Kasr tenglamalarini x kuchiga teng yechish. Ko'rsatkichli tenglama nima va uni qanday hal qilish mumkin

Ko'rsatkichli tenglamalarning echimi. Misollar.

Diqqat!
Qo'shimcha bor
555 maxsus bo'limidagi materiallar.
Juda "unchalik emas" bo'lganlar uchun.
Va "juda tekis ..." bo'lganlar uchun)

Nima eksponensial tenglama? Bu noma'lumlar (x) va ular bilan ifodalar mavjud bo'lgan tenglama ko'rsatkichlar ba'zi darajalar. Va faqat u erda! Bu muhim.

Mana qayerda ekansan misollar eksponensial tenglamalar :

3 x 2 x = 8 x + 3

Eslatma! Darajalar bazasida (pastda) - faqat raqamlar... IN ko'rsatkichlar daraja (yuqorida) - x bilan ifodalarning keng xilma -xilligi. Agar to'satdan x tenglamada indikatordan boshqa joyda paydo bo'lsa, masalan:

bu allaqachon aralash turdagi tenglama bo'ladi. Bunday tenglamalarni yechishning aniq qoidalari yo'q. Biz ularni hali ko'rib chiqmaymiz. Bu erda biz shug'ullanamiz ko’rsatkichli tenglamalarni yechish orqali sof shaklda.

Aslida, hatto aniq eksponensial tenglamalar ham har doim ham aniq hal qilinmaydi. Ammo aniqlanishi mumkin bo'lgan va echilishi kerak bo'lgan eksponensial tenglamalarning ayrim turlari mavjud. Biz bu turlarni ko'rib chiqamiz.

Eng oddiy eksponensial tenglamalarning echimi.

Keling, juda oddiy narsadan boshlaylik. Misol uchun:

Hech qanday nazariyalarsiz ham, oddiy tanlovdan x = 2 ekanligi ayon bo'ladi. Boshqa yo'q, to'g'rimi?! Boshqa x qiymatlari yo'q. Keling, bu ayyor eksponensial tenglamaning yechim yozuvini ko'rib chiqaylik:

Biz nima qildik? Biz, aslida, xuddi shu asoslarni (uchtasini) tashladik. To'liq tashlab yuboring. Va nima yoqsa, belgini bosing!

Haqiqatan ham, agar chap va o'ngdagi eksponensial tenglama o'z ichiga olsa xuddi shu har qanday kuchdagi raqamlar, bu raqamlarni olib tashlash va eksponentlarni tenglashtirish mumkin. Matematika imkon beradi. Juda oddiy tenglamani hal qilish qoladi. Ajoyib, shunday emasmi?)

Biroq, buni istehzo bilan eslaylik: Agar siz chap va o'ngdagi asosiy raqamlar ajoyib izolyatsiyada bo'lsa, siz tagliklarni olib tashlashingiz mumkin! Hech qanday qo'shnilar va koeffitsientlarsiz. Keling, tenglamalarda aytaylik:

2 x +2 x + 1 = 2 3 yoki

tuzatishlarni o'chirib bo'lmaydi!

Xo'sh, biz eng muhim narsani o'zlashtirdik. Yomon eksponensial ifodalardan oddiy tenglamalarga qanday o'tish mumkin.

"Bu vaqtlar!" - sen aytasan. "Sinov va imtihonlarga kim bunday primitiv beradi?!"

Men rozi bo'lishim kerak. Hech kim bermaydi. Ammo endi siz chalkash misollarni echishda qaerga intilishni bilasiz. Xuddi shu asosiy raqam chapda - o'ngda bo'lsa, uni shaklga keltirish kerak. Shunda hamma narsa osonroq bo'ladi. Aslida, bu matematikaning klassikasi. Biz asl misolni olamiz va uni kerakli namunaga aylantiramiz. BIZ aql. Albatta, matematika qoidalariga ko'ra.

Keling, ularni eng sodda holatga keltirish uchun qo'shimcha kuch talab qiladigan misollarni ko'rib chiqaylik. Keling, ularni chaqiraylik oddiy eksponensial tenglamalar.

Ko'rsatkichli oddiy tenglamalarni echish. Misollar.

Ko'rsatkichli tenglamalarni echishda asosiy qoidalar: darajali harakatlar. Bu harakatlarni bilmasdan, hech narsa ishlamaydi.

Shaxsiy kuzatuv va zukkolik darajali harakatlarga qo'shilishi kerak. Bizga bir xil asosiy raqamlar kerakmi? Shunday qilib, biz ularni misolda aniq yoki shifrlangan holda qidiramiz.

Ko'ramiz, bu amalda qanday amalga oshiriladi?

Bizga misol keltiraylik:

2 2x - 8x + 1 = 0

Birinchi diqqat bilan qarash asoslar. Ular ... Ular boshqacha! Ikki va sakkiz. Ammo tushkunlikka tushishga hali erta. Buni eslash vaqti keldi

Ikki va sakkiztasi - qarindoshlar.) Buni yozish mumkin:

8 x + 1 = (2 3) x + 1

Agar siz formulani vakolatlarga ega bo'lgan harakatlardan eslasangiz:

(a n) m = a nm,

umuman olganda ajoyib chiqadi:

8 x + 1 = (2 3) x + 1 = 2 3 (x + 1)

Asl misol endi shunday ko'rinadi:

2 2x - 2 3 (x + 1) = 0

Biz o'tkazamiz 2 3 (x + 1) o'ng tomonda (hech kim matematikaning boshlang'ich harakatlarini bekor qilmagan!), biz olamiz:

2 2x = 2 3 (x + 1)

Bu deyarli barchasi. Biz asoslarni olib tashlaymiz:

Biz bu yirtqich hayvonni hal qilamiz va olamiz

Bu to'g'ri javob.

Bu misolda ikkitaning kuchini bilish bizga yordam berdi. Biz aniqlandi sakkizinchi rasmda shifrlangan ikkitasi bor. Bu usul (umumiy bazalarni turli raqamlar ostida shifrlash) eksponensial tenglamalarda juda mashhur usul! Va logarifmalarda ham. Boshqa raqamlarning kuchini raqamlarda tanib olish kerak. Bu eksponensial tenglamalarni echishda juda muhim.

Gap shundaki, istalgan raqamni istalgan kuchga ko'tarish muammo emas. Ko'paytiring, hatto qog'ozga ham, hammasi shu. Misol uchun, har bir kishi 3 -ni beshinchi kuchga ko'tarishi mumkin. Agar siz ko'paytirish jadvalini bilsangiz, 243 ishlaydi.) Ammo eksponensial tenglamalarda ko'pincha kuchga ko'tarilmaslik kerak, aksincha ... qaysi raqam qaysi darajada 243 raqami orqasida yashiringan, yoki aytaylik, 343 ... Bu erda hech qanday kalkulyator sizga yordam bermaydi.

Ba'zi raqamlarning kuchini ko'rish orqali bilish kerak, ha ... Keling, mashq qilaylikmi?

Qanday kuchlar va qanday raqamlar ekanligini aniqlang:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Javoblar (tartibsiz, tabiiyki!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Agar siz diqqat bilan qarasangiz, g'alati haqiqatni ko'rishingiz mumkin. Vazifalarga qaraganda javoblar ancha ko'p! Xo'sh, shunday bo'ladi ... Masalan, 2 6, 4 3, 8 2 - hammasi 64.

Faraz qilaylik, siz raqamlar bilan tanishish haqidagi ma'lumotlarga e'tibor qaratdingiz.) Eslatib o'taman, eksponensial tenglamalarni yechish uchun biz butun matematik bilimlar zaxirasi. Shu jumladan, o'rta va o'rta sinf o'quvchilari. Siz darhol o'rta maktabga bormadingiz, to'g'rimi?)

Masalan, ko rsatkichli tenglamalarni yechishda, tez -tez umumiy omilni qavs tashqarisiga chiqarishga yordam beradi (salom, 7 -sinf!). Keling, misolni ko'rib chiqaylik:

3 2x + 4 -11 9 x = 210

Va yana, birinchi qarashda - poydevorda! Darajalarning asoslari boshqacha ... Uch va to'qqiz. Va biz ularning bir xil bo'lishini xohlaymiz. Xo'sh, bu holda, xohish juda mumkin!) Chunki:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Diplom bilan ishlashda bir xil qoidalarga amal qilish:

3 2x + 4 = 3 2x 3 4

Bu ajoyib, siz yozishingiz mumkin:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Biz misolni xuddi shu asosga keltirdik. Va undan keyin nima!? Uchtasini tashlamaslik kerak ... O'lik oxirami?

Umuman yo'q. Eng ko'p qirrali va kuchli qaror qabul qilish qoidasini eslab qolish hammasidan matematik vazifalar:

Agar nima kerakligini bilmasangiz, qo'lingizdan kelganini qiling!

Qarang, hamma narsa shakllanadi).

Bu eksponensial tenglamada nima bor mumkin qilmoq? Ha, chap tomonda to'g'ridan -to'g'ri qavslar so'raladi! 3 2x umumiy omili bunga aniq ishora qiladi. Keling, sinab ko'raylik, keyin ko'ramiz:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Misol tobora yaxshilanmoqda!

Eslatib o'tamiz, asoslarni yo'q qilish uchun bizga hech qanday koeffitsientlarsiz, toza daraja kerak. 70 raqami bizning yo'limizga kiradi. Shunday qilib, tenglamaning ikkala tomonini 70 ga bo'lsak, biz quyidagilarni olamiz:

Afsus! Hammasi amalga oshdi!

Bu oxirgi javob.

Shunday bo'ladiki, xuddi shu asosda taksi olinadi, lekin ularni yo'q qilish mumkin emas. Bu boshqa turdagi eksponensial tenglamalarda sodir bo'ladi. Keling, bu turni o'zlashtiramiz.

Ko'rsatkichli tenglamalarni echishda o'zgaruvchining o'zgarishi. Misollar.

Keling, tenglamani hal qilaylik:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Birinchidan, odatdagidek. Bir asosga o'tish. Deucega.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Biz tenglamani olamiz:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Va bu erda biz muzlab qolamiz. Oldingi texnikalar qanchalik zo'r bo'lmasin ishlamaydi. Biz boshqa kuchli va ko'p tomonlama arsenaldan chiqib ketishimiz kerak. U deyiladi o'zgaruvchan almashtirish.

Usulning mohiyati hayratlanarli darajada sodda. Bitta murakkab belgining o'rniga (bizda 2 x), biz boshqasini, oddiyini yozamiz (masalan, t). Aqlsiz ko'rinadigan bunday almashtirish ajoyib natijalarga olib keladi!) Shunchaki hamma narsa aniq va tushunarli bo'ladi!

Shunday qilib, ruxsat bering

Keyin 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Tenglamamizdagi barcha kuchlarni x bilan almashtiring:

Xo'sh, tong otadi?) Siz hali kvadrat tenglamalarni unutmadingizmi? Biz diskriminant orqali hal qilamiz, biz quyidagilarni olamiz:

Bu erda, asosiysi, to'xtab qolmaslik, bu sodir bo'lgandek ... Bu hali javob emas, bizga X kerak, t emas. Biz X -ga qaytamiz, ya'ni. biz qaytish o'rnini bosamiz. T 1 uchun birinchi:

Anavi,

Bitta ildiz topildi. Biz ikkinchisini qidiramiz, t 2 dan:

Um ... Chap 2 x, o'ng 1 ... Muammo bormi? Arzimaydi! Buni eslash kifoya (kuchlar bilan qilingan harakatlardan, ha ...) har qanday nol darajadagi raqam. Har kim. Biz kerakli narsani etkazib beramiz. Bizga ikkilanish kerak. Vositalar:

Endi hammasi shu. Bizda 2 ta ildiz bor:

Bu javob.

Da ko’rsatkichli tenglamalarni yechish oxirida, ba'zida biz qandaydir noqulay ifoda olamiz. Turi:

Etti, ikkitadan asosiy darajaga qadar ishlamaydi. Ular qarindosh emas ... Bu erda qanday bo'lish kerak? Kimdir chalkash bo'lishi mumkin ... Lekin bu saytda "Logarifm nima?" Mavzusini o'qigan odam. , faqat jilmayadi va qat'iy qo'l bilan mutlaqo to'g'ri javobni yozadi:

Imtihondagi "B" topshiriqlarida bunday javob bo'lishi mumkin emas. U erda ma'lum bir raqam talab qilinadi. Ammo "C" vazifalarida - osonlikcha.

Bu darsda eng keng tarqalgan eksponensial tenglamalarni echishga misollar keltirilgan. Keling, asosiy narsani ta'kidlaylik.

Amaliy maslahatlar:

1. Avvalo, biz ko'rib chiqamiz poydevorlar daraja. Biz ularni amalga oshirish mumkinmi, deb o'ylaymiz xuddi shu. Biz buni faol ishlatishga harakat qilamiz darajali harakatlar. Shuni unutmangki, x bo'lmagan raqamlar ham kuchlarga aylantirilishi mumkin!

2. Ko'rsatkichli tenglamani chap va o'ng bo'lganda shaklga tushirishga harakat qilamiz xuddi shu har qanday darajada raqamlar. Biz foydalanamiz darajali harakatlar va faktorizatsiya. Nimani sanash mumkin - biz hisoblaymiz.

3. Agar ikkinchi maslahat ishlamasa, biz o'zgaruvchan almashtirishni qo'llashga harakat qilamiz. Yakuniy natija osonlikcha echilishi mumkin bo'lgan tenglama bo'ladi. Ko'pincha bu kvadrat. Yoki kasrli, bu ham kvadratga kamayadi.

4. Ko'rsatkichli tenglamalarni muvaffaqiyatli echish uchun ba'zi raqamlarning kuchlarini "ko'rish orqali" bilish kerak.

Odatdagidek, dars oxirida sizdan biroz qaror qabul qilish talab qilinadi.) O'zingiz. Oddiydan murakkabgacha.

Ko'rsatkichli tenglamalarni eching:

Keyinchalik qiyinroq:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x + 1 - 8 = 0

Ildiz hosilasini toping:

2 3-x + 2 x = 9

Bo'ldi?

Xo'sh, keyin eng murakkab misol (ammo, ongda hal qilingan ...):

7 0,13x + 13 0,7x + 1 + 2 0,5x + 1 = -3

Yana nima qiziq? Mana sizga yomon misol. Bu murakkablikni oshirish uchun juda jozibali. Men shuni aytamanki, bu misolda barcha matematik muammolarni hal qilishda zukkolik va eng universal qoida saqlanadi.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Misol oddiyroq, dam olish uchun):

9 2 x - 4 3 x = 0

Va shirinlik uchun. Tenglama ildizlarining yig'indisini toping:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ha ha! Bu aralash tenglama! Biz bu darsda ko'rib chiqmaganmiz. Va ularni ko'rib chiqish kerak, ularni hal qilish kerak!) Bu dars tenglamani echish uchun etarli. Xo'sh, aql -idrok kerak ... Va ettinchi sinf sizga yordam bersin (bu maslahat!).

Javoblar (tartibsiz, nuqta -vergul ajratilgan):

bitta; 2; 3; 4; echimlar yo'q; 2; -2; -besh; 4; 0.

Hammasi joyidami? Zo'r.

Muammo bormi? Muammo yo'q! 555 -maxsus bo'limda bu eksponensial tenglamalarning barchasi batafsil tushuntirishlar bilan hal qilinadi. Nima, nima uchun va nima uchun. Va, albatta, har xil eksponensial tenglamalar bilan ishlash haqida qo'shimcha qimmatli ma'lumotlar mavjud. Faqat bular emas.)

So'nggi kulgili savol. Ushbu qo'llanmada biz eksponensial tenglamalar bilan ishladik. Nega men bu erda ODZ haqida bir og'iz so'z aytmadim? Aytgancha, tenglamalarda bu juda muhim narsa ...

Agar sizga bu sayt yoqsa ...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollar yechishni mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Darhol tekshirish testi. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Uskunalar:

• kompyuter,
• multimediya proyektori,
• ekran,
• 1 -ilova(PowerPoint slayd taqdimoti) "Ko'rsatkichli tenglamalarni echish usullari"
• 2 -ilova(Wordda "Uch xil daraja asoslari" kabi tenglamani echish)
• 3 -ilova(amaliy ish uchun Wordda tarqatma materiallar).
• 4 -ilova(uy vazifasi uchun Wordda tarqatma materiallar).

Darslar davomida

1. Tashkiliy bosqich

• dars mavzusining xabari (doskaga yozilgan),
• 10-11-sinflarda umumlashtiruvchi darsga ehtiyoj:

Talabalarni bilimlarni faol o'zlashtirishga tayyorlash bosqichi

Takrorlash

Ta'rif.

Ko'rsatkichli tenglama - bu eksponentda o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglama (o'quvchi javoblari).

O'qituvchining yozuvi. Ko'rsatkichli tenglamalar transsendental tenglamalar sinfiga kiradi. Ismni talaffuz qilish qiyin bo'lganidan, bunday tenglamalarni, umuman olganda, formulalar ko'rinishida hal qilib bo'lmaydi.

Ularni faqat kompyuterlarda taxminiy sonli usullar yordamida hal qilish mumkin. Ammo imtihon muammolari haqida nima deyish mumkin? Hamma hiyla shundaki, tekshiruvchi masalani analitik echimni tan oladigan tarzda tuzadi. Boshqacha qilib aytganda, siz quyidagilarni qilishingiz mumkin (va kerak!) bir xil transformatsiyalar bu eksponensial tenglamani eng oddiy eksponensial tenglamaga kamaytiradi. Bu eng oddiy tenglama deb ataladi: eng oddiy eksponensial tenglama. Bu hal qilinmoqda logarifmni qabul qilish orqali.

Ko'rsatkichli tenglamani yechish bilan bog'liq vaziyat, masalani tuzuvchi tomonidan maxsus ixtiro qilingan labirint bo'ylab sayohatga o'xshaydi. Juda umumiy tavsiyalardan kelib chiqib, juda aniq tavsiyalar berilgan.

Ko'rsatkichli tenglamalarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun siz:

1. Nafaqat barcha eksponensial identifikatorlarni faol biling, balki bu identifikatorlar aniqlanadigan o'zgaruvchining qiymatlar to'plamini toping, shunda bu identifikatorlardan foydalanganda siz keraksiz ildizlarga ega bo'lmaysiz va undan ham ko'proq tenglama echimlarini yo'qotadi.

2. Barcha indikativ identifikatorlarni faol biling.

3. Shubhasiz, batafsil va xatosiz, tenglamalarni matematik o'zgartirishni amalga oshiring (atamalarni tenglamaning bir qismidan ikkinchisiga o'tkazing, belgining o'zgarishini unutmang, kasrning umumiy bo'linishiga olib keling va hokazo). . Bu matematik madaniyat deb ataladi. Shu bilan birga, hisob -kitoblarning o'zi avtomatik ravishda qo'llar bilan amalga oshirilishi kerak va bosh echimning umumiy yo'naltiruvchi ipi haqida o'ylashi kerak. Konvertatsiya iloji boricha batafsil va batafsil bo'lishi kerak. Faqat bu xatosiz to'g'ri qaror qabul qilish kafolatini beradi. Va esda tuting: kichik arifmetik xato shunchaki transsendental tenglamani yaratishi mumkin, uni asosan analitik tarzda hal qilib bo'lmaydi. Ma'lum bo'lishicha, siz adashib, labirint devoriga yugurgansiz.

4. Muammolarni hal qilish usullarini bilish (ya'ni, yechim labirintidan o'tishning barcha yo'llarini bilish). Har bir bosqichda to'g'ri yo'naltirish uchun siz (ongli yoki intuitiv!):

• belgilash tenglama turi;
• bu turga mos kelishini unutmang hal qilish usuli vazifalar.

O'rganilgan materialni umumlashtirish va tizimlashtirish bosqichi.

O'qituvchi, talabalar bilan birgalikda, kompyuterni jalb qilgan holda, eksponensial tenglamalarning barcha turlarini va ularni echish usullarini qayta ko'rib chiqadi. umumiy sxema... (Ishlatilgan ta'lim kompyuter dasturi L. Ya. Borevskiy "Matematika kursi - 2000", PowerPoint taqdimoti muallifi - T.N. Kuptsov.)

Guruch. bitta Rasmda barcha turdagi eksponensial tenglamalarning umumiy diagrammasi ko'rsatilgan.

Ushbu diagrammadan ko'rinib turibdiki, eksponensial tenglamalarni echish strategiyasi berilgan eksponensial tenglamani tenglamaga keltirishdan iborat. bir xil darajadagi asoslar bilan va keyin - va bir xil darajadagi ko'rsatkichlar bilan.

Bir xil asoslar va ko'rsatkichlarga ega bo'lgan tenglamani olganingizdan so'ng, siz bu darajani yangi o'zgaruvchiga almashtirasiz va bu yangi o'zgaruvchining oddiy algebraik tenglamasini (odatda kasrli ratsional yoki kvadratik) olasiz.

Ushbu tenglamani echib, teskari almashtirishni amalga oshirib, siz oxir -oqibat hal qilinadigan eng oddiy eksponensial tenglamalar to'plamiga kelasiz. umumiy ko'rinish logarifm yordamida.

Faqat (qisman) darajadagi mahsulotlar bo'lgan tenglamalar ajralib turadi. Ko'rsatkichli identifikatorlardan foydalanib, bu tenglamalarni darhol bir asosga, xususan, eng oddiy eksponensial tenglamaga keltirish mumkin.

Keling, uch xil darajadagi asosli eksponentli tenglama qanday hal qilinganini ko'rib chiqaylik.

(Agar o'qituvchining L. Ya.Borevskiyning "Matematika kursi - 2000") kompyuteri o'qitish dasturi bo'lsa, tabiiyki, biz disk bilan ishlaymiz, agar bo'lmasa, biz quyida keltirilgan bunday tenglamani chop etishimiz mumkin, har bir maktab stolida.)

Guruch. 2018-05-01 xoxlasa buladi 121 2. Tenglama yechim rejasi.

Guruch. 3. Tenglamani yechishni boshlang

Guruch. 4. Tenglama oxiri yechimi.

Amaliy ish

Tenglama turini aniqlang va uni hal qiling.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Dars xulosasi

Darsni baholash.

Dars oxiri

O'qituvchi uchun

Amaliy ishlarning javoblari tavsifi.

Vazifa: tenglamalar ro'yxatidan ko'rsatilgan turdagi tenglamalarni tanlang (jadvalga javob raqamini kiriting):

1. Uch xil daraja asoslari
2. Ikki xil asos - har xil ko'rsatkichlar
3. Darajalar asoslari - bitta raqamning kuchlari
4. Bir xil asoslar - har xil darajadagi ko'rsatkichlar
5. Xuddi shu darajadagi asoslar - bir xil darajadagi ko'rsatkichlar
6. Darajalar mahsuloti
7. Ikki xil daraja asoslari - bir xil ko'rsatkichlar
8. Eng oddiy eksponensial tenglamalar

1. (daraja mahsuloti)

2. (bir xil asoslar - har xil ko'rsatkichlar)

Misollar:

\ (4 ^ x = 32 \)
\ (5 ^ (2x-1) -5 ^ (2x-3) = 4.8 \)
\ ((\ sqrt (7)) ^ (2x + 2) -50 \ cdot (\ sqrt (7)) ^ (x) + 7 = 0 \)

Ko'rsatkichli tenglamalarni qanday hal qilish mumkin

Har qanday eksponensial tenglamani echishda biz \ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \) shaklini qisqartirishga intilamiz va keyin ko'rsatkichlar tengligiga o'tamiz, ya'ni:

\ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \) \ (⇔ \) \ (f (x) = g (x) \)

Misol uchun:\ (2 ^ (x + 1) = 2 ^ 2 \) \ (⇔ \) \ (x + 1 = 2 \)

Muhim! Xuddi shu mantiqqa ko'ra, bunday o'tish uchun ikkita talab mavjud:
- ichida raqam chap va o'ng bir xil bo'lishi kerak;
- chap va o'ng daraja "toza" bo'lishi kerak, ya'ni ko'paytirish, bo'linish va boshqalar bo'lmasligi kerak.

Misol uchun:

Tenglikni \ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \) shakliga tushirish uchun va dan foydalaning.

Misol ... \ (\ Sqrt (27) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \) eksponent tenglamasini eching.
Yechim:

\ (\ sqrt (27) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \)		Bilamizki, \ (27 = 3 ^ 3 \). Buni hisobga olib, biz tenglamani o'zgartiramiz.
\ (\ sqrt (3 ^ 3) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \)		\ (\ Sqrt [n] (a) = a ^ (\ frac (1) (n)) \) ildizining xossasi bo'yicha biz \ (\ sqrt (3 ^ 3) = ((3 ^ 3)) ^ (\ frac (1) (2)) \). Bundan tashqari, \ ((a ^ b) ^ c = a ^ (bc) \) daraja xususiyatidan foydalanib, biz \ (((3 ^ 3)) ^ (\ frac (1) (2)) = 3 ^ ( 3 \ cdot \ frac (1) (2)) = 3 ^ (\ frac (3) (2)) \).
\ (3 ^ (\ frac (3) (2)) \ cdot 3 ^ (x-1) = (\ frac (1) (3)) ^ (2x) \)		Biz bilamizki, \ (a ^ b a ^ c = a ^ (b + c) \). Buni chap tomonga qo'llagan holda, biz olamiz: \ (3 ^ (\ frac (3) (2)) 3 ^ (x-1) = 3 ^ (\ frac (3) (2) + x-1) = 3 ^ (1,5 + x-1) = 3 ^ (x + 0,5) \).
\ (3 ^ (x + 0.5) = (\ frac (1) (3)) ^ (2x) \)		Endi esda tuting: \ (a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) \). Bu formulani teskari yo'nalishda ishlatish mumkin: \ (\ frac (1) (a ^ n) = a ^ (- n) \). Keyin \ (\ frac (1) (3) = \ frac (1) (3 ^ 1) = 3 ^ (- 1) \).
\ (3 ^ (x + 0.5) = (3 ^ (- 1)) ^ (2x) \)		\ ((A ^ b) ^ c = a ^ (bc) \) xususiyatini o'ng tomonga qo'llagan holda, biz: \ ((3 ^ (- 1)) ^ (2x) = 3 ^ ((- 1) 2x) = 3 ^ (- 2x) \).
\ (3 ^ (x + 0.5) = 3 ^ (- 2x) \)		Va endi bizning bazalarimiz teng va hech qanday aralashuvchi koeffitsientlar yo'q va hokazo. Bu shuni anglatadiki, biz o'tishimiz mumkin.
		Misol ... \ (4 ^ (x + 0.5) -5 2 ^ x + 2 = 0 \) eksponensial tenglamani yeching. Yechim: \ (4 ^ (x + 0.5) -5 2 ^ x + 2 = 0 \) Biz yana \ (a ^ b \ cdot a ^ c = a ^ (b + c) \) xususiyatini teskari yo'nalishda ishlatamiz. \ (4 ^ x 4 ^ (0.5) -5 2 ^ x + 2 = 0 \) Endi buni \ (4 = 2 ^ 2 \) deb eslang. \ ((2 ^ 2) ^ x (2 ^ 2) ^ (0.5) -5 2 ^ x + 2 = 0 \) Darajaning xususiyatlaridan foydalanib, biz o'zgartiramiz: \ ((2 ^ 2) ^ x = 2 ^ (2x) = 2 ^ (x 2) = (2 ^ x) ^ 2 \) \ ((2 ^ 2) ^ (0.5) = 2 ^ (2 0.5) = 2 ^ 1 = 2. \) \ (2 (2 ^ x) ^ 2-5 2 ^ x + 2 = 0 \) Biz tenglamaga diqqat bilan qaraymiz va \ (t = 2 ^ x \) o'rnini bosuvchi o'zini taklif qilayotganini ko'ramiz. \ (t_1 = 2 \) \ (t_2 = \ frac (1) (2) \) Biroq, biz \ (t \) qiymatlarini topdik, lekin bizga \ (x \) kerak. Biz X -ga qaytamiz va teskari almashtirishni amalga oshiramiz. \ (2 ^ x = 2 \) \ (2 ^ x = \ frac (1) (2) \) Manfiy quvvat xususiyatidan foydalanib, ikkinchi tenglamani o'zgartiring ... \ (2 ^ x = 2 ^ 1 \) \ (2 ^ x = 2 ^ (- 1) \) ... va biz javob berishga qaror qildik. \ (x_1 = 1 \) \ (x_2 = -1 \) Javob : \(-1; 1\). Savol qolmoqda - qaysi usulni qachon qo'llash kerakligini qanday tushunish kerak? Bu tajriba bilan birga keladi. Qabul qilmaguningizcha foydalaning umumiy tavsiya murakkab muammolarni hal qilish uchun - "nima qilishni bilmayapsiz - qo'lingizdan kelganini qiling". Ya'ni, qanday qilib tenglamani printsipial o'zgartirishingiz mumkinligini qidiring va buni qilishga harakat qiling - to'satdan nima bo'ladi? Asosiysi, faqat matematik jihatdan oqlangan o'zgarishlarni amalga oshirish. Yechimsiz eksponensial tenglamalar Keling, talabalarni chalkashtirib yuboradigan yana ikkita holatni ko'rib chiqaylik: - kuchga musbat son nolga teng, masalan, \ (2 ^ x = 0 \); - musbat son manfiy songa teng, masalan, \ (2 ^ x = -4 \). Keling, uni qo'pol kuch bilan hal qilishga harakat qilaylik. Agar x ijobiy son bo'lsa, x o'sishi bilan \ (2 ^ x \) ning butun kuchi o'sadi: \ (x = 1 \); \ (2 ^ 1 = 2 \) \ (x = 2 \); \ (2 ^ 2 = 4 \) \ (x = 3 \); \ (2 ^ 3 = 8 \). \ (x = 0 \); \ (2 ^ 0 = 1 \) Shuningdek. Manfiy x qolgan. \ (A ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) \) xususiyatini eslab, biz tekshiramiz: \ (x = -1 \); \ (2 ^ (- 1) = \ frac (1) (2 ^ 1) = \ frac (1) (2) \) \ (x = -2 \); \ (2 ^ (- 2) = \ frac (1) (2 ^ 2) = \ frac (1) (4) \) \ (x = -3 \); \ (2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) = \ frac (1) (8) \) Har qadamda bu raqam kamayib borayotganiga qaramay, u hech qachon nolga yetmaydi. Shunday qilib, salbiy daraja bizni ham qutqara olmadi. Biz mantiqiy xulosaga keldik: Ijobiy raqam har qanday darajada ijobiy bo'lib qoladi. Shunday qilib, yuqoridagi ikkala tenglamaning ham yechimi yo'q. Har xil asosli eksponensial tenglamalar Amalda, ba'zida bir -biriga kamaytirilmaydigan, har xil asosli eksponensial tenglamalar mavjud va shu bilan birga bir xil ko'rsatkichlarga ega. Ular shunday ko'rinadi: \ (a ^ (f (x)) = b ^ (f (x)) \), bu erda \ (a \) va \ (b \) musbat sonlar. Misol uchun: \ (7 ^ (x) = 11 ^ (x) \) \ (5 ^ (x + 2) = 3 ^ (x + 2) \) \ (15 ^ (2x-1) = (\ frac (1) (7)) ^ (2x-1) \) Bunday tenglamalarni tenglamaning istalgan qismiga bo'lish yo'li bilan osonlikcha hal qilish mumkin (odatda o'ng tomonga bo'linadi, ya'ni \ (b ^ (f (x)) \) ga bo'linadi). musbat son har qanday darajada ijobiy (ya'ni, biz nolga bo'linmaymiz). \ (\ frac (a ^ (f (x)))) (b ^ (f (x))) \) \ (= 1 \) Misol ... \ (5 ^ (x + 7) = 3 ^ (x + 7) \) eksponensial tenglamasini yeching Yechim: \ (5 ^ (x + 7) = 3 ^ (x + 7) \) Bu erda biz beshlikni uchga aylantira olmaymiz, yoki aksincha (hech bo'lmaganda, uni ishlatmasdan). Shunday qilib, biz \ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \) shaklga kela olmaymiz. Bunday holda, ko'rsatkichlar bir xil bo'ladi. Tenglikni o'ng tomonga, ya'ni \ (3 ^ (x + 7) \) ga bo'laylik (biz buni qila olamiz, chunki uchlik hech qanday tarzda nol emasligini bilamiz). \ (\ frac (5 ^ (x + 7)) (3 ^ (x + 7)) \) \ (= \) \ (\ frac (3 ^ (x + 7)) (3 ^ (x + 7)) ) \) Endi biz \ ((\ frac (a) (b)) ^ c = \ frac (a ^ c) (b ^ c) \) xususiyatini eslaymiz va uni chapdan teskari yo'nalishda ishlatamiz. O'ng tomonda biz faqat kasrni kamaytiramiz. \ ((\ frac (5) (3)) ^ (x + 7) \) \ (= 1 \) Ko'rinib turibdiki, ahvoli yaxshilanmagan. Ammo darajaning yana bir xususiyatini eslang: \ (a ^ 0 = 1 \), boshqacha aytganda: "nol darajadagi har qanday son \ (1 \) ga teng". Konversiya ham to'g'ri: "nol darajadagi istalgan son sifatida ifodalanishi mumkin". Biz buni o'ngdagi tayanchni chapdagi bilan bir xil qilib ishlatamiz. \ ((\ frac (5) (3)) ^ (x + 7) \) \ (= \) \ ((\ frac (5) (3)) ^ 0 \) Voila! Biz tayanchlardan qutulamiz. Biz javobni yozamiz. Javob : \(-7\). Ba'zida eksponentlarning "o'xshashligi" aniq emas, lekin daraja xususiyatlaridan mohirona foydalanish bu masalani hal qiladi. Misol ... \ (7 ^ (2x-4) = (\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \) eksponensial tenglamasini yeching. Yechim: \ (7 ^ (2x-4) = (\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \) Tenglama juda achinarli ko'rinadi ... Nafaqat asoslar bir xil songa kamaytirilishi mumkin (yettisi \ (\ frac (1) (3) \) ga teng bo'lmaydi), balki ko'rsatkichlar ham har xil ... Biroq, chapdagi ikkita ko'rsatkichni olaylik. \ (7 ^ (2 (x-2)) = (\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \) \ ((A ^ b) ^ c = a ^ (b c) \) xususiyatini eslab, chapdan aylantiring: \ (7 ^ (2 (x-2)) = 7 ^ (2 (x-2)) = (7 ^ 2) ^ (x-2) = 49 ^ (x-2) \). \ (49 ^ (x-2) = (\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \) \ (A ^ (- n) = \ frac (1) (a) ^ n \) salbiy darajadagi xususiyatni eslab, biz o'ngdan: \ ((\ frac (1) (3)) ^ ( - x + 2) = (3 ^ (- 1)) ^ (- x + 2) = 3 ^ (- 1 (-x + 2)) = 3 ^ (x-2) \) \ (49 ^ (x-2) = 3 ^ (x-2) \) Halloluja! Ko'rsatkichlar bir xil bo'lib qoldi! Bizga tanish bo'lgan sxema bo'yicha harakat qilib, javob berishdan oldin qaror qilamiz. Javob : \(2\).

Bu darsda biz yanada murakkab eksponensial tenglamalarning echimini ko'rib chiqamiz va tegishli nazariy qoidalarni eslaymiz eksponensial funktsiya.

1. Ko'rsatkichli funksiyaning ta'rifi va xossalari, eng oddiy ko'rsatkichli tenglamalarni echish texnikasi

Ko'rsatkichli funktsiyaning ta'rifi va asosiy xususiyatlarini eslaylik. Hamma eksponensial tenglamalar va tengsizliklarning echimiga asoslangan.

Eksponensial funktsiya- bu shaklning funktsiyasi, bu erda darajaning asosi va Bu erda x - mustaqil o'zgaruvchi, argument; y - bog'liq o'zgaruvchi, funktsiya.

Guruch. 1. Ko'rsatkichli funktsiyalar grafigi

Grafika eksponentlarning ko'payishi va kamayishini ko'rsatadi, bunda baza birdan katta va birdan kichik, lekin noldan katta bo'lganda eksponent funktsiyani ko'rsatadi.

Ikkala egri ham nuqta orqali o'tadi (0; 1)

Ko'rsatkichli funktsiya xususiyatlari:

Domen: ;

Qiymatlar diapazoni :;

Funktsiya monotonikdir, chunki u kamayadi va ortadi.

Monotonik funktsiya har bir qiymatini bitta argument qiymati uchun oladi.

Agar argument minusdan ortiqcha cheksizlikka oshsa, funksiya noldan plyus cheksizlikka oshadi. Aksincha, argument minusdan ortiqcha cheksizlikka oshganda, funksiya cheksizlikdan nolga kamayadi, inklyuziv emas.

2. Odatda eksponensial tenglamalarni yechish

Keling, eng oddiy eksponensial tenglamalarni qanday hal qilishni eslaylik. Ularning echimi eksponensial funksiyaning monotonligiga asoslanadi. Deyarli barcha murakkab eksponensial tenglamalar shunday tenglamalarga tushiriladi.

Ko'rsatkichlarning teng asosda tengligi eksponensial funktsiyaga, ya'ni uning monotonligiga bog'liq.

Yechish usuli:

Darajalar asoslarini tenglashtirish;

Eksponentlarni tenglashtirish.

Keling, yanada murakkab eksponensial tenglamalarni ko'rib chiqishga o'taylik, bizning maqsadimiz - ularning har birini eng sodda qilib kamaytirish.

Keling, chap tomondagi ildizdan ozod bo'lamiz va darajalarni bir xil bazaga keltiramiz:

Murakkab eksponensial tenglamani soddalashtirish uchun ko'pincha o'zgaruvchan o'zgarishlar qo'llaniladi.

Keling, daraja xususiyatidan foydalanaylik:

Biz almashtirishni taklif qilamiz. Keling, ruxsat bering

Olingan tenglamani ikkiga ko'paytiramiz va barcha atamalarni chap tomonga o'tkazamiz:

Birinchi ildiz y qiymatlari oralig'ini qondirmaydi, biz uni tashlaymiz. Biz olamiz:

Keling, darajalarni bir xil ko'rsatkichga keltiraylik:

Biz almashtirishni taklif qilamiz:

Keling, ruxsat bering ... Bunday almashtirish bilan y aniq ijobiy qiymatlarni qabul qilishi aniq. Biz olamiz:

Biz bunday kvadrat tenglamalarni qanday hal qilishni bilamiz, javobini yozamiz:

Ildizlarning to'g'ri topilganligiga ishonch hosil qilish uchun siz Vetnam teoremasi orqali tekshirishingiz mumkin, ya'ni ildizlar va ularning hosilasi yig'indisini topishingiz va tenglamaning tegishli koeffitsientlari bilan tekshirishingiz mumkin.

Biz olamiz:

3. Ikkinchi darajali bir hil eksponensial tenglamalarni yechish metodikasi

Keling, eksponensial tenglamalarning quyidagi muhim turini ko'rib chiqaylik:

Bu turdagi tenglamalar f va g funktsiyalari bo'yicha ikkinchi darajali bir hil deyiladi. Uning chap tomonida g parametrli f ga nisbatan kvadrat trinomial yoki f parametrli g ga nisbatan trinomial kvadrat mavjud.

Yechish usuli:

Bu tenglamani kvadrat shaklida yechish mumkin, lekin uni boshqacha qilish osonroq. Ko'rib chiqish uchun ikkita holat bor:

Birinchi holda, biz olamiz

Ikkinchi holda, biz eng yuqori darajaga bo'lish huquqiga egamiz va olamiz:

O'zgaruvchilar o'zgarishi kiritilishi kerak, biz y uchun kvadratik tenglamani olamiz:

E'tibor bering, f va g funktsiyalari har qanday bo'lishi mumkin, lekin biz eksponensial funktsiyalar bilan qiziqamiz.

4. Bir hil tenglamalarni yechishga misollar

Barcha shartlarni tenglamaning chap tomoniga o'tkazing:

Ko'rsatkichli funktsiyalar aniq ijobiy qiymatlarga ega bo'lganligi sababli, biz quyidagi holatni hisobga olmagan holda, tenglamani darhol bo'linish huquqiga egamiz.

Biz olamiz:

Biz almashtirishni taklif qilamiz: (eksponent funktsiyasining xususiyatlariga ko'ra)

Biz kvadrat tenglamani oldik:

Vyetta teoremasi bilan ildizlarni aniqlang:

Birinchi ildiz y qiymatlari diapazonini qondirmaydi, biz uni tashlaymiz va quyidagilarni olamiz:

Biz daraja xususiyatlaridan foydalanamiz va barcha darajalarni oddiy asoslarga kamaytiramiz:

F va g funktsiyalarini ko'rish oson:

Ko'rsatkichli funktsiyalar aniq ijobiy qiymatlarga ega bo'lganligi sababli, biz tenglamani qachon bo'lishini hisobga olmagan holda darhol bo'linish huquqiga egamiz.

Ko'pgina matematik masalalarning u yoki bu tarzda echilishi sonli, algebraik yoki funktsional ifodalarni o'zgartirish bilan bog'liq. Bu, ayniqsa, yechimga tegishli. Matematikadan imtihon versiyalarida bu turdagi masalalarga, xususan, C3 muammosi kiradi. C3 vazifalarini hal qilishni o'rganish nafaqat muvaffaqiyatli bo'lish uchun muhim imtihon topshirish, lekin shuning uchun ham bu ko'nikma o'rta maktabda matematika kursini o'rganishda qo'l keladi.

C3 vazifalarini bajarishda siz hal qilishingiz kerak har xil turlari tenglamalar va tengsizliklar. Ular orasida ratsional, irratsional, ekspansional, logarifmik, trigonometrik, modullar (mutlaq qiymatlar), shuningdek kombinatsiyalanganlar bor. Ushbu maqolada eksponensial tenglamalar va tengsizliklarning asosiy turlari, shuningdek ularni echishning turli usullari muhokama qilinadi. Boshqa turdagi tenglamalar va tengsizliklarning echimi haqida "" sarlavhasida C3 masalalarini hal qilish usullariga bag'ishlangan maqolalardan o'qing. imtihon variantlari matematika.

Maxsus tahlilni davom ettirishdan oldin eksponensial tenglamalar va tengsizliklar Matematika o'qituvchisi sifatida men sizga kerak bo'lgan nazariy materiallarni o'rganishni taklif qilaman.

Eksponensial funktsiya

Eksponensial funksiya nima?

Ko'rish funktsiyasi y = a x, qaerda a> 0 va a≠ 1 deyiladi eksponensial funktsiya.

Asosiy eksponensial funktsiya xususiyatlari y = a x:

Eksponensial funktsiyalar grafigi

Ko'rsatkichli funktsiyalar grafigi ko'rgazma ishtirokchisi:

Ko'rsatkichli funktsiya uchastkalari (ko'rsatkichlar)

Ko'rsatkichli tenglamalarni echish

Tasvirli noma'lum o'zgaruvchi faqat ba'zi kuchlarning ko'rsatkichlarida bo'lgan tenglamalar deyiladi.

Yechimlar uchun eksponensial tenglamalar Siz quyidagi oddiy teoremani bilishingiz va ishlata olishingiz kerak:

Teorema 1. Ko'rsatkichli tenglama a f(x) = a g(x) (qayerda a > 0, a≠ 1) tenglamaga tengdir f(x) = g(x).

Bundan tashqari, daraja bilan asosiy formulalar va harakatlarni eslab qolish foydalidir:

Sarlavha = "(! LANG: QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}

Misol 1. Tenglamani yeching:

Yechim: biz yuqoridagi formulalar va almashtirishlardan foydalanamiz:

Keyin tenglama quyidagi shaklni oladi:

Qabul qilinganlarni kamsituvchi kvadrat tenglama ijobiy:

Sarlavha = "(! LANG: QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}

Bu shuni anglatadiki, bu tenglamaning ikkita ildizi bor. Biz ularni topamiz:

Orqaga almashtirishga o'tib, biz quyidagilarni olamiz:

Ikkinchi tenglamaning ildizlari yo'q, chunki eksponensial funktsiya butun ta'rif sohasida qat'iy ijobiydir. Biz ikkinchisini hal qilamiz:

1 -teoremada aytilganlarni hisobga olib, biz ekvivalent tenglamaga o'tamiz: x= 3. Bu topshiriqqa javob bo'ladi.

Javob: x = 3.

Misol 2. Tenglamani yeching:

Yechim: Tenglama qabul qilinadigan qiymatlar chegarasida hech qanday cheklovlarga ega emas, chunki radikal ifoda har qanday qiymat uchun ma'noga ega x(eksponensial funktsiya y = 9 4 -x ijobiy va nol emas).

Biz tenglamani ko'paytirish va kuchlarni taqsimlash qoidalaridan foydalangan holda ekvivalent konvertatsiya orqali hal qilamiz:

Oxirgi o'tish 1 -teoremaga muvofiq amalga oshirildi.

Javob:x= 6.

Misol 3. Tenglamani yeching:

Yechim: asl tenglamaning har ikki tomonini 0,2 ga bo'lish mumkin x... Bu o'tish teng bo'ladi, chunki bu ifoda har qanday qiymat uchun noldan katta x(eksponensial funktsiya aniqlanish sohasida qat'iy ijobiy). Keyin tenglama quyidagi shaklni oladi:

Javob: x = 0.

Misol 4. Tenglamani yeching:

Yechim: biz maqolaning boshida berilgan kuchlarni bo'lishish va ko'paytirish qoidalaridan foydalangan holda, tenglamani ekvivalent konvertatsiya qilish yo'li bilan soddalashtiramiz:

Tenglamaning ikkala tomonini 4 ga bo'lish x, oldingi misolda bo'lgani kabi, ekvivalent konvertatsiya, chunki berilgan ifoda har qanday qiymat uchun nolga teng emas x.

Javob: x = 0.

Misol 5. Tenglamani yeching:

Yechim: funktsiya y = 3x tenglamaning chap tomonida ortib bormoqda. Funktsiya y = —x Tenglamaning o'ng tomonida -2/3 kamaymoqda. Bu shuni anglatadiki, agar bu funktsiyalarning grafiklari kesishsa, u holda bir nuqtadan oshmasligi kerak. Bunday holda, grafikalar nuqtada kesishishini taxmin qilish oson x= -1. Boshqa ildizlar bo'lmaydi.

Javob: x = -1.

Misol 6. Tenglamani yeching:

Yechim: biz tenglamani ekvivalent konvertatsiya qilish yo'li bilan soddalashtiramiz, har bir joyda eksponensial funktsiya har qanday qiymat uchun noldan katta ekanligini yodda tutamiz. x va mahsulotni hisoblash qoidalari va maqolaning boshida berilgan darajalarni ishlatib:

Javob: x = 2.

Ko'rsatkichli tengsizliklarning echimi

Tasvirli Tengsizliklar deyiladi, unda noma'lum o'zgaruvchi faqat ba'zi kuchlar eksponentlarida bo'ladi.

Yechimlar uchun eksponensial tengsizliklar quyidagi teoremani bilish talab qilinadi:

Teorema 2. Agar a> 1, keyin tengsizlik a f(x) > a g(x) bir xil ma'nodagi tengsizlikka teng: f(x) > g(x). 0 bo'lsa< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) qarama -qarshi ma'no tengsizligiga teng: f(x) < g(x).

Misol 7. Tengsizlikni hal qiling:

Yechim: biz asl tengsizlikni quyidagi shaklda ifodalaymiz:

Bu tengsizlikning ikkala tomonini 3 2 ga bo'ling x, bundan tashqari (funktsiyaning ijobiyligi tufayli) y= 3 2x) tengsizlik belgisi o'zgarmaydi:

Keling, almashtirishni ishlatamiz:

Keyin tengsizlik quyidagi shaklni oladi:

Shunday qilib, tengsizlikning echimi - bu interval:

teskari almashtirishga o'tib, biz quyidagilarni olamiz:

Chap tengsizlik, eksponensial funksiyaning ijobiyligi tufayli avtomatik ravishda bajariladi. Logarifmning ma'lum xususiyatidan foydalanib, biz tengsizlikka o'tamiz:

Darajaning asosi birdan katta raqam bo'lgani uchun ekvivalent (2 -teorema bo'yicha) quyidagi tengsizlikka o'tish bo'ladi:

Shunday qilib, biz nihoyat olamiz javob:

Misol 8. Tengsizlikni hal qiling:

Yechim: kuchlarni ko'paytirish va bo'linish xususiyatlaridan foydalanib, biz tengsizlikni quyidagi shaklda qayta yozamiz:

Keling, yangi o'zgaruvchini kiritaylik:

Ushbu almashtirishni hisobga olgan holda, tengsizlik quyidagi shaklni oladi:

Kasrning hisoblagichi va maxrajini 7 ga ko'paytirib, biz quyidagi tengsizlikni olamiz:

Demak, o'zgaruvchining quyidagi qiymatlari tengsizlikni qondiradi t:

Keyin teskari almashtirishga o'tamiz, biz quyidagilarni olamiz:

Bu erda daraja bazasi bittadan katta bo'lgani uchun ekvivalent (2 -teorema bo'yicha) tengsizlikka o'tish:

Nihoyat olamiz javob:

Misol 9. Tengsizlikni hal qiling:

Yechim:

Biz tengsizlikning ikkala tomonini ifoda bilan ajratamiz:

U har doim noldan katta (eksponensial funksiyaning ijobiyligi tufayli), shuning uchun tengsizlik belgisini o'zgartirish shart emas. Biz olamiz:

t oraliqda joylashgan:

Teskari almashtirishga o'tib, biz aniqlaymizki, tengsizlik ikkita holatga bo'linadi:

Eritmalarning birinchi tengsizligi eksponent funktsiyasining ijobiyligiga bog'liq emas. Biz ikkinchisini hal qilamiz:

Misol 10. Tengsizlikni hal qiling:

Yechim:

Parabola novdalari y = 2x+2-x 2 pastga yo'naltiriladi, shuning uchun u yuqoridan uning yuqori qismiga etib kelgan qiymat bilan chegaralanadi:

Parabola novdalari y = x 2 -2x Ko'rsatkichda turgan +2 yuqoriga yo'naltirilgan, demak u pastdan uning yuqori qismiga etib kelgan qiymat bilan chegaralangan:

Shu bilan birga, funktsiya y = 3 x 2 -2x Tenglamaning o'ng tomonida +2. U eng kichik qiymatiga eksponentda parabola bilan bir vaqtda yetadi va bu qiymat 3 1 = 3 ga teng. Demak, asl tengsizlik faqat chapda va funktsiyada o'ngda bir nuqtada 3 ga teng qiymatni oling (faqat bu raqam bu funktsiyalar qiymatlari diapazonining kesishishi). Bu shart bir nuqtada bajariladi x = 1.

Javob: x= 1.

Yechishni o'rganish uchun eksponensial tenglamalar va tengsizliklar, ularni hal qilishda doimo mashq qilish kerak. Bu qiyin masalada har xil o'quv qurollari, boshlang'ich matematika bo'yicha muammo kitoblari, raqobatbardosh masalalar to'plamlari, maktabda matematika darslari, shuningdek individual sessiyalar professional o'qituvchi bilan. Sizga chin dildan tayyorgarlik ko'rishda muvaffaqiyat va imtihonda a'lo natijalar tilayman.

Sergey Valerievich

P. S. Aziz mehmonlar! Iltimos, izohlarda tenglamalaringizni hal qilish uchun ariza yozmang. Afsuski, bunga umuman vaqtim yo'q. Bunday xabarlar o'chiriladi. Iltimos, maqolani o'qing. Ehtimol, unda siz o'zingizning vazifangizni o'zingiz hal qilishga imkon bermagan savollarga javob topasiz.