Kompleks lotinlar. Logarifmik lotin.
Ko'rsatkichli funksiyaning hosilasi

Biz farqlash texnikasini takomillashtirishda davom etamiz. Bu darsda biz o'tilgan materialni birlashtiramiz, murakkab lotinlarni ko'rib chiqamiz, shuningdek, lotinni, xususan, logarifmik lotinni topishning yangi texnikasi va fokuslari bilan tanishamiz.

O'quv darajasi past bo'lgan o'quvchilar maqolaga murojaat qilishlari kerak Derivativni qanday topish mumkin? Yechimlarga misollar, bu sizga o'z mahoratingizni deyarli noldan oshirish imkonini beradi. Keyinchalik, siz sahifani diqqat bilan o'rganishingiz kerak Murakkab funksiyaning hosilasi, tushunish va hal qilish hamma men bergan misollar. Bu dars mantiqan ketma -ket uchinchi bo'lib, uni o'zlashtirgandan so'ng, siz ancha murakkab funktsiyalarni ishonch bilan farqlay olasiz. "Boshqa qaerda? Va bu etarli! ", Chunki barcha misollar va echimlar haqiqiydan olingan nazorat ishlari va ko'pincha amaliyotda uchraydi.

Takrorlashdan boshlaylik. Darsda Murakkab funksiyaning hosilasi batafsil izohlar bilan bir qancha misollarni ko'rib chiqdik. Differentsial hisob va matematik tahlilning boshqa bo'limlarini o'rganish jarayonida siz tez -tez farqlashingiz kerak bo'ladi va misollarni batafsil yozish har doim ham qulay emas (va har doim ham zarur emas). Shuning uchun biz lotinlarni og'zaki topishni o'rganamiz. Buning uchun eng munosib "nomzodlar" eng sodda murakkab funktsiyalarning hosilalari, masalan:

Kompleks funktsiyani farqlash qoidasiga ko'ra :

Kelgusida matanning boshqa mavzularini o'rganayotganda, bunday batafsil eslatma talab qilinmaydi, talaba shunga o'xshash hosilalarni avtomatik avtopilotda topa oladi deb taxmin qilinadi. Tasavvur qiling -a, ertalab soat 3 da telefon jiringladi va yoqimli ovoz so'radi: "Ikkita X ning tangensining hosilasi nima?" Bunga deyarli bir zumda va muloyim javob berish kerak: .

Birinchi misol darhol nishonga olinadi mustaqil qaror.

Misol 1

Quyidagi lotinlarni og'zaki, bir qadamda toping, masalan:. Vazifani bajarish uchun faqat ishlatish kerak elementar funktsiyalar hosilalari jadvali(agar u hali eslanmagan bo'lsa). Agar sizda qiyinchiliklar bo'lsa, men darsni qayta o'qishni maslahat beraman. Murakkab funksiyaning hosilasi.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Dars oxirida javoblar

Kompleks lotinlar

Artilleriyaga dastlabki tayyorgarlikdan so'ng, 3-4-5 funktsiyali qo'shimchali misollar kamroq qo'rqinchli bo'ladi. Ehtimol, quyidagi ikkita misol kimgadir qiyin bo'lib tuyulishi mumkin, lekin agar siz ularni tushunsangiz (kimdir azob chekadi), unda differentsial hisobdagi deyarli hamma narsa bolaning haziliga o'xshab ketadi.

2 -misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, murakkab funktsiyaning hosilasini topishda, birinchi navbatda, kerak to'g'ri Qo'shimchalarni tushuning. Agar shubhalar bo'lsa, men foydali texnikani eslayman: biz "X" ning eksperimental qiymatini olamiz va bu qiymatni "dahshatli ifoda" bilan almashtirishga harakat qilamiz (aqliy yoki qoralama).

1) Birinchidan, biz ifodani hisoblashimiz kerak, ya'ni bu miqdor eng chuqur investitsiya hisoblanadi.

2) Keyin siz logarifmani hisoblashingiz kerak:

4) Keyin kosinusni kubga ko'taring:

5) Beshinchi bosqichda farq:

6) Nihoyat, eng tashqi funktsiya kvadrat ildiz:

Kompleks funktsiyalarni farqlash formulasi tashqi funktsiyadan ichkarigacha teskari tartibda qo'llaniladi. Biz qaror qilamiz:

Xatolarsiz ko'rinadi ....

(1) Biz lotinni olamiz kvadrat ildiz.

(2) Biz qoida yordamida farqning hosilasini olamiz

(3) uchlikning hosilasi nolga teng. Ikkinchi davrda biz daraja (kub) lotinini olamiz.

(4) Biz kosinusning hosilasini olamiz.

(5) Logarifmning hosilasini oling.

(6) Nihoyat, biz eng chuqur uyaning hosilasini olamiz.

Bu juda qiyin tuyulishi mumkin, lekin bu eng shafqatsiz misol emas. Masalan, Kuznetsov kollektsiyasini oling, shunda siz tahlil qilingan lotinning barcha jozibasi va soddaligini qadrlaysiz. Men shuni payqadimki, ular imtihonda shunga o'xshash narsani berishni yaxshi ko'radilar, agar talaba murakkab funktsiyani qanday topish kerakligini tushunsa yoki tushunmasa.

Keyingi misol-o'z-o'zidan hal qilish uchun.

Misol 3

Funktsiyaning hosilasini toping

Maslahat: Birinchidan, biz chiziqlilik qoidalari va mahsulotni farqlash qoidasini qo'llaymiz

To'liq echim va dars oxirida javob.

Endi yanada ixcham va yoqimli narsaga o'tish vaqti keldi.
Masalan, ikkita emas, balki uchta funktsiyali mahsulotni berish odatiy holdir. Uch omilning hosilasini qanday topish mumkin?

Misol 4

Funktsiyaning hosilasini toping

Birinchidan, ko'rib chiqaylik, agar uchta funktsiyaning mahsulotini ikkita funktsiyaning mahsulotiga aylantirish mumkinmi? Masalan, agar mahsulotda ikkita polinom bo'lsa, biz qavslarni kengaytirishimiz mumkin edi. Ammo bu misolda hamma funktsiyalar boshqacha: daraja, eksponent va logarifm.

Bunday hollarda, bu zarur izchil mahsulotni farqlash qoidasini qo'llang ikki marta

Hiyla shundaki, "y" uchun biz ikkita funktsiyani hosil qilamiz: va "ve" uchun - logarifm :. Nega bunday qilish mumkin? Bu shundaymi? - bu ikki omilning mahsuloti emas va qoida ishlamaydi?! Hech qanday murakkab narsa yo'q:

Endi qoidani ikkinchi marta qo'llash qoladi qavsga:

Siz hali ham buzilib, qavs tashqarisiga biror narsa qo'yishingiz mumkin, lekin bu holda javobni shu shaklda qoldirgan ma'qul - tekshirish osonroq bo'ladi.

Ko'rib chiqilgan misolni ikkinchi yo'l bilan hal qilish mumkin:

Ikkala echim ham mutlaqo tengdir.

Misol 5

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu mustaqil echimga misol, namunada u birinchi usulda hal qilinadi.

Keling, kasrlar bilan o'xshash misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol 6

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda siz turli yo'llar bilan borishingiz mumkin:

Yoki shunga o'xshash:

Agar biz, birinchi navbatda, qismni ajratish qoidasidan foydalansak, yechim yanada ixchamroq yoziladi , butun hisoblagich uchun:

Printsipial jihatdan, misol hal qilinadi va agar siz uni avvalgidek qoldirsangiz, bu xato bo'lmaydi. Ammo agar vaqtingiz bo'lsa, har doim qoralamani tekshirish maqsadga muvofiq, lekin javobni soddalashtirish mumkinmi? Keling, hisoblagich ifodasini keltiramiz umumiy maxraj va uch qavatli kasrdan qutuling:

Qo`shimcha soddalashtirishlarning nochorligi shundaki, lotinni topishda emas, balki maktabning odatiy o`zgarishlarida xato qilish xavfi mavjud. Boshqa tomondan, o'qituvchilar ko'pincha topshiriqni rad etishadi va lotinni "yodga olishni" so'rashadi.

O'z-o'zidan hal qilish uchun oddiy misol:

Misol 7

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz lotinni topish usullarini o'zlashtirishni davom ettirmoqdamiz va endi "dahshatli" logarifmni differentsiatsiyalash uchun taklif qilingan odatiy holatni ko'rib chiqamiz.

Misol 8

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda siz murakkab funktsiyani farqlash qoidasidan foydalanib, uzoq yo'lni bosib o'tishingiz mumkin:

Ammo birinchi qadam sizni darhol tushkunlikka soladi - siz kasr darajasidan, so'ngra kasrdan noxush lotin olishingiz kerak.

Shunung uchun oldin"Xayoliy" logarifmning lotinini qanday olish kerak, u maktabning mashhur xususiyatlaridan foydalanib oldindan soddalashtirilgan:

! Agar qo'lingizda mashq daftarchangiz bo'lsa, bu formulalarni o'sha erda nusxa ko'chiring. Agar sizda daftar bo'lmasa, ularni qog'ozga qayta chizing, chunki darsning qolgan qismlari shu formulalar atrofida bo'ladi.

Yechimning o'zi shunday tuzilishi mumkin:

Keling, funktsiyani o'zgartiramiz:

Derivativni toping:

Funktsiyaning o'zi oldindan konfiguratsiyasi hal qilishni ancha soddalashtirdi. Shunday qilib, differentsiatsiyalash uchun shunga o'xshash logarifma taklif qilinganida, uni har doim "buzish" maqsadga muvofiqdir.

Va endi mustaqil echim uchun bir nechta oddiy misollar:

Misol 9

Funktsiyaning hosilasini toping

Misol 10

Funktsiyaning hosilasini toping

Dars oxirida barcha o'zgartirishlar va javoblar.

Logarifmik lotin

Agar logarifmlarning hosilasi shunday shirin musiqa bo'lsa, unda savol tug'iladi, ba'zi hollarda logarifmani sun'iy ravishda tashkil qilish mumkinmi? Mumkin! Va hatto kerak.

Misol 11

Funktsiyaning hosilasini toping

Yaqinda shunga o'xshash misollarni ko'rdik. Nima qilish kerak? Siz ketma -ketlikni ajratish qoidasini, so'ngra ishni farqlash qoidasini qo'llashingiz mumkin. Bu usulning kamchiligi shundaki, siz uch qavatli ulkan ulushga ega bo'lasiz, bu bilan siz umuman shug'ullanishni xohlamaysiz.

Ammo nazariya va amaliyotda logarifmik lotin kabi ajoyib narsa bor. Logarifmalarni sun'iy ravishda ikki tomondan "osib" tashkillashtirish mumkin:

Endi siz o'ng tomonning logarifmini maksimal darajada "yo'q qilishingiz" kerak (formulalar sizning ko'zingiz oldida?). Men bu jarayonni batafsil tasvirlab beraman:

Aslida, biz farqlashga o'tamiz.
Biz ikkala qismni zarba ostida yopamiz:

O'ng tomondagi lotin juda oddiy, men bu haqda izoh bermayman, chunki agar siz bu matnni o'qiyotgan bo'lsangiz, uni ishonch bilan engishingiz kerak.

Chap tomon haqida nima deyish mumkin?

Chap tomonda bizda murakkab funksiya... Men savolni oldindan bilaman: "Nega, logarifm ostida bitta" ygrek "harfi bor?"

Gap shundaki, bu "bitta harfli igrek" - O'ZI - FUNKSIYA(agar aniq bo'lmasa, yopiq funktsiyadan olingan maqolaga qarang). Demak, logarifma tashqi funksiya, "o'yin" esa ichki funktsiyadir. Va biz murakkab funktsiyani farqlash qoidasidan foydalanamiz :

Chap tomonda, xuddi to'lqin kabi sehrli tayoq bizda lotin bor. Bundan tashqari, mutanosiblik qoidasiga ko'ra, biz "o'yinni" chap tarafdagi denominatordan o'ng tomonning yuqori qismiga tashlaymiz:

Va endi biz qanday "o'yin" funktsiyasini farqlashda muhokama qilganimizni eslaymiz? Biz shartni ko'rib chiqamiz:

Yakuniy javob:

Misol 12

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu o'z-o'zidan echimga misol. Dars oxirida bunday turdagi dizayn namunasi.

Logarifmik lotin yordamida № 4-7 misollardan birini hal qilish mumkin edi, boshqa narsa shundaki, u erdagi funktsiyalar sodda va, ehtimol, logarifmik lotinni ishlatish unchalik asosli emas.

Ko'rsatkichli funksiyaning hosilasi

Biz bu funktsiyani hali ko'rib chiqmaganmiz. Ko'rsatkichli funktsiya - bu funktsiya va daraja va asos "x" ga bog'liq. Klassik misol, sizga har qanday darslikda yoki har qanday ma'ruzada beriladi:

Eksponensial funksiyaning hosilasini qanday topish mumkin?

Hozir ko'rib chiqilgan texnikani - logarifmik lotinni ishlatish kerak. Biz logarifmalarni ikkala tomonga osib qo'yamiz:

Qoida tariqasida, daraja o'ng tarafdagi logarifma ostidan chiqariladi:

Natijada, o'ng tomonda biz ikkita formuladan iborat mahsulotga egamiz, ular standart formulaga muvofiq farqlanadi. .

Biz lotinni topamiz, buning uchun biz ikkala qismni zarbalar ostida yopamiz:

Boshqa harakatlar oddiy:

Nihoyat:

Agar biror o'zgarish aniq bo'lmasa, 11-misolning tushuntirishlarini diqqat bilan qayta o'qing.

Amaliy topshiriqlarda eksponensial funktsiya har doim ko'rib chiqilgan ma'ruza misolidan ko'ra murakkabroq bo'ladi.

Misol 13

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz logarifmik lotinni ishlatamiz.

O'ng tomonda bizda doimiy va ikkita omilning hosilasi - "x" va "x logarifmining logarifmi" (boshqa logarifma logarifm ostida joylashgan). Biz eslaganimizdek, doimiyni farqlashda, derivativning belgisini oyoq ostiga qo'yib yubormaslik uchun darhol chiqarib olish yaxshiroqdir; va, albatta, biz tanish qoidani qo'llaymiz :

Ko'rib turganingizdek, logarifmik lotinni qo'llash algoritmida hech qanday maxsus hiyla -nayranglar mavjud emas va eksponensial funktsiyaning hosilasini topish odatda "azob" bilan bog'liq emas.

Derivativ formulaning chiqarilishi quvvat funktsiyasi(x a kuchiga). X ildizlarining hosilalari ko'rib chiqiladi. Yuqori darajali quvvat funktsiyasining hosilasi formulasi. Derivativlarni hisoblash misollari.

A ning kuchiga x ning hosilasi, minusning kuchiga teng x marta teng:
(1) .

$ X $ ning $ n $ ildizining $ mth $ kuchiga kelib chiqishi:
(2) .

Quvvat funktsiyasining hosilasi formulasini chiqarish

X> 0 holat

A o'zgaruvchisi x o'zgaruvchining quvvat funktsiyasini ko'rib chiqing:
(3) .
Bu erda a - ixtiyoriy haqiqiy son. Avval ishni ko'rib chiqing.

(3) funktsiyaning hosilasini topish uchun biz kuch funktsiyasining xususiyatlaridan foydalanamiz va uni quyidagi shaklga o'tkazamiz:
.

Endi biz lotinni qo'llash orqali topamiz:
;
.
Bu yerda .

Formula (1) isbotlangan.

N darajali ildizning x dan m darajagacha hosilasi formulasini chiqarish

Endi quyidagi shaklning ildizi bo'lgan funktsiyani ko'rib chiqing:
(4) .

Türevni topish uchun biz ildizni kuch funktsiyasiga aylantiramiz:
.
(3) formula bilan taqqoslaganda, buni ko'ramiz
.
Keyin
.

(1) formuladan foydalanib, biz hosilani topamiz:
(1) ;
;
(2) .

Amalda (2) formulani yodlashga hojat yo'q. Avval ildizlarni kuch funktsiyalariga aylantirish, so'ngra (1) formuladan foydalanib, ularning hosilalarini topish ancha qulayroqdir (sahifa oxiridagi misollarga qarang).

X = 0 holat

Agar bo'lsa, unda quvvat funktsiyasi x = o'zgaruvchining qiymati uchun ham aniqlanadi 0 ... (3) funktsiyasining x = da hosilasini topaylik 0 ... Buning uchun biz lotin ta'rifidan foydalanamiz:
.

X = ni almashtiring 0 :
.
Bunday holda, lotin yordamida biz o'ng qo'l chegarasini nazarda tutamiz.

Shunday qilib, biz topdik:
.
Demak, bu,.
Da , .
Da , .
Bu natija (1) formulada olinadi:
(1) .
Shuning uchun (1) formula x = uchun ham amal qiladi 0 .

X holat< 0

(3) funktsiyani yana ko'rib chiqing:
(3) .
A doimiyining ba'zi qiymatlari uchun x o'zgaruvchining salbiy qiymatlari uchun ham aniqlanadi. Ya'ni, ratsional son bo'lsin. Keyin uni qaytarilmaydigan fraktsiya sifatida ko'rsatish mumkin:
,
bu erda m va n umumiy bo'luvchi bo'lmagan butun sonlardir.

Agar n g'alati bo'lsa, kuch funktsiyasi x o'zgaruvchining salbiy qiymatlari uchun ham aniqlanadi. Masalan, n = uchun 3 va m = 1 bizda x ning ildiz ildizi bor:
.
Bundan tashqari, x o'zgaruvchining salbiy qiymatlari uchun ham belgilanadi.

Keling, aniqlangan a doimiyining ratsional qiymatlari uchun va (3) quvvat funktsiyasining hosilasini topaylik. Buning uchun biz x ni quyidagi shaklda ifodalaymiz:
.
Keyin,
.
Biz lotin belgisidan tashqaridagi doimiyni olib, murakkab funktsiyani farqlash qoidasini qo'llash orqali hosilani topamiz:

.
Bu yerda . Lekin
.
O'shandan beri
.
Keyin
.
Ya'ni (1) formulasi quyidagilar uchun ham amal qiladi:
(1) .

Yuqori darajadagi lotinlar

Endi biz kuch funktsiyasining yuqori darajadagi hosilalarini topamiz
(3) .
Biz allaqachon birinchi darajali lotinni topdik:
.

A doimiyini lotin belgisidan tashqariga olib, ikkinchi tartibli hosilani topamiz:
.
Xuddi shunday, biz uchinchi va to'rtinchi tartiblarning hosilalarini topamiz:
;

.

Bundan ko'rinib turibdiki ixtiyoriy n -tartibning hosilasi shunday ko'rinadi:
.

e'tibor bering, shuni agar a natural son bo'lsa,, keyin n -türev doimiydir:
.
Keyin barcha keyingi lotinlar nolga teng:
,
da .

Derivativ hisoblash misollari

Misol

Funktsiyaning hosilasini toping:
.

Yechim

Biz ildizlarni kuchlarga aylantiramiz:
;
.
Keyin asl funktsiya quyidagi shaklni oladi:
.

Quvvatlarning hosilalarini toping:
;
.
Konstantaning hosilasi nolga teng:
.

Ushbu video yordamida men lotinlar bo'yicha uzoq darsliklarni boshlayman. Bu darslik bir necha qismlarga bo'lingan.

Birinchidan, men sizga derivativlar nima ekanligini va ularni qanday sanashni aytaman, lekin murakkab tilda emas, balki men o'zim tushunganimdek va buni o'quvchilarimga qanday tushuntiraman. Ikkinchidan, biz muammolarni hal qilishning eng oddiy qoidasini ko'rib chiqamiz, bunda biz summaning türevlerini, farqning hosilalarini va kuch funktsiyasining hosilalarini qidiramiz.

Biz yanada murakkab kombinatsiyalangan misollarni ko'rib chiqamiz, ulardan siz, xususan, ildizlar va hatto kasrlarni o'z ichiga olgan o'xshash muammolarni kuch funktsiyasining hosilasi formulasi yordamida hal qilish mumkinligini bilib olasiz. Bundan tashqari, albatta, juda ko'p turli darajadagi murakkablikdagi vazifalar va echimlarga misollar bo'ladi.

Aslida, dastlab men 5 daqiqali qisqa videotasmani yozmoqchi edim, lekin nima bo'lganini o'zingiz ko'rasiz. So'zlar etarli - biz ishni boshlaylik.

Derivativ nima?

Shunday qilib, uzoqdan boshlaylik. Ko'p yillar oldin, daraxtlar yam -yashil bo'lib, hayot yanada qiziqarli bo'lganida, matematiklar bu haqda o'ylagan edilar: bizning grafigimiz bergan oddiy funktsiyani ko'rib chiqaylik, buni $ y = f \ chap (x \ o'ng) $ deb ataymiz. Albatta, grafik o'z -o'zidan mavjud emas, shuning uchun siz $ x $ o'qlarini, shuningdek $ y $ o'qini chizishingiz kerak. Keling, ushbu grafikdagi istalgan nuqtani tanlaylik. $ \ (X) _ (1)) $ deb nomlangan abscissa, ordinata, siz taxmin qilganingizdek, $ f \ left (((x) _ (1)) \ o'ng) $ bo'ladi.

Xuddi shu grafikdagi yana bir nuqtaga e'tibor bering. Qaysi biri muhim emas, asosiysi, u avvalgisidan farq qiladi. $ \ {(X) _ (2)) $, shuningdek ordinata - $ f \ chap (((x) _ (2)) \ o'ng) $ deb nomlangan abcissaga ega.

Shunday qilib, bizda ikkita nuqta bor: ularning xo'ppozlari har xil va shuning uchun har xil ma'nolar vazifalari ixtiyoriy bo'lsa -da. Planimetriya kursidan bilganlarimiz haqiqatan ham muhim: ikkita nuqta orqali siz to'g'ri chiziqni chizishingiz mumkin, bundan tashqari, faqat bittasi. Shunday qilib, uni o'tkazaylik.

Keling, abtsissa o'qiga parallel ravishda birinchisidan to'g'ri chiziq o'tkazaylik. Biz olamiz to'g'ri uchburchak... Buni $ ABC $, o'ng burchak $ C $ deb ataymiz. Bu uchburchak juda qiziq bir xususiyatga ega: haqiqat shundaki, $ \ alpha $ burchagi, aslida, $ AB $ chizig'ining abssissa o'qining davomi bilan kesishgan burchagiga tengdir. O'zingiz hukm qiling:

1. $ AC $ chizig'i qurilish bo'yicha $ Ox $ o'qiga parallel,
2. $ AB $ liniyasi $ AC $ bilan $ \ alpha $ ostida uchrashadi,
3. shuning uchun $ AB $ bir xil $ \ alpha $ ostida $ Ox $ bilan kesishadi.

$ \ Text () \! \! \ Alpha \! \! \ Text () $ haqida nima deyishimiz mumkin? Hech narsa aniq emas, faqat $ ABC $ uchburchagida $ BC $ oyog'ining $ AC $ ga nisbati aynan shu burchakning teginishiga teng. Shunday qilib, biz yozamiz:

Albatta, bu holda $ AC $ osonlik bilan hisoblanadi:

Xuddi shunday, $ BC $:

Boshqacha aytganda, biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:

\ [\ operatorname (tg) \ text () \! \! \ alpha \! \! \ text () = \ frac (f \ chap (((x) _ (2)) \ o'ng) -f \ chap ( ((x) _ (1)) \ o'ng)) (((x) _ (2)) - ((x) _ (1))) \]

Endi biz hamma narsani aniqladik, keling, grafigimizga qaytib, $ B $ ning yangi nuqtasini ko'rib chiqaylik. Eski qiymatlarni o'chiring va $ B $ ni $ ((x) _ (1)) $ ga yaqinroq joyga olib boring. Keling, yana uning abssissasini $ ((x) _ (2)) $ va ordinatini $ f \ chap (((x) _ (2)) \ o'ng) $ bilan belgilaymiz.

Yana $ ABC $ va $ \ text () \! \! \ Alpha \! \! \ Text () $ kichik uchburchagini ko'rib chiqaylik. Shubhasiz, bu mutlaqo boshqa burchak bo'ladi, teginish ham boshqacha bo'ladi, chunki $ AC $ va $ BC $ segmentlarining uzunligi sezilarli darajada o'zgardi va burchakning teginish formulasi umuman o'zgarmadi. - bu haligacha funktsiyaning o'zgarishi va argumentning o'zgarishi o'rtasidagi munosabatlar ...

Nihoyat, biz $ B $ ni $ A $ boshlang'ich nuqtasiga yaqinroq va yaqinroq davom ettirmoqdamiz, natijada uchburchak yanada kamayadi va $ AB $ segmentini o'z ichiga olgan chiziq tobora ko'proq teginishga o'xshaydi. funktsiya grafigi.

Natijada, agar siz nuqtalarga yaqinlashishni davom ettirsangiz, ya'ni masofani nolga kamaytirsangiz, $ AB $ to'g'ri chizig'i haqiqatan ham shu nuqtada grafaga tegib ketadi va $ \ text () \! \! \ Alpha \! \! \ Text () $ oddiy uchburchak elementidan grafigacha tegish va $ Ox $ o'qining musbat yo'nalishi orasidagi burchakka aylanadi.

Va bu erda biz $ f $ ta'rifiga muammosiz o'tamiz, ya'ni $ ((x) _ (1)) $ nuqtasidagi funktsiyaning hosilasi $ \ alfa $ burchagining tanjenti orasidagi burchakning tangensi deb ataladi. $ ((x) _ (1)) $ nuqtasidagi grafik va $ Ox $ o'qining ijobiy yo'nalishi:

\ [(f) "\ chap (((x) _ (1)) \ o'ng) = \ operator nomi (tg) \ matn () \! \! \ alfa \! \! \ matn () \]

Diagrammamizga qaytsak, shuni ta'kidlash kerakki, siz grafikning istalgan nuqtasini $ ((x) _ (1)) $ sifatida tanlashingiz mumkin. Masalan, xuddi shu muvaffaqiyat bilan biz rasmda ko'rsatilgan nuqtada insultni olib tashlashimiz mumkin edi.

Tangens va o'qning musbat yo'nalishi orasidagi burchak $ \ beta $ deb ataladi. Shunga ko'ra, $ f ($ x (x) _ (2)) $ da bu burchakning teginishiga teng bo'ladi $ \ beta $.

\ [(f) "\ chap (((x) _ (2)) \ o'ng) = tg \ text () \! \! \ beta \! \! \ text () \]

Grafikning har bir nuqtasi o'ziga xos teginish chizig'iga ega bo'ladi va shuning uchun funktsiyaning o'ziga xos qiymati bo'ladi. Bu holatlarning har birida, biz farqni yoki yig'indini yoki kuch funktsiyasining hosilasini qidiradigan nuqtaga qo'shimcha ravishda, undan bir oz masofada joylashgan boshqa nuqtani olish kerak bo'ladi. bu nuqtani boshlang'ich nuqtaga yo'naltiring va, albatta, bu jarayonda moyillik burchagi teginishini qanday o'zgartirishini bilib oling.

Quvvat funktsiyasining hosilasi

Afsuski, bu ta'rif bizga umuman to'g'ri kelmaydi. Bu formulalar, rasmlar, burchaklar bizga haqiqiy lotinni qanday hisoblash haqida hech qanday tasavvur bermaydi. haqiqiy vazifalar... Shunday qilib, keling, rasmiy ta'rifdan biroz chetga chiqaylik va haqiqiy muammolarni hal qilishning yanada samarali formulalari va usullarini ko'rib chiqaylik.

Eng oddiy konstruktsiyalardan boshlaylik, ya'ni $ y = ((x) ^ (n)) $ shaklining funktsiyalari, ya'ni. quvvat funktsiyalari. Bu holda biz quyidagilarni yozishimiz mumkin: $ (y) "= n \ cdot ((x) ^ (n-1)) $. Boshqacha qilib aytganda, eksponentda bo'lgan daraja oldingi multiplikatorda ko'rsatilgan. va eksponentning o'zi birlikka kamayadi. Masalan:

\ [\ boshlash (tekislash) & y = ((x) ^ (2)) \\ & (y) "= 2 \ cdot ((x) ^ (2-1)) = 2x \\\ oxiri (tekislash) \]

Mana boshqa variant:

\ [\ boshlash (tekislash) va y = ((x) ^ (1)) \\ & (y) "= ((\ chap (x \ o'ng)) ^ (\ bosh)) = 1 \ cdot ((x ) ^ (0)) = 1 \ cdot 1 = 1 \\ & ((\ chap (x \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = 1 \\\ oxiri (tekislash) \]

Ushbu oddiy qoidalardan foydalanib, keling, quyidagi misollarning zarbasini olib tashlashga harakat qilaylik:

Shunday qilib, biz olamiz:

\ [((\ chap (((x) ^ (6)) \ o'ng)) ^ (\ tub)) = 6 \ cdot ((x) ^ (5)) = 6 ((x) ^ (5)) \]

Endi ikkinchi ifodani hal qilaylik:

\ [\ boshlash (tekislash) va f \ chap (x \ o'ng) = ((x) ^ (100)) \\ & ((\ chap (((x) ^ (100)) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = 100 \ cdot ((x) ^ (99)) = 100 ((x) ^ (99)) \\\ oxiri (tekislash) \]

Albatta, ular juda yaxshi edilar oddiy vazifalar... Biroq, haqiqiy muammolar murakkabroq va ular faqat funksiyaning vakolatlari bilan chegaralanmaydi.

Shunday qilib, 1 -sonli qoida - agar funktsiya boshqa ikkisi ko'rinishida berilgan bo'lsa, unda bu summaning hosilasi hosilalarning yig'indisiga teng:

\ [((\ chap (f + g \ o'ng)) ^ (\ tub)) = (f) " + (g)" \]

Xuddi shunday, ikkita funktsiya farqining hosilasi hosilalarning farqiga teng:

\ [((\ chap (f-g \ o'ng)) ^ (\ tub)) = (f) "- (g)" \]

\ [((\ chap (((x) ^ (2)) + x \ o'ng))) ^ (\ boshlang'ich)) = ((\ chap (((x) ^ (2)) \ o'ng)) ^ (\ bosh)) + ((\ chap (x \ o'ng)) ^ (\ tub)) = 2x + 1 \]

Yana bir muhim qoida bor: agar $ f $ oldida bu funktsiya ko'paytiriladigan doimiy $ c $ bo'lsa, unda butun qurilishning $ f $ quyidagicha hisoblanadi:

\ [((\ chap (c \ cdot f \ o'ng)) ^ (\ tub)) = c \ cdot (f) "\]

\ [((\ chap) (3 ((x) ^ (3)) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = 3 ((\ chap (((x) ^ (3)) \ o'ng)) ^ (\ bosh)) = 3 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) = 9 ((x) ^ (2)) \]

Va nihoyat, yana bir muhim qoida: muammolarda odatda $ x $ bo'lmagan alohida atama mavjud. Masalan, bugungi ifodalarimizda buni kuzatishimiz mumkin. Doimiy, ya'ni $ x $ ga bog'liq bo'lmagan raqamning hosilasi har doim nolga teng va doimiy $ c $ nima bo'lishidan qat'iy nazar:

\ [((\ chap (c \ o'ng)) ^ (\ tub)) = 0 \]

Yechim misoli:

\ [((\ chap (1001 \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = ((\ chap (\ frac (1) (1000) \ o'ng)) ^ (\ bosh)) = 0 \]

Yana bir bor asosiy fikrlar:

1. Ikki funktsiya yig'indisining hosilasi har doim lotin yig'indisiga teng: $ ((\ chap (f + g \ o'ng)) ^ (\ bosh)) = (f) " + (g)" $;
2. Shunga o'xshash sabablarga ko'ra, ikkita funktsiya farqining hosilasi ikkita hosilaning farqiga teng: $ ((\ chap (f-g \ o'ng)) ^ (\ bosh)) = (f) "- (g)" $;
3. Agar funktsiya doimiy omilga ega bo'lsa, unda bu doimiyni hosila belgisidan tashqariga ko'chirish mumkin: $ ((\ chap (c \ cdot f \ o'ng)) ^ (\ bosh)) = c \ cdot (f) "$;
4. Agar butun funktsiya doimiy bo'lsa, uning hosilasi har doim nolga teng bo'ladi: $ ((\ chap (c \ o'ng)) ^ (\ bosh)) = 0 $.

Keling, bularning barchasi haqiqiy misollar bilan qanday ishlashini ko'rib chiqaylik. Shunday qilib:

Biz yozamiz:

\ [\ boshlash (tekislash) va ((\ chap (((x) ^ (5)) - 3 ((x) ^ (2)) + 7 \ o'ng)) ^ (\ tub)) = ((\ chap (((x) ^ (5)) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) - ((\ chap (3 ((x) ^ (2)) \ o'ng)) ^ (\ bosh)) + (7) "= \\ & = 5 ((x) ^ (4)) - 3 ((\ chap (((x) ^ (2)) \ o'ng)) ^ (\ tub)) + 0 = 5 ((x) ^ (4)) - 6x \\\ oxiri (tekislash) \]

Bu misolda biz yig'indining hosilasini ham, farqning hosilasini ham ko'ramiz. Hammasi bo'lib, lotin $ 5 ((x) ^ (4)) - 6x $.

Ikkinchi funktsiyaga o'tish:

Biz yechimni yozamiz:

\ [\ boshlash (tekislash) va ((\ chap (3 ((x) ^ (2)) - 2x + 2 \ o'ng))) ^ (\ tub)) = ((\ chap (3 ((x) ^) 2)) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) - ((\ chap (2x \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) + (2) "= \\ & = 3 ((\ chap (((x)) ^ (2)) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich))-2 (x) "+ 0 = 3 \ cdot 2x-2 \ cdot 1 = 6x-2 \\\ oxiri (tekislash) \]

Shunday qilib, biz javobni topdik.

Keling, uchinchi funktsiyaga o'taylik - bu jiddiyroq:

\ [\ boshlash (tekislash) & ((\ chap (2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2))) + \ frac (1) (2) x -5 \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = ((\ chap (2 ((x) ^ (3)) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) - ( )) ^ (\ boshlang'ich)) + ((\ chap (\ frac (1) (2) x \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) - (5) "= \\ & = 2 ((\ chap (( (x) ^ (3)) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) - 3 ((\ chap (((x) ^ (2)) \ o'ng)) ^ (\ bosh)) + \ frac (1) (2) \ cdot (x) "= 2 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) - 3 \ cdot 2x + \ frac (1) (2) \ cdot 1 = 6 ((x) ^ (2) ) -6x + \ frac (1) (2) \\\ oxiri (tekislash) \]

Biz javobni topdik.

Oxirgi ifodaga o'tish - eng murakkab va eng uzun:

Shunday qilib, biz ko'rib chiqamiz:

\ [\ boshlash (tekislash) & ((\ chap (6 ((x) ^ (7)) - 14 ((x) ^ (3)) + 4x + 5 \ o'ng))) ^) (\ chap (6 ((x) ^ (7)) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) - ((\ chap (14 ((x) ^ (3)) \ o'ng)) ^ (\ bosh)) + ((\ chap (4x \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) + (5) "= \\ & = 6 \ cdot 7 \ cdot ((x) ^ (6)) - 14 \ cdot 3 ((x ) ^ (2)) + 4 \ cdot 1 + 0 = 42 ((x) ^ (6)) - 42 ((x) ^ (2)) + 4 \\\ end (align) \]

Ammo yechim shu bilan tugamaydi, chunki bizdan nafaqat zarbani olib tashlash, balki uning qiymatini ma'lum bir nuqtada hisoblash talab qilinadi, shuning uchun biz ifodada $ x $ o'rniga -1 ni almashtiramiz:

\ [(y) "\ chap (-1 \ o'ng) = 42 \ cdot 1-42 \ cdot 1 + 4 = 4 \]

Davom eting va yanada murakkab va qiziqarli misollarga o'ting. Gap shundaki, $ \ {(\ chap (((x) ^ (n)) \ o'ng)) ^ (\ bosh)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1) ) $ odatdagidan ko'ra kengroq dasturlarga ega. Uning yordami bilan siz misollarni kasrlar, ildizlar va boshqalar bilan hal qilishingiz mumkin. Bu biz hozir qilmoqchi bo'lgan narsa.

Boshlash uchun, quvvat funktsiyasining hosilasini topishga yordam beradigan formulani yana yozamiz:

Endi diqqat: hozircha biz faqat $ n $ ni ko'rib chiqdik butun sonlar ammo, biz kasrlarni va hatto manfiy sonlarni ko'rib chiqishga aralashmaymiz. Masalan, biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:

\ [\ boshlash (tekislash) va \ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \\ & ((\ chap (\ sqrt (x) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = ( ^ (- \ frac (1) (2))) = \ frac (1) (2) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (x)) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \\\ tugatish (tekislash) \]

Hech qanday murakkab narsa yo'q, shuning uchun keling, bu formula bizga murakkab muammolarni hal qilishda qanday yordam berishini ko'rib chiqaylik. Shunday qilib, misol:

Biz yechimni yozamiz:

\ [\ boshlash (tekislash) va \ chap (\ sqrt (x) + \ sqrt (x) + \ sqrt (x) \ o'ng) = ((\ chap (\ sqrt (x) \ o'ng)) ^ (\ bosh )) ((\ chap (\ sqrt (x) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) + ((\ chap (\ sqrt (x) \ o'ng)) ^ (\ bosh)) \\ & ((\ chap (\ sqrt (x) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \\ & ((\ chap (\ sqrt (x) \ o'ng)) ^ ( \ boshlang'ich)) = ( ) ^ (- \ frac (2) (3))) = \ frac (1) (3) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (((x) ^ (2)))) \\ & (( \ chap (\ sqrt (x) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = ((\ chap (((x) ^ (\ frac (1) (4))) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = \ frac (1) (4) ((x) ^ (- \ frac (3) (4))) = \ frac (1) (4) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (((x)) ^ (3)))) \\\ oxiri (tekislash) \]

Bizning misolimizga qayting va yozing:

\ [(y) "= \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) + \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) + \ frac (1) (4) \ sqrt (((x) ^ (3))))]]

Mana, qiyin qaror.

Ikkinchi misolga o'tamiz - atigi ikkita atama bor, lekin ularning har birida klassik daraja ham, ildiz ham bor.

Endi biz kuch funktsiyasining türevini qanday topishni bilib olamiz, unga qo'shimcha ravishda ildiz kiradi:

\ [\ boshlash (tekislash) va ((\ chap (((x) ^ (3)) \ sqrt (((x) ^ (2))) + ((x) ^ (7)) \ sqrt (x) \ o'ng]) ^ (\ boshlang'ich)) = ((\ chap (((x) ^ (3)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2))) \ o'ng)) ^ (\ bosh)) = ((\ chap (((x) ^ (3))) \ cdot ((x) ^ (\ frac (2) (3))) \ o'ng)) ^ (\ bosh)) = \\ & = (( \ chap (((x) ^ (3+ \ frac (2) (3))) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = ((\ chap (((x) ^ (\ frac (11) (3) ))) \ o'ng)) ^ (\ tub)) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (\ frac (8) (3))) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2 \ frac (2) (3))) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2) ))) \\ & ((\ chap (((x) ^ (7)) \ cdot \ sqrt (x) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = ( )) \ cdot ((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = ((\ chap (((x) ^ (7 \ frac (1)) 3) ))) \ o'ng)) ^ (\ bosh)) = 7 \ frac (1) (3) \ cdot ((x) ^ (6 \ frac (1) (3))) = \ frac (22) (3) ) \ cdot ((x) ^ (6)) \ cdot \ sqrt (x) \\\ oxiri (tekislash) \]

Ikkala shart ham hisoblab chiqilgan, oxirgi javobni yozish qoladi:

\ [(y) "= \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2))) + \ frac (22) (3) \ cdot ((x) ^ (6)) \ cdot \ sqrt (x) \]

Biz javobni topdik.

Quvvat funktsiyasi bo'yicha kasrning hosilasi

Hatto, bunda ham quvvat funktsiyasining hosilasini yechish formulasining imkoniyatlari tugamaydi. Gap shundaki, uning yordami bilan siz nafaqat ildizli misollarni, balki kasrlarni ham sanashingiz mumkin. Bu kamdan -kam uchraydigan imkoniyat, bu misollar echimini ancha soddalashtiradi, lekin shu bilan birga uni nafaqat talabalar, balki o'qituvchilar ham e'tiborsiz qoldiradilar.

Shunday qilib, endi biz bir vaqtning o'zida ikkita formulani birlashtirishga harakat qilamiz. Bir tomondan, quvvat funktsiyasining klassik hosilasi

\ [((\ chap) (((x) ^ (n)) \ o'ng)) ^ (\ bosh)] = n \ cdot ((x) ^ (n-1)) \]

Boshqa tomondan, $ \ frac (1) ((((x) ^ (n)))) $ kabi ifodani $ ((x) ^ (- n)) $ sifatida ifodalash mumkinligini bilamiz. Demak,

\ [\ chap (\ frac (1) (((x) ^ (n))) \ o'ng) "= ((\ chap ((x) ^ (- n)) \ o'ng)) ^ (\ bosh) ) = - n \ cdot ((x) ^ ( - n -1)) = - \ frac (n) (((x) ^ (n + 1))) \]

\ [((\ chap (\ frac (1) (x) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = \ chap (((x) ^ ( - 1)) \ o'ng) = - 1 \ cdot ((x ) ^ ( - 2)) = - \ frac (1) ((((x) ^ (2))) \]

Shunday qilib, oddiy kasrlarning hosilalari, bu erda hisoblagich doimiy va maxraj daraja bo'lib, klassik formula yordamida ham hisoblab chiqiladi. Keling, bu amalda qanday ishlashini ko'rib chiqaylik.

Shunday qilib, birinchi funktsiya:

\ [((\ chap (\ frac (1) ((((x) ^ (2))) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = ((\ chap (((x) ^ (- 2))) o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = - 2 \ cdot ((x) ^ ( - 3)) = - \ frac (2) (((x) ^ (3))) \]

Birinchi misol hal qilindi, ikkinchisiga o'tamiz:

\ [\ boshlash (tekislash) va ((\ chap (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) - \ frac (2) (3 ((x) ^ (3))) + \ frac (5) (2) ((x) ^ (2)) + 2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (4)) \ o'ng)) ^ (\ tub)) = \ \ & = ((\ chap (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) - ((\ chap (\ frac (2)) (3 (( x) ^ (3))) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) + ((\ chap (2 ((x) ^ (3)) \ o'ng)) ^ (\ tub)) - ((\ chap ( 3 ((x) ^ (4)) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) \\ & ((\ chap (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = \ frac (7) (4) ((\ chap (\ frac (1) (((x) ^ (4)) \ o'ng)) ^ (\ bosh)) = \ frac (7) ) (4) \ cdot ((\ chap (((x) ^ (- 4)) \ o'ng)) ^ (\ bosh)) = \ frac (7) (4) \ cdot \ chap (-4 \ o'ng) \ cdot ((x) ^ (- 5)) = \ frac (-7) (((x) ^ (5))) \\ & ((\ chap (\ frac (2)) (3 ((x) ^ (3))) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = \ frac (2) (3) \ cdot ((\ chap (\ frac (1) (((x) ^ (3))) \ o'ng) ^ (\ boshlang'ich)) = \ frac (2) (3) \ cdot ((\ chap (((x) ^ (- 3)) \ o'ng)) ^ (\ bosh)) = \ frac (2) ( 3) \ cdot \ chap (-3 \ o'ng) \ cdot ((x) ^ (-4)) = \ frac (-2) (((x) ^ (4))) \\ & ((\ chap ( \ frac (5) (2) ((x) ^ (2)) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = \ frac (5) (2) \ cdot 2x = 5x \\ & ((\ chap (2) ((x) ^ (3)) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = 2 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) = 6 ((x) ^ (2)) \\ & ((\ chap (3 ((x) ^ (4)) \ o'ng)) ^ (\ asosiy)) = 3 \ cdot 4 ((x) ^ (3)) = 12 ((x) ^ (3)) \\\ oxiri (tekislash) \] ...

Endi biz ushbu atamalarning barchasini bitta formulada to'playmiz:

\ [(y) "= - \ frac (7) (((x) ^ (5))) + \ frac (2) ((((x) ^ (4))) + 5x + 6 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (3)) \]

Biz javob oldik.

Biroq, davom etishdan oldin, men sizning e'tiboringizni asl iboralarni yozish shakliga qaratmoqchiman: birinchi ifodada $ f \ left (x \ right) = ... $, ikkinchisida: $ y = ... $ Ko'plab talabalar yozishning turli shakllarini ko'rib, adashib qolishadi. $ F \ chap (x \ o'ng) $ va $ y $ o'rtasidagi farq nima? Aslida, hech narsa. Ular bir xil ma'noga ega bo'lgan turli xil yozuvlar. $ F \ chap (x \ o'ng) $ deganimizda, u holda keladi, birinchi navbatda, funktsiya haqida va $ y $ haqida gap ketganda, ko'pincha funktsiya grafigi nazarda tutiladi. Aks holda, bu bir xil, ya'ni ikkala holatda ham lotin bir xil deb hisoblanadi.

Derivativlar bilan bog'liq murakkab muammolar

Xulosa qilib shuni aytmoqchimanki, biz ko'rib chiqqan hamma narsa birdaniga qo'llaniladigan bir nechta murakkab vazifalarni ko'rib chiqmoqchiman. Ularda bizni ildizlar, kasrlar va summalar kutmoqda. Biroq, bu misollar faqat bugungi videodarslik doirasida qiyin bo'ladi, chunki sizni oldinda derivativlarning chindan ham murakkab funktsiyalari kutib turadi.

Shunday qilib, bugungi video darslikning yakuniy qismi ikkita birlashtirilgan vazifadan iborat. Birinchisidan boshlaylik:

\ [\ boshlash (tekislash) va ((\ chap (((x) ^ (3)) - \ frac (1) ((((x) ^ (3))) + \ sqrt (x) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = ((\ chap (((x) ^ (3)) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) - ( )) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) + \ chap (\ sqrt (x) \ o'ng) \\ & ((\ chap (((x) ^ (3)) \ o'ng)) ^ (\ bosh) ) = 3 ((x) ^ (2)) \\ & ((\ chap (\ frac (1) (((x) ^ (3))) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = ((\ chap (((x) ^ ( - 3)) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = - 3 \ cdot ((x) ^ ( - 4)) = - \ frac (3) (((x) ^ (4))) \\ & ((\ chap (\ sqrt (x) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = ((\ chap (((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ o'ng]) ^ (\ asosiy)) = \ frac (1) (3) \ cdot \ frac (1) (((x) ^ (\ frac (2) (3)))) = \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) \\\ oxiri (tekislash) \]

Funktsiyaning hosilasi quyidagicha:

\ [(y) "= 3 ((x) ^ (2)) - \ frac (3) (((x) ^ (4))) + \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2))))]]

Birinchi misol hal qilinadi. Keling, ikkinchi vazifani ko'rib chiqaylik:

Ikkinchi misolda biz xuddi shunday davom etamiz:

\ [((\ chap (- \ frac (2) (((x) ^ (4))) + \ sqrt (x) + \ frac (4) (x \ sqrt (((x) ^ (3))) )) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = ((\ chap (- \ frac (2) (((x) ^ (4))) \ o'ng)) ^ (\ bosh)) + ((\ chap (\ sqrt (x) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) + ((\ chap (\ frac (4) (x \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) \]

Keling, har bir atamani alohida sanaymiz:

\ [\ boshlang (tekislang) va ((x) ^ (- 4)) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) =- 2 \ cdot \ chap (-4 \ o'ng) \ cdot ((x) ^ (- 5)) = \ frac (8) ) (((x) ^ (5))) \\ & ((\ chap (\ sqrt (x) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = ((\ chap (((x) ^ (\ frac ( 1) (4))) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = \ frac (1) (4) \ cdot ((x) ^ (- \ frac (3) (4))) = \ frac (1) ) (4 \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) \ frac (1) (4 \ sqrt (((x) ^ (3)))) \\ & ((\ chap (\ frac (4) (x \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \ o'ng)) ^ (\ tub)) = ((\ chap (\ frac (4)) ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = ((\ chap (\ frac (4) (((x) ^ (1 \ frac (3)) (4)))) \ o'ng)) ^ (\ boshlang'ich)) = 4 \ cdot ((\ chap (((x) ^ (- 1 \ frac (3) (4))) \ o'ng)) ^ ( \ boshlang'ich)) = \\ & = 4 \ cdot \ chap (-1 \ frac (3) (4) \ o'ng) \ cdot ((x) ^ (- 2 \ frac (3) (4))) = 4 \ cdot \ chap (- \ frac (7) (4) \ o'ng) \ cdot \ frac (1) (((x) ^ (2 \ frac (3) (4)))) = \ frac (-7) (((x) ^ (2)) \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) = - \ frac (7) (((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt ((((x) ^ (3))))) \\\ oxiri (tekislang) \]

Barcha shartlar hisoblab chiqilgan. Endi biz asl formulaga qaytamiz va uchta atamani birgalikda qo'shamiz. Biz yakuniy javob quyidagicha bo'lishini bilib olamiz:

\ [(y) "= \ frac (8) (((x) ^ (5))) + \ frac (1) (4 \ sqrt (((x) ^ (3))))) - \ frac (7) ) (((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3))))]]

Va bu hammasi. Bu bizning birinchi darsimiz edi. Keyingi darslarda biz yanada murakkab konstruktsiyalarni ko'rib chiqamiz, shuningdek, nima uchun lotinlarga umuman ehtiyoj borligini bilib olamiz.

Ko'rsatkichning hosilasi (e ning x kuchiga) va eksponent funktsiyasining (a ning x kuchiga) formulalarini isbotlash va hosil qilish. E ^ 2x, e ^ 3x va e ^ nx lotinlarini hisoblash misollari. Yuqori darajali lotin formulalari.

Ko'rsatkichning hosilasi eksponentning o'ziga tengdir (e ning x kuchiga tengligi x ning kuchiga teng):
(1) (e x) '= e x.

A darajali bazaga ega bo'lgan eksponensial funktsiyaning hosilasi funksiyaning o'ziga teng, ko'paytiriladi tabiiy logarifma a dan:
(2) .

Ko'rsatkichning hosilasi formulasini, e ni x kuchiga chiqarish

Ko'rsatkich - bu kuchning asosi e soniga teng bo'lgan eksponensial funktsiya, bu quyidagi chegaradir:
.
Bu erda ham tabiiy, ham haqiqiy raqam bo'lishi mumkin. Keyin, biz eksponensiya hosilasi uchun (1) formulani olamiz.

Tugma eksponent formulasini chiqarish

$ X $ ga teng bo'lgan eksponentni ko'rib chiqing:
y = e x.
Bu funksiya hamma uchun belgilangan. Keling, x o'zgaruvchiga nisbatan uning hosilasini topaylik. Ta'rif bo'yicha, lotin quyidagi chegaradir:
(3) .

Biz bu ifodani ma'lum matematik xususiyatlar va qoidalarga qisqartirish uchun o'zgartiramiz. Buning uchun bizga quyidagi faktlar kerak:
A) Eksponent xususiyati:
(4) ;
B) Logarifm xususiyati:
(5) ;
V) Logarifmning uzluksizligi va uzluksiz funktsiya uchun chegaralar xossasi:
(6) .
Bu erda chegaraga ega bo'lgan funktsiya va bu chegara ijobiy.
G) Ikkinchi ajoyib chegaraning ma'nosi:
(7) .

Biz bu faktlarni o'z chegaramizga qo'llaymiz (3). Biz mulkdan foydalanamiz (4):
;
.

Keling, almashtirishni amalga oshiraylik. Keyin; ...
Eksponentning uzluksizligi tufayli,
.
Shuning uchun, uchun. Natijada, biz olamiz:
.

Keling, almashtirishni amalga oshiraylik. Keyin. Da , . Va bizda:
.

Keling, logarifm (5) xususiyatini qo'llaylik:
... Keyin
.

Keling, mulkni qo'llaylik (6). Ijobiy chegara va logarifma uzluksiz bo'lgani uchun:
.
Bu erda biz ikkinchi ajoyib chegaradan ham foydalanganmiz (7). Keyin
.

Shunday qilib, biz eksponentning hosilasi uchun (1) formulasini oldik.

Ko'rsatkichli funksiyaning hosilasi formulasini chiqarish

Endi biz a darajali asosli eksponensial funktsiyani hosil qilish uchun (2) formulani olamiz. Biz bunga ishonamiz va. Keyin eksponensial funktsiya
(8)
Hamma uchun belgilangan.

(8) formulani o'zgartiramiz. Buning uchun biz foydalanamiz eksponensial xususiyatlar va logarifm.
;
.
Shunday qilib, biz (8) formulani quyidagi shaklga o'tkazdik:
.

E ning x darajali yuqori darajadagi hosilalari

Endi biz yuqori darajadagi buyurtmalarni topamiz. Avval eksponentni ko'rib chiqing:
(14) .
(1) .

Ko'ramizki, (14) funktsiyaning hosilasi (14) funktsiyasining o'ziga tengdir. (1) ni farq qilib, biz ikkinchi va uchinchi tartibli lotinlarni olamiz:
;
.

Demak, n -tartibning hosilasi ham asl funktsiyaga teng ekanligini ko'rish mumkin:
.

Ko'rsatkichli funksiyaning yuqori darajadagi hosilalari

Endi radius a darajali eksponensial funktsiyani ko'rib chiqing:
.
Biz uning birinchi darajali lotinini topdik:
(15) .

(15) ni farq qilib, biz ikkinchi va uchinchi tartibli lotinlarni olamiz:
;
.

Ko'ramizki, har bir differentsiatsiya asl funktsiyani ko'paytirishga olib keladi. Shunday qilib, n -tartibli lotin quyidagi shaklga ega:
.

Türev topish operatsiyasiga differentsiatsiya deyiladi.

Derivativlarning o'sishining argumentlar soniga nisbati chegarasi sifatida derivativlar jadvali va aniq belgilangan differentsiatsiya qoidalarini belgilab, eng oddiy (va unchalik oddiy bo'lmagan) funktsiyalar uchun lotin topish masalalarini hal qilish natijasida. paydo bo'ldi. Derivativlarni topish sohasida birinchi bo'lib Isaak Nyuton (1643-1727) va Gotfrid Vilgelm Leybnits (1646-1716) bor edi.

Shuning uchun, bizning vaqtimizda, har qanday funktsiyani hosilasini topish uchun, funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbatining yuqorida ko'rsatilgan chegarasini hisoblash shart emas, lekin siz faqat lotinlar jadvali va farqlash qoidalari. Quyidagi algoritm lotinni topish uchun mos keladi.

Derivativni topish uchun, sizga zarba belgisi ostida ifoda kerak oddiy funktsiyalarni qismlarga ajratish va qanday harakatlarni aniqlang (mahsulot, summa, miqdor) bu funktsiyalar o'zaro bog'liq. Bundan tashqari, elementar funktsiyalarning hosilalari derivativlar jadvalida, mahsulotning hosilalari, yig'indisi va bo'linmalarining formulalari differentsiatsiya qoidalarida keltirilgan. Derivativ jadval va farqlash qoidalari birinchi ikkita misoldan keyin berilgan.

Misol 1. Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim. Differentsiya qoidalaridan shuni bilib olamizki, funktsiyalar yig'indisining hosilasi funktsiyalar hosilasi yig'indisidir, ya'ni.

Derivativlar jadvalidan shuni bilamizki, "x" ning hosilasi bitta, sinusning hosilasi esa kosinusga teng. Biz bu qiymatlarni hosilalar yig'indisiga almashtiramiz va masalaning sharti talab qiladigan lotinni topamiz:

2 -misol. Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim. Biz yig'indining hosilasi sifatida farq qilamiz, bunda ikkinchi omil doimiy omil bilan hosilaning belgisidan chiqarilishi mumkin:

Agar qaerdan kelib chiqishi haqida savollar bo'lsa, ular, qoida tariqasida, derivativlar jadvali va farqlashning eng oddiy qoidalari bilan tanishgandan so'ng aniqroq bo'ladi. Biz hozir ularga boramiz.

Oddiy funktsiyalarning lotin jadvali

1. Konstantaning (sonning) hosilasi. Funktsiya ifodasida joylashgan har qanday son (1, 2, 5, 200 ...). Har doim nol. Buni eslash juda muhim, chunki u tez -tez talab qilinadi
2. Mustaqil o'zgaruvchining hosilasi. Ko'pincha "x". Har doim biriga teng. Buni uzoq vaqt eslab qolish ham muhim.
3. Derivativ daraja. Muammolarni hal qilishda siz kvadrat bo'lmagan ildizlarni kuchga aylantirishingiz kerak.
4. O'zgaruvchining -1 ga teng bo'lgan hosilasi
5. Kvadrat ildizning hosilasi
6. Sinusning hosilasi
7. Kosinusning hosilasi
8. Tangensning hosilasi
9. Kotangensning hosilasi
10. Arcine hosilasi
11. Arxosinning hosilasi
12. Arktangentning hosilasi
13. Ark yoy kotangensining hosilasi
14. Tabiiy logarifmning hosilasi
15. Logarifmik funksiyaning hosilasi
16. Ko'rsatkichning hosilasi
17. Ko'rsatkichli funksiyaning hosilasi

Differentsiya qoidalari

1. Summa yoki farqning hosilasi
2. Asarning hosilasi
2a. O'zgarmas omilga ko'paytiriladigan iboraning hosilasi
3. Qismning hosilasi
4. Murakkab funksiyaning hosilasi

1 -qoida.Agar funktsiyalar bo'lsa

bir vaqtning o'zida funktsiyalarni farqlash mumkin

bundan tashqari

o'sha. funktsiyalarning algebraik yig'indisining hosilasi bu funktsiyalarning lotinlarining algebraik yig'indisiga teng.

Natijada. Agar ikkita farqlanadigan funktsiya doimiy atama bilan farq qilsa, ularning hosilalari tengdir, ya'ni

2 -qoida.Agar funktsiyalar bo'lsa

bir vaqtning o'zida farqlanishi mumkin, keyin o'sha paytda ularning mahsuloti ham farqlanadi

bundan tashqari

o'sha. ikkita funktsiya mahsulotining hosilasi, bu funktsiyalarning har birining ikkinchisining hosilalari yig'indisiga teng.

Xulosa 1. Doimiy omilni lotin belgisidan tashqariga ko'chirish mumkin:

Xulosa 2. Bir nechta differentsiallashtiriladigan funktsiyalar mahsulotining hosilasi, qolgan barcha omillarning har birining hosilasi mahsulotlarining yig'indisiga teng.

Masalan, uchta omil uchun:

3 -qoida.Agar funktsiyalar bo'lsa

bir nuqtada farqlanishi mumkin va , keyin bu nuqtada farqlanadi va ularning kotirovkasiu / v va

o'sha. ikki funktsiyali bo'lakning hosilasi kasrga teng, uning ayiruvchisi maxraj va maxrajning hosilasi va sonining hosilasi va maxrajning hosilasi o'rtasidagi farqdir va maxraj - oldingi hisoblagich.

Boshqa sahifalarda nimani qidirish kerak

Haqiqiy muammolarda mahsulotning lotinini va kotirovkasini topishda har doim bir vaqtning o'zida bir nechta farqlash qoidalarini qo'llash kerak bo'ladi, shuning uchun maqolada bu lotinlar haqida ko'proq misollar keltirilgan."Asar va ma'lum bir funktsiyani hosil qilish".

Sharh. Konstantani (ya'ni, sonni) yig'indisi va doimiy omil sifatida aralashtirib yubormang! Termin holatida uning hosilasi nolga teng, doimiy faktor bo'lsa, u lotin belgisidan chiqariladi. Bu sodir bo'ladigan odatiy xato boshlang'ich bosqich lotinlarni o'rganish, lekin bir yoki ikkita komponentli misollar yechiladi o'rtacha talaba endi bu xatoga yo'l qo'ymaydi.

Va agar biror ishni yoki biror narsani farqlashda sizda muddat bo'lsa u"v, qaysi ichida u- raqam, masalan, 2 yoki 5, ya'ni doimiy, keyin bu sonning hosilasi nolga teng bo'ladi va shuning uchun butun atama nolga teng bo'ladi (bu holat 10 -misolda tahlil qilingan).

Yana bir keng tarqalgan xato - bu murakkab funktsiyani oddiy funksiyaning hosilasi sifatida mexanik yechimi. Shunung uchun murakkab funksiyaning hosilasi alohida maqola ajratilgan. Lekin birinchi navbatda biz oddiy funktsiyalarning hosilalarini topishni o'rganamiz.

Yo'l davomida siz ifodali o'zgarishsiz qilolmaysiz. Buning uchun sizga darsliklarni yangi oynalarda ochish kerak bo'lishi mumkin Kuchlar va ildizlarga ega harakatlar va Fraktsiya harakatlari .

Agar siz kuchlar va ildizlarga ega bo'lgan kasrlarning hosilalariga, ya'ni funktsiya qanday ko'rinishga ega bo'lsa, echim izlayotgan bo'lsangiz , keyin "Kuchlar va ildizlar bilan kasrlar yig'indisining hosilasi" darsini kuzatib boring.

Agar sizda shunga o'xshash vazifa bo'lsa , keyin sizning darsingiz "Oddiy trigonometrik funktsiyalarning hosilalari".

Bosqichma -bosqich misollar - lotinni qanday topish mumkin

Misol 3. Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim. Biz funktsiya ifodasining qismlarini aniqlaymiz: butun ifoda mahsulotni ifodalaydi va uning omillari summa bo'lib, ikkinchisida atamalardan biri doimiy omilni o'z ichiga oladi. Biz mahsulotni farqlash qoidasini qo'llaymiz: ikkita funktsiya mahsulotining hosilasi, bu funktsiyalarning har birining ikkinchisining hosilalari yig'indisiga teng:

Keyin biz yig'indini farqlash qoidasini qo'llaymiz: funktsiyalarning algebraik yig'indisining hosilasi bu funktsiyalarning hosilalarining algebraik yig'indisiga teng. Bizning holatda, har bir so'mda, minus belgisi bilan ikkinchi muddat. Har bir summada biz mustaqil o'zgaruvchini ham ko'ramiz, uning hosilasi birga teng va doimiy (son), uning hosilasi nolga teng. Shunday qilib, "x" biz uchun bitta, minus 5 esa nolga aylanadi. Ikkinchi ifodada "x" 2 ga ko'paytiriladi, shuning uchun biz ikkisini "x" lotinining birligi bilan ko'paytiramiz. Biz lotinlarning quyidagi qiymatlarini olamiz:

Biz topilgan lotinlarni mahsulot yig'indisiga almashtiramiz va muammoning sharti talab qiladigan butun funktsiyani hosil qilamiz:

Misol 4. Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim. Bizdan kotirovka hosilasini topish talab qilinadi. Biz bo'linishni farqlash uchun formulani qo'llaymiz: ikkita funktsiyali bo'lakning hosilasi kasrga teng, uning ayirgichi maxrajning hosilasi bilan hisoblagichning hosilasi o'rtasidagi farq. denominator va maxraj oldingi raqamning kvadratidir. Biz olamiz:

Biz 2 -misoldagi hisoblagichdagi omillarning hosilasini topdik. Shuni unutmangki, hozirgi misolda hisoblagichning ikkinchi omili bo'lgan mahsulot minus belgisi bilan olingan:

Agar siz funktsiyalarning türevini topishingiz kerak bo'lgan muammolarning echimini izlayotgan bo'lsangiz, bu erda ildizlar va kuchlarning uzluksiz to'planishi, masalan. keyin darsga xush kelibsiz "Kuchli va ildizli kasrlar yig'indisining hosilasi" .

Agar sinus, kosinus, teginish va boshqa trigonometrik funktsiyalarning türevleri haqida ko'proq ma'lumotga ega bo'lishingiz kerak bo'lsa, ya'ni funksiya qanday ko'rinishda bo'lsa , keyin sizning darsingiz "Oddiy trigonometrik funktsiyalarning hosilalari" .

Misol 5. Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim. Bu funksiyada biz mahsulotni ko'ramiz, uning omillaridan biri mustaqil o'zgaruvchining kvadrat ildizi bo'lib, uning hosilasi biz lotinlar jadvalida tanishganmiz. Mahsulotni farqlash qoidasiga va kvadrat ildiz hosilasining jadval qiymatiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

Misol 6. Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim. Bu funksiyada biz dividend mustaqil o'zgaruvchining kvadrat ildizi bo'lgan qismni ko'ramiz. Biz 4 -misolda takrorlagan va qo'llagan qismni differentsiatsiya qilish qoidasiga va kvadrat ildiz hosilasining jadval qiymatiga ko'ra, biz:

Hisoblagichdagi kasrdan qutulish uchun hisoblagich va maxrajni ko'paytiring.