Integrallarning eng oddiy xossalari. Noaniq integralning asosiy xossalari Biz "integral" tushunchasini o'rganamiz.

Integrallarni yechish oson ish, lekin faqat tanlanganlar uchun. Ushbu maqola integrallarni tushunishni o'rganmoqchi bo'lganlar uchun, lekin ular haqida hech narsa yoki deyarli hech narsa bilmaydi. Integral ... Nima uchun kerak? Uni qanday hisoblash mumkin? Aniq va noaniq integrallar nima?

Agar siz biladigan yagona integraldan foydalanish qiyin bo'lgan joylardan foydali narsalarni integral piktogramma shaklida to'qish bilan to'qish bo'lsa, xush kelibsiz! Matematikada elementar va boshqa integrallarni yechish usullarini va nima uchun usiz ishlamasligingizni bilib oling.

Kontseptsiyani o'rganish « integral »

Integratsiya qadimgi Misrdan beri ma'lum. Albatta, zamonaviy shaklda emas, lekin hali ham. O'shandan beri matematiklar bu mavzuda ko'plab kitoblar yozdilar. Ayniqsa, o'zlarini ajralib turishdi Nyuton va Leybnits lekin narsalarning mohiyati o'zgarmadi.

Integrallarni noldan qanday tushunish mumkin? Bo'lishi mumkin emas! Ushbu mavzuni tushunish uchun siz hali ham hisoblash asoslari bo'yicha asosiy bilimga ega bo'lishingiz kerak. Bizning blogimizda integrallarni tushunish uchun zarur bo'lgan ma'lumotlar allaqachon mavjud.

Noaniq integral

Aytaylik, bizda qandaydir funksiya bor f (x) .

Funktsiyaning noaniq integrali f (x) bunday funktsiya deyiladi F (x) hosilasi funktsiyaga teng f (x) .

Boshqacha qilib aytganda, integral teskari hosila yoki antiderivativdir. Aytgancha, bizning maqolamizda qanday qilib o'qing.

Antiderivativ barcha uzluksiz funktsiyalar uchun mavjud. Shuningdek, konstanta belgisi ko'pincha antiderivativga qo'shiladi, chunki doimiy bilan farq qiluvchi funktsiyalarning hosilalari mos keladi. Integralni topish jarayoni integrasiya deb ataladi.

Oddiy misol:

Elementar funksiyalarning antiderivativlarini doimiy ravishda hisoblamaslik uchun ularni jadvalga keltirish va tayyor qiymatlardan foydalanish qulay.

Talabalar uchun integrallarning to'liq jadvali

Aniq integral

Integral tushunchasi bilan ishlashda biz cheksiz kichik miqdorlar bilan ishlaymiz. Integral figuraning maydonini, bir jinsli bo'lmagan jismning massasini, notekis harakat bilan bosib o'tgan yo'lni va boshqalarni hisoblashda yordam beradi. Shuni esda tutish kerakki, integral cheksiz ko'p sonli cheksiz kichik hadlar yig'indisidir.

Misol tariqasida qandaydir funksiyaning grafigini tasavvur qilaylik.

Funktsiya grafigi bilan chegaralangan shaklning maydonini qanday topish mumkin? Integraldan foydalanish! Funktsiyaning koordinata o'qlari va grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani cheksiz kichik segmentlarga ajratamiz. Shunday qilib, raqam ingichka ustunlarga bo'linadi. Ustunlar maydonlarining yig'indisi trapezoidning maydoni bo'ladi. Ammo esda tutingki, bunday hisob-kitob taxminiy natija beradi. Biroq, segmentlar qanchalik kichikroq va torroq bo'lsa, hisoblash qanchalik aniq bo'ladi. Agar biz ularni uzunlik nolga moyil bo'ladigan darajada kamaytirsak, u holda segmentlar maydonlarining yig'indisi rasmning maydoniga moyil bo'ladi. Bu aniq integral bo'lib, u quyidagicha yozilgan:

a va b nuqtalar integrasiya chegaralari deyiladi.

« Integral »

Aytmoqchi! O'quvchilarimiz uchun endi 10% chegirma mavjud

Dummies uchun integral hisoblash qoidalari

Noaniq integral xossalari

Noaniq integral qanday yechiladi? Bu yerda biz noaniq integralning xossalarini ko'rib chiqamiz, bu misollarni yechishda qo'l keladi.

Integralning hosilasi integralga teng:

Konstanta integral belgisi ostidan chiqarilishi mumkin:

Yig'indining integrali integrallar yig'indisiga teng. Bu farq uchun ham to'g'ri:

Aniq integralning xossalari

Chiziqlilik:

Agar integratsiya chegaralari teskari bo'lsa, integral belgisi o'zgaradi:

Da har qanday ball a, b va Bilan:

Aniq integral yig'indining chegarasi ekanligini allaqachon bilib oldik. Ammo misolni echishda qanday qilib aniq qiymatni olasiz? Buning uchun Nyuton-Leybnits formulasi mavjud:

Integral yechimlarga misollar

Quyida noaniq integral va yechimli misollarni ko'rib chiqamiz. Sizga yechimning nozik tomonlarini mustaqil ravishda aniqlashni taklif qilamiz va agar biror narsa aniq bo'lmasa, sharhlarda savollar bering.

Materialni mustahkamlash uchun integrallarning amalda yechilishi haqidagi videoni tomosha qiling. Agar integral darhol berilmasa, tushkunlikka tushmang. Professional talabalar xizmatiga murojaat qiling va siz yopiq sirt ustida har qanday uch yoki egri chiziqli integralni boshqarishingiz mumkin.

Ushbu maqola aniq integralning asosiy xususiyatlarini batafsil bayon qiladi. Ular Riman va Darbu integrali tushunchasi yordamida isbotlangan. Aniq integralni hisoblash 5 ta xususiyat tufayli sodir bo'ladi. Qolganlari turli iboralarni baholash uchun ishlatiladi.

Aniq integralning asosiy xossalariga o'tishdan oldin a dan b dan oshmasligiga ishonch hosil qilish kerak.

Aniq integralning asosiy xossalari

Ta'rif 1

x = a da aniqlangan y = f (x) funksiya ∫ a a f (x) d x = 0 haqiqiy tenglikka o'xshaydi.

Isbot 1

Demak, chegaralari mos keladigan integralning qiymati nolga teng ekanligini ko'ramiz. Bu Riman integralining natijasidir, chunki [a oraliqdagi istalgan bo'lim uchun har bir integral yig'indisi s; a] va har qanday nuqta tanlash z i nolga teng, chunki x i - x i - 1 = 0, i = 1, 2,. ... ... , n, demak, integral funksiyalar chegarasi nolga teng ekanligini olamiz.

Ta'rif 2

Segmentda integrallanadigan funksiya uchun [a; b], ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x sharti bajariladi.

Isbot 2

Boshqacha qilib aytganda, agar integrasiyaning yuqori va pastki chegaralari joylarda almashtirilsa, u holda integralning qiymati uning qiymatini teskari tomonga o'zgartiradi. Bu xususiyat Riman integralidan olingan. Biroq, segmentning bo'linishini raqamlash x = b nuqtadan keladi.

Ta'rif 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x [a oraliqda aniqlangan y = f (x) va y = g (x) tipidagi integrallanuvchi funksiyalar uchun ishlatiladi; b].

Isbot 3

y = f (x) ± g (x) funksiyaning integral yig‘indisini z i nuqtalar tanlovi bilan segmentlarga bo‘lish uchun yozing: s = ∑ i = 1 nf z i ± g z i xi - xi - 1 = = ∑ i = 1 nf (z i) xi - xi - 1 ± ∑ i = 1 ng z i xi - xi - 1 = s f ± s g

Bu erda s f va s g - segmentning bo'linishi uchun y = f (x) va y = g (x) funktsiyalarning integral yig'indisi. l = m a x i = 1, 2, da chegaraga o'tgandan keyin. ... ... , n (x i - x i - 1) → 0 dan lim l → 0 s = lim l → 0 s f ± s g = lim l → 0 s g ± lim l → 0 s g bo‘lishini olamiz.

Rimanning ta'rifiga ko'ra, bu ifoda ekvivalentdir.

Ta'rif 4

Aniq integral belgisidan tashqari doimiy omilni bajarish. [a oraliqdan integrallanuvchi funksiya; b] ixtiyoriy qiymati k bo‘lgan ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x ko‘rinishdagi haqiqiy tengsizlikka ega.

Isbot 4

Aniq integral xossasining isboti avvalgisiga o'xshaydi:

s = ∑ i = 1 nk f z i (xi - xi - 1) = = k ∑ i = 1 nf z i (xi - xi - 1) = k s f ⇒ lim l → 0 s = lim l → 0 ( k s f) = k lim l → 0 s f ⇒ ∫ abk f (x) dx = k ∫ abf (x) dx

Ta'rif 5

Agar y = f (x) ko‘rinishdagi funksiya ∈ x, b ∈ x ga ega bo‘lgan x oraliqda integrallanadigan bo‘lsa, ∫ abf (x) dx = ∫ acf (x) dx + ∫ cbf (x) d bo‘lishini olamiz. x.

Isbot 5

Mulk c ∈ a uchun rost deb hisoblanadi; b, c ≤ a va c ≥ b uchun. Isbot oldingi xususiyatlarga o'xshaydi.

Ta'rif 6

Funksiya segmentidan integrallash imkoniyatiga ega bo‘lganda [a; b], u holda u har qanday ichki segment c uchun bajarilishi mumkin; d ∈ a; b.

Isbot 6

Dalil Darboux xossasiga asoslanadi: agar segmentning mavjud bo'limiga nuqta qo'shsak, u holda pastki Darboux yig'indisi kamaymaydi va yuqorisi ko'paymaydi.

Ta'rif 7

Funktsiya [a; b] dan f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 har qanday x ∈ a qiymati uchun; b, u holda ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 ekanligini olamiz.

Xususiyatni Rieman integralining ta'rifi yordamida isbotlash mumkin: f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 bo'lishi sharti bilan segmentning bo'linish nuqtalari va z i nuqtalarining istalgan tanlovi uchun har qanday integral yig'indini olamiz salbiy.

Isbot 7

Agar y = f (x) va y = g (x) funksiyalar [a segmentida integrallansa; b] bo'lsa, quyidagi tengsizliklar to'g'ri deb hisoblanadi:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, agar va f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, agar va f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a; b

Bayonot tufayli biz integratsiyaga ruxsat berilganligini bilamiz. Bu xulosa boshqa xususiyatlarni isbotlash uchun ishlatiladi.

Ta'rif 8

Integrallanuvchi funksiya bilan y = f (x) segmentdan [a; b] ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ko‘rinishdagi haqiqiy tengsizlikka egamiz.

Isbot 8

Bizda shunday bor - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x). Oldingi xususiyatdan biz tengsizlikni had bo‘yicha integrallash mumkinligini va u - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ko‘rinishdagi tengsizlikka mos kelishini oldik. Bu qo‘sh tengsizlikni boshqa ko‘rinishda ham yozish mumkin: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Ta'rif 9

y = f (x) va y = g (x) funksiyalar [a segmentidan integrallashganda; b] har qanday x ∈ a uchun g (x) ≥ 0; b, m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x ko'rinishdagi tengsizlikni olamiz, bu erda m = m i n x ∈ a; b f (x) va M = m a x x ∈ a; b f (x).

Isbot 9

Tasdiqlash xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi. M va m [a segmentidan aniqlangan y = f (x) funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati hisoblanadi; b], keyin m ≤ f (x) ≤ M. Ikki karrali tengsizlikni y = g (x) funktsiyaga ko'paytirish kerak, bu m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) ko'rinishdagi qo'sh tengsizlikning qiymatini beradi. Uni segmentga birlashtirish kerak [a; b], keyin biz isbotlanishi kerak bo'lgan tasdiqni olamiz.

Xulosa: g (x) = 1 uchun tengsizlik m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) ko'rinishini oladi.

Birinchi o'rtacha qiymat formulasi

Ta'rif 10

y = f (x) uchun [a segmentida integrallash mumkin; b] bilan m = m i n x ∈ a; b f (x) va M = m a x x ∈ a; b f (x) m ∈ m son mavjud; ∫ a b f (x) d x = m b - a ga mos keladigan M.

Xulosa: y = f (x) funksiya [a segmentidan uzluksiz bo'lganda; b], u holda c ∈ a soni mavjud; b, ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a tengligini qanoatlantiradi.

Umumlashtirilgan shakldagi birinchi o'rtacha qiymat formulasi

Ta'rif 11

y = f (x) va y = g (x) funksiyalar [a segmentidan integrallansa; b] bilan m = m i n x ∈ a; b f (x) va M = m a x x ∈ a; b f (x) va x ∈ a ning istalgan qiymati uchun g (x)> 0; b. Demak, bizda m ∈ m son mavjud; ∫ a b f (x) g (x) d x = m ∫ a b g (x) d x tenglikni qanoatlantiradigan M.

Ikkinchi o'rtacha qiymat formulasi

Ta'rif 12

y = f (x) funksiya [a segmentidan integrallash mumkin bo'lganda; b], va y = g (x) monoton bo'lsa, u holda c ∈ a bo'lgan son mavjud; b, bu yerda ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x ko‘rinishdagi haqiqiy tenglikni olamiz.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing

Bu xossalar integralni elementar integrallardan biriga qisqartirish va keyingi hisoblash maqsadida uni o'zgartirishni amalga oshirish uchun ishlatiladi.

1. Noaniq integralning hosilasi integralga teng:

2. Noaniq integralning differensiali integralga teng:

3. Ayrim funksiya differensialining noaniq integrali bu funksiya va ixtiyoriy doimiyning yig‘indisiga teng:

4. O'zgarmas ko'rsatkichni integral belgisidan chiqarish mumkin:

Bundan tashqari, a ≠ 0

5. Yig‘indining (farqning) integrali integrallarning yig‘indisiga (farqiga) teng:

6. Xususiyat 4 va 5 xossalarning birikmasidir:

Bundan tashqari, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Noaniq integralning o'zgarmaslik xossasi:

Agar, keyin

8. Mulk:

Agar, keyin

Aslida, bu xususiyat o'zgaruvchan o'zgarish usuli yordamida integratsiyaning alohida holati bo'lib, keyingi bobda batafsilroq muhokama qilinadi.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Avval 5-xususiyatni, keyin 4-xususiyatni qo‘lladik, so‘ngra antiderivativlar jadvalidan foydalandik va natijaga erishdik.

Bizning onlayn integral kalkulyatorimiz algoritmi yuqorida sanab o'tilgan barcha xususiyatlarni qo'llab-quvvatlaydi va integralingiz uchun batafsil echimni osongina topishi mumkin.

Ushbu maqolada biz aniq integralning asosiy xususiyatlarini sanab o'tamiz. Bu xossalarning aksariyati Riman va Darbuning aniq integrali tushunchalari asosida isbotlangan.

Aniq integralning ta'rifi juda tez-tez dastlabki besh xususiyat yordamida amalga oshiriladi, shuning uchun kerak bo'lganda ularga murojaat qilamiz. Aniq integralning qolgan xossalari asosan turli ifodalarni baholash uchun ishlatiladi.

O'tishdan oldin aniq integralning asosiy xossalari, a dan b dan oshmasligiga rozi bo'laylik.

x = a da aniqlangan y = f (x) funktsiyasi uchun tenglik to'g'ri.

Ya'ni, integrallash chegaralari mos keladigan aniq integralning qiymati nolga teng. Bu xususiyat Rieman integralining ta'rifining natijasidir, chunki bu holda oraliqning har qanday bo'limi va nuqtalarning har qanday tanlovi uchun har bir integral yig'indi nolga teng, chunki demak, integral yig'indilarning chegarasi nolga teng.

Segmentda integrallanadigan funksiya uchun, .

Boshqacha qilib aytganda, integrasiyaning yuqori va pastki chegaralarini joylarda o'zgartirganda, aniq integralning qiymati teskari tomonga o'zgaradi. Aniq integralning bu xossasi ham Riman integrali tushunchasidan kelib chiqadi, faqat segment bo'limining raqamlanishi x = b nuqtadan boshlanishi kerak.

y = f (x) va y = g (x) oraliqda integrallanadigan funksiyalar uchun.

Isbot.

Funktsiyaning integral yig'indisini yozamiz segmentning ma'lum bo'linishi va berilgan nuqtalarni tanlash uchun:

bu yerda va segmentning berilgan bo‘limi uchun mos ravishda y = f (x) va y = g (x) funksiyalarning integral yig‘indilari.

Cheklovga o'tish Riman integralining ta'rifiga ko'ra, u isbotlanayotgan xususiyatning tasdiqlanishiga teng ekanligini bilib olamiz.

Aniq integral belgisidan doimiy omilni chiqarish mumkin. Ya’ni intervalda va ixtiyoriy k sonida integrallanadigan y = f (x) funksiya uchun tenglik .

Aniq integralning bu xossasining isboti avvalgisiga mutlaqo o'xshaydi:

y = f (x) funksiya X oraliqda integrallansin, va undan keyin .

Bu xususiyat ikkalasi uchun ham, yoki uchun ham tegishli.

Isbotlash aniq integralning oldingi xossalari yordamida amalga oshirilishi mumkin.

Agar funktsiya segmentda integrallanadigan bo'lsa, u har qanday ichki segmentda ham integrallanadi.

Dalil Darboux summalarining xususiyatiga asoslanadi: agar siz segmentning mavjud bo'limiga yangi nuqtalarni qo'shsangiz, pastki Darboux summasi kamaymaydi va yuqorisi ko'paymaydi.

Agar y = f (x) funksiya intervalda va argumentning istalgan qiymati uchun integrallansa, u holda .

Bu xususiyat Rieman integralining ta'rifi orqali isbotlangan: segmentning bo'linish nuqtalari va nuqtalarining har qanday tanlovi uchun har qanday integral yig'indi manfiy bo'lmaydi (musbat emas).

Natija.

Intervalda integrallanadigan y = f (x) va y = g (x) funksiyalar uchun quyidagi tengsizliklar bajariladi:

Ushbu bayonot tengsizliklarni birlashtirishga yo'l qo'yishni anglatadi. Ushbu xulosadan quyidagi xususiyatlarni isbotlash uchun foydalanamiz.

y = f (x) funksiya oraliqda integrallansin, keyin tengsizlik .

Isbot.

Bu aniq ... Oldingi xususiyatda biz tengsizlikni haddan tashqari integrallash mumkinligini aniqladik, shuning uchun bu to'g'ri ... Bu ikki tomonlama tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin .

y = f (x) va y = g (x) funksiyalar intervalda va argumentning istalgan qiymati uchun integrallansin. , qayerda va .

Dalil shunga o'xshash. m va M y = f (x) funktsiyasining segmentdagi eng kichik va eng katta qiymatlari bo'lganligi sababli, u holda ... Ikki karra tengsizlikni manfiy bo'lmagan y = g (x) funksiyaga ko'paytirish bizni quyidagi qo'sh tengsizlikka olib keladi. Uni segmentga birlashtirib, biz isbotlanayotgan da'voga erishamiz.

Natija.

Agar g (x) = 1 ni olsak, tengsizlik shaklni oladi .

Birinchi o'rtacha qiymat formulasi.

y = f (x) funksiya intervalda integrallansin, va keyin shunday bir raqam bor .

Natija.

Agar y = f (x) funktsiya intervalda uzluksiz bo'lsa, unda shunday son mavjud .

Umumlashtirilgan shaklda o'rtacha uchun birinchi formula.

y = f (x) va y = g (x) funksiyalar intervalda integrallansin, va, va argumentning istalgan qiymati uchun g (x)> 0. Keyin shunday raqam bor .

O'rtacha uchun ikkinchi formula.

Agar y = f (x) funktsiya intervalda integrallansa va y = g (x) monoton bo'lsa, u holda tenglik bo'ladigan son mavjud. .