Kosin qiymati 0-ning kosinasi to'rtburchaklar uchburchakdan foydalanishni aniqlash mumkin - u gipotenuze uchun qo'shni toifadagi kadrga tengdir

Diqqat!
Ushbu mavzu qo'shimcha mavjud
Maxsus 555 qismdagi materiallar.
Kuchli "unchalik emas ..."
Va "juda ..." bo'lganlar uchun

Avvalo, men darsdan oddiy, ammo juda foydali xulosani eslayman "Sinus va kosin nima? Tangens va kotangenlar nima?"

Bu xulosa:

Sinus, Kosinus, Tangens va Kotangenes ularning burchaklari bilan mahkam bog'langan. Biz bir narsani bilamiz - bu boshqasini bilamiz.

Boshqacha qilib aytganda, har bir burchakning doimiy suti va kosinasi bor. Va deyarli barchaning o'ziga xos tangensi va kotangentsi bor. Nima uchun deyarli? Quyida keltirilgan.

Ushbu bilim juda katta yordam beradi! Sinuslardan burchakka va aksincha, sinuslardan o'tishingiz kerak bo'lgan juda ko'p vazifalar mavjud. Buning uchun mavjud sinus jadvali. Xuddi shunday, kosinik bo'lgan vazifalar uchun - kosin jadval. Va siz allaqachon taxmin qilganingizdek, bor stol tanglari va kattalar jadvali.)

Jadvallar boshqacha. Uzoq davom eting, ayting, Sin37 ° 6 '. Olti daqiqa davomida o'ttiz etti daraja burchagini qidiring va 0,6032 qiymatini ko'ring. Ushbu raqamni eslab qolish aniq, (va minglab jadvallar) mutlaqo talab qilinmaydi.

Aslida, bizning davrimizda kotangentlarning tangentlarining uzun chastotalari juda zarur emas. Bitta yaxshi kalkulyator ularni to'liq almashtiradi. Ammo u bunday jadvallarning mavjudligiga xalaqit bermaydi. Umumiy kamchilik uchun.)

Va nega bu dars? !! - so'raysiz.

Lekin nega. Cheksiz sonlar orasida burchaklar bor maxsus, siz bilishingiz kerak hamma narsa. Ushbu burchaklarda barcha maktab geometriya va trigonometriya qurildi. Bu, "Ko'plab ko'paytirish stoli" trigonometriyasi. Agar siz teng bo'lgan narsani bilmasangiz, masalan, Sin500 °, hech kim sizni hukm qilmaydi, lekin agar siz Sin30 ° ni bilmasangiz, u munosib ikkita narsani olish uchun tayyor bo'ling ...

Shunday maxsus Burchaklar juda yaxshi yollanadi. Maktab darsliklari odatda yodlashni taklif qiladi sinus jadvali va kosine stoli O'n ettita burchaklar uchun. Va albatta, talabalar jadvali va katangens stol Xuddi shu o'n ettita burchak uchun ... i.e. 68 qiymatni eslab qolish taklif etiladi. Aytgancha, bir-biriga juda o'xshash, keyin esa takrorlanadi va belgilarni o'zgartiradi. Mukammal vizual xotirasiz odam uchun - yana bir vazifa ...)

Biz boshqa yo'lga boramiz. Biz mantiqiy va eritishning mexanik yodlanishini almashtiramiz. Keyin biz sinus stolini va kosin stolining 3 (uchi!) Qiymatlarini olishimiz kerak. Va 3 (uchta!) Tangens stollari va kotangens stollari uchun qiymatlar. Va tamom. Oltita qiymat 68 dan osonroq eslab qolsa, menga o'xshaydi ...)

Boshqa barcha zaruriy ahamiyatimiz kuchli qonuniy tribning yordami bilan biz ushbu oltitadan olamiz - trigonometrik doirasi. Agar siz ushbu mavzuni o'rganmagan bo'lsangiz, ma'lumotnomaga o'ting, dangasa bo'lmang. Ushbu to'garak nafaqat ushbu dars uchun kerak. U almashtirib bo'lmaydigan darhol barcha trigonometriya uchun. Bunday vositani shunchaki gunoh ishlatmang! Siz xohlaysizmi? Bu sizning ishingiz. O'rganmoq sinus jadvali. Kosine jadvali. Talabalar jadvali. Kattalar jadvali. Turli burchaklar uchun barcha 68 qiymat.)

Shunday qilib, boshlaylik. Avvaliga biz ushbu maxsus burchaklarni uch guruhga sindiramiz.

Burchaklarning birinchi guruhi.

Birinchi guruhni ko'rib chiqing o'n ettuvchidan burchaklar maxsus. Bu 5 burchak: 0 °, 90 °, 180 °, 260 °, 360 °.

Bu burchaklar uchun tanalikning sinus jadvali shunchalik o'xshaydi:

Burun H. (darajalarda)	0	90	180	270	360
Burun H. (Radianalarda)	0
xIN X.	0	1	0	-1	0
cos x.	1	0	-1	0	1
tg X.	0	asl emas.	0	asl emas.	0
cTG X.	asl emas.	0	asl emas.	0	asl emas.

Esdalashni istaganlar - eslash. Ammo men darhol aytamizki, bu barcha birliklar va g'ayratlar boshida juda chalkash. Bu men xohlaganimdan kuchliroq. Shuning uchun biz mantiqiy va trigonometrik doirani yoqamiz.

Biz doira chizamiz va o'sha burchaklarni nishonlaymiz: 0 °, 90 °, 180 °, 260 °, 360 °, 360 °,. Men ushbu burchaklarni qizil nuqta bilan qayd qildim:

Shu zahotiyoq ushbu burchaklar qanday xususiyat ekanligini ko'rishingiz mumkin. Ha! Bular yiqilgan burchaklardir aniq koordinatalar o'qi! Aslida, odamlar chalkashib ketadi ... Lekin biz adashmaymiz. Keling, ushbu burchaklarning trigonometrik funktsiyalarini ko'p yodsizsiz topasiz.

Aytgancha, 0 daraja burchakning holati to'liq mos keladi 360 daraja burchakli. Bu shuni anglatadiki, bu gunohlar, kosinlar, tangentlar butunlay bir xil. Men aylanani yopish uchun 360 daraja burchakni qayd etdim.

Aytaylik, kompleks imtihonning murakkab stadionini belgilang, siz qandaydir lambeded ... Sine 0 daraja? Nolga o'xshaydi ... Agar kimdir?! Mexanik yodlash bunday narsa. Qattiq sharoitlarda, graflik bilan shubha qiling ...)

Tinchlaning, faqat xotirjam!) Men sizga yuz foiz to'g'ri javobni beradi va u shubhasiz har qanday shubhalarni olib tashlaydi.

Bunga misol sifatida, biz qanday qilib aniq va ishonchli tarzda, Sinus 0 daraja. Va shu bilan birga, va kosine 0. Bu bu qadriyatlarda, g'alati, ko'pincha odamlar chalkashib ketadi.

Buning uchun aylanani chizish o'zboshimchalik burchak h.. Birinchi chorakda 0 darajadan uzoqqa emas. Bu burchakning o'qlari va kosinaning o'qlari haqida eslatma x, Hammasi - Chinar. Mana bunday:

Va endi - diqqat! Burchakni kamaytirish h., harakatlanuvchi tomonni o'qga olib keling Oh. Kursorni rasm ustiga siljiting (yoki planshetdagi rasmlarga teging) va hamma narsani ko'ring.

Endi boshlang'ich mantiqni yoqing! Biz qaraymiz va o'ylaymiz: qanday qilib Xinx x burchakning pasayishi bilan o'zini tutishadi? Burchakka nolga yaqinlashganda? Bu pasayadi! Va kosx - oshadi! Burchak umuman davom etayotganda sinus bilan nima bo'lishini aniqlashi mumkinmi? Burchakning harakatlanadigan tomoni (a nuqta) o'qga sarflanadi va burchak nolga teng bo'ladimi? Shubhasiz, sinus burchagi nolga tushadi. Va kosine ... ga ... ga ... burchakning harakatlanadigan tomonining uzunligi (trigonetik doiraning radiusi)? Birlik!

Bu javob. Sinus 0 daraja 0. Kosin 0 daraja 1 ga teng. Tasmalang va shubhalanmasdan!) bunday bo'lishi mumkin emas.

Masalan, 270 daraja, masalan, 270 daraja o'rganish (yoki aniqlashtirish) mumkin. Yoki kosin 180. Dumni chizing, o'zboshimchalik Siz biz uchun qiziqishning o'qiga qiziqadigan koordinatalar burchagida, burchakning yon tomonlarini aqliy ravishda siljib, sinus va kosinani o'qqa tutganida, burchakning yon tomonida. Ana xolos.

Ko'rinib turibdiki, ushbu burchaklar uchun biron bir narsani yodlash shart emas. Bu erda kerak emas sinus jadvali ... Ha I. kosinov stol - Shuningdek, trigonetik doiraning bir nechta arizalaridan so'ng, bu barcha qiymatlar o'z-o'zidan esga olinadi. Va agar ular unutishsa - men 4 soniya davomida aylanani bo'yab qo'ydim. Sertifikat, to'g'ridan-to'g'ri xatarsiz hojatxonadan do'stni chaqirishdan osonroqmi?)

Tangent va Kotnenezidga kelsak, barchasi bir xil. Biz tangens chizig'ini (KOTGANGENENS) chizig'ini chizamiz - va hamma narsa darhol ko'rinadi. Ular nolga teng va qaerda - mavjud emas. Tangens va Kotnence chizig'i haqida nima deysiz? Bu qayg'uli, ammo mahkamlanadigan.) Biz trigonometrik doirada 555 tangens va kotangenesni ziyorat qildik - va muammolar yo'q!

Agar siz ushbu beshta burchak uchun sinus, kosin, tangens va katangenlarni qanday aniqlashni tushunsangiz - men sizni tabriklayman! Faqatgina xabar bersam, endi siz funktsiyalarni aniqlashingiz mumkin o'qga tushgan har qanday burchaklar. Va bu 450 °, 540 °, 1800 ° va hatto infinitsiz raqam ...) aylandi (o'ng!) Burchakda burchakda - va funktsiyalar bilan bog'liq muammolar mavjud emas.

Ammo, shunchaki, muammolar mavjud va muammolar mavjud, ha, xatolar ... Qanday qilib ulardan qochish kerak, u darsda yozilgan: qanday darajadagi trigonometrik doirada (ni hisoblash) (ni hisoblash). Bu elementar, ammo bu xatolarga qarshi kurashda yordam beradi.)

Ammo dars: Radianlardagi trigonometrik doirada qanday burchakni chizish (hisoblash) (shuni) tortishish kerak - to'satdan ko'proq bo'ladi. Imkoniyatlar ma'noni anglatadi. Aytaylik, to'rt yarim o'qning qaysi bir burchakli burchakni aniqlang

siz bir necha soniya ichida qila olasiz. Men hazillashmayapman! Bu bir necha soniya ichida. Albatta, nafaqat 345 "pi" ...) va 121 va 16 va -1345. Har qanday to'liq koeffitsient bir lahzali javob uchun mos keladi.

Va agar burchak bo'lsa

Bir o'ylab ko'ring! To'g'ri javob 10 soniya davomida olinadi. Denominatorning burilishidagi har qanday fraktsion nurlanish uchun.

Aslida, bu yaxshi trigonometrik doiradir. Bilan ishlash qobiliyati biroz u avtomatik ravishda burchaklarni kengaytiradi cheksiz to'plam Burchaklar.

Shunday qilib, o'n etti yoshdan beshta burchakli bor.

Burchaklarning ikkinchi guruhi.

Keyingi burchaklar guruhi 30 °, 45 ° va 60 ° burchaklar. Masalan, emas, balki 20, 50 va 80? Ha, qandaydir tarzda bu ... tarixiy jihatdan sodir bo'ldi.) Keyin bu burchaklar yaxshi ekanligi yaxshi bo'ladi.

Ushbu burchaklar uchun sananglar kosinalarining sara jadvali quyidagicha ko'rinadi:

Burun H. (darajalarda)	0	30	45	60	90
Burun H. (Radianalarda)	0
xIN X.	0				1
cos x.	1				0
tg X.	0		1		asl emas.
cTG X.	asl emas.		1		0

Men rasmni to'ldirish uchun men 0 ° va oldingi jadvaldan 90 ° va oldingi jadvaldan 90 ° ni tark etdim. 0 dan 90 gacha. Bu qulay bo'ladi.

30 °, 45 ° va 60 ° burchakli stol qiymatlarini eslab qolish kerak. Agar xohlasangiz, bo'linadi. Ammo bu erda hayotimni engillashtirish mumkin.) E'tibor bering sinus jadvalining qiymatlari Bu burchaklar. Va s taqqoslash kosino jadvalining qadriyatlari ...

Ha! Ular bir xil! Faqat teskari tartibda tashkil etilgan. Burchaklar ko'payadi (0, 30, 45, 60, 90) - va Sinus qiymatlari kattalashtirish; ko'paytirish 0 dan 1. Siz kalkulyatorga ishonch hosil qilishingiz mumkin. Va kosin qiymatlari - pasayish 1 dan nolgacha. Va qadriyatlari bir xil. 20, 50, 80 burchaklar uchun ishlamaydi ...

Shuning uchun foydali xulosa. O'rganish uchun etarli uch 30, 45, 60 daraja burchaklar uchun qiymatlar. Va Sinus o'sib borayotganini eslang va Kozinus pasaymoqda. Sinusu tomonga qarab (45 °) ular uchrashadilar (45 °) ular uchrashishadi, men 45 daraja Sinus kosine ga teng 45 daraja. Va keyin yana ajratib turadi ... Uch qadrli ma'lumotni o'rganish mumkin, to'g'rimi?

Tangents - tanangentlar bilan rasm faqat bir xil. Birga bir. Faqat qadriyatlar boshqacha. Ushbu qadriyatlar (yana uch!) Biz ham o'rganishimiz kerak.

Xo'sh, deyarli eslab qolish va tugadi. Siz o'qiladingiz (umid qilaman), o'qga tushgan beshta burchakli qiymatlarni qanday aniqlash va 30, 45, 60 daraja burchaklar uchun qadriyatlarni bilib oldingiz. Jami 8.

Bu oxirgi 9 burchakning so'nggi guruhi bilan shug'ullanish.

Bular burchaklar:
120 °; 135 °; 150 °; 210 °; 225 °; 240 °; 300 °; 315 °; 330 °. Bu burchaklar uchun sinus jadvali, kosin stol va hokazolarni bilish kerak.

Kabuare, to'g'ri?)

Va agar siz bu erda, masalan: 405 °, 600 ° yoki 3000 ° va ko'pchilik bir burchakka qo'shilsang, bir xil go'zal?)

Yoki rad qiluvchilar Masalan, burchaklar haqida:

va boshqa ko'plab narsalar, siz bilishingiz kerak hamma narsa.

Bilish uchun kulgili narsa hamma narsa - aslida bu mumkin emas. Mexanik xotirada bo'lsa.

Va juda oson, aslida boshlang'ich - agar siz trigonometrik doirani ishlatsangiz. Agar siz trigonetik doirada amaliy ish bilan shug'ullansangiz, ushbu dahshatli burchaklar darajadagi barcha bu dahshatli burchaklar osonlikcha va oqlanganga oqlanadi:

Aytgancha, menda yana bir juft qiziqarli saytlar bor.)

U misollar bilan tanishishda va sizning darajangizni bilib olish uchun kirish mumkin. Tez tekshirish bilan sinovdan o'tish. O'rganing - qiziqish bilan!)

Siz xususiyatlar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Misollar:

\\ (\\ kos (\\30 ^ °) \u003d \\) \\ (\\ FRAC (3) (2) \\)
\\ (\\ cos \\) \\ (\\ frac (p) (3) \\ (\u003d \\) \\ (\\ FRAC (2) \\)
\\ (\\ cos2 \u003d -0.416 ... \\)

Tortishuv va qiymat

O'tkir burchakning kosinasi

O'tkir burchakning kosinasi To'rtburchaklar uchburchak yordamida aniqlanishi mumkin - u gipotenuse uchun qo'shni katexining nisbati bilan tengdir.

Misol :

1) burchak berilsin va bu burchakning kosinasini aniqlash kerak.

2) Har qanday to'rtburchaklar uchburchak bu burchakda yakunlanadi.

3) o'lchash, kerakli tomonlar kosinani hisoblashlari mumkin.

O'tkir burchakning kosinasi \\ (0 \\) va kamroq \\ (1 \\)

Agar vazifani hal qilsangiz, o'tkir burchakli kosine 1 yoki salbiydan iborat bo'lib, u biron bir eritmaning biron bir joyida xato degan ma'noni anglatadi.

Kosin sonlar

Raqam doirasi har qanday raqamning kosinasini aniqlash imkonini beradi, ammo odatda (\\ frac (p) (2) \\ (3) (4) \\) bo'lgan. \\ (- 2p \\).

Masalan, raqam uchun \\ (\\ frac (p) (6) \\) - kosine \\ (\\ frast (3) (2)) ga teng bo'ladi. \\). Va Raqam uchun \\ (- \\) \\ (\\ Frac (3) (4) \\), u \\ (\\ frac (\\ sqrt (2) (taxminan 2)) ga teng bo'ladi (2) \\) (taxminan 2) (taxminan 2) (taxminan 2) (taxminan \\ (- 0, 71 \\)).

Raqamlar amaliyotida keng tarqalgan narsalar uchun kosine qaraydi.

Kosin qiymati har doim \\ (- 1 \\) \\ (1 \\) dan iborat. Bunday holda, kosine har qanday burchak va raqam uchun hisoblash mumkin.

Har qanday burchakdagi kosine

Raqamli doirasi tufayli siz nafaqat o'tkir burchak, balki ahmoq, manfiy va undan ham ko'proq (to'liq inqilob) dan oshiq kosinani aniqlashingiz mumkin. Buni qanday qilish kerak - yana bir marta, keyin eshitish uchun bir marta yoki bir marta ko'rish osonroq, shuning uchun rasmga qarang.

Endi tushuntirish: burchakning kosinasini aniqlashingiz kerak Co. \\ (150 ° \\) da darajasi bilan. Biz fikrni birlashtiramiz Haqida Aylana markazi va tomoni bilan OK - Axis \\ (x \\) bilan. Shundan so'ng, biz (150 ° \\) soat miliga teskari tomonga o'tamiz. Keyin belgi - bu nuqta Lekin AQShning ushbu burchakdagi kosinasini ko'rsatadi.

Agar biz bir darajaga ega bo'lsak, masalan, \\ (- 60 ° \\) (burchak) Kis), Biz ham shunday qilamiz, ammo \\ (60 ° \\) soat yo'nalishi bo'yicha qoldirilgan.

Va nihoyat batafsilroq \\ (360 ° \\) (burchak) (burchak) Kos) - hamma narsa to'mtoqqa o'xshaydi, shunchaki soat miliga teskari tomonga burilib, biz ikkinchi bosqichga o'tamiz va "biz darajamiz etishmaymiz". Xususan, bizning holatda, burchak \\ (405 ° \\) \\ (360 ° + 45 ° \\) sifatida qoldiriladi.

Masalan, bir burchak qo'yish uchun, masalan, \\ (960 ° \\), bu allaqachon ikki burilish (\\ (360 ° + + + 240 ° \\)) va burchak uchun allaqachon kerak. (2640 ° \\) - yetti sonlar.

Buni eslash kerak:

To'g'ridan-to'g'ri burchak nolga teng. Ahmoq burchakning kosinesi salbiy.

Kvarterlarda kosin belgilari

Kosin o'qi yordamida (i.e., Rasmda tanlangan abkissaning o'qi raqamli (trigonometrik) doirasidagi kosinalar belgilarini osonlikcha belgilashi mumkin:

\\ (1 \\) bo'lgan qiymatlar qaerda \\ (1 \\) dan \\ (1 \\) dan, kosine plyus belgisiga ega bo'ladi (i va IV choraklar - yashil maydon),
- o'qning \\ (0 \\) dan \\ (- 1 \\ gacha) qaerda bo'lsa, kosine minus bo'ladi (II va III va III va III-binafsha mintaqa).

Misol. Belgisini belgilang \\ (\\ cos 1 \\).
Qaror: \\ (1 \\) ni toping trigonometrik doiralar. Biz ushbu haqiqatdan voz kechamiz (p \u003d 314 \\). Shunday qilib, jihoz nolga yaqin ("strelka" ga yaqin ("starti").

Agar siz kosinik o'qiga perpendikulyar ushlab tursangiz, \\ (\\ Cos1 \\) ijobiy deb aylanadi.
Javob: a plyus.

Boshqa tigonometrik funktsiyalar bilan aloqa:

- bir xil burchak (yoki raqamlar): asosiy trigonometrik identifikatsiya \\ (grin ^ 2\u2061x + \\ cos ^ 2\u2061x \u003d 1 \\)
- bir xil burchak (yoki raqamlar): formula \\ (1 + tg ^ 2\u2061x \u003d \\) \\ (\\ frac (1) (\\ cos ^ 2\u2061x) \\)
- va xuddi shu burchak (yoki raqamlar) ning sinus: formulasi \\ (CTGX \u003d \\) \\ (\\ FRAC (\\ COS (x)) (\\ Sin\u2061x) \\)
Boshqalarning eng tez-tez ishlatiladigan formulalari ko'ring.

Funktsiya \\ (y \u003d \\ cos (x) \\)

Agar siz Axis \\ (x \\) va Axis \\ (y \\) bo'ylab arsis \\ (y \\) bo'lgan burchaklarni kechiktirsangiz, ushbu burchaklarga mos keladigan kosin qiymatlari:

Buning grafigi deb nomlanadi va quyidagi xususiyatlarga ega:

Ta'rif maydoni ICAning har qanday qiymatidir: \\ (d (d (\\ cos) \u003d r \\)
- qiymatlar oralig'i - \\ (1 \\) dan \\ (1 \\) ni kiriting: \\ (e (e) \u003d [- 1; 1] \\)
- Hatto: \\ (\\ cos\u2061 (-x) \u003d \\ cos (x) \\)
- davriy davr (2p \\): \\ (x + 2p) \u003d \\ cos (x) \\)
- Koordinatlarning o'qlari bilan kesishish qobiliyati:
Abssissa o'qi: \\ (\\ frac (\\ frac (p) (2) \\ (+ Pn \\), \\ (n e z \\)
ORTINING AXIS: \\ ((0; 1) \\)
- Kirish intervallari:
Funktsiya intervalda ijobiydir: \\ ((\\ frac (p) (2) \\ (+ 2p) \\ (\\ frac (p) (2) \\ (+ 2pn) \\ ), qayerda \\ (n e z \\)
Funktsiya salbiy, intervalda: \\ (\\) \\ (2) \\ (+ 2p; \\) \\ (\\ frac (3) \\ (+ 2p) \\ (+ 2p) \\) , qayerda \\ (n e z \\)
- Tishgan sari va pasayish:
Funktsiya oraliqlarda ko'payadi: \\ ((p + 2p; 2p + 2pn) \\), qaerda \\ (n e z \\)
Funktsiya oralig'ida pasayadi: \\ ((2p; p + 2pn) \\), qaerda \\ (n e z \\)
- Maksims va minimal xususiyatlar:
Funktsiya maksimal qiymatga ega \\ (x \u003d 1 \\) da \\ (x \u003d 2p \\), qaerda \\ (n e z \\)
Funktsiya minimal qiymatga ega \\ (x \u003d p + 2p \\), bu erda \\ (n e z \\).