Pifagora teskari teoremasini isbotlang. "Teorem - pifage teoremasi" darsi
Pifagore teoremasi:
To'rtburchaklar uchburchakda katetaning kvadratlari yig'indisi gipotenuzning maydoniga teng:
a 2 + b 2 \u003d c 2,
- a. va b. - to'g'ri burchakni hosil qiladigan ildizlar.
- dan - uchburchak gipotenuse.
Pytagora teoreem formulalari
- a \u003d \\ SQRT (C ^ (2) - b ^ (2))
- b \u003d \\ sqrt (C ^ (2) - a ^ (2))
- c \u003d \\ sqrt (a ^ (2) + b ^ (2))
Pifagora teoremasini tasdiqlovchi hujjat
To'rtburchaklar uchburchakning maydoni formulada hisoblanadi:
S \u003d \\ FRAC (1) (2) ab
O'zboshimchalik bilan uchburchak formula maydonini hisoblash uchun:
- p. - yarim metr. P \u003d \\ frac (1) (2) (A + B + C),
- r. - radiusi yozilgan doiralar. Retangler uchun \u003d \\ FRAC (1) (2) (A + B-C-C).
Keyin biz ikkala formulalarning uchburchak maydoni uchun kerakli qismlarni tenglashtiramiz:
\\ FRAC (1) (2) AB \u003d \\ FRAC (2) (A + B + C) \\ FRAC (2) (A + B-C-C)
2 AB \u003d (A + B + C) (A + B-C)
2 AB \u003d \\ chap ((a + b) ^ (2) ^ (2) \\ o'ng)
2 AB \u003d A ^ (2) + 2AB + b ^ (2) ^ (2)
0 \u003d a ^ (2) + b ^ (2) -c ^ (2)
c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)
Pifagorean teskari teskari:
Agar uchburchakning bir tomonining kvadratida boshqa ikki tomonning kvadratlari yig'indisiga teng bo'lsa, unda uchburchak to'rtburchaklar. Ya'ni barcha uchta ijobiy sonlar uchun a, B. va c., shu kabi
a 2 + b 2 \u003d c 2,
urf-odatlar bilan to'rtburchaklar uchburchak mavjud a. va b. va gipotenuse c..
Pifagore teoremasi Evklid geometriyasining asosiy teoremalaridan biri, bu to'rtburchaklar uchburchak tomonlarning tomonlari o'rtasidagi nisbatni belgilaydi. U olim matematik va faylasuf pifage tomonidan tasdiqlangan.
Teoremaning qiymati Bunda, uning yordami bilan siz boshqa teoremalarni isbotlashingiz va muammolarni hal qilishingiz mumkin.
Qo'shimcha materiallar:
Pifagore teoremasi - Evklid geometriyasining asosiy teoremalaridan biri nisbati
to'rtburchaklar uchburchak tomonlari o'rtasida.
Yunon matematik pifagi, uning sharafiga va nomlangan sharafiga ishonishiga ishoniladi.
Pifagore teoremasini geometrik shakllantirish.
Dastlab, teorema quyidagicha shakllangan:
To'rtburchaklar uchburchakda gipotenuse asosida qurilgan maydonning kvadratida kvadratchalar kvadratlari yig'indisiga tengdir,
ratetlarda qurilgan.
Pifagore teoremasini algebraik shakllantirish.
To'rtburchaklar uchburchakda gipotenuse uzunligining kvadrati transport uzunligining kvadratlari yig'indisiga tengdir.
Ya'ni uchburchak gipotenusining uzunligini anglatadi c.va katetlarning uzunligi a. va b.:
Ikkala tahrir pytagora teoremalariekvivalent, ammo ikkinchi so'z ko'proq elementar, bu unday emas
hudud tushunchasini talab qiladi. Ya'ni, ikkinchi bayonotni tekshirish mumkin, bu hudud haqida hech narsa bilmaydi va
faqat to'rtburchaklar uchburchak tomonlarning uzunligini o'lchash.
Pifagore teskari teskari teskari.
Agar uchburchakning bir tomonining kvadratida boshqa ikki tomonning kvadratlari yig'indisiga teng bo'lsa, unda
uchburchak to'rtburchaklar.
Yoki boshqacha qilib aytganda:
Barcha uchta ijobiy raqamlar uchun a., b. va c., shu kabi
urf-odatlar bilan to'rtburchaklar uchburchak mavjud a. va b.va gipotenuse c..
Tenglangan uchburchak uchun pytagora teoremasi.
Teng bir tomonlama uchburchak uchun pytagora teoremasi.
Pifagore teoremasi isbotlari.
Ayni paytda ushbu boshlang'ich ilmiy adabiyotlarda 367 dagi dalillar qayd etildi. Ehtimol teorema
Pytagora, bunday ta'sirli bir qator dalillar bo'lgan yagona teorema. Bunday xilma-xillik
faqat geometriya teoremaining asosiy qiymati asosida tushuntirish mumkin.
Albatta, bu ularning barchasi oz sonli sinflarga bo'lish mumkin. Ularning eng mashhurlari:
dalil kosmos usuli, aksiomomik va ekzotik dalillar (masalan,
yordamida differentsial tenglamalar).
1. Bunday uchburchaklar orqali pifage teoremasini tasdiqlovchi dalil.
Algebraik tahrirlashning quyidagi dalillari qurilishdagi dalillarning eng soddaidir.
to'g'ridan-to'g'ri aksiomadan. Xususan, bu raqamning raqami tushunchasidan foydalanmaydi.
Bo'linmoq Shodlik To'g'ri burchakli to'rtburchaklar uchburchak mavjud C.. Keling, balandlikni o'tkazamiz C. Va belgilanadi
uning orasidagi asos H..
Uchburchak ACH. Uchburchak kabi AbC ikki burchak uchun. Xuddi shunday, uchburchak Sof O'xshash Shodlik.
Notaga kirish:
biz olamiz:
,
nimaga mos keladi -
Mos keladigan a. 2 I I. b. 2, biz olamiz:
yoki buni isbotlash uchun talab qilinadi.
2. Viloyat sohasi bo'yicha piftore teoremani isbotlash.
Quyida, dalillar, ularning soddaligiga qaramay, unchalik oddiy emas. Ularning hammasi
hududning xususiyatlaridan foydalaning, uning dalillari pifagora o'zini teoremasining isboti bilan yanada murakkablashadi.
- Tustallullitlik orqali dalil.
To'rt to'rtburchaklar
rasmda ko'rsatilgandek uchburchak
o'ng tomonda.
Qo'riqchi c. - kvadrat,
90 °, va
aNGLET - 180 °.
Butun rasmning maydoni bir tomondan,
kvadrat maydoni ( a + B.va boshqa tomondan, to'rtburchaklar maydoni va
Q.E.D.
3. Pifagore teoremani cheksiz kichik usulda isbotlang.
Rasmda ko'rsatilgan rasmni hisobga olgan holda va
yon tomonni o'zgartirishni kuzatisha., Biz qilolamiz
cheksiz uchun quyidagi nisbatni yozib oling
kichkina yon tomonlarning o'sishidan va a. (Sekoransdan foydalanish
uchburchaklar):
O'zgaruvchan ajratish usulidan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:
Ikkala katetani ko'paytirishda gipotenussiyani o'zgartirish uchun umumiy ifoda:
Ushbu tenglamani birlashtirish va dastlabki shartlar yordamida biz quyidagilarni olamiz:
Shunday qilib, biz kerakli javobga kelamiz:
Ko'rish qiyin emasligi sababli, yakuniy formulaga kvadrat bog'liqlik chiziqli nuqta tufayli paydo bo'ladi
uchburchakning yon tomonlari va o'sishning tomonlari o'rtasidagi, summani mustaqil ravishda bog'liq
turli katetaning o'sishi.
Agar biz katetlardan biri o'sishni boshdan kechirmasa, yanada sodda dalillarni olish mumkin
(Bu holda katat b.). Keyin, integratsiya doimiyligi uchun biz olamiz:
Van der Xardenning so'zlariga ko'ra, umuman, bu ulushi miloddan avvalgi XVIIII asr yaqinida Bobilda ma'lum bo'lgan bo'lishi mumkin. e.
Miloddan avvalgi 400 mil. E. Probeanga ko'ra, Aflotun algebra va geometriyani birlashtirgan pifagora TROKni topish usulini berdi. Miloddan avvalgi 300 yilda. e. Evklideiya boshida pifagoreo teoremoning eng qadimgi dalillari paydo bo'ldi.
Shakllantirish
Asosiy shakllanish tarkibida katetalar bir xil bo'lgan to'rtburchaklar uchburchakda joylashgan A (\\ displeysty a) va B (\\ displeystle b)Va gipotenuslarning uzunligi - C (\\ displeystle c)Nisbati tugallanadi:
.To'rtburchaklar uchburchak kontseptsiyasiga murojaat qilish mumkin: Rethotenuse-da qurilgan maydonning maydonining kvadratining kvadratining kvadratining kvadratining kvadratining kvadratining maydoniga tengdir. Ushbu shaklda teorema Evklididiyaning boshida shakllanadi.
Pytagora teskari teskari teskari - munosabatlar bilan bog'liq bo'lgan tomonlarning uzunligi, uchburchakning uzunligi rurnanglarini tasdiqlash a 2 + b 2 \u003d C 2 (\\ displeysty A ^ (2) + b ^ (2) \u003d C ^ (2)). Natijada uchta ijobiy raqamlar uchun A (\\ displeysty a), B (\\ displeystle b) va C (\\ displeystle c), shu kabi a 2 + b 2 \u003d C 2 (\\ displeysty A ^ (2) + b ^ (2) \u003d C ^ (2)), Urf-odatlar bilan to'rtburchaklar uchburchak mavjud A (\\ displeysty a) va B (\\ displeystle b) va gipotenuse C (\\ displeystle c).
Dalil
Ilmiy adabiyotlar pifagora teoremasi haqida kamida 400 ta dalil qayd etdi, bu geometriya va natijaning boshlang'ichligi sifatida izohlanadi. Uchburchak elementlararo munosabatlarning asosiy yo'nalishlari: masalan, o'xshashlik usuli, kosmos usuli, shuningdek, bo'shliq usuli, shuningdek, turli xil ekzotik dalillar mavjud (masalan, differentsial tenglamalardan foydalanish).
Bunday uchburchaklar orqali
Evklidning klassik dalillari kvadratning migratsiyasidan tashkil topgan to'rtlikni, gipotenurning migratsiyasidan yuqori gipotenuraning yuqori burchagi balandligi bilan urf-odatlar bilan teng bo'lgan.
Isbot uchun ishlatiladigan dizayn quyidagicha: to'g'ri burchakli to'rtburchaklar uchburchak uchun C (\\ displeystle c), gipotenuse orqali urf-odatlar va kvadratlar ustidan kvadratlar A b i k (\\ displeylar turkori) Qurilgan balandlik C h (\\ displeystle C) va uning nurini davom ettirish S (\\ displeystle s), ikki to'rtburchakli gipotenur ustidan maydonni buzish va. Dalillar to'rtburchaklar maydonining tengligini o'rnatishga qaratilgan A h j k (\\ displeystle AhJk) Kattarada to'rtburchaklar A c (\\ displeystle AC); Ikkinchi to'rtburchak maydonining gipotenuzi yuqori bo'lgan kvadratni, boshqa kati ustiga to'rtburchaklar bir xil tarzda o'rnatiladi.
To'rtburchaklar sonining tengligi A h j k (\\ displeystle AhJk) va A c e d (\\ displey ulangan) Uchburchaklarning muvofiqligi orqali o'rnatilgan △ A c k (\\ ashage \\ uchburchak ACK) va △ a b d (\\ displey \\ uchburchagi abd), har birining maydoni kvadrat maydoniga teng A h j k (\\ displeystle AhJk) va A c e d (\\ displey ulangan) Shunga ko'ra, quyidagi mulk tufayli: uchburchak maydoni uchburchaklar maydoniga teng, agar raqamlar umumiy partiya bo'lsa va uchburchakning balandligi to'rtburchakning boshqa tomoni hisoblanadi. Uchburchaklar orasida ikkala tomonning tengligi (kvadratlarning yon tomonlari) va ular orasidagi burchakdan (kvadratlarning yon tomonlari) A (\\ displeysty a).
Shunday qilib, dalilni to'rtburchaklardan tashkil topgan gipotenuse balandligi isbotini belgilaydi A h j k (\\ displeystle AhJk) va B h j i (\\ displeyStle bhji)urf-odatlar uchun kvadratlar yig'indisiga tengdir.
Gold Leonardo da Vinchi
Leonardo da Vinchi ning dalillari maydonning maydoniga topildi. To'rtburchaklar uchburchak △ a b c (\\ displeyStle \\ uchburchagi ABC) To'g'ridan-to'g'ri burchak bilan C (\\ displeystle c) va kvadratlar A c e d (\\ displey ulangan), B c f g (\\ displeystle BCFG) va A b h j (\\ displey abhJ) (Rasmga qarang). Ushbu dalilda yon tomonda H j (\\ displeystle HJ) Ikkinchisi tashqi tomonda uchburchak, mos keladi △ a b c (\\ displeyStle \\ uchburchagi ABC)Bundan tashqari, gipotenuslarga nisbatan ham, nisbatan balandliklarga nisbatan ham (ya'ni J i \u003d b c (\\ displeystle ji \u003d milya) va H i \u003d a c (\\ displeystle salom \u003d AC)). To'g'riga C i (\\ displeystle CI) gipotenuse ustiga ikkita teng qismga o'rnatilgan maydonni buzadi, chunki uchburchaklar △ a b c (\\ displeyStle \\ uchburchagi ABC) va △ j u (\\ abuseStyle \\ uchburchak JHI) binoga teng. Dalil tug'ilishning muvofiqligini belgilaydi C a j i (\\ displeyStle caji) va D a b g (\\ displeystle DABG)Har birining maydoni bir tomonda katakchalar kvadratlarining yarmiga va asl uchburchakning maydonining yarmiga teng bo'lib, boshqa tomondan, kvadratning yarmi gipotenuse va originagning maydoni. Jami, kategoriyalar bo'yicha kvadratlar kvadratlarining yarmi maydonning maydonining yarmiga teng, bu pifagores teoremasini geometrik shakllantirishga teng bo'lgan gipotenuze.
Cheksiz kichik usulda isbot
Differentsial tenglamalar texnikasiga murojaat qiladigan bir nechta dalillar mavjud. Xususan, tog 'dagidek, katetlarning mayda o'sishidan foydalangan holda, dalilga bog'liq A (\\ displeysty a) va B (\\ displeystle b) va gipotenuslar C (\\ displeystle c)va o'xshash to'rtburchaklar bilan, ya'ni turli xil diniy munosabatlarni ta'minlash:
d a d c \u003d c a (\\ displeystle (dc) \u003d (c) (a))), d b d c \u003d c b (\\ displeystle (dc) (dc) \u003d (b)))).Turli xil elementlarni ajratish orqali farqlanadigan differentsial tenglama olinadi c d c \u003d a d a + b d b (\\ displeystle c \\ dor \u003d \\, da + b \\, db)ularning integratsiyasi nisbati C 2 \u003d a 2 + b 2 + c o n s t (\\ displstle c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2) + \\ Mathrm (CONS)). Dastlabki shartlarni qo'llash A \u003d b \u003d c \u003d 0 (\\ displeystle a \u003d b \u003d c \u003d 0) 0 sifatida doimiy ravishda aniqlanadi, natijada teorema bayonotiga olib keladi.
Yakuniy formulaga kvadrat bog'liqlik uchburchak tomonlar va o'sish tomonlari o'rtasidagi chiziqli nisbatlar tufayli, miqdori turli katetaning o'sishi mustaqil omonatlar bilan bog'liq.
Variantlar va umumlashmalar
Uch tomondagi shunga o'xshash geometrik shakllar
Pifagore teoromini muhim geometrik umumlashtirish "Boshlash" dagi "boshlang'ich" dagi maydonlarning samaralarini kesib o'tgan kvadratlarning maydonlari: Catetes-da o'rnatilgan maydonlarning maydonlarini kesib o'tishi mumkin bo'lgan maydonlarning maydoniga teng bo'ladi Gipotenusega o'xshash rasm.
Ushbu umummilliyaning asosiy g'oyasi shundaki, bunday geometrik shaklning maydoni har qanday chiziq o'lchamidagi va xususan, har qanday tomonning uzunligi uchun mutanosibdir. Natijada, shunga o'xshash shakllar uchun kvadratlar bilan A (\\ displeysty a), B (\\ displeystle b) va C (\\ displeystle c)Uzunligi bilan sozlash uchun qurilgan A (\\ displeysty a) va B (\\ displeystle b) va gipotenuse C (\\ displeystle c) Shunga ko'ra, nisbati:
A a 2 \u003d b 2 \u003d c c c 2 a \u003d a 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C (A \\ FRACSSTLANC)) \u003d (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) ^ (2))) \u003d (c \\ frac (c ^ (2))) \\, ligrown \\, a + b \u003d (a + b \u003d (2))) (C ^ (2))))) + (\\ Frac (b ^ (2)) (C ^ (2))) c).Pifagora teoremasi a 2 + b 2 \u003d C 2 (\\ displeysty A ^ (2) + b ^ (2) \u003d C ^ (2)), keyin bajarildi.
Bundan tashqari, agar pytagora teoremasini jalb qilmasdan amalga oshirilsa, to'rtburchaklar uchburchakning yon tomonlarida joylashgan uchta geometrik raqamlar uchun bu nisbat amalga oshirildi A + b \u003d c (\\ displeystle a + b \u003d c)Evklidning umumxashashini isbotlashning teskari zarbasidan foydalanib, pifagora teoremasi tasdiqlanishi mumkin. Masalan, agar gipotenuse-da rentabelulyar uchburchaklar uchburchagi maydonini qurish uchun C (\\ displeystle c)va toifalar bo'yicha - ikkita o'xshash to'rtburchaklar uchburchaklar kvadratchalar A (\\ displeysty a) va B (\\ displeystle b)Shuni ta'kidlanishicha, ro'mollar uchburchaklari uning balandligi boshlang'ich uchburgini ajratish natijasida hosil bo'ladi, ya'ni uchburchaklarning ikki kichik joylarining yig'indisi uchinchi o'ringa tengdir A + b \u003d c (\\ displeystle a + b \u003d c) Va bunday raqamlar uchun nisbatni qo'llash, pifagora teoremasi ko'rsatiladi.
Kosinus teoremasi
Pifagoreo teoremasi - bu tomonlarning uzunligini o'zboshimchalik bilan uchburchagida bog'laydigan ko'proq umumiy kosine teoremaning alohida holatidir:
a 2 + b 2 - 2 a b cos li th \u003d c 2 a ^ (2) + b ^ (2) ^ (2) \\ cos \u003d c ^ (2)),qayerda - tomonlar orasidagi burchak A (\\ displeysty a) va B (\\ displeystle b). Agar burchak 90 ° bo'lsa, unda cos \u2061 th \u003d 0 (\\ displey \\ cos \\ eta \u003d 0)Va formulani odatdagi pifagoreo teoremasiga soddalashtirilgan.
O'zboshimchalik bilan uchburchak
Faqat tomonlarning uzunliklarining nisbati bilan ishlayotgan o'zboshimchalik uchburchagi bo'yicha pifagora teoremasi umumlashtiradi, deb ishoniladi, bu birinchi bo'lib Sabit Astroner Sobit Ibn Kururi tomonidan tashkil etilgan. Unda o'zboshimlaridagi o'zboshimchalik uchburchagi uchun, o'zgaruvchan uchburchak yon tomondagi bazaga kirib boradi C (\\ displeystle c), asl uchburchakning yuqori qismiga, qarama-qarshi tomonning yuqori qismiga to'g'ri keladigan verorx C (\\ displeystle c) va bazaning burchakka teng burchaklar th (\\ displeySty \\ theta), qarama-qarshi tomon C (\\ displeystle c). Natijada, ikkita uchburchak shakllantirilgan, asl nusxaga o'xshash: birinchi bo'lib partiyalar bilan A (\\ displeysty a), ko'tarilgan uchburchak bilan yozilgan va boshqa tomonning uzun tomoni va R (\\ displeystle r) - qism qismlari C (\\ displeystle c); Ikkinchisi Unga nosimmetrik jihatdan B (\\ displeystle b) yon tomondan S (\\ displeystle s) - qismning mos qismidir C (\\ displeystle c). Natijada, munosabat: munosabatlar:
a 2 + b 2 \u003d c (r + s) (\\ displey a ^ (2) + b ^ (2) \u003d c (r + s)),pifagora teoremasiga yomonlashtiring th \u003d p / 2 (\\ displey \\ toa \u003d \\ pi / 2). Nisbati hosil bo'lgan uchburchaklarning o'xshashligi.
Ca \u003d arb \u003d bs ⇒ 2 A 2 + B 2 (\\ FracStyt (a)) \u003d (r) (r)), (\\ frac (c)) (b)) \u003d (\\ frac (s)) \\, cra + cs \u003d a ^ (2) + b ^ (2)).Kvadratlarda Papa teoremasi
Neevkliidova Geometriya
Pifagoreo teoremasi Exlid geometriyasining aksiomaidan olingan va bolalar bo'lmagan geometriya uchun yaroqsiz - pifagore teoredi teoremoning plateliga nisbatan postulyar postulyatsiyasiga teng.
Bodon bo'lmagan geometriyada, to'rtburchaklar uchburchak tomonlarning tomonlari orasidagi nisbat pifagore teoremasidan boshqa shaklda bo'lishi mumkin. Masalan, sferik geometriyada, bitta sohani cheklaydigan to'rtburchaklar uchburchakning uch qismi uzunligi p / 2 (\\ displeyStyle \\ pi / 2)bu pifagore teoremasiga ziddir.
Bunday holda, pifagora teoremasi giperbolik va elliptik geometriyada amal qiladi, agar uchburchak to'rtburchakning talabi ikki uchburchak burchakning yig'indisi uchinchi o'ringa teng bo'lishi kerakligi sharti bilan almashtirilishi kerak.
Sferik geometriya
Radiusi sohasidagi har qanday to'rtburchaklar uchun R (\\ displeystle r) (masalan, uchburchakda burchak to'g'ri bo'lsa) tomonlar bilan A, b, c (\\ displey a, b, c) Tomonlar o'rtasidagi nisbat quyidagicha:
Cos \u2061 (c r) \u003d cos ḍ (b R) (\\ displeystle \\ cos \\ chap (r) (r)) \\ To'g'ri) \u003d \\ cos \\ qoldi ((\\ FRAC (a) (R)) \\ o'ngda) \\ cdot \\ cos \\ chap ((b) (r)) \\ o'ngda)).Ushbu tenglik barcha sharsimon uchburchaklar uchun amal qiladigan sharsimon kosine teoremaning alohida holati sifatida olinishi mumkin:
Cos \u2061 (c r) \u003d cos \u2061 (a r) ⋅ cos (a r) ⋅ cos (a r) ↓ (A r) ⋅ Cos ḍ (c) (r) ) \\ To'g'ri) \u003d Los \\ chap (r) (r) (r) (r)) \\ CDOT \\ Cos \\ chap ((\\ frac (b)) \\ \u200b\u200bo'ng) + \\ GR \\ chap (( \\ Frac (A) (R)) \\ To'g'ri) \\ CDOT \\ Sin \\ chap (r) (r)) \\ sdot \\ cos \\ GAMma). Ch \u2061 c \u003d c ch \u2061 A ⋅ ch ⋅ c b l d b by (CH) C \u003d \\ \\ Operatorname (CH) A \\ CDOT \\ Operatornamne (CH) b),qayerda Ch (\\ displeyStyle \\ Operatorname (Ch)) - giperbolik kosine. Ushbu formula - bu barcha uchburchaklar uchun amal qiladigan giperbolik kosine teoremaning alohida holatidir:
Ch \u2061 c \u003d C Ch ∴ B cos Cos cos Cos cos Cos cos Cos cos Cos Cos c c \u003d \\ CDOT \\ Operatannamnamu (Sh) A \\ CDOT \\ Operatornam (Sh) b \\ cdot \\ cos \\ gamma),qayerda g (\\ displeystle \\ gamma) - Vertexning yon tomoniga qarama-qarshi burchak C (\\ displeystle c).
Giperbolik kosin uchun bir qator taylordan foydalanish ( Ch \u2061 x ≈ 1 + x 2/2 (\\ displeyStyn \\ Operatorname (CH) X \\ Taxminan 1 + X \\ ^ (2) / 2)) Agar giperbolik uchburchagi pasaysa (ya'ni qachon A (\\ displeysty a), B (\\ displeystle b) va C (\\ displeystle c) Ular nolga intilishadi), keyin to'rtburchaklar uchburchaklardagi giperbolik munosabatlari klassik pifagining klassikasining klassikasining nisbatiga yaqinlashmoqda.
Ariza
Ikki o'lchovli to'rtburchaklar tizimlarda masofa
Pifagora teoremasidan eng muhim foydalanish - bu to'rtta nuqta orasidagi masofani to'rt ochko masofasini aniqlashdir: masofa S (\\ displeystle s) koordinatalar bilan (A, b) (\\ displeystle (A, B)) va (C, d) (\\ displeystle (C, D)) bir xil darajada:
S \u003d (a - c) 2 + (B - D) 2 (\\ displeysty s \u003d ((A-C) ^ (2) + (2) ^ (2))))))) ".Kompleks raqamlar uchun pifagorea teoremasi murakkab o'rnatilgan modulni topish uchun tabiiy formulani beradi z \u003d x + y i (\\ displeystle z \u003d x + yi) Bu uzunlikka teng
Mavzu: Teorema, teskari verorora.
Maqsadlar dars: 1) Theorem teoragora teoremasini ko'rib chiqing; muammolarni hal qilish jarayonida foydalanish; Pifagora teoremasini tuzating va muammolarni o'zidan foydalanish uchun muammolarni hal qilishda ko'nikmalarni yaxshilash;
2) mantiqiy fikrlash, ijodiy qidiruv, kognitiv qiziqishlarni rivojlantirish;
3) talabalarni ta'limotlarga mas'uliyatli munosabat bilan tarbiyalash, matematik nutq madaniyati.
Dars turi. Yangi bilimlarni assimilyatsiya qilish.
Sinflar davomida
І. Tashkiliy vaqt
ІІ. Amal qilish Bilim
Men darsbo'lardimen xohlardimkasonraj bilan boshlang.
Ha, bilim yo'lidan xursand emas
Ammo biz maktab yillaridan bilamiz,
Ahmoqlar tasvirdan ko'proq
Va chegarani qidirish yo'q!
Shunday qilib, o'tmishda siz pifage teoremasini o'rgangan dars. Savollar:
Pytagora teoremasi qaysi rasm uchun amal qiladi?
To'rtburchaklar qanday uchburchak deb ataladi?
Pifage teoremasini shakllantiring.
Har bir uchburchak uchun pifagora teoremasi qanday yoziladi?
Qaysi uchburchaklar deb nomlanadi?
Trianllarning tengligi alomatlari so'zmi?
Va endi biz kichik mustaqil ish olib boramiz:
Tarkibga ko'ra vazifalarni hal qilish.
№1
(1 b) Topildi: AV.
№2
(1 b) Topish: Quyosh.
№3
( 2 b)Topish: AC.
№4
(1 b.)Topish: AC.
№5 Dano: ABCD. romb
(2 b.) AV \u003d 13 sm
AC \u003d 10 sm
TopingD.
O'z-o'zini tekshirish 1. beshta
№2. 5
№3. 16
№4. 13
№5. 24
ІІІ. O'rganish Yangi materiallar.
Qadimgi misrliklar shu tarzda to'g'ri burchaklarni qurdilar: ular 12 ta teng qismlarda g'alla bilan bog'lanishdi, shundan so'ng arqon 3, 4 va 5 ta bo'linmalar tomoni bilan arqon tarqaladi. . 5 ta bo'linma bilan yonma-yon joylashgan uchburchak burchagi to'g'ri edi.
Ushbu hukmning to'g'riligini tushuntirib bera olasizmi?
Savolga javob qidirish natijasida talabalar savol matematik nuqtai nazardan savolni quyidagilar o'rnatilishini tushunishlari kerak: uchburchak to'rtburchaklar bo'ladimi.
Biz muammoni hal qildik: qanday o'lchovsiz, belgilangan tomonlar bilan uchburchaklar bilan uchburchaklar bilan uchburchaklar mavjudligini aniqlaydi. Ushbu muammoning echimi darsning maqsadi.
Mavzuni darsini yozing.
Teorema. Agar uchburchakning ikki tomonining kvadratlarining yig'indisi uchinchi tomon maydoniga teng bo'lsa, unda bunday uchburchak to'rtburchaklar.
Mustaqil ravishda teoremani isbotlang (darslik uchun hujjatni tuzish rejasini tuzing).
Ushbu boshlang'ichdan yuqoriga ko'ra, uchburchaklar 3, 4, 5 to'rtburchaklar (misrlik).
Umuman olganda, tenglik amalga oshiriladigan raqamlar , Pytagora tronika deb nomlang. Va uning yon tomonlarining uzunligi (6, 8, 10), - pytagora uchburchalari tomonidan uchburchaklar.
Mahkamlash.
Chunki , keyin 12, 13, 5 tomon bilan uchburchak to'rtburchaklar emas.
Chunki , keyin 1, 5, 6 tomonlar bilan uchburchak to'rtburchaklar.
№ 430 (a, b, b)
( - emas)
Maqsadlar dars:
O'quv: pifagora va teorema, teskari pifeo teoremasi hosilini shakllantirish va isbotlash. Ularning tarixiy va amaliy ahamiyatini ko'rsating.
Rivojlanayotgan: talabalarni diqqat, xotira, mantiqiy tafakkur qilish, mulohaza qilish qobiliyatini, taqqoslash, taqqoslash, taqqoslash.
Rising: Mavzu, aniqlik, aniqlikka, o'rtoqlar va o'qituvchilarni tinglash qobiliyatiga o'rgatish.
Uskunalar: Pifagora, konsolidatsiya qilish uchun topshiriqlar bo'lgan platettura, "Geometriya" darsligi 7-9 darslik (I.F. SHARARin).
Dars rejasi:
I. TAShKENT MARKAZI - 1 daqiqa.
II. Uy vazifasini tekshirish - 7 min.
III. O'qituvchining kirish so'zi, tarixiy qo'llanma - 4-5 daqiqa.
IV. Patigore teoremasi so'zi va dalillari 7 minut.
V. Teoremning so'zlari va isboti, pifagora teormi - 5 minut.
Yangi materialni mahkamlash:
a) og'zaki - 5-6 min.
b) Yozish - 7-10 daqiqa.
VII. Uy vazifasi - 1 daqiqa.
VIII. Darsni sarhisob qilish - 3 min.
Sinflar davomida
I. TAShKENT.
II. Uy vazifangizni tekshiring.
3.1.1.1 № 3 (Tayyor chizilgan taxtalarda).
Ahvoli: To'rtburchaklar uchburchakning balandligi uzunligi 1 va 2. 2 uchburchakning katetasini topadi.
Bc \u003d a; Ca \u003d b; Ba \u003d c; Bd \u003d a 1; Da \u003d B 1; CD \u003d H C
Qo'shimcha savol: munosabatlarni to'rtburchaklar uchburchakda yozing.
3.1.1.1-sonli to'rtburchaklar uchburchakni uchta o'xshash uchburchakka kesib oling.
Tushuntiring.
Astn ~ abc ~ sn
(talabalarning e'tiborini bunday uchburchaklarning tegishli vertikasini yozib olishning to'g'riligiga torting)
III. O'qituvchining kirish so'zi, tarixiy qo'llanma.
Doimiy haqiqat, zaif kishi uni bilishi bilanoq bo'ladi!
Endi pifagora teoremasi o'zining uzoq yoshidagi kabi haqiqatdir.
Bu men darvozabon-ro Shamisso so'zlaridan darsimni men ham boshlaganim tasodif emas edi. Bizning darsimiz bugun pifagora teoremasiga bag'ishlangan. Darsning mavzusini yozamiz.
Sizdan oldin buyuk pifagorean portreti. Miloddan avvalgi 576 yilda tug'ilgan. 80 yil yashab, 496 yilda bizning davrimizda vafot etdi. Qadimgi yunon faylasufi va o'qituvchisi sifatida tanilgan. U uni safarlarida tez-tez olib ketgan "Saverman" ning o'g'li edi, chunki bolaning sharti va yangi ekanligini bilish istagi bor edi. Pifagoras - bu notiqlik uchun berilgan laqab ("pifagoralar" "Men nutqman" degan ma'noni anglatadi. Uning o'zi hech narsa yozmadi. Uning barcha fikrlari shogirdlarini yozib qo'ydi. Birinchi ma'ruza natijasida pytagora 2000 nafar talaba sotib olgan, ularda xotinlari va bolalari bilan birgalikda juda katta maktabni tashkil etgan va Pifagora qoidalariga asoslangan "buyuk Gretsiya" deb nomlangan davlatni yaratdi. Amrlar. U birinchi bo'lib falsafa (Lyublomatriy) hayotining ma'nosi to'g'risida mulohaza yuritgan edi. Xulq-atvorda mistratatsiya va namoyish qilishga moyil edi. Bir marta, pifagoralar er osti yashirdi va onaning hamma narsa sodir bo'ldi. Keyin, u Skelet sifatida qurib qolganda, u Odamlar majlisida, er yuzidagi voqealardan hayratlanarli darajada xabardorligini ko'rsatdi. Bu ta'sirli rezidentlar uni Xudo deb tan olishdi. Pifagoralar hech qachon yig'lamadi va odatda ehtiroslar va hayajon bilan tanishtirildi. Bu urug'dan kelib chiqqaniga, inson bilan eng yaxshi tarzda. Pifagora hayotining butun hayoti bizning vaqtimizga kelgan va qadimgi dunyoning iste'dodli odami haqida gapirib bergan afsonadir.
IV. Pifagore teorema so'zi va isboti.
Pifagore teoremani shakllantirish algbba kursidan ma'lum. Eslaylik.
To'rtburchaklar uchburchakda gipotenuse kvadrat katetlarning kvadratlari yig'indisiga tengdir.
Biroq, bu nazariyani pifagoradan oldin ko'p yillar oldin bilar edi. Qadimgi misrliklar pifhagoradan 1500 yil oldin, uchburchaklar bilan uchburchaklar to'rtburchaklar ekanligini bilishgan va er uchastkalari va qurilish binolarini rejalashtirishda ushbu mol-mulkni qurishgan. Pifagoradan 600 yil o'tgach, biz uchun eng qadimgi davrlarda, pifagoradan 600 yil ichida yozilgan Xitoyning matematik-astronomiy inshoni, to'rtburchaklar uchburchak bilan bog'liq boshqa takliflar qatorida Pytagora teoremasini o'z ichiga oladi. Avvalroq, bu teorm hindular bilan tanish edi. Shunday qilib, pifagoralar to'rtburchaklar uchburchakning bu xususiyatini ochmadi, ehtimol u birinchi bo'lib uni umumlashtirish va isbotlash, ilm-fan amaliyotidan tarjima qilingan.
Matematikaning chuqur antik davrida pifagoreo teoremoning tobora ko'proq dalillari topilgan. Ular bir yarim yuzdan ortiq. Algagora teoremaning algegra teoremani isbotlaylik, algebra yo'lidan bizga ma'lum. ("Matematik. Vazifalar. Ma'lumot tahlili. Ma'lumot tahlili" G.V. Dorofeev, M., "DROG", 2000 g).
Talabalarni chizish uchun dalilni eslab qolish va uni taxtaga yozishni tavsiya eting.
(a + b) 2 \u003d 4 · 1/2 a * b + c 2 b a
a 2 + 2a * b + b 2 \u003d 2a * b + c 2
a 2 + b 2 \u003d c 2 a a b
Ushbu mulohazaga ega bo'lgan qadimiy hindular odatda qayd etilmadi va faqat bitta so'z bilan chizilgan rasmlar hamroh bo'lishdi.
Zamonaviy taqdimotda pifagoraga tegishli dalillardan birini ko'rib chiqing. Dars boshida biz to'rtburchaklar uchburchakdagi nisbatlar to'g'risida nazariyani esladik:
h 2 \u003d a 1 * b 1 a 2 \u003d a 1 \u003d b 1 *
Yaqinda yaqinda ikkita tenglikni harakatga keltiradi:
b 2 + A 2 \u003d B 1 * C + A 1 * C \u003d (B 1 + A 1) * C 1 \u003d C 1 \u003d C 1; A 2 + b 2 \u003d c 2
Ushbu dalillarning soddaligiga qaramay, bu eng sodda emas. Axir, buning uchun balandligi to'rtburchaklar uchburchakda o'qish va bunday uchburchaklarni ko'rib chiqish kerak edi. Yozing, iltimos, bu daftarda isbotlanadi.
V. Teoremning so'zlari va dalillari, pifagor teskari teskari teskariy.
Bunga teskari teskari deb nomlanadi? (... holat va xulosani o'zgartirish joylari bo'lsa.)
Endi kuzatib boraylik, teorge pifagoreo teoremasini tuzishga harakat qilaylik.
Agar tomonlari bilan uchburchak a, b va C tenglik bilan amalga oshirilsa, C 2 \u003d a 2 + b 2, keyin bu uchburchak to'rtburchaklar va to'g'ri burchakka qarshi.
(Afishada teskari teoremaning isboti)
Abc, quyosh \u003d a,
AC \u003d b, va \u003d s.
a 2 + b 2 \u003d c 2
Isbotlamoq
Abc - to'rtburchaklar,
Dalillar:
1 C 1da to'rtburchaklar uchburchagini ko'rib chiqing,
qaerda 1 \u003d 90 ° va 1 s 1 \u003d a va 1 s 1 \u003d b.
Keyin, pytagora teoremasiga ko'ra 1 a 1 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d c 2.
Ya'ni, 1 a 1 \u003d C 1 C 1 \u003d ABC uchta partiyaning ABC - to'rtburchaklar uchun
C \u003d 90 °, uni isbotlash uchun talab qilinadi.
VI. Tayyorlangan materialni (og'zaki) mahkamlash.
1. Tayyorlangan rasmlar bilan afishada.
|
|
|
1-rasm: Agar CD \u003d 8 bo'lsa, va \u003d 30 ° bo'lsa.
Frec.2: Agar biz \u003d 5 bo'lsa, biz \u003d 5, waway \u003d 45 ° ni joylashtiring.
3-rasm: Quyosh \u003d 17, reklama \u003d 16 bo'lsa, VD ni toping.
2. Agar uning tomonlari raqamlar tomonidan ifodalangan bo'lsa, uchburchakli uchburchaklar:
5 2 + 6 2? 7 2 (Yo'q) |
9 2 + 12 2 \u003d 15 2 (Ha) |
15 2 + 20 2 \u003d 25 2 (Ha) |
So'nggi ikkita holatda eng kuchli uchta raqam nima? (Pifagoralar).
VI. Vazifalarni hal qilish (yozish).
№ 9. Bir tomonlama uchburchakning yon tomoni a ga teng. Bu uchburchakning balandligini, deyilgan doirasi, yozilgan doiraning radiusi tasvirlangan doira radiusi.
№ 14. To'rrangu uchburchakda aylana radiusi gipotenuze uchun o'tkazilgan medianga tengdir va gipotenuse yarmiga teng.
VII. Uy vazifasi.
7.1-band, 175-177-band, 7.4 (O'rtacha pifagora teoremasi), №2, № 4 (og'iz orqali).
VIII. Dars natijalari.
Bugun darsda qanday yangilikni bilasiz? ............
Pifagoralar birinchi navbatda faylasuf edi. Endi men uning ba'zi cheklarini o'qishni, tegishli va biz uchun biz uchun bizning davrimizda.
- Hayot yo'lida chang ko'tarmang.
- Keyinchalik, keyinchalik sizni xafa qilmaydi va tavba qilmaydi.
- Siz bilmagan narsani qilmang, lekin nimani bilishingiz kerakligini bilib oling, shunda siz tinch hayot kechirasiz.
- Uxlamoqchi bo'lganimda ko'zingizni yummang, barcha harakatlaringizni o'tgan kuningizni ko'tarmang.
- Faqatgina va hashamatsiz yashash uchun davom eting.
