F X 3x 2 - bu ibtidoiy. Peshqadam va umumiy ko'rinishi

Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "peshqadamga o'xshash funktsiya".

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, sharhlaringizni, sharhlaringizni, mulohazalaringizni tark etishni unutmang! Barcha materiallar antivirus dasturi tekshiriladi.

11-sinf uchun o'quv qo'llanmalari va simulyatorlari "integral"
Parametrlar bilan algebraik vazifalar, 9-11 sinflar
"10 va 11 sinflar uchun kosmosda qurish uchun interfaol vazifalar"

Bosib chiqarish funktsiyasi. Kirish

Bolalar, siz turli xil formula va qoidalar yordamida olingan funktsiyalarni topishingiz mumkin. Bugun biz amaliyotni bekor qilish operatsiyasini o'rganamiz. Differ kontseptsiyasi ko'pincha ishlatiladi haqiqiy hayot. Sizga eslatib beray: hosila narsa funktsiya o'zgarishi tezligi ma'lum bir nuqtada. Harakat va tezlik bilan bog'liq jarayonlar ushbu atamalarda yaxshi tavsiflangan.

Keling, bu vazifani ko'rib chiqamiz: "Ob'ekt harakatining tezligi, to'g'ri chiziqda, $ V \u003d GT $ formulasi tomonidan tavsiflanadi. Harakat qonunini tiklash talab etiladi.
Qaror.
Biz yaxshi formulani bilamiz: $ s "\u003d v (t) $, bu erda harakat qonuni.
Bizning vazifamiz $ s \u003d s (t) $, uning hativalenti $ GT $ ekanligini qidirish uchun qisqartirildi. Ehtiyotkorlik bilan qarasangiz, siz (t) \u003d \\ t ^ 2) (2) $ ni taxmin qilishingiz mumkin.
Ushbu muammoni hal qilishning to'g'riligini tekshiramiz: $ s "(g * t ^ 2) (2))" \u003d \\ FRAC (2) * 2t \u003d g * t $.
Differentsiyani bilish, biz funktsiyani o'zi topdik, ya'ni ular teskari operatsiyani bajardilar.
Ammo bu lahzaga e'tibor berishga arziydi. Bizning vazifamizning echimi aniqlashni talab qiladi, agar topilgan funktsiya har qanday raqamga qo'shilsa, u o'zgarmaydi: $ s (t) \u003d \\ t ^ 2) (2) + c, C \u003d Cont $.
$ (T) \u003d (g * t ^ 2) (2)) "+ c" \u003d g * t + 0 \u003d g * t $.

Yigitlar, diqqat qiling: Bizning vazifamiz cheksiz echimlar to'plamiga ega!
Agar vazifa boshlang'ich yoki boshqa shartlar ko'rsatilmagan bo'lsa, echimga doimiy ravishda qo'shishni unutmang. Masalan, bizning vazifamizda, tanamizning harakatning boshida pozitsiyasini belgilash mumkin. Keyin doimiy tenglamaga doimiy ravishda almashtirish qiyin emas, natijada doimiy ahamiyatga ega.

Bunday operatsiyaning nomi nima?
Operatsiyaviy foydalanish integratsiya deb nomlanadi.
Berilgan hosila - integratsiya uchun funktsiyani topish.
Funktsiyaning o'zi oddiy, ya'ni, tasvir, keyin olingan funktsiya olindi.
Birinchi harfni birinchi harf yozadi $ y \u003d F "\u003d F (x) $.

Ta'rif. $ Y \u003d f (x) funktsiyasi - bu $ y \u003d F (x) $ deb nomlanadi. Agar tenglik $ '(x) \u003d F (x) $ har qanday $ XX $ uchun amalga oshiriladi.

Keling, ibtidoiy jadval yaratamiz turli xil funktsiyalar. Uni eslatma va o'rganish sifatida bosish kerak.

Bizning stolimizda dastlabki sharoitlar U o'rnatilmagan. Bu stolning o'ng tomonida har bir iborani doimiy ravishda qo'shishi kerak. Keyinchalik biz ushbu qoidani aniqlaymiz.

Birlamchi deb topish qoidalari

Keling, ibtidoiy topishda bizga yordam beradigan bir nechta qoidalarni yozaylik. Ularning barchasi farqlanish qoidalariga o'xshash.

1-qoida. Birinchi shaklli miqdori ibtidoiy miqdorga teng. $ F (x + y) \u003d f (x) + F (y) $.

Misol.
Birinchisini toping $ y \u003d 4x ^ 3 + cos (x) $ ni toping.
Qaror.
Birinchi shaklli miqdori oddiy miqdorga teng, keyin taqdim etilgan har bir funktsiyalarning birlamchi qismini topish kerak.
$ F (x) \u003d 4x ^ 3 $ \u003d\u003e $ f (x) \u003d x ^ $ 4.
$ f (x) \u003d cos (x) $ \u003d\u003e $ F (x) \u003d Gunt (x) $.
Keyin dastlabki manba funktsiyasi quyidagicha bo'ladi: $ Y \u003d x ^ 4 + Sin (x) $ yoki har qanday funktsiyaning $ Y \u003d x ^ 4 + Sin (X) + C $.

2-qoida. Agar $ f (x) $ bu oddiy $ f (x) $, undan keyin $ K * F (x) (x) funktsiyaning $ K * F (x) $ hisoblanadi. (Koeffitsient funktsiyaga dosh bera oladi).

Misol.
Asosiy funktsiyalarni toping:
a) $ Y \u003d 8SIN (x) $.
b) $ Y \u003d - \\ FRAC (2) cos (x) $.
c) $ y \u003d (3x) ^ 2 + 4x + $ 5.
Qaror.
a) $ gunoh uchun birlamchi (x) $ minus $ co (x) $. Keyin ibtidoiy manbaning funktsiyasi shaklni oladi: $ y \u003d -8cos (x) $.

B) $ COS (x) uchun birlamchi - bu $ gunoh (x) $. Keyin ibtidoiy manbaning funktsiyasi shaklni oladi: $ y \u003d - \\ FRAC (2) (x) $.

C) birinchi $ X ^ 2 $ uchun birinchi marta $ \\ FRAC (x ^ 3) (3) $. X uchun birinchi $ \\ FRAC (x ^ 2) (2) $. 1 xizmat uchun birinchi Keyin ibtidoiy manbali funktsiya shaklni oladi: $ y \u003d 3 * \\ frac (x ^ 2) (2) + 5 * x \u003d x ^ 2x ^ 2 + 5x $.

3-qoida. Agar $ Y \u003d F (x) funktsiyasi uchun - $ y \u003d f (x) funktsiyasi, avval $ y \u003d f (kx + m) funktsiyasi $ y \u003d \\ FRAC funktsiyasi ( 1) (k) * f (kx + m) $.

Misol.
Asosiy funktsiyalarni toping:
a) $ Y \u003d cos (7x) $.
b) $ Y \u003d GIN (\\ frac (x) (2)) $.
c) $ y \u003d (- 2x + 3) ^ $ 3.
d) $ y \u003d e ^ (\\ frac (2x + 1) (5)) $.
Qaror.
a) $ COS (x) $ birlamchi - bu $ gunoh (x) $. Keyin birinchi funktsiya $ Y \u003d cos (7x) funktsiyasi $ y \u003d \\ FRAC (1) (7x) \u003d \\ FRAC (7x)) (7x)) (7x) (7x)) (7x) (7x)) funktsiyasi bo'ladi.

B) $ gunoh (x) uchun birlamchi (x) $ minus $ co (x) $. Keyin birinchi marta $ Y \u003d GIN (\\ FRAC (2) (2) funktsiyasi bo'ladi (1) (1) (\\ frac (x)) (2)) \u003d - 2co (x) (2)) $.

C) $ x ^ 3 $ uchun ibtidoiy javob (4) - $ 4), keyin ibtidoiy manbaning funktsiyasi $ y \u003d - \\ FRAC (2) (2) + 3)) (4) \u003d - \\ FRAC (((- 2x + 3)) ^ 4) (8) $ (8).

D) $ \\ FRAC (2X + 1) darajasiga biroz soddalashtiradi (5) \u003d \\ FRAC (5) X + \\ FRAC (5) (5).
Birlamchi eksponent funktsiyasi o'zini o'ziga xosdir eksponent funksiyasi. Manba funktsiyasi $ Y \u003d \\ FRAC (1) (5) (\\ FRAC (2) (5) x + \\ FRAC (5)) \u003d \\ FRAC (5)) 5) (2) * e ^ (\\ frac (2x + 1) (5)) $.

Teorema. Agar $ Y \u003d F (x) $ bu o'rtacha $ - bu $ y \u003d F (x) $ bu funktsiya - bu $ y \u003d F (x) $ juda ko'p va ularning barchasida juda ko'p emas $ y \u003d f (x) + $ bilan.

Agar yuqorida ko'rib chiqilgan barcha misollar bo'lsa, ko'pchilik juda ibratli ravishda topish kerak bo'ladi, keyin hamma joyda doimiy S. ga ergashadi.
$ Y \u003d cos (7x) $, birinchi bo'lib formada: $ y \u003d \\ frace (7x)) (7x))
$ Y \u003d (- 2x + 3) funktsiyasi uchun, birinchi bo'lib forma bor: $ y \u003d ((2x + 3)) ^ 4) (8) + C $.

Misol.
Tananing tanasini vaqti-vaqti bilan o'zgartirish uchun $ v \u003d -3sin (4t) $ (T) 1,75 koordinatsiyasini topib, $ s \u003d s (t) turini topish qonuniga ko'ra berilgan qonunga muvofiq Vaqtning dastlabki lahzasida.
Qaror.
V \u003d S '(t) $ yildan-da, biz ibtidoiy tezlikni topishimiz kerak.
$ S \u003d -3 * FRAC (1) (4) (4T)) + C \u003d \\ FRAC (4) cos (4T) + c $.
Ushbu vazifada qo'shimcha shart - vaqtning dastlabki lahzasi beriladi. Bu $ t \u003d 0 $ ni anglatadi.
$ (0) \u003d \\ FRAC (3) (4) cos (4 * 0) + C \u003d \\ FRAC (4).
$ \\ FRAC (3) (4) cos (0) + C \u003d \\ FRAC (4).
$ \\ FRAC (3) (4) * 1 + C \u003d \\ FRAC (7).
$ C \u003d 1 $.
Keyin harakat qonuni formula tomonidan tavsiflanadi: $ s \u003d \\ frac (4) cos (4T) + 1 $.

O'z-o'zini hal qilish uchun vazifalar

1. Asosiy funktsiyalarni toping:
a) $ Y \u003d -10SIN (x) $.
b) $ Y \u003d \\ frace (5) (6) cos (x) $.
c) $ y \u003d (4x) ^ 5 + (3x) ^ 2 + 5x $.
2. Asosiy funktsiyalarni toping:
a) $ Y \u003d cos (\\ FRAC (3) (4) x) $.
b) $ Y \u003d Gal (8x) $.
c) $ y \u003d (((7x + 4)) ^ $ 4.
d) $ y \u003d e ^ (\\ frac (3x + 1) (6)) $.
3. Tananing tanasini vaqti-vaqti bilan o'zgartirish uchun tananing tanasini o'zgartirish to'g'risidagi qonun $ s \u003d s (t) $ 2-koordinatsiyani topish uchun $ s \u003d s \u003d s). vaqtning dastlabki lahzasi.

Bir integrallarning echimi - bu yorug'lik engil, faqat tanlanganlar uchun. Ushbu maqola integrallarni tushunishni o'rganmoqchi bo'lganlar uchun, ammo ular haqida hech narsa yoki deyarli hech narsa bilmaydi. Integral ... Nega bu kerak? Buni qanday hisoblash kerak? Muayyan va noaniq ajralmas narsa nima? Agar sizga ma'lum bo'lgan yagona integral qo'llanma - bu integral belgi shaklida, qiyin joylardan foydalangan holda foydalangan holda, keyin xush kelibsiz! Integratsiyalarni qanday hal qilishni o'rganing va nima uchun buni amalga oshirish mumkin emas.

"Integral" tushunchasini o'rganamiz

Integratsiya hali ham ma'lum edi Qadimgi Misr. Albatta, emas zamonaviy video, lekin hali ham. O'shandan beri matematika ushbu mavzu bo'yicha ko'plab kitoblarni yozdi. Ayniqsa ajralib chiqadi Nyuton va Leybins Ammo narsalarning mohiyati o'zgarmadi. Skratchning integrallarini qanday tushunish kerak? Hech qanday tarzda! Ushbu mavzuni tushunish uchun matematik tahlilning poydevorlarining asosiy bilimlari hali ham kerak bo'ladi. Integrammalarni tushunish va integratsiyalarni tushunish uchun bizda allaqachon bizning blogimizda bor.

Noaniq integral

Keling, biron bir funktsiyani o'tkazaylik f (x) .

Integral funktsiya f (x) Ushbu xususiyat deyiladi F (x) , uning hosilasi funktsiyaga teng f (x) .

Boshqacha aytganda, integral bu aksincha yoki ibtidoiy holatda. Aytgancha, bizning maqolamizda qanday o'qish haqida.

Barcha doimiy funktsiyalar uchun bashoratli mavjudotlar. Shuningdek, derivativlar doimiy ravishda birlamchi birlamchi bilan birlamchi belgilanadi. Integratsiyani topish jarayoni integratsiya deb nomlanadi.

Oddiy misol:

Delinal elementar funktsiyalarni hisoblab chiqmaslik uchun doimiy ravishda ularni stolga haydash va tayyor qiymatlardan foydalanish qulay.

Talabalar uchun to'liq jadval integratsiyalari

Muayyan integral

Integral kontseptsiya bilan shug'ullanish, biz cheksiz kichik qadriyatlar bilan shug'ullanamiz. Injidlik bu raqamning raqamini hisoblashga yordam beradi, g'allomolar massasi bilan uzatiladi notekis harakat Yo'l va boshqalar. Shuni esda tutish kerakki, integral bu cheksiz ko'p sonli cheksiz kichik atamalarning yig'indisi.

Bunga misol sifatida ba'zi funktsiyalar jadvalini tasavvur qiling. Funktsiya grafikasi bilan cheklangan raqamlarni qanday topish mumkin?

Yaxlitlik yordamida! Biz Currvilinear Trapziyani, koordinata o'qlari va funktsiyaning grafikasidan cheksiz kichik segmentlar bilan cheklangan. Shunday qilib, raqam ingichka ustunlarga bo'linadi. Ustunlarning yig'indisi trapezoidning maydoni bo'ladi. Ammo bunday hisob-kitobni namunaviy natijani keltirib chiqaradi. Biroq, segmentlar allaqachon kamroq bo'ladi, hisoblash hisobi bo'ladi. Agar biz ularni shunday kamaytirsak, uzunligi nolga intilsak, segmentlar soni raqamning maydoniga ta'sir qiladi. Bu quyidagicha yozilgan aniq ajralmas narsa:

A va B nuqtalari integratsiya chegaralari deb nomlanadi.

Baria Alibasov va "Integral" guruhi

Aytmoqchi! Hozirgi kunda bizning o'quvchilarimiz 10% chegirma mavjud

Dummiyalar uchun integratsiyalarni hisoblash qoidalari

Noaniq integral xususiyatlari

Noma'lum integralni qanday hal qilish kerak? Bu erda biz misollarni hal qilishda foydali bo'lgan noaniqlik xususiyatlarini ko'rib chiqamiz.

• Integralning hosilasi - bu integratorlik funktsiyasiga teng:

• Doimiy ravishda yaxlitlik belgisidan amalga oshirilishi mumkin:

• Miqdordan ajralmas narsa integrallar miqdoriga teng. Shuningdek, farq uchun ham:

Muayyan integral xususiyatlari

• Chiziqlilik:

• Integratsiya chegaralari o'zgartirilgan bo'lsa, integral belgi o'zgaradi:

• Uchun har qanday Ballar a., b. va dan:

Biz ma'lum bir integral narsa miqdorning chegarasi ekanligini allaqachon bilib oldik. Ammo misolni hal qilishda aniq qiymatni qanday olish kerak? Buning uchun Nyuton-Leibnik formulasi mavjud:

Integratsiyalarni hal qilishga misollar

Quyida noaniq integratsiyalarni topishning bir nechta misollarini ko'rib chiqadi. Biz qarorning nozik ma'nolarini mustaqil ravishda tushunishni taklif qilamiz va agar biror narsa tushunarsiz bo'lsa, sharhlarda savol bering.

Materialni ta'minlash uchun, qanday qilib integratsiyada qanday hal qilinishlari haqida videoni ko'ring. Agar yaxlit darhol berilmasa, tushkunlikka tushmang. Talabalar uchun professional xizmatingiz bilan bog'laning, va yopiq sirtda har qanday uch yoki egri chiziqning ajralmas qismi kuchga aylanadi.

Ibtidoiy ta'rifi.

Fonitiv funktsiyasi F (x) oraliqda (A; B) ushbu bo'sh joydan har qanday x uchun amalga oshiriladigan bunday funktsiya deb ataladi.

Agar siz doimiy c leyti nolga teng ekanligini hisobga olsangiz, unda tenglik to'g'ri . Shunday qilib, F (x) funktsiyasi o'zboshimchalik bilan doimiy C (x) + C funktsiyasi, va bu birinchi shaklda bir-biridan o'zboshimchalik bilan doimiy ravishda farq qiladi.

Aniqlanmagan integralni aniqlash.

F (x) ning barcha asosiy funktsiyalari deyiladi noaniq integral Ushbu funktsiya ko'rsatilgan .

Ifoda deyiladi aniq ifodava f (x) - integratsiyalashgan funktsiya. Intrum-differentsial funktsiyadir. F (x).

Noma'lum funktsiyani aniqlaydigan differentsial deb topish harakati deyiladi noaniq Bir integratsiya, chunki integratsiya natijasi F (x), ammo uning ibtidoiy f (x) + c to'plami.

Differentning xususiyatlariga asoslanib, siz shakllantirishingiz va isbotlashingiz mumkin noaniq integral xususiyatlari (Payg'ambar shaklidagi xususiyatlar).

Vaqtinchalik narsalarning birinchi va ikkinchi xususiyatlariga teng farqliligi tushuntirishga beriladi.

Uchinchi va to'rtinchi xususiyatlarni isbotlash uchun, tenglikning o'ng tomonlaridan lotinlarni topish kifoya:

Ushbu derivativlar birinchi mulkning fazilati bo'yicha isbotlangan inhiberiter funktsiyalariga teng. U oxirgi o'tish davrida qo'llaniladi.

Shunday qilib, integratsiya vazifasi - bu teskari tabaqalanish muammosi va bu vazifalar o'rtasida juda yaqin munosabatlar mavjud:

• birinchi mulk integratsiyani tekshirish imkonini beradi. Integratsiyaning to'g'riligini tekshirish uchun olingan natijaning loterativini hisoblash kifoya qiladi. Agar farqlanish natijasida olingan funktsiya - bu integratmand va funktsiyaga teng bo'ladi, bu integratsiya to'g'ri amalga oshirilishini anglatadi;
• noma'lum integralning ikkinchi mulki xususiy funktsiyasini taniqli differentsiyada topishga imkon beradi. Ushbu mulkda noaniq integratsiyalarni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash asoslanadi.

Misolni ko'rib chiqaylik.

Misol.

X \u003d 1da birlashtirilgan ibtidoiy funktsiyani toping.

Qaror.

Biz differentsial hisoblashdan bilamiz (Asosiy elementar funktsiyalarning stol loterlariga qarash kifoya). Shunday qilib, . Ikkinchi mulkka ko'ra . Ya'ni, bizda juda ko'p narsa bor. X \u003d 1-da biz qiymat olamiz. Bu shart bo'yicha ushbu qiymat bir-biriga teng bo'lishi kerak, shuning uchun c \u003d 1. Istalgan ibtidoiy ko'rinadi.

Misol.

Noma'lum integralni toping Va natijada farqlashni tekshiring.

Qaror.

Trigonometriyaning ikki burchakning sinchali formulasiga ko'ra , shunday qilib

Operatsiyalarning farqlanishidan biri bu lotin (differentsial) va o'qish uchun amal qilish funktsiyalarining asosidir.

Hech qanday muhim ahamiyatga ega emas. Agar funktsiya xulq-atvori uning qat'iyatliligi bo'lsa, unda qanday qilib butun funktsiyani to'liq tiklashga, i.e. Uning ta'rifining butun sohasida. Bu vazifa integral hisob-kitob deb nomlangan mavzu hisoblanadi.

Integratsiya - bu teskari tabaqalanishning ta'siri. Yoki ushbu hosilasiativ F (x) funktsiyasini tiklash yoki tiklash. Lotin so'zi "inngro" tiklanishni anglatadi.

№1 misol.

(F (x)) "\u003d 3x 2. F (x) ni toping.

Qaror:

O'zgarish qoidalariga tayanish, F (x) \u003d x 3, uchun taxmin qilish qiyin emas

(x 3) '\u003d 3x 2 Biroq, F (x) noaniqligini ta'kidlash mumkin. F (x) kabi, siz F (x) \u003d x 3 +1 f (x) \u003d x 3 +2 f (x) \u003d x 3 -3 va boshqa va boshqa va boshqalarni olishingiz mumkin.

Chunki Ularning har birining hosilasi 3x 2 ni tashkil qiladi. (Differentsiant 0). Ushbu funktsiyalarning barchasi bir-biridan doimiy ravishda farq qiladi. shu sababli umumiy qaror Vazifalar F (x) \u003d x 3 + C shaklida yozilishi mumkin, u erda C doimiy haqiqiy raqami bor.

F (x) harflar deb nomlanadi Oldindan shakllangan F funktsiyasi uchun (x) \u003d 3x 2

Ta'rif.

F (x) funktsiyasi F (x) funktsiyasida F funktsiyasi uchun ibtidoiy deb ataladi J BIR BAP funktsiyasida (x) \u003d F (x). Shunday qilib, F funktsiyasi f (x) \u003d x 3 f (x) \u003d 3x 2 yoqilgan (- ∞; ↑). Chunki barcha x ~ r, tenglik to'g'ri: f` (x) \u003d (x 3) `\u003d 3x 2

Biz buni payqaganimizdek, bu funktsiya infinsiz to'plamga ega.

2-misol.

Funktsiya butun oraliqda (0; + ↑), chunki Ushbu bo'shliqning barchalari uchun tenglik amalga oshiriladi.

Integratsiya vazifasi ushbu funktsiya uchun barcha dastlabki funktsiyalarni topishdir. Ushbu vazifani hal qilishda quyidagi bayonot muhim rol o'ynaydi:

Konstanslik funktsiyasi belgisi. Agar f "(x) \u003d 0 i bo'shliqda 0 bo'lsa, F funktsiyasi ushbu intervalda doimiydir.

Dalillar.

I bo'shliqning x 0-ni tuzating. Keyin Lagran formulasining har qanday soni uchun X va x 0 orasidagi C to'plamini belgilashingiz mumkin

F (x) - f (x 0) \u003d F "(C) (x - x 0).

F '(c) \u003d 0, shu sababli,

F (x) - f (x 0) \u003d 0.

Shunday qilib, men vaqt oralig'ida x

t. Funktsiyasi F doimiyligini saqlab qoladi.

F funktsiyali funktsiyali funktsiyalar deb nomlangan yagona formula bilan yozilishi mumkin birinchi funktsiyaning umumiy ko'rinishi f. Adolatli teorema ( asosiy mulk - bu ibtidoiy):

Teorema. Funktsiyadagi har qanday birinchi navbatda men yozib olishim mumkin

F (x) + c, (1) F (x) bu men va C intervaldagi F (x) ning ibtidoiy funktsiyalaridan biri va c o'zboshimchalik bilan.

Keling, ushbu ikkita xususiyat qisqacha shakllantirilganligini tushuntirib bering:

1. qanday qilib (1) ifoda etishning o'rniga, biz vaqt oralig'ida F uchun ibtidoiy ravishda olamiz;
2. men olmagunimcha f uchun f uchun har qanday narsa, siz bir vaqt oralig'ida x barcha uchun men tenglikdan o'tkazaman

Dalillar.

1. Vaziyat bo'yicha F funktsiyasi F va F '\u003d F' \u003d x) har qanday x dan (x) + c) uchun (F (x) (x) + C "\u003d F (x) + 0 \u003d F (x), i.e. f funktsiyasi uchun ibtidoiy javobdir.
2. F (x) funktsiyaning asosiy funktsiyasidan biri, men, I.E. F "(x) \u003d F (x) barcha X uchun.

Keyin (f (x) - f (x)) "\u003d F" (x) \u003d F (x) -f (x) \u003d 0.

Bu erda u quyidagicha. Konstrakt (x) - F (x) farq qiladigan doimiylik belgisi - F (x) bu vaqt oralig'idan doimiy qiymatni oladigan funktsiya hisoblanadi.

Shunday qilib, men bo'shliqdan xamirturush men, tenglik f (x) - f (x) \u003d c, buni isbotlash kerak edi. Asosiy mulkning asosiy xususiyati berilishi mumkin geometrik ma'no: har qanday ikkita ibtidoiy funktsiyalarning grafikasi Ou o'qi bo'ylab parallel ravishda parallel ravishda parallel o'tkazma orqali olinadi.

Mavhum uchun savollar

F (x) funktsiya F funktsiyasi uchun ibtidoiy javobdir. F (1) ni F (1) \u003d 9x2 - 6x + 1 va F (-1) \u003d 2 ni toping.

Barcha funktsiyalarni toping

Funktsiya uchun (x) \u003d cos2 * Sin2x, agar f (0) \u003d 0 bo'lsa, ibtidoiy f (x) ni toping.

Funktsiya uchun grafik nuqta orqali o'tadigan ibtidoiylarni toping

Har bir matematik harakat uchun qarama-qarshi ta'sir mavjud. Farqlash uchun (olingan funktsiyalarni topish), shuningdek, mavjud teskari harakat - Integratsiya. Integratsiya orqali ular o'z faoliyatiga yoki differentsialga ko'ra funktsiyani topadilar (tiklandi). Topilgan funktsiya deb nomlanadi oldindan shakllangan.

Ta'rif. Differentsial funktsiya F (x) Funktsiya uchun ibtidoiy deb nomlanadi F (x) Agar hamma uchun bo'lsa, berilgan vaqt oralig'ida h. Tenglik bu bo'shliqning to'g'ri: F '(x) \u003d F (x).

Misollar. Asosiy funktsiyalarni toping: 1) f (x) \u003d 2x; 2) f (x) \u003d 3cos3x.

1) (X²) '\u003d 2x, keyin, Funktsiyani aniqlash uchun F (x) \u003d x² funktsiyasi uchun f (x) \u003d 2x funktsiyasi uchun ibtidor bo'ladi.

2) (Sin3x) '\u003d 3cos3x. Agar siz f (x) \u003d 3cos3x va f (x) \u003d Sin3xni belgilasangiz, bu ibtidoiy, bizda: f (x) \u003d Sin3xni anglatadi f (x) \u003d 3cos3x uchun ibtidor.

E'tibor bering va (Sin3x +5 )′= 3co3xva (Sin3x) -8,2 )′= 3co3x... umuman, yozishingiz mumkin: (Sin3x + S.)′= 3co3xqayerda Dan - ba'zi doimiy qiymat. Ushbu misollar integratsiya harakatlarining noaniqligini ko'rsatadi, farqlashning o'zgarishi bo'lgan har qanday funktsiya bo'lsa, bitta hativatsiya mavjud.

Ta'rif. Agar funktsiya bo'lsa F (x) funktsiya uchun birlamchi f (x) Ba'zi bir vaqt oralig'ida, shundan keyin ushbu funktsiyalar to'plami:

F (x) + cbu erda haqiqiy raqam mavjud.

Ko'rib chiqilayotgan vaqt oralig'ida barcha ibtidoiy f (x) + C funktsiyasining (x) funktsiyasining kombinatsiyasi noaniqlik deb ataladi va ramz bilan ko'rsatilgan ∫ (Inegraly belgisi). Yozuv: ∫f (x) dx \u003d f (x) + c.

Ifoda ∫f (x) dx Ular o'qiydilar: "EF ning XN D de X" dan ajralmas qismi.

f (x) dx - aniqlovchi,

f (x) - Integratsiyalashgan funktsiya,

h. - o'zgaruvchan integratsiya.

F (x) - funktsiya uchun juda mos keladi f (x),

Dan - ba'zi doimiy qiymat.

Endi ko'rib chiqilgan misollar quyidagicha yozilishi mumkin:

1) ∫ 2xdx \u003d x² + c. 2) ∫ 3co3xdx \u003d sin3x + C.

D belgisi nimani anglatadi?

d - Differentsial belgi - bir martalik maqsadga ega: birinchidan, ushbu belgi integratsiyalashgan funktsiyani integratsiyalashgan funktsiyani integratsiyalashgan funktsiyani integratsiyalashgan o'zgaruvchisidan ajratadi; Ikkinchidan, ushbu belgidan keyin aytilgan barcha narsalar farqlanadi va yaxlit funktsiyasi bilan ko'payadi.

Misollar. Integratsiyalarni toping: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Differentsial belgisi d. o'shanga arziydi h. H., lekin r

∫ 2xrdx \u003d px + p. Masalan, taqqoslang 1).

Keling, cheklaylik. F '(x) \u003d (px + c)' \u003d pē²) '+ c' \u003d p ix \u003d 2px \u003d f (x).

4) Differentsial belgisi d. o'shanga arziydi r. Shunday qilib, integratsiya o'zgaruvchisi Rva ko'paytirgich h. Uni doimiy ravishda o'lchash kerak.

∫ 2hdrd \u003d № s. Misollar bilan taqqoslang 1) va 3).

Keling, cheklaylik. F '(p²x + c)' \u003d x (p²) '+ c' \u003d x · 2px \u003d f (p).