Багатогранник який складається з двох плоских багатокутників. Багатогранники і їх види

Вступ

Поверхня, складену з багатокутників і обмежує деякі геометричне тіло, називають багатогранної поверхнею або многогранником.

Багатогранником називається обмежене тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа багатокутників. Багатокутники, які обмежують багатогранник, називаються гранями, лінії перетину граней називаються ребрами.

Багатогранники можуть мати різноманітне і дуже складну будову. Різні споруди, наприклад будинки, що будуються з цегли та бетонних блоків, являють собою приклади багатогранників. Інші приклади можна знайти серед меблів, наприклад стіл. У хімії форма молекул вуглеводню являє собою тетраедр, правильного двадцятигранниками, куб. У фізики прикладом багатогранників служать кристали.

З найдавніших часів уявлення про красу пов'язували з симетрією. Напевно, цим пояснюється інтерес людини до многогранників - дивним символам симетрії, що вабили увагу видатних мислителів, яких вражала краса, досконалість, гармонія цих фігур.

Перші згадки про многогранниках відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м. Не випадково кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.

Історія правильних багатогранників сягає глибокої давнини. Починаючи з 7 століття до нашої ери в Стародавній Греції створюються філософські школи, в яких відбувається поступовий перехід від практичної до філософської геометрії. Велике значення в цих школах набувають міркування, за допомогою яких вдалося отримувати нові геометричні властивості.

Однією з перших і найвідоміших шкіл була Пифагорейская, названа на честь свого засновника Піфагора. Відмітною знаком піфагорійців була пентаграма, на мові математики - це правильний неопуклих або зірчастий п'ятикутник. Пентаграмме присвоювалося здатність захищати людину від злих духів.

Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря і води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цим думку, атоми основних елементів повинні мати форму різних тел:

§ Всесвіт - додекаедр

§ Земля - \u200b\u200bкуб

§ Вогонь - тетраедр

§ Вода - ікосаедр

§ Повітря - октаедр

Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами.

Платоновим тілами називаються правильні однорідні опуклі багатогранники, тобто опуклі багатогранники, всі грані і кути яких рівні, причому межі - правильні багатокутники. До кожної вершині правильного багатогранника сходиться одне і те ж число ребер. Всі двогранні кути при ребрах і все багатогранні кути при вершинах правильного багатокутника рівні. Платонова тіла - тривимірний аналог плоских правильних багатокутників.

Теорія багатогранників є сучасним розділом математики. Вона тісно пов'язана з топологією, теорією графів, має велике значення як для теоретичних досліджень по геометрії, так і для практичних додатків в інших розділах математики, наприклад, в алгебрі, теорії чисел, прикладної математики - лінійному програмуванні, теорії оптимального управління. Таким чином, дана тема є актуальною, а знання з даної проблематики - важливими для сучасного суспільства.

Основна частина

Многограннікомназивается обмежене тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа багатокутників.

Наведемо визначення багатогранника, рівносильне першим визначенням багатогранника.

багатогранник – це фігура, яка є об'єднанням кінцевого числа тетраедрів, для яких виконані наступні умови:

1) кожні два тетраедра не мають спільних точок, або мають загальну вершину, або тільки загальне ребро, або цілу загальну грань;

2) від кожного тетраедра до іншого можна перейти по ланцюжку тетраедра, в якій кожний наступний прилягає до попереднього по цілій межі.

елементи багатогранника

Грань багатогранника - це деякий багатокутник (многоугольником називається обмежена замкнута область, межа якої складається з кінцевого числа відрізків).

Сторони граней називаються ребрами багатогранника, а вершини граней - вершінамімногогранніка. До елементів багатогранника, крім його вершин, ребер і граней, відносяться також плоскі кути його граней і двогранні кути при його ребрах. Двогранний кут при ребрі багатогранника визначається його гранями, придатними до цього ребру.

Класифікація багатогранників

Опуклий багатогранник -це багатогранник, будь-які дві точки якого поєднувані в ньому відрізком. Опуклі багатогранники володіють багатьма чудовими властивостями.

Теорема Ейлера. Для будь-якого опуклого багатогранника По-Р + Г \u003d 2,

де В - число його вершин, Р - число його ребер, Г - число його граней.

Теорема Коші. Два замкнутих опуклих багатогранника, однаково складені з відповідно рівних граней рівні.

Опуклий багатогранник вважається правильним, якщо всі його грані - рівні правильні багатокутники і в кожній його вершині сходиться одне і те ж число ребер.

правильний багатогранник

Багатогранник називається правильним, якщо, по-перше, він опуклий, по-друге, все його межі - рівні один одному правильні багатокутники, по-третє, в кожній його вершині сходяться однакове число граней, і, по-четверте, все його двогранні кути рівні.

Існує п'ять опуклих правильних багатогранників - тетраедр, октаедр і ікосаедр з трикутними гранями, куб (гексаедр) з квадратними гранями і додекаедр з п'ятикутними гранями. Доказ цього факту відомо вже більше двох тисяч років; цим доказом і вивченням п'яти правильних тіл завершуються "Почала" Евкліда (давньогрецький математик, автор перших дійшли до нас теоретичних трактатів з математики). Чому правильні багатогранники отримали такі імена? Це пов'язано з числом їх граней. Тетраедр має 4 грані, в перекладі з грецького "тетра" - чотири, "едрон" - грань. Гексаедр (куб) має 6 граней, "гекса" - шість; октаедр - восьмигранник, "ОКТО" - вісім; додекаедр - двенадцатигранник, "додека" - дванадцять; ікосаедр має 20 граней, "Ікос" - двадцять.

2.3. Типи правильних багатогранників:

1) правильний тетраедр (Складений з чотирьох рівносторонніх трикутників. Кожна його вершина є вершиною трьох трикутник. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180 0);

2) куб - паралелепіпед, всі грані якого - квадрати. Куб складений з шести квадратів. Кожна вершина куба є вершиною трьох квадратів. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 270 0.

3) правильний октаедрабо просто октаедр– багатогранник, у якого вісім правильних трикутних граней і в кожній вершині сходяться по чотири грані. Октаедр складений з восьми рівносторонніх трикутників. Кожна вершина октаедра є вершиною чотирьох трикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 240 0. Його можна побудувати, склавши підставами дві піраміди, в підставі яких квадрати, а бічні грані - правильні трикутники. Ребра октаедра можна отримати, поєднуючи центри сусідніх граней куба, якщо ж з'єднати центри сусідніх граней правильного октаедра, то отримаємо ребра куба. Кажуть, що куб і октаедр двоїсті одна одній.

4)ікосаедр - складено з двадцяти рівносторонніх трикутників. Кожна вершина ікосаедра є вершиною п'яти трикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 300 0.

5) додекаедр - багатогранник, складений з дванадцяти правильних п'ятикутників. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 324 0.

Додекаедр і ікосаедр теж двоїсті одна одній в тому сенсі, що, з'єднавши відрізками центри сусідніх граней ікосаедра, ми отримаємо додекаедр, і навпаки.

Правильний тетраедр двоїстий сам собі.

При цьому не існує правильного багатогранника, гранями якого є правильні шестикутники, семикутники і взагалі n-косинці при n ≥ 6.

Правильним многогранником називається багатогранник, у якого всі грані правильні рівні багатокутники, і все двогранні кути рівні. Але є і такі багатогранники, у яких все багатогранні кути рівні, а межі - правильні, але різнойменні правильні багатокутники. Багатогранники такого типу називаються Рівнокутні-напівправильними многогранниками. Вперше багатогранники таке типу відкрив Архімед. Їм докладно описані 13 багатогранників, які пізніше в честь великого вченого були названі тілами Архімеда. Це усічений тетраедр, усічений оксаедр, усічений ікосаедр, усічений куб, усічений додекаедр, кубооктаедр, ікосододекаедр, усічений кубооктаедр усічений ікосододекаедр, ромбокубооктаедр, ромбоікосододекаедр, "плосконосий" (кирпатий) куб, "плосконосий" (кирпатий) додекаедр.

2.4. Напівправильні багатогранники або архімедовим тіла - опуклі багатогранники, що володіють двома властивостями:

1. Всі грані є правильними багатокутниками двох або більше типів (якщо всі грані - правильні багатокутники одного типу, це - правильний багатогранник).

2. Для будь-якої пари вершин існує симетрія багатогранника (тобто рух переводить багатогранник в себе) переводить одну вершину в іншу. Зокрема всі багатогранні кути при вершинах конгруентний.

Крім напівправильних багатогранників з правильних багатогранників - Платонових тіл, можна отримати так звані правильні зірчасті багатогранники. Їх всього чотири, вони називаються також тілами Кеплера-Пуансо. Кеплер відкрив малий додекаедр, названий їм колючим або їжаком, і великий додекаедр. Пуансо відкрив два інших правильних зірчастих багатогранника, двоїстих відповідно першим двом: великий зірчастий додекаедр і великий ікосаедр.

Два тетраедра, які пройшли один крізь інший, утворюють восьмигранник. Йоганн Кеплерпрісвоіл цій фігурі ім'я «стела октангула» - «восьмикутна зірка». Вона зустрічається і в природі: це так званий подвійний кристал.

У визначенні правильного багатогранника свідомо - в розрахунку на гадану очевидність - не було підкреслено слово «опуклий». А воно означає додаткову вимогу: «і всі грані, якого лежать по одну сторону від площини, що проходить через будь-яку з них». Якщо ж відмовитися від такого обмеження, то до Платоновим тіл, крім «продовженого октаедра», доведеться додати ще чотири багатогранника (їх називають тілами Кеплера - Пуансо), кожен з яких буде «майже правильним». Всі вони виходять «озвездиваніем» Платонова тіла, тобто продовженням його граней до перетину один з одним, і тому називаються зірчастими. Куб і тетраедр не породжують нових фігур - межі їх, скільки не продовжуй, не перетинаються.

Якщо ж продовжити всі грані октаедра до перетину їх один з одним, то вийде фігура, що виникає при взаємопроникнення двох тетраедрів - «стела октангула», яка називається «продовженим октаедром ».

Ікосаедр і додекаедр дарують світу відразу чотири «майже правильних багатогранника». Один з них - малий зірчастий додекаедр, отриманий вперше Іоганном Кеплером.

Століттями математики не визнавали за будь-якого роду зірками права називатися багатокутниками через те, що сторони їх перетинаються. Людвіг Шлефлі НЕ виганяв геометричне тіло з сімейства багатогранників тільки за те, що його межі самопересекающиеся, проте, залишався непохитним, як тільки мова заходила про малий зірчастий додекаедр. Довід його був простий і вагою: це кеплерівський тварина не підпорядковується формулі Ейлера! Його колючки утворені дванадцятьма гранями, тридцятьма ребрами і дванадцятьма вершинами, і, отже, В + Г-Р зовсім не дорівнює двійці.

Шлефлі був і прав, і неправий. Звичайно ж, геометричний їжачок не так вже колючий, щоб повстати проти непогрішною формули. Треба тільки не брати до уваги, що він утворений дванадцятьма пересічними зірчастими гранями, а поглянути на нього як на просте, чесне геометричне тіло, складене з 60 трикутників, що має 90 ребер і 32 вершини.

Тоді В + Г-Р \u003d 32 + 60-90 одно, як і належить, 2. Але зате тоді до цього багатограннику не застосовується слово «правильний» - адже межі його тепер не рівносторонній, а всього лише трикутник. Кеплер НЕ додумався, що у отриманої їм фігури є двійник.

Багатогранник, який називається «великий додекаедр» - побудував французький геометр Луї Пуансо через двісті років після кеплерівських зірчастих фігур.

Великий ікосаедрбил вперше описаний Луї Пуансо в 1809 році. І знову Кеплер, побачивши великий зірчастий додекаедр, честь відкриття другої фігури залишив Луї Пуансо. Ці фігури також наполовину підкоряються формулою Ейлера.

Практичне застосування

Багатогранники в природі

Правильні багатогранники - найвигідніші фігури, тому вони широко поширені в природі. Підтвердженням тому служить форма деяких кристалів. Наприклад, кристали кухонної солі мають форму куба. При виробництві алюмінію користуються алюмінієво-калієвими кварцами, монокристал яких має форму правильного октаедра. Отримання сірчаної кислоти, заліза, особливих сортів цементу не обходиться без сірчистого колчедану. Кристали цієї хімічної речовини мають форму додекаедра. У різних хімічних реакціях застосовується сурьменістий сірчанокислий натрій - речовина, синтезоване вченими. Кристал сурьменістого сірчанокислого натрію має форму тетраедра. Останній правильний багатогранник - ікосаедр передає форму кристалів бору.

Зірчасті багатогранники дуже декоративні, що дозволяє широко застосовувати їх в ювелірній промисловості при виготовленні всіляких прикрас. Застосовуються вони і в архітектурі. Багато форми зірчастих багатогранників підказує сама природа. Сніжинки - це зірчасті багатогранники. З давнини люди намагалися описати всі можливі типи сніжинок, складали спеціальні атласи. Зараз відомо кілька тисяч різних типів сніжинок.

Правильні багатогранники зустрічаються так само і в живій природі. Наприклад, скелет одноклітинного організму феодаріі (Circjgjnia icosahtdra) за формою нагадує ікосаедр. Більшість феодарій живуть на морській глибині і служать здобиччю коралових рибок. Але найпростіше тварина захищає себе дванадцятьма голками, що виходять з 12 вершин скелета. Воно більше схоже на зірчастий багатогранник.

Також ми можемо спостерігати багатогранники у вигляді квітів. Яскравим прикладом можуть служити кактуси.

Схожа інформація.

«Види багатогранників» - Правильні зірчасті багатогранники. Додекаедр. Малий зірчастий додекаедр. Багатогранники. Гексаедр. Тіла Платона. Призматоїд. Піраміда. Ікосаедр. Октаедр. Тіло, обмежене кінцевим числом площин. Зірчастий октаедр. Дві грані. Закон взаємності. Математик. Тетраедр.

«Геометричне тіло багатогранник» - Багатогранники. Призми. Існування несумірних величин. Пуанкаре. Грань. Вимірювання обсягів. Грані паралелепіпеда. Прямокутний паралелепіпед. Ми часто зустрічаємо піраміду на вулиці. Багатогранник. Цікаві факти. Олександрійський маяк. Геометричні форми. Відстань між площинами. Мемфіс.

«Каскади багатогранників» - Ребро куба. Ребро октаедра. Куб і додекаедр. Одиничний тетраедр. Додекаедр і ікосаедр. Додекаедр і тетраедр. Октаедр і ікосаедр. Багатогранник. Правильний багатогранник. Октаедр і додекаедр. Ікосаедр і октаедр. Одиничний ікосаедр. Тетраедр і ікосаедр. Одиничний додекаедр. Октаедр і тетраедр. Куб і тетраедр.

«« Багатогранники »стереометрія» - Багатогранники в архітектурі. Перетин багатогранників. Дайте назву багатограннику. Велика піраміда в Гізі. Платонова тіла. Виправити логічний ланцюжок. Багатогранник. Історична довідка. Зірковий час багатогранників. Розв'язання задач. Мета уроку. «Гра з глядачами». Чи відповідають геометричні фігури і їх назви.

«Зірчасті форми багатогранників» - Великий зірчастий додекаедр. Багатогранник, зображений на малюнку. Зірчасті багатогранники. Бічні ребра. Зірчасті кубооктаедр. Зірчастий усічений ікосаедр. Багатогранник, отриманий урізанням зірчастого усіченого ікосаедра. Вершини великого зірчастого Додекаедр. Зірчасті Ікосаедр. Великий додекаедр.

«Перетин многогранника площиною» - Перетин багатогранників. Багатокутники. Розрізи утворили п'ятикутник. Слід січної площини. Перетин. Знайдемо точку перетину прямих. Площина. Побудуй перетин куба. Побудуйте перетин призми. Знаходимо точку. Призма. Методи побудови перетинів. Отриманий шестикутник. Перетин куба. Аксіоматичний метод.

Всього в темі 29 презентацій

Куб, куля, піраміда, циліндр, конус - геометричні тіла. Серед них виділяють багатогранники. багатогранником називають геометричне тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа багатокутників. Кожен з цих багатокутників називається гранню многогранника, сторони і вершини цих багатокутників - відповідно ребрами і вершинами багатогранника.

Двогранні кути між сусідніми гранями, тобто гранями, що мають спільну сторону - ребро багатогранника - є також і двогранними умами багатогранника. Кути багатокутників - граней опуклого багатокутника - є плоскими умами багатогранника. Крім плоских і двогранні кутів у опуклого багатогранника є ще й багатогранні кути. Ці кути утворюють межі, що мають загальну вершину.

Серед багатогранників розрізняють призми і піраміди.

Призма - це багатогранник, поверхня якого складається з двох рівних багатокутників і паралелограмів, що мають спільні сторони з кожним з підстав.

Два рівних багатокутника називаються підставами ггрізмьг, а паралелограми - її бічними гранями. Бічні грані утворюють бічну поверхню призми. Ребра, що не лежать в основах, називаються бічними ребрами призми.

призму називають п-вугільної, якщо її підставами є я-косинці. На рис. 24.6 зображена чотирикутна призма АВСDЕ "В" С "D".

призму називають прямий, якщо її бічними гранями є прямокутники (рис. 24.7).

призму називають правильної , якщо вона пряма, а її заснування - правильні багатокутники.

Чотирикутну призму називають параллелепипедом , Якщо її заснування - паралелограми.

паралелепіпед називають прямокутним, якщо всі його грані - прямокутники.

Діагональ паралелепіпеда - це відрізок, що з'єднує його протилежні вершини. У паралелепіпеда чотири діагоналі.

Доведено, щодіагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл. Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

піраміда - це багатогранник, поверхня якого складається з багатокутника - основи піраміди, і трикутників, що мають спільну вершину, званих бічними гранями піраміди. Загальна вершина цих трикутників називається вершиною піраміди, ребра, що виходять з вершини, - бічними ребрами піраміди.

Перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на підставу, а також довжина цього перпендикуляра називається висотою піраміди.

Найпростіша піраміда - трикутна або тетраедр (рис. 24.8). Особливість трикутної піраміди полягає в тому, що будь-яку грань можна розглядати як підставу.

піраміду називають правильною, якщо в підставі її лежить правильний багатокутник, а всі бічні ребра рівні між собою.

Зауважимо, що слід розрізняти правильний тетраедр (Тобто тетраедр, у якого всі ребра рівні між собою) і правильну трикутну піраміду (В її основі лежить правильний трикутник, а бічні ребра рівні між собою, але їх довжина може відрізнятися від довжини сторони трикутника, який є підставою призми).

розрізняють випуюше і неопуклі багатогранники. Визначити опуклий багатогранник можна, якщо скористатися поняттям опуклого геометричного тіла: багатогранник називають опуклим.якщо він є опуклою фігурою, тобто разом з будь-якими двома своїми точками цілком містить і з'єднує їх відрізок.

Можна визначити опуклий багатогранник інакше: багатогранник називають опуклим, якщо він повністю лежить по одну сторону від кожного з обмежуючих його багатокутників.

Дані визначення рівносильні. Доказ цього факту не наводимо.

Все багатогранники, які до сих пір розглядалися, були опуклими (куб, паралелепіпед, призма, піраміда і ін.). Багатогранник, зображений на рис. 24.9, опуклим не є.

Доведено, щов опуклому многограннике всі грані є опуклими багатокутниками.

Розглянемо кілька опуклих багатогранників (таблиця 24.1)

З цієї таблиці випливає, що для всіх розглянутих опуклих багатогранників має місце рівність В - Р + Г\u003d 2. Виявилося, що воно справедливо і для будь-якого опуклого багатогранника. Вперше це властивість було доведено Л. Ейлера і отримало назву теореми Ейлера.

Опуклий багатогранник називають правильним, якщо його гранями є рівні правильні багатокутники і в кожній вершині сходиться однакове число граней.

Використовуючи властивість опуклого багатогранного кута, можна довести, що різних видів правильних багатогранників існує не більше п'яти.

Дійсно, якщо фан і багатогранника - правильні трикутники, то в одній вершині їх може сходитися 3, 4 і 5, так як 60 "3< 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Якщо в кожній вершині многофанніка сходиться три правильних трикутника, то отримуємо правшш / ий тетраедр, що в перекладі з феческого означає «четирехграннік» (рис. 24.10, а).

Якщо в кожній вершині многогранника сходиться чотири правильні трикутника, то отримуємо октаедр (Рис. 24.10, в). Його поверхня складається з восьми правильних трикутників.

Якщо в кожній вершині многогранника сходиться П'ято правильних трикутників, то отримуємо ікосаедр (Рис. 24.10, г). Його поверхня складається з двадцяти правильних трикутників.

Якщо межі многофанніка - квадрати, то в одній вершині їх може сходитися тільки три, так як 90 ° 3< 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также гексаедр (Рис. 24.10, б).

Якщо граані многофанніка - правильні п'ятикутник, то в одній вершині їх може сходитися тільки фі, так як 108 ° 3< 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется додекаедрів (Рис. 24.10, д). Його поверхня складається з дванадцяти правильних п'ятикутників.

Шестикутними та більш грані багатогранника не можуть бути, так як навіть для шестикутника 120 ° 3 \u003d 360 °.

В геометрії доведено, що в тривимірному евклідовому просторі існує рівно п'ять різних видів правильних багатогранників '.

Щоб виготовити модель многогранника, потрібно зробити його розгортку (Точніше розгортку його поверхні).

Розгортка багатогранника - це фігура на площині, яка виходить, якщо поверхня багатогранника розрізати але Незнач рим ребрах і розгорнути її так, щоб всі багатокутники, що входять в цю поверхню, лежали в одній площині.

Відзначимо, що багатогранник може мати кілька різних розгорток в залежності від того, які ребра ми розрізали. На малюнку 24.11 показані фіг "Урів, які є різними розгорненнями правильної чотирикутної піраміди, тобто піраміди, в основі якої лежить квадрат, а всі бічні ребра рівні між собою.

Щоб фігура на площині була розгорткою опуклого багатогранника, вона повинна задовольняти ряду вимог, пов'язаних з особливостями багатогранника. Наприклад, фігури на рис. 24.12 не є розгорненнями правильної чотирикутної піраміди: у фігурі, зображеної на рис. 24.12, а, в вершині М сходяться чотири грані, чого не може бути в правильної чотирикутної піраміді; а в фігурі, зображеної на рис. 24.12, б, бічні ребра А В і ВС не рівні.

Взагалі, розгортку багатогранника можна отримати шляхом розрізання його поверхні не тільки по ребрах. Приклад такої розгортки куба наведено на рис. 24.13. Тому більш точно розгортку багатогранника можна визначити як плоский багатокутник, з якого може бути зроблена поверхня цього багатогранника без перекриттів.

тіла обертання

тілом обертання називають тіло, отримане в результаті обертання деякої фігури (зазвичай плоскою) навколо прямої. Цю пряму називають віссю обертання.

циліндр - его тіло, яке виходить в результаті обертання прямокутника навколо однієї з його сторін. При цьому зазначена сторона є віссю циліндра. На рис. 24.14 зображений циліндр з віссю ГО ', отриманий в результаті обертання прямокутника АА "О" Пронавколо прямої ГО ". точки Про і Про " - центри основ циліндра.

Циліндр, який виходить в результаті обертання прямокутника навколо однієї з його сторін, називають прямим круговим циліндром, так як його підставами є два рівних кола, розташованих в паралельних площинах так, що відрізок, що з'єднує центри кіл, перпендикулярний цим площинах. Бічну поверхню циліндра утворюють відрізки, рівні стороні прямокутника, паралельної осі циліндра.

розгорткою бічній поверхні прямого кругового циліндра, якщо її розрізати по котра утворює, є прямокутник, одна сторона якого дорівнює довжині утворює, а інша - довжині окружності підстави.

конус - це тіло, яке виходить в результаті обертання прямокутного трикутника навколо одного з катетів.

При цьому зазначений катет нерухомий і називається віссю конуса. На рис. 24.15 зображений конус з віссю SO, отриманий в результаті обертання прямокутного трикутника SOA з прямим кутом Про навколо катета S0. Крапку S називають вершиною конуса, ОА - радіусом його заснування.

Конус, який виходить в результаті обертання прямокутного трикутника навколо одного з його катетів, називають прямим круговим конусом, гак як його підставою є коло, а вершина проектується в центр цього кола. Бічну поверхню конуса утворюють відрізки, рівні гіпотенузі трикутника, при обертанні якого утворюється конус.

Якщо бічну поверхню конуса розрізати по котра утворює, то її можна «розгорнути» на площину. розгорткою бічній поверхні прямого кругового конуса є кругової сектор з радіусом, рівним довжині утворює.

При перетині циліндра, конуса або будь-якого іншого тіла обертання площиною, содержагцей вісь обертання, виходить осьовий переріз. Осьовий переріз циліндра - прямокутник, осьовий переріз конуса - рівнобедрений трикутник.

куля - це тіло, яке виходить в результаті обертання півколо а навколо його діаметра. На рис. 24.16 зображений куля, отриманий в результаті обертання півкола навколо діаметра АА ". крапку Проназивають центром кулі, а радіус кола є радіусом кулі.

Поверхня кулі називають сферою. Сферу розгорнути на площину можна.

Будь-яке перетин кулі площиною є коло. Радіус перерізу кулі буде найбільшим, якщо площина проходить через центр кулі. Тому перетин кулі площиною, що проходить через центр кулі, називають великим колом кулі, а окружність, його обмежує, - великою окружністю.

ЗОБРАЖЕННЯ геометричних ТЕЛ на площині

На відміну від плоских фігур геометричні тіла неможливо точно зобразити, наприклад, на аркуші паперу. Однак за допомогою креслень на площині можна отримати досить наочне зображення просторових фігур. Для цього використовуються спеціальні способи зображення таких фігур на площині. Одним з них є паралельне проектування.

Нехай дано площину а і перетинає се пряма а. Візьмемо в просторі довільну точку Л ", що не належить прямій а, і проведемо через X пряму а ", паралельну прямій а(Рис. 24.17). пряма а " перетинає площину в певній точці X ", яка називається паралельної проекцією точки X на площину а.

Якщо точка А "лежить на прямій а, то се паралельної проекцією X " є точка, в якій пряма а перетинає площину а.

якщо точка X належить площині а, то точка X " збігається з точкою X.

Таким чином, якщо задані площину а і перетинає її пряма а. то кожній точці X простору можна поставити у відповідність єдину точку А "- паралельну проекцію точки Xна площину а (при проектуванні паралельно прямий а). площина а називається площиною проекцій.Про прямий а кажуть, що вона загавкає напрямок проектування - ггрі заміні прямої а будь-який інший паралельної їй прямий результат проектування не зміниться. Всі прямі, паралельні прямій а, задаюз одне і те ж напрямок проектування і називаються разом з прямою а проектують прямими.

проекцією фігури F називають безліч F ' проекцією всіх се точок. Відображення, що зіставляють кожній точці X фігури F"Її паралельну проекцію - точку X " фігури F ", називається паралельним проектуванням фігури F(Рис. 24.18).

Паралельної проекцією реального предмета є його тінь, яка падала на плоску поверхню при сонячному освітленні, оскільки сонячні промені можна вважати паралельними.

Паралельне проектування має низку властивостей, знання яких необхідно при зображенні геометричних тіл на площині. Сформулюємо основні, не наводячи їх докази.

Теорема 24.1. При паралельному проектуванні для прямих, що не паралельних напрямку проектування, і для лежачих на них відрізків виконуються наступні властивості:

1) проекція прямої є пряма, а проекція відрізка - відрізок;

2) проекції паралельних прямих паралельні або збігаються;

3) відношення довжин проекцій відрізків, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих, дорівнює відношенню довжин самих відрізків.

З цієї теореми випливає наслідок: при паралельному проектуванні середина відрізка проектується в середину його проекції.

При зображенні геометричних тіл на площині необхідно стежити за виконанням зазначених властивостей. В іншому воно може бути довільним. Так, кути і відносини довжин непаралельних відрізків можуть змінюватися довільно, тобто, наприклад, трикутник при паралельному проектуванні зображується довільним трикутником. Але якщо трикутник рівносторонній, то па проекції його медіани повинні з'єднувати вершину трикутника з серединою протилежної сторони.

І ще одна вимога необхідно дотримуватися при зображенні просторових тіл на площині - сприяти створенню вірного уявлення про них.

Зобразимо, наприклад, похилу призму, підставами якої є квадрати.

Побудуємо спочатку нижня частина призми (можна починати і з верхнього). За правилами паралельного проектування огго відіб'ється довільним параллелограммом АВСD (рис. 24.19, а). Так як ребра призми паралельні, будуємо паралельні прямі, що проходять через вершини побудованого паралелограма і відкладаємо на них рівні відрізки АА ", ВВ ', СС", DD ", довжина яких довільна. Поєднавши послідовно точки А", В ", С", D ", отримаємо чотирикутник А" В "С" D ", який зображає верхнє підставу призми. Неважко довести, що А "В" С "D" - паралелограм, рівний паралелограма АВСD і, отже, ми маємо зображення призми, підставами якої є рівні квадрати, а інші грані - паралелограми.

Якщо потрібно зобразити пряму призму, підставами якої є квадрати, то показати, що бічні ребра цієї призми перпендикулярні основі, можна так, як це зроблено на рис. 24.19, б.

Крім тог о, креслення на рис. 24.19, б можна вважати зображенням правильної призми, так як її підставою є квадрат - правильний чотирикутник, а також - прямокутним параллелепипедом, оскільки всі його грані - прямокутники.

З'ясуємо тепер, як зобразити на площині піраміду.

Щоб зобразити правильну піраміду, спочатку креслять правильний багатокутник, що лежить в основі, і його центр - точку О. Потім проводять вертикальний відрізок OS, зображає висоту піраміди. Зауважимо, що вертикальність відрізка OSзабезпечує більшу наочність малюнка. І нарешті, крапку S з'єднують з усіма вершинами підстави.

Зобразимо, наприклад, правильну піраміду, підставою якої є правильний шестикутник.

Щоб правильно зобразити при паралельному проектуванні правильний шестикутник, треба звернути увагу на наступне. Нехай АВСDЕF - правильний шестикутник. Тоді ВСЕF - прямокутник (рис. 24.20) і, отже, при паралельному проектуванні він відіб'ється довільним параллелограммом В "С" Е "F". Так як діагональ АD проходить через точку О - центр багатокутника АВСDЕF і паралельна відрізках. ВС і ЕF і АТ \u003d ОD, то при паралельному проектуванні вона відіб'ється довільним відрізком А "D" , які проходять через точку Про " паралельно В "С" і Е "F"і крім того, А "О" \u003d О "D".

Таким чином, послідовність побудови підстави шестикутної піраміди така (рис. 24.21):

§ зображують довільний паралелограм В "С" Е "F" і його діагоналі; відзначають точку їх перетину O ";

§ через точку Про " проводять пряму, паралельну В'С " (або Е "F");

§ на побудованої прямий вибирають довільну точку А " і відзначають точку D " таку, що Про "D" = А "О", і з'єднують точку А "з точками В " і F", А точку D "- з точками З " і Е ".

Щоб завершити побудову піраміди, проводять вертикальний відрізок ОS (Його довжина вибирається довільно) і з'єднують точку S з усіма вершинами підстави.

При паралельному проектуванні куля зображується у вигляді кола того ж радіуса. Щоб зробити зображення кулі більш наочним, малюють проекцію який-небудь великому колу, площина якої не перпендикулярна площині проекції. Ця проекція буде еліпсом. Центр кулі відіб'ється центром цього еліпса (рис. 24.22). Тепер можна знайти відповідні полюси N і S за умови, що відрізок, їх з'єднує, перпендикулярний площині екватора. Для цього через точку Про проводимо пряму, перпендикулярну АВ і відзначаємо точку С - перетин цієї прямої з еліпсом; потім через точку С проводимо дотичну до еліпсу, изображающему екватор. Доведено, що відстань СМ дорівнює відстані від центру кулі до кожного з полюсів. Тому, відклавши відрізки ОN і OS, рівні СМ, отримаємо полюси N і S.

Розглянемо один з прийомів побудови еліпса (він заснований на перетворенні площині, яке називається стисненням): будують коло з діаметром і проводять хорди, перпендикулярні діаметру (рис. 24.23). Половину кожної з хорд ділять навпіл і отримані точки з'єднують плавною кривою. Ця крива - еліпс, великою віссю якого є відрізок АВ, а центром - точка О.

Цей прийом мЬжно використовувати, зображуючи на площині прямий круговий циліндр (рис. 24.24) і прямий круговий конус (рис. 24.25).

Прямий круговий конус зображують так. Спочатку будують еліпс - підстава, потім знаходять центр підстави - точку Про і перпендикулярно проводять відрізок OS, який зображує висоту конуса. З точки S проводять до еліпсу дотичні (це роблять «на око», прикладаючи лінійку) і виділяють відрізки SС і SDцих прямих від точки S до точок дотику З і D. Зауважимо, що відрізок СD не збігається з діаметром підстави конуса.

геометричні тіла

Вступ

У стереометрії вивчаються фігури в просторі, які називаються геометричними тілами.

Подання про геометричні тілах дають оточуючі нас предмети. На відміну від реальних предметів геометричні тіла є уявними об'єктами. наочно геометричне тіло треба уявляти собі як частину простору, зайняту матерією (глина, дерево, метал, ...) і обмежену поверхнею.

Всі геометричні тіла діляться на багатогранники і круглі тіла.

багатогранники

багатогранник - це геометричне тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа плоских багатокутників.

гранями багатогранника, називаються багатокутники, складові його поверхню.

ребрами багатогранника, називаються сторони граней багатогранника.

вершинами багатогранника, називаються вершини граней багатогранника.

Багатогранники діляться на опукліі неопуклі.

багатогранник називається опуклим, Якщо він весь лежить по одну сторону від будь-якої його межі.

завдання. вкажіть грані, ребра і вершини куба зображеного на малюнку.

Опуклі багатогранники діляться на призми і піраміди.

Призма

Призма - це багатогранник, у якого дві грані рівні і паралельні
n-угольнікі, а решта n граней - паралелограми.

Два n-угольніка називаються підставами призми, Паралелограми - бічними гранями. Сторони бічних граней і підстав називаються ребрами призми, Кінці ребер називаються вершинами призми. Бічними ребрами називаються ребра, які не належать підставах.

Багатокутники А 1 А 2 ... А n і B 1 B 2 ... B n - підстави призми.

Паралелограми А 1 А 2 B 2 B 1, ... - бічні грані.

Властивості призми:

· Підстави призми рівні і паралельні.

· Бічні ребра призми рівні і паралельні.

діагоналлю призми називається відрізок, що з'єднує дві вершини, які не належать одній грані.

висотою призми називається перпендикуляр, опущений з точки верхнього підстави на площину нижньої основи.

Призма називається 3-вугільної, 4-вугільної, ..., n-угольной, якщо її заснування
3-косинці, 4-косинці, ..., n-угольнікі.

прямий призмою називається призма, у якої бічні ребра перпендикулярні підставах. Бічні грані прямої призми є прямокутниками.

похилій призмою називається призма, яка не є прямою. Бічні грані похилої призми є паралелограма.

правильною призмою називається пряма призма, у якої в підставах лежать правильні багатокутники.

площею повної поверхні призми називається сума площ всіх її граней.

площею бічній поверхні призми називається сума площ її бічних граней.

S повн \u003d S пліч + 2 · S осн

багатогранник

• багатогранник- це таке тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа плоских багатокутників.

багатогранник називається опуклим

• багатогранник називається опуклим , Якщо він розташований по одну сторону кожного плоского багатокутника на його поверхні.

• Евклід (імовірно 330- 277 до н.е.) - математик Олександрійської школи Стародавньої Греції, автор першого дійшов до нас трактату з математики «Начала» (в 15 книгах)

бічними гранями.

• Призма-багатогранник, який складається з двох плоских багатокутників, що лежать в різних площинах і суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих многокутників. Багатокутники Ф і Ф1, що лежать в паралельних площинах, називають підставами призми, а інші грані - бічними гранями.

• Поверхня призми, таким чином, складається з двох рівних багатокутників (підстав) і паралелограма (бічних граней). Розрізняють призми трикутні, чотирикутні, п'ятикутні і т.д. в залежності від числа вершин підстави.

• Якщо бічне ребро призми перпендикулярно площині її заснування, то таку призму називають прямий ; якщо бічне ребро призми НЕ перпендикулярно площині її заснування, то таку призму називають похилій . У прямої призми бічні грані - прямокутники.

Підстави призми рівні.

• Підстави призми рівні.

• У призми підстави лежать в паралельних площинах.

• У призми бічні ребра паралельні і рівні.

• Висотою призми називається відстань між площинами її основ.

• Виявляється, що призма може бути не тільки геометричним тілом, а й художнім шедевром.Іменно призма стала основою картин Пікассо, Брака, Грісса і т.д.

• Виявляється, що сніжинка може прийняти форму шестигранної призми, але це буде залежати від температури повітря.

• У III столітті до н. е. був побудований маяк, щоб кораблі могли благополучно минути рифи на шляху в александрійську бухту. Вночі їм допомагало в цьому відображення язиків полум'я, а днём- стовп диму. Це був перший в світі маяк, і простояв він 1500 років.

• Маяк був побудований на маленькому острові Фарос в Середземному морі, біля берегів Олександрії. На його будівництво пішло 20 років, а завершений він був близько 280 року до н.е.

• У XIV столітті маяк був знищений землетрусом. Його уламки використовували при будівництві військового форту. Форт не раз перебудовувався і досі стоїть на місці першого в світі маяка.

Мавсол був правителем Карий. Столицею області був Галікарнас. Мавсол одружився на своїй сестрі Артемізії. Він вирішив побудувати гробницю для себе і своєї цариці. Мавсол мріяв про величний пам'ятник, який би нагадував світу про його багатство і могутність. Він помер до закінчення робіт над гробницею. Керувати будівництвом продовжила Артемизия. Гробниця була побудована в 350 році до н. е. Вона була названа мавзолеєм на ім'я царя.

Попіл царственої подружжя зберігався в золотих урнах в усипальниці в основі будівлі. Ряд кам'яних левів вартував це приміщення. Сама споруда нагадувало грецький храм, оточений колонами і статуями. На вершині будівлі знаходилася ступінчаста піраміда. На висоті 43 м над землею її вінчала скульптурне зображення колісниці, запряженій кіньми. На ній, ймовірно, стояли статуї царя і цариці.

• Через вісімнадцять століть землетрус зруйнував Мавзолей дощенту. Ще триста років пройшло, перш ніж археологи приступили до розкопок. У 1857 році всі знахідки були перевезені в Британський музей в Лондоні. Тепер на місці, де колись був Мавзолей, залишилася лише жменька каменів.

кристали.

Існують не тільки геометричні форми, створені руками человека. багато і в самій пріроде.Воздействіе на вигляд земної поверхні таких природних факторів, як вітер, вода, сонячне світло, досить стихійно і носить безладний характер.Однако піщані дюни, галька на морському березі, кратер погаслого вулкана мають, як правило, геометрично правильні форми.В землі іноді знаходять камені такої форми, як ніби їх хтось ретельно випилював, шліфував, поліровал.Ето - кристали.

параллелепипедом.

• Якщо основа призми є паралелограм, то він називається параллелепипедом.

• Моделями прямокутного паралелепіпеда служать:

• класна кімната

• Виявляється, що кристали кальциту, скільки їх не дробу на більш дрібні частини, завжди розпадаються на осколки, які мають форму паралелепіпеда.

• Міські будівлі найчастіше мають форму многогранніков.Как правило, це звичайні параллелепіпеди.І лише несподівані архітектурні рішення прикрашають міста.

• 1.Чи є призма правильною, якщо її ребра рівні?

• а) так; в) немає. Обгрунтуйте свою відповідь.

• 2.Висота правильної трикутної призми дорівнює 6 см. Сторона основи дорівнює 4 см. Знайдіть площу повної поверхні цієї призми.

• 3. Площі двох бічних граней похилій трикутної призми дорівнюють 40 і 30 см2. Кут між цими гранями прямий. Знайдіть площу бічної поверхні призми.

• 4. У паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1 проведені перетину A1BC і CB1D1. У якому відношенні ці площини ділять діагональ AC1.

• 1) тетраедр, який має 4 грані, 4 вершини, 6 ребер;

• 2) куб - 6 граней, 8 вершин, 12 ребер;

• 3) октаедр - 8 граней, 6 вершин, 12 ребер;

• 4) додекаедр - 12 граней, 20 вершин, 30 ребер;

• 5) ікосаедр - 20 граней, 12 вершин, 30 ребер.

Фалеса Мілетського, засновника ионийской Піфагора Самоський

Вчені і філософи Стародавньої Греції сприйняли і переробили досягнення культури і науки Стародавнього Сходу. Фалес, Піфагор, Демокріт, Евдокс та ін. Їздили в Єгипет і Вавилон для вивчення музики, математики та астрономії. Не випадково зачатки грецької геометричній науки пов'язані з іменем Фалеса Мілетського, засновника ионийскойшколи. Іонійці, що населяли територію, яка межувала зі східними країнами, першими запозичили знання Сходу і стали їх розвивати. Вчені іонійської школи вперше піддали логічній обробці і систематизували математичні відомості, запозичені у стародавніх східних народів, особливо у вавилонян. Фалесу, голові цієї школи, Прокл та інші історики приписують чимало геометричних відкриттів. про ставлення Піфагора Самоськийдо геометрії Прокл пише в своєму коментарі до "Початкам" Евкліда наступне: "Він вивчав цю науку (т. е. геометрію), виходячи від перших її підстав, і намагався отримувати теореми за допомогою чисто логічного мислення". Прокл приписує Піфагору, крім відомої теореми про квадраті гіпотенузи, ще побудова п'ятьох правильних багатогранників:

тіла Платона

тіла Платона -це опуклі багатогранники, всі грані яких правильні багатокутники. Всі багатогранні кути правильного багатогранника конгруентний. Як це випливає вже з підрахунку суми плоских кутів при вершині, опуклих правильних багатогранників не більш п'яти. Зазначеним нижче шляхом можна довести, що існує саме п'ять правильних багатогранників (це довів Евклід). Вони - правильний тетраедр, куб, октаедр, додекаедр і ікосаедр.

октаедр (Рис.3).

• октаедр -восьміграннік; тіло, обмежене вісьмома трикутниками; правильний октаедр обмежений вісьмома рівносторонніми трикутниками; один з п'яти правильних багатогранників. (Рис.3).

• додекаедр -двенадцатіграннік, тіло, обмежене дванадцятьма багатокутниками; правильний п'ятикутник; один з п'яти правильних багатогранників . (Рис.4).

• ікосаедр -двадцатіграннік, тіло, обмежене двадцятьма багатокутниками; правильний ікосаедр обмежений двадцятьма рівносторонніми трикутниками; один з п'яти правильних багатогранників. (Рис.5).

Грані Додекаедр є правильними п'ятикутниками. Діагоналі ж правильного п'ятикутника утворюють так званий зірчастий п'ятикутник - фігуру, яка служила емблемою, розпізнавальним знаком для учнів Піфагора. Відомо, що піфагорейський союз був одночасно філософською школою, політичною партією і релігійним братством. Згідно з легендою, один піфагорієць захворів на чужині і не міг перед смертю розплатитися з доглядають за ним господарем будинку. Останній намалював на стіні свого будинку зірчастий п'ятикутник. Побачивши через кілька років цей знак, інший мандрівний піфагорієць поцікавився про те, що трапилося у господаря і щедро його винагородив.

• Достовірних відомостей про життя і наукової діяльності Піфагора не збереглося. Йому приписується створення вчення про подібність фігур. Він, ймовірно, був серед перших учених, які розглядали геометрію не як практичну і прикладну дисципліну, а як абстрактну логічну науку.

У школі Піфагора було відкрито існування несумірних величин, т. Е. Таких, відношення між якими неможливо виразити ніяким цілим або дробовим числом. Прикладом може служити відношення довжини діагоналі квадрата до довжини його сторони, рівне Ц2. Число це не є раціональним (т. Е. Цілим або відношенням двох цілих чисел) і називається ірраціональним, тобто нераціональним (від латинського ratio - відношення).

тетраедр (Рис.1).

• тетраедр -четирехграннік, всі грані якого трикутники, тобто трикутна піраміда; правильний тетраедр обмежений чотирма рівносторонніми трикутниками; один з п'яти правильних багатокутників. (Рис.1).

• Куб або правильний гексаедр (Рис.2).

тетраедр -четирехграннік, всі грані якого трикутники, тобто трикутна піраміда; правильний тетраедр обмежений чотирма рівносторонніми трикутниками; один з п'яти правильних багатокутників. (Рис.1).

• тетраедр -четирехграннік, всі грані якого трикутники, тобто трикутна піраміда; правильний тетраедр обмежений чотирма рівносторонніми трикутниками; один з п'яти правильних багатокутників. (Рис.1).

• Куб або правильний гексаедр - правильна чотирикутна призма з рівними ребрами, обмежена шістьма квадратами. (Рис.2).

піраміда

• піраміда-многограннік, який складається з плоского многоугольніка- основа піраміди, точки, що не лежать в площині підстави-вершини піраміди і всіх відрізків, що з'єднують вершину піраміди з точками основи

На малюнку зображені п'ятикутна піраміда SABCDE і її розгортка. Трикутники, що мають спільну вершину, називають бічними гранямипіраміди; загальну вершину бічних граней - вершиноюпіраміди; багатокутник, якому не належить ця вершина, - підставоюпіраміди; ребра піраміди, сходяться в її вершині, - бічними ребрамипіраміди. Висотапіраміди - це відрізок перпендикуляра, проведеного через її вершину до площині підстави, з кінцями у вершині і на площині основи піраміди. На малюнку відрізок SO- висота піраміди.

• визначення . Піраміда, основа якої - правильний багатокутник і вершина проектується в його центр, називається правильною.

• На малюнку зображена правильна шестикутна піраміда.

Обсяги зернових комор та інших споруд у вигляді кубів, призм і циліндрів єгиптяни і вавилоняни, китайці та індійці обчислювали шляхом множення площі основи на висоту. Однак древньому Сходу були відомі в основному тільки окремі правила, знайдені дослідним шляхом, якими користувалися для знаходження обсягів для площ фігур. У більш пізній час, коли геометрія сформувалася як наука, була знайдена спільна підхід до обчислення обсягів багатогранників.

• Серед чудових грецьких вчених V - IV ст. до н.е., які розробляли теорію обсягів, були Демокріт з Абдери і Евдокс Кнідський.

• Евклід не застосовує терміна "обсяг". Для нього термін "куб", наприклад, означає і обсяг куба. В ХI книзі "Почав" викладені серед інших і теореми такого змісту.

• 1. Паралелепіпеди з однаковими висотами і рівновеликими підставами рівновеликі.

• 2. Ставлення обсягів двох паралелепіпедів з рівними висотами дорівнює відношенню площ їх підстав.

• 3. У рівновеликих паралелепіпедах площі підстав обернено пропорційні висот.

• Теореми Евкліда відносяться тільки до порівняння обсягів, так як безпосереднє обчислення обсягів тіл Евклід, ймовірно, вважав справою практичних посібників з геометрії. У творах прикладного характеру Герона Олександрійського є правила для обчислень об'єму куба, призми, паралелепіпеда і інших просторових фігур.

• Призма, основа якої - паралелограм, називається параллелепипедом.

• Відповідно до визначення паралелепіпед - це чотирикутна призма, всі грані якої - паралелограма . Паралелепіпеди, як і призми, можуть бути прямимиі похилими. На малюнку 1 зображено похилий паралелепіпед, а на малюнку 2 прямою паралелепіпед.

• Прямий паралелепіпед, підставою якого служить прямокутник, називають прямокутним параллелепипедом. У прямокутного паралелепіпеда всі грані - прямокутники. Моделями прямокутного паралелепіпеда служать класна кімната, цегла, сірникова коробка.

• Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що мають загальний кінець, називають його вимірами. Наприклад, є сірникові коробки з вимірюваннями 15, 35, 50 мм. Куб - прямокутний паралелепіпед з рівними вимірами. Всі шість граней куба - рівні квадрати.

• Розглянемо деякі властивості паралелепіпеда.

• Теорема. Паралелепіпед симетричний щодо середини його діагоналі.

• З теореми безпосередньо випливають важливі властивості паралелепіпеда:

• 1. Будь-який відрізок з кінцями, що належать поверхні паралелепіпеда і проходить через середину його діагоналі, ділиться нею навпіл; зокрема, всі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл. 2. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні