O'zgaruvchini himoya qilish. Ochiq kutubxona - Ochiq o'quv kutubxonasi

tibbiy va biologik fizika

№1 ma'ruzasi

Hosila va differentsial funktsiya.

Shaxsiy hiyla.

1. Hosila, uning mexanik va geometrik ma'nosi.

lekin ) Tortishuv va funktsiyani oshirish.

Y \u003d F (x) funktsiyasini bajaring, bu erda funktsiyani belgilash funktsiyasidan foydalanadi. Agar siz funktsiyaning ta'rifi doirasidagi x o va x argumentining ikkita qiymatini tanlasangiz, argumentning ikki qiymatidagi farq, argumentning o'sishi deb nomlanadi: x - x o \u003d de.

X argumentining qiymati X 0 va uning o'sishi bilan belgilanishi mumkin: x \u003d x o + ded.

Vazifaning ikki qiymatidagi farq funktsiyaning o'sishi deb nomlanadi: DH \u003d F (x o + o) - f (x o).

Funktsiyaning dalillarini oshirib yuborish grafik jihatdan taqdim etilishi mumkin (1-rasm). Argumentning o'sishi va funktsiyaning o'sishi ijobiy va salbiy bo'lishi mumkin. 1-rasmdan quyidagicha bo'lgani kabi, DJXX abometriya inscissaning ko'payishi va funktsiyaning o'sishi bilan belgilanadi va funktsiyaning o'sishi kamayadi. O'sish funktsiyasini hisoblash quyidagi tartibda amalga oshirilishi kerak:

biz tortishuvni DJ-ni oshirib, qiymatni olish uchun - X + XX;

2) Biz argumentning qiymati uchun funktsiyaning qiymatini topamiz (x + deh) - f (x + deh);

3) Biz funktsiyaning o'sishini DF \u003d F (x + deh) - F (x) topamiz.

Misol:Agar argument x o \u003d 1 dan x \u003d 3 gacha o'zgargan bo'lsa, funktsiyaning o'sishini aniqlang. F funktsiyasining qiymati haqida x (x o) \u003d x² da; Funktsiyaning (x o + dh) funktsiyaning qiymati uchun (x o + dh) funktsiyaning narxi (XO) \u003d (XO + DH) 2 -X ² O \u003d x² ² 2 o \u003d 2x o x XXT + XX 2; Nf \u003d 2x o deh + ạ, 2; DH \u003d 3-1 \u003d 2; DF \u003d 2 · 1 · 2 + 4 \u003d 8.

b)Lotsiv tushunchasiga olib keladigan vazifalar. Lotinni aniqlash, uning jismoniy mazmuni.

Fikrni oshirish tushunchasi va funktsiya lotinik jihatdan ma'lum bir jarayonlarning tezligini aniqlash zarurati to'g'risida tarixan paydo bo'lganligini tarixiy ravishda boshlanishi uchun zarurdir.

Rektilinear harakatlanish tezligini qanday aniqlash mumkinligini ko'rib chiqing. Tana qonunga muvofiq to'g'ri harakat qilsin: D-\u003d · · · dt. Baholovchi Harakat uchun:  \u003d DT-da.

O'zgaruvchan harakat uchun, the cp ning narxi. , i.e. gf. \u003d Dt., Ammo o'rtacha tezlik tana harakatining xususiyatlarini aks ettirishga imkon bermaydi va The The T Vaqtida haqiqiy tezlik haqida g'oya bildirmaydi. Vaqtning pasayishi bilan, i.e. Qachon Dt → 0, o'rtacha tezda tezda ulangan bo'ladi - tezkor tezlik:

 MGN. \u003d.
 Wed \u003d.
Dqu / dt.

Xuddi shu tarzda, bir zumda kimyoviy reaktsiya darajasi aniqlanadi:

 MGN. \u003d.
 Wed \u003d.
DOX / DT,

ternada kimyoviy reaktsiya paytida hosil bo'lgan moddalar miqdori Turli xil jarayonlarning tezligini aniqlashda bunday muammolar matematikani loteratsion funktsiya tushunchasiga kiritishga olib keldi.

A, vaqt oralig'ida aniq belgilangan F (x) A, [EI, o'sishi dek (x + deh) -f (x).
bu funktsiya - funktsiyaning o'rtacha o'zgarishini ifodalaydi.

Munosabatlar chegarasi DJ → 0, agar ushbu cheklov bo'lsa, olingan funktsiya deb ataladi :

y "x \u003d

.

Differa ko'rsatiladi:
- (x ning shtrix-kodining shari); f " (x) - (X ning ef shakli) ; y "- (Shark shopri); dy / dx – (De-x uchun dege); - (nuqta bilan o'ynang).

Differentning ta'rifiga asoslanib, to'g'ri harakatning bir vaqtining tezligi vaqtdan kelib chiqqan deb aytish mumkin:

 MGN. \u003d S "t \u003d f " (t).

Shunday qilib, X argumentining hosilasi f (x) funktsiyasining bir zumdagi o'zgarishi tezligini anglatadi.

u "x \u003d f " (x) \u003d mgn.

Bu lotinning jismoniy ma'nosi. Differani aniqlash jarayoni, shuning uchun "Indity funktsiyasi" iborasi "hosilaviy funktsiyani topish" iborasiga tengdir.

ichida)Geometrik ma'nosi.

Pechka
y \u003d F (x) ishlash funktsiyasi ba'zi bir nuqtada chiziqlarni egri kontseptsiyasi bilan bog'liq oddiy geometrik ma'noga ega. Shu bilan birga, Tangent, I.E. To'g'ridan-to'g'ri chiziq, y \u003d k \u003d tg · x shaklida analitik jihatdan ifodalanadi, bu erda – tiza (to'g'ri) moyilligi burchagi x \u003d f (x) funktsiyasi sifatida doimiy egri chiziqni taqdim etadi. Uning burchak koeffitsienti \u003d tg b \u003d . Agar siz balni m 1 uchun 1 ga olib kelsangiz, unda DAXGUS DAXSERGNING O'QIShI bu nolga teng bo'ladi va b \u003d b \u003d a-da tangens holatini oladi. 2-rasmda quyidagilar: TGA \u003d
tGB \u003d.
\u003d y "x. Ammo funktsiyaning grafikasiga burilish koeffitsienti:

k \u003d TGA \u003d
\u003d y "x \u003d f " (x). Shunday qilib, ushbu nuqtadagi funktsiyaning grafikasiga tangensial koeffitsienti u aloqaning nuqtai nazariga tengdir. Bu lotinning geometrik ma'nosi.

d)Lotinni topishning umumiy qoidasi.

Differentsiyaga asoslanib, funktsiyaning farqlash jarayoni quyidagicha ifodalanishi mumkin:

f (x + deh) \u003d f (x) + funf;

funktsiyaning o'sishini toping: nf \u003d f (x + deh) - f (x);

funktsiyani tortishishning o'sishi nisbati:

;

Misol:f (x) \u003d x 2; F. " (x) \u003d?

Biroq, hatto ushbu oddiy misoldan ham ko'rinib turibdiki, derivativlar vaqtni iste'mol qilish jarayoni va kompleks bo'lganda ko'rsatilgan ketma-ketlikdan foydalanish. Shuning uchun, turli xil funktsiyalar uchun kiritilgan umumiy formulalar "Funktsiyalarning asosiy formulalari farqlash" stol shaklida taqdim etilgan farqlash.

Har doim ham hayotda emas, biz har qanday qadriyatlarning aniq qadriyatlariga qiziqamiz. Ba'zan ushbu qiymatning o'zgarishini bilish qiziq, masalan, avtobusning o'rtacha tezligi, harakatlanishning burchining vaqt oralig'iga nisbati va boshqalar. Boshqa nuqtalarda funktsiyaning qiymatlarini boshqa nuqtalarda solishtirish uchun, bunday tushunchalarni "funktsiyani oshirish" va "tortishuvlar ko'payishi" sifatida ishlatish qulay.

"Funktsiyani oshirish" va "argumentning o'sishi" tushunchalari

Aytaylik, x - bu X0 nuqtai nazaridan har qanday mahallada yotadigan ba'zi o'zboshimchalik bilan. Argumentning X0 nuqtasida o'sish X-X0 farqidir. O'sish quyidagicha yuboriladi: Dx.

D XX \u003d x-x0.

Ba'zida bu kattalik, shuningdek, X0 nuqtada mustaqil o'zgaruvchining o'sishi deb ham ataladi. Formuladan quyidagicha: x \u003d x0 + de. Bunday hollarda, ma'lum bir xx ga boy bo'lgan mustaqil o'zgaruvchining boshlang'ich qiymati ma'lum bo'ldi.

Agar biz bahsni o'zgartirsak, funktsiyaning qiymati ham o'zgaradi.

f (x) - f (x0) \u003d f (x0 + deh) - f (x0).

F funktsiyasini x0 nuqtasida oshiring, Tegishli o'sish For (X0 + DH) - F (x0) farq qiladi. Funktsiyaning o'sishi DF quyidagi deb ko'rsatilgan. Shunday qilib, biz aniqlaymiz:

DF \u003d f (x0 + dex) - f (x0).

Ba'zan, def shuningdek, qaram o'zgaruvchining o'sishi deb ham ataladi va funktsiya, masalan, y \u003d F (x) bo'lganligini anglatadi.

O'sishning geometrik ma'nosi

Keyingi rasmga qarang.

Ko'rinib turibdiki, o'sish tartibning o'zgarishi va bo'shliqning o'zgarishini ko'rsatadi. Va funktsiyani oshirishning o'sishiga nisbati, argumentni oshirishning nisbati, ochilish va yakuniy pozitsiya orqali ketma-ket o'tishning egilish burchagini aniqlaydi.

Funktsiya va tortishuvning o'sishiga misollarni ko'rib chiqing

1-misol. DH, DH yoki funktsiyaning o'sishini F (x) \u003d x 2, x0 \u003d 2 A) x \u003d 1,9 a) x \u003d 2.1

Yuqorida ko'rsatilgan formulalardan foydalanamiz:

a) DH \u003d x-x0 \u003d 1.9 - 2 \u003d -0.1;

DF \u003d f (1.9) - F (2) \u003d 1,9 2 - 2 2 \u003d -0.39;

b) dx \u003d x - x0 \u003d 2.1-2 \u003d 0,1;

DF \u003d f (2.1) - F (2) \u003d 2.1 2 - 2 2 \u003d 0.41.

2-misol. F funktsiyasi uchun dF incunktsiyani hisoblang (x0 nuqta), agar tortishuvning oshishi kerak bo'lsa, xx.

Yana yuqorida olingan formulalardan foydalanamiz.

Nf \u003d f (x0 + dex) - f (x0) \u003d 1 / x0 \u003d (x0 - (x0 + dex)) / (x0 + dex) \u003d - dex / (x0 * (x0 + kerak).

X 0-sonning ba'zi atrofida uchadigan o'zboshimchalik bilan xalaqitli nuqtasi bo'lsin. Farqning X - x 0 o'sishni mustaqil o'zgaruvchi (yoki argumentni ko'paytirish) bilan x 0 va belgi bilan belgilash uchun olinadi. Shunday qilib,

DHX \u003d Xwx 0,

u qayerdan

Funktsiyani himoya qiling -funktsiyaning ikki qiymatidagi farq.

Funktsiya ko'rsatilsin w. = f (x)gikronal qiymati teng aniqlanadi h. 0. Keling, bahslashamiz d h., ᴛ.ᴇ. Argumentning qiymatini ko'rib chiqing x. 0 + D. h.. Aytaylik, dalilning bu qiymati ham ushbu funktsiyaning ta'rifi doirasiga kiritilgan. Keyin farq D. y. = f (x.) 0 + D. x) – f (x 0) Bu funktsiyaning o'sishi deb atash odatiy holdir. Himoyalash funktsiyasi f.(x.) Nuqtada x. - funktsiya odatda d X f yangi o'zgaruvchidan D x. sifatida belgilangan

Δ X f(Δ x.) = f.(x. + Δ x.) − f.(x.).

Argumentning o'sishini va funktsiyani X 0 punktidagi o'sishini toping, agar

Masalan 2. Funktsiyaning o'sishini (x) \u003d x 2, agar x \u003d 1 bo'lsa, deh \u003d 0.1

Qaror: F (x) \u003d x 2, f (x + deh) \u003d (x + deh) 2

Funktsiyaning o'sishini toping kerak.

Biz X \u003d 1 va DH \u003d 0.1-qiymatlarni almashtiramiz, biz DF \u003d 2 * 0.1 + (0,1) 2 \u003d 0,2 + 0.21

Argumentning o'sishini toping va funktsiyani X 0 nuqtalarida oshiring

2.F (x) \u003d 2x 3. x 0 \u003d 3 x \u003d 2.4

3. F (x) \u003d 2x 2 +2 x 0 \u003d 1 x \u003d 0.8

4. F (x) \u003d 3x + 4 x 0 \u003d 4 x \u003d 3.8

Ta'rif: Horijiy Nuqta funktsiyalar, cheklovni (agar u bo'lsa, funktsiyani oshirib yuborish va cheklangan bo'lsa), bu nolga moyil bo'lishiga nisbati.

Liferativning quyidagi belgilari eng keng tarqalgan:

Shunday qilib,

Qo'ng'iroq deb nomlangan hosilalarni topish farqlash . Tanishtirdi turli xil funktsiyani aniqlash: F funktsiyasi ba'zi bir bo'shliqning har bir nuqtasida joylashgan. Ushbu oraliqda turli xil deb nomlanadi.

Aytaylik, ba'zi mahallalarda nodavlatlar, ishlash funktsiyasining vazifasi atrofdagi hududda bunday raqam deb nomlanadi U.(x. 0) sifatida tasvirlangan

f.(x. 0 + h.) = f.(x. 0) + Oh. + o. o.(h.)

agar mavjud bo'lsa.

Nuqtada lotin funktsiyasini aniqlash.

Funktsiya bo'lsin f (x) Intervalda aniqlangan (a; b)va - bu bo'shliqning fikrlari.

Ta'rif. Olingan funktsiya f (x) Nuqtai nazardan bu funktsiya funktsiyalari o'rtasidagi munosabatlar chegarasini hisoblash uchun munozarani oshirish uchun odatiy holdir. Belgilaydi.

So'nggi cheklov aniq yakuniy qiymatga ega bo'lganda, borligi haqida gap bor cheklangan podada. Agar cheklov cheksiz bo'lsa, ular deyishadi bu nuqtada loterativ infinit. Agar cheklov mavjud bo'lmasa, unda ushbu nuqtada hosilalar funktsiyasi mavjud emas.

Funktsiya f (x) Unda juda tezroq lotinga ega bo'lgan joyda farqli deb nomlanadi.

Agar funktsiya bo'lsa f (x) ba'zi bir vaqt oralig'ining har bir nuqtasida farqlanadi (a; b)Ushbu vaqt oralig'ida funktsiya farqlanadi. Tᴀᴋᴎᴍ ᴏϭᴩᴀᴈᴏᴍ, har qanday nuqta x. Bo'shliqdan (a; b) Siz ushbu nuqtada, hosila funktsiyasining qiymatiga binoan, ya'ni biz olingan funktsiya deb nomlangan yangi funktsiyani aniqlashimiz mumkin f (x) Intervalda (a; b).

Differentsiyani aniqlash odat tusiga kirishi mumkin.

1-ta'rif.

Agar biron bir juftlik uchun (x, y) $ (x, y) uchun ma'lum bir hududdagi ikkita mustaqil o'zgaruvchining qiymatlari $ z $ darajasiga muvofiq qo'yilsa, $ z $ bu funktsiya hisoblanadi Ikkita o'zgaruvchi $ (x, y) $. Belgilangan: $ z \u003d f (x, y) $.

$ Z \u003d F (x, y) funktsiyasiga nisbatan biz umumiy (to'liq) va funktsiyaning shaxsiy o'sishi kontseptsiyasini ko'rib chiqamiz.

$ Z \u003d f (x, y) $ ikkita mustaqil o'zgaruvchi $ (x, y) $.

1-eslatma.

$ $ (X, y) o'zgaruvchilar mustaqil bo'lganligi sababli, ulardan biri o'zgarishi mumkin, ikkinchisi doimiy qiymatni saqlash uchun.

$ $ Y $ C $ C $ C $ C $ COL-ning qiymatini saqlab qolgan $ x $ oshiqligini beraylik.

Keyin $ z \u003d f (x, y) funksiyasini $ z \u003d f funktsiyaning shaxsiy o'sishi deb ataladigan o'sishni oladi, $ Z (x, y) $ x $ Belgilash:

Shunga o'xshab, biz $ X $ o'zgaruvchisining qiymatini tejashda $ $ \\ delta y $ o'zgaruvchan $ \\ delta y $ vaqtni beramiz.

Keyin funktsiya $ z \u003d f (x, y) funksiyani sotib olish $ z \u003d f (x, y) $ Y $ o'zgaruvchisiga aylanishi mumkin. Belgilash:

Agar $ x $ argument $ \\ delta x $ ning o'sishi va $ \\ delta y $ darajasining o'sishi, so'ngra belgilangan funktsiyaning o'sishi $ z \u003d f (x, y) . Belgilash:

Shunday qilib, bizda:

$ \\ Delta _ (x) z \u003d f (x + \\ deelta x, y) -f (x, y) $ - $ z \u003d f (x, y) $ x $ uchun $ Z \u003d F (x, y) $ Z \u003d F (x, y) $ Z \u003d F (x, y) $ Z \u003d F (x, y) $ Z \u003d F (x, y) $ Z \u003d F (x, y) $ Z \u003d F (x, y) $ Z \u003d F (x, y) $ Z \u003d F (x, y) $ Z \u003d F (x, y) $ Z \u003d F (x, y) $ Z \u003d F (x, y) $ Z \u003d F (x, y) $ Z \u003d F (x, y) $ Z \u003d F (x, y) $ Z \u003d F (x, y) $ Z \u003d F (x, y) $ Z \u003d F (x, y) $ Z \u003d F (x, y) $;

$ \\ Delta _ f (x, y + \\ deelta y) -f (x, y) $ - funktsiyani shaxsiy o'sishi $ z \u003d f $ uchun $ Z.

$ \\ Delta z \u003d f (x + \\ deelta y, y + \\ deelta y) -f (x, y) funktsiyaning to'liq o'sishi $ z \u003d f (x, y).

1-misol.

Qaror:

$ \\ Delta _ z \u003d x + \\ DEALTA X + Y $ - $ z \u003d f (x, y) $ x $ gacha;

$ \\ Delta _ (y) z \u003d x + y + \\ delta y $ bu $ z \u003d f (x, y) $ Y $ uchun.

$ \\ Delta z \u003d x + \\ delta x + \\ d + \\ delta y $ - funktsiyaning to'liq o'sishi $ z \u003d f (x, y).

2-misol.

$ Z \u003d xi funktsiyasini shaxsiy oshirib yuborish $ (1; 2) $ \\ Deelta X \u003d 0.1, \\, \\ Deelta y \u003d 0,1 $.

Qaror:

Xususiy o'sishni aniqlash orqali biz quyidagilarni topamiz:

$ \\ Delta _ (x) z \u003d (x + \\ deelta x) \\ cdot y $ - funktsiyaning shaxsiy o'sishi $ z \u003d f $

$ \\ Delta _ (y) z \u003d x \\ cdot (y + \\ deelta y) $ - $ Z \u003d F (x, y) $ Y $ uchun $;

To'liq o'sishni aniqlash orqali biz quyidagilarni topamiz:

$ \\ Delta z \u003d (x + \\ delta x) \\ cdot (y + \\ delta y) $ - funktsiyaning to'liq o'sishi $ z \u003d f (x, y).

Shunday qilib,

\\ [\\ Delta _ (x) z \u003d (1 + 0.1) \\ cdot 2 \u003d 2.2 _ (y) z \u003d 1 \\] \u003d 2.1 \\] \\ [\\ delta z \u003d (\\ delta z \u003d (1 + 0.1) \\ CDOT (2 + 0.1) \u003d 1.1 \\ cdot 2,1 \u003d 2.31. \\]

Izoh 2.

Belgilangan funktsiyaning $ z \u003d f (x, y) $ \\ delta _ (x) z $ va $ \\ delta _ (y) Z $ miqdoriga teng emas. Matematik yozuv: $ \\ delta z \\ ne \\ delta _ (x) z + \\ deelta _ (y) z $.

3-misol.

Funktsiya uchun tasdiqlash uchun tasdiqlash uchun tasdiqlash

Qaror:

$ \\ Delta _ (x) z \u003d x + \\ iltta x + y $; $ \\ Delta _ (y) z \u003d x + y + \\ delta y $; $ \\ Delta z \u003d x + \\ deelta x + y + \\ delta y $ (1-misolda olingan)

Belgilangan funktsiyani shaxsiy hajmdagi mablag '$ z \u003d f (x, y) miqdorini topamiz

\\ [\\ Delta _ (x) z + \\ deelta _ (y) z \u003d x + \\ \\ \\ \\ \\ @ + y + \\ disot (x + y) + \\ delta x + \\ Delta y. \\]

\\ [\\ Delta _ (x) z + \\ delta _ (y) z \\ delta z. \\]

2-ta'rif.

Agar har bir uch AQSh dollari uchun (x, y, z) ma'lum bir hududda ma'lum bir qiymatga binoan, ma'lum bir qiymatga muvofiq qo'yiladi, deyiladi, shunda $ W $ bu funktsiya Ushbu sohada $ (x, y, z) $.

Belgilangan: $ w \u003d f (x, y, z) $.

3-ta'rif.

Agar har bir umumiylik uchun (x, y, z, ..., t) uchun ma'lum bir mintaqadagi mustaqil o'zgaruvchilarning qiymatlari ma'lum bir qiymatga muvofiq ravishda ma'lum bo'ladi, deyiladi W $ bu o'zgaruvchilar funktsiyasi (x, y, z, ..., t) ushbu sohada $.

Belgilangan: $ w \u003d f (x, y, z, ..., t) $.

Uchta va undan ortiq o'zgaruvchilar funktsiyasi uchun, ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi har bir o'zgaruvchining har bir o'zgaruvchi uchun shaxsiy o'sish orqali qanday aniqlanadi:

$ \\ Delta _ f \u003d f (x, y, z + \\ deelta z) -f (x, y, z) $ - funktsiyaning shaxsiy o'sishi $ w \u003d f (x, y, z,. $, t) $ z $ uchun $;

$ \\ Delta _ f (x, y, z, ..., t + \\ deelta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - funktsiyani shaxsiy o'sish w \u003d f (x, y, z, ..., T) $ T $ uchun.

4 misol.

Xususiy va funktsiyani to'liq oshiring

Qaror:

Xususiy o'sishni aniqlash orqali biz quyidagilarni topamiz:

$ \\ Delta _ (x) w \u003d ((x + \\ DEALTA X) \\ CDOT Z $ - funktsiyani shaxsiy oshirish $ w \u003d f (x, y, z) $ x $

$ \\ Delta _ (y) w \u003d (x + \\ deelta y)) \\ cdot z $ - funktsiyaning shaxsiy o'sishi $ W \u003d F (x, Y, z) $ Y $;

$ \\ Delta _ (z) w \u003d (x + y) \\ cdot (z + \\ d delta z) $ - $ w \u003d f (x, y, z) $ z $ uchun $;

To'liq o'sishni aniqlash orqali biz quyidagilarni topamiz:

$ \\ Delta w \u003d ((x + \\ delta x) + (zdot (z + \\ delta z) $ - funktsiyaning to'liq o'sishi - $ w \u003d f (x, y, z) $.

5-misol.

$ W \u003d xyz $ funktsiyaning shaxsiy va to'liq o'sishini hisoblang (1; 2; 1) $ \\ DEALTA X \u003d 0.1, \\, \\, \\ delta z \u003d 0,1 $ 0.

Qaror:

Xususiy o'sishni aniqlash orqali biz quyidagilarni topamiz:

$ \\ Delta _ (x) w \u003d (x + \\ deelta x) \\ cdot y \\ cdot z $ - funktsiyaning shaxsiy o'sishi $ W \u003d F (x, y, z) $ x $ uchun $

$ \\ Deelta _ (y) w \u003d x \\ cdot (y + \\ deelta y) \\ cdot z $ - funktsiyaning shaxsiy o'sishi $ W \u003d F (x, Y, z) $ Y $;

$ \\ Delta _ w \u003d x \\ cdot y \\ cdot (z + \\ delta z) - funktsiyaning shaxsiy o'sishi $ w \u003d f (x, y, z) $ z $ uchun $;

To'liq o'sishni aniqlash orqali biz quyidagilarni topamiz:

$ \\ Delta w \u003d (x + \\ delta x) \\ cdot (y + \\ delta y) \\ cdot (z + \\ delta z) $ - funktsiyaning to'liq o'sishi - $ w \u003d f (x, y, z) $ .

Shunday qilib,

\\ [\\ Delta _ (x) w \u003d cdot 2 \\ cdot 1 \u003d 2.2 \\] \\ [2 \\ cdot (2 + 0,1) \\ CDOT 1 \u003d 2.1 \\ [\\ Delta _ (y) w \u003d 1 \\ cdot 2 \\ cdot (1 + 0.1) \\ [2 + 0.1) \\ CDOT (2 + 0.1) \\ CDOT ( 1 + 0.1) \u003d 1.1 \\ CDOT 2.1 \\ CDOT 1.1 \u003d 2.541. \\]

Geometrik nuqtai nazardan, funktsiyaning to'liq o'sishi $ z \u003d F (x, y) $ ($ \\ diseta z \u003d f (x + \\ diseta y) -f (x, y) $ z \u003d F (x, y) funktsiyalarini $ m (1) ga o'tish uchun $ z \u003d F (x, y) funktsiyalarini oshirishga tengdir (1). + \\ Delta x, y + \\ delta y) $ (1-rasm).

1-rasm.