Kvadrat tenglamasi - bu shunchaki hal qilinadi! * Keyingi "Ku" matnida.Ko'rinib turibdiki, bu matematikada bunday tenglamani echimdan ko'ra osonroq bo'lishi mumkin. Ammo bir narsa menga ko'p muammolarga duch kelganligimni menga taklif qildi. Men oyiga so'rov bo'yicha qancha taassurot berishda Yanex-ga qancha taassurot berishini ko'rdim. Bu nima bo'ldi, qarang:

Bu nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, oyiga 70 000 ga yaqin kishi bu ma'lumotni qidirmoqda, bu yoz nima va ular orasida nima bo'ladi o'quv yili - Talablar ikki baravar ko'p bo'ladi. Bu ajablanarli emas, chunki uzoq vaqtdan beri maktabni tugatgan va imtihonga tayyorgarlik ko'rmoqdalar, ular ushbu ma'lumotni qidirmoqdalar va maktab o'quvchilari uni xotirada yangilashga intilmoqda.

Ushbu tenglamani qanday hal qilish haqida tasvirlangan joylar juda ko'p bo'lishiga qaramay, men o'z hissamni yaratishga va materialni e'lon qilishga qaror qildim. Birinchidan, men ushbu so'rov uchun saytimga kelmoqchiman va tashrif buyuruvchilar mening saytimga kelishdi; Ikkinchidan, boshqa maqolalarda, "Ku" ning nutqi ushbu maqolaga murojaat qiladi; Uchinchidan, men sizga uning qarori bilan odatda boshqa saytlarda to'plangandan ko'proq narsani aytib beraman. Baland!Maqolaning mazmuni:

Kvadrat tenglamasi shaklning tenglamaidir:

koeffitsientlarb. va o'zboshimchalik bilan, bir narsa bilan.

Ichida maktab kursi Material quyidagi shaklda keltirilgan - uchta sinf uchun tenglamalarni ajratish shartli ravishda amalga oshiriladi:

1. ikkita ildizga ega bo'ling.

2. * Faqat bitta ildiz bor.

3. Ildizlariga ega bo'lmang. Bu erda bu erda haqiqiy ildizlari yo'qligini ta'kidlash kerak

Ildizlar qanday hisoblashadi? Shunchaki!

Kamsituvchilarni hisoblang. Bu "dahshatli" so'z juda oddiy formulaga to'g'ri keladi:

Ildiz formulalari quyidagi shaklga ega:

* Ushbu formulalar yurak orqali bilishlari kerak.

Siz darhol yozishingiz va qaror qilishingiz mumkin:

Misol:

1. Agar D\u003e 0 bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega.

2. Agar D \u003d 0 bo'lsa, tenglama bitta ildizga ega.

3. Agar D. bo'lsa< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Keling, tenglamani ko'rib chiqaylik:

Shu munosabat bilan, kamsituvchi nolga teng bo'lganida, maktabda bitta ildiz deyarli paydo bo'ladi, bu erda u to'qqiztaga teng. Bu to'g'ri va bor, lekin ...

Bu qarash biroz noto'g'ri. Aslida, ikkita ildiz olinadi. Ha, hayron bo'lmang, ikkita teng ildiz olinadi, agar siz matematik jihatdan aniq bo'lsangiz, ikkita ildizni javob berish kerak:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

Ammo bu juda oz chekinish. Maktabda yozishi mumkin, deydi ildiz biridir.

Endi quyidagi misol:

Ma'lumki, salbiy sonning ildizi olib tashlanmaydi, shuning uchun bu holatda hech qanday echim bo'lmaydi.

Bu butun eritma jarayoni.

Kvadratik funktsiya.

Bu erda echim qanday qilib geometrik ko'rinishga ega bo'ladi. Buni tushunish juda muhim (kelajakda, maqolalarning birida, biz kvadrat tengsizlikni batafsil ajratamiz).

Bu shaklning funktsiyasi:

u erda x va y o'zgaruvchilar

a, b, c - raqamlarni, nima bilan 0

Jadval Parabola:

Ya'ni, ayni paytda kvadrat tenglamasini nolga tenglashtirishimiz aytiladi, biz Parabola kesish nuqtasini o'q bilan topamiz. Ushbu fikrlar ikkita (kamsituvchi ijobiy) bo'lishi mumkin, bitta (kamsituvchi nol) va bitta (salbiy kamsituvchi) emas. O. kvadratik funktsiya ko'rishingiz mumkin Inna Feldning maqolasi.

Misollar:

1-misol: hal qiling 2x. 2 +8 x.–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d -192

D \u003d B. 2 -4AC \u003d 8 2 -4 ∙ 2 ∙ (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Javob: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d -12

* Shu zahotiyoq 2, ya'ni, ya'ni uni soddalashtirish uchun chapga va tenglamaning chap va o'ng tomonida bo'lishi mumkin edi. Hisoblash osonroq bo'ladi.

2-misol: Qaror qilmoq x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -22 c \u003d 121

D \u003d b 2 -4ac \u003d (- - 22) 2-4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484-484 \u003d 0

X 1 \u003d 11 va x 2 \u003d 11 deb erishdi

Bunga javoban X \u003d 11 ni yozish joizdir.

Javob: X \u003d 11

3-misol: Qaror qilmoq x 2 -8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -8 c \u003d 72

D \u003d b 2 -4ac \u003d (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64-288 \u003d -224

Kirliksiz salbiy, haqiqiy raqamlarda echimlar yo'q.

Javob: Hech qanday echimlar yo'q

Kamsituvchi salbiy. Yechim!

Bu erda salbiy kamsituvchi olingan holatda tenglamani hal qilish masalasi muhokama qilinadi. Birlashtirilgan raqamlar haqida biron bir narsani bilasizmi? Men nima uchun va qayerda paydo bo'lganligi haqida batafsil gapirib bermayman va ularning o'ziga xos roli va matematikaga bo'lgan ehtiyoj katta bir maqola uchun mavzu ekanligini batafsil gaplashmayman.

Murakkab raqam tushunchasi.

Bir oz nazariya.

Z raqamlar sonini tashkil qiladi

z \u003d a + bi

bu erda a va b to'g'ri raqamlar, i - xayoliy birlik deb ataladi.

a + bi - Bu bitta raqam, qo'shimcha emas.

Xayoliy birlik minus birliklarining ildiziga teng:

Endi tenglamani ko'rib chiqing:

Ikkita konjugal ildizni oldi.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama.

Xususiy holatlarni ko'rib chiqing, bu "B" yoki "C" koeffitsienti nolga teng (yoki ikkalasi nolga teng). Ular hech qanday kamsituvchilarsiz osonlikcha hal qilinadi.

Ish 1. b \u003d 0 koeffitsienti.

Tenglama shaklga ega bo'ladi:

Biz o'zgartiramiz:

Misol:

4x 2 -16 \u003d 0 \u003d\u003e 4X 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -2

Ish 2. c \u003d 0 koeffitsienti.

Tenglama shaklga ega bo'ladi:

Biz o'zgaramiz, ko'paytirgichlarga yotqizamiz:

* Ishning kamida bittasi nolga teng bo'lganda, ish nolga teng.

Misol:

9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (X-5) \u003d 0 \u003d\u003e X \u003d 0 yoki X-5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Ish 3. B \u003d 0 va C \u003d 0 koeffitsientlari.

Shuni hisobga olganligi aniq, tenglama echimi har doim x \u003d 0 bo'ladi.

Foydali xususiyatlar va koeffitsientlar naqshlari.

Katta koeffitsientlar bilan tenglashlarni hal qilishga imkon beradigan xususiyatlar mavjud.

lekinx. 2 + bx.+ c.=0 Tenglik amalga oshiriladi

a. + b. + C \u003d 0,bu

- Agar tenglama koeffitsientlari uchun bo'lsa lekinx. 2 + bx.+ c.=0 Tenglik amalga oshiriladi

a. + C \u003d.b., bu

Ushbu xususiyatlar ma'lum bir tenglamaning ma'lum bir turini hal qilishga yordam beradi.

1-misol: 5001 x. 2 –4995 x. – 6=0

Koeffitsientlarning yig'indisi 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, bu degani

2-misol: 2501 x. 2 +2507 x.+6=0

Tenglik amalga oshiriladi a. + C \u003d.b., Shunday qilib

Koeffitsientlar qonunlari.

1. Agar 2 + bx + c \u003d 0 tenglama bo'lsa, "B" koeffitsienti (a 2 +1) koeffitsienti "A" koeffitsientiga tengdir. "A" koeffitsientiga teng

axt 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - 1 / a.

Misol. 6X 2 + 37x + 6 tenglikni ko'rib chiqing.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Agar 2 bobda - bx + c \u003d 0 tenglama bo'lsa, "B" koeffitsienti (va 2 +1) koeffitsienti "A" koeffitsientiga teng "A" koeffitsientiga teng

axt 2 - (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d 1 x 2 \u003d 1 / a.

Misol. 15x 2 -226x +15 \u003d 0 ni ko'rib chiqing.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. Agar tenglamada bo'lsaaxt 2 + bx - c \u003d 0 koeffitsient "b" koeffitsienti teng (a 2) - 1) va "C" koeffitsienti "A" koeffitsientiga teng, keyin uning ildizlari teng

axt 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Misol. 17X 2 + 288X tengligini ko'rib chiqing - 17 \u003d 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Agar 2-bobda - bx - c \u003d 0 tenglama bo'lsa, "B" koeffitsienti (a 2 - 1) koeffitsienti "A" ga teng, uning ildizlari teng

axT 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - 1 / a.

Misol. 10x 2 - 99x -10 \u003d 0 hisobini ko'rib chiqing.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vieta teoremasi.

Vieta teoremasi taniqli frantsuz matematika nomi bilan "Fransua Vetya nomi" deb nomlanadi. Veta teoremasi yordamida siz o'zingizning koeffitsientlari orqali o'zboshimchalik bilan va o'zboshimchalik bo'lganini ifodalashingiz mumkin.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Sumbada, 14 raqami atigi 5 va 9 raqam berilgan. Bular ildizdir. Ma'lum bir mahorat bilan, ko'plab kvadrat tenglamalari tomonidan taqdim etilgan teormadan foydalanasiz, siz og'zaki ravishda kelishini hal qila olasiz.

Bundan tashqari Vetya teoremasi. Bu qulaydir, chunki kvadrat tenglamani odatiy tarzda (kamsituvchi orqali), olingan ildizlarni tekshirish mumkin. Men buni har doim qilishni maslahat beraman.

O'tish usuli

Ushbu usulda, "A" koeffitsienti bepul a'zo, go'yo unga "harakat qiladi" deb nomlanadi "Transit" usuli.Ushbu usul siz Veta teoremasi yordamida tenglamaning ildizlarini osonlikcha, kamsituvchi aniq kvadrat bo'lganida osongina topishingiz mumkin.

Agar a lekin± b + C.≠ 0, keyin qabulxona ishlatiladi, masalan:

2h. 2 – 11x +.5 = 0 (1) => h. 2 – 11x +.10 = 0 (2)

Vietsa teoremasi tomonidan (2) buni aniqlash oson x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Olingan tenglamaning olingan ildizlari 2 ga bo'linishi kerak (ikki x 2) siljiydi), biz olamiz

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

Oqlanish nima? Nima bo'lishiga qarang.

Kamsituvchilar tenglamalari (1) va (2) teng:

Agar siz tenglamalarning ildizlariga qarasangiz, faqat turli xil denominatorlar olinadi va natijada 1 x 2-da koeffitsientga bog'liq:

Ikkinchi (o'zgartirilgan) ildizlar yana 2 baravar ko'proq olinadi.

Shuning uchun natija va 2 ga bo'linadi.

* Agar biz sayohat qilsak, natijada natija 3 va boshqalar bilan ajralib turadi.

Javob: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5

Kv. Ur-siz va ejin.

Men uning ahamiyatini qisqacha aytib beraman - siz tez va o'ylamasdan, ildizlar va kamsituvchilarning formulalari bilan tanishishingiz kerak. Foydalanish vazifalariga kiritilgan juda ko'p vazifalar kvadrat tenglamani (shu jumladan geometrik) hal qilish uchun qisqartirildi.

Nimani nishonlash kerak!

1. Yozish tenglamasi shakli "yashirin" bo'lishi mumkin. Masalan, ushbu yozuv mumkin:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 yoki 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 yoki 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

Uni standart shaklga olib chiqishingiz kerak (kamchilik paytida chalkashib ketmaslik uchun).

2. X noma'lum qiymat ekanligini unutmang va uni boshqa harf - T, Q, P, H va boshqa harflar bilan ko'rsatish mumkin.

Kopsevskaya qishloq o'rtalari

Kvadrat tenglamalarni hal qilishning 10 usuli

Lider: Patrikeva Galina Anatolyevna,

matematik o'qituvchi

s.Kopievo, 2007 yil.

1. Kvadrat tenglamalarini rivojlantirish tarixi

1.1 Kvadratli tenglamalar Qadimgi Bobilda

1.2 hisobga olinadi va Diofant maydonining tenglamalari

Hindistondagi 1,3 kvadrat tenglar

1,4 kvadrat tenglamalar

1.5 Evropada kvadrat tenglar XIII - XVII asrlar

Vietsa teoremasi haqida 1.6

2. Kvadrat tenglamalarni echish usullari

Xulosa

Adabiyot

1. Kvadrat tenglamalarini rivojlantirish tarixi

1.1 Qadimgi Bobilda kvadrat tenglar

Nafaqat birinchi, balki ikkinchi darajali tenglamalarni hal qilish zarurati er uchastkalari joylashuvi va harbiy xarakterdagi er maydoni, shuningdek, astronomiya rivojlanishi bilan bog'liq vazifalarni hal qilish zarurati va matematikaning o'zi. Kvadrat tenglamalari bundan oldin 2000 yil oldin hal qila olishdi. e. Bobil.

Zamonaviy algebraik yozuvni qo'llash orqali biz ularning klinik matnlarida, to'liq emas, masalan, to'liq kvadrat tenglamalari bundan mustasno, deyish mumkin.

X. 2 + X. = ¾; X. 2 - X. = 14,5

Bobil matnlarida belgilangan bu tenglamalarni hal qilish qoidasi zamonaviy bilan to'g'ri keladi, ammo Bobilliklar bu qoidaga erishgani noma'lum. Hozirgi kunda deyarli barcha uchastka matnlari, faqat retseptlar shaklida ko'rsatilgan qarorlar, ular qanday topilganligi haqida ko'rsatmasiz.

Shunga qaramasadan yuqori daraja Bobilda algebra rivojlanishi Klinik matnlarda, kvadrat tenglamalarni echish uchun salbiy son va umumiy usullar mavjud emas.

1.2 hisobga olinadi va Diofant maydonining tenglamalarini hal qiladi.

Diopantaning "Arifmetika" da Algebraning tizimli taqdimotida, ammo unda tushuntirishlar bilan birga bo'lgan va turli darajadagi tenglamalarni tayyorlash bilan birga keladigan muntazam ravishda belgilangan vazifalar mavjud.

Diofant tenglamalarni chizishda echimni soddalashtirish uchun mohirona tanlaydi.

Bu erda, masalan, uning vazifalaridan biri.

11-vazifa. "Ularning yig'indisi 20, va ish 96 ekanligini bilib, ikkita raqamni toping.

Delofant quyidagicha bahslashadi: muammo tufayli kerakli raqamlar teng emas, chunki ular teng bo'lsa, unda ularning ishi 96 va 100 dan oshmaydi. Shunday qilib, ulardan biri yarmidan ko'p bo'ladi ularning summasi, ya'ni. 10 + H. Ikkinchisi kamroq, i.e. 10 - H. . Ular orasidagi farq 2x .

Shuning uchun tenglama:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - x 2 \u003d 96

x 2 - 4 \u003d 0 (1)

Bu yerdan x \u003d 2. . Kerakli raqamlardan biri bu 12 , Boshqacha 8 . Qaror x \u003d -2. Diopanta uchun bu mavjud emas, chunki yunon matematikasi faqat ijobiy raqamlarni bilishadi.

Agar biz ushbu vazifani noma'lum raqamlardan birini tanlab, biz noma'lum deb belgilangan raqamlardan birini tanlaymiz, biz tenglamani hal qilamiz

y (20 - y) \u003d 96,

2 - 20U + 96 \u003d 0. (2)

Kerakli raqamlarning noma'lum o'yinini tanlab, diofant qarorni soddalashtirishi aniq; U to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani (1) hal qilish vazifasini kamaytirishi mumkin.

1.3 Hindistondagi kvadrat tenglar

Har bir kvadrat tenglamalar, "Ariaghatti" astronomik traktida, "Ariabhatti", "Hindiston matematik va astronom" Aribhatta. Yana bir hind olimi, Brahmgota (VII asr), bitta kanonik shaklga berilgan kvadrat tenglamalarini echish bo'yicha umumiy qoidani belgilab berdi:

ah 2 +. b. x \u003d s, a\u003e 0. (1)

(1) koeffitsientlar lekin salbiy bo'lishi mumkin. Brahmgota qoidasi asosan biz bilan bir-biriga to'g'ri keladi.

Qadimgi Hindistonda jamoat musobaqalari qiyin vazifalarni hal qilishda taqsimlandi. Qadimgi Hindiston kitoblaridan birida: "Quyoshli quyosh kabi" Quyosh kabi quyosh kabi ", shuning uchun olim odamgohlar majlisida, qurbonlik va hal qilishda boshqa birovning shon-sharafidan juda ishtiyoqdir algebraik vazifalar" Vazifalar ko'pincha she'riy shaklda zavqlanadi.

Bu erda XII asrning taniqli hind matematika vazifalaridan biri. Bxaskara.

13-vazifa.

"Maymunlar va liangamga o'n ikki kishi ...

Yo'lning kuchi quvnoqlik. Sakrab chiqa boshladi ...

Ular sakkizinchi kvadratning kvadrat qismida, qancha maymun bor edi

Gladaly kulgili edi. Siz menga aytasizmi, bu ustunda?

BxasyAraning qarori kvadrat tenglamalarning ildizlarining ikki barobarligini (3-rasm) ko'rsatganidan dalolat beradi (3-rasm).

Tegishli vazifa 13 tenglama:

( x. /8) 2 + 12 = x.

Bxaskara tagida yozadi:

x 2 - 64x \u003d -768

va ushbu tenglamaning chap qismini maydonga qo'shadi 32 2 , keyin olish:

x 2 - 64x + 32 \u003d -768 + 1024,

(X - 32) 2 \u003d 256,

x - 32 \u003d ± 16,

x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48.

Al - Xorazmiyda 1,4 kvadrat tenglar

Algrasali risolasida Al-Xorazmi chiziqli va kvadrat tenglamalar tasnifini beradi. Muallif 6 turdagi tenglamalar mavjud, ularni quyidagicha ifodalaydi:

1) "kvadratlar ildizlari", ya'ni Ah 2 + c \u003d b. x.

2) "kvadratlar raqamga teng", ya'ni ah 2 \u003d s.

3) "Ildizlar raqamga teng", ya'ni ah \u003d s.

4) "kvadratlar va raqamlar ildizlarga teng", ya'ni I.E. Ah 2 + c \u003d b. x.

5) "Kvadratlar va ildizlar songa teng", ya'ni ah 2 +. bx. \u003d s.

6) "Ildizlar va raqamlar kvadratlarga teng", ya'ni bx. + C \u003d ah 2.

Al-Xorazmiy uchun salbiy raqamlardan foydalanishdan qochish uchun ushbu tenglamalarning har birining a'zolari tarkibiy qismlardir va olib bo'lmadi. Shu bilan birga, bu ijobiy echimlar bo'lmagan tenglamalarni hisobga olinmaydi. Muallif ushbu tenglamalarni al-jabr va al-Muqabala texnikasidan foydalangan holda hal qilish usullarini o'rnatadi. Uning qarorlari, albatta, biznikiga to'g'ri kelmaydi. Allaqachon bu sof ritorik deb ta'kidlamaslik, masalan, birinchi turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasini hal qilishda ta'kidlash kerak

al - Xorazmi, barcha matematika kabi XVII asrga qadar nol echimni hisobga oladi, ehtimol bu aniq amaliy vazifalarda ahamiyatsiz. To'liq kvadrat al-gobesli tenglamalarni shaxsiy misollar bilan hal qilishda, u qarorning qoidalarini, keyin geometrik dalillarni belgilaydi.

14-vazifa. "Maydon va 21 raqami 10 ta ildizga teng. Ildizni toping » (Bu x 2 + 21 \u003d 10x tenglamaning ildizi sifatida tushuniladi).

Muallifning qarori shunga o'xshash narsani o'qiymiz: biz 5 taga ko'paytiramiz, siz 3 tadan ko'payib borasiz, siz 4 tadan kelib chiqasiz, siz 4 tadan chiqasiz, siz 2 dan olasiz . 2 OT5, siz 3 ta olasiz, bu kerakli ildiz bo'ladi. Yoki 2-ga 2 dan 5 gacha qo'shing, bu 7 ga teng bo'lsa, u ham ildizga ega.

Al-Xorazmiyning risolasi birinchi bo'lib, unda kvadrat tenglamalar tasnifi o'rnatilgan va formulalar beriladi.

Evropada 1,5 kvadrat tenglar XIII. - XVii Bb

Evropada Xorazmiy uchun kvadrat tenglamalarini echish uchun formulalar birinchi bo'lib Italiya matematikasi Leonardo Fiboniada tomonidan yozilgan "Abalak" kitobida birinchi o'rinni egalladi. Ushbu puxta ish, bu matematikaga ta'sirini aks ettiradi Islom va Qadimgi Gretsiya, taqdimotning to'liqligi va ravshanligi bilan ajralib turadi. Muallif mustaqil ravishda yangi ishlab chiqargan algebraik misollar Muammolarni hal qilish va Evropada birinchi bo'lib salbiy sonlarning kiritilishiga yaqinlashdi. Uning kitobi nafaqat Italiyada, balki Germaniya, Frantsiya va boshqa Evropa mamlakatlarida ham algebraik bilimlarning tarqalishini targ'ib qildi. "Abalak kitobidan" ning ko'plab muammolari deyarli barcha Evropa darsliklari XVI - XVII asrlar o'tdi. va qisman XVIII.

Bir xil kanonik shaklga berilgan kvadrat tenglamalarini hal qilishning umumiy qoidasi:

x 2 +. bx. \u003d C,

koeffitsient belgilarining har xil birikmalari uchun b. , dan U Evropada faqat 1544 metrga shakllangan. Schigel.

Kvadrat tenglamani yechish formulasi chiqish umumiy Vetab bor, ammo Vets faqat ijobiy ildizlarni tan olgan. Italiya matematiklari Tartaliya, Kardano, XVI asrdagi birinchilar orasida portlash. Berilgan, ijobiy va salbiy ildizlarga qo'shimcha ravishda berilgan. Faqat XVII asrda. Girard, Dekart, Nyuton va boshqa olimlarning mehnati tufayli kvadrat tenglamalarini echish usuli zamonaviy qiyofaga aylanmoqda.

Vietsa teoremasi haqida 1.6

Kvadrat tenglama koeffitsiti koeffitsientlari o'rtasidagi munosabatlarni ifoda etuvchi va uning Viet'ing nomi 1591 yilda birinchi marta shakllantirilgan: "Agar B. + D. gavjum A. - A. 2 yaxshi Bd. T. A. bir xil Ichida Va teng D. ».

Vetni tushunish uchun siz buni eslashingiz kerak Lekin Har bir unli harfi kabi u noma'lum (bizning) h.), unlilar Ichida D. - noma'lumdagi koeffitsientlar. Yuqoridagi zamonaviy algebra tilida Vieta so'zi: agar bo'lsa

(A +.) b. ) x - x 2 \u003d ab ,

x 2 - (A + b. ) x + a b. = 0,

x 1 \u003d a, x 2 \u003d b. .

Oddiy formulalar bilan tenglashtirilgan shakllar va koeffitsientlar o'rtasidagi munosabatlarni ifoda etish, vietet tenglamalarni echish usullarida bir xillikni o'rnatdi. Biroq, Vetyning ramzi hali ham uzoqdir zamonaviy ko'rinishi. U salbiy raqamlarni tanimadi va buning uchun tenglamalarni echishda, faqat ildizlarning ijobiy bo'lsa, faqat holatlar ijobiy deb hisoblangan.

2. Kvadrat tenglamalarni echish usullari

Kvadrat tenglamalar - bu algebra ulug'vor binosi dam olishning asosidir. Kvadrat tenglamalari trigonetik, indikatsion, logarifmik, irratsional va transsendental tenglamalar va tengsizliklarni hal qilishda keng qo'llaniladi. Biz universitetning oxirigacha maktab stenchidan (8-sinf) kvadrat tenglamalarini qanday hal qilishni barchamiz bilamiz.

Ichida zamonaviy jamiyat Maydonga ko'tarilgan o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar bilan harakatlarni bajarish qobiliyati ko'plab faoliyat sohalarida foydali bo'lishi va ilmiy amaliyotda keng qo'llanilishi mumkin va texnik tadbirlar. Buning dalillari dengiz va daryo kemalari, samolyotlar va raketalar dizayniga xizmat qilishi mumkin. Bunday hisob-kitoblar yordamida turli organlar harakati, shu jumladan kosmik ob'ektlar yordamida. Kvadrat tenglamalarini hal qilish, nafaqat binolarni loyihalash va qurishda, balki kundalik kundalik holatlarda ham iqtisodiy prognozlashda qo'llaniladi. Ular turistik kampaniyalarda, sportda, savdo do'konlarida va boshqa juda keng tarqalgan vaziyatlarda kerak bo'lishi mumkin.

Ko'pchilik komponentlarida ifodani buzamiz

Tenglama darajasi ushbu ifodani o'z ichiga olgan o'zgaruvchining maksimal qiymati bilan belgilanadi. Agar bu 2 bo'lsa, unda bunday tenglama faqat kvadrat deyiladi.

Agar formulalarning tili ifodalangan bo'lsa, unda qanday ko'rinishga ega bo'lishidan qat'i nazar, ko'rsatilgan iboralar har doim uchta nuqtadan iborat bo'lishi mumkin. Ular orasida: Axl 2 (ya'ni koeffitsienti bilan kvadrat bilan o'rnatilgan o'zgaruvchi), bx Bularning barchasi o'ng tomonda 0 ga teng. Aktsiyalar bundan mustasno bo'lmagan taqdirda, u boltadan tashqari, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi deb nomlanadi. Bunday vazifalarni hal qilish, topilishi oson bo'lgan o'zgaruvchilarning qiymati birinchi navbatda ko'rib chiqilishi kerak.

Agar shakl shaklda paydo bo'lsa, ikkita, aniq, bom va bx, o'ng tomonda ifoda qilingan ifodani ifodalash oson. Endi bizning tenglamaimiz bunga o'xshaydi: X (AX + B). Keyinchalik, bu yoki x \u003d 0 yoki vazifa quyidagi iboralardan o'zgaruvchini topishga qisqartirildi: bolta + b \u003d 0. Belgilangan tartibda ko'payish xususiyatlaridan biri. Qoidada aytilishicha, ikki omilning mahsuloti 0 Nation nolga teng bo'lsa, 0 natijasi.

Misol

x \u003d 0 yoki 8x - 3 \u003d 0

Natijada, biz tenglamaning ikki ildizini olamiz: 0 va 0.375.

Ushbu turdagi tenglamalar tanalarning og'irlik ta'siri ostida, koordinatalar boshida qabul qilingan muayyan nuqtadan harakatni boshlagan. Bu erda matematik rekord quyidagi shaklni oladi: y \u003d v 0 t + gt 2/2. 0 tomonini almashtirish va mumkin bo'lgan noma'lum qiymatlarni almashtirish, kerakli noma'lum qiymatlarni almashtirish, siz tananing yiqilishiga qadar tana ko'tarilishining vaqtidan boshlab o'tayotgan vaqtni, shuningdek, boshqa ko'p qadriyatlarni ko'rishingiz mumkin. Ammo keyinroq bu haqda gaplashamiz.

Multilatuvchilarning ifodasining parchalanishi

Yuqorida tavsiflangan qoida ko'rsatilgan vazifalarni hal qilish va yanada murakkab ishlarni hal qilishga imkon beradi. Ushbu turdagi kvadrat tenglamalarini echish bilan misollarni ko'rib chiqing.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Ushbu kvadrat uchlik tugadi. Boshlash uchun biz uni ko'paytiruvchilar uchun ajratamiz va parchalanishini o'zgartiramiz. Ular ikkitadan olinadi: (X-8) va (X-25) \u003d 0. Natijada 8 va 25 ta ildiz bor.

9-sinfda kvadrat tenglamalarini echish bilan misollar bu usul nafaqat ikkinchisiga, balki uchinchi va to'rtinchi buyruqlarida o'zgaruvchini topishiga imkon beradi.

Masalan: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18-0. Ko'proq o'zgaruvchan va (x + 1), (x-3) va (x-3) va (x-3) va (x). x + 3).

Natijada, bu tenglama uchta ildizga ega ekanligi aniq bo'ladi: -3; -ine; 3.

Ekstrakti kvadrat ildiz

Ikkinchi tartibning to'liq tenglamasining yana bir holati - bu milklar 2 va C komponentlaridan o'ng tomoni qurilgan harflar tilida keltirilgan ibora. Bu erda, o'zgaruvchining qiymati uchun bepul a'zo o'ng tomonva undan keyin tenglikning ikkala qismidan olinadi kvadrat ildiz. Shuni ta'kidlash kerakki, bu holda tenglamaning ildizlari odatda ikkitasi. Istisno faqat tenglik bilan teng bo'lishi mumkin, odatda o'zgaruvchini teng emas, shuningdek, o'zgaruvchan bo'lgan va to'g'ri tomoni salbiy tomonga aylanadi. Ichida so'nggi holat Hech qanday echimlar yo'q, chunki yuqoridagi harakatlar ildiz bilan amalga oshirilmaydi. Ushbu turdagi kvadrat tenglar echimlarining misollari ko'rib chiqilishi kerak.

Bunday holda, tenglamaning ildizlari -4 va 4 bo'ladi.

Er uchastkasini hisoblash

Bunday hisob-kitoblarga bo'lgan ehtiyoj chuqur antik davrda paydo bo'ldi, chunki uzoq vaqt davomida matematikani rivojlantirish ko'p jihatdan er uchastkalarining aniqligini aniqlash zarurati tufayli yuzaga keladi.

Ushbu turdagi vazifalar asosida ushbu turdagi vazifalar asosida ishlab chiqilgan kvadrat tenglamalarini echish bilan misollar biz ko'rib chiqamiz.

Shunday qilib, aytaylik, to'rtburchaklar er uchastkasi bor, uning uzunligi kengligidan 16 metr narida. Agar saytning uzunligi, kengligi, kengligi va perimetri topilishi kerak bo'lsa, uning maydoni 612 m 2 ga teng.

Biror narsani boshlash, avval zarur tenglamani amalga oshiring. X-ni saytning kengligi bilan belgilang, keyin uning uzunligi (x + 16) bo'ladi. Muammonimizning holatiga ko'ra, bu hudud X (x + 16) ifodasi bilan belgilanadi, bu bizning muammomizning holati 612 ni tashkil qiladi. Bu X (x + 16) \u003d 612 ni anglatadi.

To'liq kvadrat tenglamalarining echimi va bu ibora aynan shu tarzda amalga oshirilmaydi. Nima uchun? Uning chap tomoni hali ham ikki omil bo'lsa ham, mahsulot umuman 0 ga teng emas, shuning uchun bu erda boshqa usullar qo'llaniladi.

Kamsinachi

Avvalo, biz zaruriy konversiyani keltiramiz, keyin bu iboraning ko'rinishi shunga o'xshaydi: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Biz ilgari belgilangan standartga mos keladigan shaklda ifoda edik, u erda avval \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Bu kamsitish orqali kvadrat tenglamalarini echishning namunasi bo'lishi mumkin. Bu erda, kerakli hisob-kitoblar sxema bo'yicha amalga oshiriladi: D \u003d B 2 - 4AC. Ushbu yordamchi qiymati nafaqat ikkinchi tartib tenglamasida kerakli qiymatlarni topishga imkon beradi, bu raqamni belgilaydi mumkin variantlar. Agar D\u003e 0 bo'lsa, ikkitasi bor; D \u003d 0 qachon bitta ildiz bor. Agar D bo'lsa<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Ildizlar va ularning formulasi haqida

Bizning holatlarimizda, kamsituvchi: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Bu bizning vazifamizning javobi mavjudligini anglatadi. Agar bilsangiz, K kvadrat tenglamalarining echimi quyidagi formuladan foydalanishda davom etishi kerak. Bu sizga ildizlarni hisoblash imkonini beradi.

Bu shuni anglatadiki, agar ishda taqdim etilgan bo'lsa: X 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Ushbu dilemmaning ikkinchi versiyasi yechim bo'lishi mumkin emas, chunki erning o'lchamlari 18 m ni anglatadi (ya'ni saytning kengligi) 18 m ni anglatadi. Bu erdan biz uzunlikni hisoblaymiz: 18 + 16 \u003d 34 va perimetr 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Misollar va maqsadlar

Biz kvadrat tenglamalarini o'rganishda davom etamiz. Keyinchalik ulardan bir nechta misollar va batafsil yechimga beriladi.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Biz hamma narsani tenglikning chap tomoniga o'tkazamiz, ya'ni standart deb ataladigan tenglama shaklini olamiz va nol bilan tenglashtiramiz.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Kattalangandan so'ng, biz kamsituvchilarni aniqlaymiz: d \u003d 49 - 48 \u003d 1. Shunday qilib, bizning tenglamaimiz ikki ildizga ega bo'ladi. Biz ularni yuqoridagi formulaga muvofiq hisoblaymiz, bu ularning birinchi bittasi 4/3 va ikkinchisiga.

2) Endi boshqa turdagi jumboqlarni ochib bering.

Buni bilib oling, bu erda x 2 - 4x + 5 \u003d 1 ta ildiz bormi? Keng qamrovli javob olish uchun biz tegishli tanishishga va kamsituvchilarni hisoblaymiz. Ushbu misolda kvadrat tenglama echimi kerak emas, chunki vazifaning mohiyati umuman emas. Bunday holda, D \u003d 16 - 20 \u003d 4, bu haqiqatan ham ildizlari yo'qligini anglatadi.

Vieta teoremasi

Kvadrat tenglamalari yuqoridagi formulalar va kvadrat ildiz oxirgi qiymatdan olinganda kamsituvchi vositalar orqali hal qilinadi. Ammo bu har doim ham sodir bo'lmaydi. Biroq, bu holatda o'zgaruvchilarni olishning ko'plab usullari mavjud. Misol: Vetya teoremasidagi kvadrat tenglamalarining echimlari. U XVI asrda Frantsiyada yashagan va matematik iste'dod va hovlilar tufayli ajoyib martaba qilgan. Maqolada uni portreti ko'rish mumkin.

Mashhur frantsuz ta'kidlagan naqsh quyidagicha edi. U miqdordagi tenglamaning ildizlari -p \u003d b / a raqamli ga teng ekanligini isbotladi va ularning mahsuloti q \u003d c / a ga to'g'ri keladi.

Endi aniq vazifalarni ko'rib chiqing.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Oddiylik uchun biz ifodani o'zgartiramiz:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Biz Veta teoremadan foydalanamiz, bu bizga quyidagilarni beradi: ildizlarning miqdori -7, va ularning ishi -18. Shu erdan biz tenglamaning ildizlari -9 va 2. Chekni amalga oshirganligi sababli, o'zgaruvchilar qiymatlari ifoda etishga mos kelishiga ishonch hosil qilamiz.

Grafika va parabola tenglama

Kvadratik funktsiya va kvadrat tenglamalari keskin bog'liq. Bu avvalgi misollar allaqachon ko'rsatildi. Endi ba'zi matematik jumboqlarni biroz ko'proq ko'rib chiqing. Ta'riflangan turdagi har qanday tenglama tasavvur qilinishi mumkin. Grafik shaklida chizilgan shunga o'xshash qaram parabola deb ataladi. Uning turli xil turlari quyidagi rasmda ko'rsatilgan.

Har qanday parabolada vertex bor, ya'ni uning shoxlari chiqadigan joy. Agar men\u003e 0 bo'lsa, ular cheksiz chiqib, a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funktsiyalarning vizual tasvirlari har qanday tenglamalarni, shu jumladan maydonni hal qilishga yordam beradi. Ushbu usul grafik deb nomlanadi. Va X o'zgaruvchining qiymati, grafikning grafikasi 0x dan kesib o'tgan punktlarda xamirning koordinatasi. Verlislarning koordinatalari faqat berilgan formula x 0 \u003d -b / 2a-ga ko'ra topilishi mumkin. Va natijada qiymatni funktsiyaning boshlang'ich tenglamasiga almashtirish, y 0, ya'ni, pearobol verteksining marvarid o'qiga tegishli bo'lgan p3 ni o'rganishingiz mumkin.

Parabola filiallarini abksissa o'qi bilan kesib o'tish

Kvadrat tenglamalarining echimlari bilan misollar juda ko'p, ammo umumiy naqshlar mavjud. Ularni ko'rib chiqaylik. Grafikni Axis 0x-da kesish mumkinligi faqat 0 qiymatni qabul qilsa, bu mumkin. Va A uchun<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. aks holda d<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Grafikaning so'zlariga ko'ra, parabola aniqlanishi va ildizlari aniqlanishi mumkin. Buning aksi ham to'g'ri. Ya'ni, agar siz kvadratik funktsiyaning vizual tasvirini olsangiz, siz iboraning o'ng tomonini 0 ga tenglashtirishingiz va olingan tenglamani hal qilishingiz mumkin. Va 0x o'qi bilan kesishgan nuqtalarni bilish, jadvalni yaratish osonroq.

Tarixdan

Maydonga ko'tarilgan o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar yordamida qadimgi kunlarda nafaqat matematik hisob-kitoblarni amalga oshirdi va geometrik raqamlar sohasini aniqladi. Fizika va astronomiya sohasidagi grand kashfiyotlar uchun shunga o'xshash hisob-kitoblar, shuningdek munajjimlar uchun munajjimlarni tuzish kerak edi.

Zamonaviy fan nomlari, kvadrat tenglamalarining birinchi echimlari orasida, Bobil aholisi boshlandi. Bu bizning davrimiz boshlanishidan oldin to'rt asrda sodir bo'ldi. Albatta, ularning ildizidagi hisob-kitoblari hozirda qabul qilingan va rad etilgandan farqli o'lardi. Masalan, Mesopotamiya matematiklari salbiy raqamlar mavjudligi haqida hech qanday tasavvurga ega emasdilar. Notanishlar bizning zamonamizning biron bir talabasini bilishgan boshqa bir bo'ysunishlar ham bor edi.

Ehtimol, hatto ilgari Bobil olimlari, kvadrat tenglamalarini hal qilish, Hindistonning "Balxoyama" safiga qo'shildi. Bu Masih davridan sakkiz asr ichida sodir bo'ldi. To'g'ri, ikkinchi tartibning tenglamasi, uni boshqargan hal qilish usullari eng bir vaqtning o'zida eng ko'p bo'lgan. Unga qo'shimcha ravishda bunday savollar eski va xitoy matematiklariga qiziqdi. Evropada kvadrat tenglamalari faqat XIII asr boshlarida hal qila boshladi, ammo keyinchalik ular o'z ishlarida juda katta ajoyib olimlar, masalan Nyuton, Dekart va boshqa ko'plab ishlarda.

"Tenglamalar qarori" mavzusini davom ettirishda ushbu moddaning materiallari sizni kvadrat tenglamalari bilan tanishtiradi.

Biror narsani batafsil ko'rib chiqing: Kvadrat tenglamaning mohiyati va yozuvi bilan birga, ildizlar va kamsituvchi, ildizlar va koeffitsientlar formulasi bilan tanishamiz, ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi aloqalarni o'rnatamiz. Va albatta biz amaliy misollarni namoyish etamiz.

Yandex.rtb R-A-339285-1

Kvadrat tenglamasi, uning turlari

1-ta'rif.

Kvadratli tenglama - Bu quyidagi tenglama a · x 2 + B · X + C \u003d 0qayerda X. - o'zgaruvchi, A, B va C. - ba'zi raqamlar a.nol yo'q.

Ko'pincha kvadrat tenglamalari, shuningdek, ikkinchi darajali tenglamalarning nomi deb nomlanadi, chunki Kvadrat tenglama ikkinchi darajaning algebraik tenglamasi hisoblanadi.

Biz ushbu ta'rifni tasvirlash uchun misol keltiramiz: 9 · x 2 + 16 · 2 \u003d 0; 7, 5 İ X 2 + 3, 1 · X + 0, 11 \u003d 0 va boshqalar. - Bu kvadrat tenglamalar.

2-ta'rif.

A, B raqamlari C. - Bular kvadrat tenglama koeffitsientlari a · x 2 + B · X + C \u003d 0, koeffitsient bilan A. U birinchi yoki katta yoki katta yoki x 2, b - ikkinchi koeffitsient yoki qachon koeffitsientga qo'ng'iroq deyiladi X., lekin C. Bepul a'zo qo'ng'iroq qiling.

Masalan, kvadrat tenglamada 6 x X 2 - 2 · X - 11 \u003d 0 Katta katta koeffitsient 6, ikkinchi koeffitsient − 2 va bepul a'zo teng − 11 . Koeffitsientlar bo'lganda diqqat qiling B.va / yoki c salbiy, so'ngra hisob qaydnomasining qisqa shakli qo'llaniladi. 6 x X 2 - 2 · X - 11 \u003d 0, lekin emas 6 x x 2 + (- 2) · X + X + X + (- 11) \u003d 0.

Biz ham bu jihatni aniqlaymiz: agar koeffitsientlar bo'lsa A. va / yoki B. teng 1 yoki − 1 Keyin, keyinchalik kvadrat tenglamasini qayd etishda aniq ishtirok etish, ular ushbu raqamli koeffitsientlar yozuvining xususiyatlari bilan izohlanadi. Masalan, kvadrat tenglamada Y 2 - y + 7 \u003d 0 Katta katta koeffitsient 1, ikkinchi koeffitsient − 1 .

Belgilangan va turmushsiz kvadrat tenglamalari

Birinchi koeffitsientning qiymati bo'yicha kvadrat tenglamalari yuqorida va to'lanmaganlarga bo'linadi.

3-ta'rif.

Kamaytirilgan kvadrat tenglama - Bu katta koeffitsient 1 ga teng bo'lgan kvadrat tenglama. Kektarli koeffitsientning boshqa qiymatlari uchun kvadrat tenglamasi yaroqsiz emas.

Biz misollar keltiramiz: Kvadrat tenglamalar x 2 - 4 · X + 3 \u003d 0, x 2 - X - 4 5 \u003d 0 - bu 1 yoshdan katta koeffitsienti 1.

9 x 5 - x - 2 \u003d 0 - birinchi koeffitsientning boshqacha farq qiladigan integral kvadrat tenglamasi 1 .

Agar har ikkala qismdan birinchi koeffitsientga (ekvivalent o'zgarishlar) ajratilgan bo'lsa, har ikkala qismdan ikkiga bo'lingan bo'lsa, har ikkala qismdan ajratilgan har qanday tartibsiz kvadrat tenglamasini amalga oshirish mumkin. O'rnatilgan tenglama belgilangan aqlli tenglama sifatida bir xil ildizlarga ega bo'ladi yoki umuman ildizlarga ega emas.

Muayyan misolni ko'rib chiqish, integral kvadrat tenglamaning hisobvarag'idan o'tishni aniq namoyish etishga imkon beradi.

1-misol.

Tenglama 6 · x 2 + 18 · X - 7 \u003d 0 . Dastlabki tenglamani yuqoridagi shaklda o'zgartirish kerak.

Qaror

Yuqoridagi ko'rsatilganlar sxemasi yuqori koeffitsientning yuqori koeffitsienti bo'yicha dastlabki tenglamaning ikkala qismi bilan ajratiladi. Keyin biz olamiz: (6 x x 5 + 18 · 18): 3 \u003d 0: 3Va bu quyidagicha: (6 İsh 2): 3 + (18 ·): 3 - 7: 3 \u003d 0 Va bundan tashqari: (6: 6) · 6) x 5 + (18: 6) · XO - 7: 6 \u003d 0. Bu yerdan: x 2 + 3 · X - 1 1 6 \u003d 0. Shunday qilib, tenglama belgilanadi.

Javob: x 2 + 3 · X - 1 1 6 \u003d 0.

To'liq va to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar

Kvadrat tenglama ta'rifiga murojaat qiling. Unda biz buni aniqladik A ≠ 0.. Bunday holat tenglashtirish kerak a · x 2 + B · X + C \u003d 0 Bu aniq kvadrat edi a \u003d 0 Bu asosan chiziqli tenglamaga aylaniladi B · X + C \u003d 0.

Koeffitsientlar bo'lganda B. va C.nolga teng (bu har biri, ham individual va birgalikda, ham mumkin) kvadrat tenglama to'liq emas deb nomlanadi.

4-ta'rif.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama - bunday kvadrat tenglama a · x 2 + B · X + C \u003d 0,kamernitylardan kamida bittasi B.va C.(yoki ikkalasi ham) nol.

To'liq kvadrat tenglama - barcha raqamli koeffitsientlar nolga teng bo'lmagan kvadrat tenglama.

Biz nima uchun kvadrat tenglamalar turlari aniq nomlar berilishini aytamiz.

B \u003d 0 kvadrat tenglama formasini oladi A · X 2 + 0 · X + C \u003d 0Xuddi shu narsa bu a · x 2 + c \u003d 0. Uchun C \u003d 0. Kvadrat tenglama yozib olinadi a · x 2 + B · X + 0 \u003d 0Bu teng a · x 2 + B · X \u003d 0. Uchun B \u003d 0. va C \u003d 0. Tenglama ko'rinishni oladi a · x 2 \u003d 0. Biz olgan tenglamalar to'liq kvadrat tenglamadan farq qiladi, chunki ularning chap qismlari x o'zgaruvchan yoki bepul a'zo yoki ikkalasida ikkalasida ham tarkibiga kirmaydi. Aslida, bu haqiqat bunday tenglamalarning nomi deb e'lon qilindi - to'liq emas.

Masalan, x 2 + 3 x + 4 \u003d 0 va 7 · X 2 - 2 \u003d 1, 3 \u003d 0 to'liq kvadrat tenglamalari; x 2 \u003d 0, - 5 · 2 \u003d 0; 11 · X + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · X \u003d 0 - To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarining qarori

Yuqoridagi ta'rif quyidagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarini ajratib turishga imkon beradi:

• a · x 2 \u003d 0, bu tenglama koeffitsientlarga mos keladi B \u003d 0. va c \u003d 0;
• a · X 2 + C \u003d 0 uchun b \u003d 0;
• a · x 2 + B · X \u003d 0 da c \u003d 0.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning har bir turining qarorini ko'rib chiqing.

A · X 2 \u003d 0 tenglama echimi

Yuqorida aytib o'tilganidek, tenglama koeffitsientlarga mos keladi B. va C.nolga teng. Tenglama a · x 2 \u003d 0 Tengilyatsiyani unga tenglashtirish mumkin x 2 \u003d 0qaysi biz olgan manbaning ikkala qismini raqam uchun almashtiramiz A.nolga teng emas. Tenglamaning ildizi aniq haqiqat x 2 \u003d 0 Bu noldir, chunki 0 2 = 0 . Boshqa ildizlar, bu tenglama darajasi darajasi haqida tushunarli: har qanday raqam uchun tushuntirilgan p,nolga teng emas, sodiq tengsizlik P 2\u003e 0Qachon bor P ≠ 0. tenglik P 2 \u003d 0erishish hech qachon.

1-ta'rif.

Shunday qilib, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama uchun A · X 2 \u003d 0 faqat ildiz bor x \u003d 0..

2-misol.

Misol uchun, biz bir chala kvadrat tenglamani hal - 3 · x 2 \u003d 0. Bu tenglama uchun teng x 2 \u003d 0, uning yagona ildizi x \u003d 0.Keyin, dastlabki tenglama faqat ildiz ega - nol.

Qisqa qaror, shunchalik beriladi:

- 3 · x x 2 \u003d 0 2 \u003d 0, x \u003d 0.

A · X 2 + C \u003d 0 tenglama echimi

Navbatda - b \u003d 0, c ≠ 0, ya'ni shakldagi tenglamalar a · x 2 + c \u003d 0. Biz ushbu tenglamani ikkinchisining bir qismidan boshqasiga o'zgartiramiz va belkuraning ikkala qismiga teng emas, balki raqamga teng emas:

• o'tkazmoq C. tenglamani beradi o'ng qismi, A · x 2 \u003d - c;
• biz tenglamaning ikkala qismini ham ajratamiz A., Men X \u003d - c a en tugataman.

Bizning o'zgarishlar, o'z navbatida, natijada tenglama ham manbaiga teng, teng, va bu haqiqat bu mumkin tenglama ildizlarini xulosa qiladi. Ma'nosi nimadan A. va C.ifodaning qiymati bog'liq - c: u minus belgisi bo'lishi mumkin (aytaylik) a \u003d 1. va C \u003d 2., keyin - c a \u003d - 2 1 \u003d - - 2) yoki ortiqcha belgi (masalan, agar bo'lsa) A \u003d - 2 va C \u003d 6., keyin - c a \u003d - 2 \u003d 3); Bu nol emas, chunki C ≠ 0.. Keling, vaziyatlarda batafsilroq yashaylik - C a< 0 и - c a > 0 .

Holatda - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P. Tenglik p 2 \u003d - c rost bo'lolmaydi.

Aks holda, qachon - c a\u003e 0: maksimal ildizni eslang, shundaki, x 2 \u003d - c tenglama x 2 \u003d - c a 2 \u003d - c a. Raqam ekanligini tushunish qiyin emas - c a x 2 \u003d - c a 2 \u003d - c a.

Boshqa ildizlar tenglama yo'q. Biz uni yomon usuldan foydalanib namoyish etishimiz mumkin. Boshlash uchun ildizlarning yuqoridagi belgilarni o'rnating x 1 va - x 1.. Men x 2 \u003d - c tenglama ham ildiz ekanligini taklif qilaman x 2ildizlardan farq qiladi x 1 va - x 1.. Biz buni tenglamaga almashtirishni bilamiz X. Uning ildizlari, biz tenglamani adolatli soniyal tenglikka aylantiramiz.

Uchun x 1 va - x 1. Biz yozamiz: x 1 2 \u003d - c a va uchun x 2 - x 2 2 \u003d - c a. Summerlik tengliklar xususiyatlariga tayanib, bizga bitta to'g'ri tenglikni qaytaradi, bu bizga beradi: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. So'nggi tenglikni qayta yozish uchun harakatlarning xususiyatlaridan foydalaning (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Ma'lumki, ikki raqamning ishlashi nolga teng va faqat kamida kamida bittasi nolga teng bo'lsa. Shundan keyin u quyidagicha x 1 - x 2 \u003d 0 va / yoki x 1 + x 2 \u003d 0xuddi shu narsa x 2 \u003d x 1 va / yoki x 2 \u003d - x 1. Aniq qarama-qarshilik paydo bo'ldi, chunki dastlab tenglamaning ildizi kelishilgan x 2 farq qiladi x 1 va - x 1.. Shunday qilib, biz x \u003d - c a va x \u003d - - C uchun tenglamaning boshqa ildizlariga ega emasligini isbotladik.

Yuqoridagi barcha mulohazalarni umumlashtiramiz.

6-ta'rif.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a · x 2 + c \u003d 0 x 2 \u003d - c tenglama tenglamaga teng:

• qachondir - c a< 0 ;
• ikki ildiz x \u003d - c a va x \u003d - c a l\u003e 0.

Biz tenglamalar tenglamalariga misollar keltiramiz a · x 2 + c \u003d 0.

3-misol.

Kvadrat tenglamasi ko'rsatilgan 9 x 4 + 7 \u003d 0.Uning qarorini topish kerak.

Qaror

Biz bepul a'zoni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazamiz, keyin tenglama shaklni oladi 9 x 5 \u003d - 7.
Biz olingan tenglamaning ikkala qismini ham ajratamiz 9 , x 2 \u003d - 7 9 ga keling. O'ng tarafda biz minus belgisi bo'lgan raqamni ko'ramiz, ya'ni: belgilangan tenglamaning ildizi yo'q. Keyin asl to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama 9 x x 2 + 7 \u003d 0 Ildizi bo'lmaydi.

Javob: tenglama 9 x x 2 + 7 \u003d 0uning ildizlari yo'q.

4 misol.

Tenglamani hal qilish kerak - x 2 + 36 \u003d 0.

Qaror

Biz 36-ni o'ng tomonga siljitamiz: - x 2 \u003d - 36.
Biz ikkala qismni ham ajratdik − 1 , olish x 2 \u003d 36. O'ng tarafda - bu ijobiy raqam, biz bu erdan biz xulosa qila olamiz x \u003d 36 yoki X \u003d - 36.
Ildizni olib tashlang va yakuniy natijani yozing: to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama - x 2 + 36 \u003d 0 Uning ikki ildizi bor x \u003d 6. yoki x \u003d - 6.

Javob: x \u003d 6. yoki x \u003d - 6.

A · X 2 + B · X \u003d 0 tenglama echimi

Biz qachon tugallanmagan kvadrat tenglamalarining uchinchi turini ko'rib chiqamiz C \u003d 0.. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning qarorini topish a · x 2 + B · X \u003d 0Shuningdek, biz ko'paytirgichlarga parchalanish usulidan foydalanamiz. Qavslar uchun umumiy tenglamaning chap qismida joylashgan melinomiya oralig'ida tarqalish X.. Ushbu qadam to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani ekvivalentga aylantirish uchun imkoniyat yaratadi X (a · x x) \u003d 0. Va bu tenglama, o'z navbatida, tenglamalarning umumiyligiga mos keladi x \u003d 0. va A · X + b \u003d 0. Tenglama A · X + b \u003d 0 Chiziqli va uning ildizi: x \u003d - b a.

Ta'rif 7.

Shunday qilib, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a · x 2 + B · X \u003d 0 ikki ildizga ega bo'ladi x \u003d 0. va x \u003d - b a.

Materialni misol bilan mahkamlang.

5-misol.

2-tenglama echimini topish kerak 2 3 · X 2 - 2 2 7 · X \u003d 0.

Qaror

Keling, etakchilik qilaylik X. Qavslar uchun x · 2 3 3 · 0 tenglamani olish uchun. Ushbu tenglama tenglamalarga teng x \u003d 0. va 2 3 3 x - 2 2 7 \u003d 0. Endi olib keladigan chiziqli tenglamani hal qilish kerak: 2 3 3 · X \u003d 2 2 7, X \u003d 2 2 7 2 3.

Shu tarzda yozish uchun tenglamani qisqa muddatli hal qilish:

2 3 3 3 x 2 - 2 2 7 · X \u003d 0 x · 2 3 · XE - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 yoki 2 3 · X - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 yoki x \u003d 3 3 7

Javob: x \u003d 0, x \u003d 3 7.

Kamsitish, kvadrat tenglamaning ildizlari

Kvadrat tenglamalarini eritma topish uchun, ildizlarning formulasi mavjud:

8-ta'rif.

x \u003d - b 2 funt qayerda D \u003d B 2 - 4 · C - kvadrat tenglamaning kamsituvchisi deb ataladi.

Emasda X \u003d - B 2 · A mohiyati x 1 \u003d - b + d 2roq, x 2 \u003d - D · 2 ni anglatadi.

Belgilangan formulalar qanday kelib chiqishi va uni qanday qo'llash kerakligini tushunish foydali bo'ladi.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini ishlab chiqarish

Keling, kvadrat tenglamani hal qilishda shubha ostiga qo'yaylik a · x 2 + B · X + C \u003d 0. Bir qator ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshiring:

• biz ikkala tenglamaning ikkala qismini raqamga ajratdik a.Noldan tashqari, biz kamaytirilgan kvadrat tenglamalarini olamiz: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• biz qabul qilingan tenglamaning chap tomonidagi to'liq kvadratni ta'kidlaymiz:
  x 2 + ba · x + CA \u003d x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · 2 - b 2 · 2 + CA \u003d x + b 2 · 2 - 2 b · a 2 + CA .
  Shundan so'ng, tenglama shakli: x + b 2 · 2 - b 2 · 2 + c a \u003d 0;
• endi u, shundan keyin biz qo'lga, ro'paradagi belgisini o'zgartirish, o'ng tomoniga so'nggi ikki muddatdan o'tkazishim mumkin: x + b 2 · 2 \u003d b 2 · 2 - C a;
• nihoyat, biz o'tgan tenglik o'ng tomonida qayd ifodasini o'zgartirmoq:
  B 2 · A 2 - C a \u003d b 2 4 · 2 - C a \u003d b 2 4 · 2 - 4 · A · C 4 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2.

Shunday qilib, biz x + b 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · AAO · C 4 · Taxminan manba tenglamaiga keldik a · x 2 + B · X + C \u003d 0.

Oldingi paragraflarda bunday tenglamalarni hal qilishni (to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarining qarori) ni tushundik. Geyts X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 elor 2 - 4 · AA 2-sonli tenglamaning ildizlari haqida xulosa qilishga imkon beradi:

• b 2 - 4 ellik 4 · 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 ellik 2 \u003d 0, tenglama x + b 2 · 2 \u003d 0, keyin x + b 2 · 0 ga ega.

Shunday qilib, yagona ildiz x \u003d - B 2 a ravshan;

• b 2 - 4 ellik uchun 2\u003e 0, to'g'ri bo'ladi: x + b 2 · a \u003d b 2 - b 2 - b 2 yoki x 2 a 2 - 4 · bir · bir xil bo'ladi C 4 · 2, deb X + - B 2 · a \u003d B 2 - 4 · a · C 4 · a 2 yoki X \u003d - B 2 · a - B 2 - 4 · A · C 4 · 2, i.e. Tenglama ikkita ildizga ega.

X + B 2 · A 2 \u003d 2-2 - 4 · C-C 4 · 2-sonning mavjudligi yoki yo'qligi degan xulosaga kelish mumkin (va shuning uchun boshlang'ich tenglama) iboraning belgisiga bog'liq 2 - 4 elemek 2, o'ng tomonda yozilgan. Va bu iboraning belgisi hisoblovchi raqami bilan belgilanadi (denominator 4 a 2 har doim ijobiy bo'ladi), ya'ni ibora belgisi B 2 - 4 · C. Bu ibora B 2 - 4 · C Ism kvadrat evakuatsiya qilishning kamsituvchisi va D harfining belgisi sifatida belgilanadi. Bu erda siz kamsituvchilarning mohiyatini yozib olishingiz mumkin - uning qiymati bo'yicha va belgisi, agar bo'lsa, ildizlarning soni - bir yoki ikkitasi.

X + B 2 · A TARMOQGA 2 \u003d B 2 - 4 · AA AAD 2. Uni kamssiz belgi yordamida qayta yozaman: x + b 2 · 2 \u003d d 4 · 2.

Xulosalarni yana bir bor shakllantiramiz:

Iding 9.

• uchun D.< 0 Tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q;
• uchun D \u003d 0. Tenglama x \u003d - B 2 Ath;
• uchun D\u003e 0 Tenglama ikkita ildizga ega: x \u003d - b 2 · d 4 · 4 yoki X \u003d - b 2 a + d 4 · 2. Bu ildizlar radikallarning xususiyatlariga asoslangan bo'lishi mumkin: X \u003d - b 2 · d 2 aori yoki - b 2 va 2 · a. Va biz modullarni ochib berib, kasrlarni beramiz umumiy maxrajBiz olamiz: x \u003d - b + d 2 ·, x \u003d - d 2 a.

Shunday qilib, bizning mulohazalarimiz natijasida kvadrat tenglama ildizlarining formulasini olib tashlash edi:

x \u003d - b + d 2 · a, x \u003d d 2 air, kamsituvchi D. Formula bilan hisoblangan D \u003d B 2 - 4 · C.

Ushbu formulalar kamsitilganda, ikkalasi ham haqiqiy ildizlarni aniqlashni qiyinlashtiradi. Agar kamsituvchi nol bo'lsa, ikkala formuladan ham foydalanish kvadrat tenglamaning yagona eritmasi sifatida bir xil ildizni beradi. Agar kamsituvchi salbiy bo'lsa, kvadrat tenglamaning ildiz formulalaridan foydalanishga harakat qilib, biz kvadrat ildizni, kvadrat ildizini salbiy sondan tashqarida olib tashlashga intilamiz. Salbiy kamsituvchi bilan, kvadrat tenglamasi haqiqiy ildizlarga ega bo'lmaydi, ammo biz olgan bir xil ildiz formulalari bilan belgilanadigan har tomonlama bir-birlikdagi ildizlar mumkin.

Ildiz formulalarida kvadrat tenglamalarini echish uchun algoritm

Darhol kvadrat tenglamani hal qilish, ildizlarning formulani velosipedda, lekin ular kerak bo'lsa, murakkab ildizlarni topadi.

Asosiy holatlarda odatda u murakkab bo'lmagan, ammo kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlarini qidirish uchun nazarda tutilgan. Keyin kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanishdan oldin optimal ravishda kamsituvchilarni belgilang va uning salbiy emasligini aniqlang

Yuqoridagi dalillar kvadrat tenglamani echish uchun algoritmni shakllantirish qobiliyatini yaratadi.

10-ta'rif.

Kvadrat tenglamani hal qilish a · x 2 + B · X + C \u003d 0, bu zarur:

• formulaga muvofiq D \u003d B 2 - 4 · C kamsituvchilarning qiymatini toping;
• d. bilan< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• d \u003d 0 formula x \u003d - b 2 a formulasi uchun yagona ildizni toping;
• d\u003e 0 uchun X \u003d - B №2 formulasi bo'yicha ikkita haqiqiy ildizni aniqlang.

E'tibor bering, kamsituvchi nolga teng bo'lsa, siz formulasi x \u003d - b likuladan foydalanishingiz mumkin, u formula x \u003d - b · a.

Misollarni ko'rib chiqing.

Kvadrat tenglamalarining echimlariga misollar

Biz kamsituvchilarning turli qadriyatlari bo'yicha misollarni hal qilamiz.

6-misol.

Tenglamaning ildizlarini topish kerak x 2 + 2 · X - 6 \u003d 0.

Qaror

Biz kvadrat tenglamaning raqamli koeffitsientlarini yozamiz: a \u003d 1, b \u003d 2 va C \u003d - 6. Keyin, biz algoritmda, i.e. Biz kamsituvchilarni hisoblashga o'tamiz, buning uchun biz koeffitsientlarni a, b va C. Kamsitish formulasida: D \u003d B 2 - 4 · AAF \u003d 2 2 - 4 · 4 · 4 · 1 (6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Shunday qilib, biz D\u003e 0 ni oldi va bu boshlang'ich tenglama ikkita haqiqiy ildizlarga ega bo'lishini anglatadi.
Ularni topish uchun biz ildiz formulasi x \u003d d - d · a dan foydalanamiz va tegishli qiymatlarni almashtiramiz, biz olamiz: X \u003d - 2 28 2 · 1. Natijada hosil bo'lgan ifodani soddalashtiramiz, ildiz belgisi uchun multiplier qiladi, undan keyin kasrning kesilishi:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2

x \u003d - 2 + 2 · · 7 yoki x \u003d - 2 - 2 2

x \u003d - 1 + 7 yoki x \u003d - 1 - 7

Javob: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

7 misol.

Kvadrat tenglamani hal qilish kerak - 4 x x 28 · x 28 · X - 49 \u003d 0.

Qaror

Kamsituvchilarni aniqlang: D \u003d 28 2 - 4 · · 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. Ushbu kamsituvchi qiymat bilan boshlang'ich tenglama formulasi x \u003d - b · a formulasi tomonidan aniqlanadi.

x \u003d - 28 2 2 (- 4) x \u003d 3, 5

Javob: x \u003d 3, 5.

8 misol.

Tenglamani hal qilish kerak 5 + 6 · y + 2 \u003d 0

Qaror

Ushbu tenglamaning raqamli koeffitsientlari: a \u003d 5, b \u003d 6 va C \u003d 2. Biz ushbu qiymatlarni kamsituvchi topish uchun foydalanamiz: D \u003d B 2 - 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 36 - 40 \u003d - 4. Hisoblangan kamsituvchi salbiy, shuning uchun dastlabki kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlariga ega emas.

Agar vazifa kompleks ildizlarni belgilash bo'lsa, ildiz formulalarini murakkab raqamlar bilan bajaring:

x \u003d - 6 ± 2 2 · 5,

x \u003d - 6 + 2 i i 10 yoki x \u003d - 6 - 2-i i 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · I yoki X \u003d 3 5 - 1 5 - I.

Javob: Haqiqiy ildizlar yo'q; Murakkab ildizlar quyidagicha: - 3 5 + 1 5 · I, - 3 5 - 1 5 · I.

Ichida maktab dasturi Standartlar murakkab ildizlarni qidirish uchun talab qilinmaydi, shuning uchun agar echim paytida kamsituvchi salbiy deb ta'riflangan bo'lsa, javob darhol haqiqiy ildizlar yo'qligini qayd etadi.

Formuladan ham ikkinchi koeffitsientlar uchun ildizlar

Ilotlarning formulasi x \u003d d 2 · a (D \u003d B 2 - C) xda kvadrat tenglamalarining echimini topishga imkon beradigan boshqa formulani, yanada ixchamni olish imkonini beradi (yoki 2 turdagi koeffitsient bilan, masalan, 2 yoki 14 · ln 5 \u003d 2 · 7 · 7 · 7 · 7 ln 5). Ushbu formula qanday ko'rinishini ko'rsatamiz.

Keling, kvadrat tenglama echimini topish vazifasi A · X 2 + 2 · X + C \u003d 0. Biz algoritmda harakat qilamiz: kamsituvchi d \u003d (2 · n) 2 - 4 · · 2 - 4 · 2 - · 4 · 4 · 4 · · · · · · · · ·) Ildiz formulasi:

x \u003d - 2 ± d 2 a, x \u003d ± № 2 ± 2 va n 2 - № 2 n 2 - A ° № 2 \u003d - n ± n 2 - AA CA.

N 2 - ABA C-ni D 1 (Ba'zan D ») deb atashiga ruxsat bering. Keyinchalik, ikkinchi koeffitsient bilan ko'rib chiqilayotgan maydon tenglamalari ildizlarining formulasi shaklni oladi:

x \u003d - n 1 a, bu erda d 1 \u003d n 2 - AAli.

Ushbu d \u003d 4 · d 1 yoki d 1 \u003d d 4 ekanligini ko'rish juda oson. Boshqacha aytganda, D 1 kamsituvchilarning chorak qismidir. Ko'rinib turibdiki, d 1 belgisi bilan bir xil ekanligi aniq, bu d 1 belgisi, maydoni tenglamaning ildizlari yoki yo'qligining ko'rsatkichi bo'lib xizmat qilishi mumkin.

Izoh 11.

Shunday qilib, 2 · n ikkinchi koeffitsient bilan kvadrat tenglamasini echimini topish kerak:

• d 1 \u003d n 2 - A;
• d 1 bilan.< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• d 1 \u003d 0 uchun X \u003d - N a formulasi tenglamaning yagona ildizini aniqlang;
• d 1\u003e 0 uchun X \u003d - N 1 a formulasi bo'yicha ikkita haqiqiy ildizlarni aniqlang.

9-misol.

Kvadrat tenglamani hal qilish kerak 5 · X 2 - 6 · X - 32 \u003d 0.

Qaror

Belgilangan tenglamaning ikkinchi koeffitsienti 2 · (3) sifatida tasvirlanishi mumkin. Keyin belgilangan kvadrat tenglamasini 5 · 2 + 2) · (32 \u003d 0, n \u003d 1 va C \u003d 32) sifatida qayta yozing.

Biz kamsituvchilarning to'rtinchi qismini hisoblaymiz: d 1 \u003d n 2 - A · A · (- 3) 2 - 5 · 5 + 160 \u003d 169. Qiymat ijobiy qiymat, bu tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega ekanligini anglatadi. Biz ularni tegishli ildiz formulasiga ko'ra aniqlaymiz:

x \u003d - n 1 a, x \u003d - - - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 yoki x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 yoki x \u003d - 2

Hisob-kitoblarni va kvadrat tenglama ildizlarining odatdagi formulasi bilan, ammo bu holda echim juda qiyinroq bo'ladi.

Javob: x \u003d 3 1 5 yoki x \u003d - 2.

Kvadrat tenglamalar turlarini soddalashtirish

Ba'zida ildizlarni hisoblash jarayonini soddalashtiradigan manba tenglama turini optimallashtirish mumkin.

Masalan, 12 kvadrat tenglamasi 12 · X 2 - 4 · X - 7 \u003d 0 - bu 1200 · X 2 - 400 · 8 - 700 \u003d 0.

Ko'pincha kvadrat tenglama turini soddalashtirish ikkala qismning ko'payishi yoki bo'linishi bilan bir qator raqamga aylantiriladi. Masalan, biz 1200 · x 2 - 400 lagan - 700 \u003d 0, har ikkala qismni 100 ga ajratish orqali olgan sodda rekordni ko'rsatdik.

Kvadrat tenglama koeffitsientlari o'zaro oddiy raqamlar bo'lmaganda bunday konversiya mumkin. Shunda odatda tenglamaning ikkala qismini ham koeffitsientlarning mutlaq qiymatlarining mutlaq qiymatlarining eng katta umumiy bo'linmasiga bo'lish mumkin.

Bunga misol sifatida kvadrat tenglamadan foydalaning 12 · X 2 - 42 İF + 48 \u003d 0. Biz koeffitsientlarning mutlaq qiymatlarining mutlaq qiymatlari ostidagi tugunni belgilaymiz: tugunlar (12, 42, 48) \u003d tugun (12, 42), 48) \u003d tugun (6, 48) \u003d 6. Biz asl kvadrat tengligini 6 ga tenglashtiramiz va biz 2-ga teng kvadrat tenglamasini amalga oshiramiz 2 · X 2 - 7 · 8 \u003d 0.

Kvadrat tenglamaning ikkala qismining ko'payishi odatda kasr koeffitsientlaridan xalos bo'ladi. Shu bilan birga, uning koeffitsientlarining eng kichik umumiy general-mazhabi bilan ko'paytiriladi. Masalan, agar kvadrat tenglamaning har bir qismi bo'lsa, 1 6 x x 5 + 2 3 · X - 3 \u003d 0 MOQdan (6, 3, 1) \u003d 6, keyin u sodda shaklda qayd etiladi + 4 · X - 18 \u003d 0.

Va nihoyat, biz deyarli har doim kvadrat tenglamaning birinchi koeffitsiyasida minusdan xalos bo'lishini ta'kidlaymiz va 1 qismning har bir qismining ko'payishi yoki ikki qismining ko'payishi natijasida erishilgan tenglamaning belgilarini o'zgartiradi. Masalan, kvadrat tenglamadan - 2 · X 2 - 3 · X + 7 \u003d 0, siz soddalashtirilgan versiyasiga 2 · 2 + 3 - 7 \u003d 0 ga borishingiz mumkin.

Ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi aloqa

Kvadrat tenglamalarning ildizlarining formulasi X \u003d - B 2 · Biz allaqachon tanilgan, biz allaqachon ma'lum bo'lgan tenglamaning ildizlarini raqamli koeffitsientlar orqali ifodalaydi. Ushbu formulaga tayanib, bizda ildizlar va koeffitsientlar orasidagi boshqa qaramlikni o'rnatish imkoniyati mavjud.

Eng mashhur va qo'llanilishi Veta teoremasi formulalari:

x 1 + x 2 \u003d - b a va x 2 \u003d c a.

Xususan, qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun ildizlar miqdori qarama-qarshi belgi bilan ikkinchi koeffitsient va ildizlarning mahsuloti bepul. Masalan, kvadrat tenglamasiga ko'ra, 3 · X 2 - 7 · X + 22 \u003d 0. Ilohiy ildizlarning yig'indisi 7 3 ni tashkil qiladi va ildizlarning mahsuloti 22 3 ni tashkil qiladi.

Shuningdek, siz kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari orasidagi boshqa boshqa havolalarni topishingiz mumkin. Masalan, kvadrat tenglamaning ildizlarining kvadratlari yig'indisi koeffitsientlar orqali ifodalanishi mumkin:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · 1 x x x 5 \u003d - 2 2 - 2 a 2 a 2 a 2 - B 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 2.

Agar siz matnda xatoga duch kelsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing

Birinchi daraja

Kvadratli tenglamalar. To'liq qo'llanma (2019)

"Kvadrat tenglama" jihatidan kalit "maydon" so'zi. Bu o'zgaruvchi maydondagi tenglamada (bir xil IX) tenglamada bo'lishi kerak va uchinchi (va undan yuqori) darajadagi fan bo'lishi kerak.

Ko'p tenglamalarning echimi aniq kvadrat tenglamalarni echishga qisqartirildi.

Keling, biz kvadrat tenglama borligini va boshqa emasligini aniqlaylik.

1-misol.

Denominatorga teng bo'lgan har bir a'zosi va dominford denominatordan xalos bo'ladi

Biz hamma narsani chapga o'tkazamiz va a'zolarga ICA darajalarida belgilangan tartibda joylashtiramiz

Endi bu tenglama maydoni ekanligiga ishonch bilan aytishingiz mumkin!

2-misol.

Ichki va o'ng tomonda:

Bu tenglama, bu dastlabki bo'lsa ham, kvadrat emas!

3-misol.

Hammasi:

Qo'rqinchli? To'rtinchi va ikkinchi darajali ... Ammo, agar biz almashtirsak, unda bizda oddiy kvadrat tenglama borligini ko'ramiz:

4 misol.

Aftidan, lekin diqqat bilan qaraylik. Biz hamma narsani chapga o'tkazamiz:

Qarang, kamaydi - va endi bu oddiy chiziqli tenglama!

Endi quyidagi tenglamalarning qaysi biri kvadrat ekanligingizni aniqlashga harakat qiling va u hech:

Misollar:

Javoblar:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. kvadrat emas;
4. kvadrat emas;
5. kvadrat emas;
6. kvadrat;
7. kvadrat emas;
8. kvadrat.

Matematika an'anaviy ravishda barcha kvadrat tenglamalarni turiga ajratadi:

• To'liq kvadrat tenglamalar - koeffitsient va erkin a'zodagi tenglamalar nolga teng emas (masalan,). Bundan tashqari, to'rtta maydon tenglamalari orasida ajratilgan taqdim etilgan - Bular koeffitsient (namunaning tenglamasi nafaqat to'liq, balki beriladigan tenglamalardir!)

• To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar - Koeffitsient va bepul a'zo bo'lgan tenglamalar nolga teng:

  To'lama, chunki ular biron bir narsa etishmayapti. Ammo tenglama har doim maydonda bo'lishi kerak !!! Aks holda, u kvadrat bo'lmaydi, lekin boshqa boshqa tenglama.

Nega bunday bo'linma bilan keldingiz? Maydonda x bor va yaxshi ko'rinadi. Bunday bo'linma echimlar usullari bilan bog'liq. Ularning har birini batafsil ko'rib chiqing.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarining qarori

Avvaliga biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarini echishda to'xtab turamiz - ular ancha sodda!

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar turlari:

1. Ushbu tenglamada koeffitsienti tengdir.
2. Ushbu tenglamada bepul a'zo teng.
3. Ushbu tenglamada koeffitsient va bepul a'zo teng.

1. va. Kvadrat ildizni qanday chiqarishni bilganimizdek, keling, ushbu tenglamadan ifodalaylik

Shakl salbiy va ijobiy bo'lishi mumkin. Maydonga o'rnatilgan raqam salbiy bo'lishi mumkin emas, chunki ikkita salbiy yoki ikkita ijobiy raqamni ko'paytirish bilan - natija har doim ijobiy raqam bo'ladi, agar tenglama echim bo'lmasa.

Va agar siz ikkita ildizni olsangiz. Ushbu formulalarni yodlashning hojati yo'q. Siz bilishingiz va eslashingiz kerak bo'lgan asosiy narsa, har doim bu kam bo'lmasligi mumkin.

Keling, bir nechta misollarni hal qilishga harakat qilaylik.

5-misol:

Tenglamani hal qiling

Endi u chap va o'ng tomondan olib tashlanadi. Axir, ildizlarni qanday olish kerakligini eslaysizmi?

Javob:

Salbiy belgi bilan ildizlarni hech qachon unutmang !!!

6-misol:

Tenglamani hal qiling

Javob:

7-misol:

Tenglamani hal qiling

Oh! Raqamning kvadrat salbiy bo'lishi mumkin emas, bu tenglamani anglatadi

ildiz yo'q!

Ildizlari yo'q, matematika maxsus ikonka - (bo'sh to'plam) bilan chiqadi. Va javob yozilishi mumkin:

Javob:

Shunday qilib, ushbu maydon tenglamasi ikkita ildizga ega. Bu erda hech qanday cheklovlar yo'q, chunki biz ildizni olib tashlamadik.
8-misol:

Tenglamani hal qiling

Men qavslarni umumlashtiraman:

Shunday qilib,

Ushbu tenglama ikkita ildizga ega.

Javob:

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning eng oson turi (garchi ular oddiy, to'g'ri?). Shubhasiz, bu tenglama har doim bitta ildizga ega:

Bu erda biz misolsiz qilamiz.

To'liq kvadrat tenglamalarini hal qilish

Sizga shuni eslatib o'tamizki, to'liq kvadrat tenglamasi bu tenglamaning tenglamaidir

To'liq kvadrat tenglamalarining echimi yuqoridagilarga qaraganda biroz murakkab (juda oz).

Esda tuting, har qanday kvadrat tenglamani kamsitish yordamida hal qilish mumkin! Hatto to'liq emas.

Qolgan yo'llarning qolgan qismi buni tezroq qilishga yordam beradi, ammo agar sizda kvadrat tenglamalari bilan bog'liq muammolar bo'lsa, echim kamsitish yordami bilan chaqiriladi.

1. Kvadrat tenglamalarini kamsituvchi yordamida hal qilish.

Kvadrat tenglamalarining echimi bu juda oddiy, asosiysi harakatlarning ketma-ketligini va bir-ikki formulalarni eslab qolishdir.

Agar tenglama qadamni to'lash uchun alohida e'tiborning ildiziga ega. Kamsitchi () bizni tenglamaning ildizlari soni bo'yicha ko'rsatadi.

• Agar, keyin formulaga qisqartirilsa. Shunday qilib, tenglama butun ildizga ega bo'ladi.
• Agar biz kamsituvchilardan ildizni bosqichma-bosqich chiqarib olmaymiz. Bu shuni ko'rsatadiki, tenglama ildizlarga ega emas.

Keling, tenglamalarimizga qaytamiz va bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

9-misol:

Tenglamani hal qiling

1-qadam O'tkazib yuboramiz.

2-qadam.

Biz kamsituvchi deb bilamiz:

Shunday qilib, tenglama ikkita ildizga ega.

3-qadam.

Javob:

10-misol:

Tenglamani hal qiling

Tenglama standart shaklda keltirilgan, shuning uchun 1-qadam O'tkazib yuboramiz.

2-qadam.

Biz kamsituvchi deb bilamiz:

Shunday qilib, tenglama bitta ildizga ega.

Javob:

11-misol:

Tenglamani hal qiling

Tenglama standart shaklda keltirilgan, shuning uchun 1-qadam O'tkazib yuboramiz.

2-qadam.

Biz kamsituvchi deb bilamiz:

U kamsituvchilardan ildizni chiqara olmaydi. Tenglamaning ildizlari mavjud emas.

Endi biz bunday javoblarni to'g'ri yozishni bilamiz.

Javob:Ildizlari yo'q

2. Vieta teoremasi yordamida kvadrat tenglamalarini hal qilish.

Agar eslasangiz, ya'ni taqdim etilgan tenglamalarning bunday turi (bir guruh koeffitsienti teng bo'lsa):

Veta teoremasi yordamida hal qilish juda oson.

Ildizlarning yig'indisi belgilangan Kvadrat tenglamasi teng va ildizlarning mahsuloti tengdir.

12-misol:

Tenglamani hal qiling

Veta teoremasi yordamida bu tenglamani hal qilish uchun mos keladi, chunki .

Tenglamaning ildizlari miqdori teng, i.e. Biz birinchi tenglamani olamiz:

Va ish:

Shuningdek, tizimni ham hal qilamiz:

• va. Miqdori teng;
• va. Miqdori teng;
• va. Miqdori tengdir.

va tizimning echimi:

Javob: ; .

13-misol:

Tenglamani hal qiling

Javob:

14-misol:

Tenglamani hal qiling

Tenglama beriladi va shuning uchun:

Javob:

Kvadratli tenglamalar. O'RTACHA DARAJASI

Kvadrat tenglama nima?

Boshqacha qilib aytganda, kvadrat tenglamasi noma'lum bo'lgan turlarning tenglamaidir va.

Raqami oqsoqol yoki deyiladi birinchi koeffitsient Kvadrat tenglamasi - ikkinchi koeffitsient, lekin - bepul a'zo.

Nima uchun? Chunki agar tenglama darhol chiziqli bo'lsa, yo'qoladi.

Bir vaqtning o'zida, va nol bo'lishi mumkin. Ushbu kursda tenglama to'liq emas deb nomlanadi. Agar barcha tarkibiy qismlar bo'lsa, ya'ni tenglama to'liqdir.

Har xil kvadrat tenglamalarning echimlari

To'liq bo'lmagan kvadrat tengorlarini echish usullari:

Avvalambor, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarining echimlarining usullarini tahlil qilamiz - ular osonroq.

Siz bunday tenglamalarning turini tanlashingiz mumkin:

I., Bu tenglamada koeffitsient va bepul a'zo teng.

II. Ushbu tenglamada koeffitsienti tengdir.

III. Ushbu tenglamada bepul a'zo teng.

Endi ushbu subtypesning har birining echimini ko'rib chiqing.

Shubhasiz, bu tenglama har doim bitta ildizga ega:

Maydonga o'rnatilgan raqam salbiy bo'lishi mumkin emas, chunki ikki salbiy yoki ikkita ijobiy raqamni ko'paytirish bilan, natijada har doim ijobiy raqam bo'ladi. Shuning uchun:

agar, tenglama echim bo'lmasa;

agar biz ikkita ildizni o'rgansak

Ushbu formulalarni yodlashning hojati yo'q. Esda tutadigan asosiy narsa kam emas.

Misollar:

Yechimlar:

Javob:

Salbiy belgisi bo'lgan ildizlarni hech qachon unutmang!

Raqamning kvadrat salbiy bo'lishi mumkin emas, bu tenglamani anglatadi

ildizlari yo'q.

Vazifani hech qanday echim yo'qligini qisqacha qayd etish uchun bo'sh to'plamni ishlating.

Javob:

Shunday qilib, bu tenglama ikkita ildizga ega: va.

Javob:

Men kavraultlar uchun zavodni umumlashtiraman:

Mahsulot nolga teng bo'lsa, kamida bir nechta multiplier nolga teng bo'lsa. Bu shuni anglatadiki, tenglama qachon echim bo'ladi:

Shunday qilib, ushbu maydon tenglamasi ikkita ildizga ega: va.

Misol:

Tenglamani belgilang.

Qaror:

Zavod tenglamasining chap qismini yoyib oling va ildizlarni toping:

Javob:

To'liq kvadrat tenglamalarni echish usullari:

1. kamsituvchi

Kvadrat tenglamalarini shu tarzda hal qilish oson, asosiysi harakatlarning ketma-ketligini va bir nechta formulalarni eslashdir. Yodingizda bo'lsin, kamsitish yordamida har qanday kvadrat tenglamani hal qilish mumkin! Hatto to'liq emas.

Ildiz formulasida kamsituvchilarning ildizini payqadingizmi? Ammo kamsituvchi salbiy bo'lishi mumkin. Nima qilish kerak? Biz 2-bosqichga alohida e'tibor qaratishimiz kerak. Kirliklagichi bizni tenglamaning ildizlari soni bo'yicha ko'rsatadi.

• Agar tenglama ildiz bo'lsa:
• Agar tenglama bir xil ildizga ega bo'lsa va aslida bitta ildiz bo'lsa:

  Bunday ildizlar juft deb nomlanadi.

• Agar kamsituvchilarning ildizi olib tashlanmasa. Bu shuni ko'rsatadiki, tenglama ildizlarga ega emas.

Nega har xil ildizlarning soni mumkin? K. ga murojaat qiling geometrik ma'no kvadrat tenglamasi. Funktsiya grafigi Parabola:

Ma'lum bir holatda, bu kvadrat tenglama. Va bu kvadrat tenglamaning ildizlari xo'ppoz nuqtalari varissa (o'q) ning o'qi bilan kesishish nuqtai nazaridir. Parabola umuman o'qni kesib o'tolmasligi yoki uni birida kesib o'tolmasligi mumkin (parabolaning yuqori qismi o'qda yotqizilganda) yoki ikkita nuqtada.

Bundan tashqari, parabola filiallarining yo'nalishi uchun koeffitsient javobgardir. Agar parabola filiallari yuqoriga yo'naltirilgan bo'lsa, agar u pastga bo'lsa.

Misollar:

Yechimlar:

Javob:

Javob :.

Javob:

Shunday qilib, echimlar yo'q.

Javob :.

2. Vieta teoremasi

Vetnaning teoremasi juda oson: siz shunchaki tenglamaning bepul a'zosiga teng bo'lgan bunday bir nechta raqamlarni olishingiz kerak, shunda bu tenglamaning bepul a'zosiga teng, va miqdor qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsient hisoblanadi.

Vietaning nazariyasini faqat foydalanish mumkinligini yodda tutish kerak kamaytirilgan kvadrat tenglamalar ().

Bir nechta misollarni ko'rib chiqing:

1-misol:

Tenglamani belgilang.

Qaror:

Veta teoremasi yordamida bu tenglamani hal qilish uchun mos keladi, chunki . Qolgan koeffitsientlar:; .

Tenglamaning ildizlari miqdori:

Va ish:

Biz bunday juft raqamlarni tanlaymiz, uning mahsuloti teng va ularning summasi tengligini tekshiramiz:

• va. Miqdori teng;
• va. Miqdori teng;
• va. Miqdori tengdir.

va tizimning echimi:

Shunday qilib, bizning tenglamaimizning ildizlari.

Javob :; .

2-misol:

Qaror:

Biz ishda berilgan raqamlarni tanlaymiz va ularning summasi tengligini tekshiramiz:

va: beradigan miqdorda.

va: beradigan miqdorda. Aytilgan ildizlarning belgilarini o'zgartirish uchun etarlicha erishish uchun: va ish.

Javob:

3-misol:

Qaror:

Tenglamaning erkin a'zosi manfiydir, bu ildizlarning mahsulotini anglatadi - salbiy raqam. Bu faqat ildizlardan biri salbiy bo'lsa, ikkinchisi ijobiy bo'lsa. Shuning uchun ildizlarning miqdori tengdir ularning modullarining farqlari.

Biz ishda berilgan raqamlarni va ularning farqi quyidagi raqamlarni tanlaymiz:

va: ularning farqi tengdir - mos emas;

va: - mos emas;

va: - mos emas;

va: - mos. Ildizlardan biri salbiy ekanligini unutmang. Ularning miqdori teng bo'lishi kerakligi sababli, salbiy kichikroq ildiz modul bo'lishi kerak:. Tekshirish:

Javob:

4-misol:

Tenglamani belgilang.

Qaror:

Tenglama beriladi va shuning uchun:

Bepul a'zo salbiy, shuning uchun ildizlarning mahsuloti salbiy. Va bu faqat tenglamaning bitta ildizi salbiy bo'lsa, boshqasi ijobiy bo'lsa.

Biz bunday juft raqamlarni tanlaymiz, uning mahsuloti teng, keyin qaysi ildizlarning salbiy belgisi bo'lishi kerakligini aniqlaymiz:

Shubhasiz, faqat ildizlar birinchi shart uchun mos va:

Javob:

5-misol:

Tenglamani belgilang.

Qaror:

Tenglama beriladi va shuning uchun:

Ildizlarning miqdori salbiy, ya'ni ildizlardan kamida bittasi salbiy ekanligini anglatadi. Ammo ularning ishi ijobiy bo'lsa, bu minus belgisi bilan ildizni anglatadi.

Biz bunday juftlarni tanlaymiz, uning mahsuloti:

Shubhasiz, ildizlar soni va.

Javob:

Qabul qilaman, bu yoqimsiz diskrinni hisobga olishning o'rniga, og'zaki ravishda ildizlarini ixtiro qilish juda qulaydir. Viet'ing teoremasini iloji boricha ishlatishga harakat qiling.

Ammo ildizlarning ajrini olish va tezlashtirish uchun Vieta teoremasi kerak. Sizdan foydalanishda yordam berish uchun siz avtomatizmga harakat qilishingiz kerak. Va buning uchun misollarning taxtasi. Ammo taraqqiyot emas: kamsituvchilardan foydalanib bo'lmaydi! Faqat Vieta teoremasi:

Mustaqil ish uchun vazifa echimlari:

Vazifa 1. (x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Vetya teoremasiga:

Odatdagidek, biz ishni tanlashni boshlaymiz:

Miqdoriga mos kelmaydi;

: Miqdor - sizga kerak bo'lgan narsa.

Javob :; .

2-vazifa.

Va yana, bizning eng sevimli Vieta Teorem: Miqdor bo'lsa, ish tengdir.

Ammo bo'lmasligi kerak bo'lgani uchun, lekin ildizlarning belgilarini o'zgartiring: (miqdorda).

Javob :; .

3-vazifa.

Hmm ... va nima o'zi?

Barcha shartlarni bir qismdan o'tkazish kerak:

Ildiz miqdori teng, ish.

Shunday qilib, to'xtang! Tenglama berilmaydi. Ammo Vetya teoremasi faqat yuqoridagi tenglamalarda qo'llaniladi. Shunday qilib, avval siz tenglamani olib kelishingiz kerak. Agar siz ishlamasangiz, ushbu g'oyani tashlang va boshqacha qaror qiling (masalan, kamsituvchi orqali). Sizga shuni eslatib o'ting, bu kvadrat tenglamani olib keladi - bu katta koeffitsientni berishni anglatadi:

A'lo. Keyin ildizlarning miqdori teng va ish.

Bu erda oddiy olish osonroq: Axir, oddiy raqam (tautologiyas uchun uzr).

Javob :; .

4-vazifa.

Bepul a'zo salbiy. Bunda nimada? Va ildizlar turli xil belgilar bo'lishini anglatadi. Va endi tanlov davomida biz ildizlarning miqdorini tekshirmaymiz, ammo ularning modullari o'rtasidagi farq: Bu farq teng va ish.

Shunday qilib, ildizlar teng va ulardan biri minus bilan. Vetya Teorem bizga ildizlarning miqdori bir-biriga qarama-qarshi belgi bilan teng bo'lgan ikkinchi koeffitsientga teng ekanligini aytadi. Shuning uchun minus kichikroq ildizda bo'ladi: va shu sababli.

Javob :; .

5-band.

Avval nima qilish kerak? To'g'ri, tenglamani olib keling:

Yana: biz sonning ko'paytirgichini tanlaymiz va ularning farqi teng bo'lishi kerak:

Ildizlar teng va lekin ulardan biri minus bilan. Nima? Ularning miqdori bir xil bo'lishi kerak, bu minus kattaroq ildiz bo'lishi kerak.

Javob :; .

Men umumlashtiraman:

1. Vieta teoremasi faqat ushbu maydon tenglamalarida qo'llaniladi.
2. Veta teoremasi yordamida siz tanlangan, og'zaki ravishda ildizlarni topishingiz mumkin.
3. Agar tenglama berilmasa yoki bepul a'zoning ko'paytirgich bo'lmasa yoki munosib bir guruhning ko'paytirgich bo'lmasa, unda boshqa usul yo'qligini anglatadi va boshqa usulni hal qilish kerak (masalan, kamsituvchi).

3. To'liq kvadratni ajratish usuli

Agar noma'lum narsani o'z ichiga olgan bo'lsa, summani yoki farq summasining tarkibiy qismlarini taqdim etsa, unda o'zgargichlarni almashtirishning tarkibiy qismlarini taqdim etish, bu turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama shaklida teng bo'linishi mumkin .

Masalan:

1-misol:

Tenglamani hal qiling:.

Qaror:

Javob:

2-misol:

Tenglamani hal qiling:.

Qaror:

Javob:

Umuman olganda, o'zgarishi quyidagicha ko'rinadi:

Bu quyidagi ma'noni anglatadi:.

Hech narsa eslatmaydimi? Bu kamsituvchi! Bu, kamsitish formulasi va olgan.

Kvadratli tenglamalar. Qisqacha asosiy narsa haqida

Kvadratli tenglama- Bu noma'lum, - noma'lum, - bu maydon tenglamasining koeffitsientlari - bu bepul a'zo.

To'liq kvadrat tenglama koeffitsientlar nolga teng emas.

Kamaytirilgan kvadrat tenglama - Koeffitsientning quyidagicha tenglama:.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama - Koeffitsient va bepul a'zo nolga teng:

• agar koeffitsient bo'lsa, tenglama :,,
• agar bepul a'zo bo'lsa, tenglama shakli:,
• agar tenglama shakli bo'lsa:.

1. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar teng bo'lgan algoritm

1.1. Turlarning to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi qaerga:

1) noma'lum narsani ifoda eting:

2) ifoda belgisini tekshirish:

• agar, tenglama echim bo'lsa,
• agar tenglama ikki ildizga ega bo'lsa.

1.2. Turlarning to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi qaerga:

1) Men qavslar uchun fabrikani umumlashtiraman:

2) Mahsulot nolga teng bo'lsa, agar kamida bir nechta multipler nolga teng bo'lsa. Shuning uchun tenglama ikkita ildizga ega:

1.3. Turlarning to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi, bu erda:

Ushbu tenglama har doim bitta ildizga ega:.

2. Turlarning to'liq kvadrat tenglamasini echish algoritmi qaer qayerdan

2.1. Kamsituvchi yordam bilan echim

1) Biz tenglamani standart shaklga beramiz:,

2) Formulaga muvofiq kamsituvchilarni hisoblang: bu tenglamaning ildizlari sonini ko'rsatadi:

3) tenglamaning ildizlarini toping:

• agar tenglama formulani mavjud bo'lgan ildiz bo'lsa:
• agar, tenglama formulaga tegishli ildizga ega:
• agar tenglama ildizlarga ega bo'lmasa.

2.2. Veta teoremasi yordamida echim

Kamaytirilgan kvadrat tenglamaning ildizlarining summasi (bu erda) teng va ildizlarning mahsuloti teng, i.e. , lekin.

2.3. To'liq kvadrat taqsimot usulini hal qilish