Lifial hisoblash - Differentsial hisoblashdagi eng muhim operatsiyalardan biri. Quyida oddiy funktsiyalarning hosilalarini topish jadvali. Ko'proq murakkab farqlash qoidalari, boshqa saboqlar:

• Eksport ma'lumotlari va logarifmik funktsiyalarining derivativlari jadvali

Cheklangan formulalar ma'lumotnomalar sifatida ishlatilgan. Ular differentsial tenglamalar va vazifalarni hal qilishda yordam beradi. Rasmda, oddiy funktsiyalar jadvalida, foydalanish uchun shakllantirilgan loterativning hosilasining asosiy ishlarining stolida, uning yonidagi har bir holat uchun tushuntirishlar mavjud.

Oddiy funktsiyalarning hosilalari

1. Raqamning hosilasi nolga teng
c '\u003d 0.
Misol:
5 '\u003d 0.

Tushuntirish:
Differentgent o'zgarishlar o'zgarganda hosila funktsiya qiymatini o'zgartirish tezligini ko'rsatadi. Hech qanday holatda bo'lmagan raqam o'zgarmasa - uning o'zgarishi tezligi har doim nolga teng.

2. O'zgaruvchining hosilasi birlikka teng
x '\u003d 1.

Tushuntirish:
Har bir dunkulyatsiyaning har bir o'sishiga (x), funktsiyaning qiymati (hisob-kitoblarning natijasi) bir xil o'lchamda ortadi. Shunday qilib, y \u003d x funktsiyasining o'zgarishi tezligi argumentning qiymatini o'zgartirish tezligiga aniqdir.

3. O'zgaruvchining hosilasi va multiplikator ushbu omilga teng
cX '\u003d S.
Misol:
(3x) '\u003d 3
(2x) '\u003d 2
Tushuntirish:
Bu holda, funktsiyaning har bir o'zgarishi bilan ( h.) Uning qiymati (Y) o'sib bormoqda dan vaqt. Shunday qilib, maqsadning o'zgarishi tezligiga nisbatan funktsiyaning o'zgarishi tezligi aniqdir dan.

U qayerdan
(CX + b) "\u003d c
ya'ni y \u003d kx + b chiziqli funktsiyaning differentsialligi (KX + B) burilish koeffitsial koeffitsialga teng.

4. Modul hosilasi xususiy bir o'zgaruvchiga uning moduliga teng
| x |\u003d x / | x | Agar x ≠ 0 bo'lsa
Tushuntirish:
O'zgaruvchan hosilaforatidan beri (2 formulaga qarang) Modulning hosilasi faqat kelib chiqishi kelib chiqishi nuqtasi o'tganida, funktsiya funktsiyasining qiymati keskin o'zgaruvchanligi bilan ajralib turadi (y \u003d | x funktsiyasini chizishga urinib ko'ring. O'zingizni ishonch hosil qiling. Qiymat va qaytish X / | x | ni qaytaradi. X / | x |< 0 оно равно (-1), а когда x > 0 - birlik. Ya'ni o'zgaruvchining salbiy qiymatlari bilan har safar tortishish o'zgarishi bilan, funktsiyaning qiymati bir xil qiymatga kamayadi va ijobiy tomonlar bilan - bu kuchayadi, lekin bir xil ma'noga ega.

5. Diplom hosila bu darajadagi va o'zgaruvchining 1 darajasiga teng darajaga teng darajaga teng
(x c) "\u003d CX C-1, X va CX C-1 aniqlangan va c ≠ 0
Misol:
(x 2) "\u003d 2x
(x 3) "\u003d 3x 2
Formulani yodlash:
"Pastga" o'zgaruvchini takomillashtirish darajasini oshiring, so'ngra birlik uchun daraja darajasini kamaytiring. Masalan, X 2 - Ikkita ICAdan oldin chiqdi, so'ngra qisqartirilgan daraja (2-1 \u003d 1) bizga 2x ni berdi. Xuddi shu narsa x 3 - eng yaxshi uchta "pastga tushish", biz uni birligi uchun kamaytiramiz va kubning o'rniga biz kvadrat, ya'ni 3x 2 ga egamiz. Ozgina "ilmiy jihatdan", ammo eslab qolish juda oson.

6. Olinadigan 1 / soat.
(1/ x) "\u003d - 1 / x 2
Misol:
Fraktsiyadan salbiy daraja qurilishi sifatida tasvirlanganligi sababli
(1 / x) "\u003d (x -1)", keyin siz bu formulani dervatoriy jadvalning 5-qoidadan qo'llashingiz mumkin
(X -1) "\u003d -1x -2 \u003d - 1 / x 2

7. Olinadigan o'zgaruvchan daraja bilan Denominatorda
(1 / x c) "\u003d - c / x C + 1
Misol:
(1/ x 2) "\u003d - 2 / x 3

8. Ildiz derivativ (kvadrat ildiz ostida o'zgaruvchan hosila)
(√x) "\u003d 1 / (2-chi) yoki 1/2 x -1/2
Misol:
(√x) "\u003d (x 1/2)" Shunday qilib, siz 5-qoidadan formulani qo'llashingiz mumkin
(x 1/2) "\u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2-chi)

9. Tasodifiy darajadagi hosilativ o'zgaruvchini
(n @x) "\u003d 1 / (n ~ n-1)

Differani topishning farqlanishi farqlanadi.

Differentsiyaga bo'lgan munosabat chegarasi sifatida eng oddiy (unchalik oddiy bo'lmagan) funktsiyalaridan lotinni aniqlash muammolarini hal qilish natijasida hosila, derivativlar jadvali va aniq belgilangan tartibsizlik qoidalari paydo bo'ldi. Is'aAc Nyuton (1643-1727) va birinchi bo'lib dotselinali hosilalarni topishda birinchi o'rinni egalladilar.

Shuning uchun bizning davrimizda har qanday funktsiyani topish uchun funktsiyani oshirish nisbati yuqori bo'lganligini hisoblash shart emas va siz faqat derivativlar va farqlash qoidalari jadvalidan foydalanishingiz kerak . Liferatsiyani topish uchun quyidagi algoritm mos keladi.

Lotterni topish uchun, insultning belgisi ostida ifodalash kerak oddiy funktsiyalarning tarkibiy qismlarini qismlarga ajrating va qanday harakatlarni aniqlang (Ish, miqdor, shaxsiy) Ushbu funktsiyalar ulanadi. Keyinchalik, boshlang'ich funktsiyalarning hosilalari hosilalar jadvalida, derivativlar, miqdorlar va xususiy - farqlash qoidalarida mavjud. Differa va farqlash qoidalari birinchi ikkita misoldan keyin keltirilgan.

1-misol. Drivatoriy funktsiyani toping

Qaror. Farqlash qoidalaridan, biz funktsiyalar funktsiyalarining hosilasi derivativlar miqdori, i.e.

Differa stolidan biz "ICCA" ning hosilasi bir biriga teng ekanligini va sinus hosilasi kosine ekanligini bilib olamiz. Ushbu qiymatlarni hosilalar miqdori miqdorida almashtiramiz va biz hosila ishining zaruriy holatini topamiz:

2-misol. Drivatoriy funktsiyani toping

Qaror. Doimiy omilga ega bo'lgan ikkinchi muddatning doimiy omiliga ega bo'lgan derivativ summa sifatida farqlash:

Agar hali savollar bo'lsa, u qaerdan olingan joydan, ular odatda stol loterativlari va eng oddiy farqlash qoidalari bilan tanishishdan keyin aniqlik kiritiladi. Biz hozir ular bilan boramiz.

Olingan oddiy funktsiyalar jadvali

1. Differentsiv doimiy (raqamlar). Funktsiyaning ifodasida bo'lgan har qanday raqam (1, 2, 5, 200 ...). Har doim nolga teng. Shuni esda tutish juda muhim, chunki u juda tez-tez kerak
2. Mustaqil o'zgaruvchining hosilasi. Ko'pincha "Iksa". Har doim bittaga teng. Bundan tashqari, uzoq vaqt davomida eslab qolish muhimdir.
3. Noto'g'ri darajada. Vazifalarni echish darajasi sizdan fojiali ildizlarni o'tkazish kerak.
4. 1-darajali o'zgaruvchan derivativ
5. Kvadrat ildiz hativatsiya
6. Sinus hosilasi
7. Kosinalik hosila
8. Differentsial tangent
9. Kotangensning hosilasi
10. Arksinli hosila
11. Arckosiinus hosilasi
12. Arctanten hosilativ
13. Arkotangen derivativ
14. Tabiiy logarifmning hosilasi
15. Logarativ funktsiyasi
16. ko'rgazma hativativ
17. Diferativ indikativ funktsiya

Farqlash qoidalari

1. Diferativ yoki farq
2. Liferativ ish
2a. Shafqatning derivasi doimiy ko'payib boradi
3. Xususiy hativatativ
4. Liferativ kompleks funktsiya

1-qoida. Agar funktsiyalar bo'lsa

ba'zi bir nuqtada, keyin bir xil nuqtai nazar va funktsiyalarda

va

ular. Aqlli funktsiyalarning hosilasi ushbu funktsiyalarning leyvivining algebraik miqdori tengdir.

Jamoa. Agar ikkita turli xil funktsiyalar doimiy muddatda farq qilsa, ularning derivativlari tengdir.

2-qoida.Agar funktsiyalar bo'lsa

ba'zi bir joyda, keyin bir xil joyda boshqacha va ularning ishi

va

ular. Ikkala funktsiyalarning hosilasi ushbu funktsiyalarning har birining har birining turli xil hativatatsiyasida tengdir.

1 ta roziyaly. Doimiy multiplikator deriativ belgisi uchun amalga oshirilishi mumkin:

2 ta roziyaly. Bir nechta turli xil funktsiyalarning ishining hosilasi har bir omilning hosilasining barcha omillari miqdoriga teng.

Masalan, uchta ko'paytirgich uchun:

3-qoida.Agar funktsiyalar bo'lsa

ba'zi bir nuqtada differentsial va , keyin bu nuqtada boshqacha va ularning shaxsiyu / v va

ular. Xususiy ikkita funktsiyaning hosilasi ululagich va raqamdorator hosilasidagi hisobotchining denominatorining mahsuloti va sonining mahsulotidagi farqni anglatadi va denominator avvalgi raqamni tashkil qiladi .

Boshqa sahifalarda nimani qidirish kerak

Ishning hosilasini topishda va haqiqiy vazifalarda xususiy tadbirlarda bir nechta farqlash qoidalari har doim qo'llanilishi mumkin, shuning uchun ushbu derivativlar uchun misollar - maqolada - maqola"Difativ ish va xususiy funktsiyalar".

Sharh.U doimiy (ya'ni raqam), teng miqdordagi va doimiy mulozikator sifatida chalkashib ketmasligi kerak! Jamg'arma holatida, uning hosilasi nolga teng va doimiy mulozikli marotaba, u hosilalar belgisi uchun yuboriladi. Bu odatdagi xato boshlang'ich bosqich Derivanumlarni o'rganish, ammo bir nechta bir nechta jildli misollar allaqachon hal qilingan o'rta talaba Bu xato endi qilmaydi.

Va agar ish yoki xususiy bo'lsa, sizda atama paydo bo'ldi u."v. , qaysi u. - Masalan, 2 yoki 5, ya'ni doimiy, bu raqamning dumiati nolga teng bo'ladi va shuning uchun barcha muddati 10-misolda demontaj qilingan).

Yana bir tez-tez xato - bu oddiy funktsiyaning dumisifatida. shu sababli liferativ kompleks funktsiya Alohida maqola. Ammo avval oddiy funktsiyalarning hosilalarini topishni o'rganamiz.

Kursda, iboralarni o'zgartirishsiz qilmang. Buning uchun siz yangi Windows-da foyda olishingiz kerak bo'lishi mumkin. Darajalari va ildizlari bo'lgan harakatlar va Fraktsiyalar bilan harakatlar .

Agar siz darajalar va ildizlarga ega bo'lgan hosilalarning echimlarini qidirsangiz, bu funktsiya turga o'xshaydi , "Fraktsiyalar va ildizlar bilan fraktsiyalarning hosilasi" kasbiga amal qiling.

Agar sizda vazifa bo'lsa , keyin siz "Oddiy trigonometrik funktsiyalarning hosilalarida "siz.

Bosqichma-bosqich misollar - hosila qanday topish mumkin

3-misol. Drivatoriy funktsiyani toping

Qaror. Biz funktsiyaning ifodasining bir qismini aniqlaymiz: butun ifoda ishni anglatadi va uning omillari ikkinchi shartdan biri doimiy multiplikator mavjud. Biz mahsulotni iste'mol qilishdan foydalanamiz: ikkita funktsiya ishining hosilasidir, ushbu funktsiyalarning har birining har birining har birining har birining ishiga tengdir:

Keyinchalik, farqlash miqdorini qo'llang: algebraik miqdordagi funktsiyalarning hosilasi ushbu funktsiyalarning algebraik miqdoriga tengdir. Bizning holatimizda, har bir summa ikkinchi muddat minus belgisi bilan. Har bir summada biz ko'rib chiqamiz va mustaqil o'zgaruvchimiz, uning hosilasi bitta va doimiy (raqam), uning hativalenti nolga teng. Shunday qilib, biz "x" biz biriga aylanamiz va minus 5 - nolga teng. Ikkinchi "x" iborasida 2 ga ko'paytiriladi, shuning uchun ikkalasi bir xil birlik bilan "Iksa" ning hosilasi bilan ko'payadi. Biz derivativlarning quyidagi qiymatlarini olamiz:

Topilgan hiylalarni ishlarning miqdorida almashtiramiz va barcha funktsiyaning hosilasi bilan talab qilinadigan shartni olishimiz mumkin:

4 misol. Drivatoriy funktsiyani toping

Qaror. Biz xususiy hativatsiyani topishimiz kerak. Xususiylikni farqlash formulasi yordamida: Xususiy ikkita funktsiyaning hosilasi fraktsiyaga teng, uning hisoblagichi, hisoblovchi hosilazning hosilasi va smiterator hosilasi bo'yicha hisoblagich va raqamchining mahsulotlarining farqidir Denominator avvalgi raqamning kvadratidir. Biz olamiz:

Biz allaqachon Numersertda ommoltelda omillarni topdik. Maykerdagi raqamli zavodda ishning ikkinchi o'rni bilan olingan ikkinchi zavodning minus belgisi bilan olinganligini ham unutmayman:

Agar siz ildiz va darajadagi ishlarni, masalan, ildiz va darajalardagi qattiq irqlarni topish kerak bo'lsa, masalan, , keyin kasbga xush kelibsiz "Bir daraja va ildizlar bilan fraktsiyalarning hosilasi" .

Agar siz sinuslar, kosin, tangentslar va boshqa tigonometrik funktsiyalar haqida ko'proq ma'lumot olishingiz kerak bo'lsa, bu funktsiya kabi ko'rinadi Keyin siz darsdasiz "Oddiy trigonometrik funktsiyalarning hosilalari" .

5-misol. Drivatoriy funktsiyani toping

Qaror. Ushbu xususiyatda biz ishni ko'ramiz, buning birortasi - kvadrat ildiz Bu haqda dunyoning derivativlar jadvalida tanishganimiz bilan. Mahsulotning kelib chiqishi va kvadrat ildizi hativatining stol qiymatiga ko'ra, biz olamiz:

6-misol. Drivatoriy funktsiyani toping

Qaror. Ushbu xususiyatda biz shaxsiy o'zgaruvchining kvadrat ildizi ekanligini ko'ramiz. Biz 4-misolda takrorlanadigan va qo'llaniladigan xususiyni farqlash qoidasiga binoan, biz kvadrat ildiz ildizining glatival qiymatini olamiz:

Rumeratordagi kasrdan xalos bo'lish, raqamni ko'paytiring va denominatorga ko'paytiring.

Birinchi daraja

Olingan funktsiya. To'liq qo'llanma (2019)

Tog'li hududdan o'tib ketayotgan to'g'ri yo'lni tasavvur qiling. Ya'ni, u yuqoriga ko'tariladi, lekin o'ng yoki chapga burilmaydi. Agar o'q yo'l bilan gorizontal ravishda yo'naltirilgan bo'lsa va - vertikal ravishda, yo'lning chizig'i ba'zi doimiy funktsiya jadvaliga juda o'xshash bo'ladi:

Eksa nol balandlikning ma'lum bir darajasi, biz dengiz darajasidan foydalanamiz.

Bunday yo'lda oldinga siljish, biz ham yuqoriga yoki pastga siljitamiz. Biz ham shunday deyishimiz mumkin: argument o'zgarganda (abssissa o'qi bo'ylab rivojlangan) funktsiyalarning qiymati o'zgarishi (mardiy o'q davomida harakat). Keling, yo'limizning "tikligi" ni qanday aniqlash haqida o'ylaylikmi? Bu kattalik uchun nima bo'lishi mumkin? Juda oddiy: ma'lum bir masofaga yo'naltirilganda balandlik o'zgaradi. Axir, yo'lning turli qismlarida (abssissa o'qi bo'ylab) bir kilometrga, dengiz sathiga nisbatan turli xil metrni (mardikor o'quvchilarga) tushamiz yoki kamaytiramiz.

Reklamani belgilash uchun oldinga siljish ("delta x" ni o'qing).

Matematikada yunoncha harf (delta) odatda "o'zgarish" degan ma'noni anglatadi. Ya'ni - bu qiymat o'zgarishi - o'zgarish; Keyin nima? Bu to'g'ri, qiymatni o'zgartirish.

Muhim: ifoda - bu bitta butun son, bitta o'zgaruvchan. Siz "Iksa" dan "delta" yoki boshqa harfni hech qachon yirtib tashlashingiz mumkin! Bu, masalan.

Shunday qilib, biz oldinga, gorizontal ravishda ,. Agar yo'lning chizig'i biz funktsiyani grafika bilan taqqoslaymiz, keyin qanday qilib o'sishni belgilaymiz? Albatta,. Ya'ni yuqorida ko'tarilganimizda oldinga siljish.

Miqdorni hisoblash juda oson: agar boshida biz balandlikda bo'lganimizda va harakatdan so'ng, keyin balandlikda edi. Agar oxirigacha boshlang'ichdan past bo'lsa, u salbiy bo'ladi - bu biz ko'tarmaymiz, lekin tushirishimiz kerak.

Keling, "tikilish" ga qaytaylik: birlik masofaga o'tishda oldinga siljish paytida balandlikni qanchalik kuchaytiradigan qiymat:

Aytaylik, Km-da yo'lda yo'lda yo'lda yuqoriga ko'tarilganda yuqoriga ko'tariladi. Keyin bu erda tik turish teng. Va agar m bilan birga bo'lishni targ'ib qilsa? Keyin dure tengdir.

Endi ba'zi tepalikning yuqori qismini ko'rib chiqing. Agar siz saytning boshlanishini yarim kilometrni tepaga, oxirigacha, oxiri - yarim kilometrdan keyin, balandligi deyarli bir xil ekanligini ko'rish mumkin.

Ya'ni bizning mantiqamizda bu erda tik turish deyarli nolga teng ekanligi aniq, ya'ni aniq emas. Km masofasida juda ko'p o'zgarishi mumkin. Kichik aloqalarni tikishning yanada etarli va aniq baholashini hisobga olish kerak. Masalan, agar siz bitta metrga o'tishda balandlikdagi o'zgarishlarni o'lchasa, natijada aniqroq bo'ladi. Ammo bu aniqlik biz uchun etarli bo'lmasligi mumkin - chunki agar yo'lning o'rtasida ustun bo'lsa, biz shunchaki uni kesib o'tishimiz mumkin. Qanday masofadan tanlang? Santimetr? Millimetr? Kamroq yaxshiroq!

Ichida haqiqiy hayot Masofani Milimitrom bilan aniqlik bilan o'lchang - etarli darajada. Ammo matematiklar har doim mukammallikka intilishadi. Shuning uchun kontseptsiya ixtiro qilingan cheksiz kichikYa'ni, modulning kattaligi har qanday raqamdan kamroq. Masalan, siz: bir trillion! Kamroq qayerda? Va siz ushbu raqamni yoqib yubordingiz - va u kamroq bo'ladi. Va boshqalar. Agar kattalik cheksiz kichik ekanligini yozmoqchi bo'lsak, biz shunga o'xshash yozamiz: (men "x nolga intilmoqda"). Buni tushunish juda muhimdir bu raqam nol emasligini! Lekin unga juda yaqin. Bu shuni anglatadiki, uni unga bo'lish mumkin.

Qarama-qarshi tushuncha cheksiz kichik - cheksiz katta (). Ehtimol siz tengsizlik bilan shug'ullanayotganimda u bilan u bilan urib yuborgansiz: Bu ixtiro qilinmaydigan har qanday raqamdan tashqari modulning soni. Agar siz mumkin bo'lgan raqamlarning eng kattasi bilan kelsangiz, uni ikki ga ko'paytiring va u yanada ko'proq bo'ladi. Va cheksizlik bundan ham ko'proq. Aslida, cheksiz katta va cheksiz kichik bir-birlarini, ya'ni va aksincha, qachon va qachondir.

Endi bizning yo'limizga qaytadi. To'g'ri hisoblangan tikanlik - bu yo'lning cheksiz kichik bir segmenti uchun hisoblangan barg.

Shuni ta'kidlashimki, cheksiz kichik harakat bilan balandlikning o'zgarishi juda kichik bo'ladi. Ammo men sizga eslayman, cheksiz kichik - nolga teng degani emas. Agar siz bir-birining cheksiz kichik raqamlariga ega bo'lsangiz, bu juda oddiy raqam bo'lishi mumkin. Ya'ni, bitta qiymat yana bir bordan ko'proq bo'lishi mumkin.

Bularning barchasi nima? Yo'l, tik turish ... biz mitingga bormaymiz va matematikadan o'rganamiz. Matematikada hamma narsa xuddi shunday, faqat boshqacha deb nomlanadi.

Hosilafot tushunchasi

Funktsiyaning hosilasi - funktsiyaning o'sishining o'sishi, dalilning cheksiz o'sishi bilan dalilni oshirishga nisbati.

O'sish Matematik qo'ng'iroq o'zgarishi. Axis bo'ylab harakatlanishda siz qanchalik o'zgargan bo'lsa () tortishuvni oshirish va o'q uzaytirilganda funktsiya o'zgartirilganda (balandligi) o'zgartirilganiga, deyiladi. funktsiyani oshirish va belgilanadi.

Shunday qilib, olingan funktsiya qachon. Biz bir xil harfning hosilasini, faqat o'ng tomonda urish bilan: yoki oddiygina. Shunday qilib, biz ushbu notadan foydalanib biz lotin formulani yozamiz:

Bu erda qimmatga kirgan holda, funktsiyaning ko'payishi bilan, hosilasi ijobiy va pasayish salbiy bo'lsa.

Hosila nolga to'g'ri keladimi? Ishonch hosil qiling. Masalan, agar biz tekis gorizontal yo'l bilan ketayotgan bo'lsak, dure nolga teng. Va haqiqat shundaki, balandligi butunlay o'zgarmaydi. Shunday qilib, lotin bilan: doimiy funktsiyaning deriori (doimiy) nolga teng:

bunday funktsiyaning o'sishi har qanday holatda nolga teng.

Keling, tepalikning misolini eslaylik. Segmentning uchlarini oxirigacha qo'yishingiz mumkinligi ma'lum bo'ldi, chunki uchlari balandlikdagi balandlik bir xil bo'lib chiqadi, shunda segment parallel o'qda joylashgan:

Ammo katta segmentlar noaniq o'lchov belgisidir. Biz o'zingizga parallel ravishda o'zingizga parallel ravishda ko'taramiz, keyin uning uzunligi pasayadi.

Oxir-oqibat, biz eng yuqori darajada yaqin bo'lganimizda, segmentning uzunligi juda kichik bo'ladi. Ammo bir vaqtning o'zida u o'qga parallel bo'lib qoldi, ya'ni uning uchidagi balandlik farqi nolga teng (qidirmaydi, ya'ni teng). Juda hosila

Buni tushunish mumkin: agar biz yuqorisining tepasida tursak, balandligimizning chap yoki o'ngdagi o'zgarishlari unchalik ahamiyatsiz.

To'satdan algebraik tushuntirish mavjud: funktsiyaning chap tomoni va o'ngga pasayadi. Oldindan bilib olganimizdek, funktsiyalarning ko'payishi bilan hosilam ijobiy va pasayish salbiy hisoblanadi. Ammo u silliq, sakrashsiz o'zgaradi (chunki yo'l istalgan joyda qiyalikni o'zgartirmaydi). Shuning uchun salbiy va ijobiy qiymatlar orasida bo'lishi kerak. U vertexning oshishi va kamaytiradigan joyda, u erda u hech qanday o'smaydi va kamayadi -

Depressiya uchun ham xuddi shunday (chap tomondagi funktsiya bo'lgan hudud pasayadi va o'ng tomonda - oshadi):

Ko'payish haqida biroz ko'proq.

Shunday qilib, biz bahsni kattalik orqali o'zgartiramiz. Qaysi qiymatdan o'zgaradi? U hozir u (argument) nima? Biz har qanday vaqtda tanlashimiz mumkin, endi biz undan raqsga tushamiz.

Koordinata bilan fikrni ko'rib chiqing. Undagi funktsiyaning qiymati teng. Keyin o'sish uchun biror narsani qiling: muvofiqligini oshiring. Endi bahs nima? Juda oson: . Va hozir funktsiyaning qiymati nima? Argument, u erda va funktsiya :. Va funktsiyaning o'sishi haqida nima deyish mumkin? Hech narsa yangilik: Bu hali ham funktsiya o'zgargan:

O'tkazish uchun amaliyot:

1. Dalil ortib borayotgan paytda funktsiyaning o'sishini toping.
2. Nuqtada funktsiya uchun bir xil.

Yechimlar:

Birida turli nuqtalarda va bir xil tortishuvning o'sishi, funktsiyani oshirish boshqacha bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, har bir nuqtada bu o'ziga xosdir (biz boshida muhokama qildik - turli nuqtalarda yo'lning tikligi boshqacha). Shuning uchun, biz hosilazni yozayotganda, siz qaysi vaqtda ko'rsatishingiz kerak.

Quvvat funktsiyasi.

Quvvat bir oz (mantiqiy, ha?) Bo'lgan vazifa deb ataladi.

Bundan tashqari, ikkalasiga ham :.

Eng oddiy ish, darajani ko'rsatkichi:

Biz uning hosilalarini topamiz. Biz lotinning ta'rifini eslaymiz:

Shunday qilib, ilgari argument o'zgaradi. Funktsiyaning o'sishi nima?

O'sishdir. Ammo har qanday nuqtada funktsiya uning argumentiga teng. Shuning uchun:

Lifatiativ:

Tengdan olingan:

b) Endi ko'rib chiqing kvadratik funktsiya (): .

Va endi buni eslang. Bu shuni anglatadiki, o'sishning qiymati e'tiborsiz qoldirilishi mumkin, chunki u cheksiz kichik va shuning uchun boshqa muddatning fonida ahamiyatsiz:

Shunday qilib, keyingi qoidada tug'ilganmiz:

c) Biz mantiqiy diapazonni davom ettiramiz :.

Ushbu ibora har xil usulda soddalashtirilgan bo'lishi mumkin: birinchi kronitetni kub miqdoridagi qisqartirilgan ko'paytirish formulasi bilan ochish yoki kublarning farq formulasi tomonidan butun ifodani ochib berish. Buni taklif qilingan yo'llar bilan bajarishga harakat qiling.

Shunday qilib, men quyidagilarni oldim:

Va yana eslang. Bu shuni anglatadiki, siz o'z ichiga olgan barcha shartlarga e'tibor bera olasiz:

Biz olamiz :.

d) shunga o'xshash qoidalar katta daraja uchun olish mumkin:

e) Ushbu qoida umumlashtirilganligi ma'lum bo'ldi quvvat funktsiyasi O'zboshimchalik bilan ko'rsatkichi bilan, hatto:

(2)

Siz qoidani quyidagi so'zlar bilan shakllantirishingiz mumkin: "Ilmiy koeffitsient sifatida amalga oshiriladi, so'ngra kamayadi".

Keyingi qoidani keyinroq isbotlaymiz (deyarli oxirida). Va endi bir nechta misollarni ko'rib chiqing. Olingan funktsiyalarni toping:

1. (ikki usulda: formula bo'yicha va lotivni aniqlashdan foydalanish - funktsiyaning oshishini hisobga olgan holda);

1. . Siz ishonmaysiz, lekin bu kuch funktsiyasi. Agar sizda biron bir savol bo'lsa "Bu qanday? Va darajasi qayerda? "Mavzuni eslang"!
   Ha, ildiz, shuningdek, faqat kasr:.
   Shunday qilib, bizning kvadrat ildizimiz indikator bilan bir daraja:
   .
   Biz yaqinda o'rganilgan formulani qidirmoqdamiz:

   Agar bu joyida bu tushunarsiz bo'lsa, mavzuni takrorlang "" !!! (salbiy ko'rsatkich bilan bog'liq)

2. . Hozirgi daraja ko'rsatkichlari:

   Va endi ta'rifdan (men hali unutmaganman):
   ;
   .
   Endi, odatdagidek, o'z ichiga olgan atamalarni e'tiborsiz qoldiring:
   .

3. . Oldingi holatlarning kombinatsiyasi:.

Trigonometrik funktsiyalar.

Bu erda biz eng yuqori matematikadan bitta haqiqatdan foydalanamiz:

Expeditsiya paytida.

Institutning birinchi yilida (va u erda bo'lish uchun siz uni yaxshi o'tishingiz kerak). Endi shunchaki grafikani ko'rsating:

Biz buni funktsiya mavjud bo'lmaganda - aholining grafikasi bo'yicha nuqta. Ammo qiymatga yaqinroq, funktsiyaga yaqinroq. Bu eng "intilish".

Siz qo'shimcha ravishda ushbu qoidani kalkulyator yordamida tekshirishingiz mumkin. Ha, ha, uyatchang bo'lmang, kalkulyator oling, biz hali imtihonda emasmiz.

Shunday qilib, sinab ko'ring :;

Kalkulyatorni "radialar" rejimiga o'tkazishni unutmang!

va hokazo. Biz kichikroq, munosabatlarning qanchalik yaqinligini ko'ramiz.

a) funktsiyani ko'rib chiqing. Odatdagidek, biz uning o'sishini topamiz:

Ishga bo'lgan gunohlarni o'zgartiring. Buning uchun biz formuladan foydalanamiz (Mavzuni eslab qoling) :.

Endi hosilasi:

Biz almashtiramiz :. Keyin, juda oz kichik bo'lsa, u juda oz kichik:. Shaklni qabul qilish ibora:

Va endi siz aytganda, esda tutasiz. Va, shuningdek, agar cheksiz past qiymat miqdori (ya'ni qachon) bo'lsa, e'tibor bermasa.

Shunday qilib, biz quyidagi qoidani olamiz: Cosine-ga teng bo'lgan sinus hosilasi:

Bu asosiy ("jadvallar") hosilalari. Bu erda ular bitta ro'yxat:

Keyinchalik biz ularga yana bir nechta qo'shilamiz, ammo bu eng muhimi, ular ko'pincha ishlatilgan.

Amaliyot:

1. Noto'g'ri funktsiyani toping;
2. Olingan funktsiyani toping.

Yechimlar:

1. Avvaliga biz u umumiy shaklda topamiz va keyin uning qiymatini almashtiramiz:
   ;
   .
2. Bu erda bizda quvvat funktsiyasiga o'xshash narsa bor. Keling, uni olib kelishga harakat qilaylik
   Oddiy shakl:
   .
   A'lo darajada, endi formulani ishlatishingiz mumkin:
   .
   .
3. . Eeeeee .... nima o'zi ????

Mayli, siz haqsiz, biz hali ham bunday loterliklarni qanday topishni bilmaymiz. Bu erda bizda bir nechta funktsiyalarning kombinatsiyasi mavjud. Ular bilan ishlash uchun yana bir nechta qoidalarni o'rganishingiz kerak:

Eksponent va tabiiy logarifm.

Matematikada shunday funktsiya mavjud, ularning hosilasi xuddi shu tarzda funktsiyaning teng qiymati bir xil darajada. U "ko'rgazmachi" deb nomlanadi va bu ko'rsatkichdir

Ushbu funktsiyaning asosi doimiy - bu cheksiz o'nlikYa'ni, raqam irratsional (masalan). Unga "Eyler soni" deb nomlanadi, shuning uchun xatni belgilaydi.

Shunday qilib, qoida:

Juda oson eslang.

Xo'sh, keling, uzoqqa bormaylik teskari funktsiya. Indikativ funktsiyani teskari qanday funktsiya? Logarifm:

Bizning holatimizda, bu raqam:

Bunday logarifm (ya'ni bazadagi logaralit) "tabiiy" deb nomlanadi va buning uchun biz maxsus belgilardan foydalanamiz: yozish o'rniga maxsus belgidan foydalanamiz.

Nimaga teng? Albatta, .

Tabiiy logarifmning hosilasi ham juda oddiy:

Misollar:

1. Olingan funktsiyani toping.
2. Olingan funktsiya nimaga teng?

Javoblar: Eksponent I. tabiiy logarifm - Funktsiyalar lotin nuqtai nazaridan juda oddiy. Birja va logarifmik funktsiyalar boshqa bir baza bilan yana bir lotorga ega bo'ladi, keyinchalik siz bilan, siz bilan farqlash qoidalarini o'tkazib yuborgandan keyin tahlil qilamiz.

Farqlash qoidalari

Qoidalar nima? Yana yangi atama yana?!

Farqlash - Bu lotinni topish jarayoni.

Faqat va hamma narsa. Va bu jarayonni bitta so'z bilan yana qanday nomlash kerak? ISHLAB CHIQARMAYDI ... Matematikani farqlash funktsiyaning eng oshishi deb ataladi. Ushbu atama lotin rangidan sodir bo'ladi - farq. Bu yerda.

Ushbu qoidalarni namoyish etganda, biz ikkita funktsiyani, masalan, va. Ularning o'sishi uchun bizda formulalar kerak bo'ladi:

Jami 5 qoida mavjud.

Doimiy ravishda lotin belgisidan qilingan.

Agar - bir doimiy doimiy raqam (doimiy), keyin.

Shubhasiz, bu qoida farq uchun ishlaydi :.

Biz isbotlaymiz. Yoki osonroq.

Misollar.

Olingan funktsiyalarni toping:

1. nuqtada;
2. nuqtada;
3. nuqtada;
4. nuqtada.

Yechimlar:

1. (Horijiy narsalarning barchasi bir xil, chunki u chiziqli funktsiya, esda tutingmi?);

Olingan ish

Bu erda hammasi o'xshash: biz yangi funktsiyani taqdim etamiz va uning o'sishini topamiz:

Difativ:

Misollar:

1. Funktsiyalarning hosilalarini toping va;
2. Pog'onada hosilalarni toping.

Yechimlar:

Differentsiya funktsiyasi

Endi sizning bilimingiz har qanday indikativ funktsiyani qanday topishni o'rganish uchun etarli, nafaqat ishtirokchilar (nima ekanligini unutib qo'ygan).

Shunday qilib, ba'zi raqamlar qayerda.

Biz allaqachon lotiyani bilamiz, shuning uchun o'z funktsiyamizni yangi bazaga olib borishga harakat qilaylik:

Buning uchun biz oddiy qoidadan foydalanamiz :. Keyin:

Xo'sh, u tugadi. Endi hosilasini topishga harakat qiling va bu xususiyat murakkab ekanligini unutmang.

Sodir bo'ldi?

Bu erda o'zingizni tekshiring:

Formula lotsiv ko'rgazmaga juda o'xshash bo'lib chiqdi: xuddi shunday bo'lib qoldi, bu faqat ko'p, bu shunchaki raqam, ammo o'zgaruvchan emas.

Misollar:
Olingan funktsiyalarni toping:

Javoblar:

Bu shunchaki kalkulyatorsiz hisoblanmaydigan, ya'ni sodda shaklda qayd etilishi mumkin emas. Shuning uchun, ushbu shaklga javoban va qoldiring.

Logarativ logarifmik funktsiya

Shunga o'xshash: siz tabiiy logarifm tilidan logivativni bilasiz:

Shuning uchun, logarifmdan o'zboshimchalik bilan boshqa sabab bilan topish uchun, masalan:

Ushbu logaritmni bazaga olib kelishingiz kerak. Kogaritm asosini qanday o'zgartirish mumkin? Umid qilamanki, siz ushbu formulani eslaysiz:

Faqat endi biz yozamiz:

Denominatorda bu doimiy (doimiy raqam, o'zgaruvchisiz) bo'lib chiqdi. Difati juda oddiy:

Derivativlar I. logarifmik funktsiyalar Imtihonda deyarli topilmadi, lekin ularni bilish juda ortiqcha bo'lmaydi.

Differa funktsiyasi.

"Murakkab funktsiya" nima? Yo'q, bu ARCTHangens emas, balki logaritm emas. Ushbu funktsiyalar tushunish uchun kompleks bo'lishi mumkin (agar logarifm sizga qiyin bo'lsa ham, "logarifmlar" mavzusini o'qing, ammo matematika nuqtai nazaridan "murakkab" so'zi "qiyin" degani emas.

Kichkina konveyerni tasavvur qiling: ikki kishi o'tirgan va ba'zi narsalar bilan qandaydir harakat qilishadi. Masalan, birinchi shokolad o'rashda shokoladni o'rab oladi va ikkinchisi esa lenta bilan anglatadi. U bunday integral ob'ektni o'zgartiradi: lenta bilan o'ralgan shokoladli shokolad. Shokoladni iste'mol qilish uchun siz qilishingiz kerak teskari harakat teskari tartibda.

Shunga o'xshash shunga o'xshash matematik konveyer yaratamiz: avval biz raqamning kosinasini topamiz, keyin natijada olingan raqam kvadratga o'rnatiladi. Shunday qilib, biz raqamni (shokolad) beramiz, men uning kosinasi (o'rash) ni topaman, keyin siz nima qilganim bilan, kvadratda (lentaga bog'lang). Nima bo'ldi? Funktsiya. Bu murakkab funktsiyaning misoli: biz uning ma'nolarini qachon amalga oshiramiz, biz birinchi harakatni to'g'ridan-to'g'ri o'zgaruvchi bilan amalga oshiramiz, so'ngra birinchisining natijasi bilan sodir bo'lgan yana bir harakat.

Biz ham xuddi shunday harakatlarni va teskari tartibda to'liq bajara olamiz: birinchi navbatda siz kvadratga o'rnatiladi, keyin men natijada olingan raqamni qidiraman:. Natijada deyarli har doim boshqacha bo'lishini taxmin qilish oson. Muhim xususiyat Murakkab funktsiyalar: Jarayon o'zgarganda funktsiya o'zgaradi.

Boshqa so'z bilan, murakkab funktsiya funktsiya, bu boshqa xususiyat bo'lgan argument.: .

Birinchi misol uchun,

Ikkinchi misol: (bir xil). .

Biz buni amalga oshiradigan harakatlar qo'ng'iroq qiladi "Tashqi" funktsiyasiva birinchi navbatda bajarilgan harakatlar "Ichki" funktsiyasi (Bular norasmiy ismlar, men ulardan faqat materialni sodda tilda tushuntirish uchun foydalanaman).

O'zimni tashqi ishning tashqi ishlashi va qaysi ichki ekanligini aniqlashga harakat qiling:

Javoblar:Ichki va tashqi funktsiyalarni ajratish o'zgaruvchini almashtirishga juda o'xshash: masalan, funktsiyada

1. Avval biz qanday amalni bajaramiz? Birinchidan, Sinusni o'ylab ko'ring, faqat kubga o'rnatildi. Shunday qilib, ichki funktsiya va tashqi.
   Va boshlang'ich funktsiya ularning tarkibi :.
2. Ichki :; Tashqi :.
   Tekshirish:.
3. Ichki :; Tashqi :.
   Tekshirish:.
4. Ichki :; Tashqi :.
   Tekshirish:.
5. Ichki :; Tashqi :.
   Tekshirish:.

biz o'zgaruvchilarni almashtirishni va funktsiyani olishni ta'minlaymiz.

Xo'sh, endi biz shokoladli shokoladni chiqaramiz - lotinni qidiramiz. Ushbu protsedura har doim o'zgartiriladi: avval biz tashqi funktsiyani qidirmoqdamiz, keyin natija ichki funktsiyaning hosilasida ko'payadi. Asl namunaga kelsak, bu quyidagicha:

Yana bir misol:

Shunday qilib, biz nihoyat rasmiy qoidani tuzdik:

Lifativ kompleks funktsiyasini topish uchun algoritm:

Bu oddiy ko'rinadi, ha?

Misollarni tekshiring:

Yechimlar:

1) ichki:;

Tashqi :;

2) ichki:;

(Faqat kesishni o'ylamang! Kosin ostidan hech narsa qilinmaydi, eslangmi?)

3) ichki:;

Tashqi :;

Shu zahotiyki, bu erda uch darajadagi murakkab funktsiya ekanligini ko'radi: u allaqachon murakkab funktsiyadir va u hali ham bu ildizni olib tashlaydi, ya'ni biz, biz uchinchi harakatni (shokoladli shokoladni va bilan birga qilamiz) lenta portfelga kirdi). Ammo qo'rqish uchun hech qanday sabab yo'q: barcha bir xil "och" bu funktsiya odatdagidek bir xil tartibda bo'ladi: oxir-oqibat.

Ya'ni, avval ildizdan, keyin kosine va undan keyin qavs ichida ifoda. Va keyin bu o'zgaruvchilar.

Bunday hollarda, bu raqamlangan harakatlar uchun qulaydir. Ya'ni biz taniymiz deb tasavvur qiling. Ushbu iboraning qiymatini hisoblash uchun biz qanday tartibni bajaramiz? Biz misolda ko'rib chiqamiz:

Keyingi harakatlar amalga oshiriladi, "tashqi" ko'proq tegishli funktsiya bo'ladi. Amallar ketma-ketligi - avvalgidek:

Bu erda uya odatda 4 darajali. Mashg'ulotni aniqlaylik.

1. majburiy ifoda. .

2. Ildiz. .

3. sinus. .

4. May kvadrat. .

5. Biz hamma narsani bir guruh yig'amiz:

Hosila hosila. Qisqacha asosiy narsa haqida

Olingan funktsiya - funktsiyani oshirib borishning tortishuvning ko'payishiga nisbati argumentning cheksiz o'sishi bilan:

Asosiy derivativlar:

Farqlash qoidalari:

Doimiy dizayn loting belgisi uchun qilingan:

Olingan miqdor:

Ishlab chiqarish ishlari:

Xususiy hativatativ:

Liferativ kompleks funktsiya:

Murakkab funktsiyaning hosilalarini topish uchun algoritm:

1. Biz "ichki" funktsiyani belgilaymiz, biz uning hosilasini topamiz.
2. Biz "tashqi" funktsiyani belgilaymiz, biz uning hosilasini topamiz.
3. Birinchi va ikkinchi narsalarning natijalarini ko'paytiring.

Ushbu video, men lotinga bag'ishlangan uzoq darslarni boshlayman. Ushbu dars bir nechta qismlardan iborat.

Avvalo, men sizga umuman shunday hosilalar va ularni qanday sanashni qanday hisoblayman, lekin men o'zim tushunganim kabi va men o'zim tushunaman va o'zimning o'quvchilarimga tushunarli. Ikkinchidan, biz muammolar funktsiyasining hosilativ qismlarini, hosilativ farqlarni va hosilalarini qidiradigan muammolarni hal qilish uchun eng oddiy qoidani ko'rib chiqamiz.

Biz siz, xususan, elektr funktsiyasining hosilasidagi ildizlar va hatto fraktsiyalarni o'z ichiga olgan bunday murakkab misollarni ko'rib chiqamiz. Bundan tashqari, albatta, albatta, ko'p turli xil murakkablik darajasining echimlari ko'plab vazifalar va echimlar misollari bo'ladi.

Umuman olganda, men qisqa 5 daqiqali rolik yozmoqchi edim, lekin undan nima bo'lganini ko'rib chiqdim. Shuning uchun lirika etarli - biznesga boring.

Difati nima?

Shunday qilib, keling, uzoqdan boshlaylik. Ko'p yillar oldin, daraxtlar munosib bo'lganida, hayot yanada qiziqarli bo'lganida, matematika nima haqida o'yladi: jadvalingiz bilan belgilangan oddiy funktsiyani ko'rib chiqamiz (x \\ o'ng). Albatta, jadval o'zida mavjud, shuning uchun siz $ x $ o'qni, shuningdek o'qni sarflashingiz kerak. Va endi ushbu jadvaldagi biron bir narsani, mutlaqo biron bir narsani tanlaylik. Abscissa $ (1) _ (1)) deb nomlanadi, belgilang, chunki F \\ chap (1) _ (1)) \\ o'ngga.

Xuddi shu jadvalda ko'rib chiqing. Bu nima muhim emas, eng muhimi, u boshlang'ichdan farq qiladi. Unda yana, Abscissa bor, biz $ (2)) $, shuningdek, belgilangan tartibda - $ f \\ chap ((2)) \\ o'ngga.

Shunday qilib, biz ikkita fikrni oldik: ularda har xil abssissa va shuning uchun turli xil qiymatlar Funktsiyalar, garchi ikkinchisi majburiy bo'lsa ham. Ammo juda muhim, shuning uchun biz bilamiz: siz to'g'ridan-to'g'ri ikki ochko va faqat bittasida o'tkazishingiz mumkin. Bu erda sarflaymiz va sarflaymiz.

Va endi men birinchi navbatda, faqat IBScissaning parallel o'qi orqali sarflayman. Qabul qilmoq o'ng uchburchak. Keling, $ ABC $, to'g'ridan-to'g'ri C $ ni ajratib turamiz. Ushbu uchburchak juda qiziqarli mulk mavjud: haqiqat shundaki, \\ Alpha $ Haqiqatan ham to'g'ridan-to'g'ri $ ab $ ABScissa o'qining davomi bo'lgan burchakka teng. O'zingiz uchun hukm qiling:

1. $ Ec $ $ Osh $ o'qi bo'yicha $
2. to'g'ridan-to'g'ri $ AR $ $ \\ alfa $ evaziga $ $
3. binobarin, $ AB $ DUC $ \\ Alpha $ Ox $ O'simlik.

$ \\ Matn () \\! \\! \\ Alfa \\! \\ Alfa \\! \\ Matn () $? $ Rattu $ CATTU $ CATETTUning $ CATETTU-ga $ CATETTUning $ CATETTU-ga $ CATETSE Burchakning qiymatiga teng emas. Shunday qilib yozing:

Albatta, $ AC $ bu holatda oson ko'rib chiqiladi:

Shunga o'xshab, $ BC $:

Boshqacha aytganda, biz quyidagilarni yozib olishimiz mumkin:

\\ [\\ Operatornamorname (TG) \\ Matn () \\! \\ Alfa \\! \\ Alfa \\! \\ SNEC (((x) \\ o'ng) \\ o'ngda (2)) - ((x) _ (1)) \\ o'ngda) ((x) _ (2)) - (x) _ (1))) \\])

Endi biz hammamiz topdik, keling, jadvalimizga qaytib, B $ B $. Eski qiymatlarni sarflang va $ b $ (1) _ (1)) ga yaqin joyda $ B $ oling. Yana, biz $ (2) _ (2)) $ (2) uchun absciseue-ga xabar qilamiz (((x) \\ chap (2)) \\ o'ngga.

Biz kichkina uchburchak $ ABC $ va $ \\ matnni ko'rib chiqamiz \\! \\ Alfa \\! \\ Matn () Bu mutlaqo boshqa burchak bo'lishiga o'xshaydi, tangens ham boshqacha bo'ladi, chunki $ va $ BC $ BC $ juda o'zgardi va burchakning tangisi uchun formulalar o'zgarmadi Umuman olganda - bu funktsiyaning o'zgarishi va argumentning o'zgarishi o'rtasidagi nisbat.

Nihoyat, biz $ B $ Original nuqtasiga yaqinlashishni davom ettiramiz, natijada uchburchak hali ham pasayadi va $ AB segmentini o'z ichiga olgan bevosita funktsiyani tangensiga aylantiradi.

Natijada, ballarni yaqinlashishni davom ettirsangiz, ya'ni to'g'ridan-to'g'ri masofani nolgach,, haqiqatan ham to'g'ridan-to'g'ri narxni kamaytiring, haqiqatan ham ushbu nuqtada, \\ matn () \\! \\! \\! \\! \\! ! \\ Alfa \\! \\! \\! \\ Alfa! \\ Alfa! \\ SNECT () $ Ox $ o'qning ekranining tangisidagi burchakka burilish va $

Va bu erda biz $ F $, ya'ni (1) _ (1) _ (1) _ (1) _ (1) _ (1)) ning ta'rifiga ((1)) belgilash funktsiyasiga (1)) $ (x). ) _ ((x) _ (1)) $ va DUC $ o'qning ijobiy yo'nalishi:

\\ [(f) "" chap ((1) _ (1)) \\ o'ng) \u003d \\ Operatorname (TG) \\ Matn () \\! \\ Matn () \\] \\ Matn () \\]

Jadvalga qaytish, shuni ta'kidlash kerakki, bu (1) _ (1)) $ Siz jadvaldagi biron bir nuqtani tanlashingiz mumkin. Masalan, bir xil muvaffaqiyat bilan biz rasmda ko'rsatilgan nuqtada barni olib tashlashimiz mumkin.

Tanang va o'qning ijobiy yo'nalishi orasidagi burchak $ \\ BEA $ qo'ng'iroq qiladi. Shunga ko'ra, $ f $ $ ((2)) $ \\ BEA $ \\ a burchakning qiyofasiga teng bo'ladi.

\\ [(f) \\ chap (((2) _ (2)) \\ o'ng) \u003d tg \\ Matn () \\! \\ ata \\! \\ Matn () \\]

Grafikning har bir nuqtasida o'z tangisi bo'ladi va shuning uchun uning funktsiyasining qiymati bo'ladi. Ushbu holatlarning har birida, biz differentsial hosilasiatial yoki miqdorni yoki quvvat funktsiyasining hosilasini qidirmoqdamiz, siz undan bir oz masofada joylashgan boshqa narsani olishingiz kerak Asliga va albatta, bu harakat qanday qilib bu harakatni moyillik burchagini o'zgartiradi.

Quvvat funktsiyasining hosilasi

Afsuski, ushbu ta'rif bizga mos kelmaydi. Ushbu formulalar, rasmlar, burchaklar bizga haqiqiy vazifalardagi haqiqiy hosilalarni qanday ko'rib chiqish haqida ozgina tasavvur bermaydi. Shunday qilib, keling, rasmiy ta'rifdan biroz vaqtni sarflaymiz va ushbu vazifalar hal qilinishi mumkin bo'lgan yanada samarali formulalar va texnikani ko'rib chiqamiz.

Keling, eng oddiy tuzilmalardan, ya'ni $ ((x) ^ (n)) $, i.e. Quvvat funktsiyalari. Bunday holda, biz quyidagilarni yozishimiz mumkin: $ (y) \u003d n \\ cdot ((x) ^ (N) ^ (N) ^ (n-1)) $. Boshqacha aytganda, bu old tomonda multiplikatorda ko'rsatilgan va indikatorning o'zi birlikni kamaytiradi. Misol uchun:

\\ [\\ boshlang'ich ((((2) ^ (2)) \\ ^ (2)) \\ \\ \\ CDOT (2-1)) \u003d 2x \\\\ end \\]

Ammo boshqa variant:

\\ [boshlang'ich boshlanadi (((1) ^ (1)) \\\\ ^ (1) "\u003d (x \\ chap) \u003d 1 \\ cdot (x ) ^ (0)) \u003d 1 \\ cdot 1 \u003d 1 \\\\ \\ ((x \\ chap (x \\ o'ng)) ^ (\\ Pred)) \u003d 1 \\\\\\ end (tekislash) \\]

Ushbu oddiy qoidalardan foydalanib, keling, quyidagi misollarning shtrix-kodini olib tashlashga harakat qilaylik:

Shunday qilib, biz olamiz:

\\ [((((6)) \\ o'ng) \u003d 6 \\ cdot ((x) ^ (X)) \u003d 6 (5)) \\]

Endi biz ikkinchi ifodani hal qilamiz:

\\ [boshlang'ich boshlanadi (x \\ o'ng) \u003d (x \\ o'ng) \u003d ((x) ^ (100)) \\\\ \\ ((x) \\ (100)) \\ o'ngda) Pred) \u003d 100 \\ cdot ((x) ^ (99)) \u003d 100 ((x) ^ (99)) \\\\ tugadi

Albatta, bu juda oddiy vazifalar. ammo haqiqiy vazifalar Yanada murakkab va ular funktsiyaning yagona darajalaridan cheklanmaydi.

Shunday qilib, 1-qoida - Agar funktsiya boshqa ikkalasi kabi taqdim etilsa, bu miqdorning hosilasi derivativlar yig'indisiga teng:

\\ [((F + G \\ o'ng)) ^ (F + CHEA)) \u003d (F) "+ (g)" \\]

Shunga o'xshab, ikkita funktsiyalarning farqi derivasi hosilalarning farqiga teng:

\\ [((F-G \\ o'ng)) ^ (F)) \u003d (f) "- (g)" \\] "

\\ [((((2) ^ (2)) + x \\ o'ng)) ((\\ chap)) \u003d ((2) \\ o'ng)) \\ o'ngda) (\\ chap)) Bosh))) + ((x \\ o'ng (x \\ o'ng)) ^ (\\ Prime)) \u003d 2x + 1 \\]

Bundan tashqari, yana bir muhim qoida bor: agar $ F $ 1 bo'lsa, ushbu funktsiya ko'paytirilgan bo'lsa, ushbu funktsiyada ushbu funktsiyada ushbu funktsiyada ushbu funktsiya mavjud:

\\ [((\\ chap)) ^ (\\ Prime)) \u003d C \\ CDOT (F) "\\]

\\ [((3 ((3) ^ (3)) \\ o'ngda) \u003d 3 (((x) ^ (3)) \\ o'ngda)) (\\ chap)) Asosiy) \u003d 3 \\ cdot 3 ((((2)) \u003d 9 (x) ^ (2)) \\]

Va nihoyat, yana bir muhim qoida: vazifalarda, ko'pincha bir xil atama, x $ ni o'z ichiga olmaydi. Masalan, biz buni hozirgi iblisimizda kuzatishimiz mumkin. Diforatli doimiy, i.e., raqamlar har doim nolga bog'liq bo'lmagan, har doim nolga teng, va $ c doimiyligiga qaramay, bu mutlaqo:

\\ [((c \\ chap (C \\ o'ng)) ^ (\\ asosiy)) \u003d 0 \\]

Misol echimi:

\\ [(\\ chap (1001 \\ o'ngda)) ^ (\\ asosiy)) \u003d ((\\ chap (1000) (1000) \\ o'ng)) ^ (\\ Prime)) \u003d 0 \\]

Yana bir bor asosiy fikrlar:

1. Ikkala funktsiyaning hosilasi har doim derivativlar yig'indisiga teng: $ (F \u200b\u200b+ G \\ o'ng)) ^ (F + G,) \u003d (g) "+ (g)" +.
2. Shunga o'xshash sabablarga ko'ra, ikkita funktsiyaning farqi uchun ikkita derivativning farqiga teng: $ (F-G \\ o'ng)) ^ (F)) \u003d (g) "
3. Agar funktsiya doimiy multiplier bo'lsa, unda bu doimiy belgisi uchun doimiy belgilanishi mumkin: $ (C \\ chap (C \\ CDVOT F \\ o'ng)) \u003d C \\ CDOT (F) "$;
4. Agar butun funktsiya doimiy bo'lsa, unda uning hosilasi har doim nolga teng: $ (C \\ chap (C \\ chap)) ^ (\\ Proj) \u003d 0 $) \u003d 0 $).

Qanday qilib bularning barchasi haqiqiy misollarda ishlashini ko'rib chiqaylik. Shunday qilib:

Biz yozamiz:

\\ [\\ boshlanadi ((((((5) ^ (5) ^ (5) ^ (2)) + 7 \\ o'ngda)) \u003d (\\ chap)) \u003d (chapda)) \u003d (chapda))) \u003d (chapda))) \u003d (chapda)) (chapda)) \u003d (chapda)) (chapda)) \u003d (chapda)) \u003d (chapda)) (chapda)) ((x) ^ (5)) \\ o'ng)) ^ (\\ Projma (3 ((2) ^ (2) ^ (2)) \\ Righty) (7)) + (7))) + (7)) "\u003d \\\\ \\ \u003d 5 (x) ^ (4)) - 3 ((((2) \\ (2)) \\ o'ng)) \\ 0 \u003d 5 ((x)) ^ (4)) - 6x \\\\ tugaydi. \\]

Shu misolda biz lotin miqdorini va farazni ko'rib chiqamiz. Jami, hosila - $ 5 ((x) ^ (4)) - 6x $.

Ikkinchi funktsiyaga o'ting:

Biz eritmani yozamiz:

\\ [\\ boshlanadi ((\\ chap ((3) ^ (2) ^ (2)) - 2x + 2 \\ to'g'ri)) ((\\ chap (((x) ^ (3) 2)) \\ o'ng)) ^ (\\ Chap)) - (2x \\ o'ng (2x \\ o'ng)) + (2x \\ o'ng)) ^ (2)) "\u003d \\ · ((((((x)) ^ (2)) \\ o'ng)) ^ (x)) - 2 (x) »+ 0 \u003d 3 \\ cdot 2x-2 \\ cdot 1 \u003d 6x-2 \\\\ end (alt) \\]

Shunday qilib, biz javobni topdik.

Uchinchi funktsiyasiga o'ting - u allaqachon harakat qilmoqda:

\\ [\\ boshlang'ich ((\\ chap ((2) ^ (3) ^ (3) ^ (2)) ^ (2)) + \\ FRAC (2) X-5 \\ o'ng) ) ^ (\\ Asosiy)) \u003d (((2 ((3) \\ (3)) \\ o'ng)) \\ Righty ") - (chapda (3 (x) ^ (2)) \\ O'ngda)) ^ (\\ Prise)) + (\\ chap (\\ FRAC (1) x \\ o'ng)) ^ (\\ press)) - (5) "\u003d \\\\ chap ( ((x) ^ (3)) \\ o'ngda) - 3 ((((2) \\ (2)) \\ o'ng)) \\ FRAC (1 ) (2) \\ cdot (x) "\u003d 2 \\ cdot 3 (2) ^ (2)) - 3 \\ cdot 2x + \\ frace (2) \\ cdot 1 \u003d 6 ((x) ^ (2) ^ (2) )) -6x + \\ frac (1) \\\\\\ end (Anige) \\]

Biz javobni topdik.

So'nggi ifodaga o'ting - eng murakkab va eng uzoq:

Shunday qilib, biz ishonamiz:

\\ [\\ boshlanadi ((\\ chap ((((((x) ^ (7) ^ (3) ^ (3)) + 4x + 5 \\ to'g'ri)) \u003d (\\ Proj)) \u003d ((chap (((6) \\ (7)) \\ o'ng)) \\ (\\ Chap)) - (14 ((3)) \\ o'ng) ") \\ (\\ Project) ) + ((4x \\ o'ng) + (5)) ^ (5) »\u003d \\\\ \\ \u003d \\ cdot 7 \\ cdot 7 \\ cdot 7 \\ cdot 3 ((6)) - 14 \\ cdot 3 (( x) ^ (2)) + 4 \\ cdot 1 + 0 \u003d 42 (((6) ^ (6)) - 42 ((x) ^ (2)) + 4 \\\\\\ enth (Anige) \\]

Ammo bu qaror hech qachon teginishni olib tashlamaslikni so'ralmaydi, lekin o'z qiymatini ma'lum bir nuqtada hisoblash uchun, shuning uchun biz $ x $ o'rniga ifodalaymiz:

\\ [(y) "chap (-1 \\ o'ng) \u003d 42 \\ cdot 1-42 \\ cdot 1 + 4 \\]

Biz kuzatib boramiz va yanada murakkab va qiziqarli misollarga boramiz. Gap shundaki, elektr energiyasini echish formulasi (((((x) ^ (n) ^ (n)) \u003d to'g'ri) \\ o'ngda) \u003d n \\ cdot (x) ^ (n-1) ) $ Bu odatda odatiy bo'lganidan ko'ra kengroq foydalanish maydoni bor. U bilan namunalarni fraktsiyalar, ildizlar va boshqalar bilan hal qilish mumkin. Bu biz hozir boramiz.

Avvalambor, yana bir bor yozib oling, bu bizga quvvat funktsiyasining hosilasini topishga yordam beradi:

Va endi diqqat: biz faqat $ N $ ni ko'rib chiqdik butun sonBiroq, fraktsiyalar va hatto salbiy raqamlarni ko'rib chiqishga xalaqit bermang. Masalan, biz quyidagilarni yozib olishimiz mumkin:

\\ [\\ boshlang'ich (x) \u003d (x) \u003d (((1) (2) (2)) (2))) ((\\ chap (x) \\ o'ng)) ^ (\\ piro) )) \u003d ((((1) ^ (2) (2))) \\ o'ng)) ^ (1) (2) \\ cdot ((x) ^ ^ (- \\ frac (1) (2))) \u003d \\ FRAC (2) \\ CDOT \\ FRAC (1) (1) (1) (2 \\ SQRT (x)) \\\\ end (alt) \\]

Hech narsa murakkab emas, shuning uchun keling, ushbu formulaning qanday qilib murakkab vazifalarni hal qilishda yordam beradi. Shunday qilib, misol:

Biz eritmani yozamiz:

\\ [\\ boshlang'ich (x) chap (x) + \\ sqrt (x) + \\ sqrt (x) \\ o'ng) \u003d (\\ chap (x) \\ o'ng)) ^ (\\ pir) ) + ((\\ chap (x) \\ o'ng)) ^ (\\ Prime)) + (\\ chap)) ((\\ chap (x) \\ o'ng)) \\ & (chap (\\ Sqrt (x) \\ o'ng)) ^ (\\ Prime)) \u003d \\ FRAC (1) (2 \\ SQRT (x) (x) \\ o'ng)) ^ (\\ chap)) Asosiy)) \u003d (((((1) ^ (3) (3)) (3)) \u003d \\ Frace (3) \\ CDOT ((x) (x)) ^ (- \\ frac (2) (3))) \u003d \\ Frac (3) \\ CDOT \\ FRAC ((((x) ^ (2))))) ((\\) Chap (\\ sqrt (x) \\ o'ng)) ^ (\\ Prime)) \u003d ((((((1) (4) (1)) (\\ Proj)) \\ o'ngda)) \u003d \\ FRAC (1) ((x) ^ (3) (4)) (1) (1) (1) \\ cdot \\ frac ((((x) ^ (3))) \\\\ tugaydi (alt) \\] \\]

Bizning o'rnamizga qaytish va yozish:

\\ [(y) "\u003d \\ FRAC (1) (1) (1) (1) ((((x) ^ (2)))) (1) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) \\ Sqrt (((x) ^ (3)))))

Bu qiyin qaror.

Ikkinchi misolga o'ting, bu erda faqat ikkita shart bor, ammo ularning har biri klassik daraja va ildizlar mavjud.

Endi biz kuch funktsiyasini qanday topishni o'rganamiz, qo'shimcha ravishda, shuningdek, ildiz ham mavjud:

\\ [\\ boshlanadi ((((((((((x) ^ (2) ^ (2) ^ (2)) (2)) ^ SQRT (x) (x) ) \\ O'ngda)) ^ (\\ Prime)) \u003d ((((((((x) ^ (x) ^ (2)) (2))) \\ o'ng)) ) \u003d ((((3) ^ CDOT ((x) ^ (3) (2)) (3))) (\\ Projual)) \u003d (\\ Projma)) \u003d \\ & \u003d ( (\\ chap ((((3+ \\ frac (2) (3))) (\\ Projma) \u003d ((((x) ^ (11) (11) (11) (11) (11) 3))) (\\ Prise)) \u003d \\ FRAC (11) \\ CDOT ((x) ^ (3)) (3) (11) (3) \\ CDOT ((x) ^ (2 \\ frac (2) (3)) \u003d \\ Frac (11) \\ CDOT ((x) ^ (2)) \\ CDOT \\ SQRT ((((x) ^ (2))) \\\\ \\ ((((((7) \\ CDOT \\ SQRT (x) \\ o'ng)) ^ (\\ chap ((x) ^) (7)) \\ CDOT ((x) ^ (3) (3))) \\ o'ngda)) ^ (\\ pas) (((x) ^ (7 \\ FRAC (1) (3))) \\ o'ngda) \u003d 7 \\ Frac (1) \\ CDOT ((x) ^ (1) (3)) \u003d \\ FRAC (22) (22) (22) 3) \\ cdot ((x) ^ (6)) \\ CDOT \\ SQRT (x) \\\\\\ end (alt) \\] \\]

Ikkala da'vo ham hisobga olinadi, bu yakuniy javobni yozishdir:

\\ [(y) "\u003d \\ FRAC (11) \\ CDOT ((x) ^ (2)) \\ CDOT \\ SQRT ((2))) + \\ FRAC (22) (3) \\ CDOT ((x) ^ (6)) \\ CDOT \\ SQRT (x) \\]

Biz javobni topdik.

Quvvat funktsiyasi orqali fraksiya

Ammo bu erda quvvat funktsiyasining hosilasini hal qilish formulasi mavjud emas. Gap shundaki, nafaqat ildizlarga misollar, balki fraktsiyalar bilan ham misollar ko'rib chiqish mumkin. Bunday misollarning echimini sezilarli darajada soddalashtiradigan, ammo shu bilan birga nafaqat talabalar, balki o'qituvchilar tomonidan e'tiborga olinadigan noyob imkoniyat.

Shunday qilib, endi biz ikkita formulalarni birdaniga birlashtirishga harakat qilamiz. Bir tomondan, quvvat funktsiyasining klassik leytiativativi

\\ [(((n) ^ (n) \\ o'ng) \\ o'ngda) \u003d n \\ cdot ((x) ^ (n-1)) \\]

Boshqa tomondan, biz $ \\ FRAC (1) (((x) ^ (n)) ning ifodasi ((x) ^ (x) ^ (x) ^ (- n)) ni ifodalashini bilamiz. Shunday qilib,

\\ [\\ chap (\\ frac (1) ((x) ^ (n))) \\ o'ngda) "\u003d ((x) ^ ((x) ^ (- N)) \\ o'ng) ) \u003d - n \\ cdot ((x) ^ (- n - 1)) \u003d - \\ FRAC (n) ((x) ^ (N + 1))))

\\ [(\\ chap (\\ FRAC (1) \\ o'ng)) ^ (((x) ^ ((x) ^ (- 1)) \\ o'ngda (x) ) ^ (- 2)) \u003d - \\ FRAC (1) (((x) ^ (2))))

Shunday qilib, Sumenergetda doimiy va denominator bo'lsa, klassik formuladan foydalangan holda, shuningdek, oddiy fraktsiyalarning hosilalari. Keling, u qanday ishlashini ko'rib chiqaylik.

Shunday qilib, birinchi funktsiya:

\\ [((\\ chap (\\ FRAC (1) ((2))) \\ o'ngda)) ^ (\\ Chap) (((x) ^ (- 2)) \\ O'ngda)) ^ (\\ Prime) \u003d - 2 \\ CDOT ((x) ^ (3)) \u003d - \\ FRAC (2) ((3) ^ (3)))

Birinchi misol hal qilinadi, ikkinchisiga o'ting:

\\ [\\ Boshlanadi ((\\ chap ((((x) ^ (4) ^ (4)) (2) (3) ^ (3))) (3)))) (3))) (3))) Frak (5) (2) ((x) ^ (2)) + 2 (3) ^ (3) ^ (3)) - 3 ((4)) \\ o'ngda) \\ (\\ Pred)) \\ \\ & \u003d (chapda (((((x) ^ (4))) \\ o'ng)) \\ o'ngda) (\\ FRAC (2)) (3) (3) (x) ^ (3))) \\ o'ngda)) ^ (\\ Chap)) ((2 ((3) ^ (3) ^ (3)) \\ o'ngda) - (\\ chap)) (3 ((x) ^ (4)) \\ o'ng)) \\\\ \\ ((\\ chap ((x) ^ (x) ^ (4)))) ")" ^ (\\ Prime)) \u003d \\ FRAC (7) ((\\ chap (1) (((x) ^ (4)) (4))) (\\ Projec)) \u003d \\ FRAC ( 7) (4) \\ cdot ((((x) ^ (- 4)) \\ o'ngda) \u003d \\ Frac (7) \\ cdot \\ chap (-4 \\ o'ng) ) \\ CDOT ((x) ^ (- 5)) \u003d \\ FRAC (-7) ((5)) ((5))) \\\\ va (\\ FRAC (2) (3) ^ (3))) \\ o'ng)) ^ (\\ Prime)) \u003d \\ FRAC (2) (3) \\ cdot ((\\ chap (3) ^ (3))) )))) (\\ Asosiy)) \u003d \\ FRAC (2) \\ CDOT (((x) ^ ((x) ^ (- 3)) \\ o'ng)) \u003d \\ FRAC (2) (3) \\ cdot \\ chap (-3 \\ o'ng) \\ cdot ((x) ^ (4)) \u003d \\ Frac (-2) ((x) ^ (4))) \\\\ & (chap (\\ FRAC (5) (2) ((x) ^ (2)) \\ o'ngda) \u003d \\ frace (5) (2) \\ cdot 2x \u003d 5x \\\\ \\\\ \\\\ ≤ (2) ((x) ^ (3)) \\ o'ngda) \u003d 2 \\ cdot 3 ((x) ^ (2)) \u003d 6 (2)) \\\\ va (\\ Chap (3 ((4) ^ (4)) \\ o'ng)) ^ (\\ Pred) \u003d 3 \\ cdot 4 ((x) ^ ^ (3)) \u003d 12 ((x) ^ (3)) \\\\ tugaydi (tekislash) \\] ...

Endi biz ushbu komponentlarning barchasini bitta formulada yig'amiz:

\\ [(y) "\u003d - \\ FRAC (7) ((5))) + \\ FRAC (2) ((4) ^ (4))) + 5x + 6 (x) ^ ^ (2)) - 12 ((x) ^ (3)) \\]

Javobni oldik.

Biroq, harakat qilishdan oldin, men sizning e'tiboringizni asl iboralar yozuvlariga jalb qilmoqchiman: birinchi ifodada $ F \\ chap (x \\ o'ng) qayd etdik (x \\ o'ng) \u003d $, ikkinchisida: $ y \u003d ... - har xil yozuv shakllarini ko'rganlarida ko'p narsalar yo'qoladi. $ F \\ chap (x \\ o'ng) va $ Y $ o'rtasidagi farq nima? Aslida, hech narsa. Bular bir xil ma'noga ega. Faqat AQShning chap tomoni (x \\ o'ng) $ biz gaplashyapmizBirinchidan, funktsiya haqida va $ Y $ ga kelganida, bu ko'pincha funktsiyalar jadvalini anglatadi. Aks holda, bu ham xuddi shunday, ya'ni, ikkala holatda ham bu ham xuddi shunday deb hisoblanadi.

Drivozlar bilan qiyin vazifalar

Xulosa qilib aytganda, bugungi kunda ko'rib chiqqan barcha ishlarda qo'llaniladigan bir juft murakkab vazifalarni ko'rib chiqmoqchiman. Ular ildizi, ham, fraktsiyalar va miqdorlarni kutmoqdalar. Biroq, ushbu misollar faqat bugungi video qo'llanma doirasida kompleks bo'lib, chunki siz hali ham derivativlarning murakkab funktsiyalari sizni kutmoqda.

Shunday qilib, bugungi videoning yakuniy qismida ikkita qo'shma vazifadan iborat. Birinchisidan boshlaylik:

\\ [boshlang'ich (((3) ^ (1) (((x) ^ (3))) + \\ sqrt (x) \\ o'ng)) (\\ Asosiy)) \u003d (((((3) \\ (3)) \\ o'ng)) ^ (\\ Chap (1) (3) (3) )))) \\ O'ngda)) ^ (\\ Priss (x) (x) \\ chap (((x) \\ (3) \\ o'ng) )) \u003d 3 ((2) ^ (2)) \\ d d ((((x) ^ ((((3))) (\\ Chap)) \u003d (chapda))) ((x) ^ (- 3)) \\ o'ngda) \u003d - 3 \\ cdot ((x) ^ (- 4)) \u003d - \\ FRAC (x) ^ ((x) ^ ((x) ^ ((x) ^ ((x) ^ ((x) ^ ((x) ^ 4)))) \\\\ \\ ((\\ chap (x) \\ o'ng)) ^ (\\ Prime)) \u003d ((((x) ^ (3)) (3)))) O'ngda)) ^ (\\ Prime) \u003d \\ FRAC (1) \\ CDOT \\ FRAC (((x) ^ (3) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 3 \\ sqrt (((x) ^ (2)))) \\\\ tugaydi (tekislash) \\]

Lifativ funktsiya:

\\ [(y) "\u003d 3 ((2)) - \\ FRAC (3) ((4) ^ (4)) (1) ((1) (((x) ^ (2))))

Birinchi misol hal qilinadi. Ikkinchi vazifani ko'rib chiqing:

Ikkinchi misolda, xuddi shu tarzda harakat qiling:

\\ [((((x) ^ (4) (x) (x) + \\ sqrt (x \\ sqrt) (3) ^ (3)) )))) ((\\ Prise)) \u003d (chap ((x) ^ (4) ^ (4)) (4))) ((\\ Chap)) (chapda))) (chapda))) + (chapda))) (\\ Sqrt (x) \\ o'ng)) ^ (\\ pRAC (\\ FRAH \\ SQRT ((((x) ^ (3)))) \\ o'ngda))) (\\ Projdim)) \\]

Har bir muddatni alohida hisoblang:

\\ [\\ boshlang'ich (\\ chap (((x) ^ (4) ^ (4)) (4))) (\\ Projual)) \u003d - 2 \\ cdot ((\\ chap) ( ((x) ^ (- 4)) \\ o'ng) \u003d - 2 \\ cdot \\ chap (-4 \\ o'ng) \\ CDOT ((x) ^ (- 5)) \u003d \\ FRAC (8) ) ((x) ^ (5))) \\\\ & (chap (x) \\ o'ng)) ^ ((((x) ^ (\\ FRAC) ( 1) (4))) \\ o'ng)) ^ (1) (1) \\ CDOT ((x) ^ (3) (3) (4))) \u003d \\ FRAC (1) ) (4 \\ cdot ((x) ^ (3) (4)))) \u003d \\ FRAC (((x) ^ (3))))) ((\\) Chap (\\ frac (4) (((((x) ^ (3))))) (\\ Projeman)) \u003d (\\ chap (x \\ cdot) ((x) ^ (3) (4) (4)))) \\ o'ngda)) ^ (\\ Chap) (((x) ^ (3) ^ (3) ) (4))) \\ o'ng)) \u003d 4 \\ cdot (((((1) ^ (3) (4))) (4))) (4))) \\ o'ngda)) ( \\ Prime)) \u003d \\\\ \\ cdot \\ chap (-1 \\ frac (4) \\ o'ng) \\ CDOT ((x) ^ (3) (4) (4)) \u003d 4 \\ CDOT \\ chap (- \\ frac (7) (4) \\ o'ng) \\ cdot \\ frace (1) ((2 \\ FRAC (3) (2)))) \u003d \\ FRAC (-7) ((x) ^ (2)) \\ CDOT ((x) ^ (3) (4) (4)) (4))) \u003d ((2) ^ (2)) \\ CDOT \\ SQRT ( ((x) ^ (3)))) \\\\ tugaydi (tekislash) \\]

Barcha shartlar hisobga olinadi. Endi biz boshlang'ich formulaga qaytamiz va uchta shartni birlashtiramiz. Yakuniy javob shunga o'xshash bo'lishi kerakligini olamiz:

\\ [(y) "\u003d \\ FRAC (8) ^ (5))) + \\ FRAC (1) ((((3) ^ (3))))) (4 \\ sqrt)))) ( 7) ((x) ^ (2)) \\ CDOT \\ SQRT ((((x) ^ (3)))))

Va bu hammasi. Bu bizning birinchi darsimiz edi. Keyingi darslarda biz yanada murakkab dizaynlarni ko'rib chiqamiz, shuningdek, dunyoda nima uchun kerakligini bilib olamiz.

Biz eng oddiy hiyla-nayrangni ajratib turadigan va farqlash qoidalari bilan tanishdik texnik usullar Drivozlarni topish. Shunday qilib, agar siz funktsiyalarning lotinlaridan juda aniq bo'lmagan bo'lsangiz, siz to'liq aniq bo'lmaysiz, keyin yuqoridagi darsni o'qing. Iltimos, jiddiy usulni o'rnating - material oddiy emas, lekin men hali ham shunchaki sozlash uchun harakat qilaman.

Amaliyotda murakkab funktsiyaning hosilasi juda tez-tez duch kelishi kerak, hatto derivativlarni topishda deyarli har doim aytmoqchiman.

Biz murakkab funktsiyani farqlashning (№ 5) qoidasi uchun jadvalga qaraymiz:

Biz tushunamiz. Birinchidan, rekordga e'tibor bering. Bu erda biz ikkita funktsiyaga egamiz - Bundan tashqari, funktsiya, majoziy ma'noda funktsiyaga investitsiya kiritiladi. Ushbu turdagi funktsiya (bitta funktsiya boshqasiga o'rnatilgan bo'lsa) va murakkab funktsiya deb ataladi.

Men funktsiyani chaqiraman tashqi funktsiyava funktsiya - ichki (yoki hiqillab) funktsiyasi.

! Ushbu ta'riflar nazariy emas va vazifalar bo'yicha pistonda ko'rinmasligi kerak. Men norasmiy "tashqi funktsiya", "ichki" funktsiyasini, faqat materialni tushunishingizni osonlashtiradigan "ichki" funktsiyasidan foydalanaman.

Vaziyatni aniqlashtirish uchun quyidagilarni ko'rib chiqing:

1-misol.

Drivatoriy funktsiyani toping

Sinus ostida biz nafaqat "X" harfi, balki butun sonli iborasi emasmiz, shuning uchun darhol stolda lidvativ topish mumkin bo'lmaydi. Shuningdek, biz birinchi to'rt qoidani qo'llashning iloji yo'qligini sezamiz, bu farq bor, ammo haqiqat shundaki, sinus "qismlarga ajratilgan" degani:

Ushbu misolda, mening tushuntirishlarimdan, funktsiya murakkab funktsiya ekanligini va polizom ichki funktsiya (ilova) va tashqi funktsiya.

Birinchi qadamLifativ kompleks funktsiyani topishda bajarish ichki funktsiyani aniqlang va tashqi ko'rinishi nima.

Oddiy misollar keltirilganda, polizom singari siyohga kiritilganga o'xshaydi. Ammo hamma narsa aniq bo'lmasa-chi? Qanday qilib tashqi vazifani aniq aniqlash mumkin va ichki narsa nima? Buning uchun men ongli yoki loyihada amalga oshirilishi mumkin bo'lgan keyingi qabulxonadan foydalanishni taklif qilaman.

Tasavvur qiling-a, biz kalkulyatordagi ifoda qiymatining qiymatini hisoblashimiz kerak (birlik o'rniga har qanday raqam bo'lishi mumkin).

Avval nima hisoblaymiz? Birinchidan Siz quyidagilarni bajarishingiz kerak:, shuning uchun polizim va ichki funktsiya bo'ladi:

Ikkinchidan Sinusni topish kerak bo'ladi, shuning uchun tashqi funktsiya bo'ladi:

Bizdan keyin Tushungan Ichki va tashqi funktsiyalar bilan murakkab funktsiyaning farqli qoidalarini qo'llash vaqti keldi .

Biz hal qilamiz. Darsdan Xotinni qanday topish mumkin? Shuni yodda tutamizki, har qanday lotiviy eritmani bezatish har doim shunday boshlanadi - biz qavslardagi ifodani tuzamiz va shtrix-kodning yuqori qismida o'ng tomonga qo'ying.

Avval Biz tashqi funktsiyani (Sinus) topamiz (Sinus), biz gerliativ elementar funktsiyalar jadvalini ko'rib chiqamiz. Barcha jadvallar formulalari qo'llanilishi mumkin va agar "x" bo'lsa, murakkab ifoda bilan almashtiriladi, Ushbu holatda:

Ichki funktsiyaga e'tibor bering o'zgarmadi, biz unga tegmaymiz.

Xo'sh, bu juda aniq

Formulani qo'llash natijasi Piston dizaynida bu shunday ko'rinadi:

Doimiy mulozimlar odatda iboralarga dosh berishadi:

Agar biron-bir tushunmovchilik qolsa, qarorni qog'ozga qayta yozing va yana tushuntirishlarni o'qing.

2-misol.

Drivatoriy funktsiyani toping

3-misol.

Drivatoriy funktsiyani toping

Har doimgidek, yozing:

Biz tashqi funktsiyani qayerda ekanligimizni tushunamiz va ichki esa qaerda. Buning uchun (ruhiy yoki qoralama yoki qoralama yoki qoralama) infektsiyaning qiymatini hisoblash uchun sinab ko'ring. Avval nima qilish kerak? Birinchidan, bazaga teng bo'lgan narsani hisoblash kerak :, bu polinom ichki funktsiya ekanligini anglatadi:

Va shundan keyingina mashqlar amalga oshiriladi, shuning uchun quvvat funktsiyasi tashqi funktsiya hisoblanadi:

Formulaga muvofiq Avval siz tashqi funktsiyadan lotinni topishingiz kerak, bu holda, shu holda. Biz stolda kerakli formulani istadik:. Biz yana takrorlaymiz: har qanday jadval formulasi nafaqat "X", balki murakkab ifoda uchun ham haqiqiydir. Shunday qilib, murakkab funktsiyani farqlash doirasini qo'llash natijasida Quyidagi:

Yana ta'kidlaymanki, biz tashqi funktsiyani egallaganimizda, ichki funktsiya biz bilan o'zgarmaydi:

Endi bu ichki funktsiyadan mutlaqo sodda va ozgina "tarqalgan" natijada qoladi:

4 misol.

Drivatoriy funktsiyani toping

Bu misol o'zini o'zi hal qilish (Dars oxirida javob).

Liferativ majmua funktsiyasini tushunish uchun men sharhlarsiz misol bo'laman, buni o'zingiz aniqlashga, bo'yoq, tashqi va ichki funktsiya qaerda bo'lganida, nima uchun vazifalar shu yo'lni hal qiladi?

5-misol.

a) Lifativ funktsiyani toping

b) hosila funktsiyasini toping

6-misol.

Drivatoriy funktsiyani toping

Bu erda bizda ildizi bor va ildizni befarq ravishda, uni daraja shaklida ifodalash kerak. Shunday qilib, avval funktsiyani to'g'ri shaklga bering:

Funktsiyani tahlil qilish, biz uchta atamaning yig'indisi ichki funktsiya va tashqi funktsiya tashqi funktsiyani tahlil qilamiz. Murakkab funktsiyaning farqlanish qoidalarini qo'llang :

Radikal (ildiz) shaklida va ichki funktsiyaning hosilasida, differentsiatsiya miqdoridan foydalaning:

Tayyor. Siz ham iborani boshqarishingiz mumkin umumiy maxraj Va hamma narsani bitta kasr bilan yozing. Chiroyli, albatta, lekin katta uzunlikdagi leyvidlar olinganda - buni qilmaslik yaxshiroqdir (keraksiz xatoga yo'l qo'yish oson, o'qituvchining noqulay tekshiruvdan o'tishi mumkin).

7 misol.

Drivatoriy funktsiyani toping

Bu mustaqil qarorga misol (dars oxirida javob bering).

Shunisi qiziqki, ba'zida murakkab funktsiyani farqlash tartibi o'rniga, siz mutanosiblik qoidalaridan foydalanishingiz mumkin Ammo bu qaror g'ayrioddiy tarzda buzuqlikka o'xshaydi. Bu erda o'ziga xos namunadir:

8 misol.

Drivatoriy funktsiyani toping

Bu erda siz mutanosib ravishda farqlash qoidalaridan foydalanishingiz mumkin Ammo murakkab funktsiyaning farqlash qoidasi orqali lotinni topish juda foydali:

Biz funktsiyani farqlash uchun tayyorlaymiz - biz lotinning belgisiga minus olamiz va raqamli raqamga tushirish:

Kosin tili ichki funktsiya, tashqi funktsiya tashqi funktsiya.
Biz bizning qoidalarimizdan foydalanamiz :

Biz ichki funktsiyaning hosilasini topamiz, kosine pastga tushiriladi:

Tayyor. Tasdiqlangan misolda, alomatlarda chalkashib ketmaslik muhimdir. Aytgancha, uni qoidadan foydalanib hal qilishga harakat qiling. Javoblar mos kelishi kerak.

9-misol.

Drivatoriy funktsiyani toping

Bu mustaqil qarorga misol (dars oxirida javob bering).

Hozircha biz bizning murakkab faoliyatimizda faqat bitta investitsiyalar bo'lgan holatlar ko'rib chiqdik. Amaliy vazifalarda ko'pincha loterlarni uchratish, u erda Matryoshki, bir-birlariga yoki hatto 4-5 funktsiyalariga kiritilgan.

Masalan 10.

Drivatoriy funktsiyani toping

Biz ushbu funktsiyaning sarmoyalarida tushunamiz. Biz eksperimental qiymati yordamida ifodani hisoblashga harakat qilamiz. Kalkulyatorga qanday ishonamiz?

Avval siz topishingiz kerak, bu arksinus eng chuqur investitsiya:

Keyin ushbu Arxinus birliklari maydonga qurilishi kerak:

Va nihoyat, ettita darajaga yo'naltirilgan:

Ya'ni, bizda uchta turli xil funktsiya va ikkita qo'shimcha mavjud, ichki funktsiya Arxinus va tashqi funktsiyaning o'zi esa bu ko'rsatkich.

Biz qaror qila boshlaymiz

Qoidaga muvofiq Avval tashqi funktsiyadan hosila qilishingiz kerak. Biz hosilalar stoliga qaraymiz va indikativ funktsiyani topamiz: yagona farq "x" o'rniga bizda ushbu formulalarning haqiqiyligini bekor qilmaydigan qiyin ifodaga ega. Shunday qilib, murakkab funktsiyaning farqlanish runini qo'llash natijasida Quyidagi.