Asosiy elementar funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari. Quvvat funksiyasi, uning xossalari va grafigi Quvvat funksiyasidan foydalanishga misol

Quvvat funksiyasi shakl formulasi bilan berilgan.

Ko'rsatkichning qiymatiga qarab quvvat funktsiyasining grafiklarining turini va quvvat funktsiyasining xususiyatlarini ko'rib chiqing.

Butun sonli darajali quvvat funksiyasidan boshlaylik a. Bunda darajali funksiyalar grafiklarining shakli va funksiyalarning xossalari juft yoki toq ko'rsatkichga, shuningdek, uning belgisiga bog'liq. Shuning uchun biz birinchi navbatda eksponentning g'alati musbat qiymatlari uchun quvvat funktsiyalarini ko'rib chiqamiz a, keyin - juft musbat uchun, keyin - toq manfiy ko'rsatkichlar uchun va nihoyat, hatto manfiy uchun a.

Kasr va irratsional darajali darajali funksiyalarning xossalari (shuningdek, bunday darajali funksiyalarning grafiklarining turi) ko‘rsatkich qiymatiga bog‘liq. a. Biz ularni ko'rib chiqamiz, birinchi navbatda, a noldan birgacha, ikkinchidan, da a katta birliklar, uchinchidan, bilan a minus birdan nolga, to'rtinchidan, qachon a kichikroq minus bir.

Ushbu kichik bo'limni yakunlab, to'liqlik uchun biz nol ko'rsatkichli quvvat funktsiyasini tasvirlaymiz.

Toq musbat darajali quvvat funksiyasi.

Toq musbat ko'rsatkichli, ya'ni bilan quvvat funksiyasini ko'rib chiqaylik a=1,3,5,….

Quyidagi rasmda quvvat funktsiyalarining grafiklari ko'rsatilgan - qora chiziq, - ko'k chiziq, - qizil chiziq, - yashil chiziq. Da a=1 bizda ... bor chiziqli funksiya y=x.

Toq musbat darajali daraja funksiyasining xossalari.

Hatto musbat darajali quvvat funksiyasi.

Hatto musbat ko'rsatkichga ega bo'lgan quvvat funktsiyasini ko'rib chiqing, ya'ni uchun a=2,4,6,….

Misol tariqasida quvvat funksiyalarining grafiklarini olaylik - qora chiziq, - ko'k chiziq, - qizil chiziq. Da a=2 grafigi bo'lgan kvadrat funktsiyaga egamiz kvadratik parabola.

Juft musbat darajali daraja funksiyasining xossalari.

Toq manfiy ko'rsatkichli quvvat funksiyasi.

Ko'rsatkichning g'alati manfiy qiymatlari uchun quvvat funktsiyasining chizmalariga qarang, ya'ni a=-1,-3,-5,….

Quvvat funktsiyasi shaklning funktsiyasidir y = xp, bu erda p - berilgan haqiqiy son.

Quvvat funksiyasi xususiyatlari

1. Agar ko'rsatkich p = 2n- juft natural son:
   • ta'rif sohasi - barcha haqiqiy sonlar, ya'ni R to'plami;
   • qiymatlar to'plami - manfiy bo'lmagan raqamlar, ya'ni y ≥ 0;
   • funksiya teng;
   • funktsiya x ≤ 0 oralig'ida kamayib, x ≥ 0 oralig'ida ortib bormoqda.
   p = 2n bo'lgan funksiyaga misol: y=x4.


2. Agar ko'rsatkich p = 2n - 1- toq natural son:
   • ta'rif sohasi - R to'plami;
   • qiymatlar to'plami - R to'plami;
   • funktsiya g'alati;
   • funktsiya butun real o'qda ortib bormoqda.
   p = 2n - 1 bo'lgan funksiyaga misol: y=x5.


3. Agar ko'rsatkich p=-2n, qayerda n- natural son:
   • qiymatlar to'plami - musbat raqamlar y > 0;
   • funksiya teng;
   • funktsiya x 0 oralig'ida ortib bormoqda.
   p = -2n bo'lgan funksiyaga misol: y = 1/x2.


4. Agar ko'rsatkich p = -(2n - 1), qayerda n- natural son:
   • ta'rif sohasi R to'plamidir, x = 0 dan tashqari;
   • qiymatlar to'plami - R to'plami, y = 0 dan tashqari;
   • funktsiya g'alati;
   • funktsiya x 0 oraliqlarida kamayib bormoqda.
   p = -(2n - 1) bo'lgan funksiyaga misol: y=1/x3.


5. Agar ko'rsatkich p musbat haqiqiy butun bo'lmagan son:
   • ta'rif sohasi - manfiy bo'lmagan sonlar x ≥ 0;
   • qiymatlar to'plami - manfiy bo'lmagan sonlar y ≥ 0;
   • funksiya x ≥ 0 oraliqda ortib bormoqda.
   Ko'rsatkich p bo'lgan funksiyaga misol, bu erda p musbat haqiqiy butun bo'lmagan son: y=x4/3.


6. Agar ko'rsatkich p manfiy haqiqiy butun bo'lmagan son:
   • ta'rif sohasi - musbat sonlar x > 0;
   • qiymatlar to'plami - musbat raqamlar y > 0;
   • funktsiya x > 0 oraliqda kamayib bormoqda.
   Ko'rsatkich p bo'lgan funksiyaga misol, bu erda p manfiy haqiqiy butun bo'lmagan sondir: y=x-1/3.

Manfiy butun sonli darajali funksiyalarning xossalari va grafiklarini eslang.

Hatto n uchun:

Funktsiyaga misol:

Bunday funksiyalarning barcha grafiklari ikkita qo'zg'almas nuqtadan o'tadi: (1;1), (-1;1). Ushbu turdagi funksiyalarning xususiyati ularning paritetidir, grafiklar op-y o'qiga nisbatan simmetrikdir.

Guruch. 1. Funksiya grafigi

Toq n uchun, :

Funktsiyaga misol:

Bunday funksiyalarning barcha grafiklari ikkita qo'zg'almas nuqtadan o'tadi: (1;1), (-1;-1). Ushbu turdagi funktsiyalarning o'ziga xos xususiyati ularning g'alatiligi, grafiklarning kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir.

Guruch. 2. Funksiya grafigi

Keling, asosiy ta'rifni eslaylik.

Ratsional musbat darajali manfiy bo'lmagan a sonining darajasi son deyiladi.

Ratsional manfiy ko'rsatkichli musbat a sonining darajasi son deyiladi.

Quyidagi tenglik uchun amal qiladi:

Masalan: ; - ifoda manfiy ratsional ko'rsatkichli darajani aniqlashda mavjud emas; ko'rsatkich butun son bo'lgani uchun mavjud,

Ratsional manfiy ko'rsatkichli kuch funksiyalarini ko'rib chiqishga murojaat qilaylik.

Masalan:

Ushbu funktsiyani chizish uchun siz jadval yaratishingiz mumkin. Biz boshqacha qilamiz: birinchidan, biz maxraj grafigini tuzamiz va o'rganamiz - biz buni bilamiz (3-rasm).

Guruch. 3. Funksiya grafigi

Maxraj funksiyasining grafigi qo'zg'almas nuqtadan (1;1) o'tadi. Asl funktsiyaning grafigini qurishda bu nuqta qoladi, ildiz ham nolga moyil bo'lganda, funktsiya cheksizlikka intiladi. Va aksincha, x cheksizlikka intilgani uchun funksiya nolga intiladi (4-rasm).

Guruch. 4. Funksiya grafigi

O'rganilayotgan funktsiyalar oilasidan yana bir funktsiyani ko'rib chiqing.

Bu ta'rifi bo'yicha muhim ahamiyatga ega

Funktsiyaning maxrajdagi grafigini ko'rib chiqaylik: , bu funksiyaning grafigini bilamiz, u o'zining aniqlanish sohasi bo'yicha ortadi va (1; 1) nuqtadan o'tadi (5-rasm).

Guruch. 5. Funksiya grafigi

Dastlabki funktsiya grafigini qurishda (1; 1) nuqta qoladi, ildiz ham nolga moyil bo'lsa, funktsiya cheksizlikka intiladi. Va aksincha, x cheksizlikka intilgani uchun funksiya nolga intiladi (6-rasm).

Guruch. 6. Funksiya grafigi

Ko'rib chiqilgan misollar grafik qanday ketayotganini va o'rganilayotgan funktsiya - manfiy ratsional ko'rsatkichli funktsiyaning xususiyatlari qanday ekanligini tushunishga yordam beradi.

Bu turkumga kiruvchi funksiyalar grafiklari (1;1) nuqtadan o'tadi, funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab kamayadi.

Funktsiya doirasi:

Funktsiya yuqoridan chegaralangan emas, balki pastdan chegaralangan. Funktsiya maksimal va minimal qiymatga ega emas.

Funktsiya uzluksiz, u noldan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan barcha ijobiy qiymatlarni oladi.

Qavariq pastga funksiyasi (15.7-rasm)

Egri chiziqda A va B nuqtalar olinadi, ular orqali segment chiziladi, butun egri chiziq segmentdan pastda, bu shart egri chiziqning ixtiyoriy ikkita nuqtasi uchun bajariladi, shuning uchun funktsiya pastga qarab qavariq. Guruch. 7.

Guruch. 7. Funksiyaning qavariqligi

Ushbu oilaning funktsiyalari pastdan nol bilan chegaralanganligini tushunish kerak, lekin ular eng kichik qiymatga ega emas.

1-misol - \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] oraliqda funksiyaning maksimal va minimumini toping.

Grafik (2-rasm).

2-rasm. $f\left(x\right)=x^(2n)$ funksiya grafigi

Tabiiy toq darajali daraja funksiyasining xossalari

Ta'rif sohasi barcha haqiqiy sonlardir.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ toq funksiyadir.

$f(x)$ butun taʼrif sohasida uzluksizdir.

Diapazon barcha haqiqiy raqamlardir.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ uchun.

$f(""\left(x\o'ng))=(\chap(\left(2n-1\o'ng)\cdot x^(2\left(n-1\o'ng))\o'ng))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funktsiya $x\in (-\infty ,0)$ uchun konkav va $x\in (0,+\infty)$ uchun qavariq.

Grafik (3-rasm).

3-rasm. $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ funksiya grafigi.

Butun sonli darajali quvvat funksiyasi

Boshlash uchun biz butun sonli daraja tushunchasini kiritamiz.

Ta'rif 3

$n$ butun koʻrsatkichli haqiqiy $a$ sonining darajasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

4-rasm

Endi butun darajali darajali funksiyani, uning xossalarini va grafigini ko'rib chiqaylik.

Ta'rif 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ butun koʻrsatkichli quvvat funksiyasi deyiladi.

Agar daraja noldan katta bo'lsa, u holda biz tabiiy ko'rsatkichli daraja funksiyasi holatiga kelamiz. Biz buni allaqachon yuqorida ko'rib chiqdik. $n=0$ uchun $y=1$ chiziqli funksiyani olamiz. Uning mulohazalarini o‘quvchi ixtiyoriga qoldiramiz. Salbiy butun sonli darajali funktsiyaning xususiyatlarini ko'rib chiqish qoladi

Manfiy butun ko‘rsatkichli daraja funksiyasining xossalari

Qo'llash doirasi $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Agar ko‘rsatkich juft bo‘lsa, funksiya juft bo‘ladi, agar u toq bo‘lsa, funksiya toq bo‘ladi.

$f(x)$ butun taʼrif sohasida uzluksizdir.

Qiymat diapazoni:

Agar ko'rsatkich juft bo'lsa, $(0,+\infty)$, toq bo'lsa, $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Agar ko'rsatkich toq bo'lsa, funktsiya $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ ga kamayadi. Juft ko'rsatkich uchun funktsiya $x\in (0,+\infty)$ sifatida kamayadi. va $x\in \left(-\infty ,0\right)$ sifatida ortadi.

$f(x)\ge 0$ butun domen bo'ylab