Ko'pburchakning maydonini qanday topish mumkin? Ko'pburchak kvadrat qog'ozga chizilgan masalani yechish bo'yicha maslahat.

Iltimos, menga geometriyani hal qilishga yordam bering va yaxshiroq javob oling

dan javob
1. Agar ko'pburchak ixtiyoriy bo'lsa, unda bitta cho'qqidan barcha diagonallarni chizib, har bir uchburchakning maydonini toping. Natijalarni qo'shing. Agar ko'pburchak muntazam bo'lsa, unda har bir alohida holat uchun formulalar mavjud. Lekin siz xulosa qilishingiz mumkin va umumiy formula tomonlar soniga qarab.
2. Ko‘pburchakning maydoni quyidagi xossalarga ega bo‘lgan musbat kattalikdir:
I. Teng ko‘pburchaklar teng maydonlarga ega.
II. Agar ko'pburchak ichki umumiy nuqtalari bo'lmagan ikkita ko'pburchakdan iborat bo'lsa, uning maydoni ushbu ko'pburchaklar maydonlarining yig'indisiga teng bo'ladi.
III. Bir tomoni uzunlik birligiga teng bo'lgan kvadratning maydoni 1 ga teng (maydonlarning o'lchov birligi)
3. To'rtburchakning maydoni uning tomonlari ko'paytmasiga teng
Hujjat:
To'rtburchakning yon uzunligi a va b bo'lsin. Keling, uni a + b tomonli kvadratga qadar quramiz. Ya'ni, uning maydoni (kvadrat) (a + b) ^ 2. Boshqa tomondan, bu maydon tomoni a bo'lgan kvadrat, b tomoni bo'lgan kvadrat va tomonlari a va b bo'lgan ikkita to'rtburchaklar yig'indisiga teng (biz buni isbotlaymiz). Uni S deb belgilaymiz va a + b tomoni bo'lgan kvadrat bilan maydonni "kichik to'rtburchaklar va kvadratlar" maydonlarining yig'indisiga tenglashtiramiz.
(a + b) ^ 2 = S + S + a ^ 2 + b ^ 2
a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab = a ^ 2 + b ^ 2 + 2S
2ab = 2S
S = ab. Tasdiqlangan
4. Sabcd = a * h (Parallelogrammaning maydoni uning asosi va balandligi ko'paytmasiga teng)
Agar BF va CM AD chizig'iga perpendikulyar bo'lsa, u holda ABF uchburchagi = DCE uchburchagi
(chunki AB = DC va proyeksiya AF = DM). Shuning uchun bu uchburchaklarning maydonlari tengdir. ABCD parallelogrammasining maydoni ikkita raqam yig'indisiga teng: ABF uchburchagi (DCM uchburchagiga teng) va FBCD trapesiya. Shunday qilib, agar ABCD maydonidan ABF uchburchagining maydonini ayirsak, FBCD trapesiya maydonini olamiz. Keyin ABCD parallelogrammasining maydoni FBCM to'rtburchaklar maydoniga teng bo'ladi. Va bu to'rtburchakning tomonlari BC = AD = a va BF = h.
S ABCD = AD BF = a h.
5. to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni to'rtburchakning yarmiga teng, ya'ni S = ab. keyin Str = ab / 2.
yoki ch2. chunki to'g'ri burchakli uchburchakda oyoqlarning ko'paytmasi balandlik va gipotenuzaning ko'paytmasiga teng.
6. Agar bir uchburchakning burchagi boshqa uchburchakning burchagiga teng bo‘lsa, bu uchburchaklar maydonlarining nisbati teng burchaklarni o‘rab turgan tomonlarning ko‘paytmalari nisbatiga teng bo‘ladi.
7. Trapetsiyaning maydoni asoslarning yarim yig'indisi va poydevorlarga chizilgan balandlikning ko'paytmasiga teng. Ikkita balandlikni chizib, biz tomonlari a va h bo'lgan to'rtburchaklar va oyoqlari p va q bo'lgan ikkita to'g'ri burchakli uchburchakni olamiz, shunday qilib a + p + q = b. S = ah + ph / 2 + qh / 2 = (2a + p + q) h / 2 = (a + (a + p + q)) h / 2 = (a + b) h / 2. Quod errat demonstrandum
8. Formulalar Pifagor teoremasi: (a va b) oyoqlari bilan qo'llab -quvvatlanadigan kvadratchalar maydonlarining yig'indisi (c) gipotenuzasida qurilgan kvadrat maydoniga teng Geometrik formulalar: Dastlab teorema tuzilgan. quyidagicha: to'g'ri uchburchak gipotenuzada qurilgan kvadratning maydoni oyoqlarda qurilgan kvadratlarning maydonlarining yig'indisiga teng. Algebraik formula: To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning uzunligi kvadrati oyoqlarning uzunliklari kvadratlarining yig'indisiga teng. Ya'ni, uchburchakning gipotenuza uzunligini va orqali o'tadigan oyoqlari uzunliklarini va va orqali ifodalash: Teoremaning ikkala bayonoti ham ekvivalent, lekin ikkinchi bayonot elementarroq, u maydon tushunchasini talab qilmaydi. Ya'ni, ikkinchi bayonotni maydon haqida hech narsa bilmasdan va faqat to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari uzunligini o'lchash orqali tekshirish mumkin.

Iltimos, menga geometriyani hal qilishga yordam bering va yaxshiroq javob oling

dan javob
1. Agar ko'pburchak ixtiyoriy bo'lsa, unda bitta cho'qqidan barcha diagonallarni chizib, har bir uchburchakning maydonini toping. Natijalarni qo'shing. Agar ko'pburchak muntazam bo'lsa, unda har bir alohida holat uchun formulalar mavjud. Ammo siz tomonlar soniga qarab umumiy formulani ham olishingiz mumkin.
2. Ko‘pburchakning maydoni quyidagi xossalarga ega bo‘lgan musbat kattalikdir:
I. Teng ko‘pburchaklar teng maydonlarga ega.
II. Agar ko'pburchak ichki umumiy nuqtalari bo'lmagan ikkita ko'pburchakdan iborat bo'lsa, uning maydoni ushbu ko'pburchaklar maydonlarining yig'indisiga teng bo'ladi.
III. Bir tomoni uzunlik birligiga teng bo'lgan kvadratning maydoni 1 ga teng (maydonlarning o'lchov birligi)
3. To'rtburchakning maydoni uning tomonlari ko'paytmasiga teng
Hujjat:
To'rtburchakning yon uzunligi a va b bo'lsin. Keling, uni a + b tomonli kvadratga qadar quramiz. Ya'ni, uning maydoni (kvadrat) (a + b) ^ 2. Boshqa tomondan, bu maydon tomoni a bo'lgan kvadrat, b tomoni bo'lgan kvadrat va tomonlari a va b bo'lgan ikkita to'rtburchaklar yig'indisiga teng (biz buni isbotlaymiz). Uni S deb belgilaymiz va a + b tomoni bo'lgan kvadrat bilan maydonni "kichik to'rtburchaklar va kvadratlar" maydonlarining yig'indisiga tenglashtiramiz.
(a + b) ^ 2 = S + S + a ^ 2 + b ^ 2
a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab = a ^ 2 + b ^ 2 + 2S
2ab = 2S
S = ab. Tasdiqlangan
4. Sabcd = a * h (Parallelogrammaning maydoni uning asosi va balandligi ko'paytmasiga teng)
Agar BF va CM AD chizig'iga perpendikulyar bo'lsa, u holda ABF uchburchagi = DCE uchburchagi
(chunki AB = DC va proyeksiya AF = DM). Shuning uchun bu uchburchaklarning maydonlari tengdir. ABCD parallelogrammasining maydoni ikkita raqam yig'indisiga teng: ABF uchburchagi (DCM uchburchagiga teng) va FBCD trapesiya. Shunday qilib, agar ABCD maydonidan ABF uchburchagining maydonini ayirsak, FBCD trapesiya maydonini olamiz. Keyin ABCD parallelogrammasining maydoni FBCM to'rtburchaklar maydoniga teng bo'ladi. Va bu to'rtburchakning tomonlari BC = AD = a va BF = h.
S ABCD = AD BF = a h.
5. to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni to'rtburchakning yarmiga teng, ya'ni S = ab. keyin Str = ab / 2.
yoki ch2. chunki to'g'ri burchakli uchburchakda oyoqlarning ko'paytmasi balandlik va gipotenuzaning ko'paytmasiga teng.
6. Agar bir uchburchakning burchagi boshqa uchburchakning burchagiga teng bo‘lsa, bu uchburchaklar maydonlarining nisbati teng burchaklarni o‘rab turgan tomonlarning ko‘paytmalari nisbatiga teng bo‘ladi.
7. Trapetsiyaning maydoni asoslarning yarim yig'indisi va poydevorlarga chizilgan balandlikning ko'paytmasiga teng. Ikkita balandlikni chizib, biz tomonlari a va h bo'lgan to'rtburchaklar va oyoqlari p va q bo'lgan ikkita to'g'ri burchakli uchburchakni olamiz, shunday qilib a + p + q = b. S = ah + ph / 2 + qh / 2 = (2a + p + q) h / 2 = (a + (a + p + q)) h / 2 = (a + b) h / 2. Quod errat demonstrandum
8. Bayonotlar Pifagor teoremasi: (a va b) oyoqlari tomonidan qo'llab-quvvatlanadigan kvadratlar maydonlarining yig'indisi gipotenuzada (c) qurilgan kvadrat maydoniga teng.Geometrik formulasi: Dastlab, teorema shakllantirildi. quyidagicha: To'rtburchaklar uchburchakda gipotenuzada qurilgan kvadratning maydoni oyoqlarda qurilgan kvadratlarning yig'indisiga teng. Algebraik formula: To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning uzunligi kvadrati oyoqlarning uzunliklari kvadratlarining yig'indisiga teng. Ya'ni, uchburchakning gipotenuza uzunligini va orqali o'tadigan oyoqlari uzunligini va va orqali ifodalash: Teoremaning ikkala bayonoti ham ekvivalent, lekin ikkinchi bayonot elementarroq, u maydon tushunchasini talab qilmaydi. Ya'ni, ikkinchi bayonotni maydon haqida hech narsa bilmasdan va faqat to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari uzunligini o'lchash orqali tekshirish mumkin.

Ko'pburchaklar maydonlarini amaliy o'lchash segmentlar uzunligini o'zgartirish bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi. Maydonlarning o'lchov birligi kvadrat bo'lib, uning tomoni segmentlar o'lchov birligiga teng. Ushbu kvadratning maydoni birga teng deb hisoblanadi. Ko'pburchakning maydonini o'lchash o'lchov birligi va uning qismlari berilgan ko'pburchakka necha marta mos kelishini aniqlashni anglatadi - bu maydon uning maydoni sifatida qabul qilinadi.

Amalda ko'pburchakning maydonini o'lchash quyidagicha amalga oshirilishi mumkin.

Bir varaq qog'ozni tomoni segmentlarning o'lchov birligiga teng bo'lgan kvadratchalarga chizamiz va unga ushbu ko'pburchakni qo'yamiz. M - ko'pburchak bilan to'liq qoplangan kvadratchalar soni, n - ko'pburchak bilan qisman qoplangan kvadratchalar soni bo'lsin.

Shunday qilib, ko'pburchakning maydonini ifodalovchi S raqami raqamlar orasiga qo'yilgan

S 1 = m va S 1, = m + n:

S 1 va S 1 raqamlarining har biri S sonining taxminiy qiymati sifatida ko'rib chiqilishi mumkin (S 1 - etishmovchilik bilan, S 1 - ortiqcha bilan).

Ko'pburchakning maydonini aniqroq o'lchash uchun har bir n ta qisman qoplangan kvadratni 100 teng kvadratga ajratamiz. Ularning har birining maydoni teng ekanligi aniq. M1 - bizning ko'pburchak bilan to'liq qoplangan kvadratchalar soni, n1 - qisman qoplangan kvadratchalar soni bo'lsin. Shubhasiz, m1 + n1? 100n. endi biz S raqamini S 2 = m + va S 2, = m + raqamlari orasida aytishimiz mumkin, ya'ni. S 2? S? S 2, aniqki, S 2 S 1 dan katta yoki teng. boshqa tomondan, m1 + n1 dan beri? 100n, unda? n va shuning uchun S 2? S 1.

Endi biz n 1 ta qisman qoplangan kvadratlarning har birini yana 100 ta kichik teng kvadratlarga ajratamiz va fikrimizni takrorlaymiz. Natijada biz yangi tengsizliklarni olamiz: S 1? S? S 3 va S 3,? S2 va S 3? S 2 ,. Keling, shunga o'xshash mulohazalarni yana takrorlaylik va hokazo. Bunday holda, SS S / R, S 1 S 2 ... SR, S / 1 S / 2 ... S / R shaklidagi tobora ko'proq yangi tengsizliklar olinadi va farq S / R -SR bo'ladi. k ortishi bilan nolga yaqinlashadi. Bu farq kvadratlardan tashkil topgan va ko'pburchakni bog'laydigan ko'p chiziqni qoplaydigan shaklning maydoniga teng ekanligidan kelib chiqadi (rasmda ko'pburchak kattalashtirilgan shkalada ko'rsatilgan).

K ortishi bilan bu ko'rsatkich singan chiziqqa yaqinlashadi va qisqaradi va shuning uchun uning maydoni nolga yaqinlashadi. shuning uchun S R va S / R raqamlari S ga yaqinlashadi. Bu ko'pburchakning maydonini o'lchash jarayoni bo'lib, S ning taxminiy qiymatini ixtiyoriy aniqlik bilan topishga imkon beradi.

Geometriya masalalarida ko'pincha ko'pburchakning maydonini hisoblash talab qilinadi. Bundan tashqari, u juda xilma-xil shaklga ega bo'lishi mumkin - tanish uchburchakdan tortib, tasavvur qilib bo'lmaydigan ko'p sonli n-gongacha. Bundan tashqari, bu ko'pburchaklar qavariq yoki konkavdir. Har bir aniq vaziyatda u figuraning tashqi ko'rinishiga asoslanishi kerak. Shunday qilib, muammoni hal qilishning eng yaxshi usulini tanlash kerak bo'ladi. Rasm to'g'ri bo'lib chiqishi mumkin, bu muammoni hal qilishni sezilarli darajada soddalashtiradi.

Ko'pburchaklar haqida bir oz nazariya

Agar siz uch yoki undan ortiq kesishgan chiziqlar chizsangiz, ular qandaydir shaklni hosil qiladi. U ko'pburchakdir. Kesishish nuqtalari soniga ko'ra, uning qancha cho'qqisi bo'lishi aniq bo'ladi. Ular hosil bo'lgan shaklga nom beradi. Bo'lishi mumkin:

Bunday raqam, albatta, ikkita pozitsiya bilan tavsiflanadi:

1. Qo'shni tomonlar bir xil to'g'ri chiziqqa tegishli emas.
2. Qo'shni bo'lmaganlarning umumiy nuqtalari yo'q, ya'ni ular kesishmaydi.

Qaysi uchlari qo'shni ekanligini tushunish uchun ular bir tomonga tegishli yoki yo'qligini ko'rishingiz kerak. Ha bo'lsa, qo'shnilar. Aks holda, ular diagonal deb atalishi kerak bo'lgan segment bilan bog'lanishi mumkin. Ularni faqat uchdan ortiq uchlari bo'lgan ko'pburchaklarda chizish mumkin.

Ularning turlari qanday?

To'rtdan ortiq burchakli ko'pburchak qavariq yoki konkav bo'lishi mumkin. Ikkinchisining farqi shundaki, uning ba'zi tepaliklari ko'pburchakning ixtiyoriy tomoni orqali chizilgan to'g'ri chiziqning qarama -qarshi tomonlarida yotishi mumkin. Qavariqda barcha uchlari har doim shunday to'g'ri chiziqning bir tomonida yotadi.

V maktab kursi geometriya, ko'p vaqt qavariq shakllarga bag'ishlangan. Shuning uchun muammolarda qavariq ko'pburchakning maydonini topish talab etiladi. Keyin chegaralangan doira radiusi orqali formula mavjud bo'lib, u har qanday raqam uchun kerakli qiymatni topishga imkon beradi. Boshqa hollarda, yagona yechim yo'q. Uchburchak uchun formulalar bitta, lekin kvadrat yoki trapezoid uchun u butunlay boshqacha. Raqam noto'g'ri yoki ko'p cho'qqilar bo'lgan holatlarda, ularni oddiy va tanishlarga ajratish odat tusiga kiradi.

Shaklning uch yoki to'rtta uchi bo'lsa-chi?

Birinchi holda, bu uchburchak bo'lib chiqadi va siz formulalardan birini qo'llashingiz mumkin:

• S = 1/2 * a * n, bu erda a - yon, n - uning balandligi;
• S = 1/2 * a * b * sin (A), bu erda a, b - uchburchakning tomonlari \ s, A - ma'lum tomonlar orasidagi burchak;
• S = √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), bu erda c - uchburchakning tomoni, allaqachon belgilangan ikkitasiga, p - yarim perimetr, ya'ni yig'indisi uch tomondan ikkiga bo'lingan ...

To'rtta burchakli raqam parallelogramm bo'lishi mumkin:

• S = a * n;
• S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin (a), bu erda d 1 va d 2 diagonallar, a - ular orasidagi burchak;
• S = a * in * sin (a).

Formula uchun trapezoid maydoni: S = h * (a + b) / 2, bu erda a va b asoslarning uzunligi.

To'rtdan ortiq uchlari bo'lgan muntazam ko'pburchak bilan nima qilish kerak?

Boshlash uchun, bunday raqam unda barcha tomonlar teng ekanligi bilan tavsiflanadi. Bundan tashqari, ko'pburchak bir xil burchaklarga ega.

Agar siz bunday figuraning atrofidagi doirani tasvirlasangiz, u holda uning radiusi ko'pburchak markazidan cho'qqilardan biriga bo'lgan segmentga to'g'ri keladi. Shuning uchun, ixtiyoriy sonli uchlari bo'lgan muntazam ko'pburchakning maydonini hisoblash uchun sizga quyidagi formula kerak bo'ladi:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º / n), bu erda n - ko'pburchakning uchlari soni.

Undan maxsus holatlar uchun foydali bo'lganini olish oson:

1. uchburchak: S = (3√3) / 4 * R 2;
2. kvadrat: S = 2 * R 2;
3. olti burchakli: S = (3√3) / 2 * R 2.

Noto'g'ri raqam bilan vaziyat

Ko'pburchakning maydonini qanday topish mumkin, agar u noto'g'ri bo'lsa va ilgari ma'lum bo'lgan raqamlarning birortasiga tegishli bo'lmasa, algoritm:

• kesishmasligi uchun uni oddiy shakllarga, masalan, uchburchaklarga bo'ling;
• har qanday formuladan foydalanib, ularning maydonlarini hisoblash;
• barcha natijalarni qo'shing.

Muammo ko'pburchak uchlari koordinatalarini o'z ichiga olgan bo'lsa-chi?

Ya'ni, har bir nuqta uchun raqamning tomonlarini chegaralovchi juft raqamlar to'plami ma'lum. Odatda ular birinchisi uchun (x 1; y 1), ikkinchisi uchun (x 2; y 2) - yoziladi va n -chi tepalik shunday qiymatlarga ega (x n; y n). Keyin ko'pburchakning maydoni n ta hadning yig'indisi sifatida aniqlanadi. Ularning har biri quyidagicha ko'rinadi: ((y i + 1 + y i) / 2) * (x i + 1 - x i). Bu ifodada i birdan ngacha o'zgaradi.

Shuni ta'kidlash kerakki, natijaning belgisi raqamning o'tishiga bog'liq bo'ladi. Belgilangan formuladan foydalanganda va soat yo'nalishi bo'yicha harakatlanayotganda javob salbiy bo'ladi.

Misol topshiriq

Vaziyat. Tepaliklarning koordinatalari (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5) qiymatlari bilan berilgan. Siz ko'pburchakning maydonini hisoblashni xohlaysiz.

Yechim. Yuqoridagi formulaga ko'ra, birinchi atama (1,8 + 0,6) / 2 * (3,6 - 2,1) bo'ladi. Bu erda siz faqat ikkinchi va birinchi nuqtalardan o'yin va x qiymatlarini olishingiz kerak. Oddiy hisob-kitob 1.8 natijaga olib keladi.

Ikkinchi atama xuddi shunday olinadi: (2.2 + 1.8) / 2 * (2.3 - 3.6) = -2.6. Bunday muammolarni hal qilishda siz salbiy qadriyatlardan qo'rqmasligingiz kerak. Hamma narsa kerak bo'lganidek ketmoqda. Bu rejalashtirilgan.

Xuddi shunday, uchinchi (0,29), to'rtinchi (-6,365) va beshinchi shartlar (2,96) uchun qiymatlar olinadi. Keyin umumiy maydon: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.

Ko'pburchak kvadrat qog'ozga chizilgan masalani yechish bo'yicha maslahatlar

Ko'pincha hayratlanarli narsa shundaki, ma'lumotlarda faqat hujayra hajmi mavjud. Ammo qo'shimcha ma'lumot kerak emasligi ma'lum bo'ldi. Bunday muammoni hal qilish bo'yicha tavsiya - bu raqamni ko'plab uchburchaklar va to'rtburchaklarga bo'lish. Ularning maydonlarini qirralarning uzunligiga qarab hisoblash juda oddiy, ularni keyinchalik katlamoq oson.

Ammo ko'pincha osonroq yondashuv mavjud. Bu shaklni to'rtburchaklar shaklida chizish va uning maydonining qiymatini hisoblashdan iborat. Keyin ortiqcha bo'lgan elementlarning maydonlarini hisoblang. Ulardan olib tashlang umumiy qiymat... Ushbu parametr ba'zan bir oz kamroq harakatlarni o'z ichiga oladi.