Oddiy kasrlar bilan harakatlarni qanday bajarish kerak. Matematika: kasrli harakatlar

1. Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish

Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shganda, hisoblagichlar qo'shiladi va

Bir xil maxrajli kasrlarni ayirganda, ikkinchi kasrning hisoblagichi birinchi kasrning hisoblagichidan chiqariladi va maxraj bir xilda qoladi.

Misollar: a); b)

2. Kasrlarni qo'shish va olib tashlash turli mezonlar

Har xil denominatorli kasrlarni qo'shish (ayirish) uchun sizga kerak:

bu kasrlarni eng past umumiy maxrajgacha kamaytiring

hosil bo'lgan kasrlarni qo'shing (olib tashlang) (1 -bandda bo'lgani kabi)

Misollar: a)
; b)

3. Aralash sonlarni qo'shish va ayirish

Aralash raqamlarni qo'shish uchun sizga kerak:

bu sonlarning kasr qismlarini eng kichik umumiy maxrajgacha kamaytiring;

alohida qismlarni va alohida qismlarni qo'shishni alohida bajaring. Agar kasrli qismlarni qo'shishda siz noto'g'ri kasrni olgan bo'lsangiz, bu qismdan butun qismini tanlang va natijada paydo bo'lgan butun qismga qo'shing.

Misollar: a)
; b)

Aralash raqamlarni olib tashlash uchun sizga kerak:

bu sonlarning kasr qismlarini eng kichik umumiy maxrajgacha kamaytiring; agar qisqartirilganning kasr qismi ajratilganning kasr qismidan kichik bo'lsa, uni tartibsiz kasrga aylantirib, butun qismini bittaga kamaytiring;

butun qismlarni va alohida kasrli qismlarni ajratishni alohida bajaring.

Misollar: a)
; b)

4 kasrlarni ko'paytirish

a) Bir kasrni ko'paytirish uchun natural son , siz uning sonini shu raqamga ko'paytirishingiz va maxrajni o'zgarishsiz qoldirishingiz kerak

Misollar:

b) Kasrni kasrga ko'paytirish uchun, zarur:

1) hisoblagichning sonini, maxrajning hosilasini maxrajga yozing;

2) kamaytirishni amalga oshirish (iloji bo'lsa);

3) ko'paytirishni bajarish

Misollar: a)
; b)

v) Aralash sonlarni ko'paytirish uchun ularni noto'g'ri kasrlar shaklida yozish kerak, so'ngra kasrlarni ko'paytirish qoidasidan foydalanish kerak.

Misollar:

5 kasrlarning bo'linishi

Bir kasrni boshqasiga bo'lish uchun siz dividendni bo'linuvchining o'zaro soniga ko'paytirishingiz kerak

Fraktsiyalar bilan harakatlar. Ushbu maqolada biz misollarni tahlil qilamiz, hamma narsa tushuntirishlar bilan batafsil. Biz oddiy kasrlarni ko'rib chiqamiz. Kelgusida biz o'nlik kasrlarni tahlil qilamiz. Men sizga hamma narsani tomosha qilishni va ketma -ket o'rganishni maslahat beraman.

1. Kasrlarning yig'indisi, kasrlarning farqi.

Qoida: ayirgichlari teng bo'lgan kasrlarni qo'shganda, natija bo'lak bo'lib qoladi, uning ayirmasi o'zgarmaydi va uning hisoblagichi kasrlar sonining yig'indisiga teng bo'ladi.

Qoida: ayirgichlari bir xil bo'lgan kasrlarning farqini hisoblashda biz kasrni olamiz - maxraj o'zgarmaydi, ikkinchisining hisoblagichi birinchi kasrning hisoblagichidan chiqariladi.

Teng denominatorli kasrlarning yig'indisi va farqining rasmiy belgisi:

Misollar (1):

Aniqki, oddiy kasrlar berilsa, hamma narsa oddiy, lekin aralashsa? Hech narsa murakkab emas ...

Variant 1- siz ularni oddiy narsalarga aylantira olasiz va keyin hisoblay olasiz.

2 -variant- butun va kasrli qismlar bilan alohida "ishlash" mumkin.

Misollar (2):

Shunga qaramay:

Agar ikkita aralash kasrning farqi berilgan bo'lsa va birinchi kasrning hisoblagichi ikkinchisining sonidan kichik bo'lsa -chi? Siz ham ikki xil harakat qilishingiz mumkin.

Misollar (3):

* Oddiy kasrlarga aylantirildi, farqni hisoblab chiqdi, natijada olingan noto'g'ri kasrni aralashga aylantirdi.

* Butun va kasrli qismlarga bo'linib, uchtasini oldik, so'ngra 3 ni 2 va 1 ning yig'indisi sifatida taqdim qildik, bunda birlik 11/11 sifatida ko'rsatilgan, keyin 11/11 va 7/11 o'rtasidagi farqni topdi va natijani hisobladi. Yuqoridagi o'zgarishlarning ma'nosi - birlikni ajratib ko'rsatish va uni bizga kerak bo'lgan denominator bilan kasr sifatida ko'rsatish, keyin biz bu kasrdan boshqasini olib tashlashimiz mumkin.

Yana bir misol:

Xulosa: universal yondashuv bor - teng qismlarga ega bo'lgan aralash kasrlarning yig'indisini (farqini) hisoblash uchun siz ularni har doim noto'g'ri qismlarga tarjima qilib, keyin kerakli amalni bajarishingiz mumkin. Shundan so'ng, agar biz noto'g'ri kasrni olsak, biz uni aralash qismga aylantiramiz.

Yuqorida biz teng qismlarga ega kasrli misollarni ko'rib chiqdik. Agar maxrajlar boshqacha bo'lsa -chi? Bunda kasrlar bir xil maxrajga tushiriladi va belgilangan amal bajariladi. Kasrni o'zgartirish (aylantirish) uchun kasrning asosiy xossasi ishlatiladi.

Keling, bir nechta oddiy misollarni ko'rib chiqaylik:

Bu misollarda biz kasrlardan biri teng denominatorlarni olish uchun qanday o'zgartirilishi mumkinligini darhol ko'ramiz.

Agar biz kasrlarni bitta maxrajga tushirish usullarini belgilasak, u shunday deyiladi BIR METOD.

Ya'ni, kasrni "baholash" chog'ida, bu yondashuv ish beradimi -yo'qligini taxmin qilish kerak - biz katta denominatorning kichikroq bo'linishini tekshiramiz. Va agar u bo'linib ketgan bo'lsa, biz transformatsiyani amalga oshiramiz - biz ikkala kasrning denominatorlari teng bo'lishi uchun hisoblagich va maxrajni ko'paytiramiz.

Endi bu misollarga qarang:

Bu usul ularga nisbatan qo'llanilmaydi. Kasrlarni umumiy maxrajga olib chiqish usullari ham bor, ularni ko'rib chiqing.

Ikkinchi usul.

Biz birinchi kasrning hisoblagichi va maxrachini ikkinchisiga, ikkinchi kasrning sonini va maxrini birinchisining maxrajiga ko'paytiramiz:

* Darhaqiqat, biz ayiruvchilar teng bo'lganda kasrlarni shaklga keltiramiz. Keyinchalik, teng denominatorli ko'ylaklarni qo'shish qoidasidan foydalanamiz.

Misol:

* Bu usulni universal deb atash mumkin va u har doim ishlaydi. Yagona kamchilik shundaki, hisob -kitoblardan so'ng siz kasrni olishingiz mumkin, uni yanada kamaytirishingiz kerak bo'ladi.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Ko'rinib turibdiki, hisoblagich va maxraj 5 ga bo'linadi:

Uchinchi usul.

Ayiruvchilarning eng kichik umumiy ko'paytmasini (LCM) toping. Bu umumiy mezon bo'ladi. Bu raqam nima? Bu sonlarning har biriga bo'linadigan eng kichik natural son.

Mana, ikkita raqam: 3 va 4, ularga bo'linadigan juda ko'p sonlar bor - bu 12, 24, 36, ... Ularning eng kichigi 12. Yoki 6 va 15, ular 30 ga bo'linadi, 60, 90 .... Eng kichik 30. Savol - bu eng kam uchraydigan ko'plikni qanday aniqlash mumkin?

Aniq algoritm mavjud, lekin ko'pincha uni hisob -kitoblarsiz darhol bajarish mumkin. Masalan, yuqoridagi misollarga ko'ra (3 va 4, 6 va 15), hech qanday algoritm kerak emas, biz katta sonlarni (4 va 15) oldik va ularni ikki barobar ko'paytirdik va ular ikkinchi raqamga bo'linishini ko'rdik, lekin raqamlar juftlari boshqalar bo'lishi mumkin, masalan 51 va 119.

Algoritm. Bir nechta sonlarning eng kichik umumiy sonini aniqlash uchun siz:

- har bir sonni PRIMARY omillarga ajratish

- ularning ko'pchiligining parchalanishini yozing

- uni boshqa raqamlarning MISSING omillariga ko'paytiring

Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik:

50 va 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

katta sonining kengayishi bittadan kam

=> LCM (50,60) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 5 ∙ 5 = 300

48 va 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

katta sonining kengayishi ikki va uch yo'qoladi

=> LCM (48.72) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 = 144

* Ikki oddiy sonning eng kichik umumiy ko'pligi ularning mahsulotiga teng

Savol! Va nima uchun eng kichik umumiy sonni topish foydalidir, chunki siz ikkinchi usuldan foydalanishingiz va natijada olingan kasrni bekor qilishingiz mumkin? Ha, mumkin, lekin bu har doim ham qulay emas. Qarang, agar 48 va 72 raqamlarini ajratuvchi nima bo'ladi, agar siz ularni ko'paytirsangiz 48 ∙ 72 = 3456. Kichikroq raqamlar bilan ishlash yanada yoqimli ekanligiga rozi bo'ling.

Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

katta sonining kengayishi uch barobar kam

=> LCM (51,119) = 3 ∙ 7 ∙ 17

Endi birinchi usulni qo'llaylik:

* Hisob -kitoblarda qanday farq borligini ko'ring, birinchi holda ularning minimal qismi bor, ikkinchisida siz alohida qog'ozda ishlashingiz kerak, hatto siz olgan fraktsiyani ham kamaytirish kerak. LCMni topish ishni ancha osonlashtiradi.

Boshqa misollar:

* Ikkinchi misolda, bu allaqachon aniq eng kichik raqam 40 va 60 ga bo'linadiganlar 120 ga teng.

JAMI! UMUMIY ALGORITM!

- agar biz butun son bo'lsa, kasrlarni oddiy bo'laklarga kamaytiramiz.

- biz kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz (birinchi navbatda, bir bo'linuvchining boshqasiga bo'linishini ko'rib chiqamiz, agar u bo'linsa, biz bu boshqa kasrning hisoblagichi va maxrajini ko'paytiramiz; agar bo'linmasa, biz boshqasi orqali harakat qilamiz. yuqorida ko'rsatilgan usullar).

- teng denominatorli kasrlarni olgach, biz amallarni bajaramiz (qo'shish, ayirish).

- agar kerak bo'lsa, biz natijani kamaytiramiz.

- agar kerak bo'lsa, butun qismini tanlang.

2. Fraktsiyalar hosilasi.

Qoidalar oddiy. Kasrlarni ko'paytirishda ularning hisoblagichlari va maxrajlari ko'paytiriladi:

Misollar:

Ushbu maqola kasrlarning umumiy ko'rinishini beradi. Bu erda biz A / B umumiy kasrlarni qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish va eksponentatsiya qilish qoidalarini shakllantiramiz va asoslaymiz, bu erda A va B - ba'zi sonlar, sonli ifodalar yoki o'zgarmaydiganli ifodalar. Odatdagidek, biz materialni echimlarning batafsil tavsifi bilan tushuntirish misollari bilan ta'minlaymiz.

Sahifa navigatsiyasi.

Raqamli kasrlar bilan amallarni bajarishning umumiy qoidalari

Keling, umumiy sonli kasrlar yordamida bo'linuvchi va / yoki maxrajni faqat natural sonlar bilan emas, balki boshqa raqamlar yoki raqamli ifodalar bilan ifodalash mumkin bo'lgan kasrlarni tushunamiz. Aniqlik uchun biz bunday kasrlarga bir nechta misollar keltiramiz :, .

Biz ular qanday qoidalar asosida bajarilishini bilamiz. Xuddi shu qoidalarga ko'ra, siz umumiy kasrlar bilan harakatlarni bajarishingiz mumkin:

Qoidalar uchun asos

Umumiy sonli kasrlar bilan amallarni bajarish qoidalarining to'g'riligini isbotlash uchun quyidagi fikrlardan boshlash mumkin.

• kasrli chiziq, asosan, bo'linish belgisidir,
• nolga teng bo'lmagan sonlarga bo'linishni bo'linuvchining o'zaro ko'payishi sifatida ko'rish mumkin (bu qoidani darhol tushuntiradi) kasrlarning bo'linishi),
• haqiqiy sonlar bilan harakatlarning xususiyatlari,
• va uning umumiy tushunchasi,

Ular sizga ayirboshlari bir xil va har xil bo'lgan kasrlarni qo'shish, ayirish qoidalarini, shuningdek kasrlarni ko'paytirish qoidasini asoslab, quyidagi o'zgarishlarni amalga oshirishga imkon beradi.

Misollar

Biz oldingi paragrafda o'rganilgan qoidalarga muvofiq umumiy kasrlar bilan harakatlarni bajarishga misollar keltiramiz. Darhol aytaylik, odatda kasrlar bilan amallar bajarilgandan so'ng, hosil bo'ladigan qism soddalashtirishni talab qiladi va kasrni soddalashtirish jarayoni avvalgi amallarni bajarishga qaraganda ancha murakkab bo'ladi. Bizni qiziqtirgan mavzudan chalg'itmaslik uchun biz kasrlarni soddalashtirish haqida to'xtalmaymiz (tegishli o'zgartirishlar kasrlarni aylantirish haqidagi maqolada muhokama qilinadi).

Bir xil maxrajli sonli kasrlarni qo'shish va olib tashlash misollaridan boshlaylik. Birinchidan, kasrlarni qo'shing va. Shubhasiz, denominatorlar tengdir. Tegishli qoidaga ko'ra, biz kasrni yozamiz, uning bo'lagi asl kasrlar sonining yig'indisiga teng, va maxraji o'zgarmaydi, bizda. Qo'shish tugallandi, natijada olingan kasrni soddalashtirish qoladi: ... Shunday qilib, .

Yechimni boshqacha o'tkazish mumkin edi: birinchi navbatda oddiy kasrlarga o'tishni, so'ngra qo'shishni bajarishni. Ushbu yondashuv bilan bizda .

Endi kasrdan chiqaramiz kasr ... Kasrlarning denominatorlari teng, shuning uchun biz bir xil maxrajli kasrlarni ayirish qoidasiga muvofiq harakat qilamiz:

Har xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish misollariga o'tamiz. Bu erda asosiy qiyinchilik kasrlarni umumiy bo'linishga olib kelishdir. Umumiy kasrlar uchun bu juda keng mavzu, biz uni alohida maqolada batafsil tahlil qilamiz. kasrlarning umumiy mohiyati... Keling, o'zimizni er -xotin bilan cheklaylik umumiy tavsiyalar dan beri bu lahza bizni kasrlar bilan harakatlarni bajarish texnikasi ko'proq qiziqtiradi.

Umuman olganda, jarayon umumiy kasrlarni umumiy mohiyatga tushirishga o'xshaydi. Ya'ni, denominatorlar mahsulot ko'rinishida ifodalanadi, keyin barcha omillar birinchi kasrning maxrajidan olinadi va ularga ikkinchi kasrning maxrajidan etishmayotgan omillar qo'shiladi.

Qachon qo'shilgan yoki olib tashlangan kasrlarning maxrajlari umumiy omillarga ega bo'lmasa, ularning mahsulotini umumiy ayiruvchi sifatida qabul qilish mantiqan to'g'ri keladi. Keling, misol keltiraylik.

Aytaylik, biz kasrlarni va 1/2 ni qo'shishimiz kerak. Bu erda umumiy denominator sifatida asl kasrlarning maxrajlari mahsulotini, ya'ni ,. Bu holda, birinchi kasr uchun qo'shimcha omil 2 bo'ladi. Hisoblagich va maxrajni unga ko'paytirgandan so'ng, kasr shakl oladi. Va ikkinchi fraktsiya uchun qo'shimcha omil - bu ifoda. Uning yordami bilan 1/2 kasr shaklga tushiriladi. Bir xil denominatorlarga ega bo'lgan kasrlarni qo'shish qoladi. Bu erda butun yechimning qisqacha tavsifi:

Umumiy kasrlarga kelsak, endi biz oddiy kasrlar odatda kamayadigan eng past umumiy maxraj haqida gapirmaymiz. Garchi bu masalada hali ham minimalizmga intilish maqsadga muvofiqdir. Bu bilan biz aytmoqchimizki, siz asl kasrlarning maxrajlari mahsulotini umumiy ayiruvchi sifatida qabul qilmasligingiz kerak. Masalan, kasrlar va mahsulotning umumiy mohiyatini olish umuman shart emas ... Bu erda biz umumiy mezon sifatida qabul qilishimiz mumkin.

Biz umumiy kasrlarni ko'paytirish misollariga murojaat qilamiz. Keling, kasrlarni ko'paytiramiz va. Bu amalni bajarish qoidasi bizga kasrni yozishni o'rgatadi, uning hisoblagichi birinchi kasrlar sonining hosilasi, va maxraji maxrajlarning hosilasi. Bizda ... bor ... Bu erda, boshqa ko'p hollarda, kasrlarni ko'paytirganda, siz kasrni bekor qilishingiz mumkin: .

Kasrlarni bo'linish qoidasi bo'linishdan o'zaro ko'paytirishga o'tishga imkon beradi. Bu erda shuni esda tutish kerakki, berilgan kasrning teskari qismini olish uchun, bu kasrning hisoblagichi va maxrajini qayta tartibga solish kerak. Mana, raqamli kasrlarning umumiy bo'linishidan ko'paytirishga o'tish misoli: ... Ko'paytirishni amalga oshirish va natijada olingan kasrni soddalashtirish qoladi (agar kerak bo'lsa, irratsional ifodalarning o'zgarishiga qarang):

Ushbu paragraf ma'lumotlarini yakunlab, biz eslaymizki, har qanday son yoki raqamli ifoda 1 ga bo'linadigan kasr sifatida ifodalanishi mumkin, shuning uchun son va kasrni qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'linish tegishli amalni bajargan deb hisoblanishi mumkin. kasrlar bilan, ularning birida maxrajda birlik bor ... Masalan, ifodada almashtirish uchta kasrning ildizi, biz kasrni songa ko'paytirishdan ikkita kasrni ko'paytirishga o'tamiz: .

O'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan kasrlarga amallarni bajarish

Ushbu maqolaning birinchi qismidagi qoidalar, shuningdek, o'zgarmaydiganlarni o'z ichiga olgan kasrli amallarni bajarish uchun ham qo'llaniladi. Keling, ulardan birinchisini oqlaylik - ayirgichlari bir xil bo'lgan kasrlarni qo'shish va ayirish qoidasi, qolganlari mutlaqo bir xil tarzda isbotlangan.

Keling, A, C va D har qanday ifodalar uchun tenglikni isbotlaylik o'zgaruvchilarning ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni to'g'risida.

Keling, ODV dan o'zgaruvchilar to'plamini olaylik. O'zgaruvchilarning bu qiymatlari uchun A, C va D ifodalari a 0, c 0 va d 0 qiymatlarini qabul qilsin. Keyin tanlangan to'plamdan o'zgaruvchilar qiymatlarini ifodaga almashtirish, ularni bir xil shaklli denominatorlarga ega bo'lgan sonli kasrlarning yig'indisiga (farqiga) aylantiradi. ayirgichlari bir xil bo'lgan kasrlar tengdir. Ammo tanlangan to'plamdan o'zgaruvchilar qiymatini ifodaga almashtirish uni bir xil kasrga aylantiradi. Bu shuni anglatadiki, ODZ dan tanlangan o'zgarmaydigan qiymatlar to'plami uchun ifodalarning qiymatlari tengdir. Bu ifodalarning qiymatlari ODZ o'zgaruvchilarining boshqa har qanday qiymatlari uchun teng bo'lishi aniq, ya'ni ifodalar teng va tengdir, ya'ni isbotlanayotgan tenglik haqiqatdir. .

O'zgaruvchilarli kasrlarni qo'shish va olib tashlash misollari

Qachon qo'shilgan yoki olib tashlangan kasrlarning denominatorlari bir xil bo'lsa, hamma narsa juda oddiy - hisoblagichlar qo'shiladi yoki chiqariladi va maxraj o'zgarmaydi. Aniqki, bundan keyin olingan fraksiya, agar kerak bo'lsa va iloji bo'lsa, soddalashtiriladi.

E'tibor bering, ba'zida kasrlarning denominatorlari faqat bir qarashda farq qiladi, lekin aslida ular bir xil teng ifodalar, masalan: va, yoki va. Va ba'zida bir xil denominatorlar paydo bo'lishi uchun asl kasrlarni soddalashtirish kifoya.

Misol.

, b) , v) .

Yechim.

a) Bir xil maxrajli kasrlarni ayirish kerak. Tegishli qoidaga ko'ra, biz maxrajni o'zgarishsiz qoldiramiz va hisoblagichlarni olib tashlaymiz ... Amal tugallandi. Ammo siz hali ham hisoblagichdagi qavslarni kengaytirib, shunga o'xshash atamalarni berishingiz mumkin: .

b) Shubhasiz, qo'shilgan kasrlarning denominatorlari bir xil. Shuning uchun, hisoblagichlarni qo'shing va denominatorni bir xil qoldiring:. Qo'shish tugallandi. Ammo natijada olingan fraktsiyani bekor qilish mumkinligini ko'rish oson. Haqiqatan ham, hosil bo'ladigan kasrning hisoblagichini yig'indining kvadratining formulasi bilan (lgx + 2) 2 (qisqartirilgan ko'paytirish uchun formulalarga qarang) aylantirish mumkin, shuning uchun quyidagi o'zgarishlar sodir bo'ladi: .

v) yig'indidagi kasrlar turli mezonlarga ega. Ammo, kasrlardan birini o'zgartirib, ayirgichlari bir xil bo'lgan kasrlarni qo'shishga o'tishingiz mumkin. Biz ikkita echimni ko'rsatamiz.

Birinchi yo'l. Birinchi kasrning maxrajini kvadratlar farqi yordamida faktorizatsiyalash mumkin va keyin bu kasrni bekor qilish mumkin: ... Shunday qilib, . Fraksiya denominatorida irratsionallikdan xalos bo'lish hali ham zarar qilmaydi: .

Ikkinchi yo'l. Ikkinchi kasrning hisoblagichi va denominatorini ko'paytirish (bu ifoda x o'zgaruvchining hech qanday qiymati uchun yo'qolmaydi), bir vaqtning o'zida ikkita maqsadga erishishga imkon beradi: irratsionallikdan qutulish va qo'shimchaga o'tish. ayirgichlari bir xil bo'lgan kasrlar. Bizda ... bor

Javob:

a) , b) , v) .

Oxirgi misol bizni kasrlarni umumiy maxrajgacha kamaytirish masalasiga olib keldi. U erda biz deyarli tasodifan o'sha qismlarga keldik va qo'shilgan kasrlardan birini soddalashtirdik. Ammo aksariyat hollarda, har xil maxrajli kasrlarni qo'shganda va ayirganda, maqsadli ravishda kasrlarni umumiy bo'linishga olib kelishga to'g'ri keladi. Buning uchun kasrlar denominatorlari odatda mahsulot ko'rinishida ifodalanadi, barcha omillar birinchi kasrning maxrajidan olinadi va ularga ikkinchi kasrning maxrajidan etishmayotgan omillar qo'shiladi.

Misol.

Harakatlarni kasr bilan bajaring: a) , b), v) .

Yechim.

a) Kasrlarning denominatorlari bilan hech narsa qilishning hojati yo'q. Umumiy mezon sifatida biz mahsulotni olamiz ... Bu holda, ifoda birinchi kasr uchun qo'shimcha omil, ikkinchi kasr uchun 3 raqami. Bu qo'shimcha omillar kasrlarni umumiy maxrajga olib keladi, bu keyinchalik bizga kerakli amalni bajarishga imkon beradi.

b) Bu misolda denominatorlar allaqachon mahsulot sifatida tasvirlangan va hech qanday qo'shimcha o'zgartirishlar talab qilinmaydi. Shubhasiz, denominatorlar omillari faqat ko'rsatkichlar bo'yicha farq qiladi, shuning uchun biz umumiy mezon sifatida biz eng katta ko'rsatkichlarga ega bo'lgan omillarning mahsulotini olamiz, ya'ni. ... Keyin birinchi kasr uchun qo'shimcha omil x 4, ikkinchisi uchun - ln (x + 1) bo'ladi. Endi biz kasrlarni ayirishga tayyormiz:

v) v bu ish birinchidan, kasrlarning denominatorlari bilan ishlaylik. Kvadratlar va yig'indilar kvadratining farqlari uchun formulalar asl summadan ifodaga o'tishga imkon beradi ... Endi aniqki, bu kasrlarni umumiy qismga aylantirish mumkin ... Ushbu yondashuv bilan yechim quyidagicha ko'rinadi:

Javob:

a)

b)

v)

Kasrlarni o'zgaruvchilar bilan ko'paytirishga misollar

Kasrlarni ko'paytirish kasrni beradi, uning hisoblagichi birinchi kasrlar sonining hosilasi, maxraji esa maxrajlarning hosilasi. Bu erda, ko'rib turganingizdek, hamma narsa tanish va sodda, va biz shuni qo'shishimiz mumkinki, bu harakatni bajarish natijasida olingan fraktsiya ko'pincha bekor qilinadi. Bunday hollarda, agar u zarur bo'lsa va oqlansa, kamayadi.

Matematikada har xil turdagi raqamlar paydo bo'lganidan beri o'rganilgan. Raqamlar to'plamlari va kichik to'plamlari juda ko'p. Ular orasida ratsional, irratsional, tabiiy, juft, toq, murakkab va kasrli butun sonlar bor. Bugun biz oxirgi to'plam haqidagi ma'lumotlarni tahlil qilamiz - kasr sonlar.

Kasrlarni aniqlash

Kasrlar - bu butun qismlar va bitta kasrlardan tashkil topgan sonlar. Xuddi butun sonlar singari, ikkita butun son o'rtasida cheksiz ko'p kasrlar mavjud. Matematikada kasrli harakatlar butun sonlar va natural sonlar kabi bajariladi. Bu juda oddiy va uni bir necha darsda o'rganish mumkin.

Maqolada ikkita tur ko'rsatilgan

Oddiy kasrlar

Umumiy kasrlar a / tamsayı qismini va b / c kasrli chiziq bilan ajratilgan ikkita sonni ifodalaydi. Oddiy kasrlar, agar kasrli qismni ratsional o'nlik belgilar bilan ifodalash mumkin bo'lmasa, juda qulay bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, kasr chiziq orqali arifmetik amallarni bajarish qulayroqdir. Yuqori qism - hisoblagich, pastki qism - maxraj, deyiladi.

Kesirli harakatlar: misollar

Kasrning asosiy xususiyati. Da Hisoblagich va maxrajni bir xil nol bo'lmagan songa ko'paytirish natijasida berilgan raqamga teng bo'ladi. Kasrning bu xossasi maxrajni qo'shishga olib keladi (bu quyida muhokama qilinadi) yoki kasrni kamaytirishga, uni sanash uchun qulayroq qilishga yordam beradi. a / b = a * c / b * c. Masalan, 36/24 = 6/4 yoki 9/13 = 18/26

Umumiy denominatorga qisqartirish. Kasrning maxrajini olib kelish uchun maxrajni omillar ko'rinishida ifodalash, so'ngra etishmayotgan sonlarga ko'paytirish kerak. Masalan, 15/7 va 30/12; 7/5 * 3 va 12/5 * 3 * 2. Ko'ramizki, maxrajlar ikkiga bo'linadi, shuning uchun biz birinchi kasrning hisoblagichi va maxrajini 2 ga ko'paytiramiz. Biz olamiz: 14/30 va 12/30.

Murakkab kasrlar- ajratilgan butun sonli oddiy kasrlar. (A b / c) Murakkab kasrni oddiy kasr sifatida ifodalash uchun, kasr oldidagi sonni maxrajga ko'paytirish kerak va keyin uni hisoblagich bilan qo'shish kerak: (A * c + b) / c.

Kasrlar bilan arifmetik amallar

Mashhur arifmetik amallarni faqat kasr sonlar bilan ishlashda ko'rib chiqish ortiqcha bo'lmaydi.

Qo'shish va ayirish. Oddiy kasrlarni qo'shish va olib tashlash butun sonlarni qo'shishdek oson, faqat bitta qiyinchilikdan tashqari - kasrli chiziqning mavjudligi. Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shganda, faqat ikkala kasrning hisoblagichlarini qo'shish kerak, maxrajlar o'zgarishsiz qoladi. Masalan: 5/7 + 1/7 = (5 + 1)/7 = 6/7

Agar ikkita kasrning denominatorlari har xil sonlar bo'lsa, avval ularni umumiy songa olib kelish kerak (yuqorida muhokama qilinganidek). 1/8 + 3/2 = 1/2 * 2 * 2 + 3/2 = 1/8 + 3 * 4/2 * 4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Chiqarish xuddi shu printsipga amal qiladi: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.

Ko'paytirish va bo'linish. Harakatlar ko'paytirish yo'li bilan kasrlar quyidagi printsip bo'yicha sodir bo'ladi: hisoblagichlar va maxrajlar alohida ko'paytiriladi. V umumiy ko'rinish ko'paytirish formulasi quyidagicha ko'rinadi: a / b * c / d = a * c / b * d. Bundan tashqari, siz ko'paytirganingizda, ayiruvchi va denominatordan bir xil omillarni chiqarib, kasrni kamaytirishingiz mumkin. Boshqacha aytganda, hisoblagich va maxraj bir xil songa bo'linadi: 4/16 = 4/4 * 4 = 1/4.

Oddiy kasrni boshqasiga bo'lish uchun, bo'linuvchining hisoblagichi va maxrajini o'zgartirish va yuqorida aytilgan tamoyilga binoan ikkita kasrni ko'paytirish kerak: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5 * 11/11 * 25 = 1/5

O'nli kasrlar

O'nli kasrlar kasr sonlarining eng mashhur va keng tarqalgan versiyasidir. Ularni qatorga yozish yoki kompyuterda tasvirlash osonroq. O'nli kasrning tuzilishi quyidagicha: birinchi navbatda butun son yoziladi, keyin kasrdan keyin kasr qismi yoziladi. Uning markazida o'nliklar- bu oddiy oddiy kasrlar, lekin ularning kasr qismi 10 ga ko'paytiriladigan son bilan ifodalanadi. Bu erda ularning nomi kelib chiqqan. O'nli kasrli amallar butun sonlar bilan bajariladigan operatsiyalarga o'xshaydi, chunki ular ham kasrli sanoq bilan yozilgan. Bundan tashqari, oddiy kasrlardan farqli o'laroq, kasrlar mantiqsiz bo'lishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, ular cheksiz bo'lishi mumkin. Ular 7, (3) deb yozilgan. Quyidagi yozuv o'qiladi: davrning etti punkti, o'ndan uch qismi.

O'nli raqamlar bilan bajariladigan asosiy amallar

O'nli kasrlarni qo'shish va ayirish. Kasrlar bilan operatsiyalarni bajarish butun natural sonlarga qaraganda qiyin emas. Qoidalar natural sonlarni qo'shish yoki olib tashlashda qo'llaniladigan qoidalarga mutlaqo o'xshaydi. Ularni xuddi shu tarzda ustun deb hisoblash mumkin, ammo agar kerak bo'lsa, etishmayotgan joylarni nol bilan almashtiring. Masalan: 5.5697 - 1.12. Ustunda olib tashlashni amalga oshirish uchun o'nlik kasrdan keyingi sonlar sonini tenglashtirish kerak: (5.5697 - 1.1200). Shunday qilib, raqamli qiymat o'zgarmaydi va ustunda hisoblash mumkin bo'ladi.

O'nli kasrli amallar, agar ulardan biri mantiqsiz bo'lsa, bajarilmaydi. Buning uchun siz ikkala raqamni ham kasrlarga aylantirishingiz, so'ngra ilgari tasvirlangan texnikadan foydalanishingiz kerak.

Ko'paytirish va bo'linish. O'nli sonlarni ko'paytirish tabiiy ko'payishga o'xshaydi. Ularni vergulga e'tibor bermasdan, ustunga ko'paytirish mumkin, so'ngra vergul bilan yakuniy qiymatda o'nlik kasrdan keyingi ikkita kasrli kasrdagi yig'indiga teng bo'lgan sonlarni ajratish mumkin. Masalan, 1,5 * 2,23 = 3,345. Hamma narsa juda oddiy va agar siz natural sonlarni ko'paytirishni o'zlashtirgan bo'lsangiz, qiyin bo'lmasligi kerak.

Bo'linish, shuningdek, natural sonlarning bo'linishiga to'g'ri keladi, lekin ozgina og'ish bilan. Ustunning o'nlik soniga bo'linish uchun siz ajratgichdagi vergulni olib tashlashingiz va dividendni bo'linishdagi o'nli kasr soniga ko'paytirishingiz kerak. Keyin natural sonlar kabi bo'linishni bajaring. To'liq bo'linmagan taqdirda, o'ngdagi dividendga nol qo'shishingiz mumkin, shuningdek kasrli nuqtadan keyin javobga nol qo'shishingiz mumkin.

O'nli kasrli amallarga misollar. O'nli kasrlar arifmetikani hisoblash uchun juda qulay vosita. Ular natural sonlar, butun sonlarning qulayligi va oddiy kasrlarning aniqligini birlashtiradi. Bundan tashqari, ba'zi kasrlarni boshqalarga tarjima qilish juda oson. Kasrli amallar natural sonli amallardan farq qilmaydi.

1. Qo'shish: 1,5 + 2,7 = 4,2
2. Chiqarish: 3.1 - 1.6 = 1.5
3. Ko'paytirish: 1.7 * 2.3 = 3.91
4. Bo'linish: 3.6: 0.6 = 6

Bundan tashqari, kasrlar foizlarni ifodalash uchun mos keladi. Shunday qilib, 100% = 1; 60% = 0,6; va aksincha: 0,659 = 65,9%.

Kasrlar haqida bilish kerak bo'lgan narsa shu. Maqolada kasrlarning ikki turi - oddiy va o'nlik kasrlar ko'rib chiqilgan. Ikkalasini ham hisoblash juda oson, va agar siz natural sonlar va ular bilan amallarni to'liq o'zlashtirgan bo'lsangiz, kasr sonlarni o'rganishni bemalol boshlashingiz mumkin.

1º. Butun sonlar- bu sanash uchun ishlatiladigan raqamlar. Barcha natural sonlar to'plami N bilan belgilanadi, ya'ni. N = (1, 2, 3, ...).

Fraksiyon birining bir necha qismlaridan iborat son deyiladi. Oddiy fraktsiya shaklning soni deb ataladi, bu erda natural son n birlik nechta teng qismga bo'linganligini va natural sonni ko'rsatadi m qancha teng qismlar olinganligini ko'rsatadi. Raqamlar m va n shunga mos ravishda chaqiriladi hisoblagich va maxraj kasrlar.

Agar hisoblagich bo'lsa denominatordan kam, keyin oddiy kasr deyiladi to'g'ri; agar hisoblagich maxrajga teng yoki undan katta bo'lsa, u holda kasr deyiladi noto'g'ri... Butun va kasrli qismlardan tashkil topgan son deyiladi aralash raqam.

Masalan, - oddiy kasrlar, - tartibsiz kasrlar, 1 - aralash son.

2º. Harakatlarni tugatganda oddiy kasrlar quyidagi qoidalarni eslang:

1)Kasrning asosiy xossasi... Agar kasrning hisoblagichi va maxraji bir xil natural songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, siz berilganga teng kasrni olasiz.

Masalan, a); b) .

Kasrning hisoblagichi va maxrajining umumiy bo'luvchisiga bo'linishi, bittadan boshqasi deyiladi fraktsiyani kamaytirish.

2) Aralash sonni noo'rin kasr sifatida ko'rsatish uchun, uning butun qismini kasr qismining maxrajiga ko'paytirish va hosil bo'ladigan mahsulotga kasr qismini qo'shish, hosil bo'lgan summani kasr bo'lagi sifatida yozish kerak. , va denominatorni xuddi shunday qoldiring.

Xuddi shunday, har qanday natural sonni har qanday maxraj bilan noto'g'ri kasr sifatida yozish mumkin.

Masalan, a), chunki; b) va hokazo.

3) Noto'g'ri kasrni aralash son sifatida yozish uchun (ya'ni, noto'g'ri qismdan butun qismni tanlab olish uchun), siz hisoblagichni maxrajga bo'lishingiz kerak, bo'linma qismini butun qism sifatida, qolganini esa hisoblagich, denominatorni bir xil qoldiring.

Masalan, a), 200 yildan beri: 7 = 28 (dam. 4);
b), chunki 20: 5 = 4 (dam olish 0).

4) Kasrlarni eng past umumiy ayirgichga etkazish uchun siz ushbu kasrlarning maxrajlarining eng kichik umumiy ko'pligini (LCM) topishingiz kerak (bu ularning eng past umumiy ayiruvchisi bo'ladi), eng past umumiy ayirgichni shu kasrlarning maxrajlariga bo'lishingiz kerak. (ya'ni kasrlar uchun qo'shimcha omillarni toping), har bir kasrning hisoblagichi va maxrajini qo'shimcha faktoriga ko'paytiring.

Masalan, kasrlarni eng past umumiy ayiruvchiga keltiraylik:

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

Vositalar, ; ; .

5) Oddiy kasrlar bilan arifmetik amallar qoidalari:

a) Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish quyidagi qoidaga muvofiq amalga oshiriladi:

b) Har xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish a) qoidaga muvofiq amalga oshiriladi, chunki ilgari kasrlarni eng past umumiy ayirgichga tushirgan.

v) Aralash sonlarni qo'shish va ayirishda ularni aylantirish mumkin noto'g'ri kasrlar va keyin a) va b) qoidalariga muvofiq harakatlarni bajaring;