To'liq bo'lmagan to'liq kvadrat tenglamani o'zgartirish quyidagicha (ish \\ (b \u003d 0 \\)):

Agar \\ (c \u003d 0 \\) yoki ikkala koeffitsientlar nolga teng bo'lsa, hamma narsa o'xshash.

Nol \\ (A \\) tengligi haqida gapirmang, u nol bo'lolmaydi, chunki bu holda quyidagilarga aylaning:

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarining qarori.

Birinchidan, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi hali ham, shuning uchun uni odatiy kvadrat (orqali) hal qilish mumkinligini tushunish kerak. Buning uchun shunchaki tenglamaning etishmayotgan tarkibiy qismini nol koeffitsienti bilan qo'shing.

Misol : Tenglamaning ildizlarini toping \\ (3x ^ 2-27 \u003d 0 \\)
Qaror :

		Bizda to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama (b \u003d 0 \\) Ya'ni biz quyidagi shaklda tenglamani yozishimiz mumkin:
\\ (3x ^ 2 + 0 \\ cdot x 27 \u003d 0 \\)		Aslida, bu erda boshidagi kabi tenglama bir xil, ammo endi uni oddiy maydon sifatida hal qilish mumkin. Avval koeffitsientlarni yozamiz.
\\ (a \u003d 3; \\) \\ (b \u003d 0; \\) \\ (c \u003d -27; \\)		Formulasi bilan kamsituvchi \\ (d \u003d b ^ 2-4ac \\) hisoblang
\\ (D \u003d 0 ^ 2-4 \\ cDOT3 \\ CDOT (-27) \u003d \\) \(=0+324=324\)		Formulalar bo'yicha tenglamaning ildizlarini toping \\ (x_ (1) \u003d \\) \\ (-b + \\ sqrt) (2a) \\) va \\ (x_ (2) \u003d \\) \\ (-b- \\ sqrt) )) (2a) \\)
\\ (x_ (1) \u003d \\) \\ (\\ Frac (-0+ \\ Sqrt (324)) (2 \\ cdot3) \\)\\ (\u003d \\) \\ (\\ FRAC (18) (6) \\) \\ (\u003d 3 \\) \\ (x_ (2) \u003d \\) \\ (\\ Frac (-0- \\ sqrt (324)) (2 \\ cdot3) \\)\\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-18) (6) \\ (\u003d - 3 \\)		Javobni yozib oling

Javob : \\ (x_ (1) \u003d 3 \\); \\ (x_ (2) \u003d - 3 \\)

Misol : Tenglama ildizlarini toping \\ (- x ^ 2 + x \u003d 0 \\)
Qaror :

		Yana to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama, ammo endi nol koeffitsienti \\ (c \\) ga teng. To'liq tenglamani to'ldiring.

Kvadratli tenglamalar. Kamsitchi. Eritma, misollar.

Diqqat!
Ushbu mavzu qo'shimcha mavjud
Maxsus 555 qismdagi materiallar.
Kuchli "unchalik emas ..."
Va "juda ..." bo'lganlar uchun

Kvadrat tenglamalar turlari

Kvadrat tenglama nima? Bu nimaga o'xshaydi? Jihatidan kvadratli tenglama Kalit so'z "Kvadrat". Bu shuni anglatadiki tenglamada oldin Maydondagi maydonda bo'lishi kerak. Undan tashqari, tenglamada (va bo'lmasligi mumkin!) Shunchaki x (birinchi darajasida) va faqat raqami (bepul a'zo). Va hech qanday darajaga ega bo'lmasligi kerak, ko'proq ikki.

Matematik til bilan gaplashish, kvadrat tenglamasi - bu shaklni tenglashtiradi:

Bu yerda a, b va bilan - ba'zi raqamlar. b va C.. - Hammasi va lekin- Hech kim nolga teng. Masalan:

Bu yerda lekin =1; b. = 3; c. = -4

Bu yerda lekin =2; b. = -0,5; c. = 2,2

Bu yerda lekin =-3; b. = 6; c. = -18

Xo'sh, tushundingiz ...

Ushbu maydon tenglamalarida chapda mavjud to'liq to'plam a'zolar. X kvadrat koeffitsient bilan ammox koeffitsient bilan birinchi darajali x b. va bEPUL DIK.

Bunday kvadrat tenglamalar deyiladi to'liq.

Agar b. \u003d 0, nima qilamiz? Bizda ... bor x birinchi daraja yo'qoladi. Ko'plab ko'payishdan nolgacha bo'ladi.) Masalan,:

5x 2 -25 \u003d 0,

2x 2 -6x \u003d 0,

- 2 + 4x \u003d 0

Va h.k. Va agar ikkala koeffitsienti bo'lsa, b. va c. nolga teng, bu hali ham soddalashtiring:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

Biror narsa etishmayotgan bunday tenglamalar deyiladi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari. Bu juda mantiqiy narsa.) Men sizdan x maydonda barcha tenglamalardagi maydonda mavjudligini payqashingizni so'rayman.

Aytgancha, nima uchun lekin Nol bo'lolmaydimi? Va o'rniga siz o'rnini bosasiz lekin NOLIK.) Biz maydonda yo'qoladi! Tenglama chiziqli bo'ladi. Va u allaqachon boshqacha hal qilinadi ...

Bu asosiy turlar kvadrat tenglamalari. To'liq va to'liq emas.

Kvadrat tenglamalarini eritma.

To'liq kvadrat tenglamalarini hal qilish.

Kvadrat tenglamalari shunchaki hal qilinadi. Formulalar va aniq oddiy qoidalarga ko'ra. Birinchi bosqichda ma'lum bir tenglama standart shaklga olib kelinishi kerak, i.e. Aql

Agar sizga ushbu shaklda tenglama berilsa - birinchi bosqich kerak emas.) Asosiysi barcha koeffitsientlarni to'g'ri belgilashdir, lekin, b. va c..

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi quyidagicha:

Ildiz belgisi ostida ifoda deyiladi kamsinachi. Ammo bu haqda - quyida. Ko'rinib turibdiki, ICAni topish uchun biz foydalanamiz faqat a, b va bilan. Ular. Kvadrat tenglama koeffitsientlari. Faqat qadriyatlarni yaxshilab almashtiring a, b va bilan Ushbu formulada va biz ko'rib chiqamiz. O'rnini bosuvchi sizning oyatlaringiz bilan! Masalan, tenglamada:

lekin =1; b. = 3; c. \u003d -4. Bu erda va yozing:

Misol deyarli hal qilinadi:

Bu javob.

Hammasi juda oddiy. Va nima deb o'ylaysiz, xato qilish mumkin emas? Ha, ha, qanday qilib ...

Eng keng tarqalgan xatolar - qiyalik belgilari bilan chalkashliklar a, b va bilan. Balki ularning oyat-mo''jizalari bilan emas (u erda adashganlar) va ildizlarni hisoblash uchun formulani almashtirish bilan. Mana, aniq raqamlar bilan formulani batafsil yozuv. Agar hisoblashda muammolar bo'lsa, shunday qilmoq!

Aytaylik, siz buni hal qilishingiz kerak:

Bu yerda a. = -6; b. = -5; c. = -1

Aytaylik, siz kamdan-kam uchraydigan javoblaringiz borligini bilasiz.

Xo'sh, dangasa bo'lmang. Ortiqcha liniyani yozing 30 Sekundlar va xatolar soni keskin kesilgan. Bu erda biz batafsil yozamiz, barcha qavslar va belgilar bilan yozamiz:

Bu juda qiyin bo'lib ko'rinadi, shuning uchun ehtiyotkorlik bilan bo'yab qo'ying. Ammo bu faqat ko'rinadi. Urinib ko'ring. Yaxshi yoki tanlang. Yaxshisi, tezmi yoki to'g'ri? Bundan tashqari, men sizni tepaman. Bir muncha vaqt o'tgach, hamma narsani bo'yash uchun juda ehtiyotkorlik bilan yo'qoladi. O'zi to'g'ri bo'ladi. Ayniqsa, agar siz quyida keltirilgan amaliy usullarni qo'llasangiz. Bir guruhda kamroq metrajli misollarni osongina va xatosiz hal qilinadi!

Ammo, ko'pincha kvadrat tenglamalari biroz boshqacha ko'rinadi. Masalan, shunga o'xshash:

Buni bilib olingmi?) Ha! u to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarining qarori.

Ular umumiy formulaga ham hal qilinishi mumkin. Faqat teng bo'lgan narsalarni tasavvur qilish kerak a, b va bilan.

Tuzatildimi? Birinchi misolda a \u003d 1; b \u003d 4; lekin c.? Hech kim yo'q! Xo'sh, ha, to'g'ri. Matematikada bu degani c \u003d 0. ! Ana xolos. Biz o'rniga nol formulani almashtiramiz c, Va hamma narsa chiqadi. Xuddi shunday, ikkinchi misol bilan. Bu erda faqat nol bo'lmaydi dan, lekin b. !

Ammo to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari ancha osonlashtirilishi mumkin. Hech qanday formulasiz. Birinchi to'liq bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqing. Chap tomonda nima qilish mumkin? Siz qavs uchun bo'lishingiz mumkin! Keling.

Va bu nimadan? Va ish nolga teng ekanligi va faqat bir nechta ko'paytirgichlar nolga teng bo'lganda! Ishonma? Yaxshi, ikki nol bo'lmagan raqam bilan keling, ular nolga ko'payadi!
Ishlamaydi? Bu narsa ...
Shunday qilib, siz ishonch bilan yozishingiz mumkin: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

Hamma narsa. Bu bizning tenglamaning ildizlari bo'ladi. Ikkalasi ham mos keladi. Ulardan birortasini asl tenglamaga almashtirishda, biz sodiqlikni olamiz 0 \u003d 0. Siz ko'rib turganingizdek, echim umumiy formuladan ko'ra sodda. Men ta'kidlashimcha, qaysi x birinchi bo'ladi va bu juda befarq. Bir necha bor yozish uchun qulay, x 1 - Kamroq narsa va x 2 - ko'proq narsa.

Ikkinchi tenglama shunchaki hal qilinishi mumkin. Biz 9 dan o'ng tomonga olib boramiz. Biz olamiz:

9 dan chiqarib olish uchun ildiz bo'lib qoladi va shu. Ma'lum bo'lishicha:

Shuningdek, ikkita ildiz . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.

Shunday qilib, barcha to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar hal qilinadi. Yoki qavs qilish yoki raqamni o'ngga o'tkazish orqali, undan keyin ildizni qazib olish orqali.
Ushbu usullarni chalkashtirib yuborish juda qiyin. Shunchaki, chunki birinchi holatda siz qandaydir aniq emas va ikkinchi holatda, u qavslar uchun hech narsa emas ...

Kamsitchi. Kamsitish formulasi.

Sehrli so'z kamsinachi ! Kamdan-kam o'rta maktab o'quvchisi so'zni eshitmadi! "Kirlik bilan qaror qilish" iborasi ishonch va dalda beradi. Chunki kamsitish vositalaridan fokuslarni kutish shart emas! Bu oddiy va muomalada noqulay.) Men sizga echish uchun eng umumiy formulani eslatib o'taman har qanday Kvadrat tenglamalari:

Ildiz belgisi ostidagi ibora kamssiz deb ataladi. Odatda kamsituvchi xat bilan ko'rsatilgan D.. Kamsitish formulasi:

D \u003d B 2 - 4AC

Va diqqatga sazovor ifoda nima? Nega bu alohida ismga loyiq edi? Nimada kamsituvchilarning ma'nosi? Oxirida -b, yoki 2a. Ushbu formulada ular maxsus qo'ng'iroq qilishmaydi ... harflar va harflar.

Narsa - bu narsa. Ushbu formula uchun kvadrat tenglamani hal qilganda, bu mumkin umumiy uchta holat.

1. kamsituvchi ijobiy ijobiy. Bu shuni anglatadiki, ildizni olish mumkin. Yaxshi ildiz qazib olinadi yoki yomon - savol boshqacha. Aslida qazib olinishi juda muhimdir. Keyin kvadrat tenglamaingiz ikkita ildizga ega. Ikki xil echimlar.

2. kamsituvchi nolga teng. Keyin bitta echimni olasiz. Rumeratorda nolni olib tashlash hech narsani o'zgartirmaydi. Qattiq gapirish, bu bitta ildiz emas, lekin ikki xil bir xil. Ammo, soddalashtirilgan versiyasida gaplashish odatiy holdir bitta echim.

3. kamsituvchi salbiy. Kvadrat ildizning salbiy raqami olib tashlanmaydi. Ha mayli. Bu shuni anglatadiki, echimlar yo'q.

Rostini aytganda, bilan oddiy qaror Kvadrat tenglamalari, kamsituvchi tushunchador aniq talab qilinmaydi. Biz formulani koeffitsientlarning qiymatlarini almashtiramiz, ha, ishonamiz. Hamma narsa hamma narsa bo'ladi, ikkalangiz ham, biri ham emas. Biroq, ko'proq sanashda murakkab vazifalar, bilmasdan ma'nosi va formulasi kamsinachi yetarli emas. Ayniqsa, parametrlar bilan tenglamalarda. Bunday tenglamalar Gia va Ege-ga eng yuqori uchuvchidir!)

Shunday qilib, kvadrat tenglamalarini qanday hal qilish kerak Siz esda tutgan kamsituvchi orqali. Yoki bu yomon emasligini bilib oldim.) Men to'g'ri aniqlashni bilaman a, b va bilan. Bilim ehtiyotkorlik bilan ularni ildiz formulasida almashtiring va ehtiyotkorlik bilan Natijalarni hisoblang. Siz buni tushundingiz kalit so'z Bu yerga - diqqat bilan?

Va endi xatolar sonini keskin kamaytiradigan amaliy usullarga e'tibor bering. Xayolparastlik tufayli eng ko'p. ... shuning uchun u xafa bo'ladi va xafa bo'ladi ...

Avval ziyorat . Standart shaklga olib kelish uchun kvadrat tenglamani hal qilishdan oldin dangasa bo'lmang. Bu nimani anglatadi?
Aytaylik, barcha o'zgarishlardan keyin siz bunday tenglamani oldingiz:

Ildiz formulasini yozishga shoshilmang! Deyarli ehtimol, siz koeffitsientlarni chalkashtirasiz a, b va s. Misolni to'g'ri qurish. Birinchidan, x maydonda, keyin kvadratsiz, keyin bepul dik. Mana bunday:

Va yana shoshilmang! Maydondagi IX oldidagi minus sizni xafa qilish uchun sog'lom bo'lishi mumkin. Buni oson unuting ... minusdan xalos bo'ling. Qanday? Ha, avvalgi mavzuda o'qitilganidek! Butun tenglikni -1 ni ko'paytirish kerak Biz olamiz:

Ammo endi siz ildizlarning formulasini xavfsiz ravishda qayd etishingiz, kamsituvchi va misolni ko'rib chiqing. O'zingiz doringiz. Sizda 2 va -1 ildizlari bo'lishi kerak.

Ikkisini qabul qilish. Ildizlarni tekshiring! Vetya teoremasiga. Qo'rqmang, men hamma narsani tushuntirib beraman! Tekshirmoq oxirgi narsa tenglama. Ular. Biz ildiz formulasini yozib oldik. Agar (shu misolda) koeffitsient bo'lsa a \u003d 1., Ildizlarni osonlik bilan tekshiring. Ularni ko'paytirish uchun etarli. Bepul a'zo bo'lishi kerak, i.e. Bizning holatimizda -2. Eslatma, 2, a -2 emas! Bepul dik sizning belgingiz bilan . Agar u ishlamasa, bu erda to'plangan joyda demakdir. Xato qidiring.

Agar shunday bo'lsa - ildizlarni katlatish kerak. Oxirgi va yakuniy chek. Koeffitsient bo'lishi kerak b. dan qarama-qarshi belgisi. Bizning holatimizda -1 + 2 \u003d +1. Va koeffitsient b.IX oldida, 1 ga teng. Shunday qilib, hamma narsa to'g'ri!
Afsuski, bu misollar uchun juda sodda, bu erda x toza, koeffitsienti bilan a \u003d 1. Ammo hech bo'lmaganda bunday tenglamalarda tekshiring! Xatolar kamroq bo'ladi.

Uchinchi . Agar sizning tenglamaingizda kasr koeffitsientlar bo'lsa, - kasrlardan xalos bo'ling! Bir nechta tenglama umumiy maxraj"Qanday tenglamalarni qanday yechish kerak?" Bir xil o'zgarishlar "darsida aytilganidek. Xatoning fraktsiyalari bilan ishlaganda, ba'zi sabablarga ko'ra ...

Aytgancha, men sodda misolni soddalashtirish uchun yomon misolga va'da berdim. Arzimaydi! Mana.

Miniyalarda chalkashib bo'lmaslik uchun -1 hisobidagi tenglama dominant. Biz olamiz:

Ana xolos! Qaror qabul qiling - bir zavq!

Shunday qilib, mavzuni sarhisob qiling.

Amaliy maslahat:

1. Soliqlashdan oldin biz standart shaklga kvadrat tenglamasini beramiz, uni quramiz to'g'ri.

2. Agar salbiy koeffitsient Xdan oldin salbiy koeffitsientga arziydi, butun tenglamaning ko'payishini bartaraf etishni yo'q qiladi.

3. Agar fraksiya koeffitsientlar to'liq hajmga mos keladigan multinatorga ko'paytirish orqali kasrni yo'q qilsa.

4. Agar X kvadratda bo'lsa - toza, koeffitsient bir biriga teng, eritma Vetya teoremasi tomonidan osongina tekshirilishi mumkin. Buni qiling!

Endi hisoblash mumkin.)

Tenglamalarni yechish:

8x 2 - 6x + 1 \u003d 0

x 2 + 3x + 8 \u003d 0

x 2 - 4x + 4 \u003d 0

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

Javoblar (tartibsizlikda):

x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5

x 1.2 \u003d.2

x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0.5

x - har qanday raqam

x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3

echimlar yo'q

x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5

Hamma narsa qayerda? Zo'r! Kvadrat tenglamalar sizning boshingiz og'rig'i emas. Birinchi uchtasi chiqib, qolganlari - yo'qmi? Keyin muammo kvadrat tenglamalarida emas. Muammo tenglamalarning bir xil o'zgaradi. Ma'lumot bilan sayr qilish, foydali.

Haqiqatan ham bo'lmaydi? Yoki umuman ishlamaydimi? Keyin siz 555 bo'limga yordam berishingiz kerak. U erda bu misollar suyaklarni qismlarga ajratdi. Ko'rsatadigan asosiy Kutishdagi xatolar. , Albatta, ariza haqida hikoya qiladi bir xil o'zgarishlar Turli xil tenglamalarni hal qilishda. Juda ko'p yordam beradi!

Agar sizga ushbu sayt yoqsa ...

Aytgancha, menda yana bir juft qiziqarli saytlar bor.)

U misollar bilan tanishishda va sizning darajangizni bilib olish uchun kirish mumkin. Tez tekshirish bilan sinovdan o'tish. O'rganing - qiziqish bilan!)

Siz xususiyatlar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Kvadrat tenglamasini ko'rib chiqing:
(1) .
Ildizlar maydoni tenglama (1) formulalar tomonidan belgilanadi:
; .
Ushbu formulalar quyidagicha birlashtirilishi mumkin:
.
Kvadrat tenglamaning ildizlari ma'lum bo'lganida, ikkinchi darajali polinomni omillar ishi sifatida taqdim etilishi mumkin (ko'paytirgichlarda parchalanadi):
.

Keyingi, biz bunga ishonamiz - haqiqiy raqamlar.
O'ylab ko'ring kamsituvchi kvadrat tenglamasi:
.
Agar kamsituvchi ijobiy bo'lsa, unda kvadrat tenglamasi (1) ikki xil haqiqiy ildizga ega:
; .
Keyin kvadratning parchalanishi uch baravar pasayadi, omillar tarkibiga ega:
.
Agar kamsituvchi nol bo'lsa, unda kvadrat tenglama (1) ikkita (teng) haqiqiy ildizga ega:
.
Faktorizatsiya:
.
Agar kamsituvchi salbiy bo'lsa, unda kvadrat tenglamasi (1) ikkita har tomonlama konjulangan ildiz mavjud:
;
.
Bu erda - xayoliy birlik;
Va - ildizlarning haqiqiy va xayoliy qismlari:
; .
Keyin

.

Grafik izoh

Agar qurilsa jadval funktsiyasi
,
bu parabola, keyin grafikning kesish nuqtasi eksas bilan tenglamaning ildizlari bo'ladi
.
Qachonki, jadvallar abkissa o'qini (o'q) ikki ochkodan kesib o'tadi.
Qachonki, grafik bo'shliqni bir nuqtada o'zgartiradi.
Qachon, jadval abkissa o'qini kesib o'tmaydi.

Quyida bunday grafikalarga misollar keltirilgan.

Kvadrat tenglama bilan bog'liq foydali formulalar

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalar chiqish

Biz o'zgarishlarni amalga oshiramiz va formulalarni (F.1) va (F.3) amal qilamiz:




,
Qayerda
; .

Shunday qilib, biz ikkinchi darajali shaklda ko'payish uchun formula oldik:
.
Bu erdan tenglamani ko'rish mumkin

ijro etilgan
va.
Ya'ni, kvadrat tenglamaning ildizlari ildizlarga ega
.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini aniqlashning misollari

1-misol.

(1.1) .

Qaror

.
Bizning tenglamaimiz bilan taqqoslaganda (1.1), biz koeffitsientlarning qadriyatlarini topamiz:
.
Biz kamsituvchi deb bilamiz:
.
Isitma ijobiy bo'lsa, tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega:
;
;
.

Bu yerdan ko'paytirgichlar bo'yicha kvadrat uchlikning parchalanishini olamiz:

.

Jadval funktsiyasi y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 Abskissa o'qini ikki ochkodan kesib o'tadi.

Biz funktsiyalar jadvaliga quramiz
.
Ushbu funktsiya jadvali Parabola. U abkissa o'qini (o'qi) ikkita nuqtada joylashtiradi:
va.
Ushbu fikrlar boshlang'ich tenglamaning ildizlari (1.1).

Javob

;
;
.

2-misol.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(2.1) .

Qaror

Biz kvadrat tenglamasini umumiy shaklda yozamiz:
.
Boshlang'ich tenglama bilan taqqoslaganda (2.1), biz koeffitsientlarning qadriyatlarini topamiz:
.
Biz kamsituvchi deb bilamiz:
.
Kamsituvchi noldanganligi sababli, tenglama ikki ko'p (teng) ildizga ega:
;
.

Keyin ko'paytirgichlar bo'yicha uchta qarorning parchalanishi shakli:
.

Funktsiyasi g \u003d x 2 - 4 X + 4 Bir nuqtada abkissa o'qini so'raydi.

Biz funktsiyalar jadvaliga quramiz
.
Ushbu funktsiya jadvali Parabola. Bu bo'sh joyni (o'q) bir nuqtaga tegishli:
.
Bu nuqta boshlang'ich tenglamaning ildizi (2.1). Bu ildiz ko'paytirgichning kengayishiga ikki marta kiradi:
,
Bunday ildiz bir nechta deb ataladi. Ya'ni, ikkita teng ildiz borligiga ishoniladi:
.

Javob

;
.

3-misol.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(3.1) .

Qaror

Biz kvadrat tenglamasini umumiy shaklda yozamiz:
(1) .
Boshlang'ich tenglamani qayta yozamiz (3.1):
.
C (1) ni taqqoslang, biz koeffitsientlarning qadriyatlarini topamiz:
.
Biz kamsituvchi deb bilamiz:
.
Kamsituvchi salbiy. Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Siz murakkab ildizlarni topishingiz mumkin:
;
;

Biz funktsiyalar jadvaliga quramiz
.
Ushbu funktsiya jadvali Parabola. Bu abkissa o'qi (o'qi) ni kesib o'tmaydi. Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Javob

Haqiqiy ildizlar yo'q. Towing Integratsiya qilinadi:
;
;
.

Ma'lumki, bu tenglikning o'ziga xos timsoli, A, B va C - noma'lum X va b va c u erda haqiqiy koeffitsientlar, bu erda "Noma'lum X va C" ning haqiqiy koeffitsientlari. bir vaqtning o'zida yoki alohida. Masalan, c \u003d o, ≠ yoki aksincha. Biz kvadrat tenglamaning ta'rifini deyarli esladik.

Ikkinchi darajali tetiklik nolga teng. Birinchi koeffitsient A ≠ O, B va C har qanday qiymatga ega bo'lishi mumkin. X o'zgaruvchining qiymati keyin ulanishni almashtirish uni to'g'ri raqamli tenglikka aylantirganda bo'ladi. Haqiqiy ildizlar haqida to'xtalaylik, garchi tenglamaning echimlari to'liq deb nomlanishi mumkin, unda koeffitsientlarning hech biri teng bo'lgan tenglama, va u bilan bog'liq.
Men misolni hal qilaman. 2x 2 -9x-5 \u003d o, biz topamiz
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D ijobiy, keyin ildizlar mavjud, x 1 \u003d (9 + √121): 4 \u003d 5 va ikkinchi x 2 \u003d (9-√121): 4 \u003d -o, 5. Chek ular to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qiladi.

Mana kvadrat tenglamaning bosqichli eritmasi

Kirlik orqali har qanday tenglamaning chap qismida ma'lum bo'lgan kvadrat uchi atrofida uch oqishi mumkin. Bizning misolda. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (Ah 2 + Vx + C \u003d O)

Ikkinchi darajali to'liq emaslik bilan tugallanmaganligini ko'rib chiqing

1. ah 2 + vh \u003d o. Bepul atama, x 0 bilan koeffitsient, bu erda nol, ≠ o.
   Ushbu turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasini qanday hal qilish kerak? Biz xalatlar uchun x ni olib boramiz. Ikki ko'paytirgichning mahsuloti nolga teng bo'lganini eslaymiz.
   x (AX + b) \u003d o, x \u003d O yoki bolta + b \u003d o bo'lganda bo'lishi mumkin.
   2-ni qaror qilganingizdan so'ng, bizda x \u003d -b / a.
   Natijada, x 2 \u003d -b / a hisob-kitoblarga ko'ra, biz x 1 \u003d 0 bilan ildizlar bor.
2. Endi x da koeffitsientga teng, va (ー ga teng emas.
   x 2 + c \u003d O. Biz tenglikning o'ng tomonida o'tkazamiz, biz x 2 \u003d -c-ni olamiz. Shundan keyingina ushbu tenglamaning ijobiy raqami (\u003co) bo'lsa,
   X 1 (-C) mos ravishda x 2 ------√ (-C) ga teng. Aks holda, tenglama umuman ildizlarga ega emas.
3. So'nggi variant: b \u003d c \u003d o, ya'ni 2 \u003d O. Tabiiyki, bunday oddiy tenglama bitta ildizga ega, x \u003d O.

Xususiy holatlar

Qanday qilib to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani qanday hal qilish kerakligi ko'rib chiqilamiz.

• To'liq kvadrat tenglamada X-da ikkinchi koeffitsienti ham raqam.
  K \u003d O, 5b bo'lsin. Bizda kamsituvchi va ildizlarni hisoblash uchun formulalar mavjud.
  D / 4 \u003d k 2 - acots hisoblab chiqiladi, shuning uchun x 1.2 \u003d (d / 4 ± ± ± √) / a
  x \u003d -k / a uchun d \u003d o.
  D \u003co uchun ildiz yo'q.
• Kvadrat tenglamalar soni kvadrat 1, ular 1 yoshda bo'lsa, ular x 2 + px + o o. Yuqoridagi barcha formulalar ularga tarqalmoqda, hisob-kitoblar biroz sodda.
  Misol, x 2 -4x-9 \u003d 0. hisoblash D: 2 2 +9, D \u003d 13.
  x 1 \u003d 2 + √13, x 2 \u003d 2-√13.
• Bundan tashqari, u osongina ishlatiladigan qo'shimcha tenglamaning ildizlari, minus bilan ikkinchi koeffitsient (qarama-qarshi belgi) va bir xil ildizlarning mahsuloti q. a'zo. Ushbu tenglamaning ildizlarini osongina aniqlab olish mumkinligini tekshiring. To'lanmagan (barcha nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar bilan), bu teorema qo'llaniladi: x 1 + x 2 ga teng, mahsulot X 1 · x 2 c / a ga teng.

Bepul a'zo C va birinchi koeffitsient miqdori B koeffitsientiga teng. Bunday vaziyatda tenglama kamida bir ildizga ega emas (osonlikcha isbotlangan), birinchisi, agar u bo'lsa, ikkinchi va ° C / a To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani qanday hal qilish kerak, siz o'zingizni tekshirishingiz mumkin. Pirog kabi oson. Koeffitsientlar o'zaro munosabatlarda bo'lishi mumkin.

• x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
• Barcha koeffitsientlarning yig'indisi teng.
  Bunday tenglamaning ildizlari - 1 va s / a. Misol, 2x 2 -15x + 13 \u003d O.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

Ikkinchi darajali turli xil tenglamalarni hal qilishning boshqa usullari mavjud. Masalan, ushbu polinomning to'liq kvadratidan ajratish usuli. Grafik usullari biroz. Bunday misollar bilan tez-tez duch kelganingizda, siz urug'lar kabi "ularni bosishni o'rgansangiz, barcha yo'llar avtomatik ravishda eslaysiz.

Ichida zamonaviy jamiyat Maydonga ko'tarilgan o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar bilan harakatlarni bajarish qobiliyati ko'plab faoliyat sohalarida foydali bo'lishi va ilmiy amaliyotda keng qo'llanilishi mumkin va texnik tadbirlar. Buning dalillari dengiz va daryo kemalari, samolyotlar va raketalar dizayniga xizmat qilishi mumkin. Bunday hisob-kitoblar yordamida turli organlar harakati, shu jumladan kosmik ob'ektlar yordamida. Kvadrat tenglamalarini hal qilish, nafaqat binolarni loyihalash va qurishda, balki kundalik kundalik holatlarda ham iqtisodiy prognozlashda qo'llaniladi. Ular turistik kampaniyalarda, sportda, savdo do'konlarida va boshqa juda keng tarqalgan vaziyatlarda kerak bo'lishi mumkin.

Ko'pchilik komponentlarida ifodani buzamiz

Tenglama darajasi ushbu ifodani o'z ichiga olgan o'zgaruvchining maksimal qiymati bilan belgilanadi. Agar bu 2 bo'lsa, unda bunday tenglama faqat kvadrat deyiladi.

Agar formulalarning tili ifodalangan bo'lsa, unda qanday ko'rinishga ega bo'lishidan qat'i nazar, ko'rsatilgan iboralar har doim uchta nuqtadan iborat bo'lishi mumkin. Ular orasida: Axl 2 (ya'ni koeffitsienti bilan kvadrat bilan o'rnatilgan o'zgaruvchi), bx Bularning barchasi o'ng tomonda 0 ga teng. Aktsiyalar bundan mustasno bo'lmagan taqdirda, u boltadan tashqari, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi deb nomlanadi. Bunday vazifalarni hal qilish, topilishi oson bo'lgan o'zgaruvchilarning qiymati birinchi navbatda ko'rib chiqilishi kerak.

Agar shakl shaklda paydo bo'lsa, ikkita, aniq, bom va bx, o'ng tomonda ifoda qilingan ifodani ifodalash oson. Endi bizning tenglamaimiz bunga o'xshaydi: X (AX + B). Keyinchalik, bu yoki x \u003d 0 yoki vazifa quyidagi iboralardan o'zgaruvchini topishga qisqartirildi: bolta + b \u003d 0. Belgilangan tartibda ko'payish xususiyatlaridan biri. Qoidada aytilishicha, ikki omilning mahsuloti 0 Nation nolga teng bo'lsa, 0 natijasi.

Misol

x \u003d 0 yoki 8x - 3 \u003d 0

Natijada, biz tenglamaning ikki ildizini olamiz: 0 va 0.375.

Ushbu turdagi tenglamalar tanalarning og'irlik ta'siri ostida, koordinatalar boshida qabul qilingan muayyan nuqtadan harakatni boshlagan. Bu erda matematik rekord quyidagi shaklni oladi: y \u003d v 0 t + gt 2/2. 0 tomonini almashtirish va mumkin bo'lgan noma'lum qiymatlarni almashtirish, kerakli noma'lum qiymatlarni almashtirish, siz tananing yiqilishiga qadar tana ko'tarilishining vaqtidan boshlab o'tayotgan vaqtni, shuningdek, boshqa ko'p qadriyatlarni ko'rishingiz mumkin. Ammo keyinroq bu haqda gaplashamiz.

Multilatuvchilarning ifodasining parchalanishi

Yuqorida tavsiflangan qoida ko'rsatilgan vazifalarni hal qilish va yanada murakkab ishlarni hal qilishga imkon beradi. Ushbu turdagi kvadrat tenglamalarini echish bilan misollarni ko'rib chiqing.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Ushbu kvadrat uchlik tugadi. Boshlash uchun biz uni ko'paytiruvchilar uchun ajratamiz va parchalanishini o'zgartiramiz. Ular ikkitadan olinadi: (X-8) va (X-25) \u003d 0. Natijada 8 va 25 ta ildiz bor.

9-sinfda kvadrat tenglamalarini echish bilan misollar bu usul nafaqat ikkinchisiga, balki uchinchi va to'rtinchi buyruqlarida o'zgaruvchini topishiga imkon beradi.

Masalan: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18-0. Ko'proq o'zgaruvchan va (x + 1), (x-3) va (x-3) va (x-3) va (x). x + 3).

Natijada, bu tenglama uchta ildizga ega ekanligi aniq bo'ladi: -3; -ine; 3.

Ekstrakti kvadrat ildiz

Ikkinchi tartibning to'liq tenglamasining yana bir holati - bu milklar 2 va C komponentlaridan o'ng tomoni qurilgan harflar tilida keltirilgan ibora. Bu erda, o'zgaruvchining qiymati uchun bepul a'zo o'ng tomonva undan keyin tenglikning ikkala qismidan olinadi kvadrat ildiz. Shuni ta'kidlash kerakki, bu holda tenglamaning ildizlari odatda ikkitasi. Istisno faqat tenglik bilan teng bo'lishi mumkin, odatda o'zgaruvchini teng emas, shuningdek, o'zgaruvchan bo'lgan va to'g'ri tomoni salbiy tomonga aylanadi. Ichida so'nggi holat Hech qanday echimlar yo'q, chunki yuqoridagi harakatlar ildiz bilan amalga oshirilmaydi. Ushbu turdagi kvadrat tenglar echimlarining misollari ko'rib chiqilishi kerak.

Bunday holda, tenglamaning ildizlari -4 va 4 bo'ladi.

Er uchastkasini hisoblash

Bunday hisob-kitoblarga bo'lgan ehtiyoj chuqur antik davrda paydo bo'ldi, chunki uzoq vaqt davomida matematikani rivojlantirish ko'p jihatdan er uchastkalarining aniqligini aniqlash zarurati tufayli yuzaga keladi.

Ushbu turdagi vazifalar asosida ushbu turdagi vazifalar asosida ishlab chiqilgan kvadrat tenglamalarini echish bilan misollar biz ko'rib chiqamiz.

Shunday qilib, aytaylik, to'rtburchaklar er uchastkasi bor, uning uzunligi kengligidan 16 metr narida. Agar saytning uzunligi, kengligi, kengligi va perimetri topilishi kerak bo'lsa, uning maydoni 612 m 2 ga teng.

Biror narsani boshlash, avval zarur tenglamani amalga oshiring. X-ni saytning kengligi bilan belgilang, keyin uning uzunligi (x + 16) bo'ladi. Muammonimizning holatiga ko'ra, bu hudud X (x + 16) ifodasi bilan belgilanadi, bu bizning muammomizning holati 612 ni tashkil qiladi. Bu X (x + 16) \u003d 612 ni anglatadi.

To'liq kvadrat tenglamalarining echimi va bu ibora aynan shu tarzda amalga oshirilmaydi. Nima uchun? Uning chap tomoni hali ham ikki omil bo'lsa ham, mahsulot umuman 0 ga teng emas, shuning uchun bu erda boshqa usullar qo'llaniladi.

Kamsinachi

Avvalo, biz zaruriy konversiyani keltiramiz, keyin bu iboraning ko'rinishi shunga o'xshaydi: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Biz ilgari belgilangan standartga mos keladigan shaklda ifoda edik, u erda avval \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Bu kamsitish orqali kvadrat tenglamalarini echishning namunasi bo'lishi mumkin. Bu erda, kerakli hisob-kitoblar sxema bo'yicha amalga oshiriladi: D \u003d B 2 - 4AC. Ushbu yordamchi qiymati nafaqat ikkinchi tartib tenglamasida kerakli qiymatlarni topishga imkon beradi, bu raqamni belgilaydi mumkin variantlar. Agar D\u003e 0 bo'lsa, ikkitasi bor; D \u003d 0 qachon bitta ildiz bor. Agar D bo'lsa<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Ildizlar va ularning formulasi haqida

Bizning holatlarimizda, kamsituvchi: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Bu bizning vazifamizning javobi mavjudligini anglatadi. Agar bilsangiz, K kvadrat tenglamalarining echimi quyidagi formuladan foydalanishda davom etishi kerak. Bu sizga ildizlarni hisoblash imkonini beradi.

Bu shuni anglatadiki, agar ishda taqdim etilgan bo'lsa: X 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Ushbu dilemmaning ikkinchi versiyasi yechim bo'lishi mumkin emas, chunki erning o'lchamlari 18 m ni anglatadi (ya'ni saytning kengligi) 18 m ni anglatadi. Bu erdan biz uzunlikni hisoblaymiz: 18 + 16 \u003d 34 va perimetr 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Misollar va maqsadlar

Biz kvadrat tenglamalarini o'rganishda davom etamiz. Misollar va ulardan bir nechtasining batafsil yechimi keyinchalik beriladi.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Biz hamma narsani tenglikning chap tomoniga o'tkazamiz, ya'ni standart deb ataladigan tenglama shaklini olamiz va nol bilan tenglashtiramiz.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Kattalangandan so'ng, biz kamsituvchilarni aniqlaymiz: d \u003d 49 - 48 \u003d 1. Shunday qilib, bizning tenglamaimiz ikki ildizga ega bo'ladi. Biz ularni yuqoridagi formulaga muvofiq hisoblaymiz, bu ularning birinchi bittasi 4/3 va ikkinchisiga.

2) Endi boshqa turdagi jumboqlarni ochib bering.

Buni bilib oling, bu erda x 2 - 4x + 5 \u003d 1 ta ildiz bormi? Keng qamrovli javob olish uchun biz tegishli tanishishga va kamsituvchilarni hisoblaymiz. Ushbu misolda kvadrat tenglama echimi kerak emas, chunki vazifaning mohiyati umuman emas. Bunday holda, D \u003d 16 - 20 \u003d 4, bu haqiqatan ham ildizlari yo'qligini anglatadi.

Vieta teoremasi

Kvadrat tenglamalari yuqoridagi formulalar va kvadrat ildiz oxirgi qiymatdan olinganda kamsituvchi vositalar orqali hal qilinadi. Ammo bu har doim ham sodir bo'lmaydi. Biroq, bu holatda o'zgaruvchilarni olishning ko'plab usullari mavjud. Misol: Vetya teoremasidagi kvadrat tenglamalarining echimlari. U XVI asrda Frantsiyada yashagan va matematik iste'dod va hovlilar tufayli ajoyib martaba qilgan. Maqolada uni portreti ko'rish mumkin.

Mashhur frantsuz ta'kidlagan naqsh quyidagicha edi. U miqdordagi tenglamaning ildizlari -p \u003d b / a raqamli ga teng ekanligini isbotladi va ularning mahsuloti q \u003d c / a ga to'g'ri keladi.

Endi aniq vazifalarni ko'rib chiqing.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Oddiylik uchun biz ifodani o'zgartiramiz:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Biz Veta teoremadan foydalanamiz, bu bizga quyidagilarni beradi: ildizlarning miqdori -7, va ularning ishi -18. Shu erdan biz tenglamaning ildizlari -9 va 2. Chekni amalga oshirganligi sababli, o'zgaruvchilar qiymatlari ifoda etishga mos kelishiga ishonch hosil qilamiz.

Grafika va parabola tenglama

Kvadratik funktsiya va kvadrat tenglamalari keskin bog'liq. Bu avvalgi misollar allaqachon ko'rsatildi. Endi ba'zi matematik jumboqlarni biroz ko'proq ko'rib chiqing. Ta'riflangan turdagi har qanday tenglama tasavvur qilinishi mumkin. Grafik shaklida chizilgan shunga o'xshash qaram parabola deb ataladi. Uning turli xil turlari quyidagi rasmda ko'rsatilgan.

Har qanday parabolada vertex bor, ya'ni uning shoxlari chiqadigan joy. Agar men\u003e 0 bo'lsa, ular cheksiz chiqib, a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funktsiyalarning vizual tasvirlari har qanday tenglamalarni, shu jumladan maydonni hal qilishga yordam beradi. Ushbu usul grafik deb nomlanadi. Va X o'zgaruvchining qiymati, grafikning grafikasi 0x dan kesib o'tgan punktlarda xamirning koordinatasi. Verlislarning koordinatalari faqat berilgan formula x 0 \u003d -b / 2a-ga ko'ra topilishi mumkin. Va natijada qiymatni funktsiyaning boshlang'ich tenglamasiga almashtirish, y 0, ya'ni, pearobol verteksining marvarid o'qiga tegishli bo'lgan p3 ni o'rganishingiz mumkin.

Parabola filiallarini abksissa o'qi bilan kesib o'tish

Kvadrat tenglamalarining echimlari bilan misollar juda ko'p, ammo umumiy naqshlar mavjud. Ularni ko'rib chiqaylik. Grafikni Axis 0x-da kesish mumkinligi faqat 0 qiymatni qabul qilsa, bu mumkin. Va A uchun<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. aks holda d<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Grafikaning so'zlariga ko'ra, parabola aniqlanishi va ildizlari aniqlanishi mumkin. Buning aksi ham to'g'ri. Ya'ni, agar siz kvadratik funktsiyaning vizual tasvirini olsangiz, siz iboraning o'ng tomonini 0 ga tenglashtirishingiz va olingan tenglamani hal qilishingiz mumkin. Va 0x o'qi bilan kesishgan nuqtalarni bilish, jadvalni yaratish osonroq.

Tarixdan

Maydonga ko'tarilgan o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar yordamida qadimgi kunlarda nafaqat matematik hisob-kitoblarni amalga oshirdi va geometrik raqamlar sohasini aniqladi. Fizika va astronomiya sohasidagi grand kashfiyotlar uchun shunga o'xshash hisob-kitoblar, shuningdek munajjimlar uchun munajjimlarni tuzish kerak edi.

Zamonaviy fan nomlari, kvadrat tenglamalarining birinchi echimlari orasida, Bobil aholisi boshlandi. Bu bizning davrimiz boshlanishidan oldin to'rt asrda sodir bo'ldi. Albatta, ularning ildizidagi hisob-kitoblari hozirda qabul qilingan va rad etilgandan farqli o'lardi. Masalan, Mesopotamiya matematiklari salbiy raqamlar mavjudligi haqida hech qanday tasavvurga ega emasdilar. Notanishlar bizning zamonamizning biron bir talabasini bilishgan boshqa bir bo'ysunishlar ham bor edi.

Ehtimol, hatto ilgari Bobil olimlari, kvadrat tenglamalarini hal qilish, Hindistonning "Balxoyama" safiga qo'shildi. Bu Masih davridan sakkiz asr ichida sodir bo'ldi. To'g'ri, ikkinchi tartibning tenglamasi, uni boshqargan hal qilish usullari eng bir vaqtning o'zida eng ko'p bo'lgan. Unga qo'shimcha ravishda bunday savollar eski va xitoy matematiklariga qiziqdi. Evropada kvadrat tenglamalari faqat XIII asr boshlarida hal qila boshladi, ammo keyinchalik ular o'z ishlarida juda katta ajoyib olimlar, masalan Nyuton, Dekart va boshqa ko'plab ishlarda.