1-misol. Dana xususiyati f.(x.) = 3x. 2 + 4x. - 5. Grafikaga tenglamani yozing f.(x.) Rejalashtirish joyida abkissa x. 0 = 1.

Qaror. Olingan funktsiya f.(x.) har qanday x uchun mavjud R. . Uni toping:

= (3x. 2 + 4x. - 5) '\u003d 6 x. + 4.

Keyin f.(x. 0) = f.(1) = 2; (x. 0) \u003d \u003d 10. Tangenentning tenglamasi quyidagicha:

y. = (x. 0) (x. – x. 0) + f.(x. 0),

y. = 10(x. – 1) + 2,

y. = 10x. – 8.

Javob. y. = 10x. – 8.

2-misol. Dana xususiyati f.(x.) = x. 3 – 3x. 2 + 2x. + 5. Grafika funktsiyasiga tenglashishni yozing f.(x.), parallel to'g'ridan-to'g'ri Y. = 2x. – 11.

Qaror. Olingan funktsiya f.(x.) har qanday x uchun mavjud R. . Uni toping:

= (x. 3 – 3x. 2 + 2x. + 5) '\u003d 3 x. 2 – 6x. + 2.

Grafik funktsiyalariga tangens sifatida f.(x.) xissda abscissa x. 0 yo'nalishga parallel Y. = 2x. - 11, keyin uning burchak koeffitsienti 2, i.e. ( x. 0) \u003d 2. Biz bu Absissani 3 shartdan topamiz x.– 6x. 0 + 2 \u003d 2. Ushbu tenglik faqat qachon kuchga kiradi x. 0 \u003d 0 va qachon x. 0 \u003d 2. Bu va boshqa holatda f.(x. 0) \u003d 5, keyin to'g'ri y. = 2x. + b. Funktsiya yoki nuqta yoki nuqta yoki nuqta (2; 5) grafikani ko'rib chiqadi.

Birinchi holatda, raqamli tenglik 5 \u003d 2 × 0 + b.Dan! b. \u003d 5 va ikkinchi holatda, raqamli tenglik 5 \u003d 2 × 2 + + b.Dan! b. = 1.

Shunday qilib, ikkita tangs bor y. = 2x. + 5 I I. y. = 2x. Grafik funktsiyasi uchun + 1 f.(x.), parallel to'g'ridan-to'g'ri Y. = 2x. – 11.

Javob. y. = 2x. + 5, y. = 2x. + 1.

3-misol. Dana xususiyati f.(x.) = x. 2 – 6x. + 7. funktsiya grafikasiga tangisnitni yozing f.(x.) nuqta orqali o'tish A. (2; –5).

Qaror. Kabi f.(2) -5, keyin nuqta A. grafik funktsiyaga tegishli emas f.(x.). Bo'linmoq x. 0 - abscissa teginish joyi.

Olingan funktsiya f.(x.) har qanday x uchun mavjud R. . Uni toping:

= (x. 2 – 6x. + 1) '\u003d 2 x. – 6.

Keyin f.(x. 0) = x.– 6x. 0 + 7; (x. 0) = 2x. 0 - 6. Tangens tenglamasi quyidagicha mavjud:

y. = (2x. 0 – 6)(x. – x. 0) + x.– 6x.+ 7,

y. = (2x. 0 – 6)x.– x.+ 7.

Gap shundaki A. Tangensga tegishli, keyin raqamli tenglik to'g'ri

–5 = (2x. 0 - 6) × 2- x.+ 7,

dan x. 0 \u003d 0 yoki x. 0 \u003d 4. Bu shuni anglatadiki, nuqta orqali A.grafik funktsiyasi uchun ikkita tangini sarflashingiz mumkin f.(x.).

Agar a x. 0 \u003d 0, tangent tenglamasi y. = –6x. + 7. Agar bo'lsa x. 0 \u003d 4, tangens tenglamasi shaklga ega y. = 2x. – 9.

Javob. y. = –6x. + 7, y. = 2x. – 9.

4 misol. Vazifalar berilgan f.(x.) = x. 2 – 2x. + 2 I. g.(x.) = –x. 2 - 3. Ushbu funktsiyalarning grafikasiga teng hajmga yozing.

Qaror. Bo'linmoq x. 1 - Funktsiya jadvali bilan to'g'ridan-to'g'ri ushlashning bo'sh joylari f.(x.), lekin x. 2 - funktsiyalar jadvali bilan bir xil teginish ballari g.(x.).

Olingan funktsiya f.(x.) har qanday x uchun mavjud R. . Uni toping:

= (x. 2 – 2x. + 2) '\u003d 2 x. – 2.

Keyin f.(x. 1) = x.– 2x. 1 + 2; (x. 1) = 2 X. 1 - 2. Tangenchning tenglamasi quyidagicha:

y. = (2x. 1 – 2)(x. – x. 1) + x.– 2x. 1 + 2,

Y. = (2x. 1 – 2)x. – x.+ 2. (1)

Drivatoriy funktsiyani toping g.(x.):

= (–x. 2 - 3) '\u003d -2 x..

Tanglik to'g'ri Bu funktsiya grafikasini bir nuqtada va funktsiya grafikasidan eng past masofada joylashgan barcha nuqtalarda. Shuning uchun, tanang ma'lum bir burchakdagi funktsiyaning grafikasida o'tadi va sensorli nuqtadan boshqa burchaklarda bir oz tangens orqali o'tolmaydi. Tangens va funktsiyaning grafikka tenglamasi lotin yordamida tuzilgan.

Tangenne tenglamasi to'g'ridan-to'g'ri tenglamadan olinadi .

Biz tipenniy tenglamani, so'ngra normal tenglama funktsiyaning grafikasiga tenglashtiramiz.

y. = kX. + b. .

Unda k K. - burchak koeffitsienti.

Bu yerdan biz quyidagi yozuvni olamiz:

y. - y.0 = k K.(x. - x.0 ) .

Differentning qiymati f. "(x.0 ) Vazifalar y. = f.(x.) Nuqtada x.0 burchak koeffitsientiga teng k K. \u003d Tg. φ grafik funktsiyasiga nuqta orqali o'tish M.0 (x.0 , y.0 ) qayerda y.0 = f.(x.0 ) . Bu juda muhim geometrik ma'no hosila .

Shunday qilib, biz almashtirishimiz mumkin k K. ustida f. "(x.0 ) va quyidagilarni oling grafik funktsiyaga tenglash :

y. - y.0 = f. "(x.0 )(x. - x.0 ) .

Yuqoridagi formulaga muvofiq olingan tenglamani to'ldirish uchun Tangenne tenglamasi grafikasiga (va yaqinda ularga murojaat qilamiz) to'g'ridan-to'g'ri umumiy shaklda tenglama . Buning uchun barcha harflar va raqamlar tenglamaning chap qismiga o'tkaziladi va o'ng tomonda nolni tark etish.

Endi normal tenglama haqida. Normal - Bu to'g'ridan-to'g'ri, teginish nuqtasidan tangentikaga perpendikulyar funktsiyaning grafikasiga o'tish. Oddiy tenglama :

(x. - x.0 ) + f. "(x.0 )(y. - y.0 ) = 0

Issiqlik uchun birinchi misol mustaqil ravishda hal qilinadi, so'ng esa echimni ko'rib chiqadi. Bizning o'quvchilarimiz uchun bu vazifa "sovuq dush" bo'lmasligiga umid qilish uchun barcha sabablar bor.

Masalan 0. Tangens va normal tenglama tenglamani funktsiyaning grafikasiga qadar M. (1, 1) .

1-misol. Grafik funktsiya qilish uchun tangent va normal tenglama tenglamasini qiling Agar abkissa "ni bosing.

Lifativ funktsiyani toping:

Endi bizda tangenentning tenglamasini olish uchun nazariy yordamga kirishni o'z ichiga olishi kerak bo'lgan hamma narsa bor. Qabul qilmoq

Biz bu misolda biz omadli edik: burchak koeffitsienti nolga teng, shuning uchun tenglama umumiy ko'rinish Menga kerak emas edi. Endi biz normal tenglikni tuzishimiz mumkin:

Quyidagi rasmda: Burgaldiya rang funktsiyasi, yashil rangning tangisi, to'q sariq rang normal normal.

Quyidagi misol ham murakkab emas: funktsiya, avvalgisidagi kabi funktsiya, balki burchak koeffitsienti nolga teng bo'lmaydi, shuning uchun yana bir tenglamani umumiy turga olib chiqadi.

2-misol.

Qaror. King nuqtai nazarini toping:

Lifativ funktsiyani toping:

.

Tegirmon, ya'ni tangenentning burchak koeffitsienti:

Biz formula-mitti-mitti bilan olingan barcha ma'lumotlarni almashtiramiz va biz tangens tenglamasini olamiz:

Biz umumiy turdagi tenglamani (nolga teng bo'lgan barcha harflar va raqamlar, chap tomonda to'playmiz va o'ngda o'ng tomonda

Oddiy tenglama qiling:

3-misol. Agar teginishning abkissa nuqtasi bo'lsa, tangensial va funktsiyaning grafikasiga normal tenglamani amalga oshiring.

Qaror. King nuqtai nazarini toping:

Lifativ funktsiyani toping:

.

Tegirmon, ya'ni tangenentning burchak koeffitsienti:

.

Tangenchini toping:

"Yolg'on fikrlash" ni umumiy fikrga olib chiqishdan oldin, ozgina minishingiz kerak: biz buni 4 ga ko'paytiramiz va teng ongga tenglikni beradi:

Oddiy tenglama qiling:

4 misol. Agar teginishning abkissa nuqtasi bo'lsa, tangensial va funktsiyaning grafikasiga normal tenglamani amalga oshiring.

Qaror. King nuqtai nazarini toping:

.

Lifativ funktsiyani toping:

Tegirmon, ya'ni tangenentning burchak koeffitsienti:

.

Biz Tangens tenglamasini olamiz:

Umumiy fikrga tenglamani bering:

Oddiy tenglama qiling:

Tangens va normal tenglamalarni tayyorlashda keng tarqalgan xato, misolda keltirilgan funktsiya murakkab va uni boshqa funktsiya sifatida hisoblab chiqishni sezmaslikdir. Quyidagi misollar allaqachon mavjud kompleks funktsiyalar (Tegishli dars yangi oynada ochiladi).

5-misol. Agar teginishning abkissa nuqtasi bo'lsa, tangensial va funktsiyaning grafikasiga normal tenglamani amalga oshiring.

Qaror. King nuqtai nazarini toping:

Diqqat! Ushbu funktsiya murakkab, chunki Tangent argumenti (2) x. ) Bu o'zi vazifa. Shuning uchun biz magnit funktsiyaning hosilasi sifatida hosilalarni topamiz.

F funktsiyasini berkitilsin, ba'zi bir vaqtda x 0 finalli drivatatiativ f (x 0). Keyin to'g'ri, burchakli koeffitsientiga ega bo'lgan (x 0)), burchak koeffitsientiga ega bo'lgan, tangensialeni deb ataladi.

X 0 nuqtai nazari mavjud bo'lmasa nima bo'ladi? Ikkita variant mumkin:

1. Grafikaga tegirmon ham mavjud emas. Klassik misol - funktsiya y \u003d | x | Nuqtada (0; 0).
2. Tanner vertikal bo'ladi. Bu haqiqat, masalan, Funktsiya uchun y \u003d arcsin x funktsiyasi (1; p / 2) funktsiyasi uchun (1; p / 2).

Tenglama tangensi

Y \u003d KX + B formasini teng darajada ajratib turadi, bu burchak koeffitsientidir. Tanner bundan mustasno emas va uning tengligini x 0-da tuzish uchun, bu funktsiyaning qiymatini va bu nuqtaning ahamiyatini bilish kifoya qiladi.

Shunday qilib, segmentda hosilativ y \u003d f (x) ga ega bo'lgan y \u003d f (x) funktsiyasini berkitib qo'ying. Keyin, har qanday vaqtda x 0 ∈ (A; B), tangens quyidagi buralma tomonidan berilgan ushbu funktsiyaning grafikiga o'tkazilishi mumkin:

y \u003d f '(x 0) · (x - x 0) + f (x 0)

Bu erda F '(x 0) - x 0, f (x 0) plastikning qiymati va Funktsiyaning o'zi.

Vazifa. Y \u003d x 3 funktsiyasi beriladi. Tangenchini ushbu funktsiyaning grafigiga x 0 \u003d 2 punktida qiling.

Tangening tenglamasi: y \u003d f '(x - x 0) + f (x 0). X 0 \u003d 2-band bizga beriladi, ammo f (x 0) va f '(x 0) hisoblab chiqilishi kerak.

Boshlash uchun biz funktsiya qiymatini topamiz. Hammasi oson: f (x 0) \u003d f (2) \u003d 2 3 \u003d 8;
Endi hosila toping: f '(x) \u003d (x 3)' \u003d 3x 2;
Biz hosilazni almashtiramiz X 0 \u003d 2: F '(x 0) \u003d 3) \u003d 3 · 2 2 \u003d 12;
Umumiy olsak: y \u003d 12 · (x (x - 2) + 8 \u003d 12x - 24 + 8 \u003d 12x - 16.
Bu Tangentning tenglamasi.

Vazifa. Grafik funktsiyasiga teng hajmli tangent qiling F (x) \u003d 2Sin X + 5 nuqta x 0 \u003d p / 2.

Bu safar biz har qanday harakatni batafsil bayon qilmaymiz - biz faqat asosiy qadamlarni ko'rsatamiz. Bizda ... bor:

f (x 0) \u003d f (p / 2) \u003d 2Sin (p / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2SIN X + 5)' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f' (p / 2) \u003d 2cos (p / 2) \u003d 0;

Tangens tenglamasi:

y \u003d 0 · (x - p / 2) + 7 ⇒ y \u003d 7

Ichida so'nggi holat To'g'ri chiziq gorizontal bo'lib chiqdi, chunki Uning burchak koeffitsienti k \u003d 0. bu erda dahshatli narsa yo'q - biz shunchaki ekstreum nuqtasiga qoqilib ketdik.

Ushbu maqolada biz topish uchun barcha turdagi vazifalarni tahlil qilamiz

Esda tutmoq differentning geometrik ma'nosi: Agar tangensial funktsiya grafikasi bo'yicha sinovdan o'tkazilsa, tanglash koeffitsienti (tangentent va ijobiy o'qi orasidagi burchakka tangensiga teng) funktsiyaning hosilasidir.

Koordinatalar bilan tanglikni o'z ichiga olgan holda oling:

Va to'rtburchaklar uchburchakni ko'rib chiqing:

Ushbu uchburchakda

Bu yerdan

Bu funktsiyaning grafikasi nuqtai nazaridan amalga oshiriladigan tangelning tenglamasi.

Tangening tenglamasini yozish uchun funktsiya tenglamasini va tangentent olib boriladigan nuqtai nazarni bilish biz uchun etarli. Keyin biz topamiz va.

Tangenne tenglamasini tuzish uchun uchta asosiy vazifa mavjud.

1. Dana Touch nuqta

2. Dan faktor, ya'ni hosilativ funktsiyaning qiymati nuqtada.

3. Tangens olib boriladigan nuqtaning koordinatalari, ammo teginish nuqtasi emas.

Har bir vazifani ko'rib chiqing.

biri. Grafik funktsiyalariga tenglamani yozing nuqtada .

.

b) Biz hosilasning ahamiyatini topamiz. Avval hosila funktsiyasini topamiz.

Topilgan qiymatlarni Tangening tenglamasida almashtiramiz:

Tenglamaning o'ng qismida qavslarni eslang. Biz olamiz:

Javob: .

2. Grafik funktsiyalari uchun tegirmonlarning abrissiyasini toping abkissa o'qiga parallel ravishda.

Agar tangent parallel bu abssissa o'qi bo'lsa, shuning uchun aksincha va o'qning ijobiy yo'nalishi orasidagi burchak nolga teng, shuning uchun tegirmon tang tipidagi burchak esa nolga teng. Shunday qilib, derivativ funksiyaning qiymati Aloqada bo'lgan joyda nol.

a) Lifativ funktsiyani toping .

b) lotini nolga tenglashtiring va turdoshlik parallel o'qi bo'lgan qiymatlarni toping:

Biz har bir multiplikatorni nolga tenglashtiramiz, biz olamiz:

Javob: 0; 3; 5

3. Grafika funktsiyasiga teng qiymatlarni yozing , parallel to'g'riga .

Tanner yo'naltirishga parallel. Ushbu chiziqning moyil koeffitsienti -1. Tanangent bu to'g'ridan-to'g'ri to'g'ridan-to'g'ri parallel bo'lganligi sababli, Tagne koeffitsienti ham -1 ga teng. Ya'ni biz tog 'omilini bilamizva shunday qilib touch nuqtaioratning qiymati.

Bu Tangenne tenglamasini topish bo'yicha topshiriqlarning ikkinchi turi.

Shunday qilib, bizda sensorli nuqtada derivativning funktsiyasi va qiymati mavjud.

a) Lifativ funktsiyani -1 bo'lgan nuqtalarni toping.

Biz birinchi darajali tenglamani topamiz.

Biz leatni -1 ga tenglashtiramiz.

Funktsiyaning qiymatini toping.

(shart bo'yicha)

.

b) Biz o'z funktsiyasining grafikasini nuqtada topamiz.

Funktsiyaning qiymatini toping.

(shart bo'yicha).

Ushbu qiymatlarni Tangenne tenglamasida almashtiring:

.

Javob:

to'rt. Egri chiziqni egri chiziq yozing , nuqta orqali o'tish

Birinchi belgi, agar nuqta aloqasi nuqtasi bo'lsa. Agar nuqta teginish nuqtasiga ega bo'lsa, u funktsiyaning grafikasi va koordinatalari funktsiya tenglamasini qondirishi kerak. Biz funktsiya tenglamalariga nuqta quyiga almashtiramiz.

Sarlavha \u003d "(! Lang: 1sqrt (8-3 ^ 2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} teginish nuqtasi emas.

Bu Tangenne tenglamasini topish bo'yicha oxirgi vazifadir. Birinchi narsa biz abkissaning teginish nuqtasini topishimiz kerak.

Biz qiymatni topamiz.

So'roq - teginish nuqtasi. Nuqta funktsiya grafikasiga tegirmonga tegishli. Agar biz ushbu nuqta koordinatalarini tangentning tenglamasiga almashtirsak, sodiq tenglikni olamiz:

.

Funktsiyaning qiymati .

Nuqta funktsiyaning qiymatini toping.

Biz olingan funktsiyani topamiz. U.

Papka tengdir .

Tangenne tenglamasi uchun va unga almashtiriladigan iboralar. Biz quyidagilarga tenglashtiramiz:

Ushbu tenglama qaror qiladi.

Fraktsiyaning raqami va denroinatorini 2 taga kiritish:

Keling, tenglamaning to'g'ri qismiga umumiy maxraj. Biz olamiz:

Biz flement raqamini soddalashtiramiz va ikkala qismni ham ko'paytiramiz - bu ibora noldan katta.

Biz tenglama olamiz

Men buni hal qilaman. Buning uchun ikkala qismni maydonga aylantiring va tizimga murojaat qiling.

Sarlavha \u003d "(! Lang: Delim (LRRACE) (1) ((1) (x_0) ^ 2 \u003d 8- (x_0) ^ 2) (8-3x_0\u003e \u003d 0) ))))">!}

Birinchi tenglamani bajaring.

Hal qiluvchi kvadratli tenglama, olish

Ikkinchi ildiz sharaf sarlavhasini qoniqtirmaydi \u003d "(! Lang: 8-3x_0\u003e \u003d 0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Tangenchini egri chiziqqa yozing. Buning uchun biz tenglamadagi qiymatni almashtiramiz - Biz allaqachon qayd etilganmiz.

Javob:
.

Grafik funktsiyaga tenglash

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Chelyabinsk viloyati

Grafik funktsiyaga tenglash

Maqola "Itaka +" mehmonxonalar majmuasi ko'magida nashr etildi. KemaBuildings Severodvinsk shahrida qolish, vaqtinchalik uy-joy qidirish muammosiga duch kelmaysiz. , Http://itakaplus.ru mehmonxona kombinatida, har kuni, har kuni to'lov bilan, shaharda kvartirani osongina va tezda ijaraga olishingiz mumkin.

Ustida zamonaviy bosqich Ta'limni rivojlantirish o'zining asosiy vazifalaridan biri sifatida ijodiy fikrlash tarzini shakllantirishdir. Talabalarda ijodkorlik qobiliyati faqat ularni tadqiqot faoliyati asoslariga jalb qilish sharti bilan ishlab chiqishi mumkin. Uning ijodiy kuchlari, qobiliyatlari va tanklari talabalarini qo'llash jamg'armasi to'liq keng qamrovli bilim va ko'nikma hisoblanadi. Shu munosabat bilan matematika kursining har bir mavzusi bo'yicha asosiy bilim va ko'nikma tizimini shakllantirish muammosi muhim ma'noga ega. Shu bilan birga, shaxsiy ko'nikmalar individual bo'lmagan vazifalarning didaktik maqsadi bo'lishi kerak, ammo ularning tizimidan ehtiyotkorlik bilan o'ylangan. Muloqotda tizim yaxlitlik va barqaror tuzilmasi bilan o'zaro bog'liq bo'lgan o'zaro aloqalar uyg'unligini anglatadi.

Talabalarni o'rganish metodoryasini funktsiya funktsiyalariga tangenentni tuzishga majburlash usulini ko'rib chiqing. Aslida, Tangenchning tenglamasini topishning barcha vazifalari ma'lum bir talablarni qondiradigan to'plam (nurli va oila) ni tanlash zarurati, ba'zi funktsiyaning grafikasiga tangisdir. Shu bilan birga, to'g'ridan-to'g'ri, tanlov bajarilishi ikki jihatdan belgilanishi mumkin:

a) Xoy tekisligida yotish (to'g'ridan-to'g'ri to'g'ridan-to'g'ri);
b) burchak koeffitsienti (to'g'ridan-parallel bir guruh).

Shu munosabat bilan, tizimning elementlarini ushlab turish uchun "funktsiyaning grafikasiga" mavzusini o'rganayotganda, biz ikki xil vazifani ta'kidladik:

1) u o'tadigan tangens bo'yicha belgilangan vazifalar;
2) burchak koeffitsienti bilan belgilangan tangensi uchun vazifalar.

Tangenaj vazifalarini hal qilish uchun mashg'ulotlar A.G tomonidan taklif qilingan algoritm yordamida amalga oshirildi. Mordkovich. Uning asosiy farqi shundan iboratki, TouchPointning abscissasi a harfi bilan (x0 o'rniga) ko'rsatilgan, shuning uchun taninlar tenglamasi ko'rinishni oladi

y \u003d f (a) + f "(x - a)

(Y \u003d f (x 0) + F bilan taqqoslang (x - x 0) (x - x 0)). Bizning fikrimizcha, bu uslubiy uslub, talabalarga tezroq rekordlar tengatsiyasida qaerdaligini anglash imkonini beradi Joriy nuqta koordinatalari va sensorli nuqtalar qayerda.

Algoritm tenglikni tangenchinni funktsiyaning grafikasiga kiritishga majbur qiladi (x)

1. ABSCISA-ga teginish nuqtasiga beriladi.
2. F (A) ni toping.
3. F "(x) va F" (a) ni toping.
4. Topilgan raqamlarni A, F (A), F "(A) umumiy tenglama Tangensial y \u003d F (a) \u003d F "(a) (x - a).

Ushbu algoritmni mustaqil operatsiyalarni ajratish va ularni amalga oshirish tartibi asosida tuzish mumkin.

Amaliyot algoritm yordamida har bir muhim vazifalarning izchil echimi, funktsiyalardagi grafikalarni bosqichma-bosqich yozish ko'nikmalarini shakllantirish va algoritmning qadamlarini qo'llab-quvvatlash punktlari sifatida xizmat qiladi. Ushbu yondashuv P.Ya tomonidan ishlab chiqilgan aqliy harakatlarning bosqichma-bosqich shakllantirish nazariyasiga javob beradi. HALperin va N.F. Talisina.

Vazifalarning birinchi turida ikkita asosiy vazifa ajratildi:

• tangening egri chiziqda yotgan nuqta orqali o'tadi (1-band);
• tangen egri chiziqda yotgan nuqtadan o'tadi (2-vazifa).

Vazifa 1. Funktsiyalarni grafikka tenglashtiring M (3; - 2).

Qaror. M nuqta (3; - 2) - bu sention

1. a \u003d 3 - abscissa.
2. F (3) \u003d - 2.
3. F (x) \u003d x 2 - 4, f (3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 - tilakliligi tenglamasi.

Vazifa 2. Barcha Tangentlar tenglamalarini Y \u003d - x 2 - 4x + 2 funktsiyasining tengligini yozing (- 3; 6).

Qaror. M (- 3; 6) - F (- 3) danoq teginish nuqtasi emas6 (2-rasm).

2. F (a) \u003d - a 2 - 4a + 2.
3. F "(x) \u003d - 2x - 4, f (a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (A + 2) (x - a) - Tangenentning tenglamasi.

Tangens m (- 3; 6) orqali o'tadi (- 3; 6), shuning uchun uning koordinatalari tangensialini qondiradi.

6 \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (A + 2) (- 3 - a),
A 2 + 6a + 8 \u003d 0^ a 1 \u003d - 4, a 2 \u003d - 2.

Agar a \u003d - -, tangens tenglamasi y \u003d 4x + 18 formasiga ega.

Agar a \u003d - - 2 bo'lsa, Tangenne tenglamasi y \u003d 6 formasiga ega.

Ikkinchi turda asosiy vazifalar quyidagi bo'ladi:

• ba'zi to'g'ri chiziqqa o'xshash (3-vazifa);
• tangens ushbu to'g'ridan-to'g'ri (4-vazifa) ma'lum bir burchakda o'tadi.

Vazifa. To'g'ridan-to'g'ri y \u003d x 3 - 3 + 3 funktsiyasining funktsiyasiga yozing y \u003d x 3 + 3 + 3, to'g'ridan-to'g'ri y \u003d 9x + 1 ga parallel ravishda yozing.

Qaror.

1. a - bu abscissa.
2. F (a) \u003d a 3 - 3a 2 + 3.
3. F "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f" (A) \u003d 3a 2 - 6a.

Ammo, boshqa tomondan, f "(a) \u003d 9 (parallelizmning holati). Shunday qilib, 3a 2 - 6a \u003d 3, a \u003d 3 (3-rasm) tenglamani hal qilish kerak. .

4. 1) a \u003d - 1;
2) f (- 1) \u003d - 1;
3) f "(- 1) \u003d 9;
4) y \u003d - 1 + 9 (x + 1);

y \u003d 9x + 8 - tangens tenglamasi;

1) a \u003d 3;
2) f (3) \u003d 3;
3) f "(3) \u003d 9;
4) y \u003d 3 + 9 (x - 3);

y \u003d 9x - 24 - Tangenentning tenglamasi.

Vazifa 4. Tangennitentni Y \u003d 0.5X 2 - 3x + 1 funktsiyasining grafikasiga yozing, to'g'ri y \u003d 0 (4-rasm).

Qaror. Sharh f "(A) \u003d TG 45 ° ni toping: a - 3 \u003d 1^ a \u003d 4.

1. A \u003d 4 - abscissa.
2. F (4) \u003d 8 - 12 + 1 \u003d - 3.
3. F "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (X - 4).

y \u003d x - 7 - tilakliligi tenglamasi.

Bir yoki bir nechta asosiy vazifalarni hal qilish uchun boshqa biron bir vazifani hal qilishning kamayishi haqida shuni ko'rsatadiki. Quyidagi ikkita vazifani misol sifatida ko'rib chiqing.

1. Agar tanglar to'g'ri burchaklarda kesishgan bo'lsa va ulardan biri abssissa 3 bilan parabolaga tegishli bo'lsa, tangentsga tenglashtiring.

Qaror. To'lbozining abksiysi beriladi, keyin eritmaning birinchi qismi 1-asosiy vazifa bilan qisqartirildi.

1. a \u003d 3 - to'g'ridan-to'g'ri burchakning bir tomoni bilan sirtining siri nuqtasi.
2. F (3) \u003d 1.
3. F "(x) \u003d 4x - 5, f (3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (X - 3), y \u003d 7x - 20 - birinchi tangeneklik tenglama.

A ga yuboring. - birinchi tangenentning moyilligi burchagi. Teglar perpendikulyar, keyin ikkinchi tangenentning moyilligi burchagi. Y \u003d 7x - 20 tengligidan biz tg bora \u003d 7. Biz topamiz

Bu shuni anglatadiki, ikkinchi tangenentning burchak koeffitsienti tengdir.

Keyingi echim 3-vazifaga qisqartirildi.

B (c; f (c)) ikkinchi to'g'ri tugmachasini bosing

1. - ikkinchi teginish nuqtasining abscissi.
2.
3.
4.
- ikkinchi tangenentning tenglamasi.

Eslatma. Tangenchning burchak koeffitsienti, agar talaba koeffitsientlarning koeffitsientlarining koeffitsientlarining nisbati deb nomlangan bo'lsa, uni perpendikulyar to'g'ridan-1 - 1.

2. Barcha umumiy tangittlarning tenglamalarini funktsiyalar jadvallariga yozing.

Qaror. Vazifa umumiy tangenentning tergi nuqtalarining abksissasini topishga, ya'ni umumiy muammoni hal qilish, tenglamalar tizimini tayyorlash, tenglamalar tizimini tayyorlash va keyingi echimini tayyorlash (6-rasm).

1. Y \u003d x 2 + x + 1 funktsiyasining grafikasida teginish nuqtasining bo'shlig'ining abkissasi bo'lsin.
2. F (a) \u003d a 2 + 1.
3. F "(A) \u003d 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Funks grafida yotgan teginish nuqtasining abkissasi bo'lsin
2.
3. F "(C) \u003d C.
4.

Tangental umumiy narsa sifatida

Shunday qilib, y \u003d x + 1 va y \u003d - 3x - 3 keng tarqalgan tangents.

Ko'rib chiqilgan vazifalar asosiy maqsadi talabalarga ma'lum bir ilmiy-tadqiqot mahoratini talab qiladigan yanada murakkab vazifalarni (tahlil qilish, taqqoslash, gipotezani ilgari surish, va boshqalar) talab qiladigan asosiy vazifa turini mustaqil ravishda tan olishga tayyorlashdir. Bunday vazifalar asosiy vazifa tarkibiy qism sifatida kiritilgan har qanday vazifani o'z ichiga oladi. Misol, vazifa (1-sonli teskari muammo 1) Tangentning oilasi faoliyatini topish uchun o'ylab ko'ring.

3. Qaysi b va c to'g'ri y \u003d x va y \u003d - 2x funktsiya grafikasiga y \u003d x 2 + bx + c funktsiyasining grafikasiga tegiradimi?

Qaror.

Tlansin-ni - Touch-ni o'chirish nuqtasi parabola y \u003d x 2 + bx + c bilan. P - ISSCISSA-ning to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishi y \u003d - - 2x parabola y \u003d x 2 + bx + c bilan. Keyin Tangens y \u003d x tenglamasi y \u003d (2t + b) shaklini va tangens y + c - t \u003d x + c qismini oladi y \u003d (2p + b) shaklni oladi p 2.

Shuningdek, biz tenglamalar tizimini ham hal qilamiz

Javob:

O'z-o'zini hal qilish uchun vazifalar

1. Tangenchning tenglamalarini, y \u003d 2x 2 - 4x + 3 funktsiyasining funktsiyasi to'g'ri y \u003d x + 3 bilan kesishganida.

Javob: Y \u003d - 4x + 3, y \u003d 6x - 9.5.

2. Buildentning qaysi qadriyatlari ostida y \u003d x 2 - Axtag 'grafik nuqtai nazaridan x 0 \u003d 1, m (2; 3) orqali o'tadimi?

Javob: A \u003d 0.5.

3. Qanday qadriyatlar P To'g'ri y \u003d px - 5 egri y \u003d 3x 2 - 4x - 2?

Javob: p 1 \u003d - 10, p 2 \u003d 2.

4. y \u003d 3x - x 3 funktsiyasining barcha oddiy nuqtalarini va tangents funktsiyasining P (0; 16) orqali amalga oshiriladi.

Javob: A (2; - 2), b (- 4; 52).

5. Parabola y \u003d x 2 + 6x + 10 va to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishi orasidagi eng qisqa masofani toping

Javob:

6. Y \u003d x 2 - x 1-sonli egri chiziqda grafikaning tangisi to'g'ri y to tekisligiga parallel ravishda y - 3x + 1 \u003d 0.

Javob: m (2; 3).

7. Tangentni funktsiyaning grafikasiga yozing y \u003d x 2 + 2x - | 4x | Bu ikki ochko bilan bog'liq. Rasm chizish.

Javob: Y \u003d 2x - 4.

8. To'g'ri y \u003d 2x - 1 egri y \u003d x 4 + 3x 2 + 2x ni kesib o'tmaydi. Eng yaqin nuqtalari orasidagi masofani toping.

Javob:

9. Parabola y \u003d x 2-da, ab 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3. Ushbu nuqtalar bilan ta'minlangan nuqtai nazardan ikki ochko olindi. Parabola Tangens qaysi nuqtada sarflangan ketma-ketlikka parallel bo'ladi? Qashshoq va tangentning tenglamalarini yozing.

Javob: Y \u003d 4X - 3 - bo'limning bir qismi; Y \u003d 4x - 4 - Tangening tenglamasi.

10 10 ni toping Y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1 funktsiyasining funktsiyasi mavjud, 0 va 1 abscusiyada o'tkazildi.

Javob: Q \u003d 45 °.

11. Funktsiya grafikasiga qaysi nuqtalarda "Okzis" bilan 135 ° burchak shakllanadimi?

Javob: A (0; - 1), b (4; 3).

12. a (1; 8) egri chiziqqa Tangent deb nomlangan. Koordinata o'qlari o'rtasida tuzilgan tanglens segmentining uzunligini toping.

Javob:

13. Barcha umumiy tangententlarning tenglamasini y \u003d x 2 - x + 1 va y \u003d 2x 2 - x + 0.5 funktsiyalariga yozing.

Javob: Y \u003d - 3x va y \u003d x.

14. funktsiyaning tangisidagi masofani toping Axis Abscissa.

Javob:

15. Parabola y \u003d x 2X - 8 abscissa o'qini kesib o'tishini aniqlang.

Javob: Q 1 \u003d Arctg 6, Q 2 \u003d Arctg (- 6).

16. funktsiyada grafikada Ushbu grafikaning ijobiy yarim o'qlarini kesib o'tadigan har bir grafikaning ijobiy yarim o'qlarini kesib o'tadigan barcha nuqtalarni toping.

Javob: A (- 3; 11).

17. Asosiy y \u003d 2x + 7 va parabola y \u003d x 2 - 1 kesma, k ochko kesishish nuqtasi M va N ballar bo'yicha Parabola bilan bog'lanishning bir qismini toping.

Javob: K (1; - 9).

18. Qanday qiymatlar B to'g'ri y \u003d 9x + b funktsiyaning grafikasi y \u003d x 3 - 3x + 15?

Javob: - 1; 31.

19. Qanday qadriyatlar K to'g'ri y \u003d kx - 10 funktsiyaning grafikasi borligi y \u003d 2x 2 + 3x - 2? Topilgan qiymatlar uchun k nuqtaning koordinatlarini aniqlaydi.

Javob: K 1 \u003d - 5, a (- 2; 0); K 2 \u003d 11, b (2; 12).

20. BX 3 - 2 - 2 - 2 funktsiyaning qaysi qadriyatlari bilan amalga oshiriladi. Mscissasa x 0 \u003d 2, balldan o'tadi (1; 8)?

Javob: b \u003d - 3.

21. Do'p o'qi bilan vertoiz parabola (1; 2) va b (2; 4), B. Bo`zda parabola tenglamalarini toping.

Javob:

22. K parabol y \u003d x 2 + kx + 1 koeffitsialining qaysi qiymati bilan ishlovchini qiziqtiradimi?

Javob: K \u003d d 2.

23. Y \u003d X + 2 va egri chiziq orasidagi burchaklarni toping, y \u003d 2x 2 + 4X - 3.

29. Grafik funktsiyasiga kirish uchun 45 ° burchakning ijobiy yo'nalishi bilan shakllanish uchun masofani toping.

Javob:

30. Barcha parabola navlarining geometrik vertex qismini y \u003d x 2 + bob + b ni to'g'ridan-to'g'ri y \u003d 4x - 1 ga boring.

Javob: To'g'ri y \u003d 4x + 3.

Adabiyot

1. Zvavich L.I., L.Ya, Chinkina M.V. Algebra va boshlanishni tahlil qilish: maktab o'quvchilari uchun 3,600 vazifa va universitetlarga kirish. - M., Drop, Drop, Drop,
2. Mordkovich A. Yosh o'qituvchilarning to'rtinchi seminar. "Liferativ dastur" mavzusi. - M., "Matematika", № 21/94.
3. Aqliy tadbirlarni bosqichma-bosqich assimilyatsiya qilish nazariyasi asosida bilim va ko'nikmalarni shakllantirish. / E. P.Ya. Galperina, N.F. Talisina. - Moskva davlat universiteti, 1968 yil.