Puli kabi funktsiya va noma'lum integral.

Asosiy funktsiya va noma'lum integral

Fakt 1. Integratsiya - harakat, teskari tafovut, ya'ni funktsiyani ushbu funktsiyaning ma'lum bir lyumeativativiga muvofiq tiklash. Funktsiya tiklandi F.(x.) Qo'ng'iroq qildi oldindan shakllangan Funktsiya uchun f.(x.).

Ta'rif 1. Funktsiya F.(x. f.(x.) ba'zi vaqt oralig'ida X.Agar barcha qiymatlar uchun bo'lsa x. tenglik ushbu bo'shliqdan amalga oshiriladi F. "(x.)=f.(x., ya'ni bu xususiyat f.(x.) - bu ibtidoiy funktsiyaning hosilasi F.(x.). .

Masalan, funktsiya F.(x.) \u003d Gol. x. funktsiya uchun birlamchi f.(x.) \u003d Cos. x. butun sonda, iksaning har qanday qiymati bilan (gunoh. x.) "\u003d (COS x.) .

Ta'rif 2. Noma'lum jihatdan integral funktsiya f.(x.) Bu uning barcha ibtidoiyining to'liqligi deyiladi. Bu yozuvdan foydalanadi

∫

f.(x.)dX.

qayerda imzo ∫ Integral belgisi deb nomlangan, funktsiya f.(x.) - almashtirish funktsiyasi va f.(x.)dX. - aniq ifoda.

Shunday qilib, agar bo'lsa F.(x.) - qandaydir birlamchi f.(x.), T.

∫

f.(x.)dX. = F.(x.) +C.

qayerda C. - o'zboshimchalik bilan doimiy (doimiy).

Ko'plab ibtidoiy funktsiyalarning ma'nosini noaniq integral sifatida tushunish uchun quyidagi o'xshashlik mos keladi. Eshik (an'anaviy yog'och eshik) bo'lsin. Uning vazifasi "eshik bo'lishi". Eshik nimadan qilingan? Yog'ochdan. Shuning uchun, "Eshik bo'l", ya'ni noma'lum integral integral funktsiyasi, bu "+ C" funktsiyasidir, bu kontekstda, masalan, daraxtni ko'rsatadigan "+ yog'ochdan. Eshik bir nechta vositalar yordamida yog'ochdan yasalganidek, "qilingan" funktsiyasidan yuqori funktsiyaning hosilasi bilan biz lotinni o'rganib o'rgangan formulalar .

Keyin umumiy ob'ektlar va tegishli ibtidoiy (eshik bo'lishi uchun »-" daraxt bo'ling "," qoshiq bo'ling "," Metall "va boshqalarga ega bo'ling" - "Metall" va boshqa narsalar mavjud. , bu quyida bir oz ko'rsatiladi. Aniq integratsiya jadvallari oddiy funktsiyalarni, bu funktsiyalar amalga oshirilgan deb belgilab beradi. Noma'lum integralni topish bo'yicha vazifalar nuqtai nazaridan, bunday tortishuvlar bevosita tortishsiz, ya'ni noaniq integratsiyalar jadvalida birlashtirilishi mumkin. Vazifalarda siz jadval integratlaridan foydalanishingiz uchun oldindan to'lovlarni oldindan bajarishingiz kerak.

Fakt 2. Funktsiyani ibtidoiy sifatida tiklash, biz o'zboshimchalik bilan doimiy ravishda (doimiy) hisobga olishimiz kerak C.Izlanish uchun 1-dan turli-tuman konstantalar ro'yxatini yozmaslik uchun siz eng ko'p ibtidoiy stansiya bilan eng ko'p yozishingiz kerak C.Masalan, quyidagicha: 5 x.³ + p. Shunday qilib, o'zboshimchalik bilan doimiy (doimiy) ibtidoiy tarzda, ibtidoiy ish emas, masalan, 5 funktsiya bo'lishi mumkin x.³ + 4 yoki 5 x.³ + + 3 va 4 yoki 3 farqli yoki boshqa doimiy doimiy ravishda nolga qo'llaniladi.

Biz integratsiya vazifasini bajaramiz: bu funktsiya uchun f.(x.) bunday funktsiyani toping F.(x.), qaysi biri hosila teng f.(x.).

1-misol.Turli xil xususiyatlarni toping

Qaror. Ushbu xususiyat uchun funktsiya funktsiya

Funktsiya F.(x.) Funktsiya uchun ibtidoiy deb nomlanadi f.(x.) Agar hosilaforat bo'lsa F.(x.) Teng f.(x.) yoki bir xil, differentsial F.(x.) Qarg'a f.(x.) dX..

(2)

Binobarin, funktsiya funktsiya uchun ibtidor. Biroq, bu yagona asosiy emas. Ular ham funktsiya sifatida xizmat qilishadi

qayerda Dan - o'zboshimchalik bilan doimiydir. Bu ko'rinishi mumkin.

Shunday qilib, agar funktsiya uchun birinchi boshlang'ich bo'lsa, unda doimiy atamada farq qiladigan cheksiz ko'pchilik infin urug'i bor. Barcha asosiy funktsiyalar yuqoridagi shaklda yozilgan. Bu quyidagi teoremadan kelib chiqadi.

Teorema (fakt 2).Agar a F.(x.) - funktsiya uchun amal qiladi f.(x.) ba'zi vaqt oralig'ida H., keyin boshqa har qanday oddiy f.(x.) Xuddi shu bo'shliqda shaklda taqdim etilishi mumkin F.(x.) + C.qayerda Dan- o'zboshimchalik bilan doimiydir.

Keyingi misolda, biz 3-bandda keltirilgan integral xususiyatlaridan keyin 3-bandga beriladigan integral jadvalga murojaat qildik. Biz yuqorida aytilganlarning mohiyati tushunilishi uchun biz uni butun stol bilan tanishishdan oldin qilamiz. Jadval va xususiyatlardan keyin biz ularni butunlay birlashtirishda ulardan foydalanamiz.

2-misol.Bir nechta xususiyatlarni toping:

Qaror. Biz "ushbu funktsiyalar amalga oshirilgan" ibtidoiy funktsiyalar to'plamlarini topamiz. Integral stolning formulalarini eslatib turganda, bunday formulalar mavjudligini va biz noaniq integratsiyalar jadvalini butunlay yanada ko'proq o'rganamiz.

1) (7) formulani (7) qo'llash n. \u003d 3, biz olamiz

2) (10) formuladan (10) yordamida n. \u003d 1/3, bizda bor

3) kabi

keyin formula (7) qachon n. \u003d -1/4 toping

Integral yozuv belgisi ostida funktsiyaning o'zi emas f. va uning differentsial ishi dX. . Bu, birinchi navbatda, qaysi o'zgaruvchini ibtidoiy izlayotganligini ko'rsatish uchun amalga oshiriladi. Masalan,

, ;

bu erda ikkala holatda ham integratmandlik funktsiyasi tengdir, ammo ko'rib chiqilgan holatlardagi noma'lum integratsiyalar boshqacha. Birinchi holda, ushbu xususiyat o'zgaruvchining funktsiyasi hisoblanadi x. va ikkinchisida - funktsiya sifatida z. .

Nomali nomuvofiq funktsiyani topish jarayoni ushbu funktsiyani birlashtirish deb nomlanadi.

Noaniq ajralmas ma'nosi

Egri chiziqni topish talab qilinsin y \u003d f (x) Va biz allaqachon uning har bir nuqtai nazaridan egilgan burchak ko'rsatilgan funktsiyani bilamiz f (x) Bu nuqtaning uylari.

Lotinning geometrik ma'nosiga ko'ra, egri chiziqning tang vragen burchagi y \u003d f (x) hosilativ qiymatiga teng F "(x). Shunday qilib, siz bunday funktsiyani topishingiz kerak F (x), buning uchun F "(x) \u003d F (x). Vazifada talab qilinadigan funktsiya F (x) birlamchi f (x). Muammoning sharti bir egri emas, balki egri oilasidir. y \u003d f (x) - bunday egrilarlardan biri va har bir egri uning o'qi bo'ylab parallel uzatilishidan olinishi mumkin Oy..

Keling, ibtidoiy funktsiyaning grafikasini qo'ng'iroq qilaylik f (x) Integral egri. Agar a F "(x) \u003d F (x)Keyin funktsiya grafikasi y \u003d f (x) Integral egri chiziq mavjud.

Fakt 3. Noma'lum integral, geometrik ravishda ettita integratsiyalashgan egri chiziqlar bilan ifodalanadi Quyidagi rasmda bo'lgani kabi. Koordinatalar boshidan har bir egri chiziqning uzoqligi o'zboshimchalik bilan doimiy ravishda (doimiy) integratsiyasi bilan belgilanadi C..

Noma'lum integral xususiyatlari

Fakt 4. TheRem 1. Noma'lum integralning hosilasi - bu integratmand va differentsial manba ifodasi.

5-haqiqat 5. Teorem 2. Differentsial funktsiyadan kutilmagan yaxlitlik f.(x.) Teng funktsiya f.(x.) doimiy muddat aniqligi bilan .

(3)

1 va 2 teoremalari farqlash va integratsiya o'zaro bog'liq operatsiyalar ekanligini ko'rsatadi.

Fakt. TheRem 3. Intherda noaniq integralning belgisi uchun doimiy mulozikator qilinishi mumkin .

Funktsiya F (x. ) chaqqon oldindan shakllangan Funktsiya uchun f (x.) Agar hamma uchun bo'lsa, berilgan vaqt oralig'ida x. tenglik ushbu bo'shliqdan amalga oshiriladi

F "(x. ) = f.(x. ) .

Masalan, funktsiya F (x) \u003d x 2 f (x. ) = 2h. kabi

F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x \u003d f (x). ◄

Asosiy mulk - bu ibtidoiy

Agar a F (x) - funktsiya uchun juda mos keladi f (x) Ko'rsatilgan bo'shliqda, keyin funktsiya f (x) Bu juda ko'p ibtidoiy va bu barcha ibtidoiy tarzda yozilishi mumkin F (x) + bilanqayerda Dan - o'zboshimchalik bilan doimiydir.

Masalan.

Funktsiya F (x) \u003d x 2 + 1 funktsiya uchun birlamchi

f (x. ) = 2h. kabi F "(x) \u003d (x 2 + 1 )" = 2 x \u003d f (x);

funktsiya F (x) \u003d x 2 - 1 funktsiya uchun birlamchi

f (x. ) = 2h. kabi F "(x) \u003d (x 2 - 1)" = 2x \u003d f (x) ;

funktsiya F (x) \u003d x 2 - 3 funktsiya uchun birlamchi

f (x.) = 2h. kabi F "(x) \u003d (x 2 - 3)" = 2 x \u003d f (x);

har qanday xususiyat F (x) \u003d x 2 + Dan qayerda Dan - o'zboshimchalik bilan doimiy ravishda va faqat bunday funktsiya funktsiya uchun ibtidoiy f (x.) = 2h. . ◄

Birlamchi deb hisoblash qoidalari

Agar a F (x) - PRANGA-ga o'xshash F (x) , lekin G (x) - PRANGA-ga o'xshash g (x) T. F (x) + g (x) - PRANGA-ga o'xshash f (x) + g (x) . Boshqa so'zlar bilan aytganda, birinchi summa - riaqatalning yig'indisiga teng .
Agar a F (x) - PRANGA-ga o'xshash F (x) , I. k K. - Doimiy, keyin k K. · F (x) - PRANGA-ga o'xshash k K. · f (x) . Boshqa so'zlar bilan aytganda, doimiy multiplikator deriativ belgisi uchun amalga oshirilishi mumkin .
Agar a F (x) - PRANGA-ga o'xshash F (x) , I. k K., B.- Doimiy va shilimshiq 0 T. 1 / K K. · F (k K. x +.b. ) - PRANGA-ga o'xshash f.(k K. x +. b.) .

Noaniq integral

Noaniq integral funktsiyadan F (x) ifoda deb nomlangan F (x) + bilan, ya'ni ushbu xususiyatning barcha birlamchi qismi f (x) . Noma'lum integralni bildiradi:

∫ f (x) dx \u003d f (x) + bilan ,

f (x)- qo'ng'iroq qilmoq integratsiyalashgan funktsiya ;

f (x) dx - qo'ng'iroq qilmoq aniq ifoda ;

x. - qo'ng'iroq qilmoq o'zgaruvchan integratsiya ;

F (x) - ibtidoiy funktsiyalardan biri F (x) ;

Dan - o'zboshimchalik bilan doimiydir.

Masalan, ∫ 2 x dx \u003d.h. 2 + Dan , ∫ cos.x dx \u003d.gunoh. h. + Dan va boshqalar. ◄

"Integral" so'zi lotin so'zidan keladi butun son "Qayta tiklangan" degani nimani anglatadi. Noma'lum integralni hisobga olgan holda 2 x. , biz funktsiyani tiklaymiz h. 2 bu teng bo'lgan 2 x. . Funktsiyani hosilasi bilan tiklash yoki bu integratsiynizm funktsiyasida hal etilmagan integralni topish deyiladi integratsiya Bu xususiyat. Integratsiya - bu operatsiya, teskari tafovut. Integratsiya to'g'ri bajarilganligini tekshirish uchun, natijani rad etish va manba funktsiyasini olish kifoya.

Noma'lum integralning asosiy xususiyatlari

Noma'lum integralning hosilasi - bu integratorlik funktsiyasiga teng:

(∫ f (x) dx )" \u003d F (x) .

Integratsiyalashgan iboraning doimiy multipleyasi integral belgisi uchun berilishi mumkin:

∫ k K. · f (x) dx = k K. · ∫ f (x) dx .

Vazifalar miqdoridan (farq) integratsiya bu funktsiyalarning integrallari miqdoriga teng (farq):

∫ ( f (x) ± g (x ) ) dX. = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x.) ) dX. .

Agar a k K., B.- Doimiy va shilimshiq 0 T.

∫ f ( k K. x +. b.) dX. = 1 / K K. · F (k K. x +.b. ) + S. .

Boshlang'ich va noaniq integrallar jadvali

	f (x)	F (x) + c	∫ f (x) dx \u003d f (x) + bilan
I.	$$0$$	$$ c $$.	$$ \\ int 0dx \u003d c $$
II.	$$ k $$	$$ kx + c $$	$$ \\ int kdx \u003d kx + c $$
III.	$$ x ^ n ~ (n \\ nQ-1) $$	$$ \\ FRAC (x ^ (n + 1)) (N + 1) + C $$	$$ \\ int X ^ ndx \u003d \\ frac (X ^ (N + 1)) (N + 1) + C $$
IV.	$$ \\ fra (1) (x) $$	$$ \\ ln \| x \| + c $$	$$ \\ int \\ frac (x) \u003d \\ ln \| x \| + C $$ \|
V.	$$ \\ SIN X $$	$$ - \\ cos x + c $$	$$ \\ int \\ Sin X ~ DX \u003d - \\ cos x + c $$
VI.	$$ \\ cos x $ $	$$ \\ Sin X + C $$	$$ \\ int \\ cos x ~ dx \u003d 'Sin X + C $$
VII.	$$ \\ FRAC (1) (\\ Cos ^ 2x) $$	$$ \\ TEXTRM (TG) ~ x + c $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos ^ 2x) \u003d \\ TEXTM (TG) ~ x + C $$
VIII.	$$ \\ FRAC (1) (\\ Sin ^ 2x) $$	$$ - \\ TEXTRM (CTG) ~ x + C $$	$$ \\ int \\ FRAC (DX) (\\ Sin ^ 2x) \u003d - \\ Textrm (CTG) ~ x + c $ $$
IX.	$$ e ^ x $$	$$ e ^ x + c $$	$$ \\ int e ^ xdx \u003d e ^ x + c $$
X.	$$ a ^ x $$	$$ \\ FRAC (A ^ x) (\\ ln a) + c $$	$$ \\ int A ^ xdx \u003d \\ FRAC (A ^ x) + C $$
Xi.	$$ \\ FRAC (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) $$	$$ \\ arcsin x + c $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (1-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin x + c $$
XII.	$$ \\ FRAC (1) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) $$	$$ \\ arcsin \\ frac (x) (a) + C $$	$$ \\ int \\ FRAC (DX) (A ^ 2-X ^ 2)) \u003d \\ arcsin \\ Frac (A) + C $ $$
XIII.	$$ \\ FRAC (1) (1 + x ^ 2) $$	$$ \\ TEXTRM (ARCTG) ~ x + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (1 + x ^ 2) \u003d \\ Textrm (Arctg) ~ x + C $$
XIV.	$$ \\ FRAC (1) (a ^ 2 + x ^ 2) $$	$$ \\ FRAC (1) (a) \\ TEXTM (ARCTG) ~ \\ Frac (A) + C $$	$$ \\ int \\ FRAC (A ^ 2 + x ^ 2) \u003d \\ FRAC (A) \\ TEXTM (A) ~ Fracg (a) + C $$
XV	$$ \\ FRAC (1) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) $$	$$ \\ ln \| x + ^ 2 + x ^ 2) \| + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (A ^ 2 + x ^ 2)) \u003d \\ ln \| ^ ^ 2) \| / 2 + x ^ 2) \| + C $$
XVI.	$$ \\ FRAC (1) (x ^ 2-a ^ 2) ~ (a \\ nq0) $$	$$ \\ FRAC (1) (2a) \\ ln \\ boshlang'ich (x-a) (x-a) (x + a) \\ end (VMTRIX) + C $$	$$ \\ int \\ FRAC (x ^ 2-a ^ 2) \u003d \\ FRAC (2a) \\ ln \\ boshlang'ich (XA) \\ Frace \\ Frace \\ Frace (X + A) \\ End (VMTRIX) C $$.
XVII.	$$ \\ TEXTRM (TG) ~ x $$	$$ - \\ ln \| \\ cos x \| + C $$	$$ \\ int \\ tekstm (tg) ~ x ~ dx \u003d \\ ln \| \\ cos x \| + C $$ \| + C $$
XVIII.	$$ \\ TEXTRM (CTG) ~ x $$	$$ \\ ln \| Sin X \| + C $$	$$ \\ int \\ TEXTRM (CTG) ~ x ~ dx \u003d \\ ln \| Sin x \| + C $$
XIX.	$$ \\ FRAC (1) (\\ Sin x) $$	$$ \\ ln \\ boshlang'ich (VMATRRIX) \\ TEXTRM (TGEM) ~ \\ Frac (2) \\ tugash (VMATRIX) + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) \u003d \\ ln \\ boshlang'ich (VMATRIXS) \\ TEXTRM (X) ~ \\ Fracs (2) \\ C $ 5. C $$
XX.	$$ \\ FRAC (1) (\\ Cos x) $$	$$ \\ ln \\ boshlang'ich (VMATTTRM (TEXTRM (x) chap (2) (\\ pi) (\\ pi) \\ tugaydi (4) \\ the (VMATRRIX) + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ ln \\ boshlang'ich (vmcrix) \\ tekstm (\\ pi) (\\ pi) (4) \\ o'ng ) \\ Oxir (VMATRIX) + C $$
Ushbu jadvalda keltirilgan birinchi va noaniq integratsiyalar odatiy deb nomlanadi. jadvallar - ibtidoiy va jadval integrallari .

Muayyan integral

Intervalda bo'lsin [a.; B.] Uzluksiz funktsiya belgilangan y \u003d f (x) keyin a dan b gacha o'zgargan Vazifalar f (x) O'sish - bu ibtidoiy F (x) bu funktsiya, ya'ni

$$ \\ Int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d f (x) | (_a ^ b) \u003d ~~ f (b). $$

Raqamlar a.va b. mos ravishda chaqiriladi nizina va yuqori integratsiya chegaralari.

Muayyan integralni hisoblashning asosiy qoidalari

1. \\ (\\ int_ (a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\);

2. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) d (x) dx \u003d \\ int_ (a) f (x) dx \\);

3. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) dx \u003d k \\ inst (a) ^ (b) f (x) dx, \\) qayerda k K. - Doimiy;

4. \\ (\\ int_ (a) ^ (x) ± g (x)) dx \u003d \\ int_ (b) f (x) dx \\ \\ int_ (b) ^ (b) ^ (b) g (x) dx \\);

5. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) dx \u003d \\ int \u003d \\ int \u003d \\ int (x) dx + \\ int (x) dx \\) ;

6. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) F (x) dx \u003d 2 \\ int_ (a) f (x) dx \\) F (x) - hatto funktsiya;

7. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\), bu erda f (x) - g'alati xususiyati.

Sharh . Barcha holatlarda, chegaralar integratsiyalash chegaralari bo'lgan raqamli oraliqlarda kiritilishi mumkin bo'lgan funktsiyalar deb taxmin qilinadi.

Muayyan integral va jismoniy mazmunli

Geometrik ma'no ajralmas ajralmas	Jismoniy ma'no ajralmas ajralmas

Maydoni S. Curvilineare Trapzium (Fotosuratlar oraliq jadvali bilan cheklangan [a.; B.] Vazifalar f (x) , o'q Ho'kiz. Va to'g'ri x \u003d a. , x \u003d B. ) formulaga qarab hisoblanadi $$ s \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx. $$	Yo'l s.kim haddan oshdi moddiy nuqta, qonun bilan o'zgaruvchan stavka o'zgarganda v (t) , vaqt o'tishi bilan a ; B.], keyin ushbu funktsiyalarning grafikasi va to'g'ridan-to'g'ri chizig'i bilan cheklangan raqam maydoni x \u003d a. , x \u003d B. formulasi bilan hisoblangan $$ s \u003d \\ int_ (a) ^ (b) (x) (x)) dx. $$
	Masalan. Rasmlar cheklangan liniyalarning maydonini hisoblang y \u003d x. 2 va y \u003d.2 - X. . Men ushbu funktsiyalarning sxematik ravishda grafikasini namoyish qilaman va siz maydonni topishni istagan raqamni ta'kidlayman. Yo'lni echish orqali integratsiya chegarasini topish: x. 2 = 2 - X. ; x. 2 + x -2 = 0 ; x. 1 = -2, X. 2 = 1 . $$ s \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) ((2-x) -x ^ 2) Dx \u003d $$
$$ \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) (2-Xx ^ 2) dx \u003d \\ chap (x ^ 2) (2) - \\ FRAC (x ^ 3) (2) \\ O'ngda) \\ Bigm \| (_ (- 1) ^ (~ 1)) \u003d 4 \\ FRAC (1) (2). $$. ◄

Aylanish hajmi

Agar tanasi o'q yaqinidagi aylanish natijasida olinsa Ho'kiz. vaqt oralig'ida doimiy va salbiy bo'lmagan diapazon bilan cheklangan Curvilineareare Trapezium [a.; B.] vazifalar y \u003d f (x) Va to'g'ri x \u003d a.va x \u003d B. Keyin u chaqiriladi aylanish organi .

Aylanish hajmi formulaga qarab hisoblanadi

$$ v \u003d \\ pi \\ int_ (a) ^ (b) f ^ 2 (x) dx. $$

Agar aylanish organi ushbu rasmni aylantirish natijasida olingan bo'lsa, yuqoridan va pastdan pastroq funktsiyalarning grafikasi bilan cheklangan y \u003d f (x) va y \u003d g (x) Shunga ko'ra, keyin

$$ v \u003d \\ pi \\ int_ (a) ^ (b) (x) -g ^ 2 (x)) dx. $$

Masalan. Radiusi bilan konus hajmini hisoblang r. va bo'yi h. .

Konus B. to'rtburchaklar tizimi koordinatalar, uning o'qi o'q bilan to'g'ri keladi Ho'kiz. Va poydevorning markazi koordinatlarning boshida joylashgan edi. Shakllantirishning burilishi Ab Konusni aniqlaydi. Tenglama uchun Ab

$$ \\ FRAC (X) (H) + \\ FRAC (R) \u003d 1, $$

$$ y \u003d R- \\ FRAC (H) $$

va konusning hajmi uchun bizda bor

$$ v \u003d \\ pi \\ int_ (h) (H) (h) (h) (h) (h) (h)) ^ 2dx \u003d 2 \\ int_ (h) ^ (h) (1- frac (1- frac) x) (h)) ^ 2dx \u003d \\ pi r ^ 2h \\ cdot \\ frast \\ frace ((1- \\ frace \\ frast (3) | (\\ pi r ^) 2h \\ chap (0- frac (1) (3) \\ o'ng) \u003d \\ frac (\\ pi r ^ 2h) (3). $$

◄

To'g'ri yo'lning harakatini ko'rib chiqing. Olib keting t. Harakat boshidanoq, nuqta yo'ldan o'tdi s (t). Keyin tezkor tezlik v (t) loterativ funktsiyaga teng S (t), ya'ni v (t) \u003d s "(t).

Amalda, fikrlar: ma'lum bir tezlikda v (t) Yo'lni toping s (t)ya'ni bunday funktsiyani toping s (t), Uning hosilasi teng v (t). Funktsiya s (t), Shu kabi s "(t) \u003d v (t), ibtidoiy funktsiya deb ataladi v (t).

Masalan, agar v (t) \u003d atqayerda ammo- belgilangan raqam, keyin funktsiya
s (t) \u003d (2 da) / 2 V (t), kabi
s "(t) \u003d ((2) / 2 da)" \u003d at \u003d v (t).

Funktsiya F (x) ibtidoiy funktsiya deb ataladi f (x)agar hamma uchun bo'lsa, ba'zi bir vaqtlarda h.ushbu bo'shliqdan F "(x) \u003d F (x).

Masalan, funktsiya F (x) \u003d sin x- bu ibtidoiy funktsiya f (x) \u003d cos x,kabi (Sin x) "\u003d cos x; funktsiya F (x) \u003d x 4/4- bu ibtidoiy funktsiya f (x) \u003d x 3kabi (x 4/4) "\u003d x 3.

Vazifani ko'rib chiqing.

Vazifa.

Funktsiyalar x 3/3, x 3/3 + 1, x 3/3 - 4 funktsiyali va bir xil funktsiya f (x 2) ekanligini isbotlang.

Qaror.

1) f 1 (x) \u003d x 3/3, keyin f "1 (x) \u003d 3 ∙ (x 2 \u003d F (x).

2) f 2 (x) \u003d x 3/3 + 1, f "2 (x) \u003d (x 3/3 + 1)" + x 2 \u003d f ( x).

3) f 3 (x) \u003d x 3/3 - 4, f "3 (x) \u003d (x 3 - 4)" \u003d x 2 \u003d F (x).

Umuman olganda, har qanday funktsiya x 3/3 + C funktsiyasi, bu erda C doimiy bo'lib, bu ibtidoiy funktsiyani x 2. Bu doimiy leyviativ nolga teng bo'lganidan kelib chiqadi. Ushbu misol shuni ko'rsatadiki, ushbu funktsiya uchun uning ibtidoiy ravishda qat'iyan belgilanadi.

F 1 (x) va F 2 (x) ikkita ibtidoiy va bir xil funktsiya bo'lsin.

Keyin f 1 "(x) \u003d F (x) va F '2 (x) \u003d F (x).

ularning farqi G (x) \u003d F 1 (x) lotin - F 2 (x) G beri, nol bo'ladi "(x) \u003d f" 1 (x) - f "2 (x) \u003d f (x) - f (x) \u003d 0.

Agar g "(x) \u003d bir oz bo'shliqda 0 bo'lsa, bu bo'shliqning har bir nuqtasida, o'qning har bir nuqtasida y \u003d g funktsiyaning har bir funktsiyasining har bir qismida tanglang. Shuning uchun y \u003d g funktsiya funktsiyasi (x funktsiyasi funktsiyasi) ) to'g'ri, parallel o'qi oh, t. g (x) \u003d c, bu erda c (x) \u003d g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) - F 2 (x) - f 2 (x) - F 2 nisbati ( x), bu f 1 (x) \u003d F 2 (x) + S.

Shunday qilib, agar F (x) funktsiyasi - bu f (x) bir vaqt oralig'ida f (x). peshtoqli funktsiyalar F (x) f (x) + c shaklida qayd etiladi, u o'zboshimchalik bilan doimiydir.

F (x) ning barcha oddiy funktsiyalarining grafikasini ko'rib chiqing. Agar f (x) f (x) ning ibtidoiy funktsiyalaridan biri bo'lsa, unda F (x) + c funktsiyalari y \u003d f funktsiyalarining grafikasi bilan olinadi (x) + s grafikasidan olingan y \u003d F (x) siljishdan ou o'qi bo'ylab siljiydi. Bunga C-ning grafikasi belgilangan nuqtadan o'tishi mumkin.

Kambag'allarni aniqlash qoidalariga e'tibor bering.

Eslatib o'tamiz, ushbu funktsiya uchun lotinni topish jarayoni deyiladi farqlash. Ushbu funktsiyani birlamchi deb nomlashning teskari foydalanishi deyiladi integratsiya(Lotin so'zidan) "Qayta tiklash").

Pashtli stol Ba'zi funktsiyalar uchun siz dervatsiya jadvalidan foydalanib yaratishingiz mumkin. Masalan, buni bilish (Cos x) "\u003d -Sin X, Qabul qilmoq (-Cos x) "\u003d Sin xU barcha ibtidoiy funktsiyalarga amal qiladi xIN X. Shaklda qayd etilgan -cos x + bilanqayerda Dan- Doimiy.

Keling, oddiy qiymatlarni ko'rib chiqing.

1) Funktsiya: x p, p ≠ -1. Chop etish: (x p + 1) / (P + 1) + C.

2) Funktsiya: 1 / x, x\u003e 0. Chop etish: ln x + S.

3) Funktsiya: x p, p ≠ -1. Chop etish: (x p + 1) / (P + 1) + C.

4) Funktsiya: e H.. Chop etish: e x + S.

5) Funktsiya: xIN X.. Chop etish: -Cos x + S.

6) Funktsiya: (kx + b) p, p ≠ -1, k ≠ 0. Chop etish: ((Kx + b) p + 1) / k (p + 1)) + C..

7) Funktsiya: 1 / (kx + b), k ≠ 0. Chop etish: (1 / k) ln (kx + b) + c.

8) Funktsiya: e kx + b, k ≠ 0. Chop etish: (1 / k) e kx + b

9) Funktsiya: sin (KX + B), k ≠ 0. Chop etish: (-1 / k) cos (kx + b).

10) Funktsiya: cos (kx + b), k ≠ 0.Chop etish: (1/ k) Gund (KX + B).

Integratsiya qoidalari yordamida olish mumkin farqlash qoidalari. Ba'zi qoidalarni ko'rib chiqing.

Bo'linmoq F (x) va G (x) - mos ravishda funktsiyalar f (x)va g (x)ba'zi vaqt oralig'ida. Keyin:

1) funktsiya F (x) ± g (x) - bu ibtidoiy funktsiya f (x) ± g (x);

2) funktsiya af (x)- bu ibtidoiy funktsiya af (x).

sayt, asl manbaga nisbatan materialning to'liq yoki qisman nusxasini nusxalash kerak.

Bir integrallarning echimi - bu yorug'lik engil, faqat tanlanganlar uchun. Ushbu maqola integrallarni tushunishni o'rganmoqchi bo'lganlar uchun, ammo ular haqida hech narsa yoki deyarli hech narsa bilmaydi. Integral ... Nega bu kerak? Buni qanday hisoblash kerak? Muayyan va noaniq ajralmas narsa nima? Agar sizga ma'lum bo'lgan yagona integral qo'llanma - bu integral belgi shaklida, qiyin joylardan foydalangan holda foydalangan holda, keyin xush kelibsiz! Integratsiyalarni qanday hal qilishni o'rganing va nima uchun buni amalga oshirish mumkin emas.

"Integral" tushunchasini o'rganamiz

Integratsiya hali ham ma'lum edi Qadimgi Misr. Albatta, emas zamonaviy video, lekin hali ham. O'shandan beri matematika ushbu mavzu bo'yicha ko'plab kitoblarni yozdi. Ayniqsa ajralib chiqadi Nyuton va Leybins Ammo narsalarning mohiyati o'zgarmadi. Skratchning integrallarini qanday tushunish kerak? Hech qanday tarzda! Ushbu mavzuni tushunish uchun matematik tahlilning poydevorlarining asosiy bilimlari hali ham kerak bo'ladi. Bu siz haqingizda asosiy ma'lumotlar bizning blogimizda topiladi.

Noaniq integral

Keling, biron bir funktsiyani o'tkazaylik f (x) .

Integral funktsiya f (x) Ushbu xususiyat deyiladi F (x) , uning hosilasi funktsiyaga teng f (x) .

Boshqacha aytganda, integral bu aksincha yoki ibtidoiy holatda. Aytgancha, bizning maqolamizda qanday o'qish haqida.

Barcha doimiy funktsiyalar uchun bashoratli mavjudotlar. Shuningdek, derivativlar doimiy ravishda birlamchi birlamchi bilan birlamchi belgilanadi. Integratsiyani topish jarayoni integratsiya deb nomlanadi.

Oddiy misol:

Delinal elementar funktsiyalarni hisoblash uchun doimiy ravishda, jadvalni kamaytirish va tayyor qiymatlardan foydalanish qulay:

Muayyan integral

Integral kontseptsiya bilan shug'ullanish, biz cheksiz kichik qadriyatlar bilan shug'ullanamiz. Injidlik notekis harakat yo'lida va boshqa ko'p narsalar ostida o'tgan raqamning shaklini, noaniq tananing massasini hisoblashda yordam beradi. Shuni esda tutish kerakki, integral bu cheksiz ko'p sonli cheksiz kichik atamalarning yig'indisi.

Bunga misol sifatida ba'zi funktsiyalar jadvalini tasavvur qiling. Funktsiya grafikasi bilan cheklangan raqamlarni qanday topish mumkin?

Yaxlitlik yordamida! Biz Currvilinear Trapziyani, koordinata o'qlari va funktsiyaning grafikasidan cheksiz kichik segmentlar bilan cheklangan. Shunday qilib, raqam ingichka ustunlarga bo'linadi. Ustunlarning yig'indisi trapezoidning maydoni bo'ladi. Ammo bunday hisob-kitobni namunaviy natijani keltirib chiqaradi. Biroq, segmentlar allaqachon kamroq bo'ladi, hisoblash hisobi bo'ladi. Agar biz ularni shunday kamaytirsak, uzunligi nolga intilsak, segmentlar soni raqamning maydoniga ta'sir qiladi. Bu quyidagicha yozilgan aniq ajralmas narsa:

A va B nuqtalari integratsiya chegaralari deb nomlanadi.

Baria Alibasov va "Integral" guruhi

Aytmoqchi! Hozirgi kunda bizning o'quvchilarimiz 10% chegirma mavjud

Dummiyalar uchun integratsiyalarni hisoblash qoidalari

Noaniq integral xususiyatlari

Noma'lum integralni qanday hal qilish kerak? Bu erda biz misollarni hal qilishda foydali bo'lgan noaniqlik xususiyatlarini ko'rib chiqamiz.

Integralning hosilasi - bu integratorlik funktsiyasiga teng:

Doimiy ravishda yaxlitlik belgisidan amalga oshirilishi mumkin:

Miqdordan ajralmas narsa integrallar miqdoriga teng. Shuningdek, farq uchun ham:

Muayyan integral xususiyatlari

Chiziqlilik:

Integratsiya chegaralari o'zgartirilgan bo'lsa, integral belgi o'zgaradi:

Uchun har qanday Ballar a., b. va dan:

Biz ma'lum bir integral narsa miqdorning chegarasi ekanligini allaqachon bilib oldik. Ammo misolni hal qilishda aniq qiymatni qanday olish kerak? Buning uchun Nyuton-Leibnik formulasi mavjud:

Integratsiyalarni hal qilishga misollar

Quyida noaniq integratsiyalarni topishning bir nechta misollarini ko'rib chiqadi. Biz sizga eritmaning noziklarini tushunishni taklif qilamiz va agar biror narsa tushunarsiz bo'lsa, sharhlarda savol bering.

Materialni ta'minlash uchun, qanday qilib integratsiyada qanday hal qilinishlari haqida videoni ko'ring. Agar yaxlit darhol berilmasa, tushkunlikka tushmang. So'rang, va ular o'zlarini biladiganlarning yaxlitlarini hisoblash haqida gapirib berishadi. Bizning yordamimiz bilan yopiq sirtda uch marta yoki egri chiziqlar kuchga aylanadi.

Operatsiyalarning farqlanishidan biri bu lotin (differentsial) va o'qish uchun amal qilish funktsiyalarining asosidir.

Hech qanday muhim ahamiyatga ega emas. Agar funktsiya xulq-atvori uning qat'iyatliligi bo'lsa, unda qanday qilib butun funktsiyani to'liq tiklashga, i.e. Uning ta'rifining butun sohasida. Bu vazifa integral hisob-kitob deb nomlangan mavzu hisoblanadi.

Integratsiya - bu teskari tabaqalanishning ta'siri. Yoki ushbu hosilasiativ F (x) funktsiyasini tiklash yoki tiklash. Lotin so'zi "inngro" tiklanishni anglatadi.

№1 misol.

(F (x)) "\u003d 3x 2. F (x) ni toping.

Qaror:

O'zgarish qoidalariga tayanish, F (x) \u003d x 3, uchun taxmin qilish qiyin emas

(x 3) '\u003d 3x 2 Biroq, F (x) noaniqligini ta'kidlash mumkin. F (x) kabi, siz F (x) \u003d x 3 +1 f (x) \u003d x 3 +2 f (x) \u003d x 3 -3 va boshqa va boshqa va boshqalarni olishingiz mumkin.

Chunki Ularning har birining hosilasi 3x 2 ni tashkil qiladi. (Differentsiant 0). Ushbu funktsiyalarning barchasi bir-biridan doimiy ravishda farq qiladi. shu sababli umumiy qaror Vazifalar F (x) \u003d x 3 + C shaklida yozilishi mumkin, u erda C doimiy haqiqiy raqami bor.

F (x) harflar deb nomlanadi Oldindan shakllangan F funktsiyasi uchun (x) \u003d 3x 2

Ta'rif.

F (x) funktsiyasi F (x) funktsiyasida F funktsiyasi uchun ibtidoiy deb ataladi J BIR BAP funktsiyasida (x) \u003d F (x). Shunday qilib, F funktsiyasi f (x) \u003d x 3 f (x) \u003d 3x 2 yoqilgan (- ∞; ↑). Chunki barcha x ~ r, tenglik to'g'ri: f` (x) \u003d (x 3) `\u003d 3x 2

Biz buni payqaganimizdek, bu funktsiya infinsiz to'plamga ega.

2-misol.

Funktsiya butun oraliqda (0; + ↑), chunki Ushbu bo'shliqning barchalari uchun tenglik amalga oshiriladi.

Integratsiya vazifasi ushbu funktsiya uchun barcha dastlabki funktsiyalarni topishdir. Ushbu vazifani hal qilishda quyidagi bayonot muhim rol o'ynaydi:

Konstanslik funktsiyasi belgisi. Agar f "(x) \u003d 0 i bo'shliqda 0 bo'lsa, F funktsiyasi ushbu intervalda doimiydir.

Dalillar.

I bo'shliqning x 0-ni tuzating. Keyin Lagran formulasining har qanday soni uchun X va x 0 orasidagi C to'plamini belgilashingiz mumkin

F (x) - f (x 0) \u003d F "(C) (x - x 0).

F '(c) \u003d 0, shu sababli,

F (x) - f (x 0) \u003d 0.

Shunday qilib, men vaqt oralig'ida x

t. Funktsiyasi F doimiyligini saqlab qoladi.

F funktsiyali funktsiyali funktsiyalar deb nomlangan yagona formula bilan yozilishi mumkin birinchi funktsiyaning umumiy ko'rinishi f. Adolatli teorema ( asosiy mulk - bu ibtidoiy):

Teorema. Funktsiyadagi har qanday birinchi navbatda men yozib olishim mumkin

F (x) + c, (1) F (x) bu men va C intervaldagi F (x) ning ibtidoiy funktsiyalaridan biri va c o'zboshimchalik bilan.

Keling, ushbu ikkita xususiyat qisqacha shakllantirilganligini tushuntirib bering:

qanday qilib (1) ifoda etishning o'rniga, biz vaqt oralig'ida F uchun ibtidoiy ravishda olamiz;
men olmagunimcha f uchun f uchun har qanday narsa, siz bir vaqt oralig'ida x barcha uchun men tenglikdan o'tkazaman

Dalillar.

Vaziyat bo'yicha F funktsiyasi F va F '\u003d F' \u003d x) har qanday x dan (x) + c) uchun (F (x) (x) + C "\u003d F (x) + 0 \u003d F (x), i.e. f funktsiyasi uchun ibtidoiy javobdir.
F (x) funktsiyaning asosiy funktsiyasidan biri, men, I.E. F "(x) \u003d F (x) barcha X uchun.

Keyin (f (x) - f (x)) "\u003d F" (x) \u003d F (x) -f (x) \u003d 0.

Bu erda u quyidagicha. Konstrakt (x) - F (x) farq qiladigan doimiylik belgisi - F (x) bu vaqt oralig'idan doimiy qiymatni oladigan funktsiya hisoblanadi.

Shunday qilib, men bo'shliqdan xamirturush men, tenglik f (x) - f (x) \u003d c, buni isbotlash kerak edi. Asosiy mulkning asosiy xususiyati berilishi mumkin geometrik ma'no: har qanday ikkita ibtidoiy funktsiyalarning grafikasi Ou o'qi bo'ylab parallel ravishda parallel ravishda parallel o'tkazma orqali olinadi.

Mavhum uchun savollar

F (x) funktsiya F funktsiyasi uchun ibtidoiy javobdir. F (1) ni F (1) \u003d 9x2 - 6x + 1 va F (-1) \u003d 2 ni toping.

Barcha funktsiyalarni toping

Funktsiya uchun (x) \u003d cos2 * Sin2x, agar f (0) \u003d 0 bo'lsa, ibtidoiy f (x) ni toping.

Funktsiya uchun grafik nuqta orqali o'tadigan ibtidoiylarni toping