так як по теоремі Піфагора a 2 + b 2 \u003d c 2 (\\ displaystyle a ^ (2) + b ^ (2) \u003d c ^ (2)), То виконано.
Крім того, якщо можливо довести без залучення теореми Піфагора, що для площ трьох подібних геометричних фігур на сторонах прямокутного трикутника виконано співвідношення A + B \u003d C (\\ displaystyle A + B \u003d C), То з використанням зворотного ходу докази узагальнення Евкліда можна вивести доказ теореми Піфагора. Наприклад, якщо на гіпотенузі побудувати конгруетний початкового прямокутний трикутник площею C (\\ displaystyle C), А на катетах - два подібних йому прямокутних трикутника з площами A (\\ displaystyle A) і B (\\ displaystyle B), То виявляється, що трикутники на катетах утворюються в результаті поділу початкового трикутника його висотою, тобто сума двох менших площ трикутників дорівнює площі третього, таким чином A + B \u003d C (\\ displaystyle A + B \u003d C) і, застосовуючи співвідношення для подібних фігур, виводиться теорема Піфагора.
теорема косинусів
Теорема Піфагора - це окремий випадок більш загальної теореми косинусів, яка пов'язує довжини сторін в довільному трикутнику:
a 2 + b 2 - 2 a b cos \u2061 θ \u003d c 2 (\\ displaystyle a ^ (2) + b ^ (2) -2ab \\ cos (\\ theta) \u003d c ^ (2)),де - кут між сторонами a (\\ displaystyle a) і b (\\ displaystyle b). Якщо кут дорівнює 90 °, то cos \u2061 θ \u003d 0 (\\ displaystyle \\ cos \\ theta \u003d 0), І формула спрощується до звичайної теореми Піфагора.
довільний трикутник
Існує узагальнення теореми Піфагора на довільний трикутник, що оперує виключно співвідношенням довжин сторін, вважається, що воно вперше було встановлено сабійскім астрономом Сабітом ібн Куррі. У ньому для довільного трикутника зі сторонами в нього вписується трикутник з основою на стороні c (\\ displaystyle c), Вершиною, що збігається з вершиною вихідного трикутника, протилежні стороні c (\\ displaystyle c) і кутами при підставі, рівними кутку θ (\\ displaystyle \\ theta), Протилежного стороні c (\\ displaystyle c). В результаті утворюються два трикутника, подібних вихідного: перший - зі сторонами a (\\ displaystyle a), Далекої від неї бічною стороною вписаного рівнобедреного трикутника, і r (\\ displaystyle r) - частини боку c (\\ displaystyle c); другий - симетрично до нього від сторони b (\\ displaystyle b) зі стороною s (\\ displaystyle s) - відповідною частиною боку c (\\ displaystyle c). В результаті виявляється виконано співвідношення:
a 2 + b 2 \u003d c (r + s) (\\ displaystyle a ^ (2) + b ^ (2) \u003d c (r + s)),вироджується в теорему Піфагора при θ \u003d π / 2 (\\ displaystyle \\ theta \u003d \\ pi / 2). Співвідношення є наслідком подібності утворених трикутників:
ca \u003d ar, cb \u003d bs ⇒ cr + cs \u003d a 2 + b 2 (\\ displaystyle (\\ frac (c) (a)) \u003d (\\ frac (a) (r)), \\, (\\ frac (c) (b)) \u003d (\\ frac (b) (s)) \\, \\ Rightarrow \\, cr + cs \u003d a ^ (2) + b ^ (2)).Теорема Паппа про площі
неевклидова геометрія
Теорема Піфагора виводиться з аксіом геометрії Евкліда і недійсна для неевклідової геометрії - виконання теореми Піфагора рівносильно постулату Евкліда про паралельність.
У неевклідової геометрії співвідношення між сторонами прямокутного трикутника обов'язково буде у формі, відмінній від теореми Піфагора. Наприклад, в сферичної геометрії всі три сторони прямокутного трикутника, які обмежують собою октант одиничної сфери, мають довжину π / 2 (\\ displaystyle \\ pi / 2), Що суперечить теоремі Піфагора.
При цьому теорема Піфагора справедлива в гіперболічної і еліптичної геометрії, якщо вимога про прямоугольности трикутника замінити умовою, що сума двох кутів трикутника має дорівнювати третього.
сферична геометрія
Для будь-якого прямокутного трикутника на сфері радіусом R (\\ displaystyle R) (Наприклад, якщо кут в трикутнику прямий) зі сторонами a, b, c (\\ displaystyle a, b, c) співвідношення між сторонами має вигляд:
cos \u2061 (c R) \u003d cos \u2061 (a R) ⋅ cos \u2061 (b R) (\\ displaystyle \\ cos \\ left ((\\ frac (c) (R)) \\ right) \u003d \\ cos \\ left ((\\ frac (a) (R)) \\ right) \\ cdot \\ cos \\ left ((\\ frac (b) (R)) \\ right)).Це рівність може бути виведено як особливий випадок сферичної теореми косинусів, яка справедлива для всіх сферичних трикутників:
cos \u2061 (c R) \u003d cos \u2061 (a R) ⋅ cos \u2061 (b R) + sin \u2061 (a R) ⋅ sin \u2061 (b R) ⋅ cos \u2061 γ (\\ displaystyle \\ cos \\ left ((\\ frac ( c) (R)) \\ right) \u003d \\ cos \\ left ((\\ frac (a) (R)) \\ right) \\ cdot \\ cos \\ left ((\\ frac (b) (R)) \\ right) + \\ ch \u2061 c \u003d ch \u2061 a ⋅ ch \u2061 b (\\ displaystyle \\ operatorname (ch) c \u003d \\ operatorname (ch) a \\ cdot \\ operatorname (ch) b). де,ch (\\ displaystyle \\ operatorname (ch)) - гіперболічний косинус. Ця формула є окремим випадком гіперболічної теореми косинусів, яка справедлива для всіх трикутників: ch \u2061 c \u003d ch \u2061 a ⋅ ch \u2061 b - sh \u2061 a ⋅ sh \u2061 b ⋅ cos \u2061 γ (\\ displaystyle \\ operatorname (ch) c \u003d \\ operatorname (ch) a \\ cdot \\ operatorname (ch) b- \\ operatorname (sh) a \\ cdot \\ operatorname (sh) b \\ cdot \\ cos \\ gamma)
γ (\\ displaystyle \\ gamma),ch (\\ displaystyle \\ operatorname (ch)) - кут, вершина якого протилежна стороні Використовуючи ряд Тейлора для гіперболічного косинуса ( c (\\ displaystyle c).
ch \u2061 x ≈ 1 + x 2/2 (\\ displaystyle \\ operatorname (ch) x \\ approx 1 + x ^ (2) / 2) ) Можна показати, що якщо гіперболічний трикутник зменшується (тобто, коли a (\\ displaystyle a), b (\\ displaystyle b) і c (\\ displaystyle c) прагнуть до нуля), то гіперболічні співвідношення в прямокутному трикутнику наближаються до співвідношення класичної теореми Піфагора.
застосування
Відстань в двовимірних прямокутних системах
Найважливіше застосування теореми Піфагора - визначення відстані між двома точками в прямокутній системі координат: відстань s (\\ displaystyle s) між точками з координатами (A, b) (\\ displaystyle (a, b)) і (C, d) (\\ displaystyle (c, d)) одно:
s \u003d (a - c) 2 + (b - d) 2 (\\ displaystyle s \u003d (\\ sqrt ((a-c) ^ (2) + (b-d) ^ (2)))).Для комплексних чисел теорема Піфагора дає природну формулу для знаходження модуля комплексного числа - для z \u003d x + y i (\\ displaystyle z \u003d x + yi) він дорівнює довжині
Тема: Теорема, зворотна теоремі Піфагора.
Мета уроку: 1) розглянути теорему, зворотний теоремі Піфагора; її застосування в процесі вирішення завдань; закріпити теорему Піфагора і вдосконалювати навички вирішення завдань на її застосування;
2) розвивати логічне мислення, творчий пошук, пізнавальний інтерес;
3) виховувати в учнів відповідального ставлення до навчання, культури математичної мови.
Тип уроку. Урок засвоєння нових знань.
Хід уроку
І. організаційний момент
ІІ. актуалізація знань
урок менібхотілосяпочати з четверостишья.
Так, шлях пізнання не гладкий
Але знаємо ми зі шкільних років,
Загадок більше, ніж розгадок,
І пошуків межі немає!
Отже, на минулому уроці ви вивчили теорему Піфагора. питання:
Теорема Піфагора справедлива для якої фігури?
Який трикутник називають прямокутним?
Сформулюйте теорему Піфагора.
Як запишеться теорема Піфагора для кожного трикутника?
Які трикутники називаються рівними?
Сформулюйте ознаки рівності трикутників?
А тепер проведемо невелику самостійну роботу:
Рішення задач по кресленнях.
№1
(1 б.) Знайти: АВ.
№2
(1 б.) Знайти: ВС.
№3
( 2 б.)Знайти: АС
№4
(1 б.)Знайти: АС
№5 Дано: АВСD ромб
(2 б.) АВ \u003d 13 см
АС \u003d 10 см
Знайти: ВD
Самоперевірка №1. 5
№2. 5
№3. 16
№4. 13
№5. 24
ІІІ. вивчення нового матеріалу.
Стародавні єгиптяни будували прямі кути на місцевості таким чином: ділили вузлами мотузку на 12 рівних частин, пов'язували її кінці, після чого мотузку розтягували так на землі, щоб утворився трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 поділок. Кут трикутника, який лежав проти боку з 5 розподілами, був прямий.
Чи можете ви пояснити правильність цього судження?
В результаті пошуку відповіді на питання учні повинні зрозуміти, що з математичної точки зору питання ставиться: чи буде трикутник прямокутним.
Ставимо проблему: як, не роблячи вимірювань, визначити, чи буде трикутник із заданими сторонами прямокутним. Вирішення цієї проблеми і є мета уроку.
Запишіть тему уроку.
Теорема. Якщо сума квадратів двох сторін трикутника дорівнює квадрату третьої сторони, то такий трикутник прямокутний.
Самостійно доводять теорему (складають план докази за підручником).
З цієї теореми випливає, що трикутник зі сторонами 3, 4, 5 - прямокутний (єгипетський).
Взагалі, числа, для яких виконується рівність , Називають Числа Піфагора. А трикутники, довжини сторін яких виражаються Числа Піфагора (6, 8, 10), - піфагорові трикутники.
Закріплення.
Оскільки , То трикутник зі сторонами 12, 13, 5 не є прямокутним.
Оскільки , То трикутник зі сторонами 1, 5, 6 є прямокутним.
№ 430 (а, б, в)
( - не є)
Мета уроку:
Освітня: сформулювати і довести теорему Піфагора і теорему, зворотний теоремі Піфагора. Показати їх історичне та практичне значення.
Розвиваюча: розвивати увагу, пам'ять, логічне мислення учнів, вміння міркувати, порівнювати, робити висновки.
Виховує: виховувати інтерес і любов до предмету, акуратність, вміння слухати товаришів і вчителя.
Обладнання: Портрет Піфагора, плакати з завданнями для закріплення, підручник "Геометрія" 7-9 класи (І.Ф. Шаригін).
План уроку:
I. Організаційний момент - 1 хв.
II. Перевірка домашнього завдання - 7 хв.
III. Вступне слово вчителя, історична довідка - 4-5 хв.
IV. Формулювання і доведення теореми Піфагора - 7 хв.
V. Формулювання і доведення теореми, зворотної теоремі Піфагора - 5 хв.
Закріплення нового матеріалу:
а) усне - 5-6 хв.
б) письмове - 7-10 хв.
VII. Домашнє завдання - 1 хв.
VIII. Підведення підсумків уроку - 3 хв.
Хід уроку
I. Організаційний момент.
II. Перевірка домашнього завдання.
п.7.1, № 3 (біля дошки по готовому кресленню).
Умова: Висота прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки довжиною 1 і 2. Знайдіть катети цього трикутника.
BC \u003d a; CA \u003d b; BA \u003d c; BD \u003d a 1; DA \u003d b 1; CD \u003d h C
Додаткове питання: записати співвідношення в прямокутному трикутнику.
п.7.1, № 5. Розріжте прямокутний трикутник на три подібних між собою трикутника.
Поясніть.
АСН ~ АВС ~ СВН
(Звернути увагу учнів на правильність запису відповідних вершин подібних трикутників)
III. Вступне слово вчителя, історична довідка.
Хай буде вічною істина, як скоро її людина пізнає!
І нині теорема Піфагора вірна, як і в його далекий століття.
Не випадково я почала свій урок зі слів німецького письменника-романіста Шамиссо. Наш урок сьогодні присвячений теоремі Піфагора. Запишемо тему уроку.
Перед вами портрет великого Піфагора. Народився в 576 році до нашої ери. Проживши 80 років, помер в 496 році до нашої ери. Відомий як давньогрецький філософ і педагог. Був сином торговця Мнесарха, який брав його часто в свої поїздки, завдяки яким у хлопчика розвинулися допитливість і бажання пізнати нове. Піфагор - це прізвисько, дане йому за красномовство ( "Піфагор" - значить "переконує промовою"). Сам він нічого не писав. Всі його думки записували його учні. В результаті першої ж прочитаної лекції, Піфагор придбав 2000 учнів, які разом зі своїми дружинами та дітьми утворили величезну школу і створили державу, названу "Велика Греція", в основу якого покладені закони і правила Піфагора, шановані як божественні заповіді. Він був першим, хто назвав свої міркування про сенс життя філософією (любомудрием). Був схильний до містифікації і демонстративності в поведінці. Одного разу Піфагор сховався під землею, а про все що відбувається дізнавався від матері. Потім, висохлий як скелет, він заявив в народних зборах, що був в Аїді, і показав дивовижну обізнаність про земні події. За це розчулені жителі визнали його Богом. Піфагор ніколи не плакав і взагалі був недоступний пристрастям і хвилювання. Вважав, що він походить з насіння, кращого порівняно з людським. Все життя Піфагора - легенда, що дійшла до нашого часу і яка розповіла нам про талановиту людину стародавнього світу.
IV. Формулювання і доведення теореми Піфагора.
Формулювання теореми Піфагора відома вам з курсу алгебри. Давайте згадаємо її.
У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Однак цю теорему знали за багато років до Піфагора. За 1500 років до Піфагора стародавні єгиптяни знали про те, що трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 є прямокутним і користувалися цією властивістю для побудови прямих кутів при плануванні земельних ділянок і спорудженні будинків. У найстарішому дійшов до нас китайському математико-астрономічному творі "Чжіу-бі", написаним за 600 років до Піфагора, серед інших пропозицій, що відносяться до прямокутного трикутника, міститься і теорема Піфагора. Ще раніше ця теорема була відома індусам. Таким чином, Піфагор не відчинив це властивість прямокутного трикутника, він, ймовірно, першим зумів його узагальнити і довести, перевести його з області практики в область науки.
З давніх-давен математики знаходять все нові і нові докази теореми Піфагора. Їх відомо понад півтори сотні. Давайте згадаємо алгебраїчне доказ теореми Піфагора, відоме нам з курсу алгебри. ( "Математика. Алгебра. Функції. Аналіз даних" Г.В. Дорофєєв, М., "Дрофа", 2000 р).
Запропонувати учням пригадати доказ до креслення і записати його на дошці.
(А + b) 2 \u003d 4 · 1/2 а * b + з 2 b а
а 2 + 2а * b + b 2 \u003d 2а * b + з 2
а 2 + b 2 \u003d з 2 а а b
Стародавні індуси, яким належить це міркування, як правило, не записували його, а супроводжували креслення лише одним словом: "Дивись".
Розглянемо в сучасному викладі один з доказів, що належать Піфагору. Спочатку уроку ми згадали теорему про співвідношення в прямокутному трикутнику:
h 2 \u003d а 1 * b 1 а 2 \u003d а 1 * з b 2 \u003d b 1 * з
Складемо почленно останніх два рівності:
b 2 + а 2 \u003d b 1 * з + а 1 * з \u003d (b 1 + а 1) * з 1 \u003d з * з \u003d з 2; а 2 + b 2 \u003d з 2
Незважаючи на гадану простоту цього докази, воно далеко не найпростіше. Адже для цього потрібно було провести висоту в прямокутному трикутнику і розглянути подібні трикутники. Запишіть, будь ласка, це доказ в зошиті.
V. Формулювання і доведення теореми, зворотної теоремі Піфагора.
А яка теорема називається оберненою до даної? (... якщо умова і висновок міняються місцями.)
Давайте тепер спробуємо сформулювати теорему, зворотний теоремі Піфагора.
Якщо в трикутнику зі сторонами а, b і з виконується рівність з 2 \u003d а 2 + b 2, то цей трикутник прямокутний, причому прямий кут протіволежіт стороні с.
(Доказ зворотної теореми на плакаті)
АВС, ВС \u003d а,
АС \u003d b, ВА \u003d с.
а 2 + b 2 \u003d з 2
довести:
АВС - прямокутний,
Доведення:
Розглянемо прямокутний трикутник А 1 В 1 С 1,
де С 1 \u003d 90 °, А 1 С 1 \u003d а, А 1 С 1 \u003d b.
Тоді по теоремі Піфагора В 1 А 1 2 \u003d а 2 + b 2 \u003d з 2.
Тобто В 1 А 1 \u003d з А 1 В 1 С 1 \u003d АВС за трьома сторонами АВС - прямокутний
С \u003d 90 °, що й треба було довести.
VI. Закріплення вивченого матеріалу (усно).
1. За плакату з готовими кресленнями.
|
|
|
Рис.1: знайдіть АD, якщо ВD \u003d 8, ВDА \u003d 30 °.
Рис.2: знайдіть CD, якщо ВЕ \u003d 5, ВАЕ \u003d 45 °.
Рис.3: знайдіть ВD, якщо ВС \u003d 17, А D \u003d 16.
2. Чи є трикутник прямокутним, якщо його сторони виражаються числами:
5 2 +6 2 високоефективних? 7 2 (немає) |
9 2 + 12 2 \u003d 15 2 (так) |
15 2 + 20 2 \u003d 25 2 (так) |
Як називаються трійки чисел в двох останніх випадках? (Піфагорови).
VI. Рішення задач (письмово).
№ 9. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює а. Знайдіть висоту цього трикутника, радіус описаного кола, радіус вписаного кола.
№ 14. Доведіть, що в прямокутному трикутнику радіус описаного кола дорівнює медіані, проведеної до гіпотенузи, і дорівнює половині гіпотенузи.
VII. Домашнє завдання.
Пункт 7.1, стор. 175-177, розібрати теорему 7.4 (узагальнена теорема Піфагора), № 1 (усно), № 2, № 4.
VIII. Підсумки уроку.
Що нового ви дізналися сьогодні на уроці? ............
Піфагор перш за все був філософом. Ось зараз хочу вам прочитати кілька його висловів, актуальних і в наш час для нас з вами.
- Чи не піднімай пилу на життєвому шляху.
- Роби лише те, що в подальшому не засмутить тебе і не примусить каятися.
- Не роби ніколи того, чого не знаєш, але навчися всього, що слід знати, і тоді ти будеш вести спокійне життя.
- Чи не закривай очі, коли хочеться спати, не розібравшись всіх своїх вчинків у минулий день.
- Привчайся жити просто і без розкоші.
