To'g'ri uchburchak. Toʻliq tasvirlangan qoʻllanma (2019)

O‘ng uchburchak. BIRINCHI DARAJA.

Muammolarda to'g'ri burchak mutlaqo kerak emas - pastki chap burchak, shuning uchun siz ushbu shaklda to'g'ri burchakli uchburchakni qanday tanib olishni o'rganishingiz kerak,

va shunga o'xshash

va shunga o'xshash

To'g'ri uchburchakda nima yaxshi? Xo'sh... birinchi navbatda, uning ziyofatlari uchun maxsus chiroyli nomlar mavjud.

Chizmaga diqqat!

Eslab qoling va chalkashtirmang: oyoqlari - ikkita, gipotenuz esa - faqat bitta(yagona, noyob va eng uzun)!

Xo'sh, biz nomlarni muhokama qildik, endi eng muhimi: Pifagor teoremasi.

Pifagor teoremasi.

Bu teorema to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq ko'plab muammolarni hal qilishning kalitidir. Pifagor buni mukammal isbotladi qadim zamonlar, va o'shandan beri u uni taniganlarga ko'p foyda keltirdi. Va uning eng yaxshi tomoni shundaki, u sodda.

Shunday qilib, Pifagor teoremasi:

Hazilni eslaysizmi: "Pifagor shimlari har tomondan tengdir!"?

Keling, bu Pifagor shimlarini chizamiz va ularga qaraylik.

Bu haqiqatan ham shortilarga o'xshaydimi? Xo'sh, ular qaysi tomonlarda va qayerda teng? Hazil nima uchun va qaerdan paydo bo'ldi? Va bu hazil Pifagor teoremasi bilan, aniqrog'i Pifagorning o'zi teoremasini shakllantirish usuli bilan bog'liq. Va u buni shunday tuzatdi:

"sum kvadratlar maydoni, oyoqlarda qurilgan, tengdir kvadrat maydon gipotenuzaga qurilgan.

Bu biroz boshqacha eshitilmaydi, shunday emasmi? Shunday qilib, Pifagor o'z teoremasining bayonotini chizganida, xuddi shunday rasm paydo bo'ldi.

Ushbu rasmda kichik kvadratlar maydonlarining yig'indisi katta kvadratning maydoniga teng. Va bolalar oyoq kvadratlarining yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga teng ekanligini yaxshiroq eslab qolishlari uchun kimdir Pifagor shimlari haqida bu hazilni o'ylab topdi.

Nega endi biz Pifagor teoremasini shakllantirmoqdamiz?

Pifagor azob chekib, kvadratlar haqida gapirganmi?

Ko'ryapsizmi, qadimda ... algebra yo'q edi! Hech qanday belgilar va boshqalar yo'q edi. Hech qanday yozuv yo'q edi. Tasavvur qila olasizmi, qadimda kambag'al o'quvchilar hamma narsani so'z bilan yodlashlari qanchalik dahshatli edi??! Va bizda Pifagor teoremasining oddiy formulasi borligidan xursand bo'lishimiz mumkin. Yaxshi eslash uchun yana takrorlaymiz:

Endi bu oson bo'lishi kerak:

Gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng.

To'g'ri burchakli uchburchak haqidagi eng muhim teorema muhokama qilindi. Agar siz buning qanday isbotlangani bilan qiziqsangiz, nazariyaning keyingi darajalarini o'qing va endi trigonometriyaning qorong'u o'rmoniga o'tamiz! Sinus, kosinus, tangens va kotangens degan dahshatli so'zlarga.

To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens, kotangens.

Aslida, hamma narsa unchalik qo'rqinchli emas. Albatta, maqolada sinus, kosinus, tangens va kotangensning "haqiqiy" ta'rifini ko'rib chiqish kerak. Lekin siz haqiqatan ham xohlamaysiz, shunday emasmi? Biz quvonishimiz mumkin: to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun siz quyidagi oddiy narsalarni to'ldirishingiz mumkin:

Nima uchun hamma narsa burchak bilan bog'liq? Burchak qayerda? Buni tushunish uchun siz 1 - 4 gaplarning so'zlarda qanday yozilishini bilishingiz kerak. Qarang, tushuning va eslang!

1.
Bu aslida shunday eshitiladi:

Burchak haqida nima deyish mumkin? Burchakka qarama-qarshi, ya'ni qarama-qarshi oyoq (burchak uchun) bormi? Albatta bor! Bu katet!

Ammo burchak haqida nima deyish mumkin? Yaqindan qarang. Qaysi oyoq burchakka ulashgan? Albatta, mushuk. Shunday qilib, burchak uchun oyoq qo'shni va

Va endi, diqqat! Qarang, bizda nima bor:

Bu qanchalik ajoyib ekanligini ko'ring:

Endi tangens va kotangensga o'tamiz.

Endi buni qanday qilib so'z bilan ifodalash mumkin? Burchakka nisbatan oyoq nima? Albatta, qarama-qarshi - burchakka qarama-qarshi "yotadi". Va katet? Burchakka ulashgan. Xo'sh, biz nima oldik?

Hisob va maxraj qanday teskari bo'lishini ko'rasizmi?

Va endi yana burchaklar va almashinuvni amalga oshirdi:

Xulosa

Keling, o'rganganlarimizni qisqacha yozamiz.

Pifagor teoremasi:

To'g'ri burchakli uchburchakning asosiy teoremasi Pifagor teoremasi.

Pifagor teoremasi

Aytgancha, oyoq va gipotenuzaning nima ekanligini yaxshi eslaysizmi? Agar yo'q bo'lsa, unda rasmga qarang - bilimingizni yangilang

Ehtimol, siz Pifagor teoremasidan ko'p marta foydalangansiz, lekin nima uchun bunday teorema to'g'ri ekanligi haqida hech o'ylab ko'rganmisiz? Siz buni qanday isbotlagan bo'lardingiz? Qadimgi yunonlar kabi qilaylik. Keling, bir tomoni bilan kvadrat chizamiz.

Ko'ryapsizmi, biz uning tomonlarini qanday qilib ayyorlik bilan uzunlikdagi segmentlarga ajratganimizni va!

Endi belgilangan nuqtalarni bog'laymiz

Bu erda biz yana bir narsani ta'kidladik, lekin siz o'zingiz rasmga qaraysiz va nima uchun o'ylaysiz.

Kattaroq kvadratning maydoni qancha? To'g'ri, . Kichikroq maydon haqida nima deyish mumkin? Albatta, . To'rt burchakning umumiy maydoni qoladi. Tasavvur qiling-a, biz ulardan ikkitasini oldik va gipotenuslar bilan bir-biriga suyanib qoldik. Nima bo'ldi? Ikki to'rtburchaklar. Shunday qilib, "kesish" maydoni teng.

Keling, hozir hammasini birlashtiramiz.

Keling, aylantiramiz:

Shunday qilib, biz Pifagorga tashrif buyurdik - biz uning teoremasini qadimgi usulda isbotladik.

To'g'ri uchburchak va trigonometriya

To'g'ri burchakli uchburchak uchun quyidagi munosabatlar mavjud:

Sinus o'tkir burchak qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng

O'tkir burchakning kosinusu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng.

O'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi oyoqning qo'shni oyoqqa nisbatiga teng.

O'tkir burchakning kotangensi qo'shni oyoqning qarama-qarshi oyoqqa nisbatiga teng.

Va yana bir bor, bularning barchasi plastinka shaklida:

Bu juda qulay!

To'g'ri burchakli uchburchaklar tenglik belgilari

I. Ikki oyoqda

II. Oyoq va gipotenuza bilan

III. Gipotenuza va o'tkir burchak bilan

IV. Oyoq va o'tkir burchak bo'ylab

Diqqat! Bu erda oyoqlarning "tegishli" bo'lishi juda muhimdir. Masalan, agar u shunday bo'lsa:

SHUNDA UCHBURCHAKLAR TENG EMAS, ular bir xil o'tkir burchakka ega bo'lishiga qaramay.

Kerak ikkala uchburchakda oyoq qo'shni yoki ikkalasida - qarama-qarshi edi.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning tenglik belgilari uchburchaklar tengligining odatiy belgilaridan qanday farq qilishini payqadingizmi? Mavzuni ko'rib chiqing va "oddiy" uchburchaklarning tengligi uchun ularning uchta elementining tengligi kerakligiga e'tibor bering: ikki tomon va ular orasidagi burchak, ikkita burchak va ular orasidagi tomon yoki uch tomon. Ammo to'g'ri burchakli uchburchaklarning tengligi uchun faqat ikkita mos keladigan element etarli. Bu ajoyib, to'g'rimi?

To'g'ri uchburchaklarning o'xshashlik belgilari bilan taxminan bir xil holat.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari

I. O'tkir burchak

II. Ikki oyoqda

III. Oyoq va gipotenuza bilan

To'g'ri uchburchakdagi median

Nega bunday?

To'g'ri uchburchak o'rniga butun to'rtburchakni ko'rib chiqing.

Keling, diagonal chizamiz va nuqtani ko'rib chiqamiz - diagonallarning kesishish nuqtasi. To'rtburchakning diagonallari haqida nimalarni bilasiz?

Va bundan nima kelib chiqadi?

Shunday bo'ldi

- median:

Bu haqiqatni unutmang! Ko'p yordam beradi!

Bundan ham ajablanarlisi shundaki, buning aksi ham haqiqatdir.

Gipotenuzaga chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng bo'lishidan qanday foyda olish mumkin? Keling, rasmga qaraylik

Yaqindan qarang. Bizda: , ya'ni nuqtadan uchburchakning barcha uch uchlarigacha bo'lgan masofalar teng bo'lib chiqdi. Ammo uchburchakda faqat bitta nuqta mavjud bo'lib, uchburchakning barcha uchta uchlari teng bo'lgan masofalar va bu tasvirlangan AYLANMA MARKAZI. Xo'sh, nima bo'ldi?

Shunday qilib, keling, "bundan tashqari ..." bilan boshlaylik.

Keling, i ni ko'rib chiqaylik.

Lekin o'xshash uchburchaklar barcha burchaklar teng!

Xuddi shu narsani va haqida ham aytish mumkin

Endi uni birga chizamiz:

Ushbu "uchlik" o'xshashlikdan qanday foydalanish mumkin.

Xo'sh, masalan - to'g'ri burchakli uchburchakning balandligi uchun ikkita formula.

Tegishli tomonlarning munosabatlarini yozamiz:

Balandlikni topish uchun biz nisbatni yechib, olamiz birinchi formula "To'g'ri burchakli uchburchakdagi balandlik":

Shunday qilib, keling, o'xshashlikni qo'llaymiz: .

Endi nima bo'ladi?

Yana proportsiyani yechib, ikkinchi formulani olamiz:

Ushbu ikkala formulani ham juda yaxshi eslab qolish kerak va ulardan foydalanish qulayroqdir. Keling, ularni yana yozamiz.

Pifagor teoremasi:

To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng:.

To'g'ri burchakli uchburchaklar tengligining belgilari:

ikki oyoqda:
oyoq va gipotenuz bo'ylab: yoki
oyoq va qo'shni o'tkir burchak bo'ylab: yoki
oyoq bo'ylab va qarama-qarshi o'tkir burchak: yoki
gipotenuza va o'tkir burchak bilan: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari:

bitta o'tkir burchak: yoki
ikki oyoqning mutanosibligidan:
oyoq va gipotenuzaning proportsionalligidan: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens, kotangens

To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati:
To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining kosinusu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:
To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining tangensi qarama-qarshi oyoqning qo'shnisiga nisbati:
To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining kotangensi qo'shni oyoqning qarama-qarshi qismiga nisbati:.

To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchakda cho'qqidan olingan mediana to'g'ri burchak, gipotenuzaning yarmiga teng: .

To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni:

kateterlar orqali:

Maktab o'quvchilari eng katta qiyinchiliklarga duch keladigan matematikaning sohalaridan biri trigonometriyadir. Buning ajablanarli joyi yo'q: ushbu bilim sohasini erkin egallash uchun sizga fazoviy fikrlash, formulalar yordamida sinuslar, kosinuslar, tangenslar, kotangentlarni topish, ifodalarni soddalashtirish va hisob-kitoblarda pi sonidan foydalanish qobiliyati kerak. Bundan tashqari, siz teoremalarni isbotlashda trigonometriyani qo'llay bilishingiz kerak va bu rivojlangan matematik xotira yoki murakkab mantiqiy zanjirlarni chiqarish qobiliyatini talab qiladi.

Trigonometriyaning kelib chiqishi

Ushbu fan bilan tanishish burchakning sinus, kosinus va tangensini aniqlashdan boshlanishi kerak, lekin avval trigonometriya umuman nima qilishini aniqlashingiz kerak.

Tarixan to‘g‘ri burchakli uchburchaklar matematika fanining ushbu bo‘limida asosiy tadqiqot ob’ekti bo‘lib kelgan. 90 graduslik burchakning mavjudligi ko'rib chiqilayotgan raqamning barcha parametrlarining qiymatlarini ikki tomon va bitta burchak yoki ikkita burchak va bir tomondan aniqlashga imkon beradigan turli xil operatsiyalarni bajarishga imkon beradi. Ilgari odamlar bu naqshni payqashdi va uni binolarni qurishda, navigatsiya, astronomiya va hatto san'atda faol qo'llashni boshladilar.

Birinchi bosqich

Dastlab, odamlar burchaklar va tomonlarning munosabatlari haqida faqat to'g'ri burchakli uchburchaklar misolida gaplashdilar. Keyin foydalanish chegaralarini kengaytirishga imkon beradigan maxsus formulalar topildi Kundalik hayot matematikaning ushbu bo'limi.

Bugungi kunda maktabda trigonometriyani o'rganish to'g'ri burchakli uchburchaklardan boshlanadi, shundan so'ng olingan bilimlar talabalar tomonidan fizika va mavhum masalalarni yechishda qo'llaniladi. trigonometrik tenglamalar, o'rta maktabda boshlanadigan ish.

Sferik trigonometriya

Keyinchalik fan rivojlanishning keyingi bosqichiga ko'tarilgach, sferik geometriyada sinus, kosinus, tangens, kotangensli formulalar qo'llanila boshlandi, bu erda turli qoidalar qo'llaniladi va uchburchakdagi burchaklar yig'indisi har doim 180 darajadan yuqori bo'ladi. Ushbu bo'lim maktabda o'rganilmaydi, lekin uning mavjudligi haqida bilish kerak, hech bo'lmaganda, chunki yer yuzasi, va har qanday boshqa sayyoraning yuzasi qavariq bo'lib, bu sirtning har qanday belgisi ichida bo'lishini anglatadi uch o'lchovli fazo"kemerli".

Globus va ipni oling. Ipni globusning istalgan ikkita nuqtasiga mahkamlang, shunda u tarang bo'ladi. E'tibor bering - u kamon shaklini oldi. Geodeziya, astronomiya va boshqa nazariy va amaliy sohalarda qo'llaniladigan sferik geometriya ana shunday shakllar bilan shug'ullanadi.

To'g'ri uchburchak

Trigonometriyadan foydalanish usullari haqida bir oz ma'lumotga ega bo'lgandan so'ng, sinus, kosinus, tangens nima ekanligini, ularning yordami bilan qanday hisob-kitoblarni amalga oshirish mumkinligini va qanday formulalardan foydalanishni tushunish uchun asosiy trigonometriyaga qaytaylik.

Birinchi qadam to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq tushunchalarni tushunishdir. Birinchidan, gipotenuza 90 graduslik burchakka qarama-qarshi tomondir. U eng uzuni. Pifagor teoremasiga ko'ra, uning son qiymati qolgan ikki tomon kvadratlari yig'indisining ildiziga teng ekanligini eslaymiz.

Misol uchun, agar ikki tomon mos ravishda 3 va 4 santimetr bo'lsa, gipotenuzaning uzunligi 5 santimetrga teng bo'ladi. Aytgancha, qadimgi misrliklar bu haqda to'rt yarim ming yil oldin bilishgan.

To'g'ri burchakni tashkil etuvchi qolgan ikkita tomon oyoqlar deb ataladi. Bundan tashqari, biz uchburchakdagi burchaklarning yig'indisi ekanligini unutmasligimiz kerak to'rtburchaklar tizimi koordinatasi 180 daraja.

Ta'rif

Nihoyat, geometrik asosni yaxshi tushungan holda, biz burchakning sinus, kosinus va tangensini aniqlashga murojaat qilishimiz mumkin.

Burchakning sinusi - qarama-qarshi oyoqning (ya'ni, kerakli burchakka qarama-qarshi tomoni) gipotenuzaga nisbati. Burchakning kosinusi - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati.

Yodingizda bo'lsin, na sinus, na kosinus birdan katta bo'lishi mumkin emas! Nega? Chunki gipotenuza sukut bo'yicha eng uzun bo'ladi.Oyoq qancha uzun bo'lmasin, u gipotenuzadan qisqa bo'ladi, ya'ni ularning nisbati doimo bittadan kichik bo'ladi. Shunday qilib, agar siz muammoning javobida 1 dan katta qiymatga ega bo'lgan sinus yoki kosinusni olsangiz, hisob-kitoblarda yoki fikrlashda xatolikni qidiring. Bu javob aniq noto'g'ri.

Nihoyat, burchakning tangensi - bu qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati. Xuddi shu natija sinusning kosinusga bo'linishini beradi. Qarang: formulaga muvofiq, biz tomonning uzunligini gipotenuzaga ajratamiz, shundan so'ng biz ikkinchi tomonning uzunligiga bo'linib, gipotenuzaga ko'paytiramiz. Shunday qilib, biz tangens ta'rifidagi kabi nisbatni olamiz.

Kotangent, o'z navbatida, burchakka ulashgan tomonning qarama-qarshi tomonga nisbati. Birlikni tangensga bo'lish orqali biz bir xil natijaga erishamiz.

Shunday qilib, biz sinus, kosinus, tangens va kotangens nima ekanligini ko'rib chiqdik va formulalar bilan shug'ullanishimiz mumkin.

Eng oddiy formulalar

Trigonometriyada formulalarsiz qilolmaysiz - ularsiz sinus, kosinus, tangens, kotangensni qanday topish mumkin? Va muammolarni hal qilishda aynan shu narsa talab qilinadi.

Trigonometriyani o'rganishni boshlaganingizda bilishingiz kerak bo'lgan birinchi formulada aytilishicha, burchakning sinus va kosinus kvadratlari yig'indisi birga teng. Bu formula Pifagor teoremasining to'g'ridan-to'g'ri natijasidir, lekin agar siz tomonni emas, balki burchakning qiymatini bilmoqchi bo'lsangiz, vaqtni tejaydi.

Ko'pgina talabalar ikkinchi formulani eslay olmaydilar, bu maktab muammolarini hal qilishda ham juda mashhur: birning yig'indisi va burchak tangensining kvadrati burchak kosinusining kvadratiga bo'lingan birga teng. Yaxshilab ko'ring: axir, bu birinchi formulada bo'lgani kabi bir xil bayonot, faqat identifikatsiyaning ikkala tomoni kosinus kvadratiga bo'lingan. Ma’lum bo‘lishicha, oddiy matematik amal trigonometrik formulani butunlay tanib bo‘lmaydigan qilib qo‘yadi. Esingizda bo'lsin: sinus, kosinus, tangens va kotangens nima ekanligini bilish, konversiya qoidalari va bir nechta asosiy formulalar istalgan vaqtda talab qilinadigan ko'proq narsani qaytarib olishingiz mumkin murakkab formulalar qog'oz varag'ida.

Ikki burchakli formulalar va argumentlar qo'shish

Siz o'rganishingiz kerak bo'lgan yana ikkita formulalar burchaklar yig'indisi va farqi uchun sinus va kosinusning qiymatlari bilan bog'liq. Ular quyidagi rasmda ko'rsatilgan. E'tibor bering, birinchi holatda sinus va kosinus ikkala marta ko'paytiriladi, ikkinchisida esa sinus va kosinusning juft mahsuloti qo'shiladi.

Ikki burchakli argumentlar bilan bog'liq formulalar ham mavjud. Ular butunlay oldingilaridan olingan - amaliyot sifatida, beta burchagiga teng alfa burchagini olib, ularni o'zingiz olishga harakat qiling.

Nihoyat, ikki burchakli formulalar sinus, kosinus, tangens alfa darajasini pasaytirish uchun aylantirilishi mumkinligini unutmang.

Teoremalar

Asosiy trigonometriyada ikkita asosiy teorema sinus teoremasi va kosinus teoremasidir. Ushbu teoremalar yordamida siz sinus, kosinus va tangensni, shuning uchun rasmning maydonini va har bir tomonning o'lchamini va hokazolarni qanday topishni osongina tushunishingiz mumkin.

Sinus teoremasida aytilishicha, uchburchakning har bir tomonining uzunligini qarama-qarshi burchak qiymatiga bo'lish natijasida biz bir xil sonni olamiz. Bundan tashqari, bu raqam chegaralangan doiraning ikkita radiusiga, ya'ni berilgan uchburchakning barcha nuqtalarini o'z ichiga olgan doiraga teng bo'ladi.

Kosinus teoremasi Pifagor teoremasini umumlashtiradi, uni har qanday uchburchaklarga proyeksiya qiladi. Ma'lum bo'lishicha, ikki tomonning kvadratlari yig'indisidan ularning mahsulotini ularga qo'shni burchakning ikki baravar kosinusiga ko'paytiring - natijada olingan qiymat uchinchi tomonning kvadratiga teng bo'ladi. Shunday qilib, Pifagor teoremasi kosinuslar teoremasining maxsus holati bo'lib chiqadi.

E'tiborsizlik tufayli xatolar

Sinus, kosinus va tangens nima ekanligini bilgan holda ham, beparvolik yoki eng oddiy hisob-kitoblardagi xatolik tufayli xato qilish oson. Bunday xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun keling, ularning eng mashhurlari bilan tanishaylik.

Birinchidan, yakuniy natija olinmaguncha oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirmasligingiz kerak - javobni shaklda qoldirishingiz mumkin. oddiy kasr agar shart boshqacha ko'rsatmasa. Bunday o'zgartirishni xato deb atash mumkin emas, lekin esda tutish kerakki, vazifaning har bir bosqichida yangi ildizlar paydo bo'lishi mumkin, muallifning fikriga ko'ra, ularni kamaytirish kerak. Bunday holda, siz keraksiz matematik operatsiyalarga vaqt sarflaysiz. Bu, ayniqsa, uchta yoki ikkitaning ildizi kabi qiymatlar uchun to'g'ri keladi, chunki ular har bir qadamda vazifalarda uchraydi. Xuddi shu narsa "xunuk" raqamlarni yaxlitlash uchun ham amal qiladi.

Bundan tashqari, kosinus teoremasi har qanday uchburchak uchun amal qiladi, lekin Pifagor teoremasi emas! Agar siz tomonlarning ikki barobar ko'paytmasini ular orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytirishni noto'g'ri unutib qo'ysangiz, siz nafaqat butunlay noto'g'ri natijaga erishasiz, balki mavzuni to'liq noto'g'ri tushunishni ham ko'rsatasiz. Bu ehtiyotsizlikdan ko'ra yomonroqdir.

Uchinchidan, sinuslar, kosinuslar, tangenslar, kotangentlar uchun 30 va 60 graduslik burchaklar qiymatlarini chalkashtirmang. Ushbu qiymatlarni eslab qoling, chunki sinus 30 daraja kosinusga teng 60 va aksincha. Ularni aralashtirish oson, buning natijasida siz muqarrar ravishda noto'g'ri natijaga erishasiz.

Ilova

Ko'pgina talabalar trigonometriyani o'rganishni boshlashga shoshilmayaptilar, chunki ular uning amaliy ma'nosini tushunmaydilar. Muhandis yoki astronom uchun sinus, kosinus, tangens nima? Bu tushunchalar bo'lib, ular yordamida siz uzoq yulduzlargacha bo'lgan masofani hisoblashingiz, meteoritning tushishini bashorat qilishingiz, boshqa sayyoraga tadqiqot zondi yuborishingiz mumkin. Ularsiz bino qurish, avtomobilni loyihalash, ob'ekt yuzasidagi yukni yoki traektoriyani hisoblash mumkin emas. Va bu eng aniq misollar! Axir, trigonometriya u yoki bu shaklda hamma joyda, musiqadan tibbiyotgacha qo'llaniladi.

Nihoyat

Demak, siz sinus, kosinus, tangenssiz. Siz ularni hisob-kitoblarda ishlatishingiz va maktab muammolarini muvaffaqiyatli hal qilishingiz mumkin.

Trigonometriyaning butun mohiyati shundan iboratki, noma'lum parametrlar uchburchakning ma'lum parametrlaridan hisoblanishi kerak. Hammasi bo'lib oltita parametr mavjud: uchta tomonning uzunligi va uchta burchakning kattaligi. Vazifalarning butun farqi turli xil kirish ma'lumotlari berilganligidadir.

Oyoqlarning ma'lum uzunliklari yoki gipotenuza asosida sinus, kosinus, tangensni qanday topish mumkin, endi siz bilasiz. Bu atamalar nisbatdan boshqa narsani anglatmaydi, nisbat esa kasrdir, trigonometrik masalaning asosiy maqsadi oddiy tenglama yoki tenglamalar sistemasining ildizlarini topishdan iborat. Va bu erda sizga oddiy maktab matematikasi yordam beradi.

Burchakning sinusi, kosinusu, tangensi, kotangensi nima ekanligi to'g'ri burchakli uchburchakni tushunishga yordam beradi.

To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari nima deyiladi? To'g'ri, gipotenuza va oyoqlar: gipotenuza to'g'ri burchakka qarama-qarshi yotgan tomon (bizning misolimizda bu tomon \ (AC \) ); oyoqlar qolgan ikkita tomondir \ (AB \) va \ (BC \) (to'g'ri burchakka ulashganlar), bundan tashqari, agar biz burchakka nisbatan oyoqlarni ko'rib chiqsak \ (BC \) , keyin oyoq \ (AB \) bo'ladi qo'shni oyoq, va oyog'i \ (BC \) qarama-qarshidir. Demak, endi savolga javob beraylik: burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi nima?

Burchak sinusi- bu qarama-qarshi (uzoq) oyoqning gipotenuzaga nisbati.

Bizning uchburchakda:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Burchakning kosinusu- bu qo'shni (yaqin) oyoqning gipotenuzaga nisbati.

Bizning uchburchakda:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Burchak tangensi- bu qarama-qarshi (uzoq) oyoqning qo'shni (yaqin) nisbati.

Bizning uchburchakda:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Burchak kotangensi- bu qo'shni (yaqin) oyoqning qarama-qarshi (uzoq) nisbati.

Bizning uchburchakda:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Bu ta'riflar zarur eslab qoling! Qaysi oyoqni nimaga bo'lish kerakligini eslab qolishni osonlashtirish uchun siz buni aniq tushunishingiz kerak tangens Va kotangent faqat oyoqlar o'tiradi va gipotenuz faqat ichida paydo bo'ladi sinus Va kosinus. Va keyin siz birlashmalar zanjiri bilan kelishingiz mumkin. Masalan, bu:

kosinus → teginish → teginish → qo'shni;

Kotangent → teginish → teginish → qo‘shni.

Avvalo shuni yodda tutish kerakki, uchburchak tomonlarining nisbati sifatida sinus, kosinus, tangens va kotangens bu tomonlarning uzunligiga (bir burchakda) bog'liq emas. Ishonmaysizmi? Keyin rasmga qarab ishonch hosil qiling:

Misol uchun, burchakning kosinusini ko'rib chiqing \(\beta \) . Ta'rifga ko'ra, uchburchakdan \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), lekin biz burchakning kosinusini \(\beta \) uchburchakdan \(AHI \) hisoblashimiz mumkin: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Ko'ryapsizmi, tomonlarning uzunligi har xil, lekin bir burchakning kosinus qiymati bir xil. Shunday qilib, sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari faqat burchakning kattaligiga bog'liq.

Agar siz ta'riflarni tushunsangiz, davom eting va ularni tuzating!

Uchburchak uchun \(ABC \) , quyidagi rasmda ko'rsatilgan, biz topamiz \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(massiv)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(massiv) \)

Xo'sh, tushundingizmi? Keyin o'zingiz sinab ko'ring: burchak uchun xuddi shunday hisoblang \(\beta \) .

Javoblar: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Birlik (trigonometrik) doira

Daraja va radian tushunchalarini tushunib, radiusi \ (1 \) ga teng bo'lgan doirani ko'rib chiqdik. Bunday doira deyiladi yolg'iz. Bu trigonometriyani o'rganishda juda foydali. Shuning uchun biz bu haqda biroz batafsilroq to'xtalamiz.

Ko'rib turganingizdek, bu aylana Dekart koordinata tizimida qurilgan. Doira radiusi birga teng, aylananing markazi esa koordinata boshida joylashgan bo'lsa, radius vektorining boshlang'ich pozitsiyasi \(x \) o'qining musbat yo'nalishi bo'ylab o'rnatiladi (bizning misolimizda bu radiusi \(AB \) ).

Doiradagi har bir nuqta ikkita raqamga to'g'ri keladi: o'q bo'ylab koordinata \(x \) va o'q bo'ylab koordinata \(y \) . Bu koordinata raqamlari nima? Va umuman olganda, ularning mavzuga qanday aloqasi bor? Buning uchun ko'rib chiqilgan to'g'ri burchakli uchburchak haqida unutmang. Yuqoridagi rasmda siz ikkita to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rishingiz mumkin. Uchburchakni ko'rib chiqing \(ACG \) . Bu to'rtburchaklar, chunki \(CG \) \(x \) o'qiga perpendikulyar.

\(ACG \) uchburchakdan \(\cos \ \alpha \) nima? Hammasi to'g'ri \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Bundan tashqari, biz \(AC \) radius ekanligini bilamiz birlik doirasi, bu \(AC=1 \) degan ma'noni anglatadi. Ushbu qiymatni kosinus formulamizga almashtiring. Mana nima sodir bo'ladi:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Va uchburchakdan \(\sin \ \alfa \) \(ACG \) nima? Xo'sh, albatta, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Ushbu formulada radius qiymatini \ (AC \) o'rniga qo'ying va quyidagilarni oling:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Shunday qilib, aylanaga tegishli \(C \) nuqtaning koordinatalari qanday ekanligini ayta olasizmi? Xo'sh, yo'qmi? Ammo \(\cos \ \alpha \) va \(\sin \alpha \) shunchaki raqamlar ekanligini tushunsangiz-chi? \(\cos \alpha \) qaysi koordinataga mos keladi? Albatta, koordinata \(x \) ! Va \(\sin \alpha \) qaysi koordinataga mos keladi? To'g'ri, \(y \) koordinatasi! Demak, nuqta \(C(x;y)=C(\cos \alpha;\sin \alpha) \).

U holda \(tg \alpha \) va \(ctg \alpha \) nima? To'g'ri, keling, tangens va kotangensning tegishli ta'riflaridan foydalanamiz va buni olamiz \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), lekin \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Agar burchak kattaroq bo'lsa-chi? Bu erda, masalan, ushbu rasmda bo'lgani kabi:

Nima o'zgargan bu misol? Keling, buni aniqlaylik. Buning uchun biz yana to'g'ri burchakli uchburchakka o'tamiz. To'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : burchak (burchakka ulashgan \(\beta \) ). Burchak uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens qancha qiymatga ega \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? To'g'ri, biz trigonometrik funktsiyalarning tegishli ta'riflariga amal qilamiz:

\(\begin(massiv)(l)\sin \burchak ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \burchak ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\burchak ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\burchak ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(massiv) \)

Ko'rib turganingizdek, burchak sinusining qiymati hali ham koordinataga mos keladi \ (y \) ; burchak kosinusining qiymati - koordinata \ (x \) ; va mos keladigan nisbatlarga tangens va kotangens qiymatlari. Shunday qilib, bu munosabatlar radius vektorining har qanday aylanishlariga taalluqlidir.

Radius vektorining boshlang'ich pozitsiyasi \(x \) o'qining musbat yo'nalishi bo'ylab joylashganligi allaqachon aytib o'tilgan. Hozirgacha biz bu vektorni soat sohasi farqli ravishda aylantirdik, lekin agar biz uni soat yo'nalishi bo'yicha aylantirsak nima bo'ladi? Hech qanday g'ayrioddiy narsa yo'q, siz ham ma'lum bir o'lchamdagi burchakka ega bo'lasiz, lekin faqat salbiy bo'ladi. Shunday qilib, radius vektorini soat sohasi farqli ravishda aylantirganda, biz olamiz ijobiy burchaklar, va soat yo'nalishi bo'yicha aylanganda - salbiy.

Shunday qilib, biz bilamizki, radius vektorining aylana atrofidagi butun aylanishi \(360()^\circ \) yoki \(2\pi \) . Radius vektorini \(390()^\circ \) yoki \(-1140()^\circ \) ga aylantirish mumkinmi? Xo'sh, albatta qila olasiz! Birinchi holda, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), shuning uchun radius vektori bir marta toʻliq aylanib, \(30()^\circ \) yoki \(\dfrac(\pi )(6) \) da toʻxtaydi.

Ikkinchi holda, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), ya'ni radius vektori uchta to'liq aylanishni amalga oshiradi va \(-60()^\circ \) yoki \(-\dfrac(\pi )(3) \) pozitsiyasida to'xtaydi.

Shunday qilib, yuqoridagi misollardan xulosa qilishimiz mumkinki, burchaklar bir-biridan \(360()^\circ \cdot m \) yoki \(2\pi \cdot m \) bilan farqlanadi (bu erda \(m \) har qanday butun son ) radius vektorining bir xil holatiga mos keladi.

Quyidagi rasm burchakni ko'rsatadi \(\beta =-60()^\circ \) . Xuddi shu rasm burchakka mos keladi \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) va hokazo. Ushbu ro'yxatni cheksiz davom ettirish mumkin. Bu burchaklarning barchasini umumiy formula bilan yozish mumkin \(\beta +360()^\circ \cdot m \) yoki \(\beta +2\pi \cdot m \) (bu erda \(m \) har qanday butun son)

\(\begin(massiv)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(massiv) \)

Endi, asosiy trigonometrik funktsiyalarning ta'riflarini bilib, birlik doirasidan foydalanib, qiymatlar nimaga teng ekanligiga javob berishga harakat qiling:

\(\begin(massiv)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(massiv) \)

Mana sizga yordam beradigan birlik doirasi:

Har qanday qiyinchiliklar bormi? Keyin buni aniqlaylik. Shunday qilib, biz buni bilamiz:

\(\begin(massiv)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(massiv) \)

Bu yerdan burchakning ma'lum o'lchovlariga mos keladigan nuqtalarning koordinatalarini aniqlaymiz. Keling, tartibda boshlaylik: burchak \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)\(\left(0;1 \right) \) koordinatalari bo'lgan nuqtaga to'g'ri keladi, shuning uchun:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\O‘ng strelka \text(tg)\ 90()^\circ \)- mavjud emas;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Bundan tashqari, xuddi shu mantiqqa rioya qilgan holda, biz burchaklar ichida ekanligini bilib olamiz \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) koordinatali nuqtalarga mos keladi \(\left(-1;0 \o'ng),\text( )\left(0;-1 \o'ng),\text( )\left(1;0 \o'ng),\text( )\left(0 ;1 \o'ng) \), mos ravishda. Buni bilib, tegishli nuqtalarda trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini aniqlash oson. Avval o'zingiz sinab ko'ring, keyin javoblarni tekshiring.

Javoblar:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \\pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\O'ng strelka \text(ctg)\ \pi \)- mavjud emas

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\O'ng strelka \text(tg)\ 270()^\circ \)- mavjud emas

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\O'ng strelka \text(ctg)\ 2\pi \)- mavjud emas

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Oʻng strelka \text(tg)\ 450()^\circ \)- mavjud emas

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Shunday qilib, biz quyidagi jadvalni tuzishimiz mumkin:

Bu barcha qadriyatlarni eslab qolishning hojati yo'q. Birlik aylanasidagi nuqtalar koordinatalari va trigonometrik funktsiyalar qiymatlari o'rtasidagi muvofiqlikni eslash kifoya:

\(\chap. \begin(massiv)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(massiv) \o'ng\)\ \matn(Eslash yoki chiqarish imkoniyatiga ega bo'lish kerak!! \) !}

Va bu erda burchaklarning trigonometrik funktsiyalarining qiymatlari va \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) Quyidagi jadvalda siz eslab qolishingiz kerak:

Qo'rqishning hojati yo'q, endi biz mos keladigan qiymatlarni juda oddiy yodlash misollaridan birini ko'rsatamiz:

Ushbu usuldan foydalanish uchun barcha uchta burchak o'lchovi uchun sinus qiymatlarini eslab qolish juda muhimdir ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), shuningdek, \(30()^\circ \) dagi burchak tangensining qiymati. Ushbu \(4\) qiymatlarni bilib, butun jadvalni tiklash juda oson - kosinus qiymatlari strelkalar bo'yicha uzatiladi, ya'ni:

\(\begin(massiv)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(massiv) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), buni bilib, uchun qiymatlarni tiklash mumkin \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). “\(1 \) ” soni \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) ga, “\(\sqrt(\text(3)) \) ” maxraji esa \ ga mos keladi. (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangent qiymatlari rasmda ko'rsatilgan o'qlarga muvofiq o'tkaziladi. Agar siz buni tushunsangiz va o'qlar bilan sxemani eslab qolsangiz, jadvaldan faqat \(4 \) qiymatlarni eslab qolish kifoya qiladi.

Doiradagi nuqtaning koordinatalari

Aylana markazining koordinatalarini, uning radiusi va burilish burchagini bilib, aylana ustidagi nuqtani (uning koordinatalarini) topish mumkinmi? Xo'sh, albatta qila olasiz! Nuqta koordinatalarini topishning umumiy formulasini chiqaramiz. Bu erda, masalan, bizda shunday doira bor:

Bizga shu nuqta berilgan \(K(((x)_(0));((y)_(0)=K(3;2) \) aylananing markazidir. Doira radiusi \(1,5 \) ga teng. \(O \) nuqtani \(\delta \) gradusga aylantirish natijasida olingan \(P \) nuqtaning koordinatalarini topish kerak.

Rasmdan ko'rinib turibdiki, \ (P \) nuqtaning koordinatasi \ (x \) segment uzunligiga mos keladi \ (TP=UQ=UK+KQ \) . \ (Buyuk Britaniya \) segmentining uzunligi aylana markazining koordinatasiga \ (x \) mos keladi, ya'ni \ (3 \) ga teng. \(KQ \) segmentining uzunligini kosinus ta'rifi yordamida ifodalash mumkin:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

Keyin biz \(P \) nuqtasi uchun koordinataga ega bo'lamiz \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Xuddi shu mantiq bilan \(P\) nuqta uchun y koordinata qiymatini topamiz. Shunday qilib,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Shunday qilib, ichida umumiy ko'rinish Nuqta koordinatalari quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

\(\begin(massiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end (massiv) \), qayerda

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - aylana markazining koordinatalari,

\(r\) - aylana radiusi,

\(\delta \) - vektor radiusining aylanish burchagi.

Ko'rib turganingizdek, biz ko'rib chiqayotgan birlik doirasi uchun bu formulalar sezilarli darajada kamayadi, chunki markazning koordinatalari nolga teng va radius birga teng:

\(\begin(massiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(massiv) \)

Brauzeringizda Javascript o‘chirib qo‘yilgan.
Hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ActiveX boshqaruvlari yoqilgan bo'lishi kerak!

Qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati deyiladi o'tkir burchak sinusi to'g'ri uchburchak.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining kosinusu

Eng yaqin oyoqning gipotenuzaga nisbati deyiladi o'tkir burchakning kosinusu to'g'ri uchburchak.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining tangensi

Qarama-qarshi oyoqning qo'shni oyoqqa nisbati deyiladi o'tkir burchak tangensi to'g'ri uchburchak.

tg \alpha = \frac(a)(b)

To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagi kotangensi

Qo'shni oyoqning qarama-qarshi oyoqqa nisbati deyiladi o'tkir burchak kotangensi to'g'ri uchburchak.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Ixtiyoriy burchak sinusi

Birlik doiradagi \alfa burchagi mos keladigan nuqtaning ordinatasi deyiladi ixtiyoriy burchakning sinusi aylanish \alpha.

\sin \alpha=y

Ixtiyoriy burchakning kosinusu

Birlik doiradagi \alfa burchagi mos keladigan nuqtaning abscissasi deyiladi ixtiyoriy burchakning kosinusu aylanish \alpha.

\cos \alpha=x

Ixtiyoriy burchakning tangensi

Ixtiyoriy aylanish burchagi sinusining \alfa kosinusiga nisbati deyiladi ixtiyoriy burchakning tangensi aylanish \alpha.

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Ixtiyoriy burchakning kotangensi

Ixtiyoriy aylanish burchagi \alfa kosinusining uning sinusiga nisbati deyiladi ixtiyoriy burchakning kotangensi aylanish \alpha.

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Ixtiyoriy burchakni topishga misol

Agar \alpha qandaydir burchak AOM bo'lsa, bu erda M - birlik aylanasidagi nuqta

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Masalan, agar \angle AOM = -\frac(\pi)(4), keyin: M nuqtaning ordinatasi -\frac(\sqrt(2))(2), abtsissa \ frac (\ sqrt (2)) (2) va shuning uchun

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \o'ng)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \o'ng)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Kotangentlar tangenslari kosinuslari sinusi qiymatlari jadvali

Asosiy tez-tez uchraydigan burchaklarning qiymatlari jadvalda keltirilgan:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\o'ng)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\o'ng)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\o'ng)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\o'ng)	180^(\circ)\left(\pi\o'ng)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\o'ng)	360^(\circ)\chap(2\pi\o'ng)
\sin\alfa	0	\ frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\ frac12	0	−1	0	1
tg\alfa	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alfa	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

Ko'rsatma

Tegishli videolar

Eslatma

To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlarini hisoblashda uning xususiyatlari to'g'risidagi bilimlar o'ynashi mumkin:
1) To'g'ri burchakning oyog'i 30 gradus burchakka qarama-qarshi yotsa, u gipotenuzaning yarmiga teng;
2) gipotenuza har qanday oyoqdan hamisha uzunroq;
3) Agar aylana to'g'ri burchakli uchburchak atrofida o'ralgan bo'lsa, uning markazi gipotenuzaning o'rtasida yotishi kerak.

Gipotenuza - to'g'ri burchakli uchburchakning 90 graduslik burchakka qarama-qarshi tomoni. Uning uzunligini hisoblash uchun oyoqlardan birining uzunligini va uchburchakning o'tkir burchaklaridan birining qiymatini bilish kifoya.

Ko'rsatma

Bizga oyoqlardan birini va unga ulashgan burchakni bilib olaylik. Aniqlik uchun u |AB| oyog'i bo'lsin va burchak a. Keyin trigonometrik kosinus - qo'shni oyoqning kosinus nisbati uchun formuladan foydalanishimiz mumkin. Bular. yozuvimizda cos a = |AB| / |AC|. Bu yerdan gipotenuzaning uzunligini |AC| olamiz = |AB| / cosa.
Agar oyog'ini bilsak |BC| va burchak a bo'lsa, u holda burchak sinusini hisoblash uchun formuladan foydalanamiz - burchak sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng: sin a = |BC| / |AC|. Gipotenuzaning uzunligi |AC| shaklida topilganligini olamiz = |BC| / cosa.

Aniqlik uchun misolni ko'rib chiqing. Oyoqning uzunligi |AB| bo'lsin = 15. Va burchak a = 60 °. Biz |AC|ni olamiz = 15 / cos 60 ° = 15 / 0,5 = 30.
Natijangizni Pifagor teoremasi yordamida qanday tekshirish mumkinligini ko'rib chiqing. Buning uchun biz |BC| ikkinchi oyoq uzunligini hisoblashimiz kerak. tg a = |BC| burchak tangensi formulasidan foydalanib / |AC|, biz |BC| olamiz = |AB| * tg a = 15 * tg 60° = 15 * √3. Keyinchalik, biz Pifagor teoremasini qo'llaymiz, biz 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900 ni olamiz. Tekshiruv amalga oshirildi.

Foydali maslahat

Gipotenuzani hisoblagandan so'ng, olingan qiymat Pifagor teoremasini qanoatlantirishini tekshiring.

Manbalar:

1 dan 10000 gacha tub sonlar jadvali

Oyoqlar to'g'ri burchakli uchburchakning uchini tashkil etuvchi ikkita qisqa tomonini nomlang, ularning qiymati 90 °. Bunday uchburchakdagi uchinchi tomon gipotenuza deyiladi. Uchburchakning barcha tomonlari va burchaklari, agar bir nechta boshqa parametrlar ma'lum bo'lsa, oyoq uzunligini hisoblash imkonini beruvchi ma'lum munosabatlar bilan bir-biriga bog'langan.

Ko'rsatma

To'g'ri uchburchakning qolgan ikki tomonining (B va C) uzunligini bilsangiz, oyoq (A) uchun Pifagor teoremasidan foydalaning. Bu teoremada aytilishicha, oyoqlarning kvadrati uzunliklarining yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga teng. Bundan kelib chiqadiki, oyoqlarning har birining uzunligi tengdir kvadrat ildiz gipotenuza va ikkinchi oyoq uzunliklaridan: A=√(C²-B²).

O'tkir burchak uchun to'g'ridan-to'g'ri trigonometrik funktsiyaning "sinus" ta'rifidan foydalaning, agar siz hisoblangan oyoqqa qarama-qarshi burchakning (a) qiymatini va gipotenuzaning uzunligini (C) bilsangiz. Bu ma'lum bo'lgan sinus, kerakli oyoq uzunligining gipotenuzaning uzunligiga nisbati ekanligini bildiradi. Bu shuni anglatadiki, kerakli oyoq uzunligi gipotenuzaning uzunligi va ma'lum burchak sinusining ko'paytmasiga teng: A=C∗sin(a). Xuddi shu ma'lum qiymatlar uchun siz kosekantdan foydalanishingiz va kerakli uzunlikni gipotenuzaning uzunligini ma'lum burchak A=C/kosek(a) kosekantiga bo'lish orqali hisoblashingiz mumkin.

To'g'ridan-to'g'ri trigonometrik kosinus funksiyasining ta'rifidan foydalaning, agar gipotenuzaning uzunligi (C) dan tashqari, kerakli burchakka qo'shni o'tkir burchakning (b) qiymati ham ma'lum bo'lsa. Bu burchakning kosinusu kerakli oyoq va gipotenuzaning uzunliklarining nisbati bo'lib, shundan xulosa qilishimiz mumkinki, oyoq uzunligi gipotenuzaning uzunligi va ma'lum burchakning kosinuslari ko'paytmasiga teng: A=C∗cos(b). Siz sekant funksiyasining ta’rifidan foydalanishingiz va gipotenuzaning uzunligini ma’lum burchak A=C/sek(b) sekantiga bo’lish orqali kerakli qiymatni hisoblashingiz mumkin.

Trigonometrik funktsiya tangensining hosilasi uchun shunga o'xshash ta'rifdan kerakli formulani oling, agar kerakli oyoq (A) qarshisida joylashgan o'tkir burchakning (a) qiymatiga qo'shimcha ravishda, ikkinchi oyoqning uzunligi (B) bo'lsa. ma'lum. Kerakli oyoqqa qarama-qarshi burchakning tangensi - bu oyoq uzunligining ikkinchi oyoq uzunligiga nisbati. Bu shuni anglatadiki, kerakli qiymat ma'lum oyoq uzunligi va ma'lum burchak tangensi ko'paytmasiga teng bo'ladi: A=B∗tg(a). Xuddi shu ma'lum miqdorlardan kotangent funksiyaning ta'rifi yordamida boshqa formulani olish mumkin. Bunday holda, oyoq uzunligini hisoblash uchun ma'lum oyoq uzunligining ma'lum burchak kotangentiga nisbatini topish kerak bo'ladi: A=B/ctg(a).

Tegishli videolar

"Katet" so'zi rus tiliga yunon tilidan kelgan. Aniq tarjimada bu plumb chizig'ini, ya'ni er yuzasiga perpendikulyar degan ma'noni anglatadi. Matematikada oyoqlar to'g'ri burchakli uchburchakning to'g'ri burchagini tashkil etuvchi tomonlar deb ataladi. Bu burchakka qarama-qarshi tomon gipotenuza deyiladi. "Oyoq" atamasi arxitektura va payvandlash texnologiyasida ham qo'llaniladi.

Bu burchakning sekanti gipotenuzani qo'shni oyoqqa bo'lish yo'li bilan olinadi, ya'ni secCAB=c/b. Kosinusning o'zaro nisbati ma'lum bo'ladi, ya'ni uni secCAB=1/cosSAB formulasi bilan ifodalash mumkin.
Kosekant gipotenuzani qarama-qarshi oyoqqa bo'lish qismiga teng va sinusning o'zaro nisbati. Uni cosecCAB=1/sinCAB formulasi yordamida hisoblash mumkin

Ikkala oyoq ham bir-biriga bog'langan va kotangentdir. IN bu holat tangens a tomonining b tomoniga nisbati bo'ladi, ya'ni qarama-qarshi oyoq qo'shnisiga. Bu nisbatni tgCAB=a/b formulasi bilan ifodalash mumkin. Shunga ko'ra, teskari nisbat kotangent bo'ladi: ctgCAB=b/a.

Gipotenuzaning va ikkala oyoqning o'lchamlari o'rtasidagi nisbat qadimgi yunon Pifagori tomonidan aniqlangan. Teorema, uning nomi, odamlar hali ham foydalanadilar. Unda aytilishicha, gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng, ya'ni c2 \u003d a2 + b2. Shunga ko'ra, har bir oyoq gipotenuza va boshqa oyoq kvadratlari orasidagi farqning kvadrat ildiziga teng bo'ladi. Bu formulani b=√(c2-a2) shaklida yozish mumkin.

Oyoqning uzunligi siz bilgan munosabatlar orqali ham ifodalanishi mumkin. Sinuslar va kosinuslar teoremalariga ko'ra, oyoq gipotenuza va bu funktsiyalardan birining mahsulotiga teng. Siz uni va yoki kotangentni ifodalashingiz mumkin. A oyog'ini, masalan, a \u003d b * tan CAB formulasi bo'yicha topish mumkin. Aynan shu tarzda berilgan tangens yoki ga qarab ikkinchi oyoq aniqlanadi.

Arxitekturada "oyoq" atamasi ham qo'llaniladi. U ion kapitaliga qo'llaniladi va orqa tomonining o'rtasidan o'tadi. Ya'ni, bu holda, bu atama bilan, berilgan chiziqqa perpendikulyar.

Payvandlash texnologiyasida "payvand chokining oyog'i" mavjud. Boshqa hollarda bo'lgani kabi, bu eng qisqa masofa. Bu yerda gaplashamiz boshqa qismning yuzasida joylashgan tikuvning chegarasiga payvandlanadigan qismlardan biri orasidagi bo'shliq haqida.

Tegishli videolar

Manbalar:

2019 yilda oyoq va gipotenuza nima