Rasmda y kx b grafiklari ko'rsatilgan. Chiziqli funksiya

Xususiyatlar va grafiklar uchun topshiriqlar kvadratik funktsiya amaliyot shuni ko'rsatadiki, jiddiy qiyinchiliklarga olib keladi. Bu juda g'alati, chunki kvadratik funktsiya 8-sinfda topshiriladi, keyin esa 9-sinfning butun birinchi choragida parabolaning xususiyatlarini "majburlab" chiqariladi va uning grafiklari turli parametrlar uchun chiziladi.

Buning sababi, o'quvchilarni parabolalarni qurishga majburlash, ular grafiklarni "o'qish" uchun amalda vaqt ajratmaydilar, ya'ni rasmdan olingan ma'lumotlarni tushunishni mashq qilmaydilar. Ko'rinib turibdiki, o'nlab grafiklarni qurib, aqlli talabaning o'zi formuladagi koeffitsientlar va grafikning ko'rinishi o'rtasidagi bog'liqlikni kashf etadi va shakllantiradi. Amalda, bu ishlamaydi. Bunday umumlashtirish uchun matematik mini-tadqiqotlarning jiddiy tajribasi talab qilinadi, bu, albatta, to'qqizinchi sinf o'quvchilarining ko'pchiligida yo'q. Ayni paytda, GIA koeffitsientlar belgilarini jadvalga muvofiq aniq belgilashni taklif qiladi.

Biz maktab o'quvchilaridan imkonsiz narsani talab qilmaymiz va shunchaki bunday muammolarni hal qilish algoritmlaridan birini taklif qilamiz.

Demak, shaklning funksiyasi y = ax 2 + bx + c kvadratik deyiladi, uning grafigi parabola. Nomidan ko'rinib turibdiki, asosiy atama bolta 2... Ya'ni a nolga teng bo'lmasligi kerak, boshqa koeffitsientlar ( b va Bilan) nolga teng bo'lishi mumkin.

Keling, uning koeffitsientlarining belgilari parabolaning ko'rinishiga qanday ta'sir qilishini ko'rib chiqaylik.

Koeffitsient uchun eng oddiy munosabat a... Aksariyat maktab o'quvchilari ishonch bilan javob berishadi: "agar a> 0, u holda parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltiriladi va agar a < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой a > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

V Ushbu holatda a = 0,5

Va hozir uchun a < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Ushbu holatda a = - 0,5

Koeffitsientning ta'siri Bilan kuzatish ham yetarlicha oson. Tasavvur qilaylik, biz nuqtadagi funksiyaning qiymatini topmoqchimiz X= 0. Formuladagi nolni almashtiring:

y = a 0 2 + b 0 + c = c... Shunday bo'ladi y = c... Ya'ni Bilan- parabolaning y o'qi bilan kesishgan nuqtasining ordinatasi. Odatda, bu nuqtani jadvalda topish oson. Va uning noldan yuqori yoki pastda yotishini aniqlang. Ya'ni Bilan> 0 yoki Bilan < 0.

Bilan > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Bilan < 0

y = x 2 + 4x - 3

Shunga ko'ra, agar Bilan= 0 bo'lsa, u holda parabola albatta koordinatadan o'tadi:

y = x 2 + 4x

Parametr bilan qiyinroq b... Biz uni topadigan nuqta nafaqat unga bog'liq b balki dan a... Bu parabolaning tepasi. Uning abtsissasi (o'q bo'ylab koordinata X) formula bo'yicha topiladi x in = - b / (2a)... Shunday qilib, b = - 2x v... Ya'ni, biz quyidagicha harakat qilamiz: diagrammada biz parabolaning yuqori qismini topamiz, uning abscissa belgisini aniqlaymiz, ya'ni nolning o'ng tomoniga qaraymiz ( x in> 0) yoki chapga ( x in < 0) она лежит.

Biroq, bu hammasi emas. Koeffitsient belgisiga ham e'tibor qaratishimiz kerak a... Ya'ni, parabolaning shoxlari qayerga yo'naltirilganligini ko'rish. Va shundan keyingina, formula bo'yicha b = - 2x v belgisini aniqlang b.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Filiallar yuqoriga yo'naltirilgan, bu degani a> 0, parabola o'qni kesib o'tadi da noldan past degani Bilan < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Demak b = - 2x v = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: a > 0, b < 0, Bilan < 0.

Chiziqli funksiya shaklning funksiyasi deyiladi y = kx + b barcha haqiqiy sonlar to'plamida berilgan. Bu yerda k- qiyalik (haqiqiy raqam), b – bepul muddat (haqiqiy raqam), x Mustaqil o'zgaruvchidir.

Muayyan holatda, agar k = 0, biz doimiy funktsiyani olamiz y = b, grafigi koordinatali nuqtadan oʻtuvchi Ox oʻqiga parallel toʻgʻri chiziq (0; b).

Agar b = 0, keyin biz funktsiyani olamiz y = kx, bu to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik.

b – segment uzunligi, Oy o'qi bo'ylab chiziq bilan kesilgan, boshlang'ichdan boshlab.

Koeffitsientning geometrik ma'nosi k – egilish burchagi Ox o'qining musbat yo'nalishiga to'g'ri chiziq, soat miliga teskari yo'nalishda hisoblanadi.

Chiziqli funksiya xususiyatlari:

1) Chiziqli funksiyaning sohasi butun real o'qdir;

2) Agar k ≠ 0, keyin chiziqli funktsiya qiymatlari diapazoni butun haqiqiy o'qdir. Agar k = 0, keyin chiziqli funktsiya qiymatlari diapazoni sondan iborat b;

3) Chiziqli funktsiyaning juftligi va toqligi koeffitsientlarning qiymatlariga bog'liq k va b.

a) b ≠ 0, k = 0, shuning uchun, y = b - juft;

b) b = 0, k ≠ 0, shuning uchun y = kx - toq;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, shuning uchun y = kx + b - umumiy funktsiya;

d) b = 0, k = 0, shuning uchun y = 0 - ham juft, ham toq funksiya.

4) Chiziqli funksiya davriylik xususiyatiga ega emas;

5) Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari:

ho'kiz: y = kx + b = 0, x = -b / k, shuning uchun (-b / k; 0)- abscissa o'qi bilan kesishish nuqtasi.

Oy: y = 0k + b = b, shuning uchun (0; b)- ordinata o'qi bilan kesishish nuqtasi.

Eslatma: Agar b = 0 va k = 0, keyin funksiya y = 0 o'zgaruvchining istalgan qiymati uchun yo'qoladi X... Agar b ≠ 0 va k = 0, keyin funksiya y = b o'zgaruvchining har qanday qiymati uchun yo'qolmaydi X.

6) Doimiy belgining intervallari k koeffitsientiga bog'liq.

a) k> 0; kx + b> 0, kx> -b, x> -b / k.

y = kx + b-da ijobiy x dan (-b / k; + ∞),

y = kx + b- da salbiy x dan (-∞; -b / k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b-da ijobiy x dan (-∞; -b / k),

y = kx + b- da salbiy x dan (-b / k; + ∞).

c) k = 0, b> 0; y = kx + b ta'rifning butun maydoni bo'yicha ijobiydir,

k = 0, b< 0; y = kx + b butun domen bo'ylab salbiy.

7) Chiziqli funktsiyaning monotonlik intervallari koeffitsientga bog'liq k.

k> 0, shuning uchun y = kx + b ta'rifning butun maydoni bo'ylab ortadi,

k< 0 , shuning uchun y = kx + b ta'rifning butun maydoni bo'ylab kamayadi.

8) Chiziqli funktsiyaning grafigi to'g'ri chiziqdir. To'g'ri chiziq qurish uchun ikkita nuqtani bilish kifoya. To'g'ri chiziqning koordinata tekisligidagi holati koeffitsientlarning qiymatlariga bog'liq k va b... Quyida buni aniq ko'rsatadigan jadval mavjud.

Chiziqli funktsiya y = kx + b ko'rinishdagi funktsiya bo'lib, bu erda x - mustaqil o'zgaruvchi, k va b - har qanday sonlar.
Chiziqli funktsiyaning grafigi to'g'ri chiziqdir.

1. Qurmoq funktsiya grafigi, bizga funksiya grafigiga tegishli ikkita nuqtaning koordinatalari kerak. Ularni topish uchun siz x ning ikkita qiymatini olishingiz, ularni funktsiya tenglamasiga almashtirishingiz va ulardan y ning tegishli qiymatlarini hisoblashingiz kerak.

Masalan, y = x + 2 funksiya grafigini tuzish uchun x = 0 va x = 3 ni olish qulay, u holda bu nuqtalarning ordinatalari y = 2 va y = 3 ga teng bo'ladi. Biz A (0; 2) va B (3; 3) nuqtalarini olamiz. Biz ularni bog'laymiz va y = x + 2 funksiya grafigini olamiz:

2. y = kx + b formulada k soni mutanosiblik koeffitsienti deyiladi:
agar k> 0 bo'lsa, u holda y = kx + b funksiya ortadi
agar k
B koeffitsienti funktsiya grafigining OY o'qi bo'ylab siljishini ko'rsatadi:
agar b> 0 bo'lsa, y = kx funksiya grafigidan b birliklarni OY o'qi bo'ylab yuqoriga siljitish orqali y = kx + b funktsiya grafigi olinadi.
agar b
Quyidagi rasmda y = 2x + 3 funksiyalarning grafiklari ko'rsatilgan; y = ½ x + 3; y = x + 3

E'tibor bering, bu funktsiyalarning barchasida k koeffitsienti mavjud Noldan yuqori, va funktsiyalari ortib boradi. Bundan tashqari, k qiymati qanchalik katta bo'lsa, to'g'ri chiziqning OX o'qining musbat yo'nalishiga moyillik burchagi shunchalik katta bo'ladi.

Barcha funktsiyalarda b = 3 - va biz barcha grafiklar OY o'qini (0; 3) nuqtada kesishganini ko'ramiz.

Endi y = -2x + 3 funksiyalarning grafiklarini ko'rib chiqing; y = - ½ x + 3; y = -x + 3

Bu safar barcha funksiyalarda koeffitsient k noldan kam, va funktsiyalari pasayish. Koeffitsient b = 3 va grafiklar, oldingi holatda bo'lgani kabi, OY o'qini (0; 3) nuqtada kesishadi.

y = 2x + 3 funksiyalarning grafiklarini ko'rib chiqing; y = 2x; y = 2x-3

Endi funksiyalarning barcha tenglamalarida k koeffitsientlari 2 ga teng. Va biz uchta parallel to'g'ri chiziq oldik.

Ammo b koeffitsientlari har xil va bu grafiklar OY o'qini turli nuqtalarda kesishadi:
y = 2x + 3 (b = 3) funktsiyaning grafigi OY o'qini (0; 3) nuqtada kesib o'tadi.
y = 2x (b = 0) funktsiyaning grafigi OY o'qini (0; 0) nuqtada - koordinatali nuqtada kesib o'tadi.
y = 2x-3 (b = -3) funktsiyaning grafigi OY o'qini (0; -3) nuqtada kesib o'tadi.

Demak, k va b koeffitsientlarning belgilarini bilsak, u holda y = kx + b funksiyaning grafigi qanday ko'rinishini darhol tasavvur qilishimiz mumkin.
Agar k 0

Agar k> 0 va b> 0, u holda y = kx + b funksiyaning grafigi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Agar k> 0 va b, u holda y = kx + b funksiyaning grafigi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Agar k bo'lsa, y = kx + b funksiyaning grafigi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Agar k = 0, u holda y = kx + b funksiya y = b funktsiyaga aylanadi va uning grafigi quyidagicha ko'rinadi:

y = b funksiya grafigining barcha nuqtalarining ordinatalari b If ga teng b = 0, u holda y = kx funktsiyaning grafigi (to'g'ridan-to'g'ri proporsionallik) koordinata boshidan o'tadi:

3. Alohida-alohida, x = a tenglamaning grafigini qayd etamiz. Bu tenglamaning grafigi OY o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziq bo'lib, uning barcha nuqtalari abtsissa x = a.

Masalan, x = 3 tenglamaning grafigi quyidagicha ko'rinadi:
Diqqat! x = a tenglama funksiya emas, shuning uchun argumentning bir qiymati mos keladi turli ma'nolar funksiya ta'rifiga mos kelmaydigan funksiya.

4. Ikki chiziqning parallelligi sharti:

y = k 1 x + b 1 funksiya grafigi y = k 2 x + b 2 funksiya grafigiga parallel, agar k 1 = k 2 bo lsa.

5. Ikki to'g'ri chiziqning perpendikulyarligi sharti:

y = k 1 x + b 1 funksiya grafigi k 1 * k 2 = -1 yoki k 1 = -1 / k 2 bo lsa, y = k 2 x + b 2 funksiya grafigiga perpendikulyar.

6. y = kx + b funktsiya grafigining koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari.

OY o'qi bilan. OY o'qiga tegishli har qanday nuqtaning abssissasi nolga teng. Demak, OY o'qi bilan kesishish nuqtasini topish uchun funksiya tenglamasida x o'rniga nolni qo'yish kerak. Biz y = b ni olamiz. Ya'ni, OY o'qi bilan kesishish nuqtasi koordinatalariga ega (0; b).

OX o'qi bilan: OX o'qiga tegishli har qanday nuqtaning ordinatasi nolga teng. Shuning uchun OX o'qi bilan kesishish nuqtasini topish uchun funksiya tenglamasida y o'rniga nolni qo'yish kerak. Biz 0 = kx + b ni olamiz. Demak, x = -b / k. Ya'ni, OX o'qi bilan kesishish nuqtasi koordinatalarga ega (-b / k; 0):

5. Monomial son va alfavit omillarining ko'paytmasi deyiladi. Koeffitsient monomialning son omili deyiladi.

6. Monomialni standart shaklda yozish uchun sizga kerak bo'ladi: 1) Raqamli ko'rsatkichlarni ko'paytiring va ularning mahsulotini birinchi o'ringa qo'ying; 2) darajalarni bir xil asoslar bilan ko'paytiring va hosil bo'lgan mahsulotni son koeffitsientidan keyin qo'ying.

7. Polinom deyiladi bir nechta monomlarning algebraik yig'indisi.

8. Monomiyni ko‘phadga ko‘paytirish, monomni ko'phadning har bir hadiga ko'paytirish va hosil bo'lgan mahsulotlarni qo'shish kerak.

9. Ko'phadni ko'phadga ko'paytirish uchun, bir ko'phadning har bir hadini boshqa ko'phadning har bir hadiga ko'paytirish va hosil bo'lgan ko'paytmalarni qo'shish kerak.

10. Siz har qanday ikkita nuqta orqali to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin va bundan tashqari, faqat bitta.

11. Ikki chiziqning bitta umumiy nuqtasi bor yoki umumiy nuqtalari yo'q.

12. Ikkita geometrik shakl, agar ular bir-birining ustiga tushishi mumkin bo'lsa, ular teng deyiladi.

13. Kesimni yarmiga, ya'ni ikkita teng segmentga bo'luvchi nuqta segmentning o'rta nuqtasi deyiladi.

14. Burchakning yuqori qismidan chiqadigan va uni ikkita teng burchakka bo'ladigan nurga burchakning bissektrisasi deyiladi.

15. Yassilangan burchak 180 ° ni tashkil qiladi.

16. Agar burchak 90 ° bo'lsa, burchak to'g'ri burchak deb ataladi.

17. Agar burchak 90 ° dan kichik bo'lsa, ya'ni to'g'ri burchakdan kichik bo'lsa, burchak o'tkir deyiladi.

18. Agar burchak 90 ° dan ortiq, lekin 180 ° dan kichik bo'lsa, ya'ni to'g'ri burchakdan kattaroq, lekin joylashtirilgan burchakdan kichik bo'lsa, burchak to'g'ri burchak deb ataladi.

19. Bir tomoni umumiy, qolgan ikkitasi bir-birining kengaytmasi bo'lgan ikkita burchak qo'shni deyiladi.

20. Qo'shni burchaklar yig'indisi 180 ° ga teng.

21. Ikki burchak vertikal deb ataladi, agar bir burchakning yon tomonlari ikkinchisining yon tomonlarining kengaytmalari bo'lsa.

22. Vertikal burchaklar teng.

23. Ikki kesishuvchi chiziq perpendikulyar (yoki o'zaro) deyiladi

perpendikulyar) agar ular to'rtta to'g'ri burchak hosil qilsa.

24. Uchinchisiga perpendikulyar ikkita to'g'ri chiziq kesishmaydi.

25 ko'paytmali ko'phad- uni bir necha monom va ko`phadning ko`paytmasi sifatida ifodalashni bildiradi.

26. Ko‘phadni faktorlarga ajratish usullari:

a) qavslardan umumiy omilni olib tashlash;

b) qisqartirilgan ko'paytirish uchun formulalardan foydalanish;

v) guruhlash usuli.

27. Qavslar tashqarisidagi umumiy ko'paytuvchini ko'paytmali ko'phadga ajratib ko'rsatish uchun kerak:

a) ushbu umumiy omilni toping;

b) qavslar tashqarisiga qo'ying;

v) ko'phadning har bir a'zosini shu ko'paytmaga bo'ling va olingan natijalarni qo'shing.

Uchburchaklar uchun tenglik testlari

1) Agar bitta uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchak mos ravishda boshqa uchburchakning ikki tomoniga va ular orasidagi burchakka teng bo'lsa, bunday uchburchaklar teng bo'ladi.

2) Agar bitta uchburchakning bir tomoni va ikkita qoʻshni burchagi mos ravishda boshqa uchburchakning yon va ikkita qoʻshni burchagiga teng boʻlsa, bunday uchburchaklar teng boʻladi.

3) Agar bir uchburchakning uchta tomoni mos ravishda boshqa uchburchakning uch tomoniga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar tengdir.

Ta'lim minimal

1. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari bo'yicha ko'paytmalarga ajratish:

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

2. Qisqartirilgan ko‘paytirish formulalari:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

3. Uchburchakning cho'qqisini qarama-qarshi tomonning o'rtasi bilan bog'laydigan segment deyiladi median uchburchak.

4. Uchburchak cho'qqisidan qarama-qarshi tomonini o'z ichiga olgan to'g'ri chiziqqa tortilgan perpendikulyar deyiladi. balandligi uchburchak.

5. Teng yonli uchburchakda asosdagi burchaklar teng.

6. Teng yonli uchburchakda asosga chizilgan bissektrisa mediana va balandlikdir.

7. Atrof chaqirdi geometrik shakl, bu nuqtadan ma'lum masofada joylashgan tekislikning barcha nuqtalaridan iborat.

8. Markazni aylananing istalgan nuqtasi bilan bog'laydigan segment deyiladi radius doiralar .

9. Aylananing ikkita nuqtasini birlashtiruvchi segment deyiladi akkord.

Doira markazidan o'tuvchi akkord deyiladi diametri

10. To'g'ridan-to'g'ri proportsionallik y = kx , qayerda X - mustaqil o'zgaruvchi; Kimga - nolga teng bo'lmagan raqam ( Kimga - mutanosiblik koeffitsienti).

11. To`g`ri proporsionallik grafigi Boshidan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq.

12. Chiziqli funksiya formula orqali aniqlanishi mumkin bo'lgan funksiya deyiladi y = kx + b , qayerda X - mustaqil o'zgaruvchi; Kimga va b - ba'zi raqamlar.

13. Chiziqli funksiya grafigi To'g'ri chiziq.

14 X - funktsiya argumenti (mustaqil o'zgaruvchi)

da - funktsiya qiymati (qaram o'zgaruvchi)

15. Da b = 0 funktsiya shaklni oladi y = kx, uning grafigi koordinata boshidan o'tadi.

Da k = 0 funktsiya shaklni oladi y = b, uning grafigi nuqtadan o'tuvchi gorizontal chiziq ( 0; b).

Chiziqli funktsiya grafiklari va k va b koeffitsientlar belgilari o'rtasidagi moslik

1.Tekislikdagi ikkita to'g'ri chiziq deyiladi parallel, agar ular bir-biriga mos kelmasa.