Kaka arifmetik progressiya farqini topadi. Arifmetik progressiyada farqni qanday topish mumkin: formulalar va echimlar misollari
Ha, ha: arifmetik progressiya siz emas :) Xo'sh, do'stlar, agar siz ushbu matnni o'qib chiqsangiz, shuni aniq aytadiki, siz hali ham arifmetik progressiya ekanligini hali ham bilmasligingizni aytadi, ammo juda yaxshi (yo'q: oooooo!) Bilmoqchiman. Shuning uchun, men sizga uzoq kirish va darhol ish joyiga bormayman.
Chunki bir nechta misollarni ishga tushirdi. Bir nechta raqamlarni ko'rib chiqing:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $ \\ Sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $
Ushbu to'plamlarning barchasida keng tarqalgan? Bir qarashda - hech narsa. Ammo aslida biror narsa. Aynan: har bir keyingi element avvalgisidan va bir xil raqamdan farq qiladi..
O'zingiz uchun sudya. Birinchi to'plam shunchaki raqamning ketma-ketiga kiradi, har bir navbatdagi yana bir kishi avvalgisidan kattaroqdir. Ikkinchi holatda, yaqin atrofdagi raqamlar orasidagi farq allaqachon beshga teng, ammo bu farq hali ham doimiydir. Uchinchi holatda, odatda ildizlar. Biroq, $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $ va $ 3 \\ sqrt (2) \u003d 2) + \\ sqrt (2) $, i.e. Va bu holda, har bir keyingi element $ \\ SQRT (2) $ (va bu raqamning irratsionalligini qo'rqitmasligini).
Shunday qilib: Bunday ketma-ketliklar arifmetik yutuqlarga aylanadi. Keling, qat'iy ta'rif beramiz:
Ta'rif. Har bir keyingi xususiyatlar avvalgisidan farq qiladigan raqamlarning ketma-ketligi va bir xil qiymat arifmetik progressiya deyiladi. Raqamning o'lchami boshqacha, progressiya farq deb nomlanadi va d $ harfi bilan tez-tez ko'rsatilgan.
Belgilangan: $ \\ Chap (((a) _ (n)) \\ o'ngda) $ - D $ bu uning farqi.
Va darhol bir nechta muhim sharhlar. Birinchidan, taraqqiyot faqat hisoblanadi tartibsiz Raqamlar ketma-ketligi: ularga ular yozib qo'yilgan tartibda va boshqacha o'qishga ruxsat beriladi. Raqamlar sonini qayta tartiblash va o'zgartirish mumkin emas.
Ikkinchidan, ketma-ketlik cheklangan va cheksiz bo'lishi mumkin. Masalan, to'plam (1; 2; 3) aniq arifmetik progressiya. Ammo agar siz ruhda biror narsa yozsangiz (1; 2; 3; ...) - Bu cheksiz progressiya. To'rtinchidan so'ng, to'rtinchidan keyin, xuddi shunday maslahatlar, keyin bir nechta raqamlar bor. Masalan, juda ko'p narsa. :)
Shuni ham ta'kidlashni istardimki, targ'ibot o'sish va pasaymoqda. Biz allaqachon o'sishni ko'rganmiz - bir xil to'plam (1; 2; 3; ...). Ammo pasayish sur'atlariga misollar:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $ \\ Sqrt (5); \\ \\ sqrt (5) -1; \\ \\ sqrt (5) -2; \\ \\ \\ sqrt (5) -3; ... $
Mayli mayli: so'nggi misol Bu juda murakkab tuyulishi mumkin. Ammo qolgani, menimcha, siz tushunasiz. Shuning uchun biz yangi ta'riflarni kiritamiz:
Ta'rif. Arifmetik progressiya deb nomlangan:
- har bir keyingi element avvalgisidan kattaroq bo'lsa, ko'payadi;
- kamayish, agar aksincha, har bir keyingi element avvalgisidan kam bo'lsa.
Bundan tashqari, "statsionar" ketma-ketliklar mavjud - ular bir xil takrorlanadigan raqamdan iborat. Masalan, (3; 3; ...).
Faqat bitta savol bor: qanday qilib tobora o'sib borayotganini kamaytirish mumkin? Yaxshiyamki, hamma narsa $ D $, i.e. ning belgisiga bog'liq Progressning rivojlanishi:
- Agar $ d \\ gt 0 $ bo'lsa, unda progress ortadi;
- Agar $ d \\ lt 0 $ bo'lsa, unda progress aniqlanmoqda;
- Va nihoyat, $ d \u003d 0 $ bo'lgan - bu holda bir xil raqamlarning statsionar ketma-ketligiga qisqartirildi: (1; 1; 1; 1;) va boshqalar.
Keyingi yutuqlarga erishilgan yutuqlar uchun $ D $ farqini hisoblab chiqamiz. Buning uchun ikkita qo'shni elementlarni olish kifoya (masalan, birinchi va ikkinchisiga) va to'g'ri, raqamlar kiradi. Bu shunday ko'rinadi:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $ \\ Sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.
Ko'rinib turibdiki, uchta holatda farq haqiqatan ham salbiy bo'ldi. Va endi, biz sezilarli darajada yoki kamroq tushunmovchiliklar bo'lganimizda, progress qanday tavsiflangan va ularning xususiyatlariga ega bo'lish vaqti keldi.
Targ'ibot va takroriy formula
Bizning ketma-ketliklarimiz elementlari joylarda o'zgarmasligi sababli, ularni raqamlash mumkin:
\\ [chap ((a) _ (n)) \\ o'ng) \\ o'ngda (a) _ (1) _ (2)), (2)), (2)), (a) _ (3) ),, ... to'g'ri \\) \\]
Ushbu to'plamning alohida elementlari progressiya a'zolari deyiladi. Ular ularni raqam yordamida ko'rsatadilar: birinchi dik, ikkinchi muddat va boshqalar.
Bundan tashqari, biz allaqachon bilganimizdek, qo'shnilarning rivojlanishi a'zolari Formula bilan bog'liq:
\\ [(a) _ (n)) - (a) _ (n - 1)) \u003d d \\t engilo ((a) _ (n) _ (n - 1)) + d \\]
Qisqasi, dona $ - progressiya a'zosi bo'lish uchun siz $ N-1 $ raqamini bilishingiz kerak va $ D $ farqini bilishingiz kerak. Bunday formula takrorlanadi, chunki u har qanday raqamni topish uchun ishlatilishi mumkin, faqat avvalgilarni (va aslida - barcha barchalari) bilish uchun ishlatilishi mumkin. Bu juda noqulay, shuning uchun birinchi a'zo va farqi uchun har qanday hisob-kitoblarni kamaytiradigan buning formulasi mavjud:
\\ [(a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ chap (n-1 \\ o'ng) d \\]
Siz allaqachon ushbu formula bilan uchrashgansiz. U barcha kataloglarda berishni va Rehebikhni berishni yaxshi ko'radi. Ha, va matematikadagi tushuntirish darslarida u birinchilardan biriga ketadi.
Shunga qaramay, men ozgina siqishni taklif qilaman.
1-band. $ ((A) _ (n) _ (N) _ (a) _ (1) _ (1)) ning arifmetik progressiyasining dastlabki uchta a'zosini (1)) \u003d 8, D \u003d -5 $.
Qaror. Shunday qilib, biz birinchi marta $ ((a) _ (1)) \u003d $ 8 va $ $ d \u003d -5 $ denalning farqini bilamiz. Biz faqat hosil bo'lgan formuladan foydalanamiz va $ N \u003d 1 $, $ 2 va $ 2 va $ 3:
\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (n)) \u003d (a) _ (1)) _ (1)) + \\ chap (n-1 \\ o'ng) d; \\\\ _ (a) _ (1)) \u003d (1) _ (1)) + \\ chap (1)) d \u003d (1) _ (1)) \u003d 8; \\\\ _ (a) _ (2)) \u003d (1) _ (1)) + \\ chap (2-1 \\ o'ng) d \u003d d \u003d 8-5 \u003d (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; \\\\ _ (a) _ (3)) \u003d (1) _ (1)) + \\ chap (3-1 \\ o'ng) d \u003d (1) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Javob: (8; 3; -2)
Ana xolos! E'tibor bering: bizning rivojlanishimiz kamayadi.
Albatta, $ n \u003d 1 $ almashtirilishi mumkin emas - birinchi a'zo biz ham tanilgan. Biroq, biz jihozni almashtirib, biz ham birinchi a'zo uchun, formulalarimizga ham ishonamiz. Boshqa hollarda, hamma narsa Banal arifmetikaga keltirildi.
Vazifa 2 raqami. Arifmetik rivojlanishning dastlabki uchta a'zosini, agar ettinchi a'zosi-40 bo'lsa va o'n ettinchi a'zo bo'lsa.
Qaror. Odatdagi vazifa shartini yozamiz:
\\ [(a) _ (7)) \u003d - 40; \\ Quad ((a) _ (17)) \u003d 50. \\]
\\ [\\ chap boshlanadi (((a) _ (a) _ (1) _ (1)) + 6D \\ _ (a) _ (17)) \u003d (a)) \u003d (a)) \u003d (a)) \u003d (a)) _ (1)) + 16D \\\\\\ tugaydi (tekis) \\ o'ng. \\]
\\ [\\ chap boshlanadi ((1) _ (1)) + 6D \u003d -40 _ (1) _ (1)) + 16D \u003d -50 \\ end (Anige) \\ O'ng. \\]
Men tizim belgisini o'rnatdim, chunki bu talablar bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak. Va endi biz birinchi tenglamani ajratib qo'yadigan bo'lsak (biz buni qilishga haqimiz, chunki bizda tizimimiz bor), biz buni olamiz:
\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (1)) + 16D- _ (1) _ (1)) + 6D \\ o'ng) \u003d - 50- chapda); \\\\ _ (a) _ (1)) + 16D - (a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10d \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Bu juda oddiy, biz rivojlanish farqini topdik! Bu topilgan raqamni tizim tenglamalarining har qanday qismiga almashtirishda qoladi. Masalan, birida:
\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (1)) + 6d \u003d -4 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ _-\\ _ (1)) \\ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ (a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ end (matritsa) \\]
Endi birinchi a'zo va farqni bilish, ikkinchi va uchinchi dikni topish uchun qoladi:
\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (2)) \u003d (a) _ (1)) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ _ ((3)) \u003d (a) _ (1)) + 2D \u003d -34----36. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Tayyor! Vazifa hal qilinadi.
Javob: (-34; -35; -36)
Biz topgan tafsilotning qiziquvchan xususiyatiga e'tibor bering: agar siz $ m $ va a'zolarni qabul qilsangiz va ularni bir-biringizdan olib tashlasangiz, unda $ N-M $ga aylantiramiz
\\ [(a) _ (n)) - (a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ chap (n-m \\ o'ng) \\]
Oddiy, ammo juda foydali mulkSiz bilishingiz kerak bo'lgan narsa - bu borada ko'plab muammolarni hal qilishni sezilarli darajada tezlashtirishingiz mumkin. Bu erda yorqin misol:
Vazifa raqami 3. Arifmetik o'sishning beshinchi muddati 8,4 va uning o'ninchi a'zosi 14,4 ni tashkil qiladi. Ushbu progressning o'n beshinchi a'zosini toping.
Qaror. $ ((A) _ (5)) \u003d $ 8,4, $ ((a) _ (a) _ (a) _ (15) _ (15)) $ (15) _ (15)). $ (15) ni topishingiz kerak.
\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (15)) - (a) _ (10)) \u003d 5d; \\\\ _ (a) _ (10)) - (a) _ (5)) \u003d 5d. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Ammo $ ((a) _ (a) _ (a) _ (5)) \u003d (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d $ 6, shuning uchun bizda mavjud bo'lganligimdan:
\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (15)) - 14,4 \u003d 6; \\\\ & ((a) _ (15)) \u003d 6 + 14,4 \u003d 20.4. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Javob: 20.4
Ana xolos! Bizga qandaydir tenglamalar tizimi bo'lishi kerak emas edi va birinchi a'zo va farqni ko'rib chiqishga hojat yo'q edi - hamma narsa tom ma'noda bir necha satrlarga kirdi.
Endi ishning boshqa turini ko'rib chiqing - bu rivojlanishning salbiy va ijobiy a'zolarini topish. Hech kimga sir emaski, agar rivojlansa, uning birinchi a'zosi salbiyning birinchi a'zosi bilan, keyinchalik yoki keyinchalik ijobiy a'zolar bo'ladi. Deyarli: Ertali yoki keyinroq progressiya a'zolari salbiy bo'ladi.
Shu bilan birga, bu lahzada bu lahzani "peshonada" qo'shib qo'yish mumkin emas, shuning uchun elementlar orqali ketma-ket burilish mumkin. Ko'pincha, vazifalar formulalarni bilmasdan bir nechta varaqlar bo'lishi uchun mo'ljallangan - biz shunchaki uxlab qolamiz, deb javob berishgan. Shuning uchun, ushbu vazifalarni tezroq hal qilishga harakat qilaylik.
4-band. Arifmetik progressiyada qancha manfiy a'zo - 38,5; -35.8; ...?
Qaror. Shunday qilib, $ ((a) _ (1)) \u003d - $ 38.5, $ (A) _ (2)) \u003d - $ 35.8, biz darhol farqni topamiz:
Shuni yodda tutingki, farq ijobiy. Shuning uchun progress ortadi. Birinchi a'zo salbiy, shuning uchun ba'zi bir nuqtada biz ijobiy raqamlarga to'sqinlik qilamiz. Faqatgina savol tug'iladi.
Keling, tushunishga harakat qilaylik: qancha vaqt (i.e., nima tabiiy son $ n $) A'zolarning salbiyligini saqlash:
\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ lt 0 \\ ratryun ((a) _ (1)) \\ LT _ (1)) + \\ chap (n-1 \\ o'ng) d \\ lt 0; \\\\ &38,5+ \\ chap (n-1 \\ o'ng) \\ CDOT 2.7 \\ lt 0; \\ Quad \\ chap | \\ Cdot 10 \\ o'ng. \\\\ &385 + 27 \\ cdot \\ chap (n-1 \\ o'ng) \\ lt 0; \\\\ &385 + 27N-27 \\ lt 0; \\\\ & 27 lt 412; \\\\ \\ lt 15 \\ FRAC (27) \\TROW ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Oxirgi chiziq tushuntirishni talab qiladi. Shunday qilib, biz $ N \\ LT 15 \\ FRAC (7) (27) $. Boshqa tomondan, biz faqat raqamning butun sonini sioning (n \\ dan ko'proq) (n funt), shuning uchun ruxsat etilgan raqam - $ 15 va hech qanday holatda emas 16.
Vazifa raqami 5. $ ((5)) ning arifmetik prognizida \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - $ 147. Ushbu rivojlanishning birinchi ijobiy a'zosini toping.
Bu avvalgi vazifani avvalgi vazifani bajaradi, ammo biz $ ((a) _ (1)) ni bilmaymiz. Ammo qo'shni a'zolar ma'lum: $ ((a) _ (5)) $ va $ ((a) _ (6) _ (6)) $, shuning uchun biz asta-sekin farqni topamiz:
Bundan tashqari, keling, standart formulaga muvofiq birinchi va farqi orqali beshinchi dikni ifoda etishga harakat qilaylik:
\\ [\\ boshlanadi ((a) _ (n)) \u003d (a) _ (1)) _ chap (n-1 \\ o'ng) \\ cdot d; \\\\ _ (a) _ (5)) \u003d (a) _ (1)) + 4D; \\\\ &150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ CDOT 3; \\\\ _ (a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Endi biz oldingi vazifa bilan taqqid orqali qilamiz. Biz ketma-ketligimizda ijobiy raqamlar qanday bo'lishini bilib olamiz:
\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ chap (n-1 \\ o'ng) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ &162 + 3n-3 \\ gt 0; \\\\ & 3n \\ gt 165; \\\\ \\ gt 55 \\ lightrow ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Ushbu tengsizlikning minimal soniyali eritmasi 56 raqami.
E'tibor bering: oxirgi vazifada hamma narsa qat'iy tengsizlikka uchraydi, shuning uchun variantni $ N \u003d $ 55 bizga mos bo'lmaydi.
Oddiy vazifalarni qanday hal qilishni o'rganganimizda, biz yanada murakkablikka murojaat qilamiz. Ammo avvalambor, kelgusida bir nechta vaqt va teng bo'lmagan hujayralarni qutqarish uchun arifmetik yutuqlarning yana bir foydali xususiyatini o'rganaylik. :)
O'rtacha arifmetik va teng ko'rsatkichlar
$ ((A) _ (n) _ (n)) \\ o'ngga (n)) bir necha bor tarbiyani oshirishning bir necha a'zosini ko'rib chiqing. Keling, ularni to'g'ri raqamga belgilashga harakat qilaylik:
Sonli to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishda arifmetik progressiya a'zolariMen o'zboshimchalik bilan a'zolari (a) _ (a) _ (a) _ (a) _ (n + 3)), va emas, balki $ (1)), \\ (a) _ (2)), \\ (a) _ (3)) $ va boshqalar. Men hozir aytadigan qoida, bu har qanday "segmentlar" ga teng ravishda ishlaydi.
Va qoida juda sodda. Keling, takrorlanish formulasini eslaylik va belgilangan barcha a'zolarga yozamiz:
\\ [\\ boshlanadi ((a) _ (n-2)) \u003d (a) _ (n-3)) + d; \\\\ & ((a) _ (n - 1)) \u003d (a) _ (n - 2)) + d; \\\\ & (a) _ (n)) \u003d (a) _ (n - 1)) + d; \\\\ _ (a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ _ (a) _ (n + 2)) \u003d (a) _ (n + 1)) + d; \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Biroq, bu tenglamalarni boshqacha takrorlash mumkin:
\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (n - 1)) \u003d (a) _ (n)) - d; \\\\ _ (a) _ (n-2)) \u003d (a) _ (n)) - 2D; \\\\ _ (a) _ (n-3)) \u003d (a) _ (n)) - 3D; \\\\ _ (a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ _ (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ _ (a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3d; \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Xo'sh, nima? Va A'zolar $ ((a) _ (n - 1)) ((A) _ (n + 1)) $ (n) _ (n)) dan bir xil masofada yolg'on yotadi. Va bu masofa $ D $ $ (A) _ (n - 2)) $ ((a) _ (n + 2)) a'zolari haqida ham xuddi shunday deyish mumkin - ular $ ((a) _ dan olib tashlanadi )) $ 2D $ ga teng masofada. Siz cheksizlikni davom ettirishingiz mumkin, ammo nuqta rasm bilan yaxshi ko'rsatilgan
Agressiya a'zolari markazdan bir xil masofada yotishadi Bu biz uchun nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, siz $ ((a) _ (n)) ni topishingiz mumkin, agar qo'shnilar ma'lum bo'lsa:
\\ [(a) _ (n)) \u003d \\ FRAC ((A) _ (n - 1)) + (n - 1)) + (n - 1))) (2) \\]) (2)
Biz katta rozilikni keltirdik: arifmetik rivojlanishning har bir a'zosi o'rtacha arifmetik qo'shni a'zolarga teng! Bundan tashqari, biz $ (N) _ (N) dan (N)) AQSh dollaridan, balki AQSh dollaridan, balki AQSh dollaridan, balki AQSh dollari va dolzarb formulani chekinishimiz mumkin.
\\ [(a) _ (n)) \u003d \\ FRAC ((A) _ (n - k)) + (n - k)) + (n - k))) (2) \\]
Ular. Agar biz $ ((a) _ (100) _ (100)) ((A) _ (a) _ (200)) (200)) $ va $ (200)). _ (150)) \u003d \\ FRAC ((A) _ (100)) + (200) _ (200))))) (2) $. Bir qarashda, bu haqiqat bizga hech qanday foydali narsa bermaydi. Biroq, amalda, ko'pgina vazifalar o'rtacha arifmetikadan foydalanish uchun "o'tkirlashdi". Qarab qo'ymoq:
6-vazifa 6. $ X $ qiymatidagi barcha qiymatlarni toping ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ va $ 14 + 4 ((2) ^ (2)) $ arifmetik progressiyaning izchil a'zolari (belgilangan).
Qaror. Ushbu raqamlarning rivojlanishi a'zolari bo'lganligi sababli, ular uchun o'rtacha arifmetikaning holati amalga oshiriladi: Markaziy element $ x + 1 $ qo'shni elementlar orqali ifodalash mumkin:
\\ [boshlang'ich boshlanadi (igna) & X + 1 \u003d \\ FRAC (((x) ^ (2) ^ (2) ^ (2) ^ (2)))); \\ & x + 1 \u003d \\ FRAC (((x) ^ (2)))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - (x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Klassik bo'lib chiqdi kvadratli tenglama. Uning ildizlari: $ x \u003d $ 2 va $ x \u003d--3 $ - bu javoblar.
Javob: -3; 2.
7-vazifa 7. $$ qiymatini toping, unda $ -1; (() ^ (2)) + 1 $ arifmetik progressiyani (belgilangan tartibda) tashkil qiladi.
Qaror. Yana qo'shni a'zolarning arifmetik o'rtacha ko'rsatkichlari orqali o'rtacha a'zoni ifoda etamiz:
\\ [\\ boshlang'ich va 4x-3 \u003d \\ frac ((x-1 + (x-1 + (2) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((2) ^ (2)) + X) (2); \\ Quad \\ chap | \\ Cdot 2 \\ o'ng.; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Yana kvadrat tenglamasi. Va yana ikkita ildiz: $ x \u003d $ 6 va $ x \u003d 1 $.
Javob: 1; 6.
Agar muammoni hal qilish jarayonida sizda shafqatsiz raqamlar bo'lsa yoki siz topilgan javoblarning to'g'riligi, ya'ni ajoyib usul, ya'ni ajoyib usul, ya'ni ajoyib usul: biz sizga vazifani hal qildingizmi?
6-vazifadagi 6-vazifa bo'yicha biz javob oldik -3 va 2. Ushbu javoblar to'g'ri ekanligini qanday tekshirish kerak? Keling, ularni asl holatda almashtiraylik va nima bo'lishini ko'ring. Sizga shuni eslatib o'ting, bizda uchta raqam bor ((2) (2)), $ + 1 $ va $ 14 + 4 ((2)) $), bu arifmetik progressiya bo'lishi kerak. $ X \u003d -3 $:
\\ [\\ boshlang'ich (tekislash) & -3 \\ lightw \\ &6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ Tugaydi (tekislash) \\]
Olingan raqamlar -54; -2; 50, shubhasiz, 52-da farq qiladi, shubhasiz, bu arifmetik progressiya. Xuddi shu narsa x dollarda bo'ladi \u003d $ 2:
\\ [\\ boshlang'ich (tekislash) & 2 \\trow \\ &6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ Tugaydi (tekislash) \\]
Yana rivojlanmoqda, ammo 27-yillar bilan, vazifa to'g'ri hal qilinadi. Istaganlar ikkinchi vazifani o'zlari bilan tekshirishlari mumkin, ammo men darhol shunday deyman: hamma hammasi ham to'g'ri.
Umuman olganda, so'nggi vazifalarni hal qilish, biz yana bir tomondan bordik qiziqarli faktkim eslab qolish kerak:
Agar uchta raqam bo'lsa, ikkinchisi o'rtacha avval arifmetik Va bu raqamlar arifmetik rivojlanishni shakllantiradi.
Kelgusida ushbu bayonotni tushunish muammoning holati asosida zarur rivojlanish jarayonlarini so'zma-so'z "dizaynga" imkon beradi. Ammo biz bunday "dizayn" bilan shug'ullanishdan oldin, siz allaqachon ko'rib chiqilganlardan bevosita quyidagilarga e'tibor berishingiz kerak.
Elementlarni guruhlash va miqdori
Keling, raqamli o'qga qaytaylik. U erda rivojlanishning bir nechta a'zolarini ta'kidlaymiz, ehtimol, ehtimol. Boshqa a'zolar juda ko'p:
6 elementlar to'g'ri raqam bilan belgilanadi$ ((A) _ (n) dan (N)) $ va $ ((a) _ (k) _ (k)) dan $ (k)) orqali berishga harakat qilaylik. Bu juda oddiy:
\\ [\\ boshlanadi ((a) _ (n + 1)) \u003d (a) _ (n)) + d; \\\\ _ (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ _ (a) _ (k - 1)) \u003d ((a) _ (k)) - d; \\\\ _ (a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2D. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Va endi biz quyidagi miqdorlar teng degani:
\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (n)) + (k)) \u003d s; \\\\ _ (a) _ (n + 1)) + (k - 1)) \u003d (n) _ (n) _ (n)) + D + (k) _ (k)) - d \u003d S; \\\\ _ (a) _ (A) _ (K-2)) \u003d ((a) _ (n) _ (n)) + 2d + (k)) - 2D \u003d S. \\ Tugaydi (tekislash) \\]
Sodda qilib, agar biz boshlanishning ikkita elementini boshlasak, $ s $ga teng bo'lsa, shundan so'ng ushbu elementlardan tengroq bo'ladi va keyinchalik qarama-qarshi tomondan (bir-birlariga yoki yo'q qilish uchun aksincha) borishni boshlang. keyin biz qoqinadigan elementlar miqdori ham teng bo'ladi $. Eng aniq ifodalanishi mumkin:
Xuddi shu ko'rsatkichlar teng miqdorni beradi. Tushunish bu faktdan Keling, yuqorida ko'rib chiqilganlarga qaraganda murakkabroq vazifalarni hal qilamiz. Masalan, bunday:
Vazifa raqami 8. Birinchi atama - 66, ikkinchi va o'n ikkinchi a'zolarning ishi eng kichik bo'lgan arifmetik progressiya farqini aniqlang.
Qaror. Biz bilgan hamma narsani yozamiz:
\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ _ (a) _ (2)) \\ CDOT ((a) _ (12)) \u003d \\ min. \\ Tugaydi (tekislash) \\]
Shunday qilib, $ D $ urg'uda farqni bilmaymiz. Aslida, farq atrofida va barcha echim quriladi, chunki mahsulot $ ((2)) \\ CDOT ((a) _ (12)) $ quyidagicha yozishi mumkin:
\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (2)) \u003d (a) _ (1)) + d \u003d 66 + d; \\\\ _ ((12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11D; \\\\ _ (a) _ (2)) \\ CDOT ((a) _ (12)) \u003d \\ chap (66 + d \\ o'ng) \\ CDOT \\ chap (66 + 11D \\ o'ng) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ Cdot \\ chap (D + 66 \\ o'ng) \\ CDOT \\ chap (D + 6 \\ o'ng). \\ Tugaydi (tekislash) \\]
Idda bo'lganlar uchun: Men ikkinchi qavsning 11-sonli umumiy ko'payib bordim. Shunday qilib, kerakli mahsulot $ D $ o'zgaruvchisiga nisbatan kvadratik funktsiya hisoblanadi. Shuning uchun biz funktsiyani $ f \\ chap (d \\ o'ng) deb hisoblaymiz (D + 66 \\ to'g'ri) \\ chap (D + 6 \\ to'g'ri) $ - uning jadvali Parabola filiallari bo'ladi, chunki Agar siz qavslarni oshkor qilsangiz, biz olamiz:
\\ [boshlang'ich boshlanadi (d & f \\ chap (d \\ o'ng) \u003d 11 \\ chap ((d) ^ (2)) + 66d + 66 + 66 \\ \\ \u003d \u003d 11 (( d) ^ (2)) + 11 \\ cdot 72d + 11 \\ cdot 66 \\ cdot 6 \\ end (alt) \\]
Ko'rib turganimizdek, katta nuqtai nazardan koeffitsient 11 ga teng - bu ijobiy raqam, shuning uchun u haqiqatan ham parabola filiallari bilan shug'ullanadi:
jadval kvadratik funktsiya - parabola
Iltimos, diqqat qiling: Ushbu parabolaning minimal qiymati u vertexni abksissa $ ((d) _ (0)) bilan oladi. Albatta, biz ushbu abssaissani standart sxema bo'yicha hisoblashimiz mumkin ((d) _ (d) _ (2) / (2a) / (2a) \\; $ ni sezadi Foroladagi simmetriya, shuning uchun $ (d) _ (0)), $ F \\ chap (d \\ o'ng) tenglamaning ildizlariga teng.
\\ [boshlang'ich boshlang'ich (d & F \\ chap (d \\ o'ng) \u003d 0; \\\\ \\ CDOT \\ chap (D + 66 \\ o'ng) \\ CDOT \\ chap (D + 6 \\ o'ng) \u003d 0; \\\\ _ (d) _ (1)) \u003d - 66; \\ kvadrat ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Shuning uchun men qavslarni ochishga shoshilmadim: asl shaklda, ildizlar juda sodda edi. Binobarin, abkissiya o'rtacha aRITMetmetik raqamiga teng va -6:
\\ [(d) _ (0)) \u003d \\ FRAC (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]
Bizga aniqlangan raqamni nima beradi? U bilan kerakli ish eng kichik qiymatni oladi (biz, yo'l bilan, $ ((y) _ (\\ min)) $ - bu bizdan talab qilinmaydi. Shu bilan birga, bu raqam dastlabki progressiya farqidir, i.e. Javobni topdik. :)
Javob: -36
9-vazifa 9. $ - \\ FRAC (1) (2) (1) - \\ FRAC (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6).
Qaror. Aslida, beshta raqamning ketma-ketligini amalga oshirishimiz kerak, va birinchi va oxirgi raqam allaqachon ma'lum. Yo'qolgan raqamlar sonini belgilaydi X $, $ Y $ va $ z $:
\\ [chap ((a) _ (n)) \\ o'ng) \u003d \\ chapga (1) (1) (2) (2) (2) (1) (1) (6) \\ o'ng ) \\]
Shuni ta'kidlash kerakki, Y $ Safarimizning soni - bu ketma-ketlik - $ x $ va $ z $ va raqamlardan $ x $ va raqamlardan. - \\ FRAD (2) $ va $ - \\ FRAC (1) (6) $. Va agar $ x $ va $ z $ Bizda bu lahzada Y $ ololmaymiz, keyin progressiya tugashi bilan vaziyat boshqacha. Biz arifmetik o'rtacha ko'rsatkichni eslaymiz:
Endi Y $ Bo`zni bilish, qolgan raqamlarni topamiz. E'tibor bering, $ X $ raqamlar orasidagi lyuklar $ - \\ FRAC (1) (2) (2) (2) (1) (3) $ topildi. shu sababli
Shunga o'xshab, tortishuv, biz qolgan raqamni topamiz:
Tayyor! Biz uchta raqamni topdik. Biz ularga javoban boshlang'ich raqamlar o'rtasida kiritilishi kerak bo'lgan tartibda yozamiz.
Javob: $ - \\ FRAC (5) (12); \\ - \\ frac (3); \\ - \\ FRAC (1)
Vazifani 10 raqami. 2 va 42 raqamlari orasida bir nechta raqamlarni joylashtiring, ular bilan birgalikda arifmetik progressiyani hosil qiladi, agar u birinchi, ikkinchi va oxirgi raqamlarning oxirgi qismi 56 bo'lsa, 56.
Qaror. Biroq, avvalgilar kabi bir xil sxema bilan bog'liq bo'lgan yanada qiyin vazifa - arifmetik o'rtacha ko'rsatkich. Muammo shundaki, biz qancha raqamlarni kiritish kerakligini bilmayotganimizdir. Shuning uchun biz kiritishdan keyin $ 2, birinchi, birinchi, oxirgi-oxirgi - 42 ni tashkil etamiz degan ta'rifni belgilaymiz: bu holda arifmetik progressiyani qidirish quyidagi shaklda keltirilgan:
\\ [chap ((a) _ (n)) \\ o'ngga) \u003d \\ chap yoki _ (a) _ (3)); (3)); (3)); (3)); ... a) _ (n - 1)); 42 \\ o'ng \\) \\]
\\ [(a) _ (2)) + (a) _ (3)) + (a) _ (n - 1)) \u003d 56 \\]
Shunga qaramay, $ ((a) _ (2)), $ 2 va 42 raqamlaridan bir-biridan bir qadam narida, i.e. . Ketma-ketlik markaziga. Va bu shuni anglatadiki
\\ [(a) _ (2)) + (a) _ (n - 1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]
Ammo keyin yuqorida qayd etilgan ibora qayta yozilishi mumkin:
\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (2)) + (3)) _ (3)) + (a) _ (n - 1)) \u003d 56; \\\\ chap ((2)) + (a) _ (n - 1)) \\ o'ng) + (a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ _ (a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
$ ((A) _ (3) _ (3)) ni bilish ((a) _ (1)) $, biz asta-sekin farqni bilib olamiz:
\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ _ (a) _ (3)) - (a) _ (1)) \u003d \\ chap (3-1 \\ o'ng) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2d \u003d 10 \\ TORROW D \u003d 5. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Bu faqat boshqa a'zolarni topish kerak:
\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ _ (a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ _ (a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & ((a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ CDOT 5 \u003d 17; \\\\ _ (a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ CDOT 5 \u003d 22; \\\\ & ((a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ CDOT 5 \u003d 27; \\\\ _ (a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ CDOT 5 \u003d 32; \\\\ _ (a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ CDOT 5 \u003d 37; \\\\ & ((a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ CDOT 5 \u003d 42; \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Shunday qilib, 9-bosqichda biz ketma-ketlikning chap uchiga - 42 raqamiga kelamiz - 42 raqamini kiritish kerak edi. Faqat 7 ta raqamni kiritish kerak edi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Javob: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Matnli vazifalar progressiya bilan
Xulosa qilib aytganda, men nisbatan nisbatan ikkilanmoqchiman oddiy vazifalar. Yaxshi, oddiy: maktabda matematikani o'rganadigan va yuqorida yozilgan narsalarni o'qimagan ko'pchilik talabalar uchun bu vazifalar qalayga o'xshamasligi mumkin. Shunga qaramay, shunga qaramay, OGEMATE va matematikadan yasalgan vazifalar, shuning uchun ular bilan tanishishni maslahat beraman.
11-o'rin. Brigada 62-yanvarda ishlab chiqarildi va keyingi oyda avvalgisiga qaraganda 14 qismdan ko'proq vaqtni tashkil qildi. Noyabr oyida nechta tafsilotni yaratdi?
Qaror. Shubhasiz, oylar bilan bo'yalgan tafsilotlar soni ko'payib boradi. Va:
\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ Quad D \u003d 14; \\\\ _ ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ chap (n-1 \\ o'ng) \\ cdot 14. \\\\ \\ end (tekis) \\]
Noyabr - yiliga 11 oy, shuning uchun biz $ ((a) _ (11)) ni topishimiz kerak (11)) $:
\\ [(a) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]
Shuning uchun noyabr oyida 202 tafsilot ishlab chiqariladi.
Vazifa raqami 12. 216 yil yanvardagi kitoblardagi majburiy seminar, keyingi oyda u avvalgisidan ko'proq kitobda 4 ta kitobni birlashtirdi. Dekabr oyida seminarni qancha kitob qildi?
Qaror. Hammasi bir xil:
$ \\ boshlanadi ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ Quad D \u003d 4; \\\\ _ (a) _ (n)) \u003d 216+ chap (n-1 \\ o'ng) \\ cdot 4. \\\\ tugaydi (tekislang)
Dekabr - yiliga eng so'nggi, 12-oy, shuning uchun biz $ ((a) _ (12)) ni qidirmoqdamiz:
\\ [(a) _ (12)) \u003d 216 + 11 CDOT 4 \u003d 260 \\]
Bu Javob - dekabrda 260 kitoblararo kitoblar bir-biri bilan bog'liq bo'ladi.
Xo'sh, agar siz buni shu erda o'qib chiqsangiz, men sizni "Yigitning kursi" tabriklash uchun shoshiling, siz muvaffaqiyatli o'tganingizni tabriklayman. Siz keyingi darsga bedarak o'tishingiz mumkin, bu erda biz rivojlanish formulani, shuningdek, muhim va juda foydali oqibatlari.
Diqqat!
Ushbu mavzu qo'shimcha mavjud
Maxsus 555 qismdagi materiallar.
Kuchli "unchalik emas ..."
Va "juda ..." bo'lganlar uchun
Arifmetik progressiya - bu har bir raqam avvalgisidan ko'ra kattaroq bo'lgan va bir xil qiymatdan ham katta.
Ushbu mavzu ko'pincha murakkab va tushunarsiz. Tumshug'ida indekslar, n-TH a'zosi Progressiya, progressiya farqi - bularning barchasi qandaydir chalkashliklar, ha ... - keling, arifmetik progressiya ma'nosi bilan tushunaylik.
Arifmetik progressiya tushunchasi.
Arifmetik progressiya - tushuncha juda sodda va aniq. Shubha? Vasbula.) O'zimizni ko'ring.
Men tugallanmagan raqamlarni yozaman:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Ushbu seriyani kengaytira olasizmi? Top beshlikdan keyin qaysi raqamlar davom etadi? Har bir ... UH-uH ..., qisqa, har bir kishi 6, 7, 8, 9 va hokazolar davom etadi.
Vazifani bajaring. Men tugallanmagan raqamlarni beraman:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Siz muntazamlikni qo'lga olishingiz mumkin, qatorni uzating va qo'ng'iroq qiling yettinchi qatorlar soni?
Agar siz bu 20 raqami ekanligini anglasangiz - men sizni tabriklayman! Siz nafaqat his qildingiz arifmetik progressning asosiy nuqtalari, Ammo va ularni ishda muvaffaqiyatli ishlatgan! Agar amalga oshmasa - biz o'qiymiz.
Va endi biz asosiy daqiqalarni matematikadagi hislardan o'tkazamiz.)
Birinchi muhim daqiqadir.
Arifmetik progressiya raqamlar bilan shug'ullanadi. Avvaliga bu chalkash. Biz tenglamaga, grafikani va bularning barchasini hal qilish, qurish, keyin sonni uzaytiramiz, qatorlar sonini toping ...
Hech qanday yomon narsa yo'q. Matematika yangi bo'limida birinchi tanishish - bu birinchi tanishish. Bo'lim "qatorlar" deb nomlanadi va aniq raqamlar va iboralar safida ishlaydi. Ko'nikib oling.)
Ikkinchi asosiy daqiqadir.
Arifmetik progressiyada har qanday raqam avvalgisidan farq qiladi bir xil kattalikda.
Birinchi misolda bu farq bitta. Bir qator narsa, na birlik uchun avvalgisidan ko'proq narsa emas. Ikkinchi - tronika. Avvalgisidan ko'proq raqam. Aslida, bu bir lahzadir va naqshni qo'lga kiritish va keyingi raqamlarni hisoblash imkoniyatini beradi.
Uchinchi asosiy fikr.
Bu lahza hayratda qolmaydi, ha ... lekin juda muhim. Mana: har bir taraqqiyot uning o'rnida. Birinchi raqam bor, ettinchi, qirq beshinchi va hokazo mavjud. Agar ular qulab tushganda, naqsh yo'qoladi. Arifmetik progressiya yo'qoladi. Faqat bir qator raqamlar bo'ladi.
Bu butun fikr.
Albatta, B. yangi mavzu Yangi shartlar va nota ko'rinadi. Ular bilishlari kerak. Aks holda, men vazifani tushunmayman. Masalan, siz nimadir qaror qilishingiz kerak, shunga o'xshash:
Agar 2 \u003d 5, d \u003d -2.5 bo'lsa, arifmetik progressiyaning birinchi oltita a'zosini yozing.
Ilhomlantiradimi?) Ovqat pishiradi, ba'zi indekslar ... va vazifa - bu oson emas. Siz shunchaki shartlar va belgilarning ma'nosini tushunishingiz kerak. Endi biz bu narsani o'zlashtiramiz va vazifaga qaytamiz.
Shartlar va belgilar.
Arifmetik progressiya - Bu har bir raqam avvalgilardan farq qiladigan bir qator raqamlar bir xil kattalikda.
Ushbu qiymat chaqiriladi . Keling, ushbu kontseptsiya bilan batafsilroq ma'lumot beraylik.
Arifmetik rivojlanishning farqi.
Arifmetik rivojlanishdagi farq - Bu har qanday rivojlanishning qiymati ko'proq avvalgisi.
Bir muhim nuqta. Iltimos, so'zga e'tibor bering "Ko'proq". Matematik jihatdan, bu rivojlanishning har bir sonini olishni anglatadi qo'shilish Oldingi raqamga nisbatan arifmetik progressiya farq.
Hisoblash uchun aytaylik ikkinchi qatorlar soni, bu kerak avval Raqam qo'shmoq Bu arifmetik progressiyaning juda farq. Hisoblash uchun beshinchi - Farq kerak qo'shmoq ga to'rtinchi Xo'sh, hokazo.
Arifmetik rivojlanishdagi farq balkim ijobiy Keyin har bir qatorlar aslida bo'ladi avvalgisidan ko'proq. Bunday progress deyiladi o'sib bormoqda. Masalan:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Bu erda har bir raqam bo'ladi qo'shilish Oldingi biriga +5 ga ijobiy raqam.
Farq bo'lishi mumkin salbiy Keyin har bir qatorlar chiqadi avvalgisidan kam. Bunday progress deyiladi (siz bunga ishonmaysiz!) kamayish pasayishi.
Masalan:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Bu erda har bir raqam ham olinadi qo'shilish Oldingilarga, lekin allaqachon salbiy son, -5.
Aytgancha, taraqqiyot bilan ishlaganda, uning fe'l-atvorini darhol aniqlash juda foydali - u o'sib bormoqda yoki pasaymoqda. Bu qarorda martabillashga, xatolaringizni buzib, ularni kech bo'lguncha tuzatishga katta yordam beradi.
Arifmetik rivojlanishdagi farq qoida tariqasida, xat d.
Qanday topish mumkin d. ? Juda onson. Har qanday raqamdan qochish kerak oldingi raqam. Chegirma. Aytgancha, ajratish natijasi "farq" deb nomlanadi.)
Biz, masalan, d. Axitmet taraqqiyotini oshirish uchun:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Biz xohlagan qatorda qatorlarni oling, masalan, 11. undan olib keting oldingi raqam ular. sakkiz:
Bu to'g'ri javob. Ushbu arifmetik progressiya uchun farq uchdir.
Siz aniq olishingiz mumkin har qanday taraqqiyot soni Chunki Aniq progressiya uchun d -har doim bir xil narsa. Yo'lning boshida, hatto o'rtada ham, hech bo'lmaganda har qanday joyda. Siz faqat birinchi raqamni olasiz. Faqat birinchi raqamda Oldingi emas.)
Aytgancha, buni bilib d \u003d 3.Ushbu progressning ettinchi raqamini topish juda oson. Biz beshinchi raqamni 3 ga qo'shamiz - biz oltidan keyin biz 17 yoshga kiramiz. Men eng kuchli uchligining oltinchi raqamiga qo'shamiz, biz ettinchi raqamni - yigirma raqamni olamiz.
Aniqlamoq d. Aritmetik progressiya pasayishi uchun:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Sizga shuni eslatib o'tamanki, alomatlardan qat'iy nazar, aniqlash d. har qanday raqamdan kerak avvalgisini olib keting. Har qanday o'zgarishlarni tanlang, masalan-7. Oldingi bir qator raqamga ega. Keyin:
d \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5
Arifmetik progressiya farqsi har qanday raqam bo'lishi mumkin: butun, kasr, irratsional, har xil.
Boshqa shartlar va belgilar.
Har bir qatorlar deb nomlanadi arifmetik progressiya a'zosi.
Rivojlanishning har bir a'zosi raqamingiz bormi? Xonalar bir necha marotaba, hech qanday e'tiborsiz. Birinchi, ikkinchi, uchinchi, to'rtinchi va boshqalar. Masalan, progressiyada 2, 5, 8, 11, 14, ... Ikki - bu birinchi a'zo, ikkinchisi, ikkinchi, o'n bir, siz aniq tushunasiz ...) - raqamlari o'zlari butunlay, butun, kasr, salbiy bo'lishi mumkin, ular yiqildi, ammo raqamlarni raqamlash - qat'iy tartibda!
Umumiy shaklda taraqqiyotni qanday yozish kerak? Muammo yo'q! Har bir qator qatorlar xat shaklida yozilgan. Arifmetik rivojlanishni ko'rsatish uchun, bu odatda harf a.. A'zo raqami indeksning pastki o'ng tomonida ko'rsatilgan. A'zolar (yoki vergul bilan bir nuqta) orqali yozadilar:
a 1, a 2, a 3 3, 4, .....
a 1.- Bu birinchi raqam a 3. - uchinchi va boshqalar. Hech narsa ayyor. Ushbu turkumni yozib oling Siz shu bilan qisqacha qisqacha savol bering: (N.)).
U erda rivojlanmoqda Cheksiz va cheksiz.
Jarima solmoq Cheklangan miqdordagi a'zolar targ'iboti cheklangan. Besh, o'ttiz sakkiz, xohlaganingizcha. Ammo - cheksiz raqam.
Cheksiz Progressiya - taxmin qilishingiz mumkin bo'lgan cheksiz songa ega.)
Bir qatorda, barcha a'zolar va oxirida bo'lgan barcha a'zolar va nuqta bo'lishi mumkin bo'lgan yakuniy progressni yozib oling:
a 1, a 2, a 3 3, a 5.
Yoki shunga qaramay, agar ko'plab a'zolar bo'lsa:
a 1, a 2, ... 14, a 15.
Qisqa rekord darajada siz qo'shimcha ravishda a'zolar sonini ko'rsatishingiz kerak bo'ladi. Masalan, (yigirma a'zo), shunga o'xshash:
(a n), n \u003d 20
Cheksiz progressiya ushbu darsning misollarida qator oxirida nashrdan topish mumkin.
Endi siz vazifalarni bajarishingiz mumkin. Vazifalar oddiy, sof arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish uchun oddiy.
Arifmetik progressiya vazifalariga misollar.
Biz yuqorida keltirilgan batafsil vazifani tahlil qilamiz:
1. Agar 2 \u003d 5, d \u003d -2.5 bo'lsa, arifmetik progressiya (A ning birinchi oltita a'zoini olib tashlang.
Biz vazifani tushunadigan tilga tarjima qilamiz. Dana cheksiz arifmetik progressiya. Ushbu progressning ikkinchi raqami ma'lum: a 2 \u003d 5. Progressiya farqi ma'lum: d \u003d -2.5. Ushbu rivojlanishning birinchi, uchinchi, to'rtinchi, beshinchi va oltinchi a'zolarini topish kerak.
Aniqlik uchun, vazifaning raqamini yozing. Ikkinchi a'zo beshdan biri bo'lgan birinchi oltita a'zo:
1, 5, a 3 3, a 4, a 5, a
a 3. = a 2. + d.
Biz ifodani almashtiramiz a 2 \u003d 5 va d \u003d -2.5. Minus haqida unutmang!
a 3.=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Uchinchi a'zo ikkinchisidan kam bo'lib qoldi. Hammasi mantiqiy. Agar raqam avvalgidan kattaroq bo'lsa salbiy Miqdori, keyin raqam avvalgisidan kam bo'lishi kerak. Progress pasaymoqda. Mayli, ko'rib chiqamiz.) Biz ketma-ket to'rtinchi a'zosini ko'rib chiqamiz:
a 4. = a 3. + d.
a 4.=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5. = a 4. + d.
a 5.=0+(-2,5)= - 2,5
a 6. = a 5. + d.
a 6.=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Shunday qilib, uchinchi a'zolar oltinchi tomonda hisoblab chiqilgan. Bu shunday seriyani chiqardi:
1, 5, 2,5, 0, -5, ....
Birinchi a'zoni topish uchun qoladi a 1. bilan ma'lum son. Bu boshqa tomonga, chapga, chapga.) Shunday qilib, arifmetik progressiya farqsi d. Biz qo'shmasligimiz kerak a 2., lekin olib ketish:
a 1. = a 2. - d.
a 1.=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Bu hamma narsa. Quest Javob:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Shuni ta'kidlashicha, biz bu vazifani hal qildik takroriy yo'l. Bu dahshatli so'z shunchaki rivojlanishga bog'liq degan ma'noni anglatadi oldingi (qo'shni) raqamiga ko'ra. Ajratish bilan ishlashning boshqa usullari Biz bundan keyin ham ko'rib chiqamiz.
Ushbu oddiy topshiriqdan siz bitta muhim chiqishni amalga oshirishingiz mumkin.
Esingizda bo'lsin:
Agar biz kamida bitta a'zoni bilsak va arifmetik progressiya farqini bilsak, ushbu rivojlanishning biron bir a'zosini topamiz.
Yodingizda bo'lyapsizmi? Ushbu oddiy xulosa sizga ushbu mavzu bo'yicha maktab kursining ko'pgina vazifalarini hal qilishga imkon beradi. Barcha vazifalar uchta asosiy parametr atrofida aylanmoqda: arifmetik progressiya a'zosi, progressiya farqi, a'zolarning rivojlanishi. Hamma narsa.
Albatta, oldingi algebra bekor qilinmaydi.) Tengsizliklar va tenglamalar va boshqa narsalar tuzatiladi. Lekin rivojlanishi uchun - har bir narsa uch parametr atrofida aylanadi.
Masalan, ushbu mavzu bo'yicha ba'zi mashhur vazifalarni ko'rib chiqaylik.
2. Agar n \u003d 5, D \u003d 0.4 va 1 \u003d 3.6 bo'lsa, yakuniy arifmetik progressiyani yozing.
Bu erda hamma narsa oddiy. Hammasi allaqachon berilgan. Arifmetik progressiya a'zolari hisoblash, hisoblash va yozish uchun qanday fikrlar ekanligini eslash kerak. Topshiriq holatida so'zlarni o'tkazib yubormaslik tavsiya etiladi: "Final" va " n \u003d 5."Shunday qilib, masxara qilishni tugatmaslik uchun.) Ushbu progressda, atigi 5 (besh) a'zo:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 0.4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4
a 4. = a 3. + d \u003d 4.4 + 0.4 \u003d 4.8
a 5. = a 4. + d \u003d 4.8 + 0.4 \u003d 5.2
Javobni yozib olish uchun chapga:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Ko'proq vazifa:
3. Raqamning 7 ta arifmetik progressiya (A ning) a'zosi yoki yo'qligini aniqlang a 1 \u003d 4.1; D \u003d 1.2.
Hmm ... uni kim biladi? Biror narsani qanday aniqlash mumkin?
Qanday o'xshash ... Ha, qator shaklida progress yozing va qarang, u erda etti bo'ladi! Biz ko'rib chiqamiz:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1.2 \u003d 5.3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.5 \u003d 6.5
a 4. = a 3. + d \u003d 6.5 + 1,2 \u003d 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Endi biz shunchaki ekanligimiz aniq ko'rinadi sirpanchiq 6.5 dan 7,7 gacha! Yetti bizning raqamlarimizga kirdi va demak, ettita, bu progressiya a'zosi bo'lmaydi.
Javob: Yo'q
Ammo muammo asosida muammo haqiqiy variant GIA:
4. Bir necha ketma-ket arifmetik progressiya mavjud:
...; o'n besh; x; to'qqizta; 6; ...
Bu erda cheksiz qator yozib, boshlanadi. A'zo raqamlari ham, farq yo'q d.. Hech qanday yomon narsa yo'q. Vazifani hal qilish uchun arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish kifoya. Biz qaraymiz va deb o'ylaymiz kashf qilmoq Ushbu seriyasidanmi? Uch asosiy parametrlar qanday?
A'zolar raqamlari? Bir raqam yo'q.
Ammo uchta raqam va e'tibor! - so'z "Izchil" Holatda. Bu shuni anglatadiki, raqamlarni o'tkazmasdan, raqamlar qat'iy ravishda ketadi. Ushbu ketma-ket ikkita ikki kishi bormi? qo'shni mashhur raqamlar? Ha bor! Bu 9 va 6 ni tashkil etdi, biz arifmetik rivojlanishdagi farqni hisoblashimiz mumkin! Olttur trterterdan oldingi raqam, i.e. To'qqizta:
Qolgan arzimas narsalar bor edi. Ikkala uchun avvalgi qaysi raqam bo'ladi? O'n besh. Shunday qilib, x osonlikni oson topish mumkin. Arifmetik progressiya farqini 15 ga qo'shing:
Ana xolos. Javob: x \u003d 12.
Quyidagi vazifalar o'zlarini hal qiladi. Izoh: Ushbu vazifalar formulalar uchun emas. Arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish uchun.) Faqat raqamlar bilan qatorni yozing, qarash va biz o'ylaymiz.
5. Agar 5 \u003d -3 bo'lsa, arifmetik progressiyaning birinchi ijobiy a'zosini toping; D \u003d 1.1.
6. 5.5 raqami - bu 1 \u003d 1.6; D \u003d 1.3. Ushbu a'zoning N ning sonini aniqlang.
7. Ma'lumki, arifmetik progressiyada 2 \u003d 4; a 5 \u003d 15.1. 3 ni toping.
8. Arifmetik progressiyaning bir nechta a'zolari:
...; 15.6; x; 3.4; ...
X harfi bilan ko'rsatilgan progressiya a'zosini toping.
9. Poyezdda bir daqiqada 30 metr tezlikni oshirish, teng ravishda 30 metr tezlikni oshirish boshlandi. Besh daqiqada poezd tezligi nima bo'ladi? Javob km / soat bering.
10. Ma'lumki, arifmetik progressiyada 2 \u003d 5; a 6 \u003d -5. 1 ni toping..
Javoblar (tartibsizlikda): 7.7; 7.5; 9.5; to'qqizta; 0,3; to'rt.
Hamma narsa ishlab chiqilganmi? Ajoyib! Siz ko'proq arifmetik rivojlanishni o'rganishingiz mumkin yuqori darajaQuyidagi darslarda.
Hamma narsa sodir bo'ldimi? Muammo yo'q. 555 maxsus bo'limda bu barcha vazifalar suyaklar atrofida ajralib turadi.
Aytgancha, poezd muammosida odamlar ko'pincha qoqinadigan ikkita muammo bor. Biri sof rivojlanish bo'yicha, ikkinchisi matematika va fizikadagi har qanday muammolar uchun keng tarqalgan. Bu o'lchamlarning bir-biriga tarjimasi. Ushbu muammolarni qanday hal qilish kerakligi ko'rsatilgan.
Ushbu darsda biz arifmetik progressiyaning elementar ma'nosini va uning asosiy parametrlarini ko'rib chiqdik. Bu mavzu bo'yicha deyarli barcha vazifalarni hal qilish uchun etarli. Sozlamoq d. Raqamlarga, qator yozing, hamma narsa hal qilinadi.
"Barmoqlarda" yechimi ushbu darsning misollarida bo'lgani kabi, juda qisqa qismlar uchun yaxshi mos keladi. Agar ketma-ket ko'proq bo'lsa, hisob-kitoblar murakkablashadi. Masalan, agar 9-vazifa almashtirish uchun bo'lsa "Besh daqiqa" ustida "O'ttiz besh daqiqa", Vazifa muhim bo'ladi.)
Va bir vaqtlar aslida oddiy vazifalar mavjud, ammo ular uchun bo'lmagan hisob-kitoblar, masalan:
Arifmetik progressiya (a n) beriladi. Agar 1 \u003d 3, d \u003d 1/6 bo'lsa 121 ni toping.
Va nima, biz 1/6 gacha ko'proq narsani qo'shamiz? Siz uni o'ldirishingiz mumkin!?
Siz qila olasiz.) Agar siz oddiy formulani bilmasangiz, bunday vazifalarni bir daqiqada hal qilish mumkin. Ushbu formula keyingi darsda bo'ladi. Va bu vazifa u erga hal qilinadi. Bir daqiqada.)
Agar sizga ushbu sayt yoqsa ...
Aytgancha, menda yana bir juft qiziqarli saytlar bor.)
U misollar bilan tanishishda va sizning darajangizni bilib olish uchun kirish mumkin. Tez tekshirish bilan sinovdan o'tish. O'rganing - qiziqish bilan!)
Siz xususiyatlar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Ko'rsatma
Arifmetik progressiya - A1, A1 + D, A1 + 2D ..., A1 + (n - 1) d. Raqam D bosqich targ'ibot. Shubhasiz, arifmetikaning o'zboshimchalik bilan targ'ibot Bu: A \u003d A1 + (n - 1) d. Keyin a'zolardan birini bilish targ'ibota'zo targ'ibot va qadam targ'ibot, Ya'ni taraqqiyot a'zosi soni mumkin. Shubhasiz, u formulasi n \u003d (A-A1 + D) / D orqali aniqlanadi.
M-Dikni endi bilib qo'ying targ'ibot Va u boshqa a'zo targ'ibot - nth, ammo n, oldingi ishda bo'lgani kabi, n va m ga mos kelmaydi. Hasha targ'ibot U formulasi bilan hisoblash mumkin: D \u003d (AM) / (N-M). Keyin n \u003d (AM + MD) / d.
Agar arifmetik bir nechta elementlar yig'indisi bo'lsa targ'ibot, shuningdek, birinchi va oxirgi, keyin ushbu elementlarning soni ham aniqlanishi mumkin. Arifmetik tizim targ'ibot Bo'ladi: S \u003d ((A1 + A) / 2) N. Keyin n \u003d 2s / (A1 + A) - Captov targ'ibot. AN \u003d A1 + (n - 1) d, ushbu formula shaklda qayta yozilishi mumkinligi sababli ushbu formulalarni shakllantirish mumkin: n \u003d 2s / (n - 1) d). Buning natijasida N, balki kvadrat tenglama bilan ifodalanishi mumkin.
Arifmetik ketma-ketlik bunday buyurtma qilingan raqamlar to'plami, ularning har bir a'zosi avvalgisidan tashqari, avvalgisidan farq qiladi. Ushbu doimiy qiymat progressiya farqsi yoki uning qadami, taniqli arifmetik rivojlanishning taniqli a'zolariga qarab hisoblash mumkin.
Ko'rsatma
Agar vazifaning qadriyatlari birinchi va ikkinchi yoki boshqa bir juft bo'lsa, farqni hisoblash uchun avvalgi a'zoning keyingi a'zosidan voz kechish. Olingan qiymat ijobiy va salbiy son bo'lishi mumkin - bu o'sishning progressiga bog'liq. Umuman olganda, o'zboshimchalik bilan olingan qo'shni a'zolarining (A va A) echimi quyidagicha qayd etiladi: D \u003d A˚ - A˚.
Bunday progressning bir necha a'zolari uchun birinchi (A˚) va ikkinchisi - o'zboshimchalik bilan tanlangan har qanday boshqa tanlangan, bu farqni topishning formulasi bo'lishi mumkin (D). Biroq, bu holda, o'zboshimchalik bilan tanlangan ketma-ketlik a'zosining ketma-ketligi (i) ma'lum bo'lishi kerak. Farqni hisoblash uchun ikkala raqamni joylashtiring va natijada olingan natija uchun birligi uchun bir nechta o'zboshimchalik bilan bog'liq bo'lgan tarkibiy a'zoga bo'linadi. Umuman olganda, ushbu formulaning quyidagicha yozilgan: D \u003d (A-1) / (I-1).
Agar arifmetik progressiyadan tashqari, men ketma-ketlik raqami bilan boshqa a'zo, boshqa a'zo, u ketma-ketlik raqami bilan tanilgan bo'lsa, avvalgisidan avvalgi bosqichdan o'zgartiring. Bunday holda, progressning farqini (d) farqlari, ularning ketma-ketliklari farqiga bo'lingan: d \u003d (A-+ A).
Farqni hisoblash formulasi avvalgi muddat (ARITMETIKA SEST) (I) birinchi a'zolarining (I) birinchi a'zolarining yig'indisi bo'lsa, biroz murakkabdir. Kerakli qiymatni olish uchun o'z a'zolari a'zolari soni bo'yicha miqdorini ajratish, birinchi raqamni ketma-ketlikda oling va natijada ikki baravar ko'p. Natijada qiymatga a'zolar soni hisobga olinadi. Umuman olganda, kamsituvchilarni hisoblash formulasi quyidagicha qayd etiladi: D \u003d 2 * (Sᵢ / i-A-A-A-A-A-A-A-) / (i-1).
Masalan, ketma-ketlik \\ (2 \\); \\ (besh \\); \\ (sakkiz \\); \\ (o'n bir \\); \\ (14 \\) ... bu arifmetik progressiya, chunki har bir keyingi element avvalgisidan farq qiladi (oldingi taxtdan qo'shilgandan olingan):
Ushbu progressda farq ijobiy (d \\) ijobiy (\\ (3 \\)), shuning uchun har bir keyingi a'zo avvalgisidan katta. Bunday progress deyiladi o'sib borayotgan.
Biroq, \\ (d \\) salbiy raqam bo'lishi mumkin. masalan, arifmetik progressiyada \\ (16 \\); \\ (10 \u200b\u200b\\); \\ (to'rt \\); \\ (- 2 \\); \\ (- 8 \\) ... progressiya farqi \\ (d \\) minus olti.
Va bu holda har bir keyingi element avvalgisidan kam bo'ladi. Ushbu o'sishlar deyiladi kamayib borayotgan.
Arifmetik progressiyani belgilash
Protin harfi tomonidan rivojlanadi.
Raqamni shakllantiruvchi raqamlar uni chaqiradi a'zolari (yoki elementlar).
Ular xuddi shu harf bilan arifmetik progressiya sifatida belgilanadi, ammo raqamli indekslar tartibda element raqamiga teng.
Masalan, arifmetik progressiya \\ (a_n \u003d chap; 5; 8; 14; 14 ... to'g'ri \\) elementlardan iborat \\ (a_1 \u003d 2 \\); \\ (A_2 \u003d 5 \\); \\ (A_3 \u003d 8 \\) va boshqalar.
Boshqacha qilib aytganda, progressiya uchun \\ (A_N \u003d chap \\ (2; 5; 11; 11; 14 ... o'ng \\) \\)
Arifmetik progressiya uchun vazifalarni hal qilish
Aslida, yuqoridagi ma'lumotlar deyarli arifmetik progressiya (shu jumladan oge-da taklif qiluvchilarni) hal qilish uchun etarli.
Misol (OGE).
Arifmetik progressiya shartlar bo'yicha belgilanadi \\ (b_1 \u003d d \u003d 4 \\). Toping \\ (b_5 \\).
Qaror:
Javob: \\ (b_5 \u003d 23 \\)
Misol (OGE).
Arifmetik progressiyaning dastlabki uchta a'zosi quyidagicha beriladi: \\ (62; 49; 36 ... \\) ushbu rivojlanishning birinchi salbiy a'zosining qiymatini toping.
Qaror:
|
Bizda ketma-ketlikning birinchi elementlari beriladi va bu arifmetik progressiya ekanligi ma'lum. Ya'ni, har bir element bir xil sonning bir xil sonidan farq qiladi. Biz qanday qilib keyingi elementdan chegirib, avvalgisidan bahramandmiz: \\ (d \u003d 49-62 \u003d -13 \\). |
|
|
Endi biz (birinchi salbiy) elementiga kerak bo'lgan narsamizga qaratamiz. |
|
|
Tayyor. Siz javob yozishingiz mumkin. |
Javob: \(-3\)
Misol (OGE).
Arifmetik progressiya elementlarining elementlari bir nechta arifmetika arifmetik targ'alari mavjud: \\ (5; 5; 10; 12.5 ... \\) harfning qiymati \\ (x \\) tomonidan ko'rsatilgan elementning qiymatini toping.
Qaror:
|
|
\\ (X \\) ni topish uchun, keyingi element avvalgisidan qanchalik farq qilishini bilishimiz kerak - boshqacha aytganda - progressiya farqi. Biz uni ma'lum bir qo'shni elementlarini topamiz: \\ (d \u003d 12,5-10 \u003d 2.5 \\). |
|
|
Va endi hech qanday muammosiz biz istalganini topamiz: \\ (x \u003d 5 + 2.5 \u003d 7,5 \\). |
|
|
Tayyor. Siz javob yozishingiz mumkin. |
Javob: \(7,5\).
Misol (OGE).
Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan belgilanadi: \\ (A_1 \u003d -19 \\); \\ (A_ (n + 1) \u003d a_n + 5 \\) ushbu rivojlanishning birinchi oltita a'zolarining yig'indisini topadi.
Qaror:
|
Biz rivojlanishning dastlabki oltita a'zoining miqdorini topishimiz kerak. Ammo biz ularning qadriyatlarini bilmaymiz, bizga faqat birinchi element berilgan. Shuning uchun, birinchi navbatda bizdan foydalanish uchun qiymatlarni hisoblang: \\ (n \u003d 1 \\); \\ (A_ (1 + 1) \u003d a_1 + 5 \u003d 5 \u003d -6 \\) |
|
|
\\ (S_6 \u003d a_2 + a_3 + A_5 + A_5 + A_5 + A_6 \u003d \\) |
Kerakli miqdor topildi. |
Javob: \\ (S_6 \u003d 9 \\).
Misol (OGE).
Arifmetik progressiyada \\ (A_ (12) \u003d 23 \\); \\ (A_ (16) \u003d 51 \\). Ushbu progressda farqni toping.
Qaror:
Javob: \\ (d \u003d 7 \\).
Arifmetik progressiya uchun muhim formulalar
Ko'rinib turibdiki, arifmetik rivojlanishning ko'plab vazifalari asosiy narsani anglatadi - bu arifmetik progressiya raqamlar zanjiri va ushbu zanjirning har bir keyingi elementi avvalgiga va bir xil raqamni qo'shib olinadi ( Progressiya farq).
Biroq, ba'zida "peshonada" qaror qilishdan juda noqulay bo'lgan holatlar mavjud. Masalan, birinchi misolda biz beshinchi elementni emas, balki uch yuz sakson olti \\ (b_ (386) \\ ni topishimiz kerakligini tasavvur qiling. Bu haqda to'rt marta qo'shadigan narsa, bizda (385 \\)? Yoki bu birinchi etmish uchta elementning yig'indisini topish kerakligini tasavvur qiling. Qiynoqlarni ko'rib chiqing ...
Shuning uchun, bunday holatlarda "peshonada" hal qilmang, ammo arifmetik progressiya uchun olingan maxsus formulalardan foydalaning. Ularning asosiylari progressiya a'zosi va birinchi a'zolarning \\ (n \\) ning formulasi hisoblanadi.
Formula \\ (n \\) - A'zo: \\ (A_N \u003d A_1 + (n - 1) d \\), u erda \\ (a_1 \\) bu rivojlanishning birinchi muddati;
\\ (n \\) - badiiy elementning soni;
\\ (A_N \\) - bu Raqam (n \\) bilan progressiya a'zosi.
Ushbu formulani tezda kamida uch yuzinchi, kamida million elementni tezda topishga imkon beradi, bu faqat birinchi va farqini bilib olamiz.
Misol.
Arifmetik progressiya shartlarda belgilanadi: \\ (b_1 \u003d -159 \\); \\ (d \u003d 8.2 \\). Toping \\ (b_ (246) \\).
Qaror:
Javob: \\ (b_ (246) \u003d 1850 \\).
Birinchi a'zolarning formulasi: \\ (s_n \u003d \\ frac (a_1 + A_N) (2) \\ cdot n \\), joyda
\\ (A_N \\) - Yarim joyning oxirgi a'zolari;
Misol (OGE).
Arifmetik progressiya shartlarda belgilanadi \\ (A_N \u003d 3.4n.6 \\). Ushbu progressning birinchi a'zolari miqdorini toping.
Qaror:
|
\\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (a_1 + A_ (25)) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \\) |
Birinchi yigirma beshta element miqdorini hisoblash uchun biz birinchi va yigirma beshinchi a'zoning ahamiyatini bilishimiz kerak. |
|
|
\\ (n \u003d 1; \\) \\ (A_1 \u003d 3.4 \u003d 2.8 \\) |
Endi biz yigirma beshinchi a'zoni, o'rniga yigirma besh o'rniga o'rnini bosamiz. |
|
|
\\ (n \u003d 25; \\) \\ (a_ (25) \u003d 3.4 · 25-4 \u003d 84.4 \\) |
Xo'sh, endi hech qanday muammosiz biz kerakli miqdorni hisoblaymiz. |
|
|
\\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (a_1 + A_ (25)) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \u003d \\) |
Javob tayyor. |
Javob: \\ (S_ (25) \u003d 1090 \\).
Birinchi a'zolar uchun birinchi a'zolar uchun siz boshqa formulani olishingiz mumkin: sizga shunchaki \\ (25) \u003d (a_1 + A_ (25) (25)) (2) \\) \\ (\\) CDOT 25 \\) o'rniga \\ (A_N \\) o'rniga (A_N \u003d A_1 + (n - 1) d \\). Biz olamiz:
Birinchi a'zolarning formulasi: \\ (S_N \u003d \\) \\ (\\ FRA_1 + (n - 1) d) (2) \\) \\ (\\ cdot n \\)
\\ (S_n \\) - bu birinchi elementlarning kerakli miqdoridagi \\ (n \\);
\\ (A_1 \\) - birinchi o'ringa chiqadigan a'zo;
\\ (D \\) - progressiya farqi;
\\ (n \\) - miqdordagi elementlar soni.
Misol.
Birinchi \\ (33 \\) miqdorini toping - arifmetik progressiya a'zolari: \\ (17 \\); \\ (15.5 \\); \\ (o'n to'rt \\) ...
Qaror:
Javob: \\ (S_ (33) \u003d - 231 \\).
Arifmetik progressiya uchun yanada murakkab vazifalar
Endi arifmetik progressiya bo'yicha deyarli har qanday vazifani hal qilish uchun barcha zarur ma'lumotlar mavjud. Mavzuni formulalarni ishlatishda oson bo'lmagan vazifalarni ko'rib chiqish, ammo ozgina o'ylash uchun (matematikada bu foydali bo'lsa)
Misol (OGE).
Progressning barcha salbiy a'zolarining yig'indisini toping: \\ (- 19.3 \\); \\ (- o'n to'qqiz \\); \\ (- 18.7 \\) ...
Qaror:
|
\\ (S_n \u003d \\) \\ (\\ FRAC (n - 1) d) (2) \\) \\ (\\ cdot n \\) |
Vazifa avvalgisiga juda o'xshash. Biz ham hal qila olmaymiz: avval biz \\ (d \\) ni topamiz. |
|
|
\\ (d \u003d a_2-a_1 \u003d -19 - (- 19.3) \u003d 0,3 \\) |
Endi men mixlar uchun formulada motorga aylantiraman ... va bu erda kichik nuance pop o'ynadi - biz \\ (n \\) bilmaymiz. Boshqacha qilib aytganda, biz qancha a'zolarni katlanmilishi kerakligini bilmaymiz. Qanday qilib bilish mumkin? Keling, o'ylaylik. Birinchi ijobiy elementga etib borganimizda katlama elementlarini to'xtatamiz. Ya'ni, siz ushbu elementning sonini bilishingiz kerak. Qanday? Biz arifmetik progressiyaning har qanday elementini hisoblash uchun formulani yozamiz: \\ (A_N \u003d A_1 + (n - 1) d \\) Bizning ishimiz uchun. |
|
|
\\ (A_N \u003d A_1 + (n - 1) d \\) |
||
|
\\ (A_N \u003d -19.3 + (n - 1) · 0,3 \\) |
Bizga, shuning uchun \\ (A_N \\) yanada nolga teng. Shunday qilib, u qanday \\ (n \\) bilan bo'ladi. |
|
|
\\ (- 19.3+ (N - 1) · 0,3\u003e 0 \\) |
||
|
\\ ((n - 1) · 0,3\u003e 19.3 \\ \\) \\ (| 0,3 \\) |
Biz ikkala tengsizlikning ikkala qismini (0,3 \\) ajratamiz. |
|
|
\\ (N - 1\u003e \\) \\ (\\ FRAC (19.3) (0.3) \\) |
Belgilarni o'zgartirishni unutmaslik uchun minusni olib boring |
|
|
\\ (n\u003e \\) \\ (\\ FRAC (19.3) (0.3) \\) \\ (+ 1 \\) |
Hisoblash ... |
|
|
\\ (n\u003e 65,333 ... \\) |
... Va birinchi ijobiy element raqamga ega bo'ladi va bir raqamga ega bo'ladi (66 \\). Shunga ko'ra, oxirgi salbiyda \\ (n \u003d 65 \\). Shunchaki, tekshiring. |
|
|
\\ (n \u003d 65; \\) \\ (a_ (65) \u003d - 19.3+ (65-1) · 0,3 \u003d -0.1 \\) |
Shunday qilib, biz birinchi \\ (65 \\) elementlarni katlashni kerak. |
|
|
\\ (S_ (65) \u003d \\) \\ (\\ FRAOT (-19.3) + (65-1) 0,3) (2) \\)\\ (\\ Cdot 65 \\) |
Javob tayyor. |
Javob: \\ (S_ (65) \u003d - 630.5 \\).
Misol (OGE).
Arifmetik progressiya shartlarda belgilanadi: \\ (A_1 \u003d -33 \\); \\ (A_ 1) \u003d A_N + 4 \\). \\ (26 \\) summani \\ (42 \\) elementni inklyuziv deb toping.
Qaror:
|
\\ (A_1 \u003d -33; \\) \\ (n (n + 1) \u003d a_n + 4 \\) |
Ushbu vazifa, shuningdek, elementlarning miqdorini topishi kerak, ammo birinchi va C \\ (26 \\) dan boshlab ham bo'lishi kerak. Bunday holatda bizda formula yo'q. Qanday hal qilinadi? |
|
|
Bizning rivojlanishi uchun \\ (A_1 \u003d -33 \\) va farq \\ (d \u003d 4 \\) (Axir, biz keyingi elementni avvalgi elementga qo'shamiz). Buni bilish, biz birinchi \\ (42 \\) miqdorini topamiz - tugaydi. |
|
\\ (S_ (42) \u003d \\) \\ (\\ Frac (23 sdot (-33) + (42-1) 4) (2) \\)\\ (\\ cdot 42 \u003d \\) |
Endi birinchi \\ (25 \\) elementlar miqdori. |
|
\\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (\\ FRAOT (-33) + (25-1) + 4) (2) \\)\\ (\\ Cdot 25 \u003d \\) |
Va nihoyat, biz javobni hisoblaymiz. |
|
\\ (S \u003d s_ s_ (42) -s_ (25) \u003d 2058-375 \u003d 1683 \\) |
Javob: \\ (S \u003d 1683 \\).
Arifmetik progressiya uchun biz ushbu maqolada kichik amaliy foyda tufayli ko'rib chiqmagan yana bir nechta formulalar mavjud. Biroq, ularni osongina topishingiz mumkin.
O'rta maktabda (9-sinf) algebrani o'rganish paytida muhim mavzulardan biri raqamli ketma-ketliklarIzometrik va arifmetikning rivojlanishi. Ushbu maqolada, echimlar bilan arifmetik progressiya va misollarni ko'rib chiqing.
Arifmetik progressiya nima?
Buni tushunish uchun, shuningdek, muammolarni hal qilishda yanada foydalaniladigan asosiy formulalarni olib kelish kerak.
Arifmetik yoki bunday tartibli ratsional raqamlar to'plamidir, ularning har bir a'zosi avvalgi qiymatdan farq qiladi. Ushbu qiymat farq bo'ladi. Ya'ni, buyurtma qilingan raqamlar va farqning har qanday a'zosini bilish, barcha arifmetik rivojlanishni qayta tiklaydi.
Keling, misol keltiraylik. Keyingi qismlarning navbatdagi ketma-ketligi arifmetikaning rivojlanishi: 4, 8, 12, 16, ..., chunki bu holatdagi farq 4 (8 - 4 \u003d 8 - 8 \u003d 16 - 12 - 16 - 12). Ammo 3, 5, 8, 12, 17 raqamlari ko'rib chiqilayotgan saralash turiga kiritilmasligi mumkin, chunki bu farq doimiy qiymat emas (5 - 3 ° 8 - 5 - 5 - 8 ° 8 - 8 ° 8) - 12).
Muhim formulalar
Endi biz arifmetik progressiyadan foydalanib muammolarni hal qilish uchun zarur bo'lgan asosiy formulalarni taqdim etamiz. Symbolni belgilab, n N n-th a'zosi, u erda butun son. Farq lotin harfi bilan belgilanadi. Keyin quyidagi iboralar to'g'ri:
- N-Th a'zoning qiymatini aniqlash uchun formula mos: a n \u003d (n - 1) * d + a 1.
- Komponentlarning birinchi n miqdorini aniqlash uchun: s n \u003d (a n + a 1) * n / 2.
9-sinfda qaror bilan arifmetik rivojlanishning har qanday misollarini tushunish uchun ushbu ikki formulalarni eslab qolish kifoya, chunki ular foydalanishda har qanday vazifalari qurilmoqda. Shuni ham unutmasligimiz kerakki, progressiya farq formulasi tomonidan belgilanadi: D \u003d a n - a n-1.
№1 misol: noma'lum a'zoni topish
Biz hal qilish uchun ishlatiladigan arifmetik va formulalarning o'sishiga oddiy misol keltiramiz.
10, 8, 6, 4, ... IMIDA Beshta a'zolarni topish kerak.
Muammoning holatidan boshlab birinchi 4 komponent ma'lum bo'lganidan keyin. Beshinchidan ikki usulda aniqlanishi mumkin:
- Farqni boshlash uchun hisoblang. Bizda: D \u003d 8 - 10 \u003d -2. Shunga o'xshab, siz bir-birining yonida turgan yana ikkita a'zoni qabul qilishingiz mumkin. Masalan, D \u003d 4 - 6 \u003d -2. D \u003d A N - 1 n - 1 n-1, keyin D \u003d a 5 - a 4, biz qaerdan olinganligi ma'lum bo'lganligi sababli, bu erda biz: a 5 \u003d d. Biz ma'lum qiymatlarni almashtiramiz: a 5 \u003d 4 + (-2) \u003d 2.
- Ikkinchi usul, shuningdek, ko'rib chiqilayotgan o'sishda farqni bilishni talab qiladi, shuning uchun yuqorida ko'rsatilganidek, uni (d \u003d -2) aniqlash kerak. Birinchi atama 1 \u003d 10 ekanligini bilish, biz N N ning ketma-ketligi sonining sonidan foydalanamiz. Bizda: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. N \u003d 5-ni oxirgi ifoda etish bilan almashtiramiz: a 5 \u003d 12-2 * 5 \u003d 2.
Ko'rinib turibdiki, hal qilishning usullari ham xuddi shunday natijaga olib keldi. Shuni yodda tutingki, bu misolda dotsariya farq salbiy ahamiyatga ega. Bunday ketma-ketlik deb ataladi, har bir keyingi atama avvalgisidan kichikroq.
2-misol: rivojlanishning farqi
Endi ozgina vazifani murakkablashtiradi, biz misitmetikaning rivojlanishidagi farqni qanday topish mumkin.
Ma'lumki, algebraik 1-guruh 6, 7-chi a'zo 18 yoshda ekanligi ma'lum, 7-chi. Ushbu ketma-ketlikni 7 ga yaqinlashtirish va qayta tiklash kerak.
Noma'lum a'zoni aniqlash uchun formuladan foydalanamiz: a n \u003d (n - 1) * d + a 1. Biz taniqli ma'lumotlarni sharti bilan almashtiramiz, ya'ni 1 va a raqamlarini, bizda: 18 \u003d 6 + 6 * d. Ushbu iboradan siz farqni osongina hisoblashingiz mumkin: D \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. 26 \u003d Shunday qilib, ular muammoning birinchi qismiga javob berishdi.
7 a'zoning ketma-ketligini tiklash uchun, siz ta'rifdan foydalanishingiz kerak algebraik progressiya, ya'ni 2 \u003d a 1 + d, a 3 \u003d a 2 + d va hokazo. Natijada biz butun ketma-ketlikni qayta tiklaymiz: a 1 \u003d 6 + 2 \u003d 8, a 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, a 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14 , a 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, a 7 \u003d 18.
3-misol: Progressiya ishlab chiqarish
Keling, vazifaning holatini yanada kuchaytiraylik. Endi arifmetik rivojlanishni qanday topish masalasiga javob berish kerak. Siz quyidagi misolni berishingiz mumkin: masalan, - 4 va 5. yana bir bor uchta a'zo joylashtirilishi uchun algebraik targ'ibotini amalga oshirish kerak.
Ushbu vazifani hal qilishdan oldin, kelajakda progressiyada berilgan raqamlar qanday joy bo'lishini tushunish kerak. Ular orasida yana uchta a'zo bo'ladi, keyin 1 \u003d -4 va 5 \u003d 5. uni o'rnatish orqali biz avvalgisiga o'xshash vazifaga murojaat qilamiz. Yana N-Th a'zosi uchun biz formuladan foydalanamiz, biz olamiz: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Joylashuv: D \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Bu erda biz farqning butun qiymatini olmadik, ammo bu oqilona sonni qabul qildik, shuning uchun algebraik progressiya uchun formulalar bir xil bo'lib qolmoqda.
Endi 1 ga topilgan farqni qo'shing va o'sishning yo'qolgan a'zosini tiklang. Biz olamiz: A 1 \u003d - - 4 + - 4 + 2.25, a 3 \u003d -1.75 + 2.25 \u003d 2.25 \u003d 2.25 \u003d 5.25 \u003d 5, muammoning holati to'g'ri keldi.
№4 misol: rivojlanishning birinchi a'zosi
Biz echim bilan arifmetik progressiyani keltirib chiqaramiz. Oldingi barcha vazifalarda algebraik progressiyasining birinchi soni ma'lum edi. Endi boshqa turdagi vazifani ko'rib chiqing: 15 \u003d 50 va 43 \u003d 37. bu ketma-ket qaysi kundan boshlab topish kerak.
Yangilangan formulalar yangi bilimlarni 1 va D. taklif qiladi. Ushbu raqamlar muammosi sharoitida hech narsa noma'lum. Shunga qaramay, biz har bir a'zo uchun iboralar yozamiz: 15 \u003d 1 + 14 * d va 43 \u003d a 1 + 42 * d. Biz ikkita noma'lum qiymatlarni (1 va d) qabul qildik. Bu shuni anglatadiki, vazifa chiziqli tenglamalar tizimini hal qilish uchun kamaygan.
Belgilangan tizim har bir tenglamada 1 taga ifodalanishini va keyin olingan iboralarni taqqoslash to'g'risida qaror qabul qilish oson. Birinchi tenglama: 1 \u003d 15 - 14 * d \u003d 50 - 14 * d; Ikkinchi tenglama: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Ushbu iborani tenglashtirish, biz quyidagilarni olamiz: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, u erda d \u003d 14 * d. (42 - 14) \u003d - 0.464 (atigi 3 ta aniqlik) verguldan keyin) beriladi.
D ni bilish, siz yuqoridagi ikkita iboralardan 1 uchun foydalanishingiz mumkin. Masalan, avval: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56,496.
Agar natijada shubha paydo bo'lsa, siz uni, masalan, rivojlanishning 43 a'zosini aniqlashingiz mumkin, bu holatda o'rnatiladi. Biz olamiz: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Kichik xatti-vaqti bilan minginchi fraktsiyalarga yaxlitlashganda hisob-kitoblar qo'llanilganda.
5-misol: miqdor
Endi arifmetik progressiya miqdori uchun bir nechta misollarni ko'rib chiqing.
Quyidagi shaklning quyidagi shakllarining ta'kidlashicha: 1, 2, 3, 4, ... Ushbu raqamlarning 100 miqdorini qanday hisoblash kerak?
Kompyuter texnologiyalarining rivojlanishi tufayli siz ushbu vazifani hal qilishingiz mumkin, ya'ni hisoblash mashinasini kimdir kirish tugmachasini bosgan zahotiyoqni darhol amalga oshirishi mumkin bo'lgan barcha raqamlarni tartibli qiladi. Biroq, agar siz ko'rsatgan raqamlar sonini algebraikning rivojlanishi ekanligiga e'tibor bersangiz, vazifani yodda tutishingiz mumkin, ammo uning farqi. S n \u003d n * (a 1 +) A) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.
Shuni ta'kidlash qiziqki, bu vazifa "Gaussian" deb nomlangan, chunki XVIII asr boshlarida, 10 yoshida taniqli nemis 10 yoshida, uni bir necha soniya ichida hal qila oldi. Bola algebraik progressiya miqdori to'g'risida formulani bilmas edi, ammo agar biz ketma-ketlikning chetlarida raqamlarni buksak, bitta natija, ya'ni 1 + 100 \u003d 3 + 3 + 98 \u003d ... va bu miqdorlar aniq 50 (100/2) bo'lgani uchun, to'g'ri javob olish uchun 50-12101 ni ko'paytirish kifoya.
№6 misol: n dan m gacha bo'lgan a'zolar soni
Boshqasi odatda misol Arifmetik progressiya quyidagicha: Dan bunday raqamlar: 3, 7, 11, 15, ..., 8 dan 14 gacha bo'lgan a'zolarining yig'indisi bir xil bo'lishini topishingiz kerak.
Vazifa ikki yo'l bilan hal qilinadi. Birinchisi noma'lum a'zolarni 8 dan 14 gacha, keyin izchil umumlashtirishni anglatadi. Shartlar biroz bo'lsa, unda bu usul juda og'ir emas. Shunga qaramay, bu muammoni ikkinchi usul bilan hal qilish taklif etiladi, bu ko'proq ko'p qirrali.
G'oya M va N a'zolari orasida algebraik progressiya summasi uchun formulani olishdir, unda n\u003e m butun son bo'ladi. Ikkala holat uchun ikkala holat uchun ikkita iborani ichdik:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
N\u003e M dan beri, miqdorning miqdori birinchisini o'z ichiga olganligi aniq. So'nggi xulosa shuni anglatadiki, agar siz ushbu so'mlar o'rtasida farq qilsangiz va unga a'zo qo'shsangiz (farq bo'lsa, u SMTdan ushlab qolinadi), keyin biz vazifaga kerakli javob olamiz. Bizda: s mn \u003d s n - am + am + n * (a 1 + am) / 2 - m * (A 1 + am) / 2 + A 1 * (n - m) / 2 + A 1 * / 2 + AM * (1- m / 2). Ushbu ifodada n va m uchun formulani almashtirish kerak. Keyin biz olamiz: s mn \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * d) / 2 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) \u003d a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m 2 - 2) / 2.
Olingan formulani biroz noqulay, shunga qaramay, mn faqat n, m, 1 va d ga bog'liq. Bizning holatimizda, 1 \u003d 3, d \u003d 4, n \u003d 14, m \u003d 8, biz olamiz: S mN \u003d 301.
Berilgan echimlardan ko'rinib turibdiki, barcha vazifalar N-Th a'zosi va formulaning birinchi komponentlar to'plamining miqdori uchun formulaga asoslanadi. Ushbu vazifalarni hal qilishdan oldin, ehtiyotkorlik bilan o'qish tavsiya etiladi, bu nimani talab qilish kerakligini tushunish kerak va shundan keyingina eritmaga o'ting.
Yana bir maslahat soddalik istagida, ya'ni siz savolga javob berishingiz mumkin, agar siz ushbu savolga javob bersangiz, murakkab matematik hisob-kitoblarni qo'llasangiz, bunday qilish kerak, chunki ehtimol bu ehtimollik xatodan kamroq. Masalan, 6-sonli qaror bilan arifmetika prognozi misolida, Formulaning Mn \u003d N * (A 1 + A) / M * (A 1 + am) / 2 + AM, va urish umumiy vazifa Alohida subtaskda (bu holda, birinchi a'zolarni toping).
Natija haqida shubha bo'lsa, unda berilgan ba'zi misollarda qilinganidek, uni tekshirish tavsiya etiladi. Qanday arifmetik progressiyani topish, topilgan. Agar siz buni aniqlasangiz, unchalik qiyin emas.
