Qaysi iboralar targ'ibotdir. Algebraik progressiya

Masalan, ketma-ketlik \\ (2 \\); \\ (besh \\); \\ (sakkiz \\); \\ (o'n bir \\); \\ (14 \\) ... bu arifmetik progressiya, chunki har bir keyingi element avvalgisidan farq qiladi (oldingi taxtdan qo'shilgandan olingan):

Ushbu progressda farq ijobiy (d \\) ijobiy (\\ (3 \\)), shuning uchun har bir keyingi a'zo avvalgisidan katta. Bunday progress deyiladi o'sib borayotgan.

Biroq, \\ (d \\) salbiy raqam bo'lishi mumkin. masalan, in arifmetik progressiya \\ (o'n olti \\); \\ (10 \u200b\u200b\\); \\ (to'rt \\); \\ (- 2 \\); \\ (- 8 \\) ... progressiya farqi \\ (d \\) minus olti.

Va bu holda har bir keyingi element avvalgisidan kam bo'ladi. Ushbu o'sishlar deyiladi kamayib borayotgan.

Arifmetik progressiyani belgilash

Protin harfi tomonidan rivojlanadi.

Raqamni shakllantiruvchi raqamlar uni chaqiradi a'zolari (yoki elementlar).

Ular xuddi shu harf bilan arifmetik progressiya sifatida belgilanadi, ammo raqamli indekslar tartibda element raqamiga teng.

Masalan, arifmetik progressiya \\ (a_n \u003d chap; 5; 8; 14; 14 ... to'g'ri \\) elementlardan iborat \\ (a_1 \u003d 2 \\); \\ (A_2 \u003d 5 \\); \\ (A_3 \u003d 8 \\) va boshqalar.

Boshqacha qilib aytganda, progressiya uchun \\ (A_N \u003d chap \\ (2; 5; 11; 11; 14 ... o'ng \\) \\)

Arifmetik progressiya uchun vazifalarni hal qilish

Aslida, yuqoridagi ma'lumotlar deyarli arifmetik progressiya (shu jumladan oge-da taklif qiluvchilarni) hal qilish uchun etarli.

Misol (OGE). Arifmetik progressiya shartlar bo'yicha belgilanadi \\ (b_1 \u003d d \u003d 4 \\). Toping \\ (b_5 \\).
Qaror:

Javob: \\ (b_5 \u003d 23 \\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning dastlabki uchta a'zosi quyidagicha beriladi: \\ (62; 49; 36 ... \\) ushbu rivojlanishning birinchi salbiy a'zosining qiymatini toping.
Qaror:

	Bizda ketma-ketlikning birinchi elementlari beriladi va bu arifmetik progressiya ekanligi ma'lum. Ya'ni, har bir element bir xil sonning bir xil sonidan farq qiladi. Biz qanday qilib keyingi elementdan chegirib, avvalgisidan bahramandmiz: \\ (d \u003d 49-62 \u003d -13 \\).
	Endi biz (birinchi salbiy) elementiga kerak bo'lgan narsamizga qaratamiz.
	Tayyor. Siz javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(-3\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiya elementlarining elementlari bir nechta arifmetika arifmetik targ'alari mavjud: \\ (5; 5; 10; 12.5 ... \\) harfning qiymati \\ (x \\) tomonidan ko'rsatilgan elementning qiymatini toping.
Qaror:

	\\ (X \\) ni topish uchun, keyingi element avvalgisidan qanchalik farq qilishini bilishimiz kerak - boshqacha aytganda - progressiya farqi. Biz uni ma'lum bir qo'shni elementlarini topamiz: \\ (d \u003d 12,5-10 \u003d 2.5 \\).
	Va endi hech qanday muammosiz biz istalganini topamiz: \\ (x \u003d 5 + 2.5 \u003d 7,5 \\).
	Tayyor. Siz javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(7,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan belgilanadi: \\ (A_1 \u003d -19 \\); \\ (A_ (n + 1) \u003d a_n + 5 \\) ushbu rivojlanishning birinchi oltita a'zolarining yig'indisini topadi.
Qaror:

Biz rivojlanishning dastlabki oltita a'zoining miqdorini topishimiz kerak. Ammo biz ularning qadriyatlarini bilmaymiz, bizga faqat birinchi element berilgan. Shuning uchun, birinchi navbatda bizdan foydalanish uchun qiymatlarni hisoblang: \\ (n \u003d 1 \\); \\ (A_ (1 + 1) \u003d a_1 + 5 \u003d 5 \u003d -6 \\) \\ (n \u003d 2 \\); \\ (A_ (2 + 1) \u003d a_2 + 5 \u003d 5 \u003d -1 \\) \\ (n \u003d 3 \\); \\ (A_ (3 + 1) \u003d a_3 + 5 \u003d 5 \u003d 4 \\) Va bizda kerakli oltita elementni hisoblash - biz ularning summasini topamiz.

\\ (S_6 \u003d a_2 + a_3 + A_5 + A_5 + A_5 + A_6 \u003d \\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Kerakli miqdor topildi.

Javob: \\ (S_6 \u003d 9 \\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiyada \\ (A_ (12) \u003d 23 \\); \\ (A_ (16) \u003d 51 \\). Ushbu progressda farqni toping.
Qaror:

Javob: \\ (d \u003d 7 \\).

Arifmetik progressiya uchun muhim formulalar

Ko'rinib turibdiki, arifmetik rivojlanishning ko'plab vazifalari asosiy narsani anglatadi - bu arifmetik progressiya raqamlar zanjiri va ushbu zanjirning har bir keyingi elementi avvalgiga va bir xil raqamni qo'shib olinadi ( Progressiya farq).

Biroq, ba'zida "peshonada" qaror qilishdan juda noqulay bo'lgan holatlar mavjud. Masalan, birinchi misolda biz beshinchi elementni emas, balki uch yuz sakson olti \\ (b_ (386) \\ ni topishimiz kerakligini tasavvur qiling. Bu haqda to'rt marta qo'shadigan narsa, bizda (385 \\)? Yoki bu birinchi etmish uchta elementning yig'indisini topish kerakligini tasavvur qiling. Qiynoqlarni ko'rib chiqing ...

Shuning uchun, bunday holatlarda "peshonada" hal qilmang, ammo arifmetik progressiya uchun olingan maxsus formulalardan foydalaning. Ularning asosiylari progressiya a'zosi va birinchi a'zolarning \\ (n \\) ning formulasi hisoblanadi.

Formula \\ (n \\) - A'zo: \\ (A_N \u003d A_1 + (n - 1) d \\), u erda \\ (a_1 \\) bu rivojlanishning birinchi muddati;
\\ (n \\) - badiiy elementning soni;
\\ (A_N \\) - bu Raqam (n \\) bilan progressiya a'zosi.

Ushbu formulani tezda kamida uch yuzinchi, kamida million elementni tezda topishga imkon beradi, bu faqat birinchi va farqini bilib olamiz.

Misol. Arifmetik progressiya shartlarda belgilanadi: \\ (b_1 \u003d -159 \\); \\ (d \u003d 8.2 \\). Toping \\ (b_ (246) \\).
Qaror:

Javob: \\ (b_ (246) \u003d 1850 \\).

Birinchi a'zolarning formulasi: \\ (s_n \u003d \\ frac (a_1 + A_N) (2) \\ cdot n \\), joyda

\\ (A_N \\) - Yarim joyning oxirgi a'zolari;

Misol (OGE). Arifmetik progressiya shartlarda belgilanadi \\ (A_N \u003d 3.4n.6 \\). Ushbu progressning birinchi a'zolari miqdorini toping.
Qaror:

\\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (a_1 + A_ (25)) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \\)		Birinchi yigirma beshta element miqdorini hisoblash uchun biz birinchi va yigirma beshinchi a'zoning ahamiyatini bilishimiz kerak. Bizning rivojlanishimiz animumiya a'zosining uning raqamiga qarab formulasi tomonidan beriladi (batafsil ma'lumotlarga qarang). Keling, birinchi elementni yoki birlik o'rniga almashtiraylik.
\\ (n \u003d 1; \\) \\ (A_1 \u003d 3.4 \u003d 2.8 \\)		Endi biz yigirma beshinchi a'zoni, o'rniga yigirma besh o'rniga o'rnini bosamiz.
\\ (n \u003d 25; \\) \\ (a_ (25) \u003d 3.4 · 25-4 \u003d 84.4 \\)		Xo'sh, endi hech qanday muammosiz biz kerakli miqdorni hisoblaymiz.
\\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (a_1 + A_ (25)) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \u003d \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ FRAC (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \u003d \\) \\ (1090 \\)		Javob tayyor.

Javob: \\ (S_ (25) \u003d 1090 \\).

Birinchi a'zolar uchun birinchi a'zolar uchun siz boshqa formulani olishingiz mumkin: sizga shunchaki \\ (25) \u003d (a_1 + A_ (25) (25)) (2) \\) \\ (\\) CDOT 25 \\) o'rniga \\ (A_N \\) o'rniga (A_N \u003d A_1 + (n - 1) d \\). Biz olamiz:

Birinchi a'zolarning formulasi: \\ (S_N \u003d \\) \\ (\\ FRA_1 + (n - 1) d) (2) \\) \\ (\\ cdot n \\)

\\ (S_n \\) - bu birinchi elementlarning kerakli miqdoridagi \\ (n \\);
\\ (A_1 \\) - birinchi o'ringa chiqadigan a'zo;
\\ (D \\) - progressiya farqi;
\\ (n \\) - miqdordagi elementlar soni.

Misol. Birinchi \\ (33 \\) miqdorini toping - arifmetik progressiya a'zolari: \\ (17 \\); \\ (15.5 \\); \\ (o'n to'rt \\) ...
Qaror:

Javob: \\ (S_ (33) \u003d - 231 \\).

Arifmetik progressiya uchun yanada murakkab vazifalar

Endi arifmetik progressiya bo'yicha deyarli har qanday vazifani hal qilish uchun barcha zarur ma'lumotlar mavjud. Mavzuni formulalarni ishlatishda oson bo'lmagan vazifalarni ko'rib chiqish, ammo ozgina o'ylash uchun (matematikada bu foydali bo'lsa)

Misol (OGE). Progressning barcha salbiy a'zolarining yig'indisini toping: \\ (- 19.3 \\); \\ (- o'n to'qqiz \\); \\ (- 18.7 \\) ...
Qaror:

\\ (S_n \u003d \\) \\ (\\ FRAC (n - 1) d) (2) \\) \\ (\\ cdot n \\)		Vazifa avvalgisiga juda o'xshash. Biz ham hal qila olmaymiz: avval biz \\ (d \\) ni topamiz.
\\ (d \u003d a_2-a_1 \u003d -19 - (- 19.3) \u003d 0,3 \\)		Endi men mixlar uchun formulada motorga aylantiraman ... va bu erda kichik nuance pop o'ynadi - biz \\ (n \\) bilmaymiz. Boshqacha qilib aytganda, biz qancha a'zolarni katlanmilishi kerakligini bilmaymiz. Qanday qilib bilish mumkin? Keling, o'ylaylik. Birinchi ijobiy elementga etib borganimizda katlama elementlarini to'xtatamiz. Ya'ni, siz ushbu elementning sonini bilishingiz kerak. Qanday? Biz arifmetik progressiyaning har qanday elementini hisoblash uchun formulani yozamiz: \\ (A_N \u003d A_1 + (n - 1) d \\) Bizning ishimiz uchun.
\\ (A_N \u003d A_1 + (n - 1) d \\)
\\ (A_N \u003d -19.3 + (n - 1) · 0,3 \\)		Bizga, shuning uchun \\ (A_N \\) yanada nolga teng. Shunday qilib, u qanday \\ (n \\) bilan bo'ladi.
\\ (- 19.3+ (N - 1) · 0,3\u003e 0 \\)
\\ ((n - 1) · 0,3\u003e 19.3 \\ \\) \\ (| 0,3 \\)		Biz ikkala tengsizlikning ikkala qismini (0,3 \\) ajratamiz.
\\ (N-1\u003e \\) \\ (\\ FRAC (19.3) (0.3) \\)		Belgilarni o'zgartirishni unutmaslik uchun minusni olib boring
\\ (n\u003e \\) \\ (\\ FRAC (19.3) (0.3) \\) \\ (+ 1 \\)		Hisoblash ...
\\ (n\u003e 65,333 ... \\)		... Va birinchi ijobiy element raqamga ega bo'lishiga o'xshaydi. Shunga ko'ra, oxirgi salbiyda \\ (n \u003d 65 \\). Shunchaki, tekshiring.
\\ (n \u003d 65; \\) \\ (a_ (65) \u003d - 19.3+ (65-1) · 0,3 \u003d -0.1 \\) \\ (n \u003d 66; \\) \\ (a_ (66) \u003d - 19.3 + (66-1) · 0,3 \u003d 0,2 \\)		Shunday qilib, biz birinchi \\ (65 \\) elementlarni katlashni kerak.
\\ (S_ (65) \u003d \\) \\ (\\ FRAOT (-19.3) + (65-1) 0,3) (2) \\)\\ (\\ Cdot 65 \\) \\ (S_ (65) \u003d \\) \\ ((2) \\) \\ (\\ cdot 65 \u003d -630.5)		Javob tayyor.

Javob: \\ (S_ (65) \u003d - 630.5 \\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya shartlarda belgilanadi: \\ (A_1 \u003d -33 \\); \\ (A_ 1) \u003d A_N + 4 \\). \\ (26 \\) summani \\ (42 \\) elementni inklyuziv deb toping.
Qaror:

\\ (A_1 \u003d -33; \\) \\ (n (n + 1) \u003d a_n + 4 \\)	Ushbu vazifa, shuningdek, elementlarning miqdorini topishi kerak, ammo birinchi va C \\ (26 \\) dan boshlab ham bo'lishi kerak. Bunday holatda bizda formula yo'q. Qanday hal qilinadi? Oson - (26 \\) dan (42 \\) olish uchun - (42 \\) - Oh-ga o'ting - (1 \\) - voy \\ (42 \\) - oh, va keyin ushlab turing. Avval undan (25 \\) miqdoridan (25 \\)
	Bizning rivojlanishi uchun \\ (A_1 \u003d -33 \\) va farq \\ (d \u003d 4 \\) (Axir, biz keyingi elementni avvalgi elementga qo'shamiz). Buni bilish, biz birinchi \\ (42 \\) miqdorini topamiz - tugaydi.
\\ (S_ (42) \u003d \\) \\ (\\ Frac (23 sdot (-33) + (42-1) 4) (2) \\)\\ (\\ cdot 42 \u003d \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-66 + 164) (2) \\) \\ (\\ CDOT 42 \u003d 2058 \\)	Endi birinchi \\ (25 \\) elementlar miqdori.
\\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (\\ FRAOT (-33) + (25-1) + 4) (2) \\)\\ (\\ Cdot 25 \u003d \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-66 + 96) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \u003d 375 \\)	Va nihoyat, biz javobni hisoblaymiz.
\\ (S \u003d s_ s_ (42) -s_ (25) \u003d 2058-375 \u003d 1683 \\)

Javob: \\ (S \u003d 1683 \\).

Arifmetik progressiya uchun biz ushbu maqolada kichik amaliy foyda tufayli ko'rib chiqmagan yana bir nechta formulalar mavjud. Biroq, ularni osongina topishingiz mumkin.

I. V. Yakovlev | Matematika materiallari | Mathus.ru.

Arifmetik progressiya

Arifmetik progressiya - bu maxsus forma ketma-ketligi. Shuning uchun, siz arifmetikani (va keyin geometrik) ta'rifini berishdan oldin, biz son-ketlikning muhim tushunchasini qisqacha muhokama qilishimiz kerak.

Ketma-ketlik

Tasavvur qiling, bu erda ba'zi raqamlar ko'rsatiladi. 2-ni aytaylik; 7; 13; biri; 6; 0; 3; ::: Bunday raqamlar to'plam faqat ketma-ketlik misolidir.

Ta'rif. Raqamli ketma-ketlik - bu har bir raqamni (ya'ni bitta tabiiy sonni yaratish uchun) belgilashingiz mumkin bo'lgan raqamlar to'plamidir. N raqami raqami n-m dik Ketma-ketliklar.

Shunday qilib, yuqoridagi misolda birinchi raqamning 2 raqami - A1 tomonidan tashkil etilishi mumkin bo'lgan ketma-ketlikning birinchi a'zosi; Beshinchi raqam 6 raqami bor - A5 tomonidan belgilanishi mumkin bo'lgan ketma-ketlikning beshinchi a'zosi. Umuman, n-TH a'zosi Ketma-ketlik (yoki mlrd, cn va boshqalar) tomonidan belgilanadi.

Biror turdagi formula so'rashi mumkin bo'lgan joyda vaziyat juda qulay. Masalan, formulaga \u003d 2n 3-ketma-ketlik o'rnatiladi: 1; biri; 3; Beshta; 7; :::: sahifasi A for \u003d (1) n ketma-ketlikni o'rnatadi: 1; biri; biri; biri; ::

Hech qanday raqamlar ketma-ketlik emas. Shunday qilib, segment ketma-ket emas; Ular ijaraga olinishi uchun juda ko'p raqamlarni o'z ichiga oladi. Barcha haqiqiy raqamlarning o'rnatilishi ham ketma-ket emas. Ushbu dalillar matematik tahlil jarayonida isbotlangan.

Arifmetik progressiya: asosiy ta'riflar

Endi biz arifmetik rivojlanishni aniqlashga tayyormiz.

Ta'rif. Arifmetik progressiya - bu ketma-ketlik, har bir a'zosi avvalgi a'zo va ba'zi belgilangan raqamga teng (Arifmetik progressariy taftish).

Masalan, 2-ketma; Beshta; sakkiz; o'n bir; ::: bu birinchi atama va farq 3-sonli arifmetik progressiya. 7; 2; 3; sakkiz; ::: Bu birinchi atama va farqi 5-sonli arifmetik progressiya hisoblanadi 5. 5. 3; 3; 3; ::: bu nolga teng bo'lgan narsa bilan arifmetik progressiya.

Asriniy ta'rif: Agar + 1 bo'lsa, doimiy qiymat (n dan mustaqil) bo'lsa, arifmetik progressiya deyiladi.

Arifmetik progressiya, agar uning farqi ijobiy bo'lsa va uning farqi salbiy bo'lsa, kamaysa.

1 Ammo ko'proq lakonon ta'rif: Setsence to'plamda belgilangan funktsiya hisoblanadi tabiiy sonlar. Masalan, haqiqiy raqamlarning ketma-ketligi f: n funktsiyasi mavjud! R.

Odatiy ketma-ketlik cheksiz deb hisoblanadi, ya'ni ko'plab raqamlar mavjud. Ammo hech kim oxirgi ketma-ketlikni ko'rib chiqolmaydi; Aslida, har qanday cheklangan raqamlar to'plami yakuniy ketma-ketlik deb atash mumkin. Masalan, 1-oxirgi ketma-ketlik; 2; 3; to'rtta; 5 besh sondan iborat.

Arifmetik progressiya N-Th a'zosining formulasi

Arifmetik progressiya to'liq ikki raqam bilan to'liq belgilanadi: birinchi a'zo va farq. Shuning uchun savol tug'iladi: qanday qilib birinchi atamani va farqni bilish, arifmetik rivojlanishning o'zboshimchalik bilan bog'liq emasmi?

Arifmetik progressiya N-Ts a'zosining kerakli formulasini oling. Qattiq.

farq bilan arifmetik rivojlanish d. Bizda ... bor:
a + 1 \u003d a + d (n \u003d 1; 2; :) :):
Xususan, biz yozamiz:
a2 \u003d A1 + D;
a3 \u003d A2 + D \u003d (A1 + D) + D \u003d A1 + 2D;
a4 \u003d A3 + D \u003d (A1 + 2D) + D \u003d A1 + 3D;
va endi uning formasi uchun formulaga ega ekanligi aniq bo'ladi.
a \u003d A1 + (N 1) D:

Vazifa 1. Arifmetik rivojlanish bo'yicha; Beshta; sakkiz; o'n bir; ::: N-Irchining formulani toping va yuzinchi a'zoni hisoblang.

Qaror. Formulaga muvofiq (1) bizda:

a \u003d 2 + 3 (N 1) \u003d 3n 1:

a100 \u003d 3 100 1 \u003d 299:

Mulk va arifmetik progressiya belgisi

Arifmetik progressiya mulki. Arifmetik o'sishda har qanday

Boshqacha qilib aytganda, har bir arifmetik progressiyaning har bir a'zosi (ikkinchidan boshlab) - bu o'rta arifmetik qo'shni a'zo.

	Dalillar. Bizda ... bor:
	a n 1 + a n + 1		(A d) + (a + d)

nima talab qilindi.

Ko'proq keng tarqalgan usulArifmetik rivojlanish uchun tenglik adolatli

a n \u003d a n k + a n + k

har qanday n\u003e 2 va har qanday tabiiy k bilan< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ma'lum bo'lishicha, formulalar (2) nafaqat zarur, balki ketma-ketlik arifmetik progressiya bo'lganligi etarli.

Arifmetik progressiya belgisi. Agar hech qanday tenglik (2) barcha n\u003e 2 uchun amalga oshirilmasa, unda ketma-ketlik arifmetik progressiya.

Dalillar. Biz formulani (2) quyidagicha qayta yozamiz:

a n a n 1 \u003d a n + 1 n:

Ko'rinib turibdiki, bu + 1) n ga bog'liq emasligini va bu shunchaki arifmetik progressiyani anglatadi.

Mulk va arifmetik rivojlanishning belgisi bitta bayonot shaklida shakllanishi mumkin; Biz buni uchta raqamga qulaylik uchun qilamiz (bu holat ko'pincha vazifalarda topiladi).

Arifmetik progressiyani tavsiflash. Uchta raqam A, b, c o'sha paytda arifmetik progressiyani shakllantiradi va faqat 2b \u003d a + c.

Vazifa 2. (MDU, Escu. FT, 2007) belgilangan tartibda uchta raqam, belgilangan tartibda uchta raqam, 3 x2 va 4) belgilangan tartibda arifmetik progressiyani tashkil qiladi. X ni toping va ushbu progressiyaning farqini ko'rsating.

Qaror. Arifmetik progressiya mulki bilan bizda:

2 (3 x2) \u003d 8x 4, 2x2 + 8x 10 \u003d 0, x2 + 4x 5 \u003d 0, x \u003d 1; x \u003d 5:

Agar x \u003d 1 bo'lsa, unda 8, 2, 4-ning qisqarishi 6-sonli farq 60, 22, 4; Bu ish mos emas.

Javob: X \u003d 1, farq 6 ga teng.

Arifmetik progressiyaning birinchi a'zolarining yig'indisi

Afsonada aytilishicha, bir o'qituvchi bolalarga 1 dan 100 gacha bo'lgan raqamlarning yig'indisini topishni buyurdi va gazetani xotirjam ravishda o'qishni buyurdi. Biroq, bir nechta bir necha daqiqada o'tmadi, chunki bitta bola u vazifani hal qildi. Bu 9 yoshli Karl Fridrix Gauss, keyinchalik tarixdagi eng buyuk matematiklardan biri edi.

Bir oz Gauss g'oyasi quyidagicha edi. Bo'linmoq

S \u003d 1 + 2 + 3 + :::: + 98 + 99 + 100:

Ushbu miqdorni teskari tartibda yozamiz:

S \u003d 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1;

va ikkita formulalardan ikkitasini yotqizish kerak:

2s \u003d (1 + 100) + (3 + 99) + (3 + 98) + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1) + (100 + 1) + (100 + 1) + (100 + 1) + (100 + 1)

Qavslardagi har bir atama 101 ga teng va barcha shartlar 100. Shuning uchun

2s \u003d 101 100 \u003d 10100;

Biz ushbu g'oyadan summaning yig'indisi uchun foydalanamiz.

S \u003d a1 + A2 + :: + A + A N N: (3)

Formula (3) ning foydali usullari Agar ular N-Th a'zosining formulani almashtirilsa, u \u003d a1 + (n 1) d:

		2a1 + (n 1) d

Vazifa 3. 13 ga bo'lingan barcha ijobiy raqamlarning yig'indisini toping.

Qaror. Uch xonali raqamlar, 13-sonli son, birinchi a'zo 104 va 13 orasidagi farq bilan ajralib chiqadi; Ushbu progressning N-a'zoligi:

a \u003d 104 + 13 (n 1) \u003d 91 + 13n:

Keling, bizning o'sishimiz qancha a'zolarni o'z ichiga oladi. Buning uchun tengsizlikni amalga oshirish:

6 999; 91 + 13N 6 999;

n 6 908 13 \u003d 6911 13; N 6 69:

Shunday qilib, bizning 69 a'zolarimizning rivojlanishi. Formula (4) biz qidiruv miqdorini topamiz:

S \u003d 2 104 + 68 13 \u003d 37674: 2

Shunday qilib, o'tiring va har qanday raqamlarni yozishni boshlang. Masalan:
Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular qandaydir bo'lishi mumkin (bizning holatda). Biz necha raqam yozmadik, ulardan qaysi biri ikkinchi va shu qadar oxirgi, ya'ni biz ularni bo'g'ib qo'yamiz deb ayta olamiz. Bu raqamli ketma-ketlik misolidir:

Raqamning ketma-ketligi
Masalan, bizning ketma-ketligimiz uchun:

Belgilangan raqam faqat bitta sonning ketma-ketligi uchun xarakterli. Boshqacha aytganda, ketma-ketlikda uchta ikkinchi raqam yo'q. Ikkinchi raqam (raqam sifatida) har doim bitta.
Raqam bilan raqam ketma-ketlik a'zosi deyiladi.

Odatda biz barcha ketma-ketlikni (masalan,) chaqiramiz va ushbu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeks bilan ushbu a'zoning soniga teng bo'lgan xat:.

Bizning holatlarimizda:

Bizda bor deb o'ylaymiz raqamning ketma-ketligiUnda qo'shni raqamlar o'rtasidagi farq bir xil va tengdir.
Masalan:

va hokazo.
Bunday raqamli ketma-ketlik arifmetik progress deb ataladi.
"Protersiya" atamasi XVI asrda Rim Beizemning muallifi tomonidan kiritilgan va cheksiz raqamli ketma-ketlik sifatida keng ma'noda tushunilgan. "Areatmetik" nomi qadimgi yunonalar bilan shug'ullangan uzluksiz nisbatlar nazaridan uzatildi.

Bu raqamli ketma-ketlik, ularning har bir a'zosi avvalgi raqamga teng, bir xil raqam bilan bukilgan. Bu raqam arifmetik progressiya farqiga aylanadi.

Qaysi sonli ketma-ketlik arifmetik taraqqiyot ekanligi aniqlansin va bu quyidagilar emas:

a)
b)
c)
d)

Tushundim? Javoblarimizni taqqoslang:
Bu Arifmetik taraqqiyot - b, c.
Emas Arifmetik progressiya - A, D.

Keling, ushbu progressiyaga qaytaylik () va uning ma'nosini - a'zoning ma'nosini topishga harakat qilaylik. Mavjud ikki Buni qanday topish mumkin.

1. usuli

Biz progressning rivojlanishidan oldin natijalarga erishgunimizcha, progressiya sonining oldingi qiymatiga qo'shamiz. Kichkina chap tomonni umumlashtirishimiz yaxshi - faqat uchta ma'no:

Shunday qilib, tasvirlangan arifmetik progressiya bir xil.

2. usuli

Ta'kidlash a'zosining ma'nosini topishimiz kerak bo'lsa-chi? Summillik biz bilan bir soatni olib boradi, raqamlar qo'shganda biz xato bo'lmaydi degani emas.
Albatta, matematika oldingi qiymatiga arifmetik rivojlanishni qo'shimcha qilishning hojati yo'q. O'yin chizig'iga diqqat bilan qarang ... shubhasiz, siz allaqachon muntazamlikni payqadingiz:

Masalan, ushbu arifmetik progressiyaning ahamiyati nimada ekanligini ko'raylik:


Boshqa so'zlar bilan aytganda:

Shu tarzda ushbu arifmetik progressiyaning ahamiyatini topishga harakat qiling.

Hisoblanganmi? Yozuvlaringizni javob bilan taqqoslang:

E'tibor bering, oldingi usulda, oldingi usulda, biz arifmetik rivojlanish a'zolarining oldingi qiymatiga doimiy ravishda qo'shilganda.
Keling, ushbu formulani "aniqlashga" harakat qilaylik - biz buni beramiz umumiy shakl va oling:

Arifmetik progressiya tenglamasi.

Arifmetik progressiya ko'paymoqda va pasaymoqda.

O'sib borayotgan - A'zolarning har bir keyingi qiymati avvalgisidan ko'proq narsa bo'lgan yutuqlar.
Masalan:

Kamayib borayotgan - A'zolarning har bir keyingi qiymati avvalgisidan kamroq bo'lgan yutuqlar.
Masalan:

Olingan formulalar arifmetik rivojlanish a'zolarini ko'paytirish va kamaytirishda a'zolarni hisoblashda qo'llaniladi.
Buni amalda tekshiring.
Bizda quyidagi raqamlardan iborat bo'lgan arifmetik progressiya beriladi: agar siz uni hisoblashda formuladan foydalansangiz, ushbu arifmetik progressiya nima ekanligini tekshiring:

O'shandan beri:

Shunday qilib, biz formulani kamayib, o'sib borayotgan arifmetik progressiyada ham harakat qilamiz.
Ushbu arifmetik rivojlanishning o'z a'zolarini topishga harakat qiling.

Olingan natijalar quyidagilarni taqqoslang:

Arifmetik progressiya mulki

Vazifani bajaring - arifmetik rivojlanish xususiyatini olib qo'ying.
Aytaylik, bizga bunday shart bor:
- Arifmetik progressiya, qiymatni toping.
Oson, siz aytasiz, va siz allaqachon sizga ma'lum bo'lgan formulani ko'rib chiqa boshlaysiz:

Va keyin va keyin:

Mutlaqo to'g'ri. Ma'lum bo'lishicha, biz avval topamiz, keyin uni birinchi raqamga qo'shing va kerakli narsani oling. Agar progressiya kichik qiymatlar bilan ifodalangan bo'lsa, bunda murakkab bo'lmagan hech narsa yo'q va agar raqam berilsa? Qabul qiling, hisob-kitoblarda xato qilish imkoniyati mavjud.
Va endi o'ylang, bu muammoni biron bir formuladan foydalanib bitta harakatda hal qilish mumkinmi? Albatta, ha, va bu biz uni hozir olib kelishga harakat qilamiz.

Biz arifmetik rivojlanish a'zosini belgilaymiz, chunki uning joylashuvi formulasi bizniki - bu bizdan kelib chiqqan bu formulalar boshida bizdan olingan bu formulalar:
, keyin:

• oldingi muddat progressiya:
• keyingi progressiya a'zosi quyidagilardan iborat:

Biz oldingi va keyingi rivojlanish a'zolarini umumlashtiramiz:

Ma'lum bo'lishicha, oldingi va keyingi rivojlanish a'zolarining yig'indisi ular o'rtasidagi rivojlanish a'zosining ikki baravar qiymati. Boshqacha qilib aytganda, oldingi va ketma-ketlik bilan taniqli va ketma-ketlik bilan izohning qiymatini topish, ularni qo'shish va bo'linish kerak.

To'g'ri, biz bir xil raqamni oldik. Materialni mahkamlang. O'zingiz rivojlanib boradigan qiymatni hisoblang, chunki bu juda oddiy.

Juda qoyil! Siz deyarli rivojlanish haqida deyarli hamma narsani bilasiz! Bu faqat bitta formulani topish, afsonalarda "Matematiklar podshohi" - Karl Gauss ...

Karl Gaussu 9 yoshda bo'lganida, o'qituvchi boshqa sinf o'quvchilarining tekshiruvi bilan shug'ullanib, darsda quyidagi vazifani so'radi: "Barcha tabiiy sonlar yig'indisidan (boshqa manbalar tomonidan) inklyuziv." Bir daqiqada uning talabalaridan biri (bu Karl Gauss edi), bir daqiqada uning talabalaridan biri (bu Karl Gauss) bo'lgan ish joyiga to'g'ri javob berganida, o'qituvchining ajablanib qoldi.

Yosh Karl Gauss ba'zi muntazamlikni payqab, siz osonlikcha sezishingiz mumkin.
Aytaylik, a'zoimizdan iborat arifmetik progressiya bor: biz arifmetik progressiya a'zolarining miqdorini topishimiz kerak. Albatta, biz barcha qadriyatlarni qo'lda ochamiz, ammo agar vazifada uning a'zolari miqdorini topish kerak bo'lsa, nima qilish kerak, Gauss qanday qilib bu Gaussni qidirgan?

Bizga berilgan taraqqiyotni tasvirlayman. Saqlangan raqamlarga diqqat bilan qarang va ular bilan turli xil matematik harakatlarni ishlab chiqarishga harakat qiling.


Sinab ko'rdimi? Nimani sezdingiz? O'ngdan! Ularning summalari teng

Va endi javob bering, bunday juftliklar bizga berilgan qanchalarga qancha turadi? Albatta, barcha raqamlarning yarmi, ya'ni.
Arifmetik progressiyaning ikki a'zosining yig'indisi teng va shu kabi teng juftliklar, biz umumiy miqdorni quyidagicha bo'lishimiz mumkin:
.
Shunday qilib, har qanday arifmetik rivojlanishning birinchi a'zolarining yig'indisining formulasi quyidagicha bo'ladi:

Ba'zi vazifalarda biz bizga noma'lum, ammo rivojlanib boraverish ma'lum. Xulosa formulasini, a'zo formulasini almashtirishga harakat qiling.
Nima qilding?

Juda qoyil! Endi biz Karl Gaussning belgilangan vazifasi: mustaqil ravishda: mustaqil ravishda: - -grent va raqamlar miqdori miqdoridan iborat raqamlar miqdoriga teng.

Qancha qildingiz?
Gauss a'zolarning miqdori teng ekanligi va a'zolarning miqdori ekanligini ta'kidladi. Siz hal qildingizmi?

Aslida, Arifmetik progressiya a'zolarining qadimgi Yunonistonshunos Dinanta tomonidan tasdiqlangan, va shu vaqt ichida bu vaqt davomida aqlli odamlar arifmetik rivojlanish xususiyatlariga ega edilar.
Masalan, tasavvur qiling Qadimgi Misr Vaqtning eng katta qurilishi - piramida qurilishi ... Rasm bir tomonni ko'rsatadi.

Menga aytadigan natija qayerda? Piramida devorining har bir satridagi qum bloklari sonida ehtiyotkorlik bilan qarang.


Arifmetik progressiya nima emas? Bitta devorni qurish uchun qancha bloklar kerak bo'lsa, unda blokirovka joylashtirilgan bo'lsa. Umid qilamanki, siz hisoblamaysiz, barmog'ingizni monitoring ustiga olib borasiz, siz arifmetik progressiya haqida gaplashadigan so'nggi formulani eslaysizmi?

Bunday holda, progressiya quyidagicha :.
Arifmetik rivojlanishning farqi.
Arifmetik progressiya a'zolarining soni.
Ma'lumotlarimizni so'nggi formulalarda almashtiramiz (biz bloklar sonini 2 ta shaklda hisoblaymiz).

1-usul.

2-usul.

Va endi monitorda hisoblash mumkin: olingan qiymatlarni piramidamizdagi bloklar soni bilan taqqoslang. Keshlanganmi? Yaxshi bajarilgan, siz arifmetik arifmetik progressiyani o'zlashtirdingiz.
Albatta, piramidaning pastki qismidagi bloklar qurilmaydi, lekin undan ham? Bunday holat bilan devor qurish uchun qancha qum g'isht kerakligini hisoblashga harakat qiling.
Dosh berasizmi?
To'g'ri javob - bloklar:

Tayyorlamoq

Vazifalar:

1. Masha yozda shaklda keladi. Har kuni u kvadratlar sonini oshiradi. Bir necha haftadan keyin Masha necha hafta tiklanadi, agar u birinchi mashg'ulotda yig'imasa.
2. Tarkibidagi barcha toq sonlarning yig'indisi.
3. Dissord taxtali xonalarni saqlashda har bir yuqori qatlamni avvalgisidan kam bo'lgan tarzda bitta oching. Agar masonlar masonlar bazasi jurnallarga xizmat ko'rsatsa, qancha loglar bor.

Javoblar:

1. Biz arifmetik progressiya parametrlarini aniqlaymiz. Ushbu holatda
   (haftalar \u003d kun).

   Javob:Ikki hafta davomida Masha kuniga bir marta siqilishi kerak.

2. Birinchi toq raqami, oxirgi raqam.
   Arifmetik rivojlanishning farqi.
   Yarim-yarmida toq raqamlar soni ushbu faktni ARITMICEP a'zosi formulasi yordamida tekshiradi:

   Raqamlar aslida toq raqamlar mavjud.
   Formulni almashtirish uchun mavjud ma'lumotlar:

   Javob:Tarkibidagi barcha toq sonlarning yig'indisi teng.

3. Piramida haqidagi vazifani eslang. Bizning ishimiz uchun A, chunki bitta logida har bir yuqori qatlam bir marotaba bir nechta qatlamlarda kamayadi.
   Formuladagi ma'lumotlarni almashtirish:

   Javob:Masonryda jurnallar.

Keling, xulosa qilaylik

1. - Qo'shimcha raqamlar o'rtasidagi farq bir xil va teng bo'lgan raqamlar ketma-ketligi. Bu o'sish va kamayish bilan sodir bo'ladi.
2. Formula "Arifmetik progressiya a'zosi formulada qayd etiladi -, bu erda - progressiyada raqamlar soni.
3. Axitmetik progressiya a'zolarining mulki - - qayerda - progressiyada sonlarning soni.
4. Arifmetik progressiya a'zolarining yig'indisi Ikki usulda topish mumkin:
   
   qayerda - qiymatlar soni.

Arifmetik progressiya. O'RTACHA DARAJASI

Raqamning ketma-ketligi

Keling, o'tiraylik va har qanday raqamlarni yozishni boshlaymiz. Masalan:

Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va har qanday joyda bo'lishi mumkin. Ammo siz har doim qaysi birini ayta olasiz, ikkinchisining nima va shundan iborat, ya'ni biz ularni masxara qilishimiz mumkin. Bu raqamli ketma-ketlik misolidir.

Raqamning ketma-ketligi - Bu juda ko'p raqamlar, ularning har biri noyob raqamni tayinlash mumkin.

Boshqacha qilib aytganda, har bir raqam ma'lum bir tabiiy songa, faqat bittasiga muvofiq bo'lishi mumkin. Va bu raqam biz ushbu to'plamdan boshqa raqamlarga mos kelmaymiz.

Raqam bilan raqam ketma-ketlik a'zosi deyiladi.

Odatda biz barcha ketma-ketlikni (masalan,) chaqiramiz va ushbu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeks bilan ushbu a'zoning soniga teng bo'lgan xat:.

Juda qulay, agar ketma-ketlikdan bir nechta formula so'rashi mumkin bo'lsa. Masalan, formula

ketma-ketlikni belgilaydi:

Va formulalar shunday ketma-ketlikdir:

Masalan, arifmetik progressiya ketma-ketlikdir (bu erda birinchi atama teng va farq). Yoki (, farq).

N-TH a'zosi formulasi

Biz bunday formulani deb ataymiz yoki ilgari ilgari ma'lum bo'lgan avvalgilarni bilishingiz kerak:

Masalan, bunday formulalarni topish uchun biz progressga a'zo, biz avvalgi to'qqizni hisoblashimiz kerak. Masalan, ruxsat bering. Keyin:

Xo'sh, endi qanday formula nima?

Har bir qatorda biz ba'zi raqamlarga ko'paytiramiz. Nima? Juda oddiy: bu hozirgi a'zo bo'lgan minusning soni:

Endi qulayroq, to'g'ri? Tekshirish:

O'zimni baham ko'ring:

Arifmetik progressiyada N-Th a'zoning formulani toping va yuzinchi a'zoni toping.

Qaror:

Birinchi a'zo teng. Va farq nima? Lekin nima:

(Buning sababi shundaki, saralashning izlanishlarining farqiga teng).

Shunday qilib, formula:

Keyin yuzinchi a'zo:

Barcha tabiiy raqamlarning yig'indisi nimadan?

Afsonaga ko'ra, buyuk matematik Karl Gauss, 9 yoshli bola bo'lgan, bu miqdorni bir necha daqiqada ko'rib chiqdi. Uning ta'kidlashicha, birinchi va oxirgi raqamning yig'indisi ikkinchi va penultimetrning yig'indisiga teng, uchinchi va 3-yillarning uchinchi qismi ham va boshqalar. Bunday juftliklar qancha? Bu to'g'ri, barcha raqamlarning sonining yarmi, ya'ni. Shunday qilib,

Har qanday arifmetik rivojlanishning birinchi a'zolarining umumiy formulasi quyidagicha bo'ladi:

Misol:
Barcha ikki xonali raqamlarning yig'indisini toping, ko'p.

Qaror:

Birinchi bunday raqam. Har bir keyingi navbatda oldingi raqamga qo'shib olinadi. Shunday qilib, siz istagan raqamlar birinchi a'zo va farqi bilan arifmetik rivojlanishni shakllantiradi.

Formula-a'zosi ushbu rivojlanish uchun:

Agar ularning barchasi ikki raqamli bo'lishi kerak bo'lsa, qancha a'zolar bor?

Juda oson: .

Progressiyaning so'nggi a'zosi teng bo'ladi. Keyin summa:

Javob :.

Endi men qaror qilaman:

1. Har kuni sportchi avvalgisiga qaraganda ko'proq ishlaydi. Bir hafta davomida qancha kilometr uzoqlikda ishlaydi, agar birinchi kunida u km m m ron yugursa?
2. Velosipedchi har kuni avvalgisiga qaraganda km ga ko'proq harakat qiladi. Birinchi kuni u km. Km ni engib o'tish uchun qancha kun kerak? U yana necha kilometr yo'ldan o'tadi?
3. Do'konda muzlatgichning narxi har yili bir xil miqdorda kamayadi. Agar rubl sotish uchun sotilgan bo'lsa, har yili muzlatgichning narxi pasayishini aniqlang, olti yil rublga sotildi.

Javoblar:

1. Bu erda eng muhimi arifmetik rivojlanishni aniqlash va uning parametrlarini aniqlang. Bunday holda, (haftalar \u003d kun). Ushbu rivojlanishning birinchi a'zolari miqdorini aniqlash kerak:
   .
   Javob:
2. Bu erda beriladi :, topishingiz kerak.
   Shubhasiz, avvalgi vazifada bo'lgani kabi, siz bir xil xulosa formulasini ishlatishingiz kerak:
   .
   Biz qadriyatlarni almashtiramiz:

   Ildiz aniq mos kelmaydi, bu javobni anglatadi.
   O'tgan kundan boshlab a'zo formulani yordamida o'tgan yo'lni hisoblang:
   (km).
   Javob:

3. Dano: Topmoq: .
   Bu sodir bo'lmaydi:
   (ishqa).
   Javob:

Arifmetik progressiya. Qisqacha asosiy narsa haqida

Bu qo'shni sonning farq bir xil va teng bo'lgan raqamli ketma-ketlik.

Arifmetik progressiya () va kamayish ().

Masalan:

Axitmetik progressiyaning N-basse a'zosini topish formulasi

u formulalar, qaerda - progressiyada sonlarning soni yozilgan.

Axitmetik progressiya a'zolarining mulki

Agar qo'shni a'zolar ma'lum bo'lsa, progressiya a'zosini topishni osonlashtiradi - bu erda - progressiyada sonlarning soni.

Arifmetik progressiya a'zolarining miqdori

Miqdorni topishning ikkita usuli mavjud:

Qayerda - qiymatlar soni.

Qayerda - qiymatlar soni.

Qolgan 2/3 maqolalari faqat siz bilan faqat sizlarga o'zingizdagi talabalaridan foydalanishlari mumkin!

Sizda talaba bo'lish,

Matematikaga faqat matematikaga tayyorlang, narxda oyiga "oyiga stakan kofe",

Shuningdek, "Sizcerlaer" darsligiga cheksiz kirish dasturi (Rehebnik) "100 Gia", cheksiz sinov va 6000 ta vazifa va sizdan tashqari va sizdan tashqari va 100 galgi xizmatlari.