Raqamli ketma-ketlik tushunchasi ba'zi bir haqiqiy qiymatning har bir tabiiy soniga yozishishni anglatadi. Bunday bir qator raqamlar o'zboshimchalik bilan ham, ma'lum bir xususiyatlarga ega bo'lishi mumkin - progressiya. Ichida so'nggi holat Har bir keyingi element (a'zo) avvalgisidan foydalanib hisoblab chiqilishi mumkin.

Arifmetik progressiya - Uning qo'shni a'zolari bir-birida bir xil songa (2-dan boshlab turdagi qator elementlar) mulkka egalik qiladi. Bu raqam avvalgi va keyingi a'zo o'rtasidagi farq - doimo va rivojlanish farqidir.

Progressning rivojlanishi: ta'rifi

A \u003d a (1), A (2), A (3), A (3), A (4) ... A (4), A (j), s to'plamga tegishli ketma-ketlikni ko'rib chiqing tabiiy sonlar N. Arifmetik progressiya, bu (3) - a (2) \u003d a (4) - a (3) - a (5) - a (4) \u003d ... \u003d a (J) - a (j-1) \u003d d. D qiymati bu rivojlanishning istalgan farqidir.

d \u003d a (j) - a (J-1).

Ajratish:

• Protsiyaning rivojlanishi, D\u003e 0. Masalan: 4, 8, 12, 16, ...
• Progressning pasayishi, keyin D< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progressiya farqi va o'zboshimchalik elementlari

Agar progressiyaning 2 nafari a'zosi (i-th, k,) bo'lsa, unda ushbu ketma-ketlik munosabatlar munosabatlarga asoslanishi mumkin:

a (i) \u003d A (K) + (i - k) * d, bu d \u003d (i) - a (k)) / (men) (i - k) ni anglatadi.

Progressiya farqi va birinchi a'zo

Ushbu ibora noma'lum qiymatni faqat ketma-ketlik elementi ma'lum bo'lgan hollarda aniqlashga yordam beradi.

Progressiya farqi va uning miqdori

Progressiya miqdori uning a'zolarining yig'indisidir. Uning birinchi j elementlarining umumiy qiymatini hisoblash uchun tegishli formuladan foydalaning:

S (j) \u003d ((((J)) / 2) * J, lekin A (j) \u003d a (1) + d (j - 1), keyin s (((1) + A (1) + D (1) + d (j - 1)) * 2) * j \u003d j \u003d j \u003d (j - 1))) * 2) * J \u003d D (1))) * 2) * j \u003d d (1))) * 2) * j \u003d d (1)) (J - 1))) * 2) * 2) (J - 1)) * J.2) * J \u003d D (1))) * 2) * j \u003d d (1))) * 2) * '2) * J \u003d D (1))) * A (1))) * 2) * 2) *' 2 2a (1) + d (- 1)) / 2) * j.

Ha, ha: arifmetik progressiya siz emas :)

Xo'sh, do'stlar, agar siz ushbu matnni o'qib chiqsangiz, shuni aniq aytadiki, siz hali ham arifmetik progressiya ekanligini hali ham bilmasligingizni aytadi, ammo juda yaxshi (yo'q: oooooo!) Bilmoqchiman. Shuning uchun, men sizga uzoq kirish va darhol ish joyiga bormayman.

Chunki bir nechta misollarni ishga tushirdi. Bir nechta raqamlarni ko'rib chiqing:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \\ Sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $

Ushbu to'plamlarning barchasida keng tarqalgan? Bir qarashda - hech narsa. Ammo aslida biror narsa. Aynan: har bir keyingi element avvalgisidan va bir xil raqamdan farq qiladi..

O'zingiz uchun sudya. Birinchi to'plam shunchaki raqamning ketma-ketiga kiradi, har bir navbatdagi yana bir kishi avvalgisidan kattaroqdir. Ikkinchi holatda, yaqin atrofdagi raqamlar orasidagi farq allaqachon beshga teng, ammo bu farq hali ham doimiydir. Uchinchi holatda, odatda ildizlar. Biroq, $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $ va $ 3 \\ sqrt (2) \u003d 2) + \\ sqrt (2) $, i.e. Va bu holda, har bir keyingi element $ \\ SQRT (2) $ (va bu raqamning irratsionalligini qo'rqitmasligini).

Shunday qilib: Bunday ketma-ketliklar arifmetik yutuqlarga aylanadi. Keling, qat'iy ta'rif beramiz:

Ta'rif. Har bir keyingi xususiyatlar avvalgisidan farq qiladigan raqamlarning ketma-ketligi va bir xil qiymat arifmetik progressiya deyiladi. Raqamning o'lchami boshqacha, progressiya farq deb nomlanadi va d $ harfi bilan tez-tez ko'rsatilgan.

Belgilangan: $ \\ Chap (((a) _ (n)) \\ o'ngda) $ - D $ bu uning farqi.

Va darhol bir nechta muhim sharhlar. Birinchidan, taraqqiyot faqat hisoblanadi tartibsiz Raqamlar ketma-ketligi: ularga ular yozib qo'yilgan tartibda va boshqacha o'qishga ruxsat beriladi. Raqamlar sonini qayta tartiblash va o'zgartirish mumkin emas.

Ikkinchidan, ketma-ketlik cheklangan va cheksiz bo'lishi mumkin. Masalan, to'plam (1; 2; 3) aniq arifmetik progressiya. Ammo agar siz ruhda biror narsa yozsangiz (1; 2; 3; ...) - Bu cheksiz progressiya. To'rtinchidan so'ng, to'rtinchidan keyin, xuddi shunday maslahatlar, keyin bir nechta raqamlar bor. Masalan, juda ko'p narsa. :)

Shuni ham ta'kidlashni istardimki, targ'ibot o'sish va pasaymoqda. Biz allaqachon o'sishni ko'rganmiz - bir xil to'plam (1; 2; 3; ...). Ammo pasayish sur'atlariga misollar:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \\ Sqrt (5); \\ \\ sqrt (5) -1; \\ \\ sqrt (5) -2; \\ \\ \\ sqrt (5) -3; ... $

Mayli mayli: so'nggi misol Bu juda murakkab tuyulishi mumkin. Ammo qolgani, menimcha, siz tushunasiz. Shuning uchun biz yangi ta'riflarni kiritamiz:

Ta'rif. Arifmetik progressiya deyiladi:

1. har bir keyingi element avvalgisidan kattaroq bo'lsa, ko'payadi;
2. kamayish, agar aksincha, har bir keyingi element avvalgisidan kam bo'lsa.

Bundan tashqari, "statsionar" ketma-ketliklar mavjud - ular bir xil takrorlanadigan raqamdan iborat. Masalan, (3; 3; ...).

Faqat bitta savol bor: qanday qilib tobora o'sib borayotganini kamaytirish mumkin? Yaxshiyamki, hamma narsa $ D $, i.e. ning belgisiga bog'liq Progressning rivojlanishi:

1. Agar $ d \\ gt 0 $ bo'lsa, unda progress ortadi;
2. Agar $ d \\ lt 0 $ bo'lsa, unda progress aniqlanmoqda;
3. Va nihoyat, $ d \u003d 0 $ bo'lgan - bu holda bir xil raqamlarning statsionar ketma-ketligiga qisqartirildi: (1; 1; 1; 1;) va boshqalar.

Keyingi yutuqlarga erishilgan yutuqlar uchun $ D $ farqini hisoblab chiqamiz. Buning uchun ikkita qo'shni elementlarni olish kifoya (masalan, birinchi va ikkinchisiga) va to'g'ri, raqamlar kiradi. Bu shunday ko'rinadi:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \\ Sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.

Ko'rinib turibdiki, uchta holatda farq haqiqatan ham salbiy bo'ldi. Va endi, biz sezilarli darajada yoki kamroq tushunmovchiliklar bo'lganimizda, progress qanday tavsiflangan va ularning xususiyatlariga ega bo'lish vaqti keldi.

Targ'ibot va takroriy formula

Bizning ketma-ketliklarimiz elementlari joylarda o'zgarmasligi sababli, ularni raqamlash mumkin:

\\ [chap ((a) _ (n)) \\ o'ng) \\ o'ngda (a) _ (1) _ (2)), (2)), (2)), (a) _ (3) ),, ... to'g'ri \\) \\]

Ushbu to'plamning alohida elementlari progressiya a'zolari deyiladi. Ular ularni raqam yordamida ko'rsatadilar: birinchi dik, ikkinchi muddat va boshqalar.

Bundan tashqari, biz allaqachon bilganimizdek, qo'shnilarning rivojlanishi a'zolari Formula bilan bog'liq:

\\ [(a) _ (n)) - (a) _ (n - 1)) \u003d d \\t engilo ((a) _ (n) _ (n - 1)) + d \\]

Qisqasi, dona $ - progressiya a'zosi bo'lish uchun siz $ N-1 $ raqamini bilishingiz kerak va $ D $ farqini bilishingiz kerak. Bunday formula takrorlanadi, chunki u har qanday raqamni topish uchun ishlatilishi mumkin, faqat avvalgilarni (va aslida - barcha barchalari) bilish uchun ishlatilishi mumkin. Bu juda noqulay, shuning uchun birinchi a'zo va farqi uchun har qanday hisob-kitoblarni kamaytiradigan buning formulasi mavjud:

\\ [(a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ chap (n-1 \\ o'ng) d \\]

Siz allaqachon ushbu formula bilan uchrashgansiz. U barcha kataloglarda berishni va Rehebikhni berishni yaxshi ko'radi. Ha, va matematikadagi tushuntirish darslarida u birinchilardan biriga ketadi.

Shunga qaramay, men ozgina siqishni taklif qilaman.

1-band. $ ((A) _ (n) _ (N) _ (a) _ (1) _ (1)) ning arifmetik progressiyasining dastlabki uchta a'zosini (1)) \u003d 8, D \u003d -5 $.

Qaror. Shunday qilib, biz birinchi marta $ ((a) _ (1)) \u003d $ 8 va $ $ d \u003d -5 $ denalning farqini bilamiz. Biz faqat hosil bo'lgan formuladan foydalanamiz va $ N \u003d 1 $, $ 2 va $ 2 va $ 3:

\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (n)) \u003d (a) _ (1)) _ (1)) + \\ chap (n-1 \\ o'ng) d; \\\\ _ (a) _ (1)) \u003d (1) _ (1)) + \\ chap (1)) d \u003d (1) _ (1)) \u003d 8; \\\\ _ (a) _ (2)) \u003d (1) _ (1)) + \\ chap (2-1 \\ o'ng) d \u003d d \u003d 8-5 \u003d (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; \\\\ _ (a) _ (3)) \u003d (1) _ (1)) + \\ chap (3-1 \\ o'ng) d \u003d (1) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]

Javob: (8; 3; -2)

Ana xolos! E'tibor bering: bizning rivojlanishimiz kamayadi.

Albatta, $ n \u003d 1 $ almashtirilishi mumkin emas - birinchi a'zo biz ham tanilgan. Biroq, biz jihozni almashtirib, biz ham birinchi a'zo uchun, formulalarimizga ham ishonamiz. Boshqa hollarda, hamma narsa Banal arifmetikaga keltirildi.

Vazifa 2 raqami. Arifmetik rivojlanishning dastlabki uchta a'zosini, agar ettinchi a'zosi-40 bo'lsa va o'n ettinchi a'zo bo'lsa.

Qaror. Odatdagi vazifa shartini yozamiz:

\\ [(a) _ (7)) \u003d - 40; \\ Quad ((a) _ (17)) \u003d 50. \\]

\\ [\\ chap boshlanadi (((a) _ (a) _ (1) _ (1)) + 6D \\ _ (a) _ (17)) \u003d (a)) \u003d (a)) \u003d (a)) \u003d (a)) _ (1)) + 16D \\\\\\ tugaydi (tekis) \\ o'ng. \\]

\\ [\\ chap boshlanadi ((1) _ (1)) + 6D \u003d -40 _ (1) _ (1)) + 16D \u003d -50 \\ end (Anige) \\ O'ng. \\]

Men tizim belgisini o'rnatdim, chunki bu talablar bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak. Va endi biz birinchi tenglamani ajratib qo'yadigan bo'lsak (biz buni qilishga haqimiz, chunki bizda tizimimiz bor), biz buni olamiz:

\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (1)) + 16D- _ (1) _ (1)) + 6D \\ o'ng) \u003d - 50- chapda); \\\\ _ (a) _ (1)) + 16D - (a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10d \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]

Bu juda oddiy, biz rivojlanish farqini topdik! Bu topilgan raqamni tizim tenglamalarining har qanday qismiga almashtirishda qoladi. Masalan, birida:

\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (1)) + 6d \u003d -4 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ _-\\ _ (1)) \\ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ (a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ end (matritsa) \\]

Endi birinchi a'zo va farqni bilish, ikkinchi va uchinchi dikni topish uchun qoladi:

\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (2)) \u003d (a) _ (1)) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ _ ((3)) \u003d (a) _ (1)) + 2D \u003d -34----36. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]

Tayyor! Vazifa hal qilinadi.

Javob: (-34; -35; -36)

Biz topgan tafsilotning qiziquvchan xususiyatiga e'tibor bering: agar siz $ m $ va a'zolarni qabul qilsangiz va ularni bir-biringizdan olib tashlasangiz, unda $ N-M $ga aylantiramiz

\\ [(a) _ (n)) - (a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ chap (n-m \\ o'ng) \\]

Oddiy, ammo juda foydali mulkSiz bilishingiz kerak bo'lgan narsa - bu borada ko'plab muammolarni hal qilishni sezilarli darajada tezlashtirishingiz mumkin. Bu erda yorqin misol:

Vazifa raqami 3. Arifmetik o'sishning beshinchi muddati 8,4 va uning o'ninchi a'zosi 14,4 ni tashkil qiladi. Ushbu progressning o'n beshinchi a'zosini toping.

Qaror. $ ((A) _ (5)) \u003d $ 8,4, $ ((a) _ (a) _ (a) _ (15) _ (15)) $ (15) _ (15)). $ (15) ni topishingiz kerak.

\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (15)) - (a) _ (10)) \u003d 5d; \\\\ _ (a) _ (10)) - (a) _ (5)) \u003d 5d. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]

Ammo $ ((a) _ (a) _ (a) _ (5)) \u003d (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d $ 6, shuning uchun bizda mavjud bo'lganligimdan:

\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (15)) - 14.4 \u003d 6; \\\\ & ((a) _ (15)) \u003d 6 + 14,4 \u003d 20.4. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]

Javob: 20.4

Ana xolos! Bizga qandaydir tenglamalar tizimi bo'lishi kerak emas edi va birinchi a'zo va farqni ko'rib chiqishga hojat yo'q edi - hamma narsa tom ma'noda bir necha satrlarga kirdi.

Endi ishning boshqa turini ko'rib chiqing - bu rivojlanishning salbiy va ijobiy a'zolarini topish. Hech kimga sir emaski, agar rivojlansa, uning birinchi a'zosi salbiyning birinchi a'zosi bilan, keyinchalik yoki keyinchalik ijobiy a'zolar bo'ladi. Deyarli: Ertali yoki keyinroq progressiya a'zolari salbiy bo'ladi.

Shu bilan birga, bu lahzada bu lahzani "peshonada" qo'shib qo'yish mumkin emas, shuning uchun elementlar orqali ketma-ket burilish mumkin. Ko'pincha, vazifalar formulalarni bilmasdan bir nechta varaqlar bo'lishi uchun mo'ljallangan - biz shunchaki uxlab qolamiz, deb javob berishgan. Shuning uchun, ushbu vazifalarni tezroq hal qilishga harakat qilaylik.

4-band. Arifmetik progressiyada qancha manfiy a'zo - 38,5; -35.8; ...?

Qaror. Shunday qilib, $ ((a) _ (1)) \u003d - $ 38.5, $ (A) _ (2)) \u003d - $ 35.8, biz darhol farqni topamiz:

Shuni yodda tutingki, farq ijobiy. Shuning uchun progress ortadi. Birinchi a'zo salbiy, shuning uchun ba'zi bir nuqtada biz ijobiy raqamlarga to'sqinlik qilamiz. Faqatgina savol tug'iladi.

Keling, bilib olishga harakat qilaylik: qandaydir tabiiy sonli tabiiy sonning salbiy sonigacha, salonning salbiy tomoni saqlanib qolinadi:

\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ lt 0 \\ ratryun ((a) _ (1)) \\ LT _ (1)) + \\ chap (n-1 \\ o'ng) d \\ lt 0; \\\\ &38,5+ \\ chap (n-1 \\ o'ng) \\ CDOT 2.7 \\ lt 0; \\ Quad \\ chap | \\ Cdot 10 \\ o'ng. \\\\ &385 + 27 \\ cdot \\ chap (n-1 \\ o'ng) \\ lt 0; \\\\ &385 + 27N-27 \\ lt 0; \\\\ & 27 lt 412; \\\\ \\ lt 15 \\ FRAC (27) \\TROW ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]

Oxirgi chiziq tushuntirishni talab qiladi. Shunday qilib, biz $ N \\ LT 15 \\ FRAC (7) (27) $. Boshqa tomondan, biz faqat raqamning butun sonini sioning (n \\ dan ko'proq) (n funt), shuning uchun ruxsat etilgan raqam - $ 15 va hech qanday holatda emas 16.

Vazifa raqami 5. $ ((5)) ning arifmetik prognizida \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - $ 147. Ushbu rivojlanishning birinchi ijobiy a'zosini toping.

Bu avvalgi vazifani avvalgi vazifani bajaradi, ammo biz $ ((a) _ (1)) ni bilmaymiz. Ammo qo'shni a'zolar ma'lum: $ ((a) _ (5)) $ va $ ((a) _ (6) _ (6)) $, shuning uchun biz asta-sekin farqni topamiz:

Bundan tashqari, keling, standart formulaga muvofiq birinchi va farqi orqali beshinchi dikni ifoda etishga harakat qilaylik:

\\ [\\ boshlanadi ((a) _ (n)) \u003d (a) _ (1)) _ chap (n-1 \\ o'ng) \\ cdot d; \\\\ _ (a) _ (5)) \u003d (a) _ (1)) + 4D; \\\\ &150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ CDOT 3; \\\\ _ (a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]

Endi biz oldingi vazifa bilan taqqid orqali qilamiz. Biz ketma-ketligimizda ijobiy raqamlar qanday bo'lishini bilib olamiz:

\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ chap (n-1 \\ o'ng) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ &162 + 3n-3 \\ gt 0; \\\\ & 3n \\ gt 165; \\\\ \\ gt 55 \\ lightrow ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]

Ushbu tengsizlikning minimal soniyali eritmasi 56 raqami.

E'tibor bering: oxirgi vazifada hamma narsa qat'iy tengsizlikka uchraydi, shuning uchun variantni $ N \u003d $ 55 bizga mos bo'lmaydi.

Oddiy vazifalarni qanday hal qilishni o'rganganimizda, biz yanada murakkablikka murojaat qilamiz. Ammo avvalambor, kelgusida bir nechta vaqt va teng bo'lmagan hujayralarni qutqarish uchun arifmetik yutuqlarning yana bir foydali xususiyatini o'rganaylik. :)

O'rtacha arifmetik va teng ko'rsatkichlar

$ ((A) _ (n) _ (n)) \\ o'ngga (n)) bir necha bor tarbiyani oshirishning bir necha a'zosini ko'rib chiqing. Keling, ularni to'g'ri raqamga belgilashga harakat qilaylik:

Sonli to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishda arifmetik progressiya a'zolari

Men o'zboshimchalik bilan a'zolari (a) _ (a) _ (a) _ (a) _ (n + 3)), va emas, balki $ (1)), \\ (a) _ (2)), \\ (a) _ (3)) $ va boshqalar. Men hozir aytadigan qoida, bu har qanday "segmentlar" ga teng ravishda ishlaydi.

Va qoida juda sodda. Keling, takrorlanish formulasini eslaylik va belgilangan barcha a'zolarga yozamiz:

\\ [\\ boshlanadi ((a) _ (n-2)) \u003d (a) _ (n-3)) + d; \\\\ & ((a) _ (n - 1)) \u003d (a) _ (n - 2)) + d; \\\\ & (a) _ (n)) \u003d (a) _ (n - 1)) + d; \\\\ _ (a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ _ (a) _ (n + 2)) \u003d (a) _ (n + 1)) + d; \\\\ \\ end (alt) \\] \\]

Biroq, bu tenglamalarni boshqacha takrorlash mumkin:

\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (n - 1)) \u003d (a) _ (n)) - d; \\\\ _ (a) _ (n-2)) \u003d (a) _ (n)) - 2D; \\\\ _ (a) _ (n-3)) \u003d (a) _ (n)) - 3D; \\\\ _ (a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ _ (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ _ (a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3d; \\\\ \\ end (alt) \\] \\]

Xo'sh, nima? Va A'zolar $ ((a) _ (n - 1)) ((A) _ (n + 1)) $ (n) _ (n)) dan bir xil masofada yolg'on yotadi. Va bu masofa $ D $ $ (A) _ (n - 2)) $ ((a) _ (n + 2)) a'zolari haqida ham xuddi shunday deyish mumkin - ular $ ((a) _ dan olib tashlanadi )) $ 2D $ ga teng masofada. Siz cheksizlikni davom ettirishingiz mumkin, ammo nuqta rasm bilan yaxshi ko'rsatilgan

Agressiya a'zolari markazdan bir xil masofada yotishadi

Bu biz uchun nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, siz $ ((a) _ (n)) ni topishingiz mumkin, agar qo'shnilar ma'lum bo'lsa:

\\ [(a) _ (n)) \u003d \\ FRAC ((A) _ (n - 1)) + (n - 1)) + (n - 1))) (2) \\]) (2)

Biz katta rozilikni keltirdik: arifmetik rivojlanishning har bir a'zosi o'rtacha arifmetik qo'shni a'zolarga teng! Bundan tashqari, biz $ (N) _ (N) dan (N)) AQSh dollaridan, balki AQSh dollaridan, balki AQSh dollaridan, balki AQSh dollari va dolzarb formulani chekinishimiz mumkin.

\\ [(a) _ (n)) \u003d \\ FRAC ((A) _ (n - k)) + (n - k)) + (n - k))) (2) \\]

Ular. Agar biz $ ((a) _ (100) _ (100)) ((A) _ (a) _ (200)) (200)) $ va $ (200)). _ (150)) \u003d \\ FRAC ((A) _ (100)) + (200) _ (200))))) (2) $. Bir qarashda, bu haqiqat bizga hech qanday foydali narsa bermaydi. Biroq, amalda, ko'pgina vazifalar o'rtacha arifmetikadan foydalanish uchun "o'tkirlashdi". Qarab qo'ymoq:

6-vazifa 6. $ X $ qiymatidagi barcha qiymatlarni toping ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ va $ 14 + 4 ((2) ^ (2)) $ arifmetik progressiyaning izchil a'zolari (belgilangan).

Qaror. Ushbu raqamlarning rivojlanishi a'zolari bo'lganligi sababli, ular uchun o'rtacha arifmetikaning holati amalga oshiriladi: Markaziy element $ x + 1 $ qo'shni elementlar orqali ifodalash mumkin:

\\ [boshlang'ich boshlanadi (igna) & X + 1 \u003d \\ FRAC (((x) ^ (2) ^ (2) ^ (2) ^ (2)))); \\ & x + 1 \u003d \\ FRAC (((x) ^ (2)))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - (x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]

U klassik bo'lib chiqdi kvadratli tenglama. Uning ildizlari: $ x \u003d $ 2 va $ x \u003d--3 $ - bu javoblar.

Javob: -3; 2.

7-vazifa 7. $$ qiymatini toping, unda $ -1; (() ^ (2)) + 1 $ arifmetik progressiyani (belgilangan tartibda) tashkil qiladi.

Qaror. Yana qo'shni a'zolarning arifmetik o'rtacha ko'rsatkichlari orqali o'rtacha a'zoni ifoda etamiz:

\\ [\\ boshlang'ich va 4x-3 \u003d \\ frac ((x-1 + (x-1 + (2) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((2) ^ (2)) + X) (2); \\ Quad \\ chap | \\ Cdot 2 \\ o'ng.; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]

Yana kvadrat tenglamasi. Va yana ikkita ildiz: $ x \u003d $ 6 va $ x \u003d 1 $.

Javob: 1; 6.

Agar muammoni hal qilish jarayonida sizda shafqatsiz raqamlar bo'lsa yoki siz topilgan javoblarning to'g'riligi, ya'ni ajoyib usul, ya'ni ajoyib usul, ya'ni ajoyib usul: biz sizga vazifani hal qildingizmi?

6-vazifadagi 6-vazifa bo'yicha biz javob oldik -3 va 2. Ushbu javoblar to'g'ri ekanligini qanday tekshirish kerak? Keling, ularni asl holatda almashtiraylik va nima bo'lishini ko'ring. Sizga shuni eslatib o'ting, bizda uchta raqam bor ((2) (2)), $ + 1 $ va $ 14 + 4 ((2)) $), bu arifmetik progressiya bo'lishi kerak. $ X \u003d -3 $:

\\ [\\ boshlang'ich (tekislash) & -3 \\ lightw \\ &6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ Tugaydi (tekislash) \\]

Olingan raqamlar -54; -2; 50, shubhasiz, 52-da farq qiladi, shubhasiz, bu arifmetik progressiya. Xuddi shu narsa x dollarda bo'ladi \u003d $ 2:

\\ [\\ boshlang'ich (tekislash) & 2 \\trow \\ &6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ Tugaydi (tekislash) \\]

Yana rivojlanmoqda, ammo 27-yillar bilan, vazifa to'g'ri hal qilinadi. Istaganlar ikkinchi vazifani o'zlari bilan tekshirishlari mumkin, ammo men darhol shunday deyman: hamma hammasi ham to'g'ri.

Umuman olganda, so'nggi vazifalarni hal qilish, biz yana bir tomondan bordik qiziqarli faktkim eslab qolish kerak:

Agar uchta raqam bo'lsa, ikkinchisi birinchi va oxirgisi - bu o'rta arifmetika, keyin bu raqamlar arifmetik rivojlanishni shakllantiradi.

Kelgusida ushbu bayonotni tushunish muammoning holati asosida zarur rivojlanish jarayonlarini so'zma-so'z "dizaynga" imkon beradi. Ammo biz bunday "dizayn" bilan shug'ullanishdan oldin, siz allaqachon ko'rib chiqilganlardan bevosita quyidagilarga e'tibor berishingiz kerak.

Elementlarni guruhlash va miqdori

Keling, raqamli o'qga qaytaylik. U erda rivojlanishning bir nechta a'zolarini ta'kidlaymiz, ehtimol, ehtimol. Boshqa a'zolar juda ko'p:

6 elementlar to'g'ri raqam bilan belgilanadi

$ ((A) _ (n) dan (N)) $ va $ ((a) _ (k) _ (k)) dan $ (k)) orqali berishga harakat qilaylik. Bu juda oddiy:

\\ [\\ boshlanadi ((a) _ (n + 1)) \u003d (a) _ (n)) + d; \\\\ _ (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ _ (a) _ (k - 1)) \u003d ((a) _ (k)) - d; \\\\ _ (a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2D. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]

Va endi biz quyidagi miqdorlar teng degani:

\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (n)) + (k)) \u003d s; \\\\ _ (a) _ (n + 1)) + (k - 1)) \u003d (n) _ (n) _ (n)) + D + (k) _ (k)) - d \u003d S; \\\\ _ (a) _ (A) _ (K-2)) \u003d ((a) _ (n) _ (n)) + 2d + (k)) - 2D \u003d S. \\ Tugaydi (tekislash) \\]

Sodda qilib, agar biz boshlanishning ikkita elementini boshlasak, $ s $ga teng bo'lsa, shundan so'ng ushbu elementlardan tengroq bo'ladi va keyinchalik qarama-qarshi tomondan (bir-birlariga yoki yo'q qilish uchun aksincha) borishni boshlang. keyin biz qoqinadigan elementlar miqdori ham teng bo'ladi $. Eng aniq ifodalanishi mumkin:

Xuddi shu ko'rsatkichlar teng miqdorni beradi.

Tushunish bu faktdan ko'proq tamoyilda muammolarni hal qilishga imkon bering yuqori daraja Yuqorida ko'rib chiqqanlarga qaraganda qiyinchiliklar. Masalan, bunday:

Vazifa raqami 8. Birinchi atama - 66, ikkinchi va o'n ikkinchi a'zolarning ishi eng kichik bo'lgan arifmetik progressiya farqini aniqlang.

Qaror. Biz bilgan hamma narsani yozamiz:

\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ _ (a) _ (2)) \\ CDOT ((a) _ (12)) \u003d \\ min. \\ Tugaydi (tekislash) \\]

Shunday qilib, $ D $ urg'uda farqni bilmaymiz. Aslida, farq atrofida va barcha echim quriladi, chunki mahsulot $ ((2)) \\ CDOT ((a) _ (12)) $ quyidagicha yozishi mumkin:

\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (2)) \u003d (a) _ (1)) + d \u003d 66 + d; \\\\ _ ((12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11D; \\\\ _ (a) _ (2)) \\ CDOT ((a) _ (12)) \u003d \\ chap (66 + d \\ o'ng) \\ CDOT \\ chap (66 + 11D \\ o'ng) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ Cdot \\ chap (D + 66 \\ o'ng) \\ CDOT \\ chap (D + 6 \\ o'ng). \\ Tugaydi (tekislash) \\]

Idda bo'lganlar uchun: Men ikkinchi qavsning 11-sonli umumiy ko'payib bordim. Shunday qilib, kerakli mahsulot $ D $ o'zgaruvchisiga nisbatan kvadratik funktsiya hisoblanadi. Shuning uchun biz funktsiyani $ f \\ chap (d \\ o'ng) deb hisoblaymiz (D + 66 \\ to'g'ri) \\ chap (D + 6 \\ to'g'ri) $ - uning jadvali Parabola filiallari bo'ladi, chunki Agar siz qavslarni oshkor qilsangiz, biz olamiz:

\\ [boshlang'ich boshlanadi (d & f \\ chap (d \\ o'ng) \u003d 11 \\ chap ((d) ^ (2)) + 66d + 66 + 66 \\ \\ \u003d \u003d 11 (( d) ^ (2)) + 11 \\ cdot 72d + 11 \\ cdot 66 \\ cdot 6 \\ end (alt) \\]

Ko'rib turganimizdek, katta nuqtai nazardan koeffitsient 11 ga teng - bu ijobiy raqam, shuning uchun u haqiqatan ham parabola filiallari bilan shug'ullanadi:

jadval kvadratik funktsiya - parabola

Iltimos, diqqat qiling: Ushbu parabolaning minimal qiymati u vertexni abksissa $ ((d) _ (0)) bilan oladi. Albatta, biz ushbu abssaissani standart sxema bo'yicha hisoblashimiz mumkin ((d) _ (d) _ (2) / (2a) / (2a) \\; $ ni sezadi Foroladagi simmetriya, shuning uchun $ (d) _ (0)), $ F \\ chap (d \\ o'ng) tenglamaning ildizlariga teng.

\\ [boshlang'ich boshlang'ich (d & F \\ chap (d \\ o'ng) \u003d 0; \\\\ \\ CDOT \\ chap (D + 66 \\ o'ng) \\ CDOT \\ chap (D + 6 \\ o'ng) \u003d 0; \\\\ _ (d) _ (1)) \u003d - 66; \\ kvadrat ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]

Shuning uchun men qavslarni ochishga shoshilmadim: asl shaklda, ildizlar juda sodda edi. Binobarin, abkissiya o'rtacha ko'rsatkichga teng arifmetik raqamlar -66 va -6:

\\ [(d) _ (0)) \u003d \\ FRAC (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]

Bizga aniqlangan raqamni nima beradi? U bilan kerakli ish eng kichik qiymatni oladi (biz, yo'l bilan, $ ((y) _ (\\ min)) $ - bu bizdan talab qilinmaydi. Shu bilan birga, bu raqam dastlabki progressiya farqidir, i.e. Javobni topdik. :)

Javob: -36

9-vazifa 9. $ - \\ FRAC (1) (2) (1) - \\ FRAC (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6).

Qaror. Aslida, beshta raqamning ketma-ketligini amalga oshirishimiz kerak, va birinchi va oxirgi raqam allaqachon ma'lum. Yo'qolgan raqamlar sonini belgilaydi X $, $ Y $ va $ z $:

\\ [chap ((a) _ (n)) \\ o'ng) \u003d \\ chapga (1) (1) (2) (2) (2) (1) (1) (6) \\ o'ng ) \\]

Shuni ta'kidlash kerakki, Y $ Safarimizning soni - bu ketma-ketlik - $ x $ va $ z $ va raqamlardan $ x $ va raqamlardan. - \\ FRAD (2) $ va $ - \\ FRAC (1) (6) $. Va agar $ x $ va $ z $ Bizda bu lahzada Y $ ololmaymiz, keyin progressiya tugashi bilan vaziyat boshqacha. Biz arifmetik o'rtacha ko'rsatkichni eslaymiz:

Endi Y $ Bo`zni bilish, qolgan raqamlarni topamiz. E'tibor bering, $ X $ raqamlar orasidagi lyuklar $ - \\ FRAC (1) (2) (2) (2) (1) (3) $ topildi. shu sababli

Shunga o'xshab, tortishuv, biz qolgan raqamni topamiz:

Tayyor! Biz uchta raqamni topdik. Biz ularga javoban boshlang'ich raqamlar o'rtasida kiritilishi kerak bo'lgan tartibda yozamiz.

Javob: $ - \\ FRAC (5) (12); \\ - \\ frac (3); \\ - \\ FRAC (1)

Vazifani 10 raqami. 2 va 42 raqamlari orasida bir nechta raqamlarni joylashtiring, ular bilan birgalikda arifmetik progressiyani hosil qiladi, agar u birinchi, ikkinchi va oxirgi raqamlarning oxirgi qismi 56 bo'lsa, 56.

Qaror. Biroq, avvalgilar kabi bir xil sxema bilan bog'liq bo'lgan yanada qiyin vazifa - arifmetik o'rtacha ko'rsatkich. Muammo shundaki, biz qancha raqamlarni kiritish kerakligini bilmayotganimizdir. Shuning uchun biz kiritishdan keyin $ 2, birinchi, birinchi, oxirgi-oxirgi - 42 ni tashkil etamiz degan ta'rifni belgilaymiz: bu holda arifmetik progressiyani qidirish quyidagi shaklda keltirilgan:

\\ [chap ((a) _ (n)) \\ o'ngga) \u003d \\ chap yoki _ (a) _ (3)); (3)); (3)); (3)); ... a) _ (n - 1)); 42 \\ o'ng \\) \\]

\\ [(a) _ (2)) + (a) _ (3)) + (a) _ (n - 1)) \u003d 56 \\]

Shunga qaramay, $ ((a) _ (2)), $ 2 va 42 raqamlaridan bir-biridan bir qadam narida, i.e. . Ketma-ketlik markaziga. Va bu shuni anglatadiki

\\ [(a) _ (2)) + (a) _ (n - 1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]

Ammo keyin yuqorida qayd etilgan ibora qayta yozilishi mumkin:

\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (2)) + (3)) _ (3)) + (a) _ (n - 1)) \u003d 56; \\\\ chap ((2)) + (a) _ (n - 1)) \\ o'ng) + (a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ _ (a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]

$ ((A) _ (3) _ (3)) ni bilish ((a) _ (1)) $, biz asta-sekin farqni bilib olamiz:

\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ _ (a) _ (3)) - (a) _ (1)) \u003d \\ chap (3-1 \\ o'ng) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2d \u003d 10 \\ TORROW D \u003d 5. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]

Bu faqat boshqa a'zolarni topish kerak:

\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ _ (a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ _ (a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & ((a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ CDOT 5 \u003d 17; \\\\ _ (a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ CDOT 5 \u003d 22; \\\\ & ((a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ CDOT 5 \u003d 27; \\\\ _ (a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ CDOT 5 \u003d 32; \\\\ _ (a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ CDOT 5 \u003d 37; \\\\ & ((a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ CDOT 5 \u003d 42; \\\\ \\ end (alt) \\] \\]

Shunday qilib, 9-bosqichda biz ketma-ketlikning chap uchiga - 42 raqamiga kelamiz - 42 raqamini kiritish kerak edi. Faqat 7 ta raqamni kiritish kerak edi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Javob: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Matnli vazifalar progressiya bilan

Xulosa qilib aytganda, men nisbatan nisbatan ikkilanmoqchiman oddiy vazifalar. Yaxshi, oddiy: maktabda matematikani o'rganadigan va yuqorida yozilgan narsalarni o'qimagan ko'pchilik talabalar uchun bu vazifalar qalayga o'xshamasligi mumkin. Shunga qaramay, shunga qaramay, OGEMATE va matematikadan yasalgan vazifalar, shuning uchun ular bilan tanishishni maslahat beraman.

11-o'rin. Brigada 62-yanvarda ishlab chiqarildi va keyingi oyda avvalgisiga qaraganda 14 qismdan ko'proq vaqtni tashkil qildi. Noyabr oyida nechta tafsilotni yaratdi?

Qaror. Shubhasiz, oylar bilan bo'yalgan tafsilotlar soni ko'payib boradi. Va:

\\ [\\ boshlang'ich ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ Quad D \u003d 14; \\\\ _ ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ chap (n-1 \\ o'ng) \\ cdot 14. \\\\ \\ end (tekis) \\]

Noyabr - yiliga 11 oy, shuning uchun biz $ ((a) _ (11)) ni topishimiz kerak (11)) $:

\\ [(a) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]

Shuning uchun noyabr oyida 202 tafsilot ishlab chiqariladi.

Vazifa raqami 12. 216 yil yanvardagi kitoblardagi majburiy seminar, keyingi oyda u avvalgisidan ko'proq kitobda 4 ta kitobni birlashtirdi. Dekabr oyida seminarni qancha kitob qildi?

Qaror. Hammasi bir xil:

$ \\ boshlanadi ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ Quad D \u003d 4; \\\\ _ (a) _ (n)) \u003d 216+ chap (n-1 \\ o'ng) \\ cdot 4. \\\\ tugaydi (tekislang)

Dekabr - yiliga eng so'nggi, 12-oy, shuning uchun biz $ ((a) _ (12)) ni qidirmoqdamiz:

\\ [(a) _ (12)) \u003d 216 + 11 CDOT 4 \u003d 260 \\]

Bu Javob - dekabrda 260 kitoblararo kitoblar bir-biri bilan bog'liq bo'ladi.

Xo'sh, agar siz buni shu erda o'qib chiqsangiz, men sizni "Yigitning kursi" tabriklash uchun shoshiling, siz muvaffaqiyatli o'tganingizni tabriklayman. Siz keyingi darsga bedarak o'tishingiz mumkin, bu erda biz rivojlanish formulani, shuningdek, muhim va juda foydali oqibatlari.

Arifmetik progressiya Raqamlar ketma-ketligini (progressiya a'zolari) chaqiring

Har bir keyingi guruh avvalgisidan oldingi muddatga, shuningdek, deb atalgan muddatga farq qiladi maydon yoki targ'ibot farq.

Shunday qilib, rivojlanish va uning birinchi a'zosi, formulaga muvofiq har qanday narsani topishingiz mumkin

Arifmetik progressiya xususiyatlari

1) Ikkinchi sondan boshlab har bir arifmetik rivojlanishning har bir a'zosi avvalgi arifmetikadir, avvalgisining oldingi va keyingi a'zolaridan iborat

Teskari bayonot ham to'g'ri. Agar arifmetik arifmetik arifmetik mos keladigan g'alati (hatto) a'zolar ular orasida turadigan a'zoga teng bo'lsa, unda bu raqamlar ketma-ketligi arifmetik progressiya. Ushbu bayonotga ko'ra, har qanday ketma-ketlikni tekshirish juda oson.

Shuningdek, arifmetik rivojlanishning xususiyatiga ko'ra, yuqoridagi formola oxirigacha umumlashtirilgan bo'lishi mumkin

Agar siz tarkibiy qismni tenglik belgisiga yozsangiz, bu osonlikcha

Ko'pincha amaliyotda hisob-kitoblarni soddalashtirish amaliyotida qo'llaniladi.

2) Arifmetik rivojlanishning birinchi a'zolarining yig'indisi formula bilan hisoblanadi

Arifmetik progressiyaning formulasini eslang, bu hisoblashda ajralmas va ko'pincha oddiy hayotiy vaziyatlarda topilgan.

3) Agar siz to'liq miqdorni to'liq miqdorni topa olmasangiz, lekin uning a'zosi K-u a'zosi bo'lganidan beri bir qismini, so'ngra siz quyidagi Smumunktsiyadan foydalanasiz

4) K-sondan boshlab N a arifmetik progressiya a'zolari miqdorini aniqlash. Buning uchun formuladan foydalaning

Ushbu nazariy materiallar amalda umumiy vazifalarni hal qilish uchun tugaydi va davom etadi.

Masalan 1. O'zingizning qirg'in maqsadi 4; 7; ...

Qaror:

Holatga ko'ra

Biz rivojlanish bosqichini aniqlaymiz

Mashhur formulaga ko'ra, biz rivojlanishning qirqta a'zosi topamiz

Misol2. Arifmetik progressiya uchinchi va ettinchi a'zodan so'ralgan. Fransiyaning birinchi muddatini va o'n miqdorda miqdorini toping.

Qaror:

Formulalar bo'yicha belgilangan progressiya elementlarini kesib oling

Ikkinchi tenglamadan men birinchi bo'lib topshiraman, natijada biz rivojlanish qadamini topamiz

Topilgan qiymat har qanday tenglamalarga, arifmetik progressiyaning birinchi a'zosini topish uchun almashtiriladi

Birinchi o'nta taraqqiyot miqdorini hisoblang

Murakkab hisoblashni qo'llamasdan, barcha kerakli qadriyatlarni topdilar.

Masalan 3. Arifmetik progressiya denominator va uning a'zolaridan biri tomonidan belgilanadi. Dastlabki progressiya, uning 50 a'zolari soni 50 dan birinchi bo'lib 100 va 100 ta miqdorini toping.

Qaror:

Biz rivojlanishning yuzinchi elementi formulasini yozamiz

va birinchilarni toping

Avvalo rivojlanishning 50 a'zosini topish uchun

Biz rivojlanishning yig'indisini topamiz

va birinchi 100 summasi

Progressiya hajmi 250 ni tashkil qiladi.

4 misol.

Agar quyidagi arifmetik targ'alar sonini toping:

a3-A1 \u003d 8, A2 + A4 \u003d 14, SN \u003d 111.

Qaror:

Biz tenglamalarni birinchi a'zo va progressiya bosqichini yozamiz va biz ularni aniqlaymiz

Olingan qiymatlar miqdordagi a'zolar sonini aniqlash uchun olingan qiymatlarning o'rnini bosadi

Biz soddalashtiramiz

va kvadrat tenglamani hal qiling

Topilgan ikkita qiymatdan, vazifaning holati faqat 8 raqamli. Shunday qilib, progressning birinchi sakkiz a'zosining yig'indisi 111 ni tashkil qiladi.

5-misol.

Tenglashtiring

1 + 3 + 5 + ... + X \u003d 307.

Qaror: Bu tenglama arifmetik progressiya summasi hisoblanadi. Biz uning birinchi dikini yozamiz va rivojlanishning farqi ekanligini bilib olamiz

Arifmetik progressiya qilingan vazifalar qadimgi davrlarda allaqachon mavjud bo'lgan. Ular paydo bo'ldi va echimni talab qildilar, chunki ular amaliy ehtiyojga ega edilar.

Shunday qilib, matematik tarkibga ega bo'lgan qadimgi Misrning birida - Rinda Papirus (XIX asr) bunday vazifani o'z ichiga oladi: biz o'n kishining o'n kishiga ajratamiz, ular orasidagi farq bitta. sakkizinchi harakat. "

Qadimgi yunonlarning matematik asarlarida arifmetik progressiya bilan bog'liq oqlangan teoremalar mavjud. Shunday qilib, Iskandariya (II asrda juda ko'p qiziqarli vazifalar bo'lgan va o'n to'rtinchi kitobni "Eduklidning boshlanishiga" "o'n to'rtinchi kitob qo'shdi", deb o'yladi: "Hatto bir nechta a'zolar, soniyani, soniyali arifmetik progressiyada qo'shildi 1/2 a'zolari soni 1/2 raqamiga nisbatan 2-yarim yillik. "

Ketma-ketligini bildiradi. Setlash raqamlari uning a'zolari deb nomlanadi va odatda ushbu a'zoning ketma-ketligi (A1, A2, A3 ... ni ko'rsatadigan indekslar bilan belgilanadi ("A 1 - O", "a 2-", "a 3- pin "va boshqalar.

Ketma-ketlik cheksiz yoki cheklangan bo'lishi mumkin.

Va arifmetik progressiya nima? Uning ostida ular bir xil sonli D bir xil soniga (N) bir xil son bilan to'ldirilishini tushunishadi, bu progressiya farqidir.

Agar D<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, ushbu progress o'sib bormoqda.

Arifmetik progressiya, agar uning birinchi a'zolari hisobga olingan bo'lsa, yakuniy deb ataladi. Ko'p sonli a'zolar bilan bu cheksiz targ'ibot.

Har qanday arifmetik progressiya quyidagi formula bilan belgilanadi:

a \u003d Kn + B, B va K ba'zi raqamlar.

Bu mutlaqo ko'rinadigan bayonot: agar ketma-ketlik shunga o'xshash formula tomonidan berilgan bo'lsa, unda bu xususiyatga ega bo'lgan narsa:

1. Progressiyaning har bir a'zosi oldingi a'zoning yoki keyingi qismining arifmetik o'rtacha ko'rsatkichidir.
2. Teskari: Agar 2-dan boshlab, har bir a'zo avvalgi a'zoning yoki keyingi a'zolarining arifmetik o'rtacha ko'rsatkichidir. Agar shart qoniqsa, bu ketma-ketlik arifmetik progressiya. Bu tenglik bir vaqtning o'zida taraqqiyot belgisidir, shuning uchun odatda rivojlanishning o'ziga xos xususiyati deb ataladi.
   Shunga o'xshab, bu mulkni aks ettiruvchi teorema - bu ketma-ketlikning har bir a'zolarining har qanday a'zolaridan boshlab, 2-chi dan boshlab ketma-ketlikda bo'lgan taqdirda.

Har qanday arifmetik progressiya uchun xarakteristik mulk formulani bildirishi mumkin. Formuli \u003d A, Agar n + m \u003d k + l (m, n, k) prognozning soni bo'lgan.

Arifmetik progressiyada, a'zo quyidagi formulani qo'llash orqali topilishi mumkin:

Masalan: Arifmetik progressiyada birinchi muddat (A1) uchtaga teng va teng bo'lishi kerak va farq to'rtga teng. Sizga ushbu rivojlanishning qirq beshinchi a'zosi kerakligini topish. A45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177

A \u003d Ak + D formulasi (n - k) sizga aniqlashga imkon beradi n-TH a'zosi Uning K-to'langan a'zosining istalgan qismini ma'lum bo'lganidan birortasi orqali arifmetik progressiya.

Arifmetik progressiya a'zolarining yig'indisi (yakuniy progressning 1-a'zoni anglatadi) quyidagicha hisoblanadi:

SN \u003d (A1 + A) n / 2.

Agar 1-savol ham ma'lum bo'lsa, unda boshqa formulalar hisoblash uchun qulaydir:

SN \u003d ((2a1 + d (n - 1))) * n.

N a'zolari bo'lgan arifmetik progressiya miqdori shu tarzda hisoblab chiqiladi:

Hisoblash uchun formulalarni tanlash vazifalar va manbalar ma'lumotlariga bog'liq.

1,2,3, ..., n, ... - arifmetik progressiyaning eng oddiy namunasi har qanday raqamlarning tabiiy turlari.

Arifmetik progressiyadan tashqari, uning xususiyatlari va xususiyatlariga ega bo'lgan geometrik mavjud.

Birinchi daraja

Arifmetik progressiya. Batafsil nazariya Misollar (2019)

Raqamning ketma-ketligi

Shunday qilib, o'tiring va har qanday raqamlarni yozishni boshlang. Masalan:
Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular qandaydir bo'lishi mumkin (bizning holatda). Biz necha raqam yozmadik, ulardan qaysi biri ikkinchi va shu qadar oxirgi, ya'ni biz ularni bo'g'ib qo'yamiz deb ayta olamiz. Bu raqamli ketma-ketlik misolidir:

Raqamning ketma-ketligi
Masalan, bizning ketma-ketligimiz uchun:

Belgilangan raqam faqat bitta sonning ketma-ketligi uchun xarakterli. Boshqacha aytganda, ketma-ketlikda uchta ikkinchi raqam yo'q. Ikkinchi raqam (raqam sifatida) har doim bitta.
Raqam bilan raqam ketma-ketlik a'zosi deyiladi.

Odatda biz barcha ketma-ketlikni (masalan,) chaqiramiz va ushbu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeks bilan ushbu a'zoning soniga teng bo'lgan xat:.

Bizning holatlarimizda:

Bizda bor deb o'ylaymiz raqamning ketma-ketligiUnda qo'shni raqamlar o'rtasidagi farq bir xil va tengdir.
Masalan:

va hokazo.
Bunday raqamli ketma-ketlik arifmetik progress deb ataladi.
"Protersiya" atamasi XVI asrda Rim Beizemning muallifi tomonidan kiritilgan va cheksiz raqamli ketma-ketlik sifatida keng ma'noda tushunilgan. "Areatmetik" nomi qadimgi yunonalar bilan shug'ullangan uzluksiz nisbatlar nazaridan uzatildi.

Bu raqamli ketma-ketlik, ularning har bir a'zosi avvalgi raqamga teng, bir xil raqam bilan bukilgan. Bu raqam arifmetik progressiya farqiga aylanadi.

Qaysi sonli ketma-ketlik arifmetik taraqqiyot ekanligi aniqlansin va bu quyidagilar emas:

a)
b)
c)
d)

Tushundim? Javoblarimizni taqqoslang:
Bu Arifmetik taraqqiyot - b, c.
Emas Arifmetik progressiya - A, D.

Keling, ushbu progressiyaga qaytaylik () va uning ma'nosini - a'zoning ma'nosini topishga harakat qilaylik. Mavjud ikki Buni qanday topish mumkin.

1. usuli

Biz progressning rivojlanishidan oldin natijalarga erishgunimizcha, progressiya sonining oldingi qiymatiga qo'shamiz. Kichkina chap tomonni umumlashtirishimiz yaxshi - faqat uchta ma'no:

Shunday qilib, tasvirlangan arifmetik progressiya bir xil.

2. usuli

Ta'kidlash a'zosining ma'nosini topishimiz kerak bo'lsa-chi? Summillik biz bilan bir soatni olib boradi, raqamlar qo'shganda biz xato bo'lmaydi degani emas.
Albatta, matematika oldingi qiymatiga arifmetik rivojlanishni qo'shimcha qilishning hojati yo'q. O'yin chizig'iga diqqat bilan qarang ... shubhasiz, siz allaqachon muntazamlikni payqadingiz:

Masalan, ushbu arifmetik progressiyaning ahamiyati nimada ekanligini ko'raylik:


Boshqa so'zlar bilan aytganda:

Shu tarzda ushbu arifmetik progressiyaning ahamiyatini topishga harakat qiling.

Hisoblanganmi? Yozuvlaringizni javob bilan taqqoslang:

E'tibor bering, oldingi usulda, oldingi usulda, biz arifmetik rivojlanish a'zolarining oldingi qiymatiga doimiy ravishda qo'shilganda.
Keling, ushbu formulani "aniqlashga" harakat qilaylik - biz buni beramiz umumiy shakl va oling:

Arifmetik progressiya tenglamasi.

Arifmetik progressiya ko'paymoqda va pasaymoqda.

O'sib borayotgan - A'zolarning har bir keyingi qiymati avvalgisidan ko'proq narsa bo'lgan yutuqlar.
Masalan:

Kamayib borayotgan - A'zolarning har bir keyingi qiymati avvalgisidan kamroq bo'lgan yutuqlar.
Masalan:

Olingan formulalar arifmetik rivojlanish a'zolarini ko'paytirish va kamaytirishda a'zolarni hisoblashda qo'llaniladi.
Buni amalda tekshiring.
Bizda quyidagi raqamlardan iborat bo'lgan arifmetik progressiya beriladi: agar siz uni hisoblashda formuladan foydalansangiz, ushbu arifmetik progressiya nima ekanligini tekshiring:

O'shandan beri:

Shunday qilib, biz formulani kamayib, o'sib borayotgan arifmetik progressiyada ham harakat qilamiz.
Ushbu arifmetik rivojlanishning o'z a'zolarini topishga harakat qiling.

Olingan natijalar quyidagilarni taqqoslang:

Arifmetik progressiya mulki

Vazifani bajaring - arifmetik rivojlanish xususiyatini olib qo'ying.
Aytaylik, bizga bunday shart bor:
- Arifmetik progressiya, qiymatni toping.
Oson, siz aytasiz, va siz allaqachon sizga ma'lum bo'lgan formulani ko'rib chiqa boshlaysiz:

Va keyin va keyin:

Mutlaqo to'g'ri. Ma'lum bo'lishicha, biz avval topamiz, keyin uni birinchi raqamga qo'shing va kerakli narsani oling. Agar progressiya kichik qiymatlar bilan ifodalangan bo'lsa, bunda murakkab bo'lmagan hech narsa yo'q va agar raqam berilsa? Qabul qiling, hisob-kitoblarda xato qilish imkoniyati mavjud.
Va endi o'ylang, bu muammoni biron bir formuladan foydalanib bitta harakatda hal qilish mumkinmi? Albatta, ha, va bu biz uni hozir olib kelishga harakat qilamiz.

Biz arifmetik rivojlanish a'zosini belgilaymiz, chunki uning joylashuvi formulasi bizniki - bu bizdan kelib chiqqan bu formulalar boshida bizdan olingan bu formulalar:
, keyin:

• oldingi muddat progressiya:
• keyingi progressiya a'zosi quyidagilardan iborat:

Biz oldingi va keyingi rivojlanish a'zolarini umumlashtiramiz:

Ma'lum bo'lishicha, oldingi va keyingi rivojlanish a'zolarining yig'indisi ular o'rtasidagi rivojlanish a'zosining ikki baravar qiymati. Boshqacha qilib aytganda, oldingi va ketma-ketlik bilan taniqli va ketma-ketlik bilan izohning qiymatini topish, ularni qo'shish va bo'linish kerak.

To'g'ri, biz bir xil raqamni oldik. Materialni mahkamlang. O'zingiz rivojlanib boradigan qiymatni hisoblang, chunki bu juda oddiy.

Juda qoyil! Siz deyarli rivojlanish haqida deyarli hamma narsani bilasiz! Bu faqat bitta formulani topish, afsonalarda "Matematiklar podshohi" - Karl Gauss ...

Karl Gaussu 9 yoshda bo'lganida, o'qituvchi boshqa sinf o'quvchilarining tekshiruvi bilan shug'ullanib, darsda quyidagi vazifani so'radi: "Barcha tabiiy sonlar yig'indisidan (boshqa manbalar tomonidan) inklyuziv." Bir daqiqada uning talabalaridan biri (bu Karl Gauss edi), bir daqiqada uning talabalaridan biri (bu Karl Gauss) bo'lgan ish joyiga to'g'ri javob berganida, o'qituvchining ajablanib qoldi.

Yosh Karl Gauss ba'zi muntazamlikni payqab, siz osonlikcha sezishingiz mumkin.
Aytaylik, a'zoimizdan iborat arifmetik progressiya bor: biz arifmetik progressiya a'zolarining miqdorini topishimiz kerak. Albatta, biz barcha qadriyatlarni qo'lda ochamiz, ammo agar vazifada uning a'zolari miqdorini topish kerak bo'lsa, nima qilish kerak, Gauss qanday qilib bu Gaussni qidirgan?

Bizga berilgan taraqqiyotni tasvirlayman. Saqlangan raqamlarga diqqat bilan qarang va ular bilan turli xil matematik harakatlarni ishlab chiqarishga harakat qiling.


Sinab ko'rdimi? Nimani sezdingiz? O'ngdan! Ularning summalari teng

Va endi javob bering, bunday juftliklar bizga berilgan qanchalarga qancha turadi? Albatta, barcha raqamlarning yarmi, ya'ni.
Arifmetik progressiyaning ikki a'zosining yig'indisi teng va shu kabi teng juftliklar, biz umumiy miqdorni quyidagicha bo'lishimiz mumkin:
.
Shunday qilib, har qanday arifmetik rivojlanishning birinchi a'zolarining yig'indisining formulasi quyidagicha bo'ladi:

Ba'zi vazifalarda biz bizga noma'lum, ammo rivojlanib boraverish ma'lum. Xulosa formulasini, a'zo formulasini almashtirishga harakat qiling.
Nima qilding?

Juda qoyil! Endi biz Karl Gaussning belgilangan vazifasi: mustaqil ravishda: mustaqil ravishda: - -grent va raqamlar miqdori miqdoridan iborat raqamlar miqdoriga teng.

Qancha qildingiz?
Gauss a'zolarning miqdori teng ekanligi va a'zolarning miqdori ekanligini ta'kidladi. Siz hal qildingizmi?

Aslida, Arifmetik progressiya a'zolarining qadimgi Yunonistonshunos Dinanta tomonidan tasdiqlangan, va shu vaqt ichida bu vaqt davomida aqlli odamlar arifmetik rivojlanish xususiyatlariga ega edilar.
Masalan, tasavvur qiling Qadimgi Misr Vaqtning eng katta qurilishi - piramida qurilishi ... Rasm bir tomonni ko'rsatadi.

Menga aytadigan natija qayerda? Piramida devorining har bir satridagi qum bloklari sonida ehtiyotkorlik bilan qarang.


Arifmetik progressiya nima emas? Bitta devorni qurish uchun qancha bloklar kerak bo'lsa, unda blokirovka joylashtirilgan bo'lsa. Umid qilamanki, siz hisoblamaysiz, barmog'ingizni monitoring ustiga olib borasiz, siz arifmetik progressiya haqida gaplashadigan so'nggi formulani eslaysizmi?

Bunday holda, progressiya quyidagicha :.
Arifmetik rivojlanishning farqi.
Arifmetik progressiya a'zolarining soni.
Ma'lumotlarimizni so'nggi formulalarda almashtiramiz (biz bloklar sonini 2 ta shaklda hisoblaymiz).

1-usul.

2-usul.

Va endi monitorda hisoblash mumkin: olingan qiymatlarni piramidamizdagi bloklar soni bilan taqqoslang. Keshlanganmi? Yaxshi bajarilgan, siz arifmetik arifmetik progressiyani o'zlashtirdingiz.
Albatta, piramidaning pastki qismidagi bloklar qurilmaydi, lekin undan ham? Bunday holat bilan devor qurish uchun qancha qum g'isht kerakligini hisoblashga harakat qiling.
Dosh berasizmi?
To'g'ri javob - bloklar:

Tayyorlamoq

Vazifalar:

1. Masha yozda shaklda keladi. Har kuni u kvadratlar sonini oshiradi. Bir necha haftadan keyin Masha necha hafta tiklanadi, agar u birinchi mashg'ulotda yig'imasa.
2. Tarkibidagi barcha toq sonlarning yig'indisi.
3. Dissord taxtali xonalarni saqlashda har bir yuqori qatlamni avvalgisidan kam bo'lgan tarzda bitta oching. Agar masonlar masonlar bazasi jurnallarga xizmat ko'rsatsa, qancha loglar bor.

Javoblar:

1. Biz arifmetik progressiya parametrlarini aniqlaymiz. Ushbu holatda
   (haftalar \u003d kun).

   Javob:Ikki hafta davomida Masha kuniga bir marta siqilishi kerak.

2. Avval toq son, oxirgi raqam.
   Arifmetik rivojlanishning farqi.
   Yarim-yarmida toq raqamlar soni ushbu faktni ARITMICEP a'zosi formulasi yordamida tekshiradi:

   Raqamlar aslida toq raqamlar mavjud.
   Formulni almashtirish uchun mavjud ma'lumotlar:

   Javob:Tarkibidagi barcha toq sonlarning yig'indisi teng.

3. Piramida haqidagi vazifani eslang. Bizning ishimiz uchun A, chunki bitta logida har bir yuqori qatlam bir marotaba bir nechta qatlamlarda kamayadi.
   Formuladagi ma'lumotlarni almashtirish:

   Javob:Masonryda jurnallar.

Keling, xulosa qilaylik

1. - Qo'shimcha raqamlar o'rtasidagi farq bir xil va teng bo'lgan raqamlar ketma-ketligi. Bu o'sish va kamayish bilan sodir bo'ladi.
2. Formula "Arifmetik progressiya a'zosi formulada qayd etiladi -, bu erda - progressiyada raqamlar soni.
3. Axitmetik progressiya a'zolarining mulki - - qayerda - progressiyada sonlarning soni.
4. Arifmetik progressiya a'zolarining yig'indisi Ikki usulda topish mumkin:
   
   qayerda - qiymatlar soni.

Arifmetik progressiya. O'RTACHA DARAJASI

Raqamning ketma-ketligi

Keling, o'tiraylik va har qanday raqamlarni yozishni boshlaymiz. Masalan:

Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va har qanday joyda bo'lishi mumkin. Ammo siz har doim qaysi birini ayta olasiz, ikkinchisining nima va shundan iborat, ya'ni biz ularni masxara qilishimiz mumkin. Bu raqamli ketma-ketlik misolidir.

Raqamning ketma-ketligi - Bu juda ko'p raqamlar, ularning har biri noyob raqamni tayinlash mumkin.

Boshqacha qilib aytganda, har bir raqam ma'lum bir tabiiy songa, faqat bittasiga muvofiq bo'lishi mumkin. Va bu raqam biz ushbu to'plamdan boshqa raqamlarga mos kelmaymiz.

Raqam bilan raqam ketma-ketlik a'zosi deyiladi.

Odatda biz barcha ketma-ketlikni (masalan,) chaqiramiz va ushbu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeks bilan ushbu a'zoning soniga teng bo'lgan xat:.

Juda qulay, agar ketma-ketlikdan bir nechta formula so'rashi mumkin bo'lsa. Masalan, formula

ketma-ketlikni belgilaydi:

Va formulalar shunday ketma-ketlikdir:

Masalan, arifmetik progressiya ketma-ketlikdir (bu erda birinchi atama teng va farq). Yoki (, farq).

N-TH a'zosi formulasi

Biz bunday formulani deb ataymiz yoki ilgari ilgari ma'lum bo'lgan avvalgilarni bilishingiz kerak:

Masalan, bunday formulalarni topish uchun biz progressga a'zo, biz avvalgi to'qqizni hisoblashimiz kerak. Masalan, ruxsat bering. Keyin:

Xo'sh, endi qanday formula nima?

Har bir qatorda biz ba'zi raqamlarga ko'paytiramiz. Nima? Juda oddiy: bu hozirgi a'zo bo'lgan minusning soni:

Endi qulayroq, to'g'ri? Tekshirish:

O'zimni baham ko'ring:

Arifmetik progressiyada N-Th a'zoning formulani toping va yuzinchi a'zoni toping.

Qaror:

Birinchi a'zo teng. Va farq nima? Lekin nima:

(Buning sababi shundaki, saralashning izlanishlarining farqiga teng).

Shunday qilib, formula:

Keyin yuzinchi a'zo:

Barcha tabiiy raqamlarning yig'indisi nimadan?

Afsonaga ko'ra, buyuk matematik Karl Gauss, 9 yoshli bola bo'lgan, bu miqdorni bir necha daqiqada ko'rib chiqdi. Uning ta'kidlashicha, birinchi va oxirgi raqamning yig'indisi ikkinchi va penultimetrning yig'indisiga teng, uchinchi va 3-yillarning uchinchi qismi ham va boshqalar. Bunday juftliklar qancha? Bu to'g'ri, barcha raqamlarning sonining yarmi, ya'ni. Shunday qilib,

Har qanday arifmetik rivojlanishning birinchi a'zolarining umumiy formulasi quyidagicha bo'ladi:

Misol:
Barcha ikki xonali raqamlarning yig'indisini toping, ko'p.

Qaror:

Birinchi bunday raqam. Har bir keyingi navbatda oldingi raqamga qo'shib olinadi. Shunday qilib, siz istagan raqamlar birinchi a'zo va farqi bilan arifmetik rivojlanishni shakllantiradi.

Formula-a'zosi ushbu rivojlanish uchun:

Agar ularning barchasi ikki raqamli bo'lishi kerak bo'lsa, qancha a'zolar bor?

Juda oson: .

Progressiyaning so'nggi a'zosi teng bo'ladi. Keyin summa:

Javob :.

Endi men qaror qilaman:

1. Har kuni sportchi avvalgisiga qaraganda ko'proq ishlaydi. Bir hafta davomida qancha kilometr uzoqlikda ishlaydi, agar birinchi kunida u km m m ron yugursa?
2. Velosipedchi har kuni avvalgisiga qaraganda km ga ko'proq harakat qiladi. Birinchi kuni u km. Km ni engib o'tish uchun qancha kun kerak? U yana necha kilometr yo'ldan o'tadi?
3. Do'konda muzlatgichning narxi har yili bir xil miqdorda kamayadi. Agar rubl sotish uchun sotilgan bo'lsa, har yili muzlatgichning narxi pasayishini aniqlang, olti yil rublga sotildi.

Javoblar:

1. Bu erda eng muhimi arifmetik rivojlanishni aniqlash va uning parametrlarini aniqlang. Bunday holda, (haftalar \u003d kun). Ushbu rivojlanishning birinchi a'zolari miqdorini aniqlash kerak:
   .
   Javob:
2. Bu erda beriladi :, topishingiz kerak.
   Shubhasiz, avvalgi vazifada bo'lgani kabi, siz bir xil xulosa formulasini ishlatishingiz kerak:
   .
   Biz qadriyatlarni almashtiramiz:

   Ildiz aniq mos kelmaydi, bu javobni anglatadi.
   O'tgan kundan boshlab a'zo formulani yordamida o'tgan yo'lni hisoblang:
   (km).
   Javob:

3. Dano: Topmoq: .
   Bu sodir bo'lmaydi:
   (ishqa).
   Javob:

Arifmetik progressiya. Qisqacha asosiy narsa haqida

Bu qo'shni sonning farq bir xil va teng bo'lgan raqamli ketma-ketlik.

Arifmetik progressiya () va kamayish ().

Masalan:

Axitmetik progressiyaning N-basse a'zosini topish formulasi

u formulalar, qaerda - progressiyada sonlarning soni yozilgan.

Axitmetik progressiya a'zolarining mulki

Agar qo'shni a'zolar ma'lum bo'lsa, progressiya a'zosini topishni osonlashtiradi - bu erda - progressiyada sonlarning soni.

Arifmetik progressiya a'zolarining miqdori

Miqdorni topishning ikkita usuli mavjud:

Qayerda - qiymatlar soni.

Qayerda - qiymatlar soni.