Tabiiy logarifm 10. logarifm

Shunday qilib, bizdan oldin. Agar siz pastki chiziqdan raqamni olsangiz, siz ushbu raqamni olish uchun dehqonni qabul qilish kerak bo'lgan darajaga ega bo'lishingiz mumkin. Masalan, to'rtinchi darajali qurilish uchun sizda ikkita kerak. Va 64 kishini olish uchun siz oltinchi darajali qurish uchun ikkita kerak. Bu jadvaldan ko'rinadi.

Va endi - aslida, logarifm ta'rifi:

X argumentdan olingan logarifm x raqamini olish uchun a raqami olish kerak bo'lgan daraja darajasidir.

Belgilangan: X \u003d B-ni qayd qiling, u erda x - bu argument, b - aslida, aslida logarifmga teng.

Masalan, 2 3 \u003d 8 ⇒ log 2 8 \u003d 3 (8 raqamidan 2-sonli bazasi uchun logarifm - 2 3 \u003d 8). Bir xil muvaffaqiyatlar bilan 2 64 \u003d 6, 2 6 \u003d 64.

Berilgan baza uchun raqam logarifmini topish operatsiyasi logaritming deb ataladi. Shunday qilib, bizning stolimizni yangi satr bilan to'ldiring:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 \u003d 1	log 2 4 \u003d 2	log 2 8 \u003d 3	log 2 16 \u003d 4	log 2 32 \u003d 5	log 2 64 \u003d 6

Afsuski, barcha logarefmlar juda oson deb hisoblanadi. Masalan, 2-logni topishga harakat qiling. 5 raqamlari jadvalda emas, ammo mantiq shuni ko'rsatadiki, logarifm segmentga yotadi. Chunki 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Bunday raqamlar irratsional deb ataladi: vergulni cheksizlikka yozish mumkin va ular hech qachon takrorlamaydilar. Agar logarifmasiz, uni tark etish yaxshiroq bo'lsa, uni tark etish yaxshidir: 2 5, log 3 8, log 5 100.

Logarifm ikkita o'zgaruvchi (bazasi va argumenti) ifodasi ekanligini tushunish juda muhimdir. Birinchi bo'lib birinchi bo'lib, u erda asos joylashgan joyda chalkashib ketgan va argument qaerda. Noto'g'ri tushunmovchiliklarni oldini olish uchun, shunchaki rasmni ko'rib chiqing:

Bizdan oldin logarifm ta'rifidan boshqa narsa emas. Esingizda bo'lsin: logarifm bu darajaArgumentni olish uchun poydevor qo'yish kerak. Bu bir darajaga o'rnatilgan poydevor - Rasmda qizil rangda ta'kidlangan. Ma'lum bo'lishicha, poydevor har doim pastda joylashgan! Ushbu ajoyib qoida men o'z o'quvchilarga birinchi darsda aytaman va hech qanday chalkashlik paydo bo'lmaydi.

Biz ta'rifni ko'rib chiqdik - bu logarifmlarni ko'rib chiqishni o'rganish, I.E. "Kirish" belgisidan xalos bo'ling. Avvaliga, shuni ta'kidlaymizki, biz ta'rifdan ikki muhim faktlar:

Balki va baza har doim noldan katta bo'lishi kerak. Bu mantiqiy indikator darajasini aniqlashdan kelib chiqadi, bunda logarifm ta'rifi kamayadi.
Baza jihozdan farq qilishi kerak, chunki jihoz hali ham birdamlik bo'lib qolmoqda. Shu sababli "ma'nodan mahrum bo'lish uchun birligi bilan jihozni qanday aniqlash kerakligi sababli" savol. Bunday daraja yo'q!

Bunday cheklovlar deyiladi ruxsat etilgan qiymatlar maydoni (Otz). Shuni ta'kidlanganidek, toq logarifm shunday ko'rinadi: x \u003d b ⇒ X\u003e 0, A\u003e 0, A 1.

E'tibor bering, b raqamida hech qanday cheklovlar yo'q. Masalan, logarifm salbiy bo'lishi mumkin: log 2 0.5 \u003d -1, chunki 0.5 \u003d 2 -1.

Biroq, endi biz faqat bir ona logarifm talab qilinishini bilish uchun faqat raqamli iboralarni ko'rib chiqmoqdamiz. Barcha cheklovlar vazifalarni tuzuvchi tomonidan hisobga olinadi. Ammo logarifmik tenglamalar va tengsizliklar ketganda, OTZ talablari majburiy bo'ladi. Darhaqiqat, bazada va tortishuvda juda asossiz tuzilmalar, albatta, yuqorida ko'rsatilgan cheklovlarga rioya qilish mumkin.

Endi ko'rib chiqing umumiy sxema Logarifmlarning hisoblashlari. U uchta bosqichdan iborat:

Baza a va argument x Minimal bazasi, katta birlik, katta bo'linish bilan ilmiy daraja shaklida yuboring. Yo'l davomida o'nlik kasrlardan xalos bo'lish yaxshiroqdir;
O'zgaruvchan B tenglamaiga nisbatan hal qiling: x \u003d a b;
Natijada B raqami javob bo'ladi.

Ana xolos! Agar logarifm irratsional bo'lsa, u birinchi bosqichda ko'rinadi. Baza ko'proq birlashishi talabi juda muhimdir: bu xato ehtimolini kamaytiradi va hisob-kitoblarni juda soddalashtiradi. S. ga o'xshash o'nlik kasrlar: Agar siz darhol ularni oddiy odamlarga o'tkazsangiz, ba'zida kamroq bo'ladi.

Keling, ushbu sxema aniq misollarda qanday ishlashini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Logarifm-ni hisoblang: log 5 25

Besh daraja darajasida asos va argumentni taqdim eting: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Kelinglar va tenglamani hal qilaylik:
log 5 25 \u003d b ⇒ b \u003d 5 2 ⇒ 5 b \u003d 5 ⇒ b \u003d 2;

Javobni qabul qildi: 2.

Vazifa. Logarifmni hisoblang:

Vazifa. Logarifm-ni hisoblang: 4 64

Tasavvur qiling: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
Kelinglar va tenglamani hal qilaylik:
log 4 64 \u003d b ⇒ b \u003d 2 6 ⇒ 2 2b \u003d 2 6 ⇒ b \u003d 3; 3;
Javobni qabul qildi: 3.

Vazifa. Logarifm-ni hisoblang: 16 1

Ikki darajali asos sifatida asos va argumentni tasavvur qiling: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
Kelinglar va tenglamani hal qilaylik:
log 16 1 \u003d b ⇒ b \u003d 2 0 ⇒ 2 4b \u003d 2 ⇒ a \u003d 0;
Javobni qabul qildi: 0.

Vazifa. Logarifm hisoblang: 7 14

Etti daraja darajali asos va argumentni taqdim eting: 7 \u003d 7 1; 14 etti darajali shaklda, u 7 dan beri ko'rinmaydi< 14 < 7 2 ;
Oldingi nuqtadan logarifm hisobga olinmaydi;
Javob o'zgarmaydi: 7 14.

Kichik eslatma K. so'nggi misol. Qanday qilib raqam boshqa raqamning aniq darajasi emasligiga ishonch hosil qilish kerak? Juda oddiy - uni oddiy omillarga ajratish uchun etarli. Agar parchalanishda kamida ikki xil omil bo'lsa, raqam aniq daraja emas.

Vazifa. Raqamning aniq darajalari yo'qligini bilib oling: 8; 48; 81; 35; o'n to'rt.

8 \u003d 2 · 2 \u003d 2 3 - to'g'ri daraja, chunki Muloqli bittasi faqat bittadir;
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 \u003d 3 · 2 \u003d 3 \u003d 3 \u003d 3 \u003d 3 \u003d 3 · 2 4 - bu ikkita omil bor, chunki ikkita omil bor: 3 va 2;
81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 \u003d 3 \u003d 3 4 - to'g'ri daraja;
35 \u003d 7 · 5 - yana aniq darajasi emas;
14 \u003d 7 · 2 - Yana bir daraja emas;

Shuni ham ta'kidlaymizki, oddiy sonlarning o'zlari har doim aniq darajalari.

O'nlik logarifm

Ba'zi logaritmlar ko'pincha o'zgacha ism va belgi bor, deb taxmin qilinadi.

X argumentidan o'nlik logarifm 10, i.e. X raqamini olish uchun 10 raqamini aniqlash darajasi darajasi. Belgilangan: LG X.

Masalan, LG 10 \u003d 1; LG 100 \u003d 2; LG 1000 \u003d 3 - va hk.

Bundan buyon, darslik "LG 0.01" kabi iboraga duch kelganida, biling: u xato emas. Bu o'nlik logaritm. Ammo, agar siz bunday belgi uchun g'ayrioddiy bo'lsangiz, u har doim qayta yozilishi mumkin:
Lg x \u003d log 10 x

Oddiy logarifmlar uchun haqiqiy bo'lganlarning barchasi o'nlik uchun haqiqiydir.

Tabiiy logarifm

O'zining maqsadi bor yana bir logaritm mavjud. Ma'noda bu o'nlikdan ham muhimroqdir. Biz gaplashyapmiz Tabiiy logarifm haqida.

X argumentidan tabiiy logarifm E, I.E. asosida logarifm X raqamini olish uchun e raqamni o'rnatilishi kerak. Belgilangan: ln x.

Ko'pchilik so'raydi: E raqamida yana nima? Bu irratsional son, uni topish va yozish uchun aniq qiymat. Men faqat birinchi raqamlarimni beraman:
e \u003d 2,71828188459 ...

Biz bu raqam ekanligini va nima uchun sizga kerakligini rivojlantiramiz. Esingizda bo'lsa, E tabiiy logaritm asosidir:
ln x \u003d log e x

Shunday qilib, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; Ln e 16 \u003d 16 - va boshqalar. Boshqa tomondan, ln 2 - bu irratsional raqam. Umuman olganda, har qanday ratsional sonning tabiiy logarifmi irratsionaldir. Bundan tashqari, albatta, birliklar: ln 1 \u003d 0.

Tabiiy logarifmlar uchun oddiy logarefmlar uchun to'g'ri bo'lgan barcha qoidalar amal qiladi.

Tabiiy logarifm

Tabiiy logarifm funktsiyasining grafigi. Funktsiya asta-sekin ko'payib borayotganda ijobiy infektsiyaga yaqinlashadi x. va tezda salbiy cheksizlikni tezda yaqinlashing x. 0 ("sekin" va "tez" va "tezda" ga qaraganda x.).

Tabiiy logarifm - Bu asosda logarifm qayerda e. - o'rtacha doimiy, taxminan 2718281 828 ga teng. Tabiiy logarifm odatda ln deb belgilanadi ( x.), Jurnal. e. (x.) yoki ba'zan shunchaki jurnal ( x.) asos e. A'zolar.

Tabiiy logarifm raqami x. (deb yozilgan) ln (x)) bu raqamni berilishi kerak bo'lgan ko'rsatkichning ko'rsatkichi e.Olish uchun x.. Masalan, ln (7,389 ...) 2 ga teng e. 2 =7,389... . Juda raqamning tabiiy logarifmi e. (ln (e)) 1 ga teng, chunki e. 1 = e.va tabiiy logarifm 1 ( ln (1)) 0 ga teng e. 0 = 1.

Tabiiy logarifm har qanday ijobiy raqam uchun aniqlanishi mumkin. a. egri chiziq ostida joylashgan y. = 1/x. 1 dan gacha a.. Ushbu ta'rifning soddaligi, tabiiy logarifm qo'llaniladigan boshqa ko'plab formulalar bilan mos keladigan, bu "tabiiy" nomi paydo bo'lishiga olib keldi. Ushbu ta'rifni kompleks raqamlarda kengaytirish mumkin, chunki u quyida aytiladi.

Agar biz tabiiy logarifmni haqiqiy o'zgaruvchining haqiqiy funktsiyasi deb hisoblasak, u identifikatsiya qilish funktsiyasini hisobga olish xususiyatiga olib keladi:

Barcha logarifmlar singari, tabiiy logarifm ko'paytirish orqali ko'paytirishni ko'rsatadi:

Shunday qilib, logarifmik funktsiya - bu haqiqiy raqamlar guruhi tomonidan ko'payish bo'yicha ijobiy javoblar guruhining izomorfizmidir, uni funktsiya sifatida taqdim etish mumkin:

Logarifm, faqat 1 dan boshqa ijobiy asos uchun, balki emas, balki aniqlanishi mumkin e.Ammo boshqa asoslar uchun logaritmlar tabiiy logarifmdan faqat doimiy omil bilan farq qiladi va qoida tariqasida, tabiiy logarifm nuqtai nazaridan aniqlanadi. Logaritmlar noma'lum shaxslar unchalik mos keladigan tenglamalar mavjud bo'lgan tenglamalarni topish uchun foydalidir. Masalan, logarifmlar ma'lum yarim yilligi uchun doimiy parchalanish yoki radioaktivlik muammosini hal qilishda parchalanish vaqtini topish uchun ishlatiladi. Ular matematika va amaliy fanlarning ko'plab sohalarida muhim rol o'ynaydi, shu jumladan ko'plab vazifalarni hal qilish uchun moliya sohasida qo'llaniladi.

Tarix

Tabiiy logarifmning birinchi eslatmasi ishda Nikolay Mercatorni amalga oshirdi Logarifmotech1668 yilda nashr etilgan bo'lsa-da, 1668 yilda matematika o'qituvchisi Jon Spindel 1619 yilda tabiiy logaritlar jadvalini tuzdi. Ilgari, u giperbolik logaritm deb nomlangan, chunki u giperbola ostiga kiradi. Ba'zan bu atamaning boshlang'ich ma'nosi biroz boshqacha bo'lgan bo'lsa ham, bu imon logarifmasi deb ataladi.

Belgilar to'g'risidagi konventsiya

Tabiiy logarifm "ln" ni bildirish uchun qilingan ( x.) "," Basad 10 - "LGG orqali logarifm" ( x."Va boshqa fondlar odatda" jurnal "belgisi bilan aniq ko'rsatilgan.

Discret matematikasi, kibernetika, informatika, mualliflar nominatsiyasidan foydalanadilar. x.) "2-ga asoslangan logarifmlar uchun, ammo ushbu shartnoma umuman qabul qilinmaydi va avval foydalanganda (bunday ro'yxat bo'lmaganda) yoki (bunday ro'yxat bo'lmaganda) yoki sharhlashni talab qilmaydi.

Logarifmlar argumentining atrofidagi qavslar (agar u formulani noto'g'ri o'qishga olib kelmasa) va logarifm darajani moslashtirmasa, indikator to'g'ridanlat to'g'ridan-to'g'ri logaritm belgisiga kiritilgan: LN 2 ln 3 4 x. 5 = [ ln. ( 3 )] 2 .

Anglo-Amerika tizimi

Matematika, statistika va muhandislarning tarkibiy qismi tabiiy logaritm yoki "jurnal" ni belgilash uchun ishlatiladi ( x.) "Yoki" ln ( x."" BAW 10 "ga asoslangan logarifmni belgilash -" Log 10 ( x.)».

Ba'zi muhandislar, biologlar va boshqa mutaxassislar har doim "ln ( x.) "(Yoki vaqti-vaqti bilan» log e ( x.) ") Ular tabiiy logarifm degani va yozib olish" qayd yozuvini yozganda ( x.) "Ular 10 dona degani ( x.).

jurnal. e. Bu "tabiiy" logarifm, chunki u avtomatik ravishda paydo bo'ladi va matematikada paydo bo'ladi. Masalan, lotin muammosini ko'rib chiqing logarifmik funktsiya:

Agar bazada bo'lsa b. bir xil e., hosilativ atigi 1 / x.va qachon x. \u003d 1 bu lotsiv - bu uchun boshqa sabablar e. Logarifm eng tabiiy, shundaki, bu oddiy integral yoki bir qator Teylitmlar nuqtai nazaridan aniqlanishi mumkin, ular boshqa logarifmlar haqida hech narsa deya olmaydilar.

Durotni yanada asoslash raqam bilan bog'liq emas. Masalan, tabiiy logariflar bilan bir nechta oddiy qatorlar mavjud. Pietro menjoli va Nikolay Mercator ularni chaqirdi logarifmus Naturulis Nyuton va Lacitersning bir necha o'n yilligi, differentsial va integral hisob-kitoblarni ishlab chiqdi.

Ta'rif

Rasmiy ln ( a.) 1 grafikning egri chiziq ostidagi maydon sifatida belgilanishi mumkin x. 1 dan gacha a., i.e. integral sifatida:

Bu haqiqatan ham logarifmning asosiy mulkini qondiradi, chunki u logarifmning asosiy mulkini qondiradi:

Buni namoyish qilish mumkin, bunga imkon beradi:

Raqamli qiymat

Raqamning tabiiy logarifm sonining soniyal qiymatini hisoblash uchun uning parchalanishini quyidagicha shaklda Teylorda ishlatish mumkin:

Konvergensiyaning eng yaxshi tezligini olish uchun siz quyidagi identifikatordan foydalanishingiz mumkin:

buni taqdim etgan y. = (x.−1)/(x.+1) I. x. > 0.

Ln uchun ( x.), qayerda x. \u003e 1, yaqinroq qiymat x. K 1, tezroq yaqinlashish tezligi. Logarifm bilan bog'liq bo'lgan identifikatsiya maqsadga erishish uchun ishlatilishi mumkin:

Ushbu usullar hatto kalkulyator paydo bo'lishidan oldin ham ishlatilgan, ularda qaysi raqamli jadvallar ishlatilgan va yuqorida tavsiflangan taassurotlarga o'xshash manipulyatsiya qilingan.

Yuqori aniqlik

Tabiiy logaritmni juda ko'p aniqlik raqamlari bilan hisoblash uchun Teylor seriyasi samarali emas, chunki uning yaqinlashishi sekin. Nyutonning eksponensial funktsiyasiga yo'naltirish uchun Nyuton usulidan foydalanishning alternativasi - bu tezroq qayerga kiradigan bir qator.

Hisoblashning juda aniqligi uchun alternativa formulani:

qayerda M. arifmetik geometrik o'rtacha o'rtacha 1 va 4 / s ni anglatadi va

m. buni tanlagan p. Aniqlik belgilariga erishildi. (Ko'p hollarda m qiymatining qiymati etarlicha etarli.) Aslida, agar ushbu usul ishlatilsa, Nyutonning tabiiy logarifmni eksponentlik funktsiyasini samarali hisoblash uchun ishlatilishi mumkin. (2 ln 2 va pi doimiy ravishda ma'lum aniqlikka erishilgunga qadar oldindan hisoblab chiqilishi mumkin, taniqli tezkor konvertor seriyasida.)

Hisoblashning murakkabligi

Tabiiy logarifmlarning hisoblash murakkabligi (arifmetik-geometrik o'rtacha yordamida) o ( M.(n.) ln. n.). Bu yerda n. - tabiiy logarifmni qadrlash kerak bo'lgan aniqlik raqamlari soni va M.(n.) - Ikki marta ko'paytirishning hisoblash murakkabligi n.- xulosalar soni.

Uzluksiz kasrlar

Logarifmni ifodalash uchun oddiy uzluksiz fraktsiyalar mavjud bo'lmasa ham, lekin siz bir nechta umumlashtirilgan uzluksiz kasrlar, shu jumladan:

Kompleks logarifmlar

Eksponent funktsiyasini bir nechta turdagi turlarga ega bo'lgan funktsiyaga kengaytirish mumkin. e. x. Har qanday o'zboshimchalik bilan integratsiyalashgan raqami uchun x.Bu murakkab chiziqdan foydalanadi x.. Bu eksponent funksiyasi Bu oddiy logarifmlarning xususiyatlariga ega bo'lgan integral logarifm shakllanishiga teskari holatga keltirilishi mumkin. Ammo ikkita qiyinchilik bor: yo'q x., buning uchun e. x. \u003d 0 va shuni ta'kidlaydi e. 2PI. = 1 = e. 0. Ko'plab ko'payish xususiyati murakkab eksponentlik funktsiyasi uchun amal qiladi, e. z. = e. z.+2nta Barcha komplekslar uchun z. va butun sonlar n..

Logarifm butun murakkab tekislikda aniqlanmaydi va bir vaqtning o'zida ko'p jihatdan kengroq hisoblanadi - har qanday murakkab logarifm "ekvivalent" logarifm bilan almashtirilishi mumkin, bir nechta butun sonni qo'shadi PI.. Kombinat logarifm faqat murakkab tekislikdagi bir bo'lakda bo'lishi mumkin. Masalan, ln. i. = 1/2 PI. yoki 5/2. PI. yoki -3/2. PI.va boshqalar va boshqalarga i. 4 \u003d 1, 4 jurnal i. 2 sifatida aniqlanishi mumkin PI.yoki 10. PI. yoki -6 PI., va boshqalar.

Shuningdek qarang

Yuhanno hech qachon - logarifmlar ixtirochi

Qaydlar

Jismoniy kimyo uchun matematika. - 3-chi. - AKAGRIK matbuoti, 2005. - 9. 9. - ISBN 0-125-08347-5 9-betni ekstrakti
J j o konvertor va E f Robertson E raqami Matematika arxivi bo'yicha faktchurr tili (2001 yil sentyabr). Arxivlangan
CAJORI FLORIAN. Matematika tarixi, 5-chi. - AMS kitob do'koni, 1991 yil. - 152-modda. - ISBN 0821821024
Flashman, Martin. Molinomlar yordamida integratsiyalarni baholash. 2012 yil 12 fevraldan boshlab boshlang'ich manbadan arxivlangan.

Tabiiy logarifm - Bu asosda logarifm qayerda E (\\ displeystle e) - taxminan 2.72 ga tengsiz doimiy doimiydir. U bilan ko'rsatilgan Ln \u2061 x (\\ displeyStyle \\ ln x), L d d d d dressstle \\ log \\ log _ (e) x) Yoki ba'zan sodda Jurnal \u2061 x (\\ displeySty \\ log x)Agar poydevor bo'lsa E (\\ displeystle e) A'zolar. Boshqacha qilib aytganda, tabiiy logarifm x. - Bu raqamni berilishi kerak bo'lgan ko'rsatkich e.Olish uchun x.. Ushbu ta'rif murakkab raqamlarda kengaytirilishi mumkin.

ln \u2061 e \u003d 1 (\\ displeyStyle \\ ln e \u003d 1), chunki E 1 \u003d e (\\ displeyse e ^ (1) \u003d E); Ln \u2061 1 \u003d 0 (\\ displeyStyle \\ ln 1 \u003d 0), chunki E 0 \u003d 1 (\\ displey e ^ (0) \u003d 1).

Tabiiy logarifm, shuningdek, har qanday ijobiy raqam uchun geometrik jihatdan aniqlanishi mumkin. a. egri chiziq ostida joylashgan y \u003d 1 x (\\ displeystle y \u003d (\\ frac (1) (x))) Intervalda [bitta; A] (\\ displeystle). Ushbu ta'rifning soddaligi, ushbu logaritm qo'llaniladigan boshqa ko'plab formulalar bilan mos keladigan, "tabiiy" nomining kelib chiqishi bilan izohlanadi.

Agar biz tabiiy logarifmni haqiqiy o'zgaruvchining haqiqiy funktsiyasi deb hisoblasak, u identifikatsiya qilish funktsiyasini hisobga olish xususiyatiga olib keladi:

e ln \u2061 a \u003d a (a\u003e 0); (\\ displeystle e \\ ln a) \u003d a \\ quad (a\u003e 0);) Ln \u2061 e a \u003d a (a\u003e 0). (\\ displeystle \\ ln e ^ (a) \u003d a \\ quad (a) kvadrat (a).).

Barcha logarifmlar singari, tabiiy logarifm ko'paytirish orqali ko'paytirishni ko'rsatadi:

Ln \u2061 x y \u003d ln \u2061 x + ln \u2061 y. (\\ displeystle \\ ln xi \u003d \\ ln x + \\ ln y.)

Baza uchun b (a\u003e 0, 1 ga teng bo'lmagan musbat sonning logarifm) ular bunday raqamni AC \u003d B: Kirish AR \u003d A AC \u003d b (A\u003e 0, A 1) , b\u003e 0) & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

E'tibor bering: nomuvofiq raqamdan logarifm aniqlanmagan. Bundan tashqari, logarifmning tagida ijobiy raqam bo'lishi kerak. Masalan, agar biz maydonda qurilgan bo'lsak, biz 4 raqamini olamiz, ammo bu bazada logarifm bu - 2 dan 2 bu 2.

Asosiy logarifmik shaxs

doka a b \u003d b (a\u003e 0, 1) (2)

Ushbu formulani to'g'ri va chap qismlarini aniqlash sohalari boshqacha. Chap qismi faqat b\u003e 0 da, A\u003e 0 va a 1 ≠ 1 da belgilanadi. O'ng tomon har qanday bda aniqlanadi va u umuman a ga bog'liq emas. Shunday qilib, tenglamalar va tengsizlikni echishishda asosiy logarifmik "identifikatsiya" dan foydalanish otzning o'zgarishiga olib kelishi mumkin.

Logarifm ta'rifining aniq oqibatlari

A \u003d 1 (a\u003e 0, 1) (3)
1 \u003d 0 (a\u003e 0, 1) (4)

Darhaqiqat, birinchi darajali raqam qachon o'rnatilgan bo'lsa, biz bir xil raqamni olamiz va u nol darajaga aylanganda.

Logarifm ishlaydi va logarifm xususiy

Kirish A (b c) \u003d log a + log a C (a\u003e 0, a ≠ 1, C\u003e C\u003e 0) (5)

Kirish A b c \u003d log a - C-ni C (A\u003e 0, a ≠ 1, C\u003e C\u003e 0) (6)

Men maktab o'quvchilarini ushbu formulalarni logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni echishda o'ylamaslikni ogohlantirmoqchiman. Ulardan foydalanganda, "chapdan o'ngga" Otz toraygan va logarifmlar hajmining yoki farqidan boshlab ish yoki xususiy qismning logarifmiga o'tishda - Otzning kengayishi.

Darhaqiqat, ifodalash jurnali (F (x) g (x)) ikkita holatda aniqlanadi: Ikkala funktsiya qat'iy yoki F (x) va g noldan kam bo'lsa.

Ushbu iborani f (x) logida aylantirish + d (x) logida, biz faqat F (x)\u003e 0 va g (x)\u003e 0 hisobida faqat ish bilan cheklashga majbur bo'lamiz. Ruxsat etilgan qiymatlarning torayishi mavjud va bu qat'iy emas, chunki bu qarorlarning yo'qolishiga olib kelishi mumkin. Shunga o'xshash muammo formula (6) uchun mavjud.

Logarifm belgisi uchun darajani belgilash mumkin

Kirish A b p \u003d p engil, a (A\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0) (7)

Va yana aniqlikni talab qilmoqchiman. Quyidagi misolni ko'rib chiqing:

Jurn a (F (x) 2 \u003d 2-log (x)

Tenglikning chap qismi aniq belgilanadi, shubhasiz, F (x) ning barcha qiymatlari, noldan tashqari. O'ng taraf - faqat F (x)\u003e 0! Logarifmdan ilmiy daraja kiritgandan so'ng, biz Otzni boshqaramiz. Teskari protsedura ruxsat etilgan qiymatlar sohasini kengaytirishga olib keladi. Ushbu sharhlarning barchasi nafaqat 2 daraja, balki har qanday darajaga ham tegishli.

Yangi bazaga o'tish formulasi

Log a b \u003d log c log c c b (a\u003e 0, a ≠ 1, c\u003e 0, C ≠ 1) (8)

Otz konvertatsiya paytida o'zgarmasa, kam uchraydigan holat. Agar siz asosni oqilona tanlasangiz (ijobiy va 1 ga teng emas), yangi bazaga o'tish formulasi mutlaqo xavfsizdir.

Agar B raqamini tanlagan holda yangi bazada bo'lsa, biz formulaga (8) muhim maxsus ishni olamiz:

Kirish B \u003d 1 log b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, b\u003e 1) (9)

Logarifmlar bilan ba'zi oddiy misollar

Masalan 1. Hisoblang: LG2 + LG50.
Qaror. LG2 + LG500 \u003d 2. Biz logarifmlar (5) formulalarini va o'nlik logarifmni aniqlash formulalaridan foydalanganmiz.

Masalan 2. Hisoblang: LG125 / LG5.
Qaror. LG125 / LG5 \u003d LG 5 125 \u003d 3. Biz yangi bazaga (8) o'tishimizdan foydalandik.

Logarifmlar bilan bog'liq jadval formulalari

Doka a b \u003d b (a\u003e 0, 1)

A \u003d 1 (a\u003e 0, 1)

1 \u003d 0 (a\u003e 0, 1)

Jurn a (b c) \u003d log a + log (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0)

Kirish A b c \u003d log a - c-log (A\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0)

Kirish A b p \u003d p log (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0)

Log a b \u003d log c b c log c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e c ≠ 1)

Kirish A b \u003d 1 log b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, b ≠ 1)

Sizning shaxsiy hayotingizga rioya qilish biz uchun muhimdir. Shu sababli, biz sizning ma'lumotingizni qanday ishlatishimiz va saqlashimizni tasvirlaydigan maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, bizning maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar bo'yicha ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki u bilan muloqot qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlar mavjud.

Siz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlarining ba'zi namunalari va biz bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkin.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlar to'playmiz:

Saytda arizani qoldirganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va boshqa ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan foydalanayotganimizda:

Biz tomonidan to'plangan shaxsiy ma'lumot Siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va eng yaqin voqealar haqida hisobot beradi.
Vaqti-vaqti bilan muhim bildirishnomalar va xabarlarni yuborish uchun shaxsiy ma'lumotlaringizdan foydalanishimiz mumkin.
Shuningdek, biz shaxsiy maqsadlar, shuningdek, bizning xizmatlarimiz xizmatlarini yaxshilash va xizmatlarimiz uchun tavsiyalar berish uchun individual maqsadlar uchun shaxsiy ma'lumotlardan foydalanishimiz mumkin.
Agar siz sovg'alar, raqobat yoki shunga o'xshash ogohlantiruvchi tadbirda ishtirok etsangiz, biz bunday dasturlarni boshqarish uchun siz taqdim etgan ma'lumotlardan foydalanishimiz mumkin.

Uchinchi shaxslarga axborotni oshkor qilish

Biz sizdan uchinchi tomonga olgan ma'lumotlarni aniqlamaymiz.

Istisnolar:

Agar kerak bo'lsa - sudda, sud jarayoni va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududida davlat organlarining jamoatchilikning so'rovlari yoki davlat organlarining so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni aniqlash uchun. Agar biz bunday oshkor qilish qonunchilik va tartibni yoki boshqa ijtimoiy ahamiyatga ega ishlarni saqlab qolish uchun zarur yoki mos kelmasligini aniqlasak, biz siz haqingizda ma'lumotni oshkor qilishimiz mumkin.
Qayta tashkil etilish, birlashish yoki sotish ishida biz uchinchi tomonga mos keladigan shaxsiy ma'lumotlarni - vorisni etkazamiz.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlik va vijdonsiz foydalanishdan, shuningdek, ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgarish va halokatlardan himoya qilish uchun ehtiyot choralarini anglatadi.

Kompaniya darajasida shaxsiy hayotingizga rioya qilish

Shaxsiy ma'lumotlar xavfsiz ekanligiga ishonch hosil qilish uchun biz xodimlarimizga maxfiylik va xavfsizlik me'yorlarini olib boramiz va maxfiylik choralarini qat'iy bajaradi.