Funksiyani tekshirish va uning grafigini qanday tuzish mumkin?

Men jahon proletariati yetakchisi, 55 jildlik to‘plam asarlar muallifining ma’naviy yuzini tushuna boshlagandek bo‘ldim... Uzoq sayohat haqida elementar ma'lumotlar bilan boshlandi funksiyalar va grafiklar, va endi mashaqqatli mavzu ustida ishlash tabiiy natija - maqola bilan tugaydi to'liq funktsiyani o'rganish haqida. Uzoq kutilgan vazifa quyidagicha tuzilgan:

Funktsiyani differentsial hisoblash usullari bilan o'rganing va tadqiqot natijalariga ko'ra uning grafigini tuzing.

Yoki qisqasi: funktsiyani ko'rib chiqing va uni chizing.

Nega kashf? Oddiy hollarda, biz uchun elementar funktsiyalar bilan shug'ullanish, olingan grafikni chizish qiyin bo'lmaydi elementar geometrik o'zgarishlar va h.k. Biroq, murakkabroq funktsiyalarning xususiyatlari va grafik tasvirlari aniq emas, shuning uchun butun o'rganish kerak.

Yechimning asosiy bosqichlari mos yozuvlar materialida umumlashtirilgan Funktsiyani o'rganish sxemasi, bu sizning bo'limingiz uchun qo'llanma. Dummies mavzuni bosqichma-bosqich tushuntirishga muhtoj, ba'zi o'quvchilar o'rganishni qaerdan boshlashni va qanday tashkil qilishni bilishmaydi va ilg'or o'quvchilarni faqat bir nechta fikrlar qiziqtirishi mumkin. Ammo siz kim bo'lishingizdan qat'iy nazar, aziz tashrif buyuruvchi, turli darslarga ko'rsatmalar bilan taklif qilingan xulosa sizni eng qisqa vaqt ichida qiziqtirgan yo'nalishga yo'naltiradi va yo'naltiradi. Robotlar ko'z yoshlarini to'kishdi =) Qo'llanma pdf fayl shaklida tuzilgan va sahifada o'zining munosib o'rnini egallagan. Matematik formulalar va jadvallar.

Men funktsiyani o'rganishni 5-6 ballga ajratardim:

6) Tadqiqot natijalariga ko'ra qo'shimcha nuqtalar va grafik.

Yakuniy harakatga kelsak, menimcha, hamma hamma narsani tushunadi - agar bir necha soniya ichida u chizib olinsa va topshiriq qayta ko'rib chiqish uchun qaytarilsa, bu juda xafa bo'ladi. TO'G'RI VA TO'G'ri chizilgan - bu yechimning asosiy natijasidir! Noto'g'ri va/yoki noto'g'ri jadval hatto mukammal o'tkazilgan tadqiqotda ham muammolarni keltirib chiqarishi mumkin bo'lsa, bu tahliliy nazoratni "yopib qo'yishi" mumkin.

Shuni ta'kidlash kerakki, boshqa manbalarda tadqiqot ob'ektlari soni, ularni amalga oshirish tartibi va dizayn uslubi men taklif qilgan sxemadan sezilarli darajada farq qilishi mumkin, lekin ko'p hollarda bu etarli. Muammoning eng oddiy varianti atigi 2-3 bosqichdan iborat bo‘lib, shunday tuzilgan: “hosil va chizma yordamida funksiyani o‘rganing” yoki “1 va 2-chi hosiladan foydalanib funksiyani o‘rganing, chizma”.

Tabiiyki, agar sizning o'quv qo'llanmangizda boshqa algoritm batafsil tahlil qilingan bo'lsa yoki o'qituvchingiz sizdan uning ma'ruzalariga qat'iy rioya qilishni talab qilsa, siz yechimga ba'zi o'zgarishlar kiritishingiz kerak bo'ladi. Vilkani zanjirli qoshiq bilan almashtirishdan ko'ra qiyinroq emas.

Funktsiyani juft/toq uchun tekshirib ko'ramiz:

Shundan so'ng obunani bekor qilish shablonlari keladi:
, shuning uchun bu funksiya juft ham, toq ham emas.

Funktsiya uzluksiz bo'lgani uchun vertikal asimptotalar mavjud emas.

Egri asimptotlar ham mavjud emas.

Eslatma : Sizga shuni eslatamanki, qanchalik baland o'sish tartibi dan, shuning uchun yakuniy chegara aynan " ortiqcha cheksizlik."

Funktsiyaning cheksizlikda qanday ishlashini bilib olaylik:

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar biz o'ngga borsak, u holda grafik cheksiz yuqoriga, chapga, cheksiz pastga ketadi. Ha, bitta kirish ostida ikkita chegara ham mavjud. Agar siz belgilarni ochishda qiynalsangiz, iltimos, haqidagi darsga tashrif buyuring cheksiz kichik funktsiyalar.

Shunday qilib, funktsiya yuqoridan cheklanmagan va pastdan cheklanmagan. Bizda tanaffus nuqtalari yo'qligini hisobga olsak, aniq bo'ladi va funktsiya diapazoni: ham har qanday haqiqiy sondir.

FOYDALI TEXNIKA

Har bir vazifa bosqichi funksiya grafigi haqida yangi ma'lumotlarni olib keladi, shuning uchun yechim jarayonida LAYOUT turidan foydalanish qulay. Loyihaga dekart koordinatalar tizimini chizamiz. Nima aniq ma'lum? Birinchidan, grafikda asimptotlar yo'q, shuning uchun to'g'ri chiziqlar chizishning hojati yo'q. Ikkinchidan, funksiya cheksizlikda qanday harakat qilishini bilamiz. Tahlilga ko'ra, biz birinchi taxminiy xulosani chiqaramiz:

E'tibor bering, amalda davomiylik funktsiyasi yoqilganligi va , grafik o'qni kamida bir marta kesib o'tishi kerak. Yoki, ehtimol, bir nechta kesishish nuqtalari bormi?

3) Funksiyaning nollari va doimiy ishorali intervallar.

Birinchidan, grafikning y o'qi bilan kesishish nuqtasini toping. Bu oddiy. Funktsiyaning qiymatini quyidagi hollarda hisoblash kerak:

Dengiz sathidan yarmi.

O'q bilan kesishish nuqtalarini (funktsiyaning nollari) topish uchun siz tenglamani echishingiz kerak va bu erda bizni yoqimsiz ajablanib kutmoqda:

Oxir-oqibat, bepul a'zo yashirinadi, bu vazifani sezilarli darajada murakkablashtiradi.

Bunday tenglama kamida bitta haqiqiy ildizga ega va ko'pincha bu ildiz irratsionaldir. Eng yomon ertakda bizni uchta kichkina cho'chqa kutmoqda. Tenglama deb atalmish yordamida echilishi mumkin Kardano formulalari, lekin qog'oz zarar deyarli butun tadqiqot bilan solishtirish mumkin. Shu munosabat bilan, og'zaki yoki qoralama ustida kamida bittasini olishga harakat qilish oqilona butun ildiz. Keling, ushbu raqamlar mavjudligini tekshirib ko'ramiz:
- tog'ri kelmaydi;
- u yerda!

Bu yerda omadli. Muvaffaqiyatsiz bo'lsa, siz ham sinab ko'rishingiz mumkin va agar bu raqamlar mos kelmasa, men tenglamaning foydali echimi uchun juda oz imkoniyat bor deb qo'rqaman. Keyin tadqiqot nuqtasini butunlay o'tkazib yuborgan ma'qul - ehtimol oxirgi bosqichda, qo'shimcha nuqtalar o'tib ketganda, biror narsa aniqroq bo'ladi. Va agar ildiz (ildiz) aniq "yomon" bo'lsa, unda belgilarning doimiyligi oraliqlari haqida kamtarona sukut saqlash va rasmni aniqroq bajarish yaxshiroqdir.

Biroq, bizda chiroyli ildiz bor, shuning uchun polinomni ajratamiz qolgani uchun:

Ko'phadni ko'phadga bo'lish algoritmi darsning birinchi misolida batafsil ko'rib chiqiladi. Kompleks chegaralar.

Natijada, asl tenglamaning chap tomoni mahsulotga aylanadi:

Va endi sog'lom turmush tarzi haqida bir oz. Albatta buni tushunaman kvadrat tenglamalar har kuni hal qilish kerak, lekin bugun biz istisno qilamiz: tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega.

Raqamlar qatorida topilgan qiymatlarni chizamiz va interval usuli Funktsiya belgilarini aniqlang:


og Shunday qilib, intervallarda diagrammasi joylashgan
x o'qi ostida va intervallarda - bu o'qdan yuqorida.

Olingan topilmalar bizning sxemamizni yaxshilashga imkon beradi va grafikning ikkinchi yaqinlashuvi quyidagicha ko'rinadi:

E'tibor bering, funktsiya intervalda kamida bitta maksimal va intervalda kamida bitta minimal bo'lishi kerak. Lekin jadvalning necha marta, qayerda va qachon “aylanib ketishini” bilmaymiz. Aytgancha, funktsiya cheksiz ko'p bo'lishi mumkin ekstremal.

4) Funksiyaning ortishi, kamayishi va ekstremallari.

Kritik nuqtalarni topamiz:

Bu tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Keling, ularni son qatoriga qo'yib, hosilaning belgilarini aniqlaymiz:


Shuning uchun funktsiya ga ortadi va ga kamayadi.
Ushbu nuqtada funktsiya maksimal darajaga etadi: .
Ushbu nuqtada funktsiya minimal darajaga etadi: .

O'rnatilgan faktlar bizning shablonimizni juda qattiq ramkaga aylantiradi:

Aytishga hojat yo'q, differentsial hisob - bu kuchli narsa. Nihoyat, grafikning shakli bilan shug'ullanamiz:

5) Qavariq, botiqlik va burilish nuqtalari.

Ikkinchi hosilaning kritik nuqtalarini toping:

Keling, belgilarni aniqlaylik:


Funksiya grafigi qavariq ochiq va botiq bo'ladi. Burilish nuqtasining ordinatasini hisoblaymiz: .

Deyarli hamma narsa tozalandi.

6) Grafikni aniqroq tuzish va o'z-o'zini sinab ko'rishga yordam beradigan qo'shimcha nuqtalarni topish qoladi. Bunday holda, ular kam, ammo biz e'tibordan chetda qolmaymiz:

Keling, chizmani bajaramiz:

Burilish nuqtasi yashil rangda, qo'shimcha nuqtalar xoch bilan belgilangan. Kub funktsiyaning grafigi uning burilish nuqtasiga nisbatan simmetrik bo'lib, u doimo maksimal va minimal o'rtasida aniq o'rtada joylashgan.

Topshiriq davomida men uchta faraziy oraliq chizmalarni berdim. Amalda, koordinatalar tizimini chizish, topilgan nuqtalarni belgilash va tadqiqotning har bir nuqtasidan so'ng, funktsiya grafigi qanday ko'rinishini aqliy ravishda aniqlash kifoya. Yaxshi tayyorgarlik darajasiga ega bo'lgan talabalar uchun bunday tahlilni qoralamani jalb qilmasdan, faqat ongida amalga oshirish qiyin bo'lmaydi.

Mustaqil yechim uchun:

2-misol

Funktsiyani o'rganing va grafik tuzing.

Bu erda hamma narsa tezroq va qiziqarliroq, dars oxirida tugatishning taxminiy namunasi.

Fraksiyonel ratsional funktsiyalarni o'rganish orqali ko'plab sirlar ochiladi:

3-misol

Differensial hisoblash usullaridan foydalanib, funktsiyani o'rganing va tadqiqot natijalari asosida uning grafigini tuzing.

Yechim: tadqiqotning birinchi bosqichi sezilarli darajada farq qilmaydi, ta'rif sohasidagi teshikdan tashqari:

1) Funktsiya nuqtadan tashqari butun son chizig'ida aniqlangan va uzluksizdir. domen: .

, shuning uchun bu funksiya juft ham, toq ham emas.

Shubhasiz, funktsiya davriy emas.

Funktsiya grafigi chap va o'ng yarim tekislikda joylashgan ikkita uzluksiz filialdan iborat - bu, ehtimol, 1-bandning eng muhim xulosasi.

2) Asimptotalar, funksiyaning cheksizlikdagi harakati.

a) Bir tomonlama chegaralar yordamida biz vertikal asimptota aniq bo'lishi kerak bo'lgan shubhali nuqta yaqinidagi funktsiyaning harakatini o'rganamiz:

Darhaqiqat, funktsiyalar bardosh beradi cheksiz bo'shliq nuqtada
va to'g'ri chiziq (o'qi) bo'ladi vertikal asimptota grafika san'ati.

b) qiyshiq asimptotlar mavjudligini tekshiring:

Ha, chiziq qiya asimptota grafik, agar.

Chegaralarni tahlil qilishning ma'nosi yo'q, chunki funktsiya o'zining qiya asimptotasini qamrab olishi allaqachon aniq. yuqoridan cheklanmagan va pastdan cheklanmagan.

Tadqiqotning ikkinchi nuqtasi funktsiya haqida juda ko'p muhim ma'lumotlarni keltirdi. Keling, taxminiy eskizni yarataylik:

1-sonli xulosa belgi doimiyligining intervallariga tegishli. "Minus cheksizlik" da funksiya grafigi yagona tarzda x o'qi ostida joylashgan va "ortiqcha cheksizlik" da bu o'qdan yuqorida joylashgan. Bundan tashqari, bir tomonlama chegaralar bizga nuqtaning chap va o'ng tomonida ham funktsiya noldan katta ekanligini aytdi. E'tibor bering, chap yarim tekislikda grafik x o'qini kamida bir marta kesib o'tishi kerak. O'ng yarim tekislikda funktsiyaning nollari bo'lmasligi mumkin.

Xulosa No 2 - funktsiya nuqtadan va chapga ("pastdan yuqoriga" ketadi) ortadi. Ushbu nuqtaning o'ng tomonida funktsiya pasayadi ("yuqoridan pastga" ketadi). Grafikning o'ng qismi, albatta, kamida bitta minimal bo'lishi kerak. Chapda, ekstremallar kafolatlanmaydi.

3-sonli xulosa nuqta yaqinidagi grafikning botiqligi haqida ishonchli ma'lumot beradi. Cheksizlikdagi qavariq/qavariq haqida hozircha hech narsa deya olmaymiz, chunki chiziq uning asimptotiga yuqoridan ham, pastdan ham bosilishi mumkin. Umuman olganda, hozir buni aniqlashning analitik usuli mavjud, ammo "bema'ni" diagramma shakli keyingi bosqichda aniqroq bo'ladi.

Nega shuncha so'z? Keyingi tadqiqot nuqtalarini nazorat qilish va xatolardan qochish uchun! Keyingi hisob-kitoblar chiqarilgan xulosalarga zid kelmasligi kerak.

3) Grafikning koordinata o`qlari bilan kesishish nuqtalari, funksiyaning doimiy ishorali intervallari.

Funktsiya grafigi o'qni kesib o'tmaydi.

Interval usulidan foydalanib, biz belgilarni aniqlaymiz:

, agar;
, agar .

Paragrafning natijalari 1-sonli xulosaga to'liq mos keladi. Har bir qadamdan so'ng, qoralamaga qarang, o'rganishga aqliy ravishda murojaat qiling va funktsiya grafigini chizishni tugating.

Ushbu misolda, hisoblagich maxraj bilan atama bo'linadi, bu farqlash uchun juda foydali:

Aslida, bu asimptotalarni topishda allaqachon qilingan.

- tanqidiy nuqta.

Keling, belgilarni aniqlaylik:

tomonidan ortadi va gacha kamayadi

Ushbu nuqtada funktsiya minimal darajaga etadi: .

2-sonli xulosa bilan ham hech qanday nomuvofiqliklar yo'q edi va, ehtimol, biz to'g'ri yo'ldamiz.

Bu funktsiya grafigi butun ta'rif sohasi bo'ylab konkav ekanligini anglatadi.

Zo'r - va siz hech narsa chizishingiz shart emas.

Hech qanday burilish nuqtalari yo'q.

Konkavlik 3-sonli xulosaga mos keladi, bundan tashqari, bu cheksizlikda (u erda ham, u erda ham) funktsiya grafigi joylashganligini ko'rsatadi. yuqorida uning qiya asimptoti.

6) Biz vazifani qo'shimcha ball bilan vijdonan bog'laymiz. Bu erda biz qattiq ishlashimiz kerak, chunki biz o'rganishdan faqat ikkita narsani bilamiz.

Va, ehtimol, ko'pchilik uzoq vaqtdan beri taqdim etgan rasm:

Topshiriqni bajarish jarayonida o'rganish bosqichlari o'rtasida hech qanday qarama-qarshilik yo'qligiga e'tibor berish kerak, lekin ba'zida vaziyat shoshilinch yoki hatto umidsiz holda tugaydi. Bu erda tahlillar "birlashmaydi" - va bu. Bunday holda, men favqulodda texnikani tavsiya qilaman: biz iloji boricha grafikaga tegishli bo'lgan ko'plab nuqtalarni topamiz (qanchalik sabr-toqat etarli) va ularni koordinata tekisligida belgilaymiz. Ko'p hollarda topilgan qiymatlarning grafik tahlili sizga haqiqat qayerda va yolg'on ekanligini aytib beradi. Bundan tashqari, grafikni ba'zi bir dastur yordamida, masalan, xuddi shu Excelda oldindan qurish mumkin (bu ko'nikmalarni talab qilishi aniq).

4-misol

Differensial hisoblash usullaridan foydalanib, funktsiyani o'rganing va uning grafigini tuzing.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Unda o'z-o'zini nazorat qilish funksiyaning tekisligi bilan kuchaytiriladi - grafik o'qga nisbatan nosimmetrikdir va agar sizning tadqiqotingizdagi biror narsa bu haqiqatga zid bo'lsa, xatolikni qidiring.

Juft yoki toq funksiya faqat uchun tekshirilishi mumkin, keyin esa grafik simmetriyasidan foydalanish mumkin. Bu yechim optimal, lekin menimcha, juda g'ayrioddiy ko'rinadi. Shaxsan men butun raqamli o'qni ko'rib chiqaman, lekin men hali ham faqat o'ng tomonda qo'shimcha nuqtalarni topaman:

5-misol

Funktsiyani to'liq o'rganish va uning grafigini tuzish.

Yechim: qattiq yugurdi:

1) Funksiya butun real chiziqda aniqlangan va uzluksiz: .

Bu shuni anglatadiki, bu funktsiya toq, uning grafigi koordinataga nisbatan simmetrikdir.

Shubhasiz, funktsiya davriy emas.

2) Asimptotalar, funksiyaning cheksizlikdagi harakati.

Funktsiya uzluksiz bo'lgani uchun vertikal asimptotalar mavjud emas

Odatda ko'rsatkichni o'z ichiga olgan funksiya uchun alohida"ortiqcha" va "minus cheksizlik" ni o'rganish, ammo bizning hayotimiz faqat grafik simmetriyasi bilan osonlashadi - chapda va o'ngda asimptota bor yoki yo'q. Shuning uchun ikkala cheksiz chegara ham bitta yozuv ostida tartibga solinishi mumkin. Yechim jarayonida biz foydalanamiz L'Hopital qoidasi:

To'g'ri chiziq (o'q) - da grafikning gorizontal asimptotu.

E'tibor bering, men qiya asimptotani topishning to'liq algoritmidan qanday qilib mohirlik bilan qochganimga e'tibor bering: chegara juda qonuniy va funktsiyaning cheksizlikdagi xatti-harakatlarini aniqlaydi va gorizontal asimptota "bir vaqtning o'zida" topilgan.

Gorizontal asimptotaning uzluksizligi va mavjudligidan funktsiyaning yuqoridan cheklangan va pastdan cheklangan.

3) Grafikning koordinata o`qlari bilan kesishish nuqtalari, doimiylik intervallari.

Bu erda biz yechimni ham qisqartiramiz:
Grafik koordinatadan o'tadi.

Koordinata o'qlari bilan boshqa kesishish nuqtalari yo'q. Bundan tashqari, doimiylik intervallari aniq va o'qni chizish mumkin emas: , ya'ni funktsiyaning belgisi faqat "x" ga bog'liq:
, agar;
, agar.

4) Funksiyaning ortish, kamayish, ekstremal.


muhim nuqtalardir.

Nuqtalar nolga yaqin nosimmetrikdir, xuddi shunday bo'lishi kerak.

Keling, hosilaning belgilarini aniqlaymiz:


Funktsiya intervalda ortadi va intervallarda kamayadi

Ushbu nuqtada funktsiya maksimal darajaga etadi: .

Mulk tufayli (funktsiyaning g'alatiligi) minimalni o'tkazib yuborish mumkin:

Funktsiya oraliqda kamayganligi sababli, grafik "minus cheksizlik" da joylashganligi aniq. ostida uning asimptoti bilan. Intervalda funktsiya ham kamayadi, lekin bu erda aksincha - maksimal nuqtadan o'tgandan so'ng, chiziq yuqoridan o'qga yaqinlashadi.

Bundan tashqari, yuqoridagilardan kelib chiqadiki, funksiya grafigi «minus cheksizlikda» qavariq, «plyus cheksizlik»da esa botiq bo‘ladi.

Tadqiqotning ushbu nuqtasidan so'ng, funktsiyaning qiymatlari maydoni ham chizilgan:

Agar biron bir fikrni noto'g'ri tushunsangiz, men sizni daftaringizga koordinata o'qlarini chizishingizni va qo'lingizda qalam bilan topshiriqning har bir xulosasini qayta tahlil qilishingizni yana bir bor taklif qilaman.

5) Grafikning qavariqligi, botiqligi, burilishlari.

muhim nuqtalardir.

Nuqtalarning simmetriyasi saqlanib qolgan va, ehtimol, biz xato qilmaymiz.

Keling, belgilarni aniqlaylik:


Funksiya grafigi qavariq yoniq va botiq .

Haddan tashqari oraliqlarda konvekslik / konkavlik tasdiqlandi.

Barcha tanqidiy nuqtalarda grafikda burilishlar mavjud. Funktsiyaning g'alatiligidan foydalanib, hisoblar sonini yana kamaytirgan holda, burilish nuqtalarining ordinatalarini topamiz:

Vazifa: funktsiyani to'liq o'rganish va uning grafigini qurish.

Har bir talaba shunga o'xshash qiyinchiliklarni boshdan kechirgan.

Keyingi narsa yaxshi bilimni nazarda tutadi. Savollaringiz bo'lsa, ushbu bo'limga murojaat qilishingizni tavsiya qilamiz.

Funksiyani tadqiq qilish algoritmi quyidagi bosqichlardan iborat.

Funksiya doirasini topish.

Bu funktsiyani o'rganishda juda muhim qadamdir, chunki keyingi barcha harakatlar ta'rif sohasida amalga oshiriladi.

Bizning misolimizda biz maxrajning nollarini topishimiz va ularni haqiqiy sonlar mintaqasidan chiqarib tashlashimiz kerak.



(Boshqa misollarda, ildizlar, logarifmlar va boshqalar bo'lishi mumkin. Eslatib o'tamiz, bunday hollarda domen quyidagi tarzda qidiriladi:
juft darajali ildiz uchun, masalan, - ta'rif sohasi tengsizlikdan topiladi;
logarifm uchun - ta'rif sohasi tengsizlikdan topiladi ).

Funksiyaning aniqlanish sohasi chegarasida harakatini tekshirish, vertikal asimptotalarni topish.

Ta'rif sohasi chegaralarida funktsiya mavjud vertikal asimptotlar, agar bu chegara nuqtalarida cheksiz bo'lsa.

Bizning misolimizda aniqlanish sohasining chegara nuqtalari .

Ushbu nuqtalarga chap va o'ngdan yaqinlashganda funktsiyaning harakatini tekshiramiz, buning uchun biz bir tomonlama chegaralarni topamiz:


Bir tomonlama chegaralar cheksiz bo'lgani uchun, chiziqlar grafikning vertikal asimptotalari hisoblanadi.

Juft yoki toq paritet uchun funksiyani tekshirish.

Funktsiya shunday hatto, agar. Funktsiyaning pariteti y o'qiga nisbatan grafikning simmetriyasini ko'rsatadi.

Funktsiya shunday g'alati, agar . Funksiyaning g'alatiligi grafikning koordinata boshiga nisbatan simmetriyasini ko'rsatadi.

Agar tengliklarning hech biri qanoatlanmasa, u holda biz umumiy shakl funksiyasiga ega bo'lamiz.

Bizning misolimizda tenglik to'g'ri, shuning uchun bizning vazifamiz juft. Grafikni tuzishda buni hisobga olamiz - u y o'qiga nisbatan simmetrik bo'ladi.

Funksiyalarning ortish va kamayish intervallarini, ekstremum nuqtalarini topish.

O'sish va pasayish oraliqlari mos ravishda tengsizliklarning yechimlari hisoblanadi.

Hosil yo'qolgan nuqtalar deyiladi statsionar.

Funktsiyaning kritik nuqtalari funktsiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud bo'lmagan aniqlanish sohasining ichki nuqtalarini chaqiring.

Izoh(o'sish va pasayish oraliqlariga tanqidiy nuqtalarni kiritish kerakmi).

Kritik nuqtalarni, agar ular funktsiya sohasiga tegishli bo'lsa, o'sish va pasayish oraliqlariga kiritamiz.

Shunday qilib, funktsiyaning ortish va kamayish intervallarini aniqlash

• birinchidan, hosilani topamiz;
• ikkinchidan, biz tanqidiy nuqtalarni topamiz;
• uchinchidan, tanqidiy nuqtalar bo'yicha aniqlash sohasini intervallarga ajratamiz;
• to'rtinchidan, intervallarning har birida hosila belgisini aniqlaymiz. Plyus belgisi o'sish oralig'iga, minus belgisi - pasayish oralig'iga to'g'ri keladi.

Bor!

Biz lotinni aniqlash sohasida topamiz (qiyinchilik bo'lsa, bo'limga qarang).


Buning uchun biz muhim nuqtalarni topamiz:

Biz bu nuqtalarni son o'qiga qo'yamiz va hosil bo'lgan har bir oraliq ichidagi hosila belgisini aniqlaymiz. Shu bilan bir qatorda, siz intervalning istalgan nuqtasini olishingiz va shu nuqtada hosilaning qiymatini hisoblashingiz mumkin. Agar qiymat ijobiy bo'lsa, bu oraliq ustiga ortiqcha belgisini qo'ying va keyingisiga o'ting, agar salbiy bo'lsa, minus qo'ying va hokazo. Masalan, , shuning uchun biz chapdagi birinchi oraliqda ortiqcha qo'yamiz.


Xulosa qilamiz:

Sxematik ravishda, ortiqcha / minuslar lotin ijobiy / salbiy bo'lgan oraliqlarni belgilaydi. Ko'tarilish / tushuvchi o'qlar ko'tarilish / pasayish yo'nalishini ko'rsatadi.

funktsiyaning ekstremal nuqtalari funktsiya aniqlangan va hosila o'zgaruvchan belgi o'tadigan nuqtalar.

Bizning misolimizda ekstremum nuqta x=0 ga teng. Funktsiyaning bu nuqtadagi qiymati . X=0 nuqtadan o'tganda hosila belgisi plyusdan minusga o'zgarganligi sababli (0; 0) lokal maksimal nuqta hisoblanadi. (Agar lotin belgisini minusdan plyusga o'zgartirsa, biz mahalliy minimal nuqtaga ega bo'lamiz).

Funksiyaning qavariqlik va botiqlik intervallarini va burilish nuqtalarini topish.

Funksiyaning botiqlik va qavariqlik intervallari mos ravishda va tengsizliklarni yechish orqali topiladi.

Ba'zan botiqlik pastga, qavariq esa yuqoriga qaragan qavariq deb ataladi.

Bu erda ham o'sish va pasayish oraliqlari haqidagi paragrafdagiga o'xshash fikrlar o'rinlidir.

Shunday qilib, funktsiyaning botiqlik va qavariqlik oraliqlarini aniqlash:

• birinchidan, biz ikkinchi hosilani topamiz;
• ikkinchidan, ikkinchi hosilaning pay va maxrajining nollarini topamiz;
• uchinchidan, olingan nuqtalar bo'yicha aniqlash sohasini intervallarga ajratamiz;
• to'rtinchidan, har bir oraliqda ikkinchi hosilaning belgisini aniqlaymiz. Plyus belgisi konkavlik oralig'iga, minus belgisi - konveks oralig'iga to'g'ri keladi.

Bor!

Ta'rif sohasida ikkinchi hosilani topamiz.


Bizning misolimizda numerator nollari, maxraj nollari mavjud emas.

Biz bu nuqtalarni haqiqiy o'qga qo'yamiz va har bir hosil bo'lgan interval ichidagi ikkinchi hosilaning belgisini aniqlaymiz.



Xulosa qilamiz:

Nuqta deyiladi burilish nuqtasi, agar berilgan nuqtada funksiya grafigiga teginish bo'lsa va funksiyaning ikkinchi hosilasi orqali o'tganda ishora o'zgaradi.

Boshqacha qilib aytganda, burilish nuqtalari ikkinchi hosila belgisini o'zgartiradigan nuqtalar bo'lishi mumkin, nuqtalarning o'zi nolga teng yoki mavjud emas, lekin bu nuqtalar funktsiya sohasiga kiritilgan.

Bizning misolimizda burilish nuqtalari yo'q, chunki ikkinchi hosila nuqtalardan o'tishda belgini o'zgartiradi va ular funktsiya sohasiga kiritilmaydi.

Gorizontal va qiya asimptotalarni topish.

Gorizontal yoki qiya asimptotalarni faqat funksiya cheksizlikda aniqlanganda izlash kerak.

Egri asimptotlar to'g'ri chiziqlar shaklida izlanadi , bu erda va .

Agar a k=0 va b cheksizlikka teng emas, u holda qiya asimptota aylanadi gorizontal.

Bu asimptotlar kimlar?

Bu funksiya grafigi cheksizlikda yaqinlashadigan chiziqlar. Shunday qilib, ular funktsiyani tuzishda juda ko'p yordam beradi.

Agar gorizontal yoki qiya asimptotlar bo'lmasa, lekin funktsiya ortiqcha cheksizlik va/yoki minus cheksizlikda aniqlangan bo'lsa, u holda funktsiyaning chegarasi ortiqcha cheksizlik va/yoki minus cheksizlikda hisoblanishi kerak. funksiya grafigi.

Bizning misolimiz uchun

gorizontal asimptotadir.

Bu funktsiyani o'rganishni yakunlaydi, biz chizishga o'tamiz.

Biz funktsiya qiymatlarini oraliq nuqtalarda hisoblaymiz.

Aniqroq chizish uchun biz oraliq nuqtalarda (ya'ni, funktsiyani aniqlash maydonining istalgan nuqtasida) bir nechta funktsiya qiymatlarini topishni tavsiya qilamiz.

Bizning misolimiz uchun funksiyaning x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4 nuqtalardagi qiymatlarini topamiz. Funksiyaning pariteti tufayli bu qiymatlar x=2 , x=1 , x=3/4 , x=1/4 nuqtalardagi qiymatlarga mos keladi.


Grafik yaratish.

Birinchidan, biz asimptotalarni quramiz, funktsiyaning mahalliy maksimal va minimal nuqtalarini, burilish nuqtalarini va oraliq nuqtalarni chizamiz. Chizish qulayligi uchun siz o'sish, pasayish, qavariqlik va konkavlik oraliqlarining sxematik belgilarini ham qo'llashingiz mumkin, biz =) funktsiyasini bejiz o'rganmaganmiz.


Belgilangan nuqtalar orqali asimptotalarga yaqinlashib, strelkalar bo'ylab grafik chiziqlarini chizish qoladi.


Tasviriy san'atning ushbu durdonasi bilan funktsiyani to'liq tekshirish va chizmachilik vazifasi tugallandi.

Ayrim elementar funksiyalarning grafiklari asosiy elementar funksiyalarning grafiklaridan foydalanib tuzilishi mumkin.

Agar vazifada f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 funktsiyasini uning grafigini qurish bilan to'liq o'rganish kerak bo'lsa, biz ushbu printsipni batafsil ko'rib chiqamiz.

Bunday turdagi masalani yechish uchun asosiy elementar funksiyalarning xossalari va grafiklaridan foydalanish kerak. Tadqiqot algoritmi quyidagi bosqichlarni o'z ichiga oladi:

Ta'rif sohasini topish

Tadqiqot funktsiya sohasi bo'yicha olib borilganligi sababli, ushbu bosqichdan boshlash kerak.

1-misol

Berilgan misol, ularni DPVdan chiqarib tashlash uchun maxrajning nollarini topishni o'z ichiga oladi.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Natijada siz ildizlar, logarifmlar va hokazolarni olishingiz mumkin. Shunda ODZ g (x) 4 turdagi juft darajali ildizni g (x) ≥ 0 tengsizlik orqali, log a g (x) logarifmini g (x) > 0 tengsizlik orqali izlash mumkin.

ODZ chegaralarini tekshirish va vertikal asimptotalarni topish

Funktsiya chegaralarida vertikal asimptotlar mavjud bo'lib, bunday nuqtalarda bir tomonlama chegaralar cheksiz bo'ladi.

2-misol

Masalan, x = ± 1 2 ga teng chegara nuqtalarini ko'rib chiqing.

Keyin bir tomonlama chegarani topish uchun funktsiyani o'rganish kerak. Shunda biz shuni olamiz: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Bu shuni ko'rsatadiki, bir tomonlama chegaralar cheksizdir, ya'ni x = ± 1 2 chiziqlar grafikning vertikal asimptotalari hisoblanadi.

Funksiyani tekshirish va juft yoki toq uchun

y (- x) = y (x) sharti bajarilganda funksiya juft deb hisoblanadi. Bu grafikning O y ga nisbatan simmetrik joylashganligini ko'rsatadi. y (- x) = - y (x) sharti bajarilganda funksiya toq deb hisoblanadi. Bu shuni anglatadiki, simmetriya koordinatalarning kelib chiqishiga qarab ketadi. Agar kamida bitta tengsizlik bajarilmasa, biz umumiy shakl funksiyasini olamiz.

y (- x) = y (x) tengligining bajarilishi funksiyaning juft ekanligini bildiradi. Qurilayotganda O y ga nisbatan simmetriya bo lishini hisobga olish kerak.

Tengsizlikni yechish uchun mos ravishda f "(x) ≥ 0 va f" (x) ≤ 0 shartlar bilan o'sish va kamayish intervallari qo'llaniladi.

Ta'rif 1

Statsionar nuqtalar lotinni nolga aylantiruvchi nuqtalardir.

Kritik nuqtalar funktsiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud bo'lmagan sohaning ichki nuqtalari.

Qaror qabul qilishda quyidagi fikrlarni hisobga olish kerak:

• f "(x) > 0 ko'rinishdagi tengsizlikni oshirish va kamaytirishning mavjud intervallari uchun kritik nuqtalar yechimga kiritilmaydi;
• Funktsiya chekli hosilasiz aniqlangan nuqtalar o'sish va pasayish oraliqlariga kiritilishi kerak (masalan, y \u003d x 3, bu erda x \u003d 0 nuqta funktsiyani aniqlaydi, hosila abadiylik qiymatiga ega bu nuqtada y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 o'sish oralig'iga kiritilgan);
• kelishmovchiliklarni oldini olish uchun ta'lim vazirligi tomonidan tavsiya etilgan matematik adabiyotlardan foydalanish tavsiya etiladi.

Kritik nuqtalarni o'sish va kamayish oraliqlariga kiritish, agar ular funktsiya sohasini qanoatlantirsa.

Ta'rif 2

Uchun funksiyaning ortish va kamayish intervallarini aniqlab, topish kerak:

• hosila;
• tanqidiy nuqtalar;
• kritik nuqtalar yordamida aniqlash sohasini intervallarga ajratish;
• oraliqlarning har birida hosila belgisini aniqlang, bu erda + - o'sish va - kamayish.

3-misol

f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) domenidagi hosilani toping. 2018-04-22

Yechim

Yechish uchun sizga kerak:

• statsionar nuqtalarni toping, bu misolda x = 0 mavjud;
• maxrajning nollarini toping, misol x = ± 1 2 da nol qiymatini oladi.

Har bir oraliqda hosilani aniqlash uchun raqamli o'qdagi nuqtalarni ko'rsatamiz. Buning uchun intervaldan istalgan nuqtani olib, hisob-kitob qilish kifoya. Natija ijobiy bo'lsa, grafikda + chizamiz, bu funktsiyaning ortishi va - uning kamayishini anglatadi.

Masalan, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, ya'ni chapdagi birinchi intervalda + belgisi bor. Raqamni ko'rib chiqing. chiziq.

Javob:

• - ∞ oraliqda funksiyaning ortishi kuzatiladi; - 1 2 va (- 1 2 ; 0 ] ;
• oraliqda pasayish mavjud [ 0 ; 1 2) va 1 2 ; +∞ .

Diagrammada + va - yordamida funktsiyaning ijobiy va salbiy tomonlari tasvirlangan va o'qlar kamayish va o'sishni ko'rsatadi.

Funksiyaning ekstremum nuqtalari funksiya aniqlanadigan va hosila belgisini oʻzgartiradigan nuqtalardir.

4-misol

Agar x \u003d 0 bo'lgan misolni ko'rib chiqsak, undagi funktsiyaning qiymati f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Agar lotin belgisi + dan - ga o'zgarganda va x \u003d 0 nuqtasidan o'tganda, u holda koordinatali nuqta (0; 0) maksimal nuqta hisoblanadi. Belgisi - dan + ga o'zgartirilsa, biz minimal nuqtani olamiz.

Qavariqlik va botiqlik f "" (x) ≥ 0 va f "" (x) ≤ 0 ko'rinishdagi tengsizliklarni yechish yo'li bilan aniqlanadi. Kamdan-kam hollarda ular bo'rtma o'rniga bo'rtib pastga, bo'rtiq o'rniga bo'rtib ko'radilar.

Ta'rif 3

Uchun botiqlik va qavariqlik bo'shliqlarini aniqlash zarur:

• ikkinchi hosilani toping;
• ikkinchi hosila funksiyasining nollarini toping;
• oraliqlarda paydo bo'ladigan nuqtalar bo'yicha aniqlash sohasini buzish;
• bo'shliqning belgisini aniqlang.

5-misol

Ta'rif sohasidan ikkinchi hosilani toping.

Yechim

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Biz pay va maxrajning nollarini topamiz, bu erda bizning misolimizdan foydalanib, maxrajning nollari x = ± 1 2 ga teng.

Endi siz raqamlar chizig'iga nuqta qo'yishingiz va har bir oraliqdan ikkinchi hosilaning belgisini aniqlashingiz kerak. Biz buni tushunamiz

Javob:

• funksiya oraliqdan qavariq - 1 2 ; 12;
• funksiya bo'shliqlardan konkav - ∞ ; - 1 2 va 1 2; +∞ .

Ta'rif 4

burilish nuqtasi x 0 ko'rinishdagi nuqtadir; f(x0) . Agar u funktsiya grafigiga teginishga ega bo'lsa, u x 0 dan o'tganda, funktsiya ishorasini teskari tomonga o'zgartiradi.

Boshqacha qilib aytganda, bu ikkinchi hosila o'tib, belgisini o'zgartiradigan, nuqtalarda esa nolga teng yoki mavjud bo'lmagan nuqta. Barcha nuqtalar funksiyaning sohasi hisoblanadi.

Misolda hech qanday burilish nuqtalari yo'qligi ko'rindi, chunki ikkinchi hosila x = ± 1 2 nuqtalardan o'tishda ishorani o'zgartiradi. Ular, o'z navbatida, ta'rif sohasiga kiritilmagan.

Gorizontal va qiya asimptotalarni topish

Funktsiyani cheksizlikda belgilashda gorizontal va qiya asimptotalarni izlash kerak.

Ta'rif 5

Egri asimptotlar y = k x + b tenglama bilan berilgan chiziqlar yordamida chiziladi, bu erda k = lim x → ∞ f (x) x va b = lim x → ∞ f (x) - k x .

k = 0 va b cheksizlikka teng bo'lmaganda, qiyshiq asimptota bo'lishini topamiz. gorizontal.

Boshqacha qilib aytganda, asimptotalar funksiya grafigi cheksizlikda yaqinlashadigan chiziqlardir. Bu funksiya grafigini tez qurishga yordam beradi.

Agar asimptotlar bo'lmasa, lekin funksiya ikkala cheksizlikda ham aniqlangan bo'lsa, funktsiya grafigi qanday harakat qilishini tushunish uchun ushbu cheksizliklarda funktsiya chegarasini hisoblash kerak.

6-misol

Misol tariqasida buni ko'rib chiqing

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

gorizontal asimptotadir. Funktsiyani o'rganib chiqqandan so'ng, uni qurishni boshlashingiz mumkin.

Oraliq nuqtalarda funksiya qiymatini hisoblash

Chizmani eng aniq qilish uchun oraliq nuqtalarda funktsiyaning bir nechta qiymatlarini topish tavsiya etiladi.

7-misol

Biz ko'rib chiqqan misoldan x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 nuqtalardagi funktsiya qiymatlarini topish kerak. Funktsiya juft bo'lgani uchun biz qiymatlar ushbu nuqtalardagi qiymatlarga to'g'ri kelishini olamiz, ya'ni x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4 ni olamiz.

Keling, yozamiz va hal qilamiz:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Funksiyaning maksimal va minimallarini, burilish nuqtalarini, oraliq nuqtalarini aniqlash uchun asimptotalarni qurish kerak. Qulay belgilash uchun o'sish, pasayish, konvekslik, konkavlik oraliqlari belgilanadi. Quyidagi rasmni ko'rib chiqing.

Belgilangan nuqtalar orqali grafik chiziqlarni o'tkazish kerak, bu sizga strelkalar bo'yicha asimptotalarga yaqinlashish imkonini beradi.

Bu funktsiyani to'liq o'rganishni yakunlaydi. Ba'zi elementar funktsiyalarni qurish holatlari mavjud, ular uchun geometrik o'zgarishlar qo'llaniladi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing