Зворотній формула пифагора. Урок "теорема- зворотна теоремі пифагора"

Тема: Теорема, зворотна теоремі Піфагора.

Мета уроку: 1) розглянути теорему, зворотний теоремі Піфагора; її застосування в процесі вирішення завдань; закріпити теорему Піфагора і вдосконалювати навички вирішення завдань на її застосування;

2) розвивати логічне мислення, творчий пошук, пізнавальний інтерес;

3) виховувати в учнів відповідального ставлення до навчання, культури математичної мови.

Тип уроку. Урок засвоєння нових знань.

Хід уроку

І. організаційний момент

ІІ. актуалізація знань

урок менібхотілосяпочати з четверостишья.

Так, шлях пізнання не гладкий

Але знаємо ми зі шкільних років,

Загадок більше, ніж розгадок,

І пошуків межі немає!

Отже, на минулому уроці ви вивчили теорему Піфагора. питання:

Теорема Піфагора справедлива для якої фігури?

Який трикутник називають прямокутним?

Сформулюйте теорему Піфагора.

Як запишеться теорема Піфагора для кожного трикутника?

Які трикутники називаються рівними?

Сформулюйте ознаки рівності трикутників?

А тепер проведемо невелику самостійну роботу:

Рішення задач по кресленнях.

№1

(1 б.) Знайти: АВ.

№2

(1 б.) Знайти: ВС.

№3

( 2 б.)Знайти: АС

№4

(1 б.)Знайти: АС

№5 Дано: АВСD ромб

(2 б.) АВ \u003d 13 см

АС \u003d 10 см

Знайти: ВD

Самоперевірка №1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. вивчення нового матеріалу.

Стародавні єгиптяни будували прямі кути на місцевості таким чином: ділили вузлами мотузку на 12 рівних частин, пов'язували її кінці, після чого мотузку розтягували так на землі, щоб утворився трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 поділок. Кут трикутника, який лежав проти боку з 5 розподілами, був прямий.

Чи можете ви пояснити правильність цього судження?

В результаті пошуку відповіді на питання учні повинні зрозуміти, що з математичної точки зору питання ставиться: чи буде трикутник прямокутним.

Ставимо проблему: як, не роблячи вимірювань, визначити, чи буде трикутник із заданими сторонами прямокутним. Вирішення цієї проблеми і є мета уроку.

Запишіть тему уроку.

Теорема. Якщо сума квадратів двох сторін трикутника дорівнює квадрату третьої сторони, то такий трикутник прямокутний.

Самостійно доводять теорему (складають план докази за підручником).

З цієї теореми випливає, що трикутник зі сторонами 3, 4, 5 - прямокутний (єгипетський).

Взагалі, числа, для яких виконується рівність , Називають Числа Піфагора. А трикутники, довжини сторін яких виражаються Числа Піфагора (6, 8, 10), - піфагорові трикутники.

Закріплення.

Оскільки , То трикутник зі сторонами 12, 13, 5 не є прямокутним.

Оскільки , То трикутник зі сторонами 1, 5, 6 є прямокутним.

№ 430 (а, б, в)

( - не є)

Розгляд тим шкільної програми за допомогою відеоуроків є зручним способом вивчення і засвоєння матеріалу. Відео допомагає сконцентрувати увагу учнів на основних теоретичних положеннях і не упускати важливих деталей. При необхідності школярі завжди можуть прослухати видеоурок повторно або повернутися на кілька тем назад.

Даний відеоурок для 8-го класу допоможе учням вивчити нову тему з геометрії.

У попередній темі ми вивчили теорему Піфагора і розібрали її доказ.

Існує також теорема, яка відома як зворотна теорема Піфагора. Розглянемо її докладніше.

Теорема. Трикутник є прямокутним, якщо в ньому виконується рівність: значення одного боку трикутника, яка була зведена в квадрат, таке ж, як сума зведених в квадрат двох інших сторін.

Доведення. Припустимо, нам дано трикутник ABC, в якому виконується рівність AB 2 \u003d CA 2 + CB 2. Необхідно довести, що кут З дорівнює 90 градусів. Розглянемо трикутник A 1 B 1 C 1, в якому кут З 1 дорівнює 90 градусів, сторона C 1 A 1 дорівнює CA і сторона B 1 C 1 дорівнює BС.

Застосовуючи теорему Піфагора, запишемо відношення сторін в трикутнику A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 \u003d C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2. Провівши заміну в вираженні на рівні сторони, отримаємо A 1 B 1 2 \u003d CA 2 + CB 2.

З умов теореми ми знаємо, що AB 2 \u003d CA 2 + CB 2. Тоді можемо записати A 1 B 1 2 \u003d AB 2, з чого випливає, що A 1 B 1 \u003d AB.

Ми знайшли, що в трикутниках ABC і A 1 B 1 C 1 рівні три сторони: A 1 C 1 \u003d AC, B 1 C 1 \u003d BC, A 1 B 1 \u003d AB. Значить, ці трикутники рівні. З рівності трикутників випливає, що кут З дорівнює куту З 1 і відповідно дорівнює 90 градусів. Ми визначили, що трикутник ABC прямокутний і його кут С дорівнює 90 градусів. Ми довели цю теорему.

Далі автор наводить приклад. Припустимо, дано довільний трикутник. Відомі розміри його сторін: 5, 4 і 3 одиниць. Перевіримо твердження з теореми, зворотної теоремі Піфагора: 5 2 \u003d 3 2 + 4 2. Твердження вірне, значить даний трикутник прямокутний.

У наступних прикладах трикутники також будуть прямокутними, якщо їх сторони рівні:

5, 12, 13 одиниць; рівність 13 2 \u003d 5 2 + 12 2 є вірним;

8, 15, 17 одиниць; рівність 17 2 \u003d 8 2 + 15 2 є вірним;

7, 24, 25 одиниць; рівність 25 2 \u003d 7 2 + 24 2 є вірним.

Відомо поняття піфагорових трикутника. Це прямокутний трикутник, у якого значення сторін рівні цілих числах. Якщо катети піфагорових трикутника позначити через a і c, а гіпотенузу b, то значення сторін цього трикутника можна записати за допомогою наступних формул:

b \u003d k x (m 2 - n 2)

c \u003d k x (m 2 + n 2)

де m, n, k- будь-які натуральні числа, причому значення m більше значення n.

Цікавий факт: трикутник зі сторонами 5, 4 і 3 називають також єгипетським трикутником, такий трикутник був відомий ще в Давньому Єгипті.

В даному відеоуроці ми ознайомилися з теоремою, зворотної теоремі Піфагора. Детально розглянули доказ. Також учні дізналися, які трикутники називають піфагорових.

Учні з легкістю можуть ознайомитися з темою «Теорема, зворотна теоремі Піфагора» самостійно за допомогою даного відеоуроку.

теорема Піфагора - одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення

між сторонами прямокутного трикутника.

Вважається, що доведена грецьким математиком Піфагором, на честь якого і названа.

Геометрична формулювання теореми Піфагора.

Спочатку теорема була сформульована таким чином:

У прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів,

побудованих на катетах.

Алгебраїчна формулювання теореми Піфагора.

У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.

Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, А довжини катетів через a і b:

обидві формулювання теореми Піфагораеквівалентні, але друга формулювання більш елементарна, вона не

вимагає поняття площі. Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу і

вимірявши тільки довжини сторін прямокутного трикутника.

Зворотній теорема Піфагора.

Якщо квадрат одного боку трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то

трикутник прямокутний.

Або, іншими словами:

Для будь-якої трійки позитивних чисел a, b і c, Такий, що

існує прямокутний трикутник з катетами a і bі гіпотенузою c.

Теорема Піфагора для рівнобедреного трикутника.

Теорема Піфагора для рівностороннього трикутника.

Доведення теореми Піфагора.

На даний момент в науковій літературі зафіксовано 367 доказів даної теореми. Ймовірно, теорема

Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. таке різноманіття

можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.

Зрозуміло, концептуально всі їх можна розбити на мале число класів. Найвідоміші з них:

докази методом площ, аксіоматичні і екзотичні докази (Наприклад,

за допомогою диференціальних рівнянь).

1. Доказ теореми Піфагора через подібні трикутники.

Наступний доказ алгебраїчної формулювання - найбільш просте із доказів, що будуються

безпосередньо з аксіом. Зокрема, вона не використовує поняття площі фігури.

нехай ABC є прямокутний трикутник з прямим кутом C. Проведемо висоту з C і позначимо

її підстава через H.

трикутник ACH подібний трикутнику ABC за двома кутами. Аналогічно, трикутник CBH подібний ABC.

Ввівши позначення:

отримуємо:

,

що відповідає -

склавши a 2 і b 2, отримуємо:

або, що й треба було довести.

2. Доказ теореми Піфагора методом площ.

Нижче наведені докази, незважаючи на їх позірну простоту, зовсім не такі прості. Всі вони

використовують властивості площі, докази яких складніше докази самої теореми Піфагора.

• Доказ через равнодополняемость.

Розташуємо чотири рівних прямокутних

трикутника так, як показано на малюнку

праворуч.

Чотирикутник зі сторонами c - квадратом,

так як сума двох гострих кутів 90 °, а

розгорнутий кут - 180 °.

Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку,

площі квадрата зі стороною ( a + b), А з іншого боку, сумі площ чотирьох трикутників і

Що і потрібно було довести.

3. Доказ теореми Піфагора методом нескінченно малих.

​

Розглядаючи креслення, показаний на малюнку, і

спостерігаючи зміна бокуa, ми можемо

записати наступне співвідношення для нескінченно

малих збільшень сторінз і a (Використовуючи подобу

трикутників):

Використовуючи метод поділу змінних, знаходимо:

Більш загальний вираз для зміни гіпотенузи в разі збільшень обох катетів:

Інтегруючи це рівняння і використовуючи початкові умови, отримуємо:

Таким чином, ми приходимо до бажаного відповіді:

Як неважко бачити, квадратична залежність в остаточній формулі з'являється завдяки лінійної

пропорційності між сторонами трикутника і приростами, тоді як сума пов'язана з незалежними

вкладами від збільшення різних катетів.

Більш просте доказ можна отримати, якщо вважати, що один з катетів не відчуває збільшення

(В даному випадку катет b). Тоді для константи інтегрування отримаємо:

Теорема Піфагора говорить:

У прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи:

a 2 + b 2 \u003d c 2,

• a і b - катети, що утворюють прямий кут.
• з - гіпотенуза трикутника.

Формули теореми Піфагора

• a \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - b ^ (2))
• b \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
• c \u003d \\ sqrt (a ^ (2) + b ^ (2))

Доказ теореми Піфагора

Площа прямокутного трикутника обчислюється за формулою:

S \u003d \\ frac (1) (2) ab

Для обчислення площі довільного трикутника формула площі:

• p - напівпериметр. p \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c),
• r - радіус вписаного кола. Для прямоугольнікаr \u003d \\ frac (1) (2) (a + b-c).

Потім прирівнюємо праві частини обох формул для площі трикутника:

\\ Frac (1) (2) ab \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c) \\ frac (1) (2) (a + b-c)

2 ab \u003d (a + b + c) (a + b-c)

2 ab \u003d \\ left ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) \\ right)

2 ab \u003d a ^ (2) + 2ab + b ^ (2) -c ^ (2)

0 \u003d a ^ (2) + b ^ (2) -c ^ (2)

c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)

Зворотній теорема Піфагора:

Якщо квадрат одного боку трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то трикутник прямокутний. Тобто для будь-якої трійки позитивних чисел a, b і c, Такий, що

a 2 + b 2 \u003d c 2,

існує прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c.

теорема Піфагора - одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Доведено вона вченим математиком і філософом Піфагором.

значення теореми в тому, що з її допомогою можна довести інші теореми і вирішувати завдання.

Додатковий матеріал:

Мета уроку:

загальноосвітні:

• перевірити теоретичні знання учнів (властивості прямокутного трикутника, теорема Піфагора), вміння використовувати їх при вирішенні завдань;
• створивши проблемну ситуацію, підвести учнів до "відкриття" зворотної теореми Піфагора.

розвиваючі:

• розвиток умінь застосовувати теоретичні знання на практиці;
• розвиток вміння формулювати висновки при спостереженнях;
• розвиток пам'яті, уваги, спостережливості:
• розвиток мотивації навчання через емоційне задоволення від відкриттів, через введення елементів історії розвитку математичних понять.

виховні:

• виховувати стійкий інтерес до предмету через вивчення життєдіяльності Піфагора;
• виховання взаємодопомоги і об'єктивного оцінювання знань однокласників через взаємоперевірку.

Форма уроку: класно-урочна.

План уроку:

• Організаційний момент.
• Перевірка домашнього завдання. Актуалізація знань.
• Рішення практичних завдань з використанням теореми Піфагора.
• Нова тема.
• Первинне закріплення знань.
• Домашнє завдання.
• Підсумки уроку.
• Самостійна робота (за індивідуальними картками з відгадуванням афоризмів Піфагора).

Хід уроку.

Організаційний момент.

Перевірка домашнього завдання. Актуалізація знань.

учитель: Яке завдання ви виконували вдома?

учні: По двох даними сторонам прямокутного трикутника знайти третю сторону, відповіді оформити у вигляді таблиці. Повторити властивості ромба і прямокутника. Повторити, що називається умовою, а що укладенням теореми. Підготувати повідомлення про життя і діяльності Піфагора. Принести мотузку з 12-ю зав'язаними на ній вузлами.

учитель: Відповіді до домашнього завдання перевірте по таблиці

(Чорним кольором виділені дані, червоним - відповіді).

учитель: На дошці записані затвердження. Якщо ви згодні з ними на листочках навпроти відповідного номера питання поставте "+", якщо не згодні, то поставте "-".

На дошці заздалегідь написані затвердження.

1. Гіпотенуза більше катета.
2. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 180 0.
3. Площа прямокутного трикутника з катетами аі в обчислюється за формулою S \u003d ab / 2.
4. Теорема Піфагора вірна для всіх рівнобедрених трикутників.
5. У прямокутному трикутнику катет, що лежить навпроти кута 30 0, дорівнює половині гіпотенузи.
6. Сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи.
7. Квадрат катета дорівнює різниці квадратів гіпотенузи і другого катета.
8. Сторона трикутника дорівнює сумі двох інших сторін.

Перевіряються роботи за допомогою взаимопроверки. Твердження, що викликали суперечки, - обговорюються.

Ключ до теоретичних питань.

Учні ставлять один одному оцінки за такою системою:

8 правильних відповідей "5";
6-7 правильних відповідей "4";
4-5 правильних відповідей "3";
менше 4 правильних відповідей "2".

учитель: Про що ми говорили на минулому уроці?

учень: Про Піфагора і його теоремі.

учитель: Сформулюйте теорему Піфагора. (Кілька учнів читають формулювання, в цей час 2-3 учня доводять її біля дошки, 6 учнів - за першими партами на листочках).

На магнітній дошці на картках написані математичні формули. Виберіть ті з них, які відображають зміст теореми Піфагора, де а і в - катети, з - гіпотенуза.

1) з 2 \u003d а 2 + в 2	2) з \u003d а + в	3) а 2 \u003d з 2 - в 2
4) з 2 \u003d а 2 - в 2	5) в 2 \u003d з 2 - а 2	6) а 2 \u003d з 2 + в 2

Поки учні, які доводять теорему біля дошки і на місцях, не готові, слово надається тим, хто підготував повідомлення про життя і діяльності Піфагора.

Школярі, що працюють на місцях, здають листочки і слухають докази тих, хто працював біля дошки.

Рішення практичних завдань з використанням теореми Піфагора.

учитель: пропоную вам практичні завдання із застосуванням досліджуваної теореми. Побуваємо спочатку в лісі, після бурі, потім на заміській ділянці.

завдання 1. Після бурі зламалася ялина. Висота решти 4,2 м. Відстань від основи до впала верхівки 5,6 м. Знайти висоту їли до бурі.

завдання 2. Висота будинку 4,4 м Ширина газону навколо будинку 1,4 м. Якої довжини треба виготовити сходи, щоб вона не заступала на газон і діставала до даху будинку?

Нова тема.

учитель: (Звучить музика) Закрийте очі, на кілька хвилин ми зануримося в історію. Ми з вами в Стародавньому Єгипті. Ось на верфях єгиптяни будують свої знамениті кораблі. А ось землеміри, вони вимірюють ділянки землі, кордони яких змилися після розливу Нілу. Будівельники будують грандіозні піраміди, які до сих пір вражають нас своєю пишністю. У всіх цих видах діяльності єгиптянам потрібно було використовувати прямі кути. Вони вміли будувати їх за допомогою мотузки з 12 ю зав'язаними на однаковій відстані одна від одної вузликами. Спробуйте і ви, розмірковуючи як стародавні єгиптяни, побудувати за допомогою своїх мотузок прямокутні трикутники. (Вирішуючи цю проблему, хлопці працюють в групах по 4 людини. Через деякий час на планшеті біля дошки хтось показує побудова трикутника).

Сторони отриманого трикутника 3, 4 і 5. Якщо між цими вузлами зав'язати ще по одному вузлу, то його боку стануть 6, 8 і 10. Якщо по два - 9, 12 і 15. Всі ці трикутники є прямокутними т. К.

5 2 \u003d 3 2 + 4 2, 10 2 \u003d 6 2 + 8 2, 15 2 \u003d 9 2 + 12 2 і т.д.

Яким властивістю повинен володіти трикутник, щоб бути прямокутним? (Учні намагаються самі сформулювати зворотну теорему Піфагора, нарешті, у кого-то це виходить).

Чим ця теорема відрізняється від теореми Піфагора?

учень: Умова і висновок помінялися місцями.

учитель: Удома ви повторювали, як називаються такі теореми. Так з чим ми зараз познайомилися?

учень: Зі зворотного теоремою Піфагора.

учитель: Запишемо в зошиті тему уроку. Відкрийте підручники на стор. 127 прочитайте ще раз це твердження, запишіть його собі в зошит і розберіть доказ.

(Після кількох хвилин самостійної роботи з підручником за бажанням одна людина у дошки наводить доказ теореми).

1. Як називається трикутник зі сторонами 3, 4 і 5? Чому?
2. Які трикутники називаються піфагорових?
3. З якими трикутниками ви працювали в домашньому завданні? А в задачах з сосною і сходами?

Первинне закріплення знань

.

Ця теорема допомагає вирішувати завдання, в яких треба з'ясувати, чи будуть трикутники прямокутними.

завдання:

1) З'ясуйте, чи є трикутник прямокутним, якщо його сторони рівні:

а) 12,37 і 35; б) 21, 29 і 24.

2) Розрахуйте висоти трикутника зі сторонами 6, 8 і 10 см.

Домашнє завдання

.

Стор.127: зворотна теорема Піфагора. № 498 (а, б, в) № 497.

Підсумки уроку.

Що нового дізналися на уроці?

Як в Єгипті використовували зворотний теорему Піфагора?

При вирішенні яких завдань вона застосовується?

C якими трикутниками познайомилися?

Що найбільше запам'яталося і сподобалося?

Самостійна робота (проводиться за індивідуальними картками).

учитель:Удома ви повторювали властивості ромба і прямокутника. Перерахуйте їх (йде розмова з класом). На минулому уроці ми говорили про те, що Піфагор був різносторонньою особистістю. Він займався і медициною, і музикою, і астрономією, а так само був спортсменом і брав участь в олімпійських іграх. А ще Піфагор був філософом. Багато його афоризми і сьогодні актуальні для нас. Зараз ви будете виконувати самостійну роботу. До кожного завдання дано кілька варіантів відповідей, поруч з якими записані фрагменти афоризмів Піфагора. Ваше завдання - розв'язавши всі завдання, скласти з отриманих фрагментів висловлювання і записати його.