Logarifm 1 bo'lganda. Logarifm

1.1. Butun ko'rsatkich uchun darajani aniqlash

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N \u003d X * X * ... * X - N marta

1.2. Nol daraja.

Ta'rifga ko'ra, har qanday raqamning nol kuchi 1 ga teng deb taxmin qilish odatiy holdir:

1.3. salbiy daraja.

X-N = 1/XN

1.4. Kasr ko'rsatkichi, ildiz.

X 1/N = X ning N-chi ildizi.

Masalan: X 1/2 = √X.

1.5. Quvvatlarni qo'shish formulasi.

X (N+M) = X N * X M

1.6.Darajalarni ayirish formulasi.

X (N-M) = X N / X M

1.7. Quvvatni ko'paytirish formulasi.

XN*M = (XN)M

1.8. Kasrni darajaga ko'tarish formulasi.

(X/Y)N = XN /YN

2. Raqam e.

e sonining qiymati quyidagi chegaraga teng:

E = lim(1+1/N), N → ∞ kabi.

17 ta raqam aniqligi bilan e raqami 2,71828182845904512 ni tashkil qiladi.

3. Eyler tengligi.

Bu tenglik matematikada alohida rol o'ynaydigan beshta raqamni bog'laydi: 0, 1, e soni, pi soni, xayoliy birlik.

E(i*pi) + 1 = 0

4. Eksponensial funktsiya exp (x)

exp(x) = e x

5. Ko‘rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Eksponensial funktsiya ajoyib xususiyatga ega: funktsiyaning hosilasi ko'rsatkichli funktsiyaning o'ziga teng:

(exp(x))" = Exp(x)

6. Logarifm.

6.1. Logarifm funksiyasining ta’rifi

Agar x = b y bo'lsa, u holda logarifm funktsiyadir

Y = Logb(x).

Logarifm raqamni qanday darajaga ko'tarish kerakligini ko'rsatadi - berilgan sonni (X) olish uchun logarifmning (b) asosini. Logarifm funksiyasi noldan katta X uchun aniqlanadi.

Masalan: Jurnal 10 (100) = 2.

6.2. O'nlik logarifm

Bu 10 asosining logarifmi:

Y = Jurnal 10 (x) .

Belgilangan jurnal (x): Log (x) = Jurnal 10 (x).

O'nlik logarifmdan foydalanishga misol desibeldir.

6.3. Desibel

Element Desibel alohida sahifasida ta'kidlangan

6.4. ikkilik logarifm

Bu 2 ta asosiy logarifm:

Y = Log2(x).

Lg(x) bilan belgilanadi: Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. tabiiy logarifm

Bu e asosining logarifmi:

Y = log (x) .

Ln(x) bilan belgilanadi: Ln(x) = Log e (X)
Tabiiy logarifm - teskari funktsiya eksponensial funktsiyaga exp(X).

6.6. xarakterli nuqtalar

Loga(1) = 0
Log a(a) = 1

6.7. Mahsulotning logarifmi formulasi

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Qismning logarifmi formulasi

Log a (x/y) = Log a (x) - Log a (y)

6.9. Quvvat logarifm formulasi

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Boshqa asosli logarifmga aylantirish uchun formula

Log b (x) = (Log a (x)) / Log a (b)

Misol:

Jurnal 2 (8) = Jurnal 10 (8) / Jurnal 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Hayotda foydali formulalar

Ko'pincha hajmni maydonga yoki uzunlikka aylantirish muammolari mavjud va teskari muammo - maydonni hajmga aylantirishdir. Masalan, taxtalar kubiklarda (kubometr) sotiladi va biz qancha devor maydonini ma'lum hajmdagi taxtalar bilan qoplash mumkinligini hisoblashimiz kerak, taxtalarning hisob-kitobiga qarang, kubda qancha taxta bor. Yoki, devorning o'lchamlari ma'lum, g'isht sonini hisoblash kerak, g'isht hisobiga qarang.

Manbaga faol havola o'rnatilgan bo'lsa, sayt materiallaridan foydalanishga ruxsat beriladi.

Logarifm nima?

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." deganlar uchun.
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Logarifm nima? Logarifmlarni qanday yechish mumkin? Bu savollar ko'plab bitiruvchilarni chalg'itadi. An'anaga ko'ra, logarifmlar mavzusi murakkab, tushunarsiz va qo'rqinchli hisoblanadi. Ayniqsa - logarifmli tenglamalar.

Bu mutlaqo to'g'ri emas. Mutlaqo! Ishonmaysizmi? Xop. Endi 10-20 daqiqa davomida siz:

1. Tushunmoq logarifm nima.

2. Butun sinfni hal qilishni o'rganing eksponensial tenglamalar. Agar ular haqida eshitmagan bo'lsangiz ham.

3. Oddiy logarifmlarni hisoblashni o'rganing.

Bundan tashqari, buning uchun siz faqat ko'paytirish jadvalini va raqamni qanday qilib kattalashtirishni bilishingiz kerak bo'ladi ...

Men sizda shubha borligini his qilaman ... Xo'sh, vaqtni saqlang! Bor!

Birinchidan, quyidagi tenglamani ongingizda yeching:

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan test. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

\(a^(b)=c\) \(\Chap oʻng oʻq\) \(\log_(a)(c)=b\)

Keling, buni osonroq tushuntiramiz. Masalan, \(\log_(2)(8)\) quvvatga teng \(2\) \(8\) olish uchun ko'tarilishi kerak. Bundan ma'lum bo'ladiki, \(\log_(2)(8)=3\).

Misollar:		\(\log_(5)(25)=2\)		chunki \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		chunki \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		chunki \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Logarifmning argumenti va asosi

Har qanday logarifm quyidagi "anatomiyaga" ega:

Logarifmning argumenti odatda uning darajasida yoziladi, asos esa logarifm belgisiga yaqinroq pastki chiziqda yoziladi. Va bu yozuv quyidagicha o'qiladi: "yigirma beshning logarifmi beshning asosiga".

Logarifmni qanday hisoblash mumkin?

Logarifmni hisoblash uchun siz savolga javob berishingiz kerak: argumentni olish uchun bazani qanday darajaga ko'tarish kerak?

masalan, logarifmni hisoblang: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) ni olish uchun \(4\) ni qanday quvvatga oshirish kerak? Shubhasiz, ikkinchisi. Shunday qilib:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) ni olish uchun \(\sqrt(5)\)ni qanday quvvatga oshirish kerak? Va qaysi daraja har qanday raqamni birlik qiladi? Albatta, nol!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) ni olish uchun \(\sqrt(7)\)ni qanday quvvatga oshirish kerak? Birinchisida - birinchi darajadagi har qanday raqam o'ziga teng.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\) olish uchun \(3\) ni qanday quvvatga oshirish kerak? Biz bilamizki, bu kasr kuchi, ya'ni Kvadrat ildiz daraja \(\frac(1)(2)\) hisoblanadi.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Misol : Logarifmni hisoblang \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Yechim :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Logarifmning qiymatini topishimiz kerak, uni x deb belgilaymiz. Endi logarifmning ta'rifidan foydalanamiz: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Chap o'ng strelka\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		\(4\sqrt(2)\) va \(8\) qanday bog'lanadi? Ikki, chunki ikkala raqam ham ikkita bilan ifodalanishi mumkin: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Chapda biz daraja xususiyatlaridan foydalanamiz: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) va \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Bazalar teng, biz ko'rsatkichlar tengligiga o'tamiz
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Tenglamaning ikkala tomonini \(\frac(2)(5)\) ga ko'paytiring.
		Olingan ildiz logarifmning qiymati hisoblanadi

Javob : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Logarifm nima uchun ixtiro qilingan?

Buni tushunish uchun tenglamani yechamiz: \(3^(x)=9\). Tenglikni yaratish uchun \(x\) ni moslang. Albatta, \(x=2\).

Endi tenglamani yeching: \(3^(x)=8\).X nimaga teng? Gap shundaki.

Eng zukkolar aytadi: "X - ikkitadan bir oz kamroq". Bu raqam qanday yozilishi kerak? Bu savolga javob berish uchun ular logarifm bilan kelishdi. Unga rahmat, bu erda javobni \(x=\log_(3)(8)\) deb yozish mumkin.

Shuni ta'kidlashni istardimki, \(\log_(3)(8)\), shuningdek har qanday logarifm shunchaki raqamdir. Ha, bu g'ayrioddiy ko'rinadi, lekin u qisqa. Chunki biz uni shaklda yozmoqchi bo'lsak o'nlik kasr, u quyidagicha ko'rinadi: \(1.892789260714.....\)

Misol : \(4^(5x-4)=10\) tenglamani yeching.

Yechim :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) va \(10\) bir xil asosga qisqartirilmaydi. Shunday qilib, bu erda siz logarifmsiz qilolmaysiz. Keling, logarifmning ta'rifidan foydalanamiz: \(a^(b)=c\) \(\Chap oʻng oʻq\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Tenglamani x chap tomonda bo'ladigan tarzda aylantiring
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Bizdan oldin. \(4\) ni oʻngga suring. Va logarifmdan qo'rqmang, unga oddiy raqam kabi munosabatda bo'ling.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Tenglamani 5 ga bo'ling
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Mana bizning ildizimiz. Ha, g'ayrioddiy ko'rinadi, lekin javob tanlanmagan.

Javob : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

O'nlik va natural logarifmlar

Logarifm taʼrifida aytilganidek, uning asosi bittadan tashqari har qanday musbat son boʻlishi mumkin \((a>0, a\neq1)\). Va barcha mumkin bo'lgan asoslar orasida ikkitasi shunchalik tez-tez sodir bo'ladiki, ular bilan logarifmlar uchun maxsus qisqa yozuv ixtiro qilingan:

Natural logarifm: asosi Eyler soni \(e\) (taxminan \(2,7182818…\) ga teng) va logarifm \(\ln(a)\) shaklida yozilgan logarifm.

Ya'ni, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) bilan bir xil

O'nlik logarifm: Bazasi 10 ga teng bo'lgan logarifm \(\lg(a)\) deb yoziladi.

Ya'ni, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) bilan bir xil, bu yerda \(a\) qandaydir son.

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Logarifmlar juda ko'p xususiyatlarga ega. Ulardan biri "Asosiy logarifmik identifikatsiya" deb ataladi va quyidagicha ko'rinadi:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Bu xususiyat to'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadi. Keling, ushbu formula qanday paydo bo'lganini ko'rib chiqaylik.

Logarifmning qisqacha ta'rifini eslang:

agar \(a^(b)=c\), u holda \(\log_(a)(c)=b\)

Ya'ni, \(b\) \(\log_(a)(c)\) bilan bir xil. Keyin \(a^(b)=c\) formulasida \(b\) oʻrniga \(\log_(a)(c)\) ni yozishimiz mumkin. Bu chiqdi \(a^(\log_(a)(c))=c\) - asosiy logarifmik identifikatsiya.

Logarifmlarning qolgan xossalarini topishingiz mumkin. Ularning yordami bilan siz to'g'ridan-to'g'ri hisoblash qiyin bo'lgan logarifmlar bilan ifodalarning qiymatlarini soddalashtirishingiz va hisoblashingiz mumkin.

Misol : \(36^(\log_(6)(5))\) ifoda qiymatini toping.

Yechim :

Javob : \(25\)

Raqamni logarifm sifatida qanday yozish kerak?

Yuqorida aytib o'tilganidek, har qanday logarifm shunchaki raqamdir. Buning aksi ham to'g'ri: har qanday sonni logarifm sifatida yozish mumkin. Masalan, \(\log_(2)(4)\) ikkiga teng ekanligini bilamiz. Keyin ikkita o'rniga \(\log_(2)(4)\) yozishingiz mumkin.

Lekin \(\log_(3)(9)\) ham \(2\) ga teng, shuning uchun siz \(2=\log_(3)(9)\) ni ham yozishingiz mumkin. Xuddi shunday, \(\log_(5)(25)\) va \(\log_(9)(81)\) va boshqalar bilan. Ya'ni, shunday bo'ladi

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Shunday qilib, agar kerak bo'lsa, ikkalasini istalgan joyda (hatto tenglamada, hatto ifodada, hatto tengsizlikda ham) logarifm sifatida yozishimiz mumkin - shunchaki kvadrat asosni argument sifatida yozing.

Bu uchlik bilan bir xil - u \(\log_(2)(8)\) yoki \(\log_(3)(27)\) yoki \(\log_(4)() shaklida yozilishi mumkin. 64) \) ... Bu erda biz kubdagi asosni argument sifatida yozamiz:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Va to'rttasi bilan:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Va minus bilan:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Va uchdan bir qismi bilan:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Har qanday son \(a\) asosi \(b\) bilan logarifm sifatida ifodalanishi mumkin: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Misol : Ifodaning qiymatini toping \(\ frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Yechim :

Javob : \(1\)

Ushbu maqolaning diqqat markazida logarifm. Bu erda logarifmning ta'rifini beramiz, qabul qilingan yozuvni ko'rsatamiz, logarifmalarga misollar keltiramiz, natural va o'nlik logarifmlar haqida gapiramiz. Shundan so'ng, asosiy logarifmik identifikatsiyani ko'rib chiqing.

Sahifani navigatsiya qilish.

Logarifmning ta'rifi

Logarifm tushunchasi muammoni ma'lum ma'noda teskari ma'noda yechishda, darajaning ma'lum qiymatidan va ma'lum bazadan ko'rsatkichni topish kerak bo'lganda paydo bo'ladi.

Ammo muqaddima etarli, "logarifm nima" degan savolga javob berish vaqti keldi? Keling, tegishli ta'rifni beraylik.

Ta'rif.

b ning a asosiga logarifmi, bu erda a>0, a≠1 va b>0 ko'rsatkich bo'lib, natijada b olish uchun a sonini ko'tarish kerak.

Ushbu bosqichda biz "logarifm" og'zaki so'zi darhol ikkita keyingi savolni ko'tarishi kerakligini ta'kidlaymiz: "qanday raqam" va "qanday asosda". Boshqacha qilib aytganda, oddiygina logarifm yo'q, lekin ba'zi bir asosda faqat sonning logarifmi mavjud.

Biz darhol tanishtiramiz logarifm yozuvi: b sonining a asosiga logarifmi odatda log a b sifatida belgilanadi. b sonining e asosiga logarifmi va 10 asosining logarifmi mos ravishda lnb va lgb o'zlarining maxsus belgilariga ega, ya'ni ular log e b emas, balki lnb yozadilar va log 10 b emas, balki lgb ni yozadilar.

Endi siz olib kelishingiz mumkin: .
Va yozuvlar mantiqiy emas, chunki ularning birinchisida logarifm belgisi ostida manfiy son, ikkinchisida - asosda manfiy son, uchinchisida - logarifm belgisi ostida ham manfiy son, ham bazadagi birlik.

Endi gaplashaylik logarifmlarni o'qish qoidalari. Kirish jurnali a b "a asosiga b ning logarifmi" deb o'qiladi. Masalan, log 2 3 - 2 ta asosga uchta logarifm va beshning kvadrat ildizining ikki asosiy uchdan ikki butun sonining logarifmi. e asosining logarifmi deyiladi tabiiy logarifm, va lnb yozuvi "b ning natural logarifmi" sifatida o'qiladi. Misol uchun, ln7 - ettitaning natural logarifmi va biz uni pi ning natural logarifmi sifatida o'qiymiz. 10-asosning logarifmi ham maxsus nomga ega - o'nlik logarifm, va lgb yozuvi "o'nlik logarifm b" sifatida o'qiladi. Masalan, lg1 - bittaning o'nlik logarifmi, lg2.75 esa ikki nuqtaning yetmish besh yuzdan bir qismining o'nlik logarifmi.

Logarifmning ta'rifi berilgan a>0, a≠1 va b>0 shartlar haqida alohida to'xtalib o'tish joiz. Keling, ushbu cheklovlar qaerdan kelib chiqqanligini tushuntirib beraylik. Buning uchun bizga yuqorida keltirilgan logarifm ta'rifidan to'g'ridan-to'g'ri kelib chiqadigan shaklning tengligi yordam beradi.

a≠1 dan boshlaylik. Har qanday daraja birga teng bo'lganligi sababli, tenglik faqat b=1 uchun to'g'ri bo'lishi mumkin, lekin log 1 1 har qanday haqiqiy son bo'lishi mumkin. Bu noaniqlikni oldini olish uchun a≠1 qabul qilinadi.

a>0 shartining maqsadga muvofiqligini asoslab beraylik. a=0 bilan, logarifmning ta'rifiga ko'ra, biz tenglikka ega bo'lar edik, bu faqat b=0 bilan mumkin. Ammo log 0 0 har qanday nolga teng bo'lmagan haqiqiy son bo'lishi mumkin, chunki noldan nolga teng bo'lmagan kuch nolga teng. Bu noaniqlikni a≠0 sharti bilan bartaraf etish mumkin. Va a uchun<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Nihoyat, a>0 tengsizlikdan b>0 sharti kelib chiqadi, chunki , va musbat asosli daraja qiymati har doim musbat.

Ushbu bandning yakunida shuni aytamizki, logarifmning ovozli ta'rifi logarifm belgisi ostidagi raqam ma'lum darajadagi asos bo'lganida, logarifmning qiymatini darhol ko'rsatishga imkon beradi. Haqiqatan ham, logarifmning ta'rifi, agar b=a p bo'lsa, b sonining a asosiga bo'lgan logarifmi p ga teng ekanligini ta'kidlash imkonini beradi. Ya'ni log a a p =p tengligi to'g'ri. Masalan, biz bilamizki, 2 3 =8 , keyin log 2 8=3 . Bu haqda maqolada ko'proq gaplashamiz.

(yunoncha lós - "so'z", "munosabat" va ἀrthmos - "raqam" dan) raqamlar b sabab bilan a(log a b) shunday son deyiladi c, va b= a c, ya'ni log a b=c va b=ac ekvivalentdir. Agar a > 0, a ≠ 1, b > 0 bo‘lsa, logarifm mantiqiy bo‘ladi.

Boshqa so'zlar bilan aytganda logarifm raqamlar b sabab bilan a raqam ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkich sifatida tuzilgan a raqamni olish uchun b(logarifm faqat ijobiy raqamlar uchun mavjud).

Bu formuladan kelib chiqadiki, hisoblash x= log a b, a x =b tenglamani yechishga teng.

Masalan:

log 2 8 = 3, chunki 8=2 3 .

Shuni ta'kidlaymizki, logarifmning ko'rsatilgan formulasi darhol aniqlashga imkon beradi logarifm qiymati logarifm belgisi ostidagi son asosning ma'lum bir kuchi bo'lganda. Haqiqatan ham, logarifmning formulasi agar buni oqlash imkonini beradi b=a c, keyin raqamning logarifmi b sabab bilan a teng Bilan. Logarifm mavzusi mavzu bilan chambarchas bog'liqligi ham aniq raqam darajasi.

Logarifmni hisoblashga murojaat qilinadi logarifm. Logarifm - logarifm olishning matematik amalidir. Logarifm qabul qilinganda omillarning ko'paytmalari hadlar yig'indisiga aylanadi.

Potentsiyalash logarifmga teskari matematik amaldir. Potentsiyalashda berilgan asos potentsiallash amalga oshiriladigan ifoda kuchiga ko'tariladi. Bunda atamalar yig'indisi omillar mahsulotiga aylanadi.

Ko'pincha asoslari 2 (ikkilik), e Eyler soni e ≈ 2,718 (tabiiy logarifm) va 10 (o'nlik) bo'lgan haqiqiy logarifmlar qo'llaniladi.

Ushbu bosqichda buni ko'rib chiqishga arziydi logarifmlar namunalari jurnal 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Va lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 yozuvlari mantiqiy emas, chunki ularning birinchisida manfiy raqam logarifm belgisi ostida, ikkinchisida - manfiy sonda joylashgan. tayanch, uchinchisida esa - va logarifm belgisi ostidagi manfiy raqam va bazadagi birlik.

Logarifmni aniqlash shartlari.

a > 0, a ≠ 1, b > 0 shartlarini alohida ko'rib chiqishga arziydi. logarifmning ta'rifi. Keling, bu cheklovlar nima uchun olinganligini ko'rib chiqaylik. Bu bizga x = log a shaklidagi tenglik bilan yordam beradi b, yuqorida keltirilgan logarifmning ta'rifidan bevosita kelib chiqadigan asosiy logarifmik identifikatsiya deb ataladi.

Shartni oling a≠1. Har qanday darajaga bir birga teng bo'lganligi sababli, tenglik x=log a bo'ladi b faqat qachon mavjud bo'lishi mumkin b=1, lekin log 1 1 har qanday haqiqiy son bo'ladi. Ushbu noaniqlikni bartaraf etish uchun biz olamiz a≠1.

Keling, shartning zarurligini isbotlaylik a>0. Da a=0 logarifmning formulasiga ko'ra, faqat qachon mavjud bo'lishi mumkin b=0. Va keyin mos ravishda log 0 0 har qanday nolga teng bo'lmagan haqiqiy son bo'lishi mumkin, chunki noldan nolga teng bo'lmagan daraja nolga teng. Bu noaniqlikni bartaraf qilish uchun shart a≠0. Va qachon a<0 biz logarifmning ratsional va irratsional qiymatlarini tahlil qilishni rad etishimiz kerak, chunki ratsional va irratsional ko'rsatkichli ko'rsatkich faqat manfiy bo'lmagan asoslar uchun aniqlanadi. Aynan shuning uchun shart a>0.

VA oxirgi holat b>0 tengsizlikdan kelib chiqadi a>0, chunki x=log a b, va musbat bazaga ega daraja qiymati a har doim ijobiy.

Logarifmlarning xususiyatlari.

Logarifmlar xosligi bilan ajralib turadi Xususiyatlari, bu esa mashaqqatli hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtirish uchun ularning keng qo'llanilishiga olib keldi. "Logarifmlar olamiga" o'tishda ko'paytirish ancha oson qo'shishga, ayirishga bo'lish va darajaga ko'tarish va ildiz olish mos ravishda darajaga ko'paytirish va bo'lishga aylantiriladi.

Logarifmlarning formulasi va ularning qiymatlari jadvali (trigonometrik funktsiyalar uchun) birinchi marta 1614 yilda Shotlandiya matematigi Jon Nepier tomonidan nashr etilgan. Boshqa olimlar tomonidan kattalashtirilgan va batafsil bayon qilingan logarifmik jadvallar ilmiy va muhandislik hisoblash, va elektron kalkulyatorlar va kompyuterlar qo'llanila boshlanmaguncha dolzarb bo'lib qoldi.