Video darslik 2: Kvadrat tenglamalarini echim

Leksiya: Kvadratli tenglamalar

Tenglama

Tenglama - Bu ba'zi bir tenglik, buning ma'nosi bor.

Tenglashtiring - Bu o'zgaruvchi o'rniga, uni haqiqiy tenglikka olib keladi.

Tenglama bitta echim yoki bir nechta yoki umuman olmasliklari mumkin.

Har qanday tenglamani hal qilish uchun uni shaklga osongina soddalashtirish kerak:

Chiziqli: a * x \u003d b;

Maydon: a * x 2 + b * x + c \u003d 0.

Ya'ni, eritma oldidan har qanday tenglama standart turlarga aylantirilishi kerak.

Har qanday tenglama ikki yo'l bilan hal qilinishi mumkin: tahliliy va grafika.

Tenglamani echish bilan jadvalda ball o'qni kesib o'tishi hisobga olinadi.

Kvadratli tenglamalar

Agar soddalashtirilganda ko'rinishda tenglama deb atash mumkin:

a * x 2 + b * x + c \u003d 0.

Qayerda a, b, c noldan farq qiladigan tenglama koeffitsientlari. Lekin "X" - tenglamaning ildizi. Kvadrat tenglamasi ikkita ildizga ega yoki umuman echimlarga ega emas deb ishoniladi. Olingan ildizlar bir xil bo'lishi mumkin.

"Ammo" - Maydondagi ildizdan oldin turgan koeffitsient.

"B" - Bu birinchi darajali noma'lum.

"dan" - tenglamaning bepul a'zosi.

Agar, masalan, bizda shaklni tenglashtiradi:

2x 2 -5x + 3 \u003d 0

Unda "2" tenglamaning katta a'zosi, "-5" - ikkinchi koeffitsient va "3" - bepul a'zo.

Qaror kvadrat tenglama

Kvadrat tenglamani hal qilishning katta usullari mavjud. Biroq, maktab matematika kursi bo'yicha echim Viet'ing nazariyasida, shuningdek kamsitish yordami bilan o'rganiladi.

Kamsitish to'g'risidagi qaror:

Bilan hal qilishda bu usul Formula tomonidan kamsituvchilarni hisoblash kerak:

Agar hisob-kitoblar bo'lsa, siz kamsituvchi noldan kamroq ekanligini, bu ushbu tenglamaning echimlari yo'qligini anglatadi.

Agar kamsituvchi nolga teng bo'lsa, tenglama ikkita bir xil echimga ega. Bunday holda, ko'pchilikning qisqartirilgan ko'payish formulasi yoki farqning kvadratini shakllantirishi mumkin. Shundan so'ng, uni chiziqli tenglama sifatida hal qilish. Yoki formuladan foydalaning:

Agar kamsituvchi noldan katta bo'lsa, unda quyidagi usuldan foydalanish kerak:

Vieta teoremasi

Agar tenglama berilsa, bu katta a'zoning koeffitsienti bittaga teng, keyin siz foydalanishingiz mumkin vieta teoremasi.

Shunday qilib, tenglama quyidagicha ko'rinadi deylik.

Tenglamaning ildizlari quyidagicha:

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani olish uchun bir nechta variant mavjud, ularning turi koeffitsientlarning mavjudligiga bog'liq.

1. Agar ikkinchi va uchinchi koeffitsient nol bo'lsa (B \u003d 0, c \u003d 0)Kvadrat tenglamasi quyidagicha ko'rib chiqiladi:

Ushbu tenglama bitta echim bo'ladi. Tenglik faqat tenglama echim sifatida nolga teng bo'lganda to'g'ri bo'ladi.

Kvadrat tenglamaning ildizlarining formulalari. Jarayon holatlari, ko'p tarmoqli ildizlar ko'rib chiqiladi. Kvadrat uch qirrali ko'paytirgichni ajratish. Geometrik talqin. Ko'plab ko'paytirgichlarning ildizlarini va parchalanishiga misollar.

Asosiy formulalar

Kvadrat tenglamasini ko'rib chiqing:
(1) .
Ildizlar maydoni tenglama (1) formulalar tomonidan belgilanadi:
; .
Ushbu formulalar quyidagicha birlashtirilishi mumkin:
.
Kvadrat tenglamaning ildizlari ma'lum bo'lganida, ikkinchi darajali polinomni omillar ishi sifatida taqdim etilishi mumkin (ko'paytirgichlarda parchalanadi):
.

Keyingi, biz bunga ishonamiz - haqiqiy raqamlar.
O'ylab ko'ring kamsituvchi kvadrat tenglamasi:
.
Agar kamsituvchi ijobiy bo'lsa, unda kvadrat tenglamasi (1) ikki xil haqiqiy ildizga ega:
; .
Keyin kvadratning parchalanishi uch baravar pasayadi, omillar tarkibiga ega:
.
Agar kamsituvchi nol bo'lsa, unda kvadrat tenglama (1) ikkita (teng) haqiqiy ildizga ega:
.
Faktorizatsiya:
.
Agar kamsituvchi salbiy bo'lsa, unda kvadrat tenglamasi (1) ikkita har tomonlama konjulangan ildiz mavjud:
;
.
Bu erda - xayoliy birlik;
Va - ildizlarning haqiqiy va xayoliy qismlari:
; .
Keyin

.

Grafik izoh

Agar qurilsa jadval funktsiyasi
,
bu parabola, keyin grafikning kesish nuqtasi eksas bilan tenglamaning ildizlari bo'ladi
.
Qachonki, jadvallar abkissa o'qini (o'q) ikki ochkodan kesib o'tadi.
Qachonki, grafik bo'shliqni bir nuqtada o'zgartiradi.
Qachon, jadval abkissa o'qini kesib o'tmaydi.

Quyida bunday grafikalarga misollar keltirilgan.

Kvadrat tenglama bilan bog'liq foydali formulalar

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalar chiqish

Biz o'zgarishlarni amalga oshiramiz va formulalarni (F.1) va (F.3) amal qilamiz:




,
Qayerda
; .

Shunday qilib, biz ikkinchi darajali shaklda ko'payish uchun formula oldik:
.
Bu erdan tenglamani ko'rish mumkin

ijro etilgan
va.
Ya'ni, kvadrat tenglamaning ildizlari ildizlarga ega
.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini aniqlashning misollari

1-misol.

(1.1) .

Qaror

.
Bizning tenglamaimiz bilan taqqoslaganda (1.1), biz koeffitsientlarning qadriyatlarini topamiz:
.
Biz kamsituvchi deb bilamiz:
.
Isitma ijobiy bo'lsa, tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega:
;
;
.

Bu yerdan ko'paytirgichlar bo'yicha kvadrat uchlikning parchalanishini olamiz:

.

Jadval funktsiyasi y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 Abskissa o'qini ikki ochkodan kesib o'tadi.

Biz funktsiyalar jadvaliga quramiz
.
Ushbu funktsiya jadvali Parabola. U abkissa o'qini (o'qi) ikkita nuqtada joylashtiradi:
va.
Ushbu fikrlar boshlang'ich tenglamaning ildizlari (1.1).

Javob

;
;
.

2-misol.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(2.1) .

Qaror

Biz kvadrat tenglamasini umumiy shaklda yozamiz:
.
Boshlang'ich tenglama bilan taqqoslaganda (2.1), biz koeffitsientlarning qadriyatlarini topamiz:
.
Biz kamsituvchi deb bilamiz:
.
Kamsituvchi noldanganligi sababli, tenglama ikki ko'p (teng) ildizga ega:
;
.

Keyin ko'paytirgichlar bo'yicha uchta qarorning parchalanishi shakli:
.

Funktsiyasi g \u003d x 2 - 4 X + 4 Bir nuqtada abkissa o'qini so'raydi.

Biz funktsiyalar jadvaliga quramiz
.
Ushbu funktsiya jadvali Parabola. Bu bo'sh joyni (o'q) bir nuqtaga tegishli:
.
Bu nuqta boshlang'ich tenglamaning ildizi (2.1). Bu ildiz ko'paytirgichning kengayishiga ikki marta kiradi:
,
Bunday ildiz bir nechta deb ataladi. Ya'ni, ikkita teng ildiz borligiga ishoniladi:
.

Javob

;
.

3-misol.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(3.1) .

Qaror

Biz kvadrat tenglamasini umumiy shaklda yozamiz:
(1) .
Boshlang'ich tenglamani qayta yozamiz (3.1):
.
C (1) ni taqqoslang, biz koeffitsientlarning qadriyatlarini topamiz:
.
Biz kamsituvchi deb bilamiz:
.
Kamsituvchi salbiy. Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Siz murakkab ildizlarni topishingiz mumkin:
;
;
.

Keyin


.

Funktsiya grafik abkissa o'qini kesib o'tmaydi. Haqiqiy ildizlar yo'q.

Biz funktsiyalar jadvaliga quramiz
.
Ushbu funktsiya jadvali Parabola. Bu abkissa o'qi (o'qi) ni kesib o'tmaydi. Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Javob

Haqiqiy ildizlar yo'q. Towing Integratsiya qilinadi:
;
;
.

Siz ushbu matematik dastur bilan siz qila olasiz kvadrat tenglamasini hal qiling.

Dastur nafaqat javob vazifasini beradi, balki echim jarayonini ikki usulda ko'rsatadi:
- kamsituvchi yordami bilan
- Veta teoremadan foydalanish (iloji bo'lsa).

Bundan tashqari, javob natijasiz, taxminiy emas.
Masalan, tenglama uchun \\ (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0 \\) uchun javob bu shaklda chiqadi:

$$ x_1 \u003d \\ FRAC (81 \\ Sqrt (81), \\ Quad X_2 \u003d \\ Frac (81) (81). \\ (x_1 \u003d 0.247) ; \\ quad x_2 \u003d -0.5 \\)

Ushbu dastur o'rta maktab o'quvchilarining tayyorgarligi uchun foydali bo'lishi mumkin boshqarish ishlari Imtihondan oldin bilimlarni tekshirish, ota-onalar matematika va algebradagi ko'plab muammolarni hal qilishda ota-onalar. Yoki siz o'qituvchi yollash yoki yangi darsliklarni sotib olish uchun juda qimmatmisiz? Yoki siz shunchaki iloji boricha tezroq qilishni xohlaysiz uy vazifasi Matematik yoki algebrada? Bunday holda, siz bizning dasturlarimizdan batafsil echim bilan foydalanishingiz mumkin.

Shunday qilib, siz o'zingizning yoshingiz yoki opa-singillaringizning mashg'ulotlarini o'tkazish va / yoki o'qitishingizni amalga oshirishingiz mumkin, ammo hal qilingan vazifalar sohasida ta'lim darajasi oshadi.

Agar siz kvadrat kvadratga kirish qoidalari bilan tanish bo'lmagan bo'lsangiz, biz ular bilan tanishishni tavsiya qilamiz.

Kvadrat polinomiya kiritish qoidalari

O'zgaruvchan bo'lsa, har qanday lotin harfi bo'lishi mumkin.
Masalan: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, qiyalik va boshqalar) va boshqalar.

Raqamlar to'liq yoki kasrni kiritishi mumkin.
Bundan tashqari, fraktsiya raqamlari nafaqat o'nlik shaklida, balki oddiy kasr shaklida ham qo'llanilishi mumkin.

O'nlik kasrlarni kiritish qoidalari.
Birlamchi kasrlarda, umuman to'liq qismini ajratish mumkin.
Masalan, siz kiritishingiz mumkin o'nlik kasrlar Xo'sh: 2.5x - 3.5x ^ 2

Oddiy kasrlarni kiritish qoidalari.
Faqat butun son raqamni hisoblagich, denominator va ulushning butun qismi bo'lishi mumkin.

Denominator salbiy bo'lishi mumkin emas.

Raqamli fraktsiyani kiritishda, denominatordan parchalanadigan belgi: /
Butun qismi FARATY AMPERTNED belgisidan ajratilgan: &
Kirish: 3 va 1/3 - 5 & 5Z + 1 / 7Z ^ 2
Natija: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ FRAC (5) z + \\ frac (7) z ^ 2 \\)

Ifodaga kirishda siz qavslardan foydalanishingiz mumkin. Bunday holda, kvadrat tenglamani hal qilishda, birinchi marta soddalashtirilgan.
Masalan: 1/2 (y - 1) (y + 1) - (5y-10 va 1/2)

=0

Qaror qilmoq

Ushbu vazifani hal qilish uchun ba'zi skriptlar yuklanmasligi va dastur ishlamasligi mumkinligi aniqlandi.
Sizda adblock kiritilgan bo'lishi mumkin.
Bunday holda, uni elektrdan uzing va sahifani yangilang.

Siz brauzeringizda JavaScript-ni ijro etishingiz bor.
Yechimni paydo qilish uchun siz JavaScript-ni yoqishingiz kerak.
Brauzeringizda JavaScript-ni yoqish bo'yicha ko'rsatmalar, qanday ko'rsatmalar.

Chunki Vazifani hal qilishni istagan vazifangiz juda ko'p, sizning so'rovingiz mos keladi.
Bir necha soniyadan keyin eritma quyida keltirilgan.
Iltimos kuting sek ...

Agar Siz hal qilishda xatolarni payqadiSiz bu haqda fikr-mulohaza shaklida yozishingiz mumkin.
Esdan chiqarmang qaysi vazifani belgilang Siz qaror qildingiz va nima maydonga kiring.

Bizning o'yinlar, jumboqlar, emulalar:

Bir oz nazariya.

Kvadrat tenglama va uning ildizlari. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari

Har bir tenglamalar
\\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 1x ^ 2-7x \u003d 0, \\ Quad x ^ 2- Frac (9) \u003d 0 \\)
Tashqi ko'rinishi
\\ (Bolta ^ 2 + bx + c \u003d 0, \\)
X u o'zgaruvchan, A, B va C - raqamlar.
Birinchi tenglama A \u003d -1, b \u003d 6 va C \u003d 1.4 va C \u003d 1, b \u003d 0 va C \u003d 1/9. Bunday tenglamalar deyiladi kvadrat tenglamalari.

Ta'rif.
Kvadrat tenglama 2 + bx + c \u003d 0 shaklining tenglamasi, u o'zgaruvchidir, A, b va C ba'zi raqamlar, \\ (a \\ niq 0 \\).

A, B va C raqamlari kvadrat tenglama koeffitsientlaridir. A sonining birinchi koeffitsienti deb ataladi, B raqami C - C ning ikkinchi koeffitsient va C raqami.

Axt shaklidagi har bir tenglamada 2 + bx + c \u003d 0, bu erda \\ (a \\ niq 0 \\), u - kvadratning eng katta darajasi. Demak, Ism: kvadrat tenglama.

E'tibor bering, kvadrat tenglamasi ham ikkinchi darajali tenglama deyiladi, chunki uning qismi ikkinchi darajali polinomga ega.

X 2-da koeffitsient 1 deb nomlanadigan kvadrat tenglama berilgan kvadrat tenglamasi. Masalan, kvadrat tenglamalar tenglamalardir
\\ (x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, \\ quad x ^ 2-6x \u003d 0, \\ 2-8 \u003d 0 \\)

Agar kvadrat tenglamada 2 + bx + c \u003d 0 bo'lsa, B yoki C koeffitsientlaridan kamida bittasi nolga teng, keyin bunday tenglama deyiladi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama. Shunday qilib, tenglamalar -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari. Birinchisida B \u003d 0, ikkinchi c \u003d 0, uchinchi B \u003d 0 va C \u003d 0.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari uch tur:
1) box 2 + c \u003d 0, qaerda \\ (c \\ niq 0 \\);
2) bob 2 + bx \u003d 0, qaerda \\ (b \\ niq 0 \\);
3) bob 2 \u003d 0.

Ushbu turlarning har birining tenglamalarini hal qilishni ko'rib chiqing.

Axt 2 + C \u003d 0 shaklining to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasini hal qilish uchun u o'zining bepul a'zosiga o'ng tomonda o'tkaziladi va quyidagi tenglamaning ikkala qismini quyidagi holga keltiradi:
\\ (x ^ 2 \u003d - \\ FRAC (a) \\trow x_ (1,2) \u003d \\ pm \\ sqrt (- \\ frac (a)) \\)

\\ (C \\ niq 0 \\), keyin \\ (- \\ frac (a) \\ niq 0 \\)

Agar \\ (- \\ frac (c) (a)\u003e 0 \\) bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega.

Agar \\ (- \\ frac (a) 2 + Bx \u003d 0, \\ (bx \u003d 0) bilan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasini hal qilish uchun ular chap qismini ko'paytiradilar va tenglamani ko'paytiradi
\\ (X (ax + b) \u003d 0 \\trow \\ chap \\ chap \\ (\\ boshlang'ich) (l) x \u003d 0 \\ \\ \\ \\ end + b \u003d 0 \\ end. \\ O'ngda \\ (\\ boshlang'ich) (L) X \u003d 0 \\ x \u003d - \\ FRAC (A) \\ End / To'g'ri. \\)

Shunday qilib, 2 + bx \u003d 0 shaklining to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi har doim ikkita ildizga ega.

Formadagi funktsiyaning to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi x 2 \u003d 0 tenglamaga teng va shuning uchun faqat ildiz 0 ga teng.

Kvadrat tenglama ildiz formulasi

Noma'lum va bepul a'zo bilan birga bo'lgan koeffitsientlar noldan farq qiladiganligini hozir ko'rib chiqing.

Umuman olganda, siz umuman diplom kvadrat tenglamasi va natijada biz ildiz formulasini olamiz. Keyin ushbu formula har qanday kvadrat tenglamani hal qilishda ishlatilishi mumkin.

Axt 2 + bx + c \u003d 0

Uning ikkala qismini a bilan ajratib turadigan, biz taqdim etilgan kvadrat tenglamasining ekvivalentiga egamiz
\\ (x ^ 2 + \\ fasc (a) x + \\ frac (a) \u003d 0 \\)

Biz ushbu tenglamani STREDIT MINTINI KO'RSATIShNI O'ZGARTIRADI:
\\ (x ^ 2 + 2x \\ cDOT \\ FRAC (2a) + \\ chap (\\ frac (b) (2a) \\ o'ng) ^ 2 \\ chap (\\a) \\ o'ngga) ^ 2 + \\ FRAC (C) (A) \u003d 0 \\trow \\)

\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (2a) + \\ chap (\\ Frac (B) (2a) \\ chap (\\ Frac (b) (2a) \\ o'ngga) ^ 2 - \\ FRAC (a) \\troww \\) \\ (x + \\ fasc (2a) \\ FRAC (2a \\ Frac (4a ^ 2) - \\ FRAC (c) (a) \\trown \\ chap (x + \\ fasc (2a) \\ o'ng) ^ 2 \u003d \\ 2-4ac (4a ^ 2) \\ o'ngtarw \\) \\ (x + \\ Frak (b) (2a) \u003d \\ pm \\ sqrt (4a ^ 2-4ac) (\\ 2-4ac) (B) (2a) (\\ pm \\ sqrt) ( B ^ 2 -4ac)) (2a) \\trow \\) \\ (x \\ frac (b ^ 2-4ac) (2a) \\)

Qo'riqchi ibora deyiladi kamsituvchi kvadrat tenglamasi Axt 2 + bx + c \u003d 0 ("kamsituvchi" lotin tilida o'ziga xosdir. D, I.00 harfi bilan belgilanadi
\\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)

Endi kamsituvchilarning belgisini ishlatish, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulani qayta yozing:
\\ (X_ (1,2) \u003d \\ FRAC (d)) (2a) \\), qaerda \\ (d \u003d b ^ 2-44ac \\)

Bu aniq:
1) Agar D\u003e 0 bo'lsa, kvadrat tenglamasi ikkita ildizga ega.
2) Agar d \u003d 0 bo'lsa, kvadrat tenglamasi bitta ildizga ega \\ (x \u003d Frac (2a) \\).
3) Agar D kamsitish darajasiga qarab, kvadrat tenglamasi ikkita ildizga ega bo'lishi mumkin (d \u003d 0 bilan) yoki ildiz otganda (ddasi bilan) Ushbu formulaga quyidagicha murojaat qilish tavsiya etiladi:
1) kamsituvchilarni hisoblash va uni nol bilan taqqoslash;
2) Agar kamsituvchi ijobiy yoki teng bo'lmagan bo'lsa, unda kamsituvchi salbiy bo'lsa, ildiz formulalaridan foydalaning, so'ngra ildizlarni yozing.

Vieta teoremasi

Axted kvadrat tenglamasi 2 -7x + 10 \u003d 0 ildizlar mavjud, ammo mahsulot miqdori qarama-qarshi bo'lgan ikkinchi koeffitsientga teng belgisi va ildizlarning mahsuloti bepul a'zoga teng. Bunday xususiyat har qanday kvadrat tenglamaga ega.

Taqdim etilgan kvadrat tenglamaning ildizlarining yig'indisi qarama-qarshi belgisi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga tengdir va ildizlarning mahsuloti bepul a'zoga teng.

Ular. Vieta teoremasi ushbu kvadrat tenglamaning x 1 + x 2 ning ildizlari x 2 + px + q \u003d 0 ta mulkka ega ekanligini ta'kidlaydi:
\\ (\\ chap boshlanadi (\\ boshlang'ich) (l) x_1 + x_2 \u003d -p \\ x_1 \\ cDOT x_2 \u003d Q \\ OFH (CAYEY) \\ To'g'ri. \\ To'g'ri. \\

Kvadrat tenglamasi - bu shunchaki hal qilinadi! * Keyingi "Ku" matnida.Ko'rinib turibdiki, bu matematikada bunday tenglamani echimdan ko'ra osonroq bo'lishi mumkin. Ammo bir narsa menga ko'p muammolarga duch kelganligimni menga taklif qildi. Men oyiga so'rov bo'yicha qancha taassurot berishda Yanex-ga qancha taassurot berishini ko'rdim. Bu nima bo'ldi, qarang:

Bu nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, oyiga 70 000 ga yaqin kishi bu ma'lumotni qidirmoqda, bu yoz nima va ular orasida nima bo'ladi o'quv yili - Talablar ikki baravar ko'p bo'ladi. Bu ajablanarli emas, chunki uzoq vaqtdan beri maktabni tugatgan va imtihonga tayyorgarlik ko'rmoqdalar, ular ushbu ma'lumotni qidirmoqdalar va maktab o'quvchilari uni xotirada yangilashga intilmoqda.

Ushbu tenglamani qanday hal qilish haqida tasvirlangan joylar juda ko'p bo'lishiga qaramay, men o'z hissamni yaratishga va materialni e'lon qilishga qaror qildim. Birinchidan, men ushbu so'rov uchun saytimga kelmoqchiman va tashrif buyuruvchilar mening saytimga kelishdi; Ikkinchidan, boshqa maqolalarda, "Ku" ning nutqi ushbu maqolaga murojaat qiladi; Uchinchidan, men sizga uning qarori bilan odatda boshqa saytlarda to'plangandan ko'proq narsani aytib beraman. Baland!Maqolaning mazmuni:

Kvadrat tenglamasi shaklning tenglamaidir:

koeffitsientlarb. va o'zboshimchalik bilan, bir narsa bilan.

Maktab kursida material quyidagi shaklda beriladi - har uch sinfga teng qiymatlarni ajratish shartli ravishda amalga oshiriladi:

1. ikkita ildizga ega bo'ling.

2. * Faqat bitta ildiz bor.

3. Ildizlariga ega bo'lmang. Bu erda bu erda haqiqiy ildizlari yo'qligini ta'kidlash kerak

Ildizlar qanday hisoblashadi? Shunchaki!

Kamsituvchilarni hisoblang. Bu "dahshatli" so'z juda oddiy formulaga to'g'ri keladi:

Ildiz formulalari quyidagi shaklga ega:

* Ushbu formulalar yurak orqali bilishlari kerak.

Siz darhol yozishingiz va qaror qilishingiz mumkin:

Misol:

1. Agar D\u003e 0 bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega.

2. Agar D \u003d 0 bo'lsa, tenglama bitta ildizga ega.

3. Agar D. bo'lsa< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Keling, tenglamani ko'rib chiqaylik:

Shu munosabat bilan, kamsituvchi nolga teng bo'lganida, maktabda bitta ildiz deyarli paydo bo'ladi, bu erda u to'qqiztaga teng. Bu to'g'ri va bor, lekin ...

Bu qarash biroz noto'g'ri. Aslida, ikkita ildiz olinadi. Ha, hayron bo'lmang, ikkita teng ildiz olinadi, agar siz matematik jihatdan aniq bo'lsangiz, ikkita ildizni javob berish kerak:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

Ammo bu juda oz chekinish. Maktabda yozishi mumkin, deydi ildiz biridir.

Endi quyidagi misol:

Ma'lumki, salbiy sonning ildizi olib tashlanmaydi, shuning uchun bu holatda hech qanday echim bo'lmaydi.

Bu butun eritma jarayoni.

Kvadratik funktsiya.

Bu erda echim qanday qilib geometrik ko'rinishga ega bo'ladi. Buni tushunish juda muhim (kelajakda, maqolalarning birida, biz kvadrat tengsizlikni batafsil ajratamiz).

Bu shaklning funktsiyasi:

u erda x va y o'zgaruvchilar

a, b, c - raqamlarni, nima bilan 0

Jadval Parabola:

Ya'ni, ayni paytda kvadrat tenglamasini nolga tenglashtirishimiz aytiladi, biz Parabola kesish nuqtasini o'q bilan topamiz. Ushbu fikrlar ikkita (kamsituvchi ijobiy) bo'lishi mumkin, bitta (kamsituvchi nol) va bitta (salbiy kamsituvchi) emas. O. kvadratik funktsiya ko'rishingiz mumkin Inna Feldning maqolasi.

Misollar:

1-misol: hal qiling 2x 2 +8 x.–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d -192

D \u003d B. 2 -4AC \u003d 8 2 -4 ∙ 2 ∙ (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Javob: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d -12

* Shu zahotiyoq 2, ya'ni, ya'ni uni soddalashtirish uchun chapga va tenglamaning chap va o'ng tomonida bo'lishi mumkin edi. Hisoblash osonroq bo'ladi.

2-misol: Qaror qilmoq x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -22 c \u003d 121

D \u003d b 2 -4ac \u003d (- - 22) 2-4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484-484 \u003d 0

X 1 \u003d 11 va x 2 \u003d 11 deb erishdi

Bunga javoban X \u003d 11 ni yozish joizdir.

Javob: X \u003d 11

3-misol: Qaror qilmoq x 2 -8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -8 c \u003d 72

D \u003d b 2 -4ac \u003d (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64-288 \u003d -224

Kirliksiz salbiy, haqiqiy raqamlarda echimlar yo'q.

Javob: Hech qanday echimlar yo'q

Kamsituvchi salbiy. Yechim!

Bu erda salbiy kamsituvchi olingan holatda tenglamani hal qilish masalasi muhokama qilinadi. Birlashtirilgan raqamlar haqida biron bir narsani bilasizmi? Men nima uchun va qayerda paydo bo'lganligi haqida batafsil gapirib bermayman va ularning o'ziga xos roli va matematikaga bo'lgan ehtiyoj katta bir maqola uchun mavzu ekanligini batafsil gaplashmayman.

Murakkab raqam tushunchasi.

Bir oz nazariya.

Z raqamlar sonini tashkil qiladi

z \u003d a + bi

bu erda a va b to'g'ri raqamlar, i - xayoliy birlik deb ataladi.

a + bi - Bu bitta raqam, qo'shimcha emas.

Xayoliy birlik minus birliklarining ildiziga teng:

Endi tenglamani ko'rib chiqing:

Ikkita konjugal ildizni oldi.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama.

Xususiy holatlarni ko'rib chiqing, bu "B" yoki "C" koeffitsienti nolga teng (yoki ikkalasi nolga teng). Ular hech qanday kamsituvchilarsiz osonlikcha hal qilinadi.

Ish 1. b \u003d 0 koeffitsienti.

Tenglama shaklga ega bo'ladi:

Biz o'zgartiramiz:

Misol:

4x 2 -16 \u003d 0 \u003d\u003e 4X 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -2

Ish 2. c \u003d 0 koeffitsienti.

Tenglama shaklga ega bo'ladi:

Biz o'zgaramiz, ko'paytirgichlarga yotqizamiz:

* Ishning kamida bittasi nolga teng bo'lganda, ish nolga teng.

Misol:

9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (X-5) \u003d 0 \u003d\u003e X \u003d 0 yoki X-5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Ish 3. B \u003d 0 va C \u003d 0 koeffitsientlari.

Shuni hisobga olganligi aniq, tenglama echimi har doim x \u003d 0 bo'ladi.

Foydali xususiyatlar va koeffitsientlar naqshlari.

Katta koeffitsientlar bilan tenglashlarni hal qilishga imkon beradigan xususiyatlar mavjud.

lekinx. 2 + bx.+ c.=0 Tenglik amalga oshiriladi

a. + b. + C \u003d 0,bu

- Agar tenglama koeffitsientlari uchun bo'lsa lekinx. 2 + bx.+ c.=0 Tenglik amalga oshiriladi

a. + C \u003d.b., bu

Ushbu xususiyatlar ma'lum bir tenglamaning ma'lum bir turini hal qilishga yordam beradi.

1-misol: 5001 x. 2 –4995 x. – 6=0

Koeffitsientlarning yig'indisi 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, bu degani

2-misol: 2501 x. 2 +2507 x.+6=0

Tenglik amalga oshiriladi a. + C \u003d.b., Shunday qilib

Koeffitsientlar qonunlari.

1. Agar 2 + bx + c \u003d 0 tenglama bo'lsa, "B" koeffitsienti (a 2 +1) koeffitsienti "A" koeffitsientiga tengdir. "A" koeffitsientiga teng

axt 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - 1 / a.

Misol. 6X 2 + 37x + 6 tenglikni ko'rib chiqing.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Agar 2 bobda - bx + c \u003d 0 tenglama bo'lsa, "B" koeffitsienti (va 2 +1) koeffitsienti "A" koeffitsientiga teng "A" koeffitsientiga teng

axt 2 - (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d 1 x 2 \u003d 1 / a.

Misol. 15x 2 -226x +15 \u003d 0 ni ko'rib chiqing.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. Agar tenglamada bo'lsaaxt 2 + bx - c \u003d 0 koeffitsient "b" koeffitsienti teng (a 2) - 1) va "C" koeffitsienti "A" koeffitsientiga teng, keyin uning ildizlari teng

axt 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Misol. 17X 2 + 288X tengligini ko'rib chiqing - 17 \u003d 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Agar 2-bobda - bx - c \u003d 0 tenglama bo'lsa, "B" koeffitsienti (a 2 - 1) koeffitsienti "A" ga teng, uning ildizlari teng

axT 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - 1 / a.

Misol. 10x 2 - 99x -10 \u003d 0 hisobini ko'rib chiqing.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vieta teoremasi.

Vieta teoremasi taniqli frantsuz matematika nomi bilan "Fransua Vetya nomi" deb nomlanadi. Veta teoremasi yordamida siz o'zingizning koeffitsientlari orqali o'zboshimchalik bilan va o'zboshimchalik bo'lganini ifodalashingiz mumkin.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Sumbada, 14 raqami atigi 5 va 9 raqam berilgan. Bular ildizdir. Ma'lum bir mahorat bilan, ko'plab kvadrat tenglamalari tomonidan taqdim etilgan teormadan foydalanasiz, siz og'zaki ravishda kelishini hal qila olasiz.

Bundan tashqari Vetya teoremasi. Bu qulaydir, chunki kvadrat tenglamani odatiy tarzda (kamsituvchi orqali), olingan ildizlarni tekshirish mumkin. Men buni har doim qilishni maslahat beraman.

O'tish usuli

Ushbu usulda, "A" koeffitsienti bepul a'zo, go'yo unga "harakat qiladi" deb nomlanadi "Transit" usuli.Ushbu usul siz Veta teoremasi yordamida tenglamaning ildizlarini osonlikcha, kamsituvchi aniq kvadrat bo'lganida osongina topishingiz mumkin.

Agar a lekin± b + C.≠ 0, keyin qabulxona ishlatiladi, masalan:

2h. 2 – 11x +.5 = 0 (1) => h. 2 – 11x +.10 = 0 (2)

Vietsa teoremasi tomonidan (2) buni aniqlash oson x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Olingan tenglamaning olingan ildizlari 2 ga bo'linishi kerak (ikki x 2) siljiydi), biz olamiz

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

Oqlanish nima? Nima bo'lishiga qarang.

Kamsituvchilar tenglamalari (1) va (2) teng:

Agar siz tenglamalarning ildizlariga qarasangiz, faqat turli xil denominatorlar olinadi va natijada 1 x 2-da koeffitsientga bog'liq:

Ikkinchi (o'zgartirilgan) ildizlar yana 2 baravar ko'proq olinadi.

Shuning uchun natija va 2 ga bo'linadi.

* Agar biz sayohat qilsak, natijada natija 3 va boshqalar bilan ajralib turadi.

Javob: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5

Kv. Ur-siz va ejin.

Uning ahamiyati haqida aytaman. Foydalanish vazifalariga kiritilgan juda ko'p vazifalar kvadrat tenglamani (shu jumladan geometrik) hal qilish uchun qisqartirildi.

Nimani nishonlash kerak!

1. Yozish tenglamasi shakli "yashirin" bo'lishi mumkin. Masalan, ushbu yozuv mumkin:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 yoki 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 yoki 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

Uni standart shaklga olib chiqishingiz kerak (kamchilik paytida chalkashib ketmaslik uchun).

2. X noma'lum qiymat ekanligini unutmang va uni boshqa harf - T, Q, P, H va boshqa harflar bilan ko'rsatish mumkin.

"Ya'ni birinchi darajali tenglamalar. Ushbu darsda biz tahlil qilamiz kvadrat tenglama deb nomlangan narsa Va uni qanday hal qilish kerak.

Kvadrat tenglama deb nomlangan narsa

Muhim!

Tenglama darajasi noma'lum bo'lgan eng katta darajada belgilanadi.

Agar noma'lum "2" bo'lsa, bu siz kvadrat tenglama ekanligingizni anglatadi.

Kvadrat tenglamalariga misollar

• 5x 2 - 14x + 17 \u003d 0
• -X 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x \u003d 0
• x 2 - 8 \u003d 0

Muhim! Kvadrat tenglamaning umumiy ko'rinishi quyidagicha:

A x 2 + b x + c \u003d 0

"A", "B" va "C" - ko'rsatilgan raqamlar.

• "A" birinchi yoki yuqori koeffitsient;
• "B" - ikkinchi koeffitsient;
• "C" - bu bepul a'zo.

"A", "B" va "C" ni topish uchun siz tenglamaingizni "Axt 2 + bx + C \u003d 0" belgisisining umumiy ko'rinishi bilan taqqoslashingiz kerak.

Kirlik tenglamalarida "A", "B" va "C" koeffitsientlarini aniqlashda davom etamiz.

5x 2 - 14x + 17 \u003d 0 -7x 2 - 13x + 8 \u003d 0 -X 2 + x +

Tenglama	Omillar
a \u003d 5. b \u003d -14. c \u003d 17.
a \u003d -7. b \u003d -13 c \u003d 8.

1

3

= 0

• a \u003d -1.
• b \u003d 1.
• c \u003d.

  1

  3

x 2 + 0,25x \u003d 0

• a \u003d 1.
• b \u003d 0.25
• c \u003d 0.

x 2 - 8 \u003d 0

• a \u003d 1.
• b \u003d 0.
• c \u003d -8.

Kvadrat tenglamalarini qanday hal qilish kerak

Kvadrat tenglamalarni echish uchun chiziqli tenglamalardan farqli o'laroq, maxsus ildizlarni topish uchun formula.

Yodingizda bo'lsin!

Sizga kerak bo'lgan kvadrat tenglamani hal qilish uchun:

• kvadrat tenglama yarating umumiy ko'rinish "Axt 2 + bx + c \u003d 0". Ya'ni, faqat 0 "o'ng tomonda qolishi kerak;
• ildiz formulasini ishlating:

Masalan, kvadrat tenglama ildizlarini topish uchun formulani qanday qo'llash mumkinligini tahlil qilaylik. Kvadrat tenglama bo'lsin.

X 2 - 3x - 4 \u003d 0

"X 2 - 3x - 4 \u003d 0" tenglama allaqachon "Axt 2 + bx + C \u003d 0" ning umumiy ko'rinishi uchun allaqachon berilgan va qo'shimcha soddalashtirilganliklarni talab qilmaydi. Uni hal qilish uchun bizda qo'llash uchun etarli kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi.

Biz ushbu tenglama uchun "A", "B" va "C" koeffitsientlarini aniqlaymiz.

x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d

U bilan har qanday kvadrat tenglama hal qilinadi.

"X 1; 2 \u003d" Formulada yo'naltirilgan iborani o'zgartiradi
"B 2 - 4AC" "D" harfida va kamsituvchi deb ataladi. "Kirlik" nima bo'lganida kamsissiz tushuncha batafsilroq ko'rib chiqiladi.

Kvadrat tenglamaning yana bir misolini ko'rib chiqaylik.

x 2 + 9 x \u003d 7x

Ushbu shaklda "A", "B" va "C" koeffitsientlarini aniqlang. Avvalo umumiy tipga "Axt 2 + bx + C \u003d 0" ga tenglashtiramiz.

X 2 + 9 x \u003d 7x
x 2 + 9 x - 7x \u003d 0
x 2 + 9 - 6x \u003d 0
x 2 - 6x + 9 \u003d 0

Endi siz ildiz formulalaridan foydalanishingiz mumkin.

X 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x \u003d.

6

2

x \u003d 3.
Javob: x \u003d 3

Kvadrat tenglamalarida ildizlar bo'lmagan holatlar mavjud. Ushbu holat salbiy raqam ildiz ostida bo'lganda paydo bo'ladi.