So'nggi logarifm faoliyat misollari. Logarifmlar: Misollar va echimlar

Ushbu maqolaning diqqat markazida logarifm. Bu erda biz logarifmning ta'rifini beramiz, qabul qilingan belgini ko'rsatamiz, biz logarifmlar misolini keltiramiz va tabiiy va o'nlik logarifmlar haqida aytaylik. Shundan so'ng, asosiy logarifmik shaxsni ko'rib chiqing.

Navigatsiya sahifasi.

Logarifm ta'rifi

Logarifm tushunchasi muammoni hal qilishda, darajadagi va ma'lum asosga ko'ra darajaning ko'rsatkichi topilishi kerak bo'lganda yuzaga keladi.

Ammo etarlicha ilonlar, savolga javob berish vaqti keldi "Logarifm nima? Keling, tegishli ta'rifni beraylik.

Ta'rif.

Logarifm raqami, bu erda a\u003e 0, a ≠ 1 va B\u003e 0 b ni olish uchun a ni aniqlash kerak bo'lgan ko'rsatkichning ko'rsatkichi.

Ushbu bosqichda biz "logarifm" so'zi bilan aytgan savolga: "Raqam" va "nima asosida" va "nima" deb atash kerakligini ta'kidlaymiz. Boshqacha qilib aytganda, bu shunchaki logarifm va ba'zi sabablarga ko'ra raqamlarning logarifmasi mavjud.

Darhol tanishtiring logarifm belgisi: B raqamining logarifmasi A jurnali sifatida belgilanishi kerak. Beyk 10-ga asoslangan B ning logarifm, to'g'ridan-to'g'ri LNB va LGB-ning o'ziga xos belgilariga ega, ya'ni LNB va LGB-ning o'ziga xos belgilariga ega, ya'ni lnb, va LGB-ni emas.

Endi siz berishingiz mumkin :.
Va yozuvlar Bu hech qanday ma'noga ega emas, chunki Logarifm belgisi ostida, ikkinchisida - bazadagi salbiy raqam - bu logarifm belgisi ostida salbiy raqam va bitta poydevorda.

Endi ayting, O. lodarovmovni o'qish Qoidalar. "B" jurnalini "A" ga asoslangan "LODAGITM B" sifatida o'qiladi. Masalan, log 2 3 - bu 2 ta bazada uchta logaritm, va erdagi ikki qismning ikki qismidagi logarifm kvadrat ildiz beshdan tashqarida. Logarifm deb atagan tabiiy logarifmVa LNB yozuvi "Tabiiy logarifm B" sifatida o'qiladi. Masalan, ln7 etti yillik tabiiy logarifm va biz tabiiy logaritm pi sifatida o'qiymiz. Boad 10-dagi logarifm, shuningdek, maxsus ismga ega - o'nlik logarifmVa LGB yozuvi "o'nlik oylik logarifm" sifatida o'qiladi. Masalan, LG1 - bu o'nlik log 'lguzitm birligi va LG2 75 - bu ikki etmish besh yuzdan iborat o'nlik logaritm.

Bunga qo'shimcha ravishda A\u003e 0, a ≠ 1 va B\u003e 0 shartlarida alohida ahamiyatga ega, uning ostida logarifm ta'rifi berilgan. Keling, ushbu cheklovlar qayerdan kelib chiqqanini tushuntirib beraylik. Bu bizga logarifmning yuqoridagi ta'rifidan to'g'ridan-to'g'ri quyidagicha bo'lgan turlarning tengliklariga yordam beradi.

Keling, a 1 dan boshlaylik. Jihoz har qanday darajaga teng bo'lsa, tenglik faqat b \u003d 1 da kuchga ega bo'lishi mumkin, ammo 1-chi 1 1 har qanday haqiqiy raqam bo'lishi mumkin. Ushbu ko'p raqibning oldini olish uchun a ≠ 1.

A\u003e 0 holatining maqsadga muvofiqligini oqlaylik. A \u003d 0, logarifm ta'rifiga ko'ra, bizda faqat b \u003d 0 da tenglik bor edi. Ammo keyin 0 0 ni noldan farq qiladigan har qanday boshqa raqam, nolga teng bo'lmagan darajada nolga teng bo'lishi mumkin. Ushbu ko'p raqibdan saqlaning, a ≠ 0. Va A. bilan<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Va nihoyat, b\u003e 0 e\u003e 0, va ijobiy asos bilan ilmiy darajadagi darajadagi qiymat har doim ijobiy.

Ushbu mahsulotning oxirida, aytaylik, keling logarifmning ovozli ta'rifi logarifm belgisi ostida bo'lgan raqamning ma'lum bir darajali darajasiga ega bo'lganda logarifmning qiymatini aniqlashga imkon beradi. Darhaqiqat, logarifmning ta'rifi sizga buni b \u003d a bo'lsa, Baza uchun b raqamining logarifmasi deb ta'kidlashga imkon beradi. Ya'ni, bir tenglik qaydnomasi A P \u003d P haqiqiy. Masalan, biz 2 3 \u003d 8 ni bilamiz, keyin 2 8 \u003d 3 ni bosing. Maqolada biz bu haqda batafsil gapirib beramiz.

Bugun biz bu haqda gaplashamiz lodarovmov formulalari va ko'rsatma bering solutionlarga misollar.

O'zlari tomonidan logarifmlarning asosiy xususiyatlariga muvofiq qarorlar shakllarini anglatadi. Avval logarifmlarni sizga eslatib turish uchun echimlar uchun qo'llash uchun, avval barcha xususiyatlar:

Endi ushbu formulalar (xususiyatlar) asosida, biz ko'rsatamiz logarifm eritmalarining namunalari.

Formulalarga asoslangan logiesmlarning misollari.

Logarifm A musofir raqami (b) tomonidan belgilangan b) b) b\u003e 0, A\u003e 0 va 1 bilan olish kerak bo'lgan ko'rsatkichning ko'rsatkichi hisoblanadi.

Kirish ta'rifiga ko'ra, b \u003d x, bu x \u003d b ga teng, shuning uchun u x \u003d x ga teng.

LogarifmiaMisollar:

log 2 8 \u003d 3, chunki 2 3 \u003d 8

kirish 7 49 \u003d 2, chunki 7 2 \u003d 49

log 5 1/5 \u003d -1, chunki 5 -1 \u003d 1/5

O'nlik logarifm - Bu oqilona logarifm, uning asosi LG deb belgilanadi.

log 10 100 \u003d 2, chunki 10 2 \u003d 100

Tabiiy logarifm - Oddiy logarifm logarifm, lekin allaqachon e (e \u003d 2,71828 ... - irratsional raqami bilan). Ln kabi belgilanadi.

Logarifmlarning formulalari yoki xususiyatlari eslab qolish maqsadga muvofiqdir, chunki ular kelajakda logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni echishda kerak bo'ladi. Keling, har bir formulani, misollarda ishlaylik.

Asosiy logarifmik shaxs
Dok a b \u003d b
8 2 ball 8 3 \u003d (8 2 ball 8) 2 \u003d 3 2 \u003d 9
Logarifm logarifmlar yig'indisiga teng ishlaydi
Jurn a (mil.) \u003d C b + l tizimi
log 3 8.1 + Log 3 10 \u003d Log 3 (8.1 * 10) \u003d log 3 81 \u003d 4
Logarifm shaxsiy logarifmlarning farqiga teng
Jurn a (b / c) \u003d l oching
9-log 5 50/9 log 5 2 50- 9 log 5 25 \u003d 9 2 \u003d 81
Logarifmik raqami va logarifmning asosi
Logaritmic raqamining ko'rsatkichi A b mllog a b

Logarifm jurnalining asosidagi indikator n b \u003d 1 / n * log

kirish N B m m / n * log a b,

agar m \u003d n bo'lsa, biz d n \u003d log a-ni olamiz

log 4 9 \u003d log 2 2 3 2 \u003d log 2 3
Yangi bazaga o'tish
Log c b \u003d log c l / log c,
agar C \u003d B bo'lsa, biz l b \u003d 1 olamiz

keyin b \u003d 1 / logi b a

log 0.8 3 * Log 3 1,25 \u003d log 0.8 1,25 / log 0,8 3 \u003d log 0,85 \u003d loce 4/5

Ko'rinib turibdiki, logarifmlar ko'rinadigan darajada murakkab emas. Endi biz logarifmlarni echimining namunalarini ko'rib chiqishimiz mumkin bo'lgan logarifmik tenglamalarga o'tishimiz mumkin. Kataritmik tenglamalarni hal qilish misollari: "" Maqolaning: "". O'tkazib yuborma!

Agar sizda qaror haqida biron bir savolingiz bo'lsa, ularni maqolaning sharhlarida yozing.

Eslatma: Vasiyatlarni rivojlantirish uchun chet elda boshqa sinf mashg'ulotlarini shakllantirishga qaror qildik.

Xuddi shunday algebbra - bu ibtidoiy darajali algaritm bo'lgan. Nom yunon tilidan "raqam" yoki "daraja" so'zidan kelib chiqqan va oxirgi raqamni topish uchun asoslarni qurish kerak bo'lgan darajadagi daraja.

Logarifm turlari

b jurnali a raqami uchun b (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0) uchun b raqamining logarifm;
lG B o'nlik logarifm (10, a \u003d 10);
ln b tabiiy logarifm (E, A \u003d E) ga asoslangan logarifm.

Logarifmlarni qanday hal qilish kerak?

Baza uchun b raqamining logarifm A - bu B substratining asosini talab qiladigan darajadagi ko'rsatkichdir. Natijada shunday deyiladi: "Baza uchun logarifm b". Logarifmik topshiriqlarning echimi shundaki, ushbu darajani ko'rsatilgan raqamlarda raqamlarni aniqlashingiz kerak. Logarifmni aniqlash yoki hal qilish uchun ba'zi asosiy qoidalar mavjud, shuningdek, rekordning o'zida. Ulardan foydalanib, logarifmik tenglamalar amalga oshiriladi, derivativlar mavjud, integratsiyalar hal qilinadi va boshqa ko'plab operatsiyalar amalga oshiriladi. Asosan, logarifmning eritmasi uning soddalashtirilgan kirishidir. Quyida asosiy formula va xususiyatlar mavjud:

Har qanday a uchun; A\u003e 0; a ≠ 1 va har qanday x uchun; Y\u003e 0.

dok a b \u003d b - asosiy logarifmik identifikatsiya
1 \u003d 0 ni qayd eting
a \u003d 1-ni qayd eting
jurn a (x yyu) \u003d jurnal a x + log a y ni bosing
l / y \u003d jurnalni qayd qiling - Y-ni qayd qiling
1 / x \u003d-x ga to'g'ri kiring
l p \u003d p engil log
kirish K X \u003d 1 / k · logi a x ≠ 0 da
kirish X \u003d log a c x c
kirish X \u003d log b / log b / log b - yangi bazaga o'tish formulasi
x \u003d 1 / log x a

Logovaritmlarni qanday hal qilish kerak - bosqichma-bosqich ko'rsatma

Boshlash, kerakli tenglamani yozing.

E'tibor bering: agar logarifmda 10 bo'lsa, yozuv qisqartirildi, u o'nlik logarifm bo'ladi. Agar bunga arziydi tabiiy son E, keyin yozing, tabiiy logarifmni kesib oling. Shuni yodda tutayapti, barcha logarefmlarning natijasi Bazalarning soni B. Soch raqamini olish uchun asos mavjud.

Darhol echim bu darajada hisoblash. O'zingizni logarifm bilan hal qilishdan oldin, u qoidaga muvofiq soddalashtirilgan bo'lishi kerak, ya'ni formulalardan foydalanish. Asosiy identifikatsiyalarni maqolada bir oz orqaga qaytarish orqali topish mumkin.

Logarifmlarni ikki xil son bilan katlama va olib tashlash, lekin bir xil bazalar bilan bitta libochmni mahsulot bilan va mos ravishda ajrating. Bunday holda, siz boshqa bazaga o'tishni qo'llashingiz mumkin (yuqorida qarang).

Agar siz logarifmni soddalashtirish uchun iboralarni ishlatsangiz, unda ba'zi cheklovlar hisobga olinishi kerak. Ya'ni: Logarifmning asosi faqat ijobiy raqam, lekin bittaga teng emas. B raqami, shuningdek, nolga teng bo'lishi kerak.

Ifronni soddalashtirishda, siz logarifmni raqamli shaklda hisoblay olmaysiz. Bu bunday ibora ma'nosi yo'q, chunki ko'p daraja irqental raqamlardir. Ushbu shart bilan raqam darajasini logarifm yozuvi sifatida qoldiring.

COGARTITM raqami (b\u003e 0, a ≠ 1) asosida - b ni olish uchun a raqami olinishi kerak bo'lgan ko'rsatkichning ko'rsatkichi.

10-dagi bokaw raqami lG (b)va e (tabiiy logarifm) asosida logarifm - ln (b).

LogocTMM bilan vazifalarni hal qilishda ko'pincha ishlatiladi:

Logarifmning xususiyatlari

To'rtta asosiy narsa mavjud logarifmning xususiyatlari.

0, a ≠ 1, x\u003e 0 va Y\u003e 0 ruxsat bering.

Mulk 1. Logarifm ishlaydi

Logarifm ishlaydi logarifmlar yig'indisiga teng:

jurn a (x ⋅ y) \u003d eng x + qayd qilish

Mulk 2. Xususiy logarifm

Logarifm xususiy logarifmdagi farqga teng:

jurn a (x / y) \u003d l dog '

Mulk 3. Logarifm

Logarifm darajasi Bu logarifm darajasiga teng:

Agar logarifmning asosi bo'lsa, boshqa formulalar:

Mulk 4. logarifm ildizi

Ushbu mulk darajadagi logarifmning xususiyatlaridan olinishi mumkin, chunki N-Th darajasining ildizi 1 / n ga teng:

Logarifmdan logarifmdan bir bazadan logarifmga turli xil baza bilan ulanish formulasi

Ushbu formulalar logarifmia uchun turli vazifalarni hal qilishda ko'pincha ishlatiladi:

Shaxsiy holat:

Logaritmlarni taqqoslash (tengsizlik)

Bogramm va ularning orasidagi logarifmlar ostida 2 ta funktsiyani (x) va dog'ctsms-ning belgisi bo'lsin:

Ularni taqqoslash uchun siz birinchi navbatda logaritmlar bazasiga qarang:

Agar a\u003e 0 bo'lsa, f (x)\u003e g (x)\u003e 0
Agar 0 bo'lsa< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Logoctms bilan bog'liq muammolarni qanday hal qilish kerak: Misollar

Logarifmlar bilan vazifalar 5-sinf uchun matematikaga 5-sinfda va 7-band bo'yicha 7-sinfda o'z vazifalarini tegishli bo'limlarda echimlar bilan topishingiz mumkin. Bundan tashqari, logarifmlar bilan bog'liq vazifalar matematikadagi vazifalar hazilida topilgan. Qidiruv saytida topishingiz mumkin bo'lgan barcha misollar.

Logarifm nima

Logarifmlar har doim murakkab mavzu deb hisoblangan maktab kursi Matematika. Logarifmning turli xil ta'riflari mavjud, ammo ba'zi sabablarga ko'ra eng murakkab va muvaffaqiyatsiz.

Biz sodda va aniq logarifmni aniqlaymiz. Buning uchun stol qiling:

Shunday qilib, bizdan oldin.

Logarifmlar - Xususiyatlar, formulalar, qanday qilib hal qilish kerak

Agar siz pastki chiziqdan raqamni olsangiz, siz ushbu raqamni olish uchun dehqonni qabul qilish kerak bo'lgan darajaga ega bo'lishingiz mumkin. Masalan, to'rtinchi darajali qurilish uchun sizda ikkita kerak. Va 64 kishini olish uchun siz oltinchi darajali qurish uchun ikkita kerak. Bu jadvaldan ko'rinadi.

Va endi - aslida, logarifm ta'rifi:

x argumentga asoslangan, x raqamini olish uchun a raqami olish kerak bo'lgan daraja.

Belgilangan: X \u003d B-ni qayd qiling, u erda x - bu argument, b - aslida, aslida logarifmga teng.

Masalan, 2 3 \u003d 8 ⇒ 2 8 \u003d 3 (8 raqamidagi 2-sonli bazasi uchun logarifm - 2 3 \u003d 8). Bir xil muvaffaqiyatlar bilan 2 64 \u003d 6, 2 6 \u003d 64.

Ushbu bazadagi raqamning logarifmini topishda operatsiya deyiladi. Shunday qilib, bizning stolimizni yangi satr bilan to'ldiring:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 \u003d 1	log 2 4 \u003d 2	log 2 8 \u003d 3	log 2 16 \u003d 4	log 2 32 \u003d 5	log 2 64 \u003d 6

Afsuski, barcha logarefmlar juda oson deb hisoblanadi. Masalan, 2-sonni topishga harakat qiling 5. Sum raqamlari 6 raqamlari yo'q, ammo mantiq shuni ko'rsatadiki, logarifm segmentga yotadi. Chunki 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Bunday raqamlar irratsional deb ataladi: vergulni cheksizlikka yozish mumkin va ular hech qachon takrorlamaydilar. Agar logarifmasiz, uni tark etish yaxshiroq bo'lsa, uni tark etish yaxshidir: 2 5, log 3 8, log 5 100.

Logarifm ikkita o'zgaruvchi (bazasi va argumenti) ifodasi ekanligini tushunish juda muhimdir. Birinchi bo'lib birinchi bo'lib, u erda asos joylashgan joyda chalkashib ketgan va argument qaerda. Noto'g'ri tushunmovchiliklarni oldini olish uchun, shunchaki rasmni ko'rib chiqing:

Bizdan oldin logarifm ta'rifidan boshqa narsa emas. Esingizda bo'lsin: logarifm bu darajaArgumentni olish uchun poydevor qo'yish kerak. Bu bir darajaga o'rnatilgan poydevor - Rasmda qizil rangda ta'kidlangan. Ma'lum bo'lishicha, poydevor har doim pastda joylashgan! Ushbu ajoyib qoida men o'z o'quvchilarga birinchi darsda aytaman va hech qanday chalkashlik paydo bo'lmaydi.

Logarifmni qanday hisoblash kerak

Biz ta'rifni ko'rib chiqdik - bu logarifmlarni ko'rib chiqishni o'rganish, I.E. "Kirish" belgisidan xalos bo'ling. Avvaliga, shuni ta'kidlaymizki, biz ta'rifdan ikki muhim faktlar:

Balki va baza har doim noldan katta bo'lishi kerak. Bu mantiqiy indikator darajasini aniqlashdan kelib chiqadi, bunda logarifm ta'rifi kamayadi.
Baza jihozdan farq qilishi kerak, chunki jihoz hali ham birdamlik bo'lib qolmoqda. Shu sababli "ma'nodan mahrum bo'lish uchun birligi bilan jihozni qanday aniqlash kerakligi sababli" savol. Bunday daraja yo'q!

Bunday cheklovlar deyiladi ruxsat etilgan qiymatlar maydoni (Otz). Shunga o'xshab, g'alati logarifm shunday ko'rinadi: X \u003d b ⇒\u003e 0, A\u003e 0, A 1.

E'tibor bering, b raqamida hech qanday cheklovlar yo'q. Masalan, logarifm salbiy bo'lishi mumkin: log 2 0.5 \u003d -1, chunki 0.5 \u003d 2 -1.

Biroq, endi biz faqat bir ona logarifm talab qilinishini bilish uchun faqat raqamli iboralarni ko'rib chiqmoqdamiz. Barcha cheklovlar vazifalarni tuzuvchi tomonidan hisobga olinadi. Ammo logarifmik tenglamalar va tengsizliklar ketganda, OTZ talablari majburiy bo'ladi. Darhaqiqat, bazada va tortishuvda juda asossiz tuzilmalar, albatta, yuqorida ko'rsatilgan cheklovlarga rioya qilish mumkin.

Endi ko'rib chiqing umumiy sxema Logarifmlarning hisoblashlari. U uchta bosqichdan iborat:

Baza a va argument x Minimal bazasi, katta birlik, katta bo'linish bilan ilmiy daraja shaklida yuboring. Yo'l davomida o'nlik kasrlardan xalos bo'lish yaxshiroqdir;
O'zgaruvchan B tenglamaiga nisbatan hal qiling: x \u003d a b;
Natijada B raqami javob bo'ladi.

Ana xolos! Agar logarifm irratsional bo'lsa, u birinchi bosqichda ko'rinadi. Baza ko'proq birlashishi talabi juda muhimdir: bu xato ehtimolini kamaytiradi va hisob-kitoblarni juda soddalashtiradi. S. ga o'xshash o'nlik kasrlar: Agar siz darhol ularni oddiy odamlarga o'tkazsangiz, ba'zida kamroq bo'ladi.

Keling, ushbu sxema aniq misollarda qanday ishlashini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Logarifm-ni hisoblang: log 5 25

Besh daraja darajasida asos va argumentni taqdim eting: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Kelinglar va tenglamani hal qilaylik:
log 5 25 \u003d b ⇒ b \u003d 5 2 ⇒ a5 ⇒ b \u003d 2;

Javobni qabul qildi: 2.

Vazifa. Logarifmni hisoblang:

Vazifa. Logarifm-ni hisoblang: 4 64

Tasavvur qiling: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
Kelinglar va tenglamani hal qilaylik:
log 4 64 \u003d b ⇒ b \u003d 2 6 ⇒ 2b \u003d 2 6 ⇒ b \u003d 3;
Javobni qabul qildi: 3.

Vazifa. Logarifm-ni hisoblang: 16 1

Ikki darajali asos sifatida asos va argumentni tasavvur qiling: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
Kelinglar va tenglamani hal qilaylik:
log 16 1 \u003d b ⇒ b \u003d 2 0 ⇒ 4b \u003d 2 0 ⇒ \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
Javobni qabul qildi: 0.

Vazifa. Logarifm hisoblang: 7 14

Etti daraja darajali asos va argumentni taqdim eting: 7 \u003d 7 1; 14 etti darajali shaklda, u 7 dan beri ko'rinmaydi< 14 < 7 2 ;
Oldingi nuqtadan logarifm hisobga olinmaydi;
Javob o'zgarmaydi: 7 14.

Oxirgi misolga ozgina izoh. Qanday qilib raqam boshqa raqamning aniq darajasi emasligiga ishonch hosil qilish kerak? Juda oddiy - uni oddiy omillarga ajratish uchun etarli. Agar parchalanishda kamida ikki xil omil bo'lsa, raqam aniq daraja emas.

Vazifa. Raqamning aniq darajalari yo'qligini bilib oling: 8; 48; 81; 35; o'n to'rt.

8 \u003d 2 · 2 \u003d 2 3 - to'g'ri daraja, chunki Muloqli bittasi faqat bittadir;
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 \u003d 3 · 2 \u003d 3 \u003d 3 \u003d 3 \u003d 3 \u003d 3 · 2 4 - bu ikkita omil bor, chunki ikkita omil bor: 3 va 2;
81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 \u003d 3 \u003d 3 4 - to'g'ri daraja;
35 \u003d 7 · 5 - yana aniq darajasi emas;
14 \u003d 7 · 2 - Yana bir daraja emas;

Shuni ham ta'kidlaymizki, oddiy sonlarning o'zlari har doim aniq darajalari.

O'nlik logarifm

Ba'zi logaritmlar ko'pincha o'zgacha ism va belgi bor, deb taxmin qilinadi.

x ardumentidan 10-bazada joylashgan logarifm, i.e. X raqamini olish uchun 10 raqamini aniqlash darajasi darajasi. Belgilangan: LG X.

Masalan, LG 10 \u003d 1; LG 100 \u003d 2; LG 1000 \u003d 3 - va hk.

Bundan buyon, darslik "LG 0.01" kabi iboraga duch kelganida, biling: u xato emas. Bu o'nlik logaritm. Ammo, agar siz bunday belgi uchun g'ayrioddiy bo'lsangiz, u har doim qayta yozilishi mumkin:
Lg x \u003d log 10 x

Oddiy logarifmlar uchun haqiqiy bo'lganlarning barchasi o'nlik uchun haqiqiydir.

Tabiiy logarifm

O'zining maqsadi bor yana bir logaritm mavjud. Ma'noda bu o'nlikdan ham muhimroqdir. Biz gaplashyapmiz Tabiiy logarifm haqida.

x ardumentidan - E, I.00 ga asoslangan logarifm X raqamini olish uchun e raqamni o'rnatilishi kerak. Belgilangan: ln x.

Ko'pchilik so'raydi: E raqamida yana nima? Bu irratsional son, uni topish va yozish uchun aniq qiymat. Men faqat birinchi raqamlarimni beraman:
e \u003d 2,71828188459 ...

Biz bu raqam ekanligini va nima uchun sizga kerakligini rivojlantiramiz. Esingizda bo'lsa, E tabiiy logaritm asosidir:
ln x \u003d log e x

Shunday qilib, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; Ln e 16 \u003d 16 - va boshqalar. Boshqa tomondan, ln 2 - bu irratsional raqam. Umuman olganda, har qanday ratsional sonning tabiiy logarifmi irratsionaldir. Bundan tashqari, albatta, birliklar: ln 1 \u003d 0.

Tabiiy logarifmlar uchun oddiy logarefmlar uchun to'g'ri bo'lgan barcha qoidalar amal qiladi.

Shuningdek qarang:

Logarifm. Logarifm (logarifm darajasi) xususiyatlari.

Qanday qilib raqamni logarifm shaklida yuborish kerak?

Biz logarifm ta'rifidan foydalanamiz.

Logarifm - bu logarifm belgisi ostida raqamni olish uchun bazani olish kerak bo'lgan ko'rsatkich.

Shunday qilib, a ga asoslangan logarifm shaklida ma'lum bir C logarifm belgisi ostida logarifm belgisi ostida logarifm belgisi ostida bir darajaga ega bo'lishi kerak va bu raqamni yozib olish darajasida C:

Logarifm shaklida siz har qanday raqamni tasavvur qilishingiz mumkin - ijobiy, salbiy, butun son, kasr va oqilona, \u200b\u200birratsional, aqlli:

Shunday qilib, nazorat yoki imtihonning stressli shartlarida A va C-ni chalkashtirib yubormasligi uchun siz bunday esdalik qoidalaridan foydalanishingiz mumkin:

pastki buyumlar pastga tushadi, bu yuqoriga ko'tarilib borardi.

Masalan, siz 3-sonli bazaga qarab logarifm sifatida 2 raqamini yuborishingiz kerak.

Bizda ikkita raqam bor - 2 va 3. Ushbu raqamlar - bu biz logarifm belgisi ostida yozadigan daraja va ko'rsatkichi. Bu raqamlardan qaysi raqamlarni yozib olish kerakligini aniqlash va indikatorning asosini aniqlash kerak.

Logarifm yozuvidagi 3-bazali pastki qismida, bu ikkalasi 3, 3-bazada joylashgan logaritm shaklida ikkitadan ifodalanganimizda, bazaga yozing.

2 Uch uchdan yuqori turadi. Va tugash darajasida biz eng yaxshi uchlikni, ya'ni darajani belgilaymiz:

Logarifmia. Birinchi daraja.

Logarifmia

Logarifm Ijobiy raqam b. Asoslangan a.qayerda a\u003e 0, a ≠ 1, bu ko'rsatkich berilishi kerak bo'lgan ko'rsatkich a.Olish uchun b..

Logarifm ta'rifi Siz buni qisqacha qayd etishingiz mumkin:

Bu tenglik adolatli b\u003e 0, A\u003e 0, A 1. U odatda chaqiriladi logarifmik identifikator.
Logarifmning joylashish joyi deyiladi logaritming.

Loarov xususiyatlari:

Logarifm ishlaydi:

Logarifm XUSUSIYA BOShQA:

Logarifm bazasini almashtirish:

Logarifm:

Logarifm ildizi:

Kuchli bazasi bo'lgan logarifm:

O'nlik va tabiiy logarifmlar.

O'nlik logarifm Raqamlar ushbu raqamning bazasi 10 ta va NBSP LG yozish va & nbsp lg ni yozish deyiladi b.
Tabiiy logarifm Raqamlar ushbu raqamning logarifm deb nomlanadi e.qayerda e. - irratsional raqam, taxminan 2.7. Bir vaqtning o'zida ular ln yozadilar b..

Boshqa algebra va geometriya yozuvlari

Logarifmning asosiy xususiyatlari

Har qanday raqam kabi logarifmlar katlanmış, chegirma va aylantirishi mumkin. Ammo logarifmlar juda oddiy raqam emasligi sababli, ular deb nomlanadigan shaxsiy qoidalar mavjud asosiy xususiyatlar.

Ushbu qoidalar, albatta, bilishi shart - ularsiz jiddiy logarifmik vazifa yo'q. Bundan tashqari, ular juda oz - hamma narsani bir kunda o'rganish mumkin. Shunday qilib, davom eting.

Logarifmlarni qo'shish va ajratish

Xuddi shu asoslar bilan ikkita logaritmni ko'rib chiqing: X-ni qayd qiling va Y ga yozing. Keyin ular katlanmış va chegirib tashlanishi mumkin:

jurnal A X + log a y \u003d log a (x ingi);
yurag a x - jurnal a (X: Y).

Shunday qilib, logarifmlar miqdori ishning logarifmiga teng va farq - bu shaxsiy logarifm. E'tibor bering: bu erda asosiy nuqta bir xil maydonchalar. Agar poydevor boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!

Ushbu formulalar individual qismlar ko'rib chiqilmasa ham logarifmik ifodani hisoblashda yordam beradi ("Logarifm nima"). Misollarni ko'rib chiqing - va ishonch hosil qiling:

Jurnal 6 4 + 6-raqam.

Kiritytmdagi asoslar bir xil ekan, biz summa yig'indisidan foydalanamiz:
jurnal 6 4 + Log 6 \u003d Log 6 (4 · 9) \u003d qaydlar 6 36 \u003d 2.

Vazifa. Izohning qiymatini toping: LOG 2 48 - 2-log 2 3.

Nahotnomalar farq formulasidan foydalangan holda bir xil
log 2 48 - LOG 2 3 \u003d LOG 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.

Vazifa. Ifron qiymatini toping: Log 3 135 - 3-log 3 5.

Yana poydevor bir xil, shuning uchun bizda:
log 3 135 - Log 3 5 \u003d Log 3 (135: 5) \u003d log 37 \u003d 3.

Ko'rinib turibdiki, dastlabki iboralar alohida-alohida ko'rib chiqilmagan "yomon" logarifiyalardan iborat. Ammo o'zgarishdan so'ng, juda normal raqamlar olinadi. Bu faktga ko'pchilik qurilgan. sinov qog'ozlari. Ammo nazorat nima - bunday iboralar to'liqdir (ba'zan deyarli o'zgarmagan) imtihonda taklif etiladi.

Logarifmdan Ijroiya darajasi

Endi vazifani ozgina murakkablashtiradi. Agar logarifm bazasi yoki dalillari bo'lsa nima bo'ladi? Keyin bu darajada ko'rsatkichi quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm imzo chekilishi mumkin:

So'nggi qoidaning birinchi ikkitasini davom ettirish osonligini ko'rish juda oson. Ammo buni eslab qolish yaxshiroq, ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.

Albatta, bu barcha qoidalar Otz Logarifmga rioya qilganida: A\u003e 0, X 1, X\u003e 0, Nafaqat chapdan,, aksincha, I.E. Siz logarifmga qarab, logarifmning o'zi uchun raqamlar kiritishingiz mumkin.

Logarifm qanday qilib hal qilish kerak

Bu ko'pincha talab qilinadi.

Vazifa. Izohning qiymatini toping: 7 49 6.

Birinchi formulani argumentda kamdan qutulish:
qayd qilish 7 49 6 \u003d 6 · Log 7 49 \u003d 6 \u003d 12

Vazifa. Ifoda qiymatini toping:

Shuni yodda tutingki, denominatorda logaritm, baza va uning argumenti mavjud: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Bizda ... bor:

O'ylaymanki, so'nggi misol tushuntirishni talab qiladi. Logaritmlar qayerda g'oyib bo'lishdi? Samodan oldin oxirgi lahzalar Biz faqat denominator bilan ishlaymiz. Ular darajadagi logaralmmning asoslari va argumentini namoyish etishdi va ko'rsatkichlar "uch qavatli" kasrni olishdi.

Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Rumeratordagi raqam va denominator bir xil raqam: LOG 2 7. 2-lo '0, biz kasrni kamaytiramiz - 2/4 denominatorda qoladi. Arifmetik qoidalariga ko'ra, to'rtta hisoblagichga o'tkazilishi mumkin. Natijada javob: 2.

Yangi bazaga o'tish

Logaritmlarni qo'shish va ajratish qoidalari haqida gapirganda, men faqat bir xil bazalar bilan ishlashlarini alohida ta'kidladim. Va poydevorlar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil raqamning aniq darajasiga ega bo'lmasa-chi?

Yangi bazaga o'tish uchun formulalar qutqaruvga keladi. Biz ularni teorema shaklida keltiramiz:

Lua x ga berilsin. Keyin C\u003e 0 va C ≠ 1-sonli har qanday raqam uchun tenglik to'g'ri:

Xususan, agar siz c \u003d x qo'ysangiz, biz quyidagilarni olamiz:

Ikkinchi formulasidan quyidagicha logarifmning asoslari va argumenti joylarda o'zgartirilishi mumkin, ammo shu bilan birga "burilish" iborasi, i.e. Logarifm denominatorda bo'ladi.

Ushbu formulalar an'anaviy raqamli iboralarda kam uchraydi. Ular qanchalik qulayligini baholash faqat logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni hal qilishda mumkin.

Biroq, umuman yangi bazaga o'tish sifatida hech qanday vazifalar mavjud emas. Bir nechta masalani ko'rib chiqing:

Vazifa. Izohning qiymatini toping: LOG 5 16 · LOG 2 25.

E'tibor bering, ikkala logaritmlarning dalillari aniq darajadagi. Men xulosa qilaman: 5 16 \u003d 5 2 4 \u003d 4OG 5 2; Log 2 25 \u003d LOG 2 5 2 \u003d 2Log 2 5;

Va endi ikkinchi logaritmni "inertert":

Muloqterlarning qayta tiklanganidan boshlab, biz tez-tez to'rt va ikkitasini o'zgartirib, xotirjamlik bilan o'zgarib turamiz.

Vazifa. Izohning qiymatini toping: 100 · lg 3.

Birinchi logarifm asoslari va dalillari - aniq daraja. Biz yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'lamiz:

Endi yangi bazaga o'girilib o'nlik logaritmdan xalos bo'ling:

Asosiy logarifmik shaxs

Ko'pincha, echim raqamni belgilangan bazaga logaritm sifatida topshirish uchun talab qilinadi.

Bunday holda, formulalar bizga yordam beradi:

Birinchi holatda n soni argumentning ko'rsatkichiga aylanadi. N raqami har qanday bo'lishi mumkin, chunki bu shunchaki logarifm qiymatidir.

Ikkinchi formulalar aslida paraflasatsiya qilingan ta'rifdir. Bu deyiladi:.

Aslida, b raqami BUNING RAQAMI AX raqamiga a raqami a raqami bersa nima bo'ladi? O'ngdan: bu bir xil raqamni aylanadi. Ehtiyotkorlik bilan ushbu paragrafni yana o'qing - ko'p "osib qo'ying".

O'tish formulalari kabi yangi bazaga o'xshab, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan faqat mumkin bo'lgan eritmadir.

Vazifa. Ifoda qiymatini toping:

E'tibor bering, qayd yozuvi 25 64 \u003d log 5 8 - faqat bazaning kvadratini va logarifmning dalilini yaratdi. Xuddi shu asosda darajalarni ko'paytirish qoidalarini hisobga olgan holda, biz olamiz:

Agar kimdir xabardor bo'lmasa, bu "Ajer" ning haqiqiy vazifasi edi

Logarifmik birlik va logarifmik nol nol nol

Xulosa qilib aytganda, men mulkni nomlash qiyin, bu moddiylikni aniqlash qiyin, bu logarifm ta'rifining natijasidir. Ular doimiy ravishda vazifalarda topiladi va ajablanarli bo'lib, hatto "rivojlangan" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.

a \u003d 1 ni kiriting. Vaqtni va abadiy Eslatib o'ting: bu asosdan bir xil bo'lgan har qanday poydevordagi logarifm bittaga teng.
1 \u003d 0 ni qayd eting. Baza har qanday ma'no bo'lishi mumkin, ammo agar argument birlik - logarifm nolga teng! Chunki 0 \u003d 1 ta'rifning bevosita natijasidir.

Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashingizga ishonch hosil qiling! Darsning boshida beshikni yuklab oling, chop eting - va vazifalarni hal qiling.

Shunday qilib, bizdan oldin. Agar siz pastki chiziqdan raqamni olsangiz, siz ushbu raqamni olish uchun dehqonni qabul qilish kerak bo'lgan darajaga ega bo'lishingiz mumkin. Masalan, to'rtinchi darajali qurilish uchun sizda ikkita kerak. Va 64 kishini olish uchun siz oltinchi darajali qurish uchun ikkita kerak. Bu jadvaldan ko'rinadi.

Va endi - aslida, logarifm ta'rifi:

X argumentdan olingan logarifm x raqamini olish uchun a raqami olish kerak bo'lgan daraja darajasidir.

Belgilangan: X \u003d B-ni qayd qiling, u erda x - bu argument, b - aslida, aslida logarifmga teng.

Masalan, 2 3 \u003d 8 ⇒ log 2 8 \u003d 3 (8 raqamidan 2-sonli bazasi uchun logarifm - 2 3 \u003d 8). Bir xil muvaffaqiyatlar bilan 2 64 \u003d 6, 2 6 \u003d 64.

Berilgan baza uchun raqam logarifmini topish operatsiyasi logaritming deb ataladi. Shunday qilib, bizning stolimizni yangi satr bilan to'ldiring:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 \u003d 1	log 2 4 \u003d 2	log 2 8 \u003d 3	log 2 16 \u003d 4	log 2 32 \u003d 5	log 2 64 \u003d 6

Afsuski, barcha logarefmlar juda oson deb hisoblanadi. Masalan, 2-logni topishga harakat qiling. 5 raqamlari jadvalda emas, ammo mantiq shuni ko'rsatadiki, logarifm segmentga yotadi. Chunki 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Biz ta'rifni ko'rib chiqdik - bu logarifmlarni ko'rib chiqishni o'rganish, I.E. "Kirish" belgisidan xalos bo'ling. Avvaliga, shuni ta'kidlaymizki, biz ta'rifdan ikki muhim faktlar:

Balki va baza har doim noldan katta bo'lishi kerak. Bu mantiqiy indikator darajasini aniqlashdan kelib chiqadi, bunda logarifm ta'rifi kamayadi.
Baza jihozdan farq qilishi kerak, chunki jihoz hali ham birdamlik bo'lib qolmoqda. Shu sababli "ma'nodan mahrum bo'lish uchun birligi bilan jihozni qanday aniqlash kerakligi sababli" savol. Bunday daraja yo'q!

Bunday cheklovlar deyiladi ruxsat etilgan qiymatlar maydoni (Otz). Shuni ta'kidlanganidek, toq logarifm shunday ko'rinadi: x \u003d b ⇒ X\u003e 0, A\u003e 0, A 1.

E'tibor bering, b raqamida hech qanday cheklovlar yo'q. Masalan, logarifm salbiy bo'lishi mumkin: log 2 0.5 \u003d -1, chunki 0.5 \u003d 2 -1.

Endi logarifmlarni hisoblashning umumiy sxemasini ko'rib chiqing. U uchta bosqichdan iborat:

Baza a va argument x Minimal bazasi, katta birlik, katta bo'linish bilan ilmiy daraja shaklida yuboring. Yo'l davomida o'nlik kasrlardan xalos bo'lish yaxshiroqdir;
O'zgaruvchan B tenglamaiga nisbatan hal qiling: x \u003d a b;
Natijada B raqami javob bo'ladi.

Ana xolos! Agar logarifm irratsional bo'lsa, u birinchi bosqichda ko'rinadi. Baza ko'proq birlashishi talabi juda muhimdir: bu xato ehtimolini kamaytiradi va hisob-kitoblarni juda soddalashtiradi. Xuddi shunday o'nlik kasrlar bilan: agar siz ularni odatdagidek tarjima qilsangiz, xatolar kamroq bo'ladi.

Keling, ushbu sxema aniq misollarda qanday ishlashini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Logarifm-ni hisoblang: log 5 25

Besh daraja darajasida asos va argumentni taqdim eting: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Kelinglar va tenglamani hal qilaylik:
log 5 25 \u003d b ⇒ b \u003d 5 2 ⇒ 5 b \u003d 5 ⇒ b \u003d 2;

Javobni qabul qildi: 2.

Vazifa. Logarifmni hisoblang:

Vazifa. Logarifm-ni hisoblang: 4 64

Tasavvur qiling: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
Kelinglar va tenglamani hal qilaylik:
log 4 64 \u003d b ⇒ b \u003d 2 6 ⇒ 2 2b \u003d 2 6 ⇒ b \u003d 3; 3;
Javobni qabul qildi: 3.

Vazifa. Logarifm-ni hisoblang: 16 1

Ikki darajali asos sifatida asos va argumentni tasavvur qiling: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
Kelinglar va tenglamani hal qilaylik:
log 16 1 \u003d b ⇒ b \u003d 2 0 ⇒ 2 4b \u003d 2 ⇒ a \u003d 0;
Javobni qabul qildi: 0.

Vazifa. Logarifm hisoblang: 7 14

Etti daraja darajali asos va argumentni taqdim eting: 7 \u003d 7 1; 14 etti darajali shaklda, u 7 dan beri ko'rinmaydi< 14 < 7 2 ;
Oldingi nuqtadan logarifm hisobga olinmaydi;
Javob o'zgarmaydi: 7 14.

Vazifa. Raqamning aniq darajalari yo'qligini bilib oling: 8; 48; 81; 35; o'n to'rt.

Shuni ham ta'kidlaymizki, oddiy sonlarning o'zlari har doim aniq darajalari.

O'nlik logarifm

Ba'zi logaritmlar ko'pincha o'zgacha ism va belgi bor, deb taxmin qilinadi.

X argumentidan o'nlik logarifm 10, i.e. X raqamini olish uchun 10 raqamini aniqlash darajasi darajasi. Belgilangan: LG X.

Masalan, LG 10 \u003d 1; LG 100 \u003d 2; LG 1000 \u003d 3 - va hk.

Oddiy logarifmlar uchun haqiqiy bo'lganlarning barchasi o'nlik uchun haqiqiydir.

Tabiiy logarifm

O'zining maqsadi bor yana bir logaritm mavjud. Ma'noda bu o'nlikdan ham muhimroqdir. Biz tabiiy logarifm haqida gapiramiz.

X argumentidan tabiiy logarifm E, I.E. asosida logarifm X raqamini olish uchun e raqamni o'rnatilishi kerak. Belgilangan: ln x.

Ko'pchilik so'raydi: E raqamida yana nima? Bu irratsional son, uni topish va yozish uchun aniq qiymat. Men faqat birinchi raqamlarimni beraman:
e \u003d 2,71828188459 ...

Biz bu raqam ekanligini va nima uchun sizga kerakligini rivojlantiramiz. Esingizda bo'lsa, E tabiiy logaritm asosidir:
ln x \u003d log e x

Tabiiy logarifmlar uchun oddiy logarefmlar uchun to'g'ri bo'lgan barcha qoidalar amal qiladi.