Logarifmlarni o'z ichiga olgan iboralarning bir xil aniqlanishi. Logogimlar, misollar, echimlar bilan ifodalarni o'zgartirish

Logaritmlar bilan ifodalarni konvertatsiyalarni o'tkazishda tenglikni ro'yxatga olishda o'ng tomonda va chapga to'g'ri keladi.

Shuni ta'kidlash kerakki, xususiyatlardan effektlarni yodlash uchun: o'zgarishlarni amalga oshirishda logaritmlarning asosiy xususiyatlari va boshqa dalillar bilan bog'liq bo'lishi mumkin (masalan, b -0 bilan). oqibatlari oqimi. Ushbu yondashuvning "yon ta'siri" faqat qaror biroz ko'proq bo'lishi mumkinligidan dalolat beradi. Masalan, formula bilan ifodalangan tergovsiz qilish Va faqat logarifmlarning asosiy xususiyatlaridan kelib chiqqan holda, siz quyidagi turdagi o'zgarishlar zanjirini bajarishingiz kerak: .

Xuddi shu narsa, oxirgi ro'yxatdagi Formulaga mos keladigan so'nggi ro'yxatdagi Bundan tashqari, logarifmlarning asosiy xususiyatlaridan kelib chiqadi. Eng asosiysi, indikatordagi logarifmning asosini o'zgartirish va logarifm belgisi ostida bo'lgan raqamni o'zgartirish uchun har doim ijobiy raqam bilan ijobiy raqam bo'lishi mumkinligini tushunish. Adolat uchun, shuni ta'kidlaymizki, bunday turdagi o'zgarishlarni amalga oshirishga undaydi. Biz matn ostida bir nechta misol keltiramiz.

Loaritmlar bilan raqamli iborani o'zgartirish

Logarifmlarning xususiyatlari esladi, endi ularni amalda konvertatsiya qilish uchun amalda qo'llashni o'rganish vaqti keldi. Tabiiyki, o'zgaruvchilar bilan ifodali emas, balki raqamli iboralar, chunki ular sezilarli va asoslarni bilish osonroq. Shunday qilib, biz logarifmning istalgan mol-mulkini qanday tanlashni o'rganish uchun juda sodda misollarni boshlaymiz, ammo biz asta-sekin misollarni bosqichma-bosqich qo'llaymiz yakuniy natija Bir qator xususiyatlarni ketma-ket qo'llash kerak bo'ladi.

Logarefmlarning istalgan xususiyatlarini tanlash

Logarifmlarning xususiyatlari unchalik unchalik emas va ulardan tegishli natijaga olib boriladigan narsalarga tegishli bo'lgan narsalarni tanlashingiz kerakligi aniq. Odatda, aylantirilgan logaritm yoki ifoda turini logarifmlar xususiyatlarini ifoda etadigan formulalarning chap va o'ng qismlari ko'rinishlari bilan taqqoslash qiyin. Agar formulalardan birining chap yoki o'ng tomonida berilgan logarifm yoki ifoda bilan to'g'ri kelsa, ehtimol u konvertatsiya paytida qo'llanilishi kerak bo'lgan bu xususiyat. Quyidagi misollar aniq namoyish etiladi.

Keling, formulaga mos keladigan logarifm ta'rifidan foydalanib, "Formus" jurnaliga mos keladigan logaritm ta'rifidan foydalanib, "A formula", a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0.

Misol.

Iloji bo'lsa hisoblang: a) 5 lg 5 LG (1 + 2 · p), b) , d) 2-jurnal 2 (-7), E).

Qaror.

Masalan, A harfi ostida A \u003d B \u003d 5, b \u003d 4-ni tashkil etadigan. Ushbu raqamlar A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0 shartlarini qondiradi, shuning uchun siz tenglikni ishlatishingiz mumkin, shuning uchun siz tenglikdan foydalanishingiz mumkin. Bizda 5 ta log 5 4 \u003d 4 bor.

b) bu \u200b\u200berda A \u003d 10, b \u003d 1 + 2 p, shartlari a\u003e 0, b\u003e 0 tayyorlangan. Bunday holda, 10 funt tenglik mavjud (1 + 2 · p) \u003d 1 + 2 pe.

c) Va bu misolda biz b log a dog 'darajasiga ega bo'lamiz, bu erda va b \u003d ln15. Shunday qilib .

Bir xil turdagi jurnalga tegishli bo'lishiga qaramay, b (bu erda A \u003d 2, b \u003d -7), d) harf ostida ifodalash mumkin emas. Buning sababi shundaki, bu mantiqiy sonni o'z ichiga oladi, chunki u logarifm belgisi ostida. Bundan tashqari, b \u003d -7 raqami b\u003e b logiga murojaat qilishga imkon bermaydigan B\u003e 0 shartini qondirmaydi, chunki bu A\u003e 0, 1, B shartlarini bajarishni talab qiladi \u003e 0. Shunday qilib, 2-log 2 (-7) qiymatini hisoblash haqida gapirish mumkin emas. Bunday holda, 2-log 2 qayd yozuvini yozib olish (-7) \u003d -7 Xato bo'ladi.

Shunga o'xshab, d) Maktub ostida misol keltirilishi mumkin emas Dastlabki ifoda mantiqiy emasligi sababli.

Javob:

a) 5 log 5 4 \u003d 4, b) 10 LG (1 + 2 · p) \u003d 1 + 2 va p, c) , d), e) iboralar ma'noga ega emas.

Ko'pincha konversiya uchun ijobiy va har qanday ijobiy va har xil raqam darajasida ko'rsatkichi, indikatordagi logarifm bo'lgan har qanday ijobiy va boshqa raqam darajasida taqdim etilishi mumkin. Bu logarifmning bir xil ta'rifiga asoslanadi, lok a b \u003d b, a ≠ 1, b\u003e 0, bu o'ng chapga, ya'ni B logida qo'llaniladi. Masalan, 3 \u003d e ln3 yoki 5 \u003d 5 log 5 5.

Izohlarni o'zgartirish uchun logarifmlarning xususiyatlarini qo'llash.

Misol.

"A) jurnalning qiymatini toping: a) lg 1, d) lN1, e) lg1, g) lg 3,75, s) log 5 · pe 7 1.

Qaror.

A), b) va c) harflar bo'yicha misollarda, 1-log 1, log 1 1, mantiqiy 1, logarifmning asosi, chunki logarifm asosida salbiy raqam bo'lmasligi kerak, Nol yoki birlik, chunki biz logarifmni faqat ijobiy va asosiy blokdan farqli ravishda aniqladik. Shuning uchun A) misollarda - c) ifoda qiymatini topishning hech qanday savol bo'lishi mumkin emas.

Boshqa barcha vazifalarda 7, E, E, E, E, E, E, E, I, 10, 3.75 va 500 tr masofali va 5 ta joyda birliklar borligi sababli ijobiy va turli xil raqamlar mavjudligi aniq. Va biz logarifm birligining mulkini bilamiz: har qanday a chola uchun 1 \u003d 0, a ≠ 1. Shunday qilib, iboralardagi qadriyatlar B) - e) nolga teng.

Javob:

a), b), c) iboralar ma'nosiz, d) ln1 \u003d 0, g) ln1 \u003d 0, g) lg11 1 \u003d 0, h) jurnal 5-raqam 7 1 \u003d 0.

Misol.

Hisoblash: a), b) lne, c) lg10, d) log 5 · p 3 -2 (5 · p 3 -2), e) log -3 (-3), e) 1) qayd yozuvi 1.

Qaror.

Baza logarifmning mulkidan foydalanishimiz kerakligi aniq, bu formulaga kirish uchun A \u003d 0, a 1 ≠ 1-da formulalar jurnaliga mos keladi. Darhaqiqat, barcha harflar ostidagi vazifalarda logarifm belgisi ostidagi raqam uning asosiga to'g'ri keladi. Shunday qilib, men darhol ma'lum bir iboralarning ma'nosi 1 ekanligini aytmoqchiman. Biroq, xulosalar bilan shoshilish shart emas - d) - D) vazifalarda, va e) boshlang'ich ifodalar amalga oshirilmaydi Shuning uchun bu iboralarning qadriyatlari 1 ga teng deb aytish mumkin emas.

Javob:

a), b) lne \u003d 1, c) lg10 \u003d 1, d) log 5 · p 3 -2 (5 · p 3 -2) \u003d 1, D), e) iboralar ma'noga ega emas.

Misol.

Qiymatni toping: a) log 3 11, b) , C), d) log -10 (-10) 6.

Qaror.

Shubhasiz, logarifmlar belgilari ostida poydevorning ba'zi darajalari mavjud. Shunga asoslanib, biz bu erda biz uchun bu erda bu erda asos bo'lganligini tushunamiz: a p \u003d p, bu erda a\u003e 1 va p raqami. Shuni hisobga olib, quyidagi natijalarga egamiz: a) log 3 11 \u003d 11, b) , INda) . Die -10 (-10) 6 \u003d 6 harfi ostida o'xshash tenglikni yozib olish mumkinmi? Yo'q, bu mumkin emas, chunki yorliq -10 (-10) 6 (-10) 6 mantiqiy emas.

Javob:

a) Log 3 3 11 \u003d 11, b) , INda) , d) ibora mantiqiy emas.

Misol.

Xuddi shu asosda: a) summa yoki farqi shaklida ifodani tasavvur qiling: a) , b), c) LG ((- 5)).

Qaror.

a) Logarifm belgisi ostida bu ish va biz log aka-uc of AX + LOG AY, AXS AY, AXYA AYNET, AXNI OYIDA, A1 1, X\u003e 0, Y\u003e 0. Bizning holatda, logarifm va ishdagi raqamning raqami ijobiy, ya'ni tanlangan mulk shartlarini qondiradi, shuning uchun biz uni tinchlantirishimiz mumkin: .

b) Bu erda biz shaxsiy logaritm mulkidan foydalanamiz, u erda a\u003e 0, x 1, x\u003e 0, y\u003e 0. Bizning holatda, logarifmning asosi E, raqami va denominatori ijobiy, ya'ni biz tanlangan formuladan foydalanish huquqiga egamiz: .

c) Avval biz LG-iboroni (-12) ifodasi mantiqiyligini ta'kidlaymiz. Ammo shu bilan birga, u uchun (x · y) ishining logargm formulasini qo'llash huquqiga ega emasmiz. AXNGY AY, AXYAY AY, AXYAST AY, AX LOG, A\u003e 1, X\u003e 0, y\u003e 0, Sonlar soni --5 va -5 va -12 - salbiy va X\u003e 0, Y\u003e 0. Ya'ni bunday konversiyani o'tkazish mumkin emas: lG ((- 5) · · (-12)) \u003d LG (-5) + LG (-12). Va nima qilish kerak? Bunday hollarda dastlabki ifoda sizga salbiy raqamlardan qochishga imkon beradigan dastlabki o'zgarishlarga muhtoj. Nazoratlar bilan so'zlarni logarifm belgisi ostida quyidagi misollardan birida batafsil va tushuntirishsiz batafsil ma'lumot beramiz. lG ((- 5) · (-12)) \u003d LG (5 · 12) \u003d LG5 + LG12.

Javob:

ammo) b) , C) LG ((- 5) · (-12)) \u003d LG5 + LG12.

Misol.

"A" ni soddalashtiring: a) log 3 16 + log 3 0.5, b).

Qaror.

Bu erda biz avvalgi misollarda ishlatgan shaxsiy ishning logarifm va logarifmning logarifmning barcha xususiyatlariga yordam beramiz, faqat endi biz ularni chapga qo'llashimiz kerak. Ya'ni, logarifmlar miqdori xususiyning logarifmida - logarifmlar o'rtasidagi farqni, shaxsiy logarifmda farq qiladi. Bor
Ammo) log 3 0.25 + Log 3 16 + Log 3 0.5 \u003d Log 3 (0.25 · 0,5) \u003d log 3 2.
b) .

Javob:

ammo) log 3 0.25 + Log 3 16 + log 3 0.5 \u003d log 3 2b) .

Misol.

Logarifm belgisi ostida estafeta: a) 0,7 5 11, b) , c) Log 3 (-5) 6.

Qaror.

Biz B b-p jurnali iboralar bilan shug'ullanayotganimizni ko'rish juda oson. Logarifmning tegishli xususiyati borligi bir turi bor, u b, a\u003e 0, b\u003e 0, p ning bir turi. Ya'ni a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0 logarifmdan daraja logi. A b p mahsulotga o'tishimiz mumkin p · loce a b. Ushbu konversiyani belgilangan iboralar bilan o'tkazamiz.

a) Bu holda A \u003d 0.7, b \u003d 5 va p \u003d 11. Shunday qilib, qayd 0,7 5 11 \u003d 11 · 0.7 5.

b) bu \u200b\u200berda, a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0 bajariladi. shu sababli

c) 3 (-5) 6 ta indekslar bir xil strukturaga ega, b p, a \u003d 3, b \u003d -5, p \u003d p \u003d5. Ammo b, b\u003e 0 shart qoniqtirmaydi, bu esa "A b" Pira "jurnalidan foydalanishni imkonsiz qiladi. Shunday qilib, vazifani engish mumkin emas? Bu mumkin, ammo konvertatsiya qilingan ifoda talab qilinadi, biz quyida batafsil gaplashamiz. Qaror quyidagi bo'ladi: log 3 (-5) 6 \u003d Log 3 5 6 \u003d 6 · load 3 5.

Javob:

a) 0.7 5 11 \u003d 11 · 0.7 5,
b)
c) log 3 (-5) 6 \u003d 6 · log 3 5.

Ko'pincha, aylantirish paytida logarifm formulasi Ped · B & LO-ni o'chirish uchun o'ngga chiqish kerak Masalan, 3 · ln5 \u003d ln5 3 va LG2 · Lg2 · lg 2 \u003d lg 2 lg2.

Misol.

a) LG2≈0,3010 va LG5≈0 6990 ekanligini bililsa, LG2≈0.3990. b) 3 ga asoslangan logarifm shaklida kasrni taqdim eting.

Qaror.

a) Logarifmning yangi bazasiga o'tish formulasi ushbu logaritm ushbu logaritmlarning qiymatlari bizga ma'lum bo'lgan o'nlik logaritmlarning nisbati shaklida keltirishga imkon beradi:. Bu faqat hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun, bizda bor .

b) bu \u200b\u200berda yangi bazaga o'tishdan foydalanish kifoya qiladi va uni chap tomonda, ya'ni shaklida qo'llash kifoya . Qabul qilmoq .

Javob:

a) LOL 2 5≈2,3223, b) .

Ushbu bosqichda biz logarifmlarning asosiy xususiyatlaridan foydalangan holda eng oddiy ifodalarni va logarifm ta'rifidan foydalanib, eng oddiy ifodalarni qoniqtiramiz. Ushbu misollarda biz biron bir mol-mulkni va boshqa hech narsalardan foydalanishimiz kerak edi. Endi xotirjam vijdon bilan siz misollarga o'tishingiz, o'zgarishi logarifmlarning bir nechta xususiyatlarini va boshqa qo'shimcha o'zgarishlarni amalga oshirishni talab qiladigan o'zgarishlar. Keyingi paragrafda boramiz. Ammo bundan oldin, qisqacha, biz logarifmlarning asosiy xususiyatlari oqibatlariga e'tibor qaratamiz.

Misol.

a) Logarifm belgisi ostidagi ildizdan xalos bo'ling. b) 5-maydagi logarifmda kasrni aylantiring. v) logarifm belgisi ostida va uning poydevori ostidagi darajadan tez-tez. d) ifoda qiymatini hisoblash . e) daraja 3-bazali darajani almashtirish.

Qaror.

a) Agar siz logarifmning mulkining natijasi haqida eslasangiz Siz darhol javob berishingiz mumkin: .

b) biz formuladan foydalanamiz Bizda bor kuchini qoldirdi .

c) Bu holda, natija formulaga olib keladi . Qabul qilmoq .

d) va bu erda formulani javob berish uchun etarli . Shunday qilib .

e) mulk logarifm Bizga erishishga imkon beradi kerakli natija: .

Javob:

ammo) . b) . ichida) . d) . e) .

Bir nechta xususiyatlardan ketma-ket foydalanish

Doartriptms xususiyatlaridan foydalangan holda iboralarni o'zgartirish uchun haqiqiy vazifalar odatda oldingi paragraf bilan shug'ullanadigan odamlar tomonidan murakkablashadi. Ularda, qoida tariqasida, bu bir qadam emas va eritma bitta mulkni boshqasidan keyin bir mulkni, masalan, qavslarning oshkor qilinishi, fraktsiyalar va hk. . Shunday qilib, bunday misollarga yaqinlashamiz. Bunda hech qanday qiyin narsa yo'q, asosiysi xatti-harakatlarni bajarish tartibini diqqat bilan va izchil harakat qilishdir.

Misol.

Ifoda qiymatini hisoblang (3-log 3-log 3 5) · 7-log 7 5.

Qaror.

Xususiylik uchun shaxsiy logarifm maslahati uchun qavslardagi logarifmlarning farqi 3 (15: 5) va keyinchalik 3 (15: 5) ni hisoblash mumkin (15: 5) \u003d log 3 \u003d 1. Va logarifm ta'rifiga ko'ra 7-log 7-ni ifodalash qiymati 5 ga teng. Bu natijalarni asl ma'noda almashtiring, biz olamiz (3-log 3-log 3 5) · 7 figer 7 5 \u003d 1 · 5 \u003d 5.

Izohsiz echim beraylik:
(3-log 3-log 3 5) · 7 figer 7 5 \u003d Log 3 (15: 5) · 5 \u003d
\u003d log 3 3 · 5 \u003d 1 · 5 \u003d 5.

Javob:

(3-log 3-log 3 5) · 7 figer 7 5 \u003d 5.

Misol.

Raqamli ifodaning qiymati 3 log 2 2 3 -1?

Qaror.

Logarifm formulasining so'zlariga ko'ra, biz Logarifm formulasi bo'yicha birinchi bo'lib kiradigan logaritmni o'zgartiramiz: logarifm formulasi: log 2 2 3 \u003d 3. Shunday qilib, log 3 log 2 2 3 \u003d Log 3 3 va keyinchalik 3 3 \u003d 1. Shunday qilib, qayd qiling 3 log 2 2 3 -1 \u003d 1-1 \u003d 0.

Javob:

log 3 log 2 2 3 -1 \u003d 0.

Misol.

Ifodani soddalashtiring.

Qaror.

Logarifmning yangi bazasiga o'tish formulasi logarifmlarning bir bazalarini 3 5 deb nomlangan bitta bazaga kiritishga imkon beradi. Bunday holda, dastlabki ifoda shaklni oladi. Logarifm ta'rifiga ko'ra 3 ta log 3 5 \u003d 5, ya'ni Kandaritmning bir xil ta'rifi tufayli olingan iboraning qiymati ikkitasi.

Odatda beriladigan eritmaning qisqacha versiyasi: .

Javob:

.

Quyidagi element ma'lumotlariga uzviy tatib ko'rish uchun 5 2 + Lug 5 3 va LG0.01-ni ko'rib chiqamiz. Ularning tuzilishi logarifmlarning har qanday xususiyatlariga mos emas. Xo'sh, nima bo'ladi, ular logarifmlarning xususiyatlaridan foydalanib o'zgartira olmaydi? Agar siz ushbu iboralarni logarifmlarning xususiyatlarini qo'llashga tayyorlaydigan dastlabki o'zgarishlarni amalga oshira olsangiz. Shunday qilib 5 2 + log 5 3 \u003d 5 2 · 5 log 5 3 \u003d 25 · 3 \u003d 75, va LG0.01 \u003d LG10 -2 \u003d -2. Shunda biz bunday ta'limni qanday amalga oshirish qanday amalga oshirilishini batafsil tushunamiz.

Logaritmlarning xususiyatlarini qo'llash uchun iboralarni tayyorlash

To'rblangan iboraning tarkibidagi logarifmlar ko'pincha logarifmlarning xususiyatlariga mos keladigan formulalarning chap va o'ng qismlaridan farq qiladi. Ammo kamroq ko'pincha bu iboralarning o'zgarishi logarifmlarning xususiyatlaridan foydalanishni anglatadi: ularni ishlatish uchun faqat oldindan tayyorgarlik kerak bo'ladi. Va bu tayyorlash logaritmlarni sifatni qo'llash uchun qulay bo'lgan shaklga olib boradigan ma'lum bir bir xil o'xshash o'zgarishlarni amalga oshirishda.

Adolat qilish uchun biz izohlarning deyarli har qanday o'zgarishlari dastlabki o'zgarishlar sifatida, ushbu atamalarni trigonometrik formulalardan foydalanish uchun oldindan o'zgarishlar sifatida amalga oshirishi mumkin. Bu tushunarli, chunki o'zgartirilgan iboralar har qanday bo'lishi mumkin matematik ob'ektlar: qavslar, modullar, kasrlar, ildizlar, daraja va boshqalar. Shunday qilib, logarifmlarning xususiyatlaridan foydalanish uchun yanada kerakli har qanday konversiyani bajarishga tayyor bo'lishingiz kerak.

Aytaylik, aytamiz, aytamiz, aytamizki, biz shu nuqtada biz logarifmlarning xususiyatlarini yoki logarifmning xususiyatlarini aks ettiruvchi barcha tasavvurlarni tasniflash va demontaj qilish vazifasini belgilamaymiz. Bu erda biz faqat to'rttada yashaymiz, ular eng xarakterli va ko'pincha amalda topilgan.

Va endi ularning har biri haqida batafsil ma'lumotga, shundan so'ng, bizning mavzularimizning bir qismi, u faqat o'zgaruvchilarni logarifmlar alomatlari ostida o'zgaruvchilar bilan o'zgarishi bilan shug'ullanadi.

Logarifm belgisi ostida darajalarni tanlash va uning tashkil etilishi

Keling, darhol misoldan boshlaylik. Keling, logaritm bo'lsin. Shubhasiz, ushbu shaklda uning tuzilishi logarifmlarning xususiyatlaridan foydalanishga majbur emas. Ushbu iborani qanday qilib soddalashtirishga aylantirish mumkinmi va hatto uning qiymatini qanchalik yaxshi hisoblaysizmi? Ushbu savolga javob berish uchun, biz bizning o'rnagida 81 va 1/9 raqamlariga diqqat bilan ko'rib chiqaylik. Bunday raqamlar bu raqamlar 3-son darajasining ma'nosini, haqiqatan ham 81 \u003d 3 4 va 1/9 \u003d 3 -2 darajasini berishiga imkon beradi. Bunday holda, boshlang'ich logarifm shaklda va formulani qo'llash imkoniyati mavjud . Shunday qilib, .

Belgilangan misolning tahlili quyidagi fikrlarni keltirib chiqaradi: iloji bo'lsa, siz logarifmning belgisi va uning poydevori logarifm mulkini yoki uning oqibatlarini qo'llash uchun darajani belgilashga harakat qilishingiz mumkin. Bu darajalarni qanday taqsimlash kerakligini aniqlash faqat shu tariqa. Keling, ushbu masala bo'yicha ba'zi tavsiyalar beraylik.

Ba'zida logarifm va / yoki uning poydevorining belgisi ostida bo'lgan raqam yuqoridagi misolda bo'lganidek, bu ko'rsatkichdan iborat. Deyarli tog 'jinslarini aniqlash bilan shug'ullanishi kerak: 4 \u003d 2 2, 8 \u003d 2, 35, 64 \u003d 26, 128 \u003d 28, 256 \u003d 2 8. , 512 \u003d 2 9, 1024 \u003d 2 10. Buni uchlik darajasi haqida aytish mumkin: 9 \u003d 3 2, 25, 81 \u003d 3 4, 243 \u003d 3 5, ... umuman olganda, bu zarar qilmaydi stol tabiiy sonlar o'nlab ichida. Shuningdek, o'nta, yuz, minglab odamlar va boshqalarning butun sonlari bilan ishlash qiyin emas.

Misol.

"A" ni hisoblash yoki soddalashtirish: a) log 6 216, b), c) l) log 0.000001 0.001.

Qaror.

a) shunisi aniqki, 216 \u003d 6 3, shuning uchun 6 216 \u003d log 6 6 3 \u003d 3.

b) Tabiiy sonlarning darajalar jadvali 343 va 1/243 raqamlarini mos ravishda 7 3 va 3 -4 darajali daraja shaklida taqdim etishga imkon beradi. Shuning uchun, berilgan logaritmning quyidagi o'zgarishlariga rioya qilish mumkin:

c) 0.000001 \u003d 10 -6 va 0.001 \u003d 10 -3 kabi log 0.000001 0.001 \u003d log 10 -6 10 -3 \u003d (- 3) / (- 6) \u003d 1/2.

Javob:

a) 6 216 \u003d 3, b) , c) log 0.000001 0.001 \u003d 1/2.

Ko'proq murakkab holatlarda, raqamlarning darajasini ta'kidlash uchun murojaat qilish kerak.

Misol.

Ifoni soddalashtirilgan log 3 648 · LOG 2 3 ni o'zgartiring.

Qaror.

Keling, oddiy omillar uchun 648 raqamning parchalanishini ko'rib chiqaylik:

Ya'ni 648 \u003d 2 3 · 3 4. Shunday qilib, log 3 648 · logi 2 \u003d Log 3 (2 3 3 · 3 4) · Low 2 3.

Endi ishlar logarifmi logarifmlar miqdorini o'zgartiradi, shundan keyin darajadagi logarifm xususiyatlari qo'llanilishi mumkin:
log 3 (2 3 3 3 · 3 4) · loce 2 3 \u003d (LOG 3 2 3 + 4 + 4) · LOG 2 3 \u003d
\u003d (3 · loce 3 2 + 4) · loce 2 3.

Formulasi javobgar bo'lgan logarifm mulkidan tergov tufayli Mahsulot log 'loguatsiyasi - bu ish va bu bitta deb tanilgan. Buni hisobga olgan holda biz olamiz 3 · Log 3 2 2 · LOG 2 3 + 4 · LOG 2 3 \u003d 3 · 1 + 4 · LOG 2 3 \u003d 3 + 4 · LOG 2 3.

Javob:

log 3 648 · LOG 2 3 \u003d 3 + 4 · LOG 2 3.

Ko'pincha logarifm belgisi va uning poydevorida iboralar, masalan, ba'zi raqamlarning ildizlari va / yoki bir necha darajali darajadagi ish yoki nisbatlar mavjud. Bunday ifodalarni daraja sifatida ifodalash mumkin. Buning uchun ildizlardan darajagacha va qo'llaniladigan ildizlarga o'tish. Ushbu suhbatlar sizga logarifm belgisi ostida va uning bazasida ko'rsatmalarini ta'kidlashga imkon beradi, shundan keyin siz logarifmlarning xususiyatlarini qo'llaysiz.

Misol.

Hisoblash: a) , b).

Qaror.

a) logarifm asosidagi ifoda - darajadagi tegishli xususiyatlarga ko'ra, bizda bir xil asoslarga ega bo'lgan darajadagi mahsulot mavjud 5 2 2-5 -0,5 · 5 -1 \u003d 5 2-0.5-1 \u003d 5 0.5.

Endi biz logarifmning belgisi ostidagi kasrni o'zgartiramiz: biz ildizdan bir darajagacha o'giramiz, shundan keyin biz bir xil maydonchalar bilan ishlatamiz: .

Dastlabki ifodaga olingan natijalar o'rnini bosadi, formuladan foydalaning va yakunlovchi o'zgarishlar:

b) 729 \u003d 3 6, a 1/9 \u003d 3 -2, so'ngra dastlabki ifoda shaklda qayta yozilishi mumkin.

Keyinchalik, ildizning mol-mulkini darajasidan qo'llasak, biz ildizdan ildizgacha o'tishni darajaga ko'taramiz va logarifmni dog 'darajaga aylantirish uchun mulk nisbatini sarflaymiz: .

So'nggi natijaga intilsak, bizda bor .

Javob:

ammo) , b).

Umuman olganda, logarifm belgisi ostida va uning asosida turli xil ifodalarning turli xil o'zgarishlari talab qilinishi aniq. Biz bir nechta misol keltiramiz.

Misol.

Ifodaning qiymati nima: a) b) .

Qaror.

Shuning uchun biz shuni ta'kidlaymizki, ko'rsatilgan ibora B b jurnaliga ega, u erda a \u003d 2, b \u003d x + 1 va p \u003d 4. Bunday turdagi raqamlarning raqamli ifodalari biz logaritm logaritm abonent abonent abonentlari abonentining mulki tomonidan o'zgartirildi, shuning uchun men 2 (x + 1) 4 ga teng kelmoqchiman 4 · loce 2 (x + 1) ga o'ting. Endi keling, dastlabki ifoda va o'zgarishlardan keyin olingan iborani, masalan, x \u003d -2 bilan hisoblab chiqamiz. Log 2 (-2 + 1) 4 \u003d log 2 1 \u003d 0 va 4 · LOGI 2 (-2 + 1) \u003d 4 · logi 2 (-1) - ma'no ifodasi emas. Bu tabiiy savolga sabab bo'ladi: "Biz nima noto'g'ri ish qildik"?

Va sababi quyidagicha: Formula-P & CO · Formula Liri AB AB ARALA ARULA ARULA ARULA ARULA ARULA ARULA ARULA ARALA ARUS 2 (X + 1) ni (x + 1) bajardik, ammo biz buni amalda qo'llash huquqiga egamiz Formula faqat a\u003e 0, a ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, P - har qanday haqiqiy raqamdan iborat formulaning. Ya'ni, biz tomonidan amalga oshirilgan konversiya X + 1\u003e 0 bo'lsa, u bir xil X\u003e -1 (A va P shartlari yaratilgan). Biroq, bizning holatimizda, bir otz o'zgaruvchan xati, nafaqat x \u003e1, balki x davridan tashqari<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Hisobga olish kerak ...

Biz AQShning 2 (x + 1) 4-ni o'zgartirishni demontaj qilishni davom ettiramiz va endi 4 · LOG 2 (x + 1) ni ifodalashda Otz bilan nima sodir bo'lishini bilib olamiz. Oldingi paragrafda biz hatto manba ifodasini topdik - bu belgilangan (-∞, -1) ∪ (-1, + ↑). Endi biz 4 · logi 2 (x + 1) ni ifodalash uchun C o'zgaruvchining ruxsat etilgan qiymatlarining asosini topamiz. U belgilangan (-1, + ∞) holatiga mos keladigan X + 1\u003e 0 bilan belgilanadi. Shubhasiz, log dan 2 (x + 1) 4 dan 4 · 4 gacha (x + 1) dan 2 tagacha (x + 1), haqiqiy qiymatlar maydoni paydo bo'ladi. Va biz Otzning torayishiga olib keladigan o'zgarishlardan qochishga rozi bo'ldik, chunki bu turli salbiy oqibatlarga olib kelishi mumkin.

O'zingiz uchun bu erda o'zgarishning har bir bosqichida Otzni boshqarish va uning torayishini oldini olish foydali ekanligi juda foydali. Agar to'satdan, o'zgarishning ba'zi bosqichida, OSTning torayishi kuzatildi, shunda u juda ehtiyotkorlik bilan qarash kerak va bu o'zgarishga ruxsat beriladimi va buni amalga oshirish huquqiga egami yoki yo'qmi.

Masalan, shuni aytaylik, odatda, agar o'zgarishlarni amalga oshirayotganda, agar bizda ma'lum bo'lgan shaklda cheklovlarsiz logarifmlarning xususiyatlaridan foydalanish kerakligini aytaylik. o'ng va o'ngga. Siz tezda bunga ko'nikasiz va siz o'zgartirmasdan, o'ylamasdan va ularni olib yurish mumkinmi yoki yo'qligini o'zgartirishni boshlaysiz. Va shu lahzalarda, layoqatsiz, slipper loaritmlarning xususiyatlaridan inobatga olinadigan murakkab misollar xatolarga olib keladi. Shunday qilib, siz har doim tekshiruvda bo'lishingiz kerak va Otzning torayishi kerak.

U alohida zarar ko'rmaydi, logarifmlarning xususiyatlariga asoslanib, juda ehtiyotkorlik bilan o'tkazilishi kerak bo'lgan asosiy o'zgarishlarni tanlang, bu Otz torayib ketishiga olib kelishi mumkin va natijada xatolar:

Logarifmlarning xususiyatlariga ko'ra ba'zi iboralarning ba'zi o'zgarishlari - Otzning teskari tomoniga olib kelishi mumkin. Masalan, 2 (x + 1) 4 ni (-1, +1) ∪ (-∞, -1) dan (-1, +) o'tish uchun toqqa o'tishi (-1, + ∞). Agar ODzD ichida dastlabki ifoda bo'lsa, bunday o'zgarishlar ro'y beradi. Shunday qilib, yagona konversiya 4 · Lour 2 (X + 1) 4 (x + 1) 4 ni (X + 1), ya'ni x + bilan bir o'ttosh o'zgaruvchisida sodir bo'ladi 1\u003e 0, bu bir xil (-1, + ∞).

Endi biz o'zgargichlar bilan koartripm xususiyatlaridan foydalangan holda ifodalarni konvertatsiya qilishda e'tibor berishingiz kerak bo'lgan nuanslarni muhokama qilganimizda, bu o'zgarishlarni to'g'ri bajarish kerakligini aniqlash.

X + 2\u003e 0. Bu bizning holatimizda ishlaydimi? Bu savolga javob berish uchun Otz o'zgaruvchisiga qarang. U tengsizlik tizimi tomonidan belgilanadi bu x + 2\u003e 0 holatiga teng (agar kerak bo'lsa, maqolani ko'ring tengsizlik tizimini hal qilish). Shunday qilib, biz logarifm mulkini tinchgina qo'llashimiz mumkin.

Bor
3 · LG (x + 2) 7-ball (x + 2) -5 lg (x + 2) 4 \u003d
\u003d 3 · 7 lg (x + 2) -5 funt (x + 2) \u003d
\u003d 21 lg (x + 2) -lg (x + 2) -20 · lg (x + 2) \u003d
\u003d (21-1-20) · LG (x + 2) \u003d 0.

Siz va boshqacha harakat qilishingiz mumkin, Otzning foydasi bunga imkon beradi, masalan:

Javob:

3 · LG (X + 2) 7 -LG (x + 2) -5 lg (x + 2) 4 \u003d 0.

Logarifmlarning hamrohligi uchun sharoitlar qondirilmasa nima qilish kerak? Biz bu bilan misollarda shug'ullanamiz.

Bizdan LG (x + 2) 4-kg (x + 2) 2-ifodani soddalashtirish uchun bizdan farq qiling. Ushbu iborani avvalgi misoldan farqli o'laroq, avvalgi misoldan farqli ravishda logarifm darajasiga kirishga imkon bermaydi. Nima uchun? Ushbu holatda Otz o'zgaruvchis x\u003e -2 va x ning kombinatsiyasi<−2 . При x>-2 Biz logarifm mol-mulkini xotirjam ravishda qo'llay olamiz va yuqorida aytib o'tilganidek harakat qilamiz: lG (x + 2) 4 \u003d 4 · lg (x + 2) -2 lg (x + 2) \u003d 2 · lg (x + 2). Ammo otzda x + 2 ning yana bir davri mavjud<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к lG (- | x + 2 |) 4 -LG (- | x + 2 |) 2 Va qo'shimcha darajadagi darajadagi kuchlar tomonidan LG | x + 2 | 4 -LG | x + 2 | 2. Olingan ibora logarifm mulki tomonidan o'zgartirilishi mumkin, chunki | va o'zgaruvchining har qanday qiymatlari uchun | x + 2 |\u003e 0. Bor lG | x + 2 | 4 -LG | x + 2 | 2 \u003d 4 · LG | x + 2 |2 LG | x + 2 | \u003d 2 · LG | x + 2 |. Endi siz o'z ishini qilganidek, o'zingizni moduldan ozod qilishingiz mumkin. X + 2 da konversiya o'tkazayotganimiz sababli<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Modullar bilan ishlash tanish bo'lib, boshqa misolni ko'rib chiqing. Biz ifodadan kelib chiqqan bo'lsak J-1, X-2 va X-3-ning loğgilari logarifmlari orasidagi farqga o'ting. Avval biz topamiz ...

Intervalda (3, + ∞) X-1, X-2 va X-3-iboralarning qadriyatlari ijobiy, shuning uchun biz summalar va farqlarning logarifm xususiyatlarini xotirjam ravishda qo'llaymiz:

Va intervalda (1, 2), X-1 ifodaining qiymatlari ijobiy va X-2 va X-3-iboralarning qadriyatlari salbiy. Shuning uchun, ko'rib chiqilayotgan vaqt ichida biz moduldan foydalangan holda X-2 va X-3-ni taqdim etamiz - | X-2 | va - | x-3 | mos ravishda. Qayerda

Endi siz ishning logarifm xususiyatlarini va shaxsiy xususiyatlarini, chunki bu x-1, | x-2 | 2-rasmlarning qiymatlarini qo'llashingiz mumkin. va | x-3 | - Ijobiy.

Bor

Natijalar birlashtirish mumkin:

Umuman olganda, shunga o'xshash dalillar logarifm formulalariga logarifm formulalarini logarifm, munosabatlar va darajadagi uchta foydali natijalarni olish uchun eng qulay bo'lgan uchta foydali natijalarga erishishga imkon beradi:

• Logaritm dogramma turining (xaú é) dogramma turidagi ikkita o'zboshimchalik bilan ishlaydi. X | Log a | Y | , A\u003e 0, a 1.
• Logarifm Xususiy jurnal A (X: Y) Logogaritmlar jurnali orasidagi farq bilan almashtirilishi mumkin | X | A | y | y | , A\u003e 0, A ≠ 1, X va Y - o'zboshimchalik bilan ifodalangan.
• B b forosida bir darajadagi logarifmdan B b shaklida, siz POD-ga o'tishingiz mumkin A | B | , u erda a\u003e 0, a ≠ 1, p raqami va b - bu o'zboshimchalik bilan ifoda.

Shunga o'xshash natijalarga ko'ra, Masalan, matematikadagi muammolarni to'plashda M. I. Scanavi muharrirlari ostidagi universitetlarga da'vogarlar uchun ko'rsatmalar to'plashda ko'rsatmalar beriladi.

Misol.

Ifodali ifoda .

Qaror.

Logarifm xususiyatlarini, miqdorlar va farqlarni qo'llash yaxshi bo'lar edi. Ammo buni bu erda qila olamizmi? Bu savolga javob berish uchun biz Otzni bilishimiz kerak.

Biz buni aniqlaymiz:

X o'zgaruvchining ruxsat etilgan qiymatlarining ijobiy va salbiy qiymatlarini ijobiy va salbiy qiymatga ega bo'lish uchun x + 4, x-2 va (X + 4) 13-iboralari ham aniq ekanligi juda aniq. Shuning uchun biz modullar orqali harakat qilishimiz kerak.

Modulning xususiyatlari sizga qayta yozishga imkon beradi

Shuningdek, logarifm darajasining mulkidan hech narsa to'sqinlik qilmaydi, keyin shunga o'xshash shartlarni quyidagilarga keltiring:

Transformatsiyalar ketma-ketligi bir xil natijaga olib keladi:

va X-2-iborasi ijobiy va salbiy qiymatlarni ham olishi mumkinligi sababli, hatto 14 ning soni 14 ta ma'lumot berishda

TRRANSIT davlat universiteti

ularni. T.G. Shevron

Fizika va matematika fakulteti

Matematik tahlil bo'limi

va matematikani o'qitish metodikasi

KURS ISHI

"Bir xil o'zgarishlar

ko'rsatkich va logarifmik

iboralar "

Ish tugadi:

talaba _______ guruhi

fizik-matematik f-ta

_________________________

Ish tekshirildi:

_________________________

Tirascol, 2003.

Kirish ............................................... ........................... 2

1-bob. Maktab kursidagi bir xil o'zgarishlar va o'qitish usullari Algebra va tahlilni boshlash……………………………………..4

§Ise. O'zgartirish turlarini qo'llash ko'nikmalarini shakllantirish ..................................... ................................................. ........... 4

§2. Bir xil o'zgarishlarni o'rganishda bilim tizimini tashkil etishning xususiyatlari. ..................................................... ................. .5

§3. Matematikada dastur ...................................

2-bob. Ko'rsatkich va logarifmik iboralar bo'yicha bir xil suhbatlar va hisob-kitoblar……………………………...…………………13

§Ise. Ilmiy darajadagi tushunchani umumlashtirish .................... .. 13

§2. Indikativ funktsiya ....................................... ..15

§3. COGARIFMIC funktsiyasi .......................................

3-bob. Amaliyotda indikativ va logarifmik iboralardagi bir xil o'zgarishlar..........................................................................19

Xulosa ....................................... ................................24.

Ishlatilgan adabiyotlarning ro'yxati ........................25
Kirish

Ushbu kursda indikativ va logaritmik funktsiyalarning bir xil aniq o'zgarishi, ularni maktabda algebra o'quv yilida o'qitish metodikasi va tahlilning boshlanishi hisoblanadi.

Ushbu asarning birinchi bobida matematika maktab kursini o'qitish metodikasi bo'yicha "Algebra" va indikatsion va logaritm funktsiyasini o'rganish bilan matematikadagi dasturni o'z ichiga oladi.

Ikkinchi bob to'g'ridan-to'g'ri indikatsion va logaritmik funktsiyalarni, ularning asosiy xususiyatlarini bir xil o'zgarishlar uchun ishlatiladigan asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqmoqda.

Uchinchi bob - bu ko'rsatkich va logaritmik funktsiyaning o'xshash o'zgarishi yordamida misollar va vazifalar.

Imtiyozlar va formulalarning turli o'zgarishlarini o'rganish o'quv vaqtining muhim qismini maktab matematika kursiga olib boradi. Arithmetik operatsiyalarning xususiyatlariga asoslangan eng oddiy o'zgarishlar boshlang'ich maktabda va IV-V sinflarda ishlab chiqariladi. Ammo aylantirish ko'nikmalari va ko'nikmalarini shakllantirishning asosiy yukini maktab algebri kursini o'tkazishdir. Buning sababi, bajarilgan o'zgarishlarning soni va xilma-xilligi, shuningdek, umumiy shaxsning umumiy kontseptsiyasini taqsimlash va o'rganish, bir xil o'zgarish, ekvivalent o'zgarish, mantiqiy bo'lgan o'zgarishlarning keskin ko'payishi bilan bog'liq. ushlab turish.

Bir xil o'zgarishlarni amalga oshirish madaniyati ob'ektlar (raqamlar, vektorlar, polinomlar va boshqalar) va ularni bajarish algoritmlari bilan bog'liq bo'lgan hisob-kitoblar madaniyatiga o'xshaydi. Bu nafaqat o'zgarishlarni aniqlik bilan aniqlash qobiliyatini, balki asl analitik iboraning eng qisqa yo'lini, shuningdek, o'zgarishning eng munosib yo'nalishi, o'zgarishlarni izlash qobiliyatiga kiritishda ham namoyon qiladi Bir xil o'zgarishlar zanjiridagi analitik iboralar, o'zgarishlarning tezligi va xatosida aniqlash sohasi.

Hisoblash va bir xil o'zgarishlarning yuqori madaniyatini ta'minlash matematikani o'rganish muhim muammodir. Biroq, bu muammo hali ham qoniqarli emas. Ushbu dalillarning isboti - Xalq ta'limi organlarining statistik ma'lumotlar, ularda turli sinf o'quvchilari tomonidan ruxsat etilgan xatolar va irratsional usulda, har xil sinflar talabalari tomonidan testlarni bajarishda davom etadigan talabalar tomonidan turli sinflar talabalari tomonidan amalga oshiriladi. Bunga oliy o'quv yurtlari tomonidan matematik bilimlar sifati va abituriyentlarning ko'nikmalari to'g'risida sharhlar tasdiqlaydi. Xalq ta'limi organlari va universitetlarning madaniy hisob-kitoblari va o'rta maktabda bir xil o'zgarishlar, amaliyot nazariyasini ajratuvchi talabalar bilimlarida rasmiylikning natijasidir.

1-bob.

Bir xil o'zgarishlar va o'qitish usullari

o'quv yilida algebra va tahlilning boshlanishi.

§Ise. Ilova ko'nikmalarini shakllantirish

muayyan turlarni o'zgartiradinozul.

Sinovda ishlatiladigan qabul qilish tizimi va o'zgarishlar boshlandi, algebra juda keng qo'llaniladi: u matematikaning butun jasoratini o'rganishda qo'llaniladi. Biroq, aynan shu tizimning kichik o'ziga xos xususiyati tufayli, bu tizimga qo'shimcha o'zgarishlar va yangi kiritish operatsiyalari va funktsiyalarining xususiyatlari va xususiyatlarining xususiyatlari va xususiyatlarini hisobga olgan holda qo'shimcha o'zgarishlarga muhtoj. Tanlanishlarning tegishli turlarini rivojlantirish qisqartirilgan ko'payish formulalarini joriy etish bilan boshlanadi. Keyin qurilish operatsiyalari bilan bog'liq bir darajaga, turli xil sinflarning turli sinflari - indikativ, elektr energiyasini, logarifmik, trigonometrik bir darajaga ega bo'lishlari kerak. Ushbu o'zgarishlarning har biri o'z xarakteristik xususiyatlarini o'zlashtirishga qaratilgan o'quv bosqichini o'tkazadi.

Materiallar to'planib borayotgan sari, ko'rib chiqilayotgan barcha konvertatsiyalarning umumiy xususiyatlarini bir xil va unga tenglashtiruvchi o'zgarishlar tushunchalarini joriy etish uchun umumiy xususiyatlarni ajratish mumkin.

Bunga bir xil o'zgarish kontseptsiyasini algebra o'quv yilida to'liq hamjamiyatda emas, balki faqat iboralarga nisbatan qo'llanilishi uchun berilishi kerak. Translatmalar ikki sinfga bo'linadi: bir xil suhbatlar, iboralar va unga tenglashtirilgan - formulalarni o'zgartiradigan o'zgarishlar. Formulaning paydo bo'lishining bir qismini soddalashtirish zarurati paydo bo'lganda, ushbu formulada, bu qo'llanilgan shaxsning konversiyalashning argumenti bo'lib xizmat qiladi. Tegishli predikat o'zgarishsiz ko'rib chiqilmaydi.

Bor holistik o'zgarish tizimini tashkil etish(Syntez), asosiy maqsadi moslashuvchan va kuchlilarning shakllanishi; Turli xil o'quv vazifalarini hal qilishda foydalaniladigan qurilma.

Algebra yo'lida va tahlil qilishning yaxlit tizimi, allaqachon tashkil etilgan asosiy xususiyatlarda asta-sekin takomillashda davom etmoqda. Shuningdek, u ularga ba'zi yangi o'zgarishlar qo'shadi, ammo ular buni faqat boyitadilar, imkoniyatlarini kengaytiradi, lekin uning tuzilishini o'zgartirmaydi. Ushbu yangi o'zgarishlarni o'rganish usuli deyarli algebra tomonidan qo'llanilmaydi.

§2. Tashkilotning xususiyatlariish tizimlari

bir xil o'zgarishlarni o'rganishda.

Har qanday vazifalarni tashkil etishning asosiy printsipi ularni sodda tarzda kompleksdan olib chiqish, ko'chmas mulkka nisbatan qiyinchiliklarni engish va muammo holatlarini yaratish zarurligini hisobga olgan holda, ularni murakkabdan jalb qilishdir. Belgilangan asosiy printsip ushbu o'quv qo'llanmaning o'ziga xos xususiyatlariga nisbatan spetsifikatsiyalashni talab qiladi. Matematik usulda turli xil vazifalarni tavsiflash uchun tushuncha qo'llaniladi. jismoniy mashqlar tsikllari.Jismoniy mashqlar tsikli o'quvning bir nechta jihatlari va materialning joylash tarzining usullarini amalga oshirish ketma-ketligi bilan ajralib turadi. Bir xil o'zgarishlarga nisbatan tsiklning ko'rinishi quyidagicha berilishi mumkin.

Mashqlar tsikli bitta identifikatorni o'rganish bilan bog'liq, bu atrofdagi boshqa identifikatsiyalar guruhi bo'lgan, ular tabiiy aloqada bo'lgan. Tsiklning tarkibi, ijro etuvchi shaxslar bilan bir qatorda, ko'rib chiqilayotgan shaxsning muvofiqligini tan olishni talab qiladigan vazifalarni o'z ichiga oladi. O'rganilgan identifikatori turli raqamli joylardagi hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ishlatiladi. Identifikatsiya ma'lumotlari hisobga olinadi; Xususan, u bilan bog'liq inqiloblar tashkil etiladi.

Har bir tsikldagi vazifalar ikki guruhga bo'linadi. Birinchisi, dastlabki tanishishda shaxsiy tanishishda amalga oshiriladigan vazifalarni o'z ichiga oladi. Ular ketma-ket bir mavzu bilan bir qator mavzu bilan birlashtirilgan bir necha yugurish uchun o'quv qo'llanma bo'lib xizmat qiladi. Ikkinchi mashq guruhi O'rtacha identifikatorni turli xil dasturlar bilan bog'laydi. Ushbu guruh kompozitsion birlikni shakllantirmaydi - bu erda turli mavzularda tarqalib ketadi.

Tsiklning tavsiflangan tuzilishi o'ziga xos o'zgarishlarni qo'llash ko'nikmalarini shakllantirish bosqichini anglatadi. Yakuniy bosqichda tsikl sintezining bosqichi o'zgartiriladi. Birinchidan, "tarqatilgan" tsiklni tashkil etuvchi vazifalar birlashtirilgan va birinchi guruhdan, eng oddiy forma yoki topshiriqning murakkabligi chiqarib tashlanadi. Qolgan vazifalar turlari murakkab. Ikkinchidan, turli xil identifikatorlarga tegishli tsikllarning tarqalishi, bu aniq shaxsning qo'llanilishini tan olish uchun harakatlarning rolini oshiradi.

Boshlang'ich funktsiyalar uchun idoralar bilan bog'liq vazifalar tsikllarining xususiyatlariga e'tibor bering. Ushbu xususiyatlar, birinchi navbatda, tegishli idoralarni o'rganish bilan bog'liq va ikkinchidan, keyinchalik birinchi guruhning identifikatsiyalari bo'lib o'tadi va bir xil o'zgarishlarning aniqlangan mahoratidan foydalanib o'rganiladi.

Har bir yangi kiritilgan boshlang'ich funktsiyasi aniqlanishi mumkin bo'lgan raqamlarning keskin kengayishi va individual ravishda nomlanadi. Shu sababli, tsikllarning birinchi vazifalari ushbu yangi raqamli joylarni manbali raqamlar mintaqasi bilan ulanishini o'rnatish uchun vazifani o'z ichiga olishi kerak. Bunday vazifalarga misol keltiramiz.

1-misol. . Hisoblash:

Har bir iboraning yonida, taklif qilingan vazifalar mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan tsikllardir. Bunday vazifalar maqsadi yangi operatsiyalar va funktsiyalarni o'z ichiga olgan yozuvlarning xususiyatlarini o'zlashtirish va matematik nutq ko'nikmalarini rivojlantirishdir.

Boshlang'ich funktsiyalar bilan bog'liq bir xil o'zgarishlardan foydalanishning muhim qismi irratsional va transsendental tenglamalarni hal qilish orqali hisobga olinadi. Shaxsiyatsiyaning so'rilishi tsikllari faqat eng oddiy tenglamalarga kiradi, ammo bunday tenglamalarni hal qilish bo'yicha ish olib boriladi: noma'lumni algebraik tenglamaga almashtirish orqali uni qisqartirish.

Ushbu hal qilish usulidagi qadamlarning ketma-ketligi quyidagicha:

a) ushbu tenglama shaklda keltirilgan funktsiyani toping;

b) almashtirish va tenglamani hal qilish;

c) har bir tenglamalarning har birini - tenglamaning ildizlari to'plamini hal qiling.

Ta'riflangan usuldan foydalanganda, b) b) b) B) Balki aniq shaklda, notatsiyani kiritmasdan amalga oshiriladi. Bundan tashqari, talabalar ko'pincha turli xil yo'llardan afzal ko'rishadi, tezroq va osonroq algebraik tenglamaga olib boradigan narsani tanlang.

2-misol. . Tenglamani yeching.

Birinchi usul:

Ikkinchi usul:

Bu erda birinchi yo'l bilan, A) ikkinchisiga qaraganda ancha murakkabroq ekanligi aniq. Birinchi usul "boshlash qiyin", ammo echimning davom etayotgan qarori ancha oson. Boshqa tomondan, ikkinchi usulda yanada qulayroq, algebraik tenglama uchun ma'lumot olish uchun ko'proq harakat qilish afzalliklari mavjud.

O'quv yili uchun, ushbu misolga nisbatan algebraik tenglamaga o'tish vazifalariga xos bo'lgan algebra odatiy holga xosdir. Bunday vazifalarning asosiy yukini b) tanlangan elementlarning xususiyatlaridan foydalanish bilan bog'liq echim jarayonining mustaqil qismi sifatida.

3-misol. . Tenglamani hal qiling:

Ushbu tenglamalar tenglamalarga tushirildi: a) yoki; b) yoki. Ushbu tenglamalarni hal qilish uchun bilim faqat indikatsion funktsiya to'g'risidagi oddiy dalillarni talab qiladi: uning monotonligi, qadriyatlar turlari. Oldingi misol, A) va b) ishning vazifasi, va b) kvadrat-past tenglamalarni yechish uchun mashqlar tsiklining birinchi guruhiga kiritilishi mumkin.

Shunday qilib, biz tsikllardagi vazifalarni tasniflashga, indikativ funktsiyani o'z ichiga olgan transcordental tenglamalarni echishga tegishli:

1) tenglamalar shakldagi tenglamalarga tushadi va oddiy, keng tarqalgan javobga ega:;

2) tenglamalar tenglamalarga kamayadi, qaerda - butun son yoki qaerda;

3) tenglamalar tenglamalarga tushirildi va raqam qayd etilgan shaklni aniq tahlil qilishni talab qiladi .

Shunga o'xshab, siz boshqa elementar funktsiyalar uchun vazifalarni tasniflashingiz mumkin.

Algebra va Algebra kurslarida tahsil olgan idoralarining muhim qismi ularda yoki hech bo'lmaganda tushuntirilgan. Idenlarni o'rganishning bu tomoni ham katta ahamiyatga ega, chunki dalillar eng ravshanlik va jiddiylik bilan dalillar aniqliklarga nisbatan aniq tarzda amalga oshiriladi. Ushbu materialdan tashqarida dalillar odatda kamroq to'liq ahamiyatga ega, ular har doim qo'llaniladigan mablag'larning tarkibidan ajratilmaydi.

Shaxsiylikni tasdiqlaydigan yordam sifatida, arifmetik operatsiyalarning xususiyatlari qo'llaniladi.

Hisob-kitoblarning ta'limga ta'siri mantiqiy fikrlashni rivojlantirishga yo'naltirilishi mumkin, agar talabalar tomonidan hisob-kitob va bir xil o'zgarishlarni talab qilsa, unda turli xil yo'llar bilan erishilgan funktsional fikrlashni rivojlantirishga to'g'ri keladi. Natijada, iroda, xotirani, aqlli, o'zini o'zi boshqarish, ijodiy tashabbusni rivojlantirishdagi hisob-kitoblar va bir xil o'zgarishlarning ahamiyati aniq.

Uy sharoitida so'rovlar, oqilona hisoblash va bir xil o'zgarishlarning kuchli, avtomatlashtirilgan ko'nikmalarini shakllantirishni talab qiladi. Ushbu ko'nikmalar har qanday hisoblash ishlarida ishlab chiqariladi, shunga qaramay, tez hisoblash va o'zgarishlar bo'yicha maxsus o'quv mashg'ulotlari kerak.

Shunday qilib, agar dars logarifmik tenglamalarni ishlatib, asosiy logarifma identifikatori yordamida logarifmik tenglamalarni echib tashlasa, darslar :,,,,,. Mashqlarning maqsadi har doim talabalarga xabar beriladi. Jismoniy mashqlar ijrosi davomida talabalarga individual o'zgarishlarni, harakatlarni baholashni, harakatlarni yoki barcha vazifani bajarishni, hatto rejalashtirilmagan bo'lsa ham, barcha vazifani bajarishni talab qilish kerak. Muammoni hal qilishning turli usullari mumkin bo'lgan joyda har doim savollarni kiritish tavsiya etiladi: "Vazifani hal qilish usuli nima?", "Yana bir tarzda vazifani kim hal qildi?"

Shaxsiy shaxs va identifikatsiyani o'zgartirish tushunchalari, ular sinf algebra kursida aniq joriy etilgan. Bir xil iboralarni aniqlash deyarli ikkita iborani tasdiqlovchi aniqlash mumkin emas va bir xil o'zgarishlarning mohiyati ifodalangan yoki ichida ko'rsatilgan harakatlar ta'rifi va xususiyatlarini ifoda etish uchun qo'llanilishi tushuniladi Unga qo'shimcha ravishda 0 yoki uning ko'payishi bilan bir xil tarzda bittaga teng. Ammo bu qoidalarni o'rgangan bo'lsa ham, talabalar ko'pincha nima uchun bu o'zgarishlar dastlabki va olingan ibora bir xil, i.e. O'zgaruvchan qiymatlarning har qanday tizimlari (to'plamlari) uchun bir xil qiymatlarni oling.

Shuningdek, talabalarga bir xil o'zgarishlarning bunday xulosalari tegishli harakatlarning ta'riflari va xususiyatlari qanday oqibatlarga olib kelishini yaxshi tushunishlari muhimdir.

Oldingi yillarda to'plangan bir xil o'zgarishlar apparati, VI sinfda kengayadi. Ushbu kengaytma darajani bir xil bazalar bilan ifodalovchi identifikatorning mulkini ifodalovchi identifikatorni kiritishdan boshlanadi: qaerda, -

§3. Matematika dasturi.

"Algebra" maktab kursida talabalar ko'rsatkichi va logarifmik funktsiyalar va ularning xususiyatlarini muntazam ravishda o'rganish, asosiy tushunchalar bilan tanishish, da'volar.

Xi sinfida algebra darslari haftasiga 3 soat davom etadi, barchasi yiliga 102 soat chiqadi. Dasturdagi indikatsion, logarifmik va quvvat funktsiyasini o'rganish 36 soat davom etadi.

Dastur quyidagi masalalarni ko'rib chiqish va o'rganish kiradi:

Oqilona ko'rsatkich bilan ilmiy daraja kontseptsiyasi. Irratsional tenglamalarning echimi. Ko'rsatkich va uning xususiyatlari va grafigi. indikativ iboralarning bir xil o'zgarishi. Ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklarni echim. Logarifm raqamlari. Logarifmlarning asosiy xususiyatlari. Logarifmik funksiya, uning xususiyatlari va grafi. Logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni hal qilish. Hosilaviy ko'rsatkich. Raqam va tabiiy logarifm. Quvvat funktsiyasining hosilasi.

Eksponent va logarifmik funktsiyasini o'rganishning asosiy maqsadi talabalarni indikativ, logarifmik va quvvat funktsiyasi bilan tanishtirishdir; Talabalarga ko'rsatma va logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni hal qilishga o'rgating.

Ildiz darajasi va oqilona indikator bilan ilmiy daraja kvadrat ildiz va butun son bilan darajadagi darajadagi tushunchalarni umumlashtirishdir. Talabalarning e'tiboridan to aqlli indikatorning xususiyatlari, oqilona ko'rsatkichlar va butun ko'rsatkichlar bilan bo'lgan darajadagi kvadrat ildizlar va darajalar bilan o'xshashdir. Kormaning xususiyatlarini ishlab chiqish va bir xil o'zgarishlarni shakllantirish uchun etarli vaqt to'lash kerak. Tegishli ko'rsatkichi bilan ilmiy daraja kontseptsiyasi aniq intuitiv asosda joriy etiladi. Ushbu material yordamchi rol o'ynaydi va bu ko'rsatkichni joriy etishda ishlatiladi.

Ko'rsatilgan, logarifmik va quvvat funktsiyasining xususiyatlarini o'rganish funktsiyalarning qabul qilingan umumiy o'quv sxemasiga muvofiq qurilgan. Bunday holda, parametr qiymatlariga qarab, qo'shimcha ma'lumot beriladi. Ko'rsatkich va logarifik tengsizlik funktsiyalarning o'rganilgan xususiyatlarini qo'llab-quvvatlash bilan hal qilinadi.

Kursning o'ziga xos xususiyati talabalarning bilimini tizimlashtirish va umumlashtirish, ya'ni yangi materialni o'rganishda ham, umumiy takrorlashni amalga oshirishda olib boriladigan algebra kursida olingan ko'nikma va ko'nikmalarni mustahkamlash va rivojlantirish.
2-bob.

Bir xil suhbatlar va hisob-kitoblar

ko'rsatkich va logarifmik iboralar

§Ise. Ilmiy tushunchani umumlashtirish.

Ta'rif:Chistadan ildiz darajasi bunday raqam, ammo unchalik tengdir.

Ushbu ta'rifga ko'ra, ildiz darajasi tenglamaning echimi. Ushbu tenglamaning ildizlari soni bog'liq va. Funktsiyani ko'rib chiqing. Ma'lumki, intervalda bu funktsiya hech kim bilan oshadi va bo'shliqdan barcha qiymatlarni oladi. Ildiz teoremasi bilan har kim uchun tenglahlar salbiy bo'lmagan ildizga ega va bir vaqtning o'zida faqat bittasi. U chaqirdi oraliqdan arifmetik ildiz darajasi va belgilash; Raqam chaqiriladi ildiz indikatorva raqamning o'zi vasiylik ifodasi. Belgisi bir xil radikal deb ataladi.

Ta'rif: Oraliqdan arifmetik ildiz darajasi Ular salbiy bo'lmagan raqam deb atashadi, ammo darajasi tengdir.

Hatto funktsiya bilan ham. Bundan kelib chiqadiki, agar ildizdan tashqari tenglama, shuningdek, ildizdir. Agar, keyin ildiz bitta bo'lsa :; Agar bu tenglamaning ildizlari bo'lmasa, har qanday raqam darajasi salbiy emas.

To'liq qiymatlar bilan funktsiya butun raqamli liniyada ko'payadi; Uning qadriyatlari maydoni barcha haqiqiy raqamlarning to'plamidir. Ildizdagi teoremani qo'llash, biz tenglama har qanday va ayniqsa, qachon bitta ildizga ega. Ushbu ildiz har qanday ma'noga ega.

G'alati darajadagi adolatli tenglikning ildizlari uchun. Aslida ,, i.e. Raqam - bu ildiz - va daraja. Ammo g'alati bir ildiz bilan. Demak,.

Izoh 1: Har qanday haqiqiy uchun

Arifmetik ildizlarning taniqli xususiyatlarini eslang.

Har qanday tabiiy, butun va har qanday salbiy bo'lmagan sonlar va tenglik adolatli:

Oqilona ko'rsatkich darajasi.

Ushbu ifoda hamma uchun aniqlanadi va ishdan tashqari. Bunday darajalarning xususiyatlarini eslang.

Har qanday raqamlar uchun va har qanday butun son va tenglik adolatli:

Agar biz qachon va unda bo'lsa, xuddi shu narsani ta'kidlaymiz.

Ta'rif: Raqam darajasi darajasi, butun son, butun son va - raqam deb ataladigan tabiiy.

Shunday qilib, ta'rif bo'yicha.

Ratsional ko'rsatkich bilan ilmiy darajali darajaga ega bo'lishi bilan, darajalarning asosiy xususiyatlari saqlanib qoladi, har qanday ko'rsatkichlar uchun to'g'ri (farq shundaki, xususiyatlar faqat ijobiy asoslar uchun to'g'ri).

§2. Eksponent funktsiyasi.

Ta'rif: Formula funktsiyasi (qayerda,), deyiladi baza bilan indikatsion funktsiya.

Biz indikativ funktsiyaning asosiy xususiyatlarini yaratamiz.

Funktsiya grafikasi (1-rasm)

Ushbu formulalar deyiladi darajalarning asosiy xususiyatlari.

Bundan tashqari, funktsiya to'g'ri raqamlar to'plamida uzluksiz.

§3. Logarifmik funktsiyasi.

Ta'rif: Logarifm Erga asoslangan raqamlar bazani o'rnatiladigan daraja ko'rsatkichidir. Raqamni nimaga olib keladi.

Formula (qaerda va) qo'ng'iroq asosiy logarifmik identifikatsiya.

Loaritmlar bilan ishlashda, ushbu xususiyatlarning xususiyatlariga quyidagi xususiyatlarga tegishli:

Har qanday( ) va har qanday ijobiy va teng:

5. Har qanday haqiqiy uchun.

Logarifmlarning asosiy xususiyatlari logaritmlarni o'z ichiga olgan iboralarni qayta hisoblashda keng qo'llaniladi. Masalan, logarifmning boshqasiga bitta bazaning o'tish formulasi ko'pincha ishlatiladi:.

1 ga teng emas, ijobiy raqam bo'lsin.

Ta'rif: Formula tomonidan belgilangan funktsiya deyiladi logarifmik funktsiya bazasi bilan.

Biz logarifmik funktsiyaning asosiy xususiyatlarini sanab o'tamiz.

1. Logarifmik funktsiyasini aniqlash mintaqasi barcha ijobiy raqamlarning to'plami, i.e. .

2. Logarifmik funktsiya qiymatlari maydoni barcha haqiqiy raqamlarning to'plamidir.

3. Kogaritmik funktsiya butun ta'rif maydoni ortadi (qachon) yoki kamayadi (qachon).

Funktsiya grafikasi (2-rasm)

Xuddi shu asosga ega bo'lgan ko'rsatkich va logarifmik funktsiyalarning grafikasi, nosimmetrik (3-rasm).

3-bob.

Aniqlik va

logarifmik iboralar amaliyotda.

Mashq 1.

Hisoblash:

Qaror:

Javob:; ; ; ; ; Biz buni olamiz

Ushbu materialni o'rganishda talabalarning malakasini shakllantirish usullari ko'rib chiqildi. Shuningdek, u matematikaga dasturni "Algebra" va "tahlilning boshlanishi" kursidagi indikatsion va logaratitm funktsiyasini o'rganish uchun taqdim etdi.

Qog'ozda bir xil o'zgarishlardan foydalangan holda vazifalar, turli xil murakkablik va tarkibni kiritilgan. Ushbu vazifalar talabalarning bilimlarini nazorat qilish yoki mustaqil ish bilan ta'minlash uchun foydalanish mumkin.

Kurs ishi, menimcha, o'rta ta'lim muassasalarida matematika fanlarini o'qitish metodikasi doirasida olib borildi va maktab o'qituvchilari, shuningdek, kunduzgi va g'ayritabiiy bo'limlar uchun vizual nafaqa sifatida foydalanish mumkin.

Adabiyotlar ro'yxati:

1. Algebra va tahlilni boshlash. Ed. Kolmogorova A.N. M.: Ma'rifat, 1991 yil
2. O'rta maktablar, gimnaziyalar, litseylar dasturi. Matematika 5-11 cl. M.: 2002 yil.
3. I.F. Shimin, V.I. Golubev. Matematikada ixtiyoriy kurs (Vazifalarni hal qilish). Uch. 11 Cl uchun qo'llanma. M.: Ma'rifat, 1991 yil
4. V.A. Oganesyan va boshqalar. Matematik o'qitish metodologiyasi o'rta maktabda o'qitish metodikasi: umumiy texnikasi; Pedagogika institutlarining fizik-matematika fakulteti talabalari uchun qo'llanma. -2-e nashr qayta ishlangan va to'ldirilgan. M.: 1980 yil.
5. Cherkasov R.S., Stolyar A.A. Matematikani o'rta maktabdagi o'qitish texnikasi. M.: Ma'rifat, 1985
6. "Maktabdagi matematika" jurnali.

11 "b" sinfidagi algebrada ochiq dars

Mavzu darslari

"Shotatlarning o'zgarishi,

Logarifmlar o'z ichiga oladi

Maqsadlar dars:

asosiy logarifmik identifikatori logarifm raqamini aniqlashni takrorlang;

logarifmlarning asosiy xususiyatlarini birlashtirish;

uNDUSning ulanuvchiga yuqori sifatli tayyorgarlik uchun ushbu mavzuning amaliy yo'nalishini kuchaytiradi;

bardoshli malaka materiallarini targ'ib qilish;

talabalarda o'z-o'zini kuzatib borish ko'nikmalarini rivojlantirishga ko'maklashish.

Dars turi: Interfaol sinovdan foydalanib birlashdi.

Uskunalar: Proektor, ekran, vazifalar va javoblar ro'yxati.

Dars rejasi:

Tashkiliy vaqt.

Bilimlarni amalga oshirish.

Interfaol test.

"LOOGIFITMLAR BILAN BOYNES"

Darslik bo'yicha vazifalarni hal qilish.

Xulosa chiqarish. Javoblar ro'yxatini to'ldirish.

Hisoblash.

Sinflar davomida

1. Tashkiliy maktab.

2. Darsning ta'rifi.

Salom bolalar! Bugun bizda g'ayrioddiy dars bor, dars - bu bizning logarifmlar bilan turnir shaklida o'tkazadigan o'yin.

Keling, interfaol testdan saboq boshlaymiz.

3. Interaktiv sinov:

4. Logaritmlar bilan turnir:

Logarifm ta'rifi.

Logarifmik identifikatsiyalar:

Soddalashtiring:

Ifoda qiymatini toping:

Logarifmning xususiyatlari .

Konversiya:

Darslik bilan ishlash.

Xulosa chiqarish.

Talabalar o'zlarining javoblar ro'yxatini to'ldirishadi.

Har bir javob uchun murojaat qiling.

Hisoblash. Uy vazifasi. 1-ilova.

Siz bugun logaritmlarga aylandingiz

Aniq hisoblash kerak.

Imtihonda, albatta, siz ular bilan uchrashasiz,

Bu sizga muvaffaqiyat tilaydi!

I. Imkoniyat

a) 9. ½ \u003d 3; b) 7. 0 =1.

ammo)jurnal.8 \u003d 6; b)jurnal.9=-2.

a) 1.7 jurnal. 1,7 2 ; b) 2. jurnal. 2 5 .

4. Hisoblang:

lekin) LG8 + LG125;

b.) Jurnal. 2 7-jurnal. 2 7/16

ichida)jurnal. 3 16 / jurnal. 3 4.

II. Imkoniyat

1. Raqam asosida logarifmni quyidagi asosda keltirilgan raqam shaklida qayd eting:

a) 32. 1/5 \u003d 2; b) 3. -1 =1/3.

2. Tenglik adolatini tekshiring:

ammo)jurnal.27 \u003d -6; b)jurnal. 0,5 4=-2.

3. Asosiy logarifmik identifikatorlardan foydalanib, ifodani soddalashtiring:

a) 5. 1+ jurnal. 5 3 ; b) 10. 1- lg 2

4. Hisoblang:

lekin) Jurnal. 12 4 + jurnal. 12 36;

b.) LG13-LG130;

ichida) (LG8 + LG18) / (2lg2 + LG3).

Iii Imkoniyat

1. Raqam asosida logarifmni quyidagi asosda keltirilgan raqam shaklida qayd eting:

a) 27. 2/3 \u003d 9; b) 32. 3/5 =8.

2. Tenglik adolatini tekshiring:

ammo)jurnal. 2 128=;

b)jurnal. 0,2 0,008=3.

3. Asosiy logarifmik identifikatorlardan foydalanib, ifodani soddalashtiring:

a) 4. 2 jurnal. 4 3 ;

b) 5. -3 jurnal. 5 1/2 .

4. Hisoblang:

lekin) Jurnal. 6 12 + jurnal. 6 18;

b.) Jurnal. 7 14-jurnal. 7 6 + jurnal. 7 21;

ichida) (jurnal. 7 3/ jurnal. 7 13)∙ jurnal. 3 169.

Iv Imkoniyat

1. Raqam asosida logarifmni quyidagi asosda keltirilgan raqam shaklida qayd eting:

a) 81. 3/4 \u003d 27; b) 125. 2/3 =25.

2. Tenglik adolatini tekshiring:

ammo)jurnal. √5 0,2=-2;

b)jurnal. 0,2 125=-3.

3. Asosiy logarifmik identifikatorlardan foydalanib, ifodani soddalashtiring:

a) (1/2) 4 jurnal. 1/2 3 ;

b) 6. -2 jurnal. 6 5 .

4. Hisoblang:

lekin) Jurnal. 14 42-jurnal. 14 3;

b.) Jurnal. 2 20-jurnal. 2 25 + jurnal. 2 80;

ichida) Jurnal. 7 48/ jurnal. 7 4- 0,5 jurnal. 2 3.

Endi biz logaritmlarni o'z ichiga olgan iboralarni umumiy pozitsiyasiga aylantirmoqdamiz. Bu erda biz nafaqat logarifmlarning xususiyatlaridan foydalangan holda, balki iboralarni o'zgartirishni, balki umumiy shaklning logarifmlari, balki unvonlar, fraktsiyalar, ildizlar va boshqalar) ni tahlil qilamiz. Odatdagidek barcha materiallar echimlarning batafsil tavsiflari bilan o'ziga xos misollar keltiriladi.

Navigatsiya sahifasi.

Logarifmlar va logarifmik iboralar bilan ifodalar

Kasrlar bilan harakat qilish

Oldingi paragrafda biz logaritmlar o'z ichiga olgan alohida kasrlar bilan amalga oshiriladigan asosiy o'zgarishlarni ajratamiz. Albatta, bu o'zgarishlar har bir alohida fraktsiyani, masalan, bu miqdor, farq, farq va shaxsiy fraktsiyalarni ifodalashning bir qismi bo'lgan har bir alohida fraktsiyani amalga oshirish mumkin. Ammo alohida kasrlar bilan ishlashdan tashqari, belgilangan turlarning ifodalari ko'pincha kasrlar bilan tegishli harakatlarni amalga oshirishni anglatadi. Keyin biz ushbu harakatlar amalga oshirilayotgan qoidalarni ko'rib chiqamiz.

5-6 darajadan ortiq baholar, biz ular bajariladigan qoidalarni bilamiz. Maqolada fraktsiyalar bilan harakatlarning umumiy ko'rinishi Biz ushbu qoidalarni oddiy fraktsiyalar bilan tarqatdik, u keng tarqalgan shakldagi A va B bir xil, alifbo rusumli, alifbo ifodalari yoki o'zgaruvchilar bilan ifodalar, va b teng bo'lmagan. Logogimlar bilan fraktsiyalar umumiy shaklning alohida holatlari ekanligini aniq ko'rsatib turibdi. Va bu borada logarifm tarkibidagi kassalar mavjud bo'lgan aktsiyalar bir xil qoidalarga muvofiq amalga oshirilganligi aniq. Aynan:

• Bir xil denomomorlar bilan ikkita kasrlarni bog'lash yoki ajratish uchun, raqamlarni shunga ko'ra qo'shish yoki ajratish kerak va denominator ham xuddi shunday qoldiriladi.
• Turli xil denominatorlar bilan ikkita kasrlarni bog'lash yoki ajratish uchun, siz ularni umumiy denominatorga olib kelishingiz va oldingi qoida bo'yicha tegishli choralarni o'tkazishingiz kerak.
• Ikki kasrni ko'paytirish uchun siz boshlang'ich kasrlar sonining mahsuloti bo'lgan kasrni yozib olishingiz kerak, ularning soni - bu boshlang'ich kasrlarning summasi va denominatorlarning mahsuloti.
• Fraktsiya uchun fraktsiyani ajratish uchun, teskari bo'linishda, ya'ni fraktsiyaning, ya'ni fraktsiyaning, ya'ni va tartibsiz joylar bilan denominator bilan kranarchni ko'paytirish kerak.

Keling, logaritmlar o'z ichiga olgan fraktsiyalar bilan harakatlarni amalga oshirish uchun bir nechta misol keltiraylik.

Misol.

Logovaritlarni o'z ichiga olgan kasrlar bilan harakatlarni bajaring: a) b), b) , INda) , d) .

Qaror.

a) buklangan frenjlar ranlari aniq bir xil. Shuning uchun, bir xil farishandalar bilan fraktsiyalar hukmronligi bo'yicha biz hisobni qo'yamiz va denominator bir xil darajada qoldiramiz: .

b) bu \u200b\u200berda turli xil denominatorlar. Shuning uchun siz birinchi navbatda kerak bir xil denominatorga kasr olib keling. Bizning holatda, denomoratorlar allaqachon asarlar shaklida taqdim etilmoqda va biz birinchi fraksiyaning mazhabini olishimiz va ikkinchi kasr kanalidan etishmayotgan omillarni qo'shishimiz kerak. Shuning uchun biz turlarning umumiy mahsuldorligini olamiz . Shu bilan birga, qo'shimcha ko'paytirgichlarga logarifm shaklida qo'shimcha ko'paytirgichlardan foydalanib, qo'shimcha ko'paytirgichlardan foydalangan holda qo'shimcha ko'paytirgichlardan foydalanadi va mos ravishda. Shundan so'ng, bu qiyinchiliklarni anglatmaydigan bir xil denomomorlar bilan fraksiyalarni olib tashlaydi.

Shunday qilib, yechim:

c) ma'lumki, fraktsiyalarning ko'payishining natijasi shundaki, uning raqami, uning raqami, bu raqamlar samarasi va denominator - bu denominatorlarning mahsulotidir

Sarflashingiz mumkinligini payqash oson fraktsiyalarning pasayishi ikki marotaba va o'nlik logarifmda, bizda bor .

d) diverning kasrini o'ziga almashtirish orqali ko'paytirish uchun kasrlarni ko'paytirishga borish. Shunday qilib

Olingan kasrning hisoblagichini ifodalash mumkin Udan umumiy raqamning umumiy ko'payishi va denominator aniq ko'rinadi - Multiplier X, kasrni kamaytirish mumkin:

Javob:

a), b) , INda) , d) .

Shuni yodda tutilishi kerakki, kassalar bilan harakatlarni bajarish tartibini hisobga olgan holda amalga oshiriladi: birinchi ko'paytirish va bo'linish, keyin qo'shimcha va ajratish, agar qavslar bo'lsa, harakatlar qavs ichida amalga oshiriladi.

Misol.

Fraktsiyalar bilan harakatlarni bajaring .

Qaror.

Avval biz qavslardagi fraktsiyalar qo'shilishini bajaramiz, shundan keyin biz ko'paytirishni amalga oshiramiz:

Javob:

Shu paytda u balandligi juda aniq, ammo shu bilan birga muhim fikrlar:

Logarifmlar xususiyatlaridan foydalangan holda iboralarning o'zgarishi

Ko'pincha, logarifmlar bilan ifodalarning o'zgarishi logarifm ta'rifini ifodalovchi identifikatorlardan foydalanishni anglatadi va

B7 vazifasi sizga soddalashtirish kerak bo'lgan ma'lum bir ifoda berilgan. Natijada, javob shaklida odatdagi raqam yozilishi kerak. Barcha iboralar an'anaviy ravishda uch turga bo'linadi:

1. Logarifmik
2. Ko'rsatadigan
3. Birlashtirilgan.

Sof shakldagi indikatsion va logarifmik iboralar deyarli topilmayapti. Biroq, ular qanday hisoblashlarini bilish juda zarur.

Umuman olganda, B7 vazifasi juda oddiy va o'rta asirga qadar. Aniq algoritmlarning etishmasligi IT standartlari va monotanonida qoplanadi. Bunday vazifalarni hal qilishni o'rganish shunchaki ko'p sonli mashg'ulotlar tufayli bo'lishi mumkin.

Logarifmik iboralar

B7 vazifalarining aksariyati, bitta shaklda logaritmlarni o'z ichiga oladi. Ushbu mavzu an'anaviy ravishda qiyin deb hisoblangan, chunki uning tadqiqotlari, qoida tariqasida, 11-sinfda - yakuniy imtihonlarga ommaviy tayyorgarlik. Natijada, ko'plab bitiruvchilar logarifmlar haqida juda noaniq fikrga ega.

Ammo bu muammoda hech kim chuqur nazariy bilimlarni talab qilmaydi. Biz faqat murakkab fikrlashni talab qiladigan eng oddiy iboralarni uchratamiz va o'zimiznikiga ega bo'lishimiz mumkin. Quyida logarifmlarni engish uchun bilishingiz kerak bo'lgan asosiy formulalar:

Bundan tashqari, ildizlar va fraksiyalarni oqilona indikator bilan almashtirishni, aks holda ba'zi iboralarda, logarifmni bajaradigan narsa emas. O'zgartirish formulalari:

Vazifa. Shaxsiylarni toping:
Jurnal 6 270 - 6 7.5
LOG 5 775 - LOG 5 6.2

Birinchi ikkita iboralar logarifmlardagi farq sifatida qabul qilinadi:
Jurnal 6 270 - Log 6 7.5 \u003d Log 6 (270: 7.5) \u003d qaydlar 6 36 \u003d 2;
Log 5 775 - LOG 5 6.2 \u003d Log 5 (775: 6,2) \u003d log 5 125 \u003d 3.

Uchinchi ifodani hisoblash uchun, asoratda ham, argumentda ham darajalar ajratish kerak bo'ladi. Boshlash uchun biz ichki logarifmni topamiz:

Keyin - tashqi:

Jurnal dizayni ko'pchilik uchun murakkab va tushunarsiz ko'rinadi. Shu bilan birga, bu logarifmdan logarifm, I.E. Jurn (log b x). Birinchidan, ichki logarifm hisoblanadi (log b x \u003d c), so'ngra tashqi: C.-ni qayd qiling.

Ko'rsatkichlar

Keling, K va K raqamlari o'zboshimchalik bilan ishlaydigan konstansiyalar va a-livetlar bilan ishlashning usullari juda oddiy va 8-sinf algebrasi darslarida ko'rib chiqilib, ko'rib chiqamiz.

Quyida ma'lum bo'lishi kerak bo'lgan asosiy formulalar. Ushbu formulalardan amalda foydalanish, qoida tariqasida, muammolarga olib kelmaydi.

1. a n @ m \u003d a n + m;
2. a n / a m \u003d a n - m;
3. (a n) m \u003d n · m;
4. (A · b) n \u003d a ni n.
5. (A: b) n \u003d a n: b n.

Agar murakkab ifoda darajaga ega bo'lsa va unga qanday murojaat qilish kerakligi aniq bo'lmasa, universal qabul qilishda - oddiy omillar bo'yicha parchalanish qo'llaniladi. Natijada, darajalar asoslarida katta raqamlar oddiy va tushunarli elementlar bilan almashtiriladi. Keyin u faqat yuqoridagi formulalarni qo'llash uchun ishlatiladi - va vazifa hal qilinadi.

Vazifa. Ibroniylarning qadriyatlarini topish: 7 9 9 9: 3 6: 16: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

Qaror. Barcha fondlarni oddiy ko'paytirgichlarga tarqating:
7 9 · 3 11: 21 8 \u003d 7 9 · 3 11: (7 · 3) 8 \u003d 7 9 · 3 11: (7 8 · 3 8) \u003d 7 9 · 3 11: 7, 8: 3 8 \u003d 7 · 3 3 \u003d 189.
24: 3 6: 16 5 \u003d (3 · 2 3) 7: 3) 7: 3 6: (2 4) 5 \u003d 3 7 7 7: 2 20 \u003d 3 \u003d 6.
30 6: 6 5: 25 2 \u003d (5 · 3) 6: (3 · 2) 5: (5 2) 2 \u003d 5 6 · 3 6: 1 1: 5 4 \u003d 5 2 · 3 \u003d 150.

Birlashtirilgan vazifalar

Agar formulani bilsangiz, unda barcha indikatsion va logarifmik iboralar bir qatorda so'zma-so'z hal qilinadi. Biroq, B7 muammoni, daraja va logaritmlar birlashtirish, juda asossiz kombinatsiyalarni shakllantirish mumkin.