Ketma-ketlik qanday aniqlanadi. Raqamlar ketma-ketligi

Keyingi ketma-ketlik

Keyingi ketma-ketlik- bu to'plam ba'zi to'plam elementlari:

• har bir natural son uchun siz ushbu to'plamning elementini belgilashingiz mumkin;
• bu raqam element raqami bo'lib, ushbu elementning ketma-ketlikdagi o'rnini ko'rsatadi;
• ketma-ketlikning istalgan elementi (a'zosi) uchun ketma-ketlikning keyingi elementini belgilashingiz mumkin.

Shunday qilib, ketma-ketlik natijadir izchil berilgan to'plam elementlarini tanlash. Va agar elementlarning har qanday to'plami chekli bo'lsa va biz cheklangan hajm namunasi haqida gapiradigan bo'lsak, unda ketma-ketlik cheksiz hajmning namunasi bo'lib chiqadi.

Ketma-ket o'z tabiatiga ko'ra displeydir, shuning uchun uni ketma-ketlik bo'ylab "ishlaydigan" to'plam bilan adashtirmaslik kerak.

Matematikada juda ko'p turli xil ketma-ketliklar ko'rib chiqiladi:

• sonli va nosonli xarakterdagi vaqt qatorlari;
• metrik fazo elementlarining ketma-ketligi
• funktsional fazo elementlarining ketma-ketligi
• boshqaruv tizimlari va avtomatlarning holatlari ketma-ketligi.

Barcha turdagi ketma-ketlikni o'rganishdan maqsad naqshlarni topish, kelajakdagi holatlarni bashorat qilish va ketma-ketliklarni yaratishdir.

Ta'rif

Ixtiyoriy xarakterdagi elementlarning ba'zi to'plami berilsin. | Natural sonlar to‘plamini berilgan to‘plamga har qanday xaritalash deyiladi ketma-ketlik(to'plam elementlari).

Natural sonning, ya'ni elementning tasviri deyiladi - th a'zosi yoki ketma-ketlik elementi, ketma-ketlik a'zosining tartib raqami esa uning indeksidir.

Tegishli ta'riflar

• Agar natural sonlarning ortib borayotgan ketma-ketligini olsak, u holda uni qandaydir ketma-ketlik indekslari ketma-ketligi deb hisoblash mumkin: agar biz mos keladigan indekslarga ega bo'lgan dastlabki ketma-ketlik elementlarini olsak (naturiy sonlarning ortib borayotgan ketma-ketligidan olinadi), u holda biz deb ataladigan ketma-ketlikni yana olishi mumkin keyingi ketma-ketlik berilgan ketma-ketlik.

Izohlar (1)

• Matematik tahlilda muhim tushuncha sonlar ketma-ketligining chegarasidir.

Belgilar

Shaklning ketma-ketligi

Qavslar yordamida ixcham yozish odatiy holdir:

yoki

jingalak qavslar ba'zan ishlatiladi:

Bir oz so'z erkinligini ta'minlagan holda, shaklning cheklangan ketma-ketligini ham ko'rib chiqish mumkin

,

natural sonlar ketma-ketligining boshlang'ich segmenti tasvirini ifodalaydi.

Shuningdek qarang

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Sinonimlar:

Boshqa lug'atlarda "Sequence" nima ekanligini ko'ring:

QAYTA. IV Kireevskiyning "XIX asr" (1830) maqolasida biz shunday o'qiymiz: "Rim imperiyasining qulashidan to bizning davrimizgacha Evropa ma'rifati bizga asta-sekin rivojlanishda va uzluksiz ketma-ketlikda ko'rinadi" (1-jild, b. ...... So'zlarning tarixi

SEQUENCE, ketma-ketliklar, pl. yo'q, xotinlar. (kitob). chalg'itish. ot izchillikka. Biror turdagi hodisalar ketma-ketligi. Ebb va oqimning o'zgarishidagi izchillik. Fikrlashda izchillik. Izohli lug'at Ushakov ...... Ushakovning izohli lug'ati

izchillik, uzluksizlik, izchillik; qator, progressiya, xulosa, qator, qator, ketma-ketlik, zanjir, zanjir, kaskad, rele; qat'iyat, asoslilik, ishga olish, metodiklik, tartibga solish, uyg'unlik, qat'iyatlilik, ketma-ketlik, bog'lanish, navbat, ... ... Sinonim lug'at

SEQUENCE, raqamlar yoki elementlar tartiblangan tartibda. Ketma-ketliklar chekli (cheklangan miqdordagi elementlarga ega) yoki cheksiz bo'lishi mumkin, masalan, 1, 2, 3, 4 natural sonlarining to'liq ketma-ketligi .... ... ... Ilmiy-texnik entsiklopedik lug'at

SEQUENCE, natural sonlar bilan raqamlangan raqamlar to'plami (matematik ifodalar va boshqalar; ular aytadilar: har qanday tabiatning elementlari). Ketma-ketlik x1, x2, ..., xn, ... yoki qisqacha (xi) ... shaklida yoziladi. Zamonaviy ensiklopediya

Matematikaning asosiy tushunchalaridan biri. Ketma-ketlik 1, 2, ..., n, ... natural sonlar bilan raqamlangan va x1, x2, ..., xn, ... yoki qisqacha (xn) koʻrinishda yoziladigan istalgan tabiatdagi elementlardan hosil boʻladi. ) ... Katta ensiklopedik lug'at

Keyingi ketma-ketlik- SEQUENCE, natural sonlar bilan raqamlangan raqamlar to'plami (matematik ifodalar va boshqalar; ular aytadilar: har qanday tabiatning elementlari). Ketma-ketlik x1, x2, ..., xn, ... yoki qisqacha (xi) shaklida yoziladi. ... Tasvirlangan ensiklopedik lug'at

SEQUENCE, va, xotinlar. 1. ketma-ketlikka qarang. 2. Matematikada: cheksiz tartibli sonlar to‘plami. Ozhegovning izohli lug'ati. S.I. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992 ... Ozhegovning izohli lug'ati

Ingliz. ketma-ketlik / ketma-ketlik; nemis Konsequenz. 1. Birin-ketin ergashish tartibi. 2. Matematikaning asosiy tushunchalaridan biri. 3. Sifat to'g'ri mantiqiy fikrlash, qachon rom qilish kerak, mulohaza bir xildagi ichki qarama-qarshiliklardan xoli ... ... Sotsiologiya entsiklopediyasi

Keyingi ketma-ketlik- "qiymatlari to'plami har qanday tabiatdagi elementlardan iborat bo'lishi mumkin bo'lgan natural sonlar to'plamida aniqlangan funktsiya: natural sonlar bilan raqamlangan raqamlar, nuqtalar, funktsiyalar, vektorlar, to'plamlar, tasodifiy o'zgaruvchilar va boshqalar. . Iqtisodiyot va matematika lug'ati

Kitoblar

• Biz ketma-ketlikni yaratamiz. Mushukchalar. 2-3 yil,. "Mushukchalar" o'yini. Biz ketma-ketlikni yaratamiz. 1-darajali. Seriya" Maktabgacha ta'lim". Qiziqarli mushukchalar sohilda quyoshga botishga qaror qilishdi! Lekin ular shunchaki joylarni baham ko'rishmaydi. Ularga buni tushunishga yordam bering! ...

Turlar y= f(x), x O N, qayerda N- natural sonlar to'plami (yoki natural argument funktsiyasi), belgilangan y=f(n) yoki y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Qadriyatlar y 1 ,y 2 ,y 3 ,… navbati bilan birinchi, ikkinchi, uchinchi, ... qator a'zolari deyiladi.

Masalan, funksiya uchun y= n 2 yozilishi mumkin:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Ketma-ketlikni o'rnatish usullari. Ketma-ketlikni turli yo'llar bilan belgilash mumkin, ulardan uchtasi ayniqsa muhim: analitik, tavsiflovchi va takroriy.

1. Agar formula berilgan bo'lsa, ketma-ketlik analitik tarzda beriladi n a'zosi:

y n=f(n).

Misol. y n= 2n - 1 – toq raqamlar ketma-ketligi: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Tasviriy sonli ketma-ketlikni ko'rsatish usuli shundan iboratki, u ketma-ketlik qaysi elementlardan qurilganligini tushuntiradi.

1-misol. “Tartibning barcha a’zolari 1 ga teng”. Bu degani, keladi statsionar ketma-ketlik haqida 1, 1, 1,…, 1,….

2-misol. “Tartib o‘sish tartibidagi barcha tub sonlardan iborat”. Shunday qilib, berilgan ketma-ketlik 2, 3, 5, 7, 11,…. Bu ketma-ketlikni o'rnatish usuli bilan bu misol ketma-ketlikning 1000-elementi nima ekanligiga javob berish qiyin.

3. Ketma-ketlikni ko'rsatishning takroriy usuli - hisoblash imkonini beruvchi qoida ko'rsatilgan. n ketma-ketlikning th a'zosi, agar uning oldingi a'zolari ma'lum bo'lsa. Rekursiv yo'l nomi lotincha so'zdan olingan takrorlanadi- qaytib kelmoq. Ko'pincha, bunday hollarda ifodalash imkonini beruvchi formula ko'rsatiladi n-ketma-ketlikning birinchi a'zosi oldingilari orqali va ketma-ketlikning 1-2 boshlang'ich a'zolarini o'rnating.

1-misol. y 1 = 3; y n = y n-1 + 4 agar n = 2, 3, 4,….

Bu yerda y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Ushbu misolda olingan ketma-ketlikni analitik tarzda ham aniqlash mumkinligini ko'rishingiz mumkin: y n= 4n - 1.

2-misol. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 agar n = 3, 4,….

Bu yerda: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Ushbu misoldagi ketma-ketlik matematikada maxsus o'rganilgan, chunki u bir qator qiziqarli xususiyatlar va ilovalarga ega. Bu 13-asr italyan matematigi nomidan Fibonachchi ketma-ketligi deb ataladi. Fibonachchi ketma-ketligini rekursiv ravishda aniqlash juda oson, ammo analitik jihatdan bu juda qiyin. n- Fibonachchi soni uning tartib raqami orqali quyidagi formula bilan ifodalanadi.

Bir qarashda, formula n th Fibonachchi soni dargumon ko'rinadi, chunki faqat natural sonlar ketma-ketligini ko'rsatadigan formulada mavjud kvadrat ildizlar, lekin birinchi bir necha uchun ushbu formulaning haqiqiyligini "qo'lda" tekshirishingiz mumkin n.

Raqamlar ketma-ketligining xossalari.

Raqamli ketma-ketlik sonli funktsiyaning alohida holatidir, shuning uchun ketma-ketliklar uchun ham funktsiyalarning bir qator xossalari ko'rib chiqiladi.

Ta'rif . Keyingi ketma-ketlik ( y n} Agar uning har bir a'zosi (birinchisidan tashqari) oldingisidan katta bo'lsa, ortib boruvchi deyiladi:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Ta'rif. Ketma-ketlik ( y n} Agar uning har bir a'zosi (birinchidan tashqari) oldingisidan kam bo'lsa, kamayuvchi deyiladi:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Ko'tariluvchi va kamayib boruvchi ketma-ketliklar umumiy atama - monotonik ketma-ketliklar bilan birlashtirilgan.

1-misol. y 1 = 1; y n= n 2 - ortib borayotgan ketma-ketlik.

Demak, quyidagi teorema rost (arifmetik progressiyaning xarakterli xossasi). Raqamli ketma-ketlik arifmetik hisoblanadi, agar uning birinchi a'zolaridan tashqari har biri (cheklangan ketma-ketlikda esa oxirgi) oldingi va keyingi a'zolarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng bo'lsa.

Misol. Qanday qiymatda x raqami 3 x + 2, 5x- 4 va 11 x+ 12 chekli arifmetik progressiya hosil qiladi?

Xarakterli xususiyatga ko'ra, berilgan ifodalar munosabatni qondirishi kerak

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Bu tenglamaning yechimi beradi x= –5,5. Ushbu qiymat bilan x berilgan ifodalar 3 x + 2, 5x- 4 va 11 x+ 12 mos ravishda -14,5 qiymatlarini oladi, –31,5, –48,5. Bu - arifmetik progressiya, uning farqi -17 ga teng.

Geometrik progressiya.

Barcha a'zolari nolga teng bo'lmagan va har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab oldingi haddan bir xil songa ko'paytirish orqali olinadigan sonli ketma-ketlik. q, geometrik progressiya va son deyiladi q- geometrik progressiyaning maxraji.

Shunday qilib, geometrik progressiya Raqamli ketma-ketlik ( b n) munosabatlar orqali rekursiv aniqlanadi

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b va q - berilgan raqamlar, b ≠ 0, q ≠ 0).

Misol 1.2, 6, 18, 54, ... - geometrik progressiyani oshirish b = 2, q = 3.

2-misol. 2, –2, 2, –2,… – geometrik progressiya b= 2,q= –1.

3-misol. 8, 8, 8, 8, ... – geometrik progressiya b= 8, q= 1.

Geometrik progressiya ortib boruvchi ketma-ketlikdir, agar b 1 > 0, q> 1 va agar kamayadi b 1> 0, 0 q

Geometrik progressiyaning aniq xususiyatlaridan biri shundaki, agar ketma-ketlik geometrik progressiya bo'lsa, u holda kvadratlar ketma-ketligi, ya'ni.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2, ... - geometrik progressiya, uning birinchi hadi b 1 2, maxraj esa q 2 .

Formula n- geometrik progressiyaning uchinchi hadi shaklga ega

b n= b 1 q n – 1 .

Cheklangan geometrik progressiyaning a'zolari yig'indisi formulasini olishingiz mumkin.

Cheklangan geometrik progressiya berilsin

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

bo'lsin S n - uning a'zolari yig'indisi, ya'ni.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Bu shunday deb taxmin qilinadi q№ 1. Aniqlash S n sun'iy hiyla qo'llaniladi: ifodaning ba'zi geometrik o'zgarishlari amalga oshiriladi S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Shunday qilib, S n q= S n +b n q - b 1 va shuning uchun

Bu bilan formula ummat n geometrik progressiyaning a'zolari qachon uchun q≠ 1.

Da q= 1, formulani alohida tashlab qo'yish mumkin, bu holda aniq S n= a 1 n.

Geometrik progressiya shunday nomlanadi, chunki undagi har bir had, birinchisidan tashqari, oldingi va keyingi a'zolarning geometrik o'rtacha qiymatiga teng. Haqiqatan ham, beri

b n = b n- 1 q;

b n = b n + 1 / q,

shuning uchun, b n 2= b n– 1 b n + 1 va quyidagi teorema to'g'ri (geometrik progressiyaning xarakteristik xususiyati):

sonli ketma-ketlik geometrik progressiya deb ataladi, agar uning har bir a'zosining kvadrati, birinchisidan (cheklangan ketma-ketlikda esa oxirgi) bundan mustasno, oldingi va keyingi a'zolarning ko'paytmasiga teng bo'lsa.

Ketma-ketlik chegarasi.

Ketma-ketlik bo'lsin ( c n} = {1/n}. Bu ketma-ketlik garmonik deb ataladi, chunki uning har bir a'zosi ikkinchidan boshlab oldingi va keyingi a'zolar orasidagi garmonik o'rtacha hisoblanadi. Raqamlarning geometrik o'rtachasi a va b raqam bor

Aks holda, ketma-ketlik divergent deb ataladi.

Ushbu ta'rifga asoslanib, masalan, chegara mavjudligini isbotlash mumkin A = 0 garmonik ketma-ketlik ( c n} = {1/n). e ixtiyoriy kichik musbat son bo'lsin. Farqi hisobga olinadi

Bunday narsa bormi N bu hamma uchun n ≥ N tengsizlik 1 / N? sifatida qabul qilsak N har qanday natural son ortiq 1/ε keyin hamma uchun n ≥ N tengsizlik 1 / n ≤ 1/ N e, Q.E.D.

Ba'zan ketma-ketlikning chegarasi borligini isbotlash juda qiyin. Eng keng tarqalgan ketma-ketliklar yaxshi o'rganilgan va ma'lumotnomalarda keltirilgan. Muhim teoremalar mavjud bo'lib, ular allaqachon o'rganilgan ketma-ketliklarga asoslanib, berilgan ketma-ketlikning chegarasi (va hatto uni hisoblash) haqida xulosa chiqarishga imkon beradi.

Teorema 1. Agar ketma-ketlikning chegarasi bo'lsa, u chegaralangan bo'ladi.

Teorema 2. Agar ketma-ketlik monoton va chegaralangan bo'lsa, unda uning chegarasi bor.

Teorema 3. Agar ketma-ketlik ( a n} chegarasi bor A, keyin ketma-ketliklar ( ca n}, {a n+ s) va (| a n|} chegaralari bor cA, A +c, |A| mos ravishda (bu erda c- ixtiyoriy raqam).

Teorema 4. Agar ketma-ketliklar ( a n} va ( b n) ga teng chegaralarga ega A va B pa n + qb n) chegarasi bor pA+ qB.

Teorema 5. Agar ketma-ketliklar ( a n) va ( b n) ga teng chegaralarga ega A va B mos ravishda, keyin ketma-ketlik ( a n b n) chegarasi bor AB.

Teorema 6. Agar ketma-ketliklar ( a n} va ( b n) ga teng chegaralarga ega A va B mos ravishda, va bundan tashqari, b n ≠ 0 va B ≠ 0, keyin ketma-ketlik ( a n / b n) chegarasi bor A / B.

Anna Chugainova

Raqamli ketma-ketlik natural sonlar to‘plamida aniqlangan sonli funksiya .

Agar funktsiya natural sonlar to'plamiga o'rnatilgan bo'lsa
, keyin funktsiyaning qiymatlari to'plami sanab o'tadi va har bir raqam bo'ladi
raqamga mos keladi
... Bunday holda, ular berilgan deb aytishadi raqamli ketma-ketlik... Raqamlar chaqiriladi elementlar yoki ketma-ketlik a'zolari va son - umumiy yoki Ketma-ketlikning a'zosi. Har bir element kuzatuv elementiga ega
... Bu "ketma-ketlik" atamasidan foydalanishni tushuntiradi.

Ketma-ketlik odatda uning elementlarini sanab o'tish yoki raqamga ega elementni hisoblash qonunini ko'rsatish orqali o'rnatiladi. , ya'ni. uning formulasini ko'rsatadi Th a'zosi .

Misol.Keyingi ketma-ketlik
formula bilan berilishi mumkin:
.

Odatda ketma-ketliklar quyidagicha belgilanadi: va hokazo, bu erda formula qavs ichida ko'rsatilgan. th a'zosi.

Misol.Keyingi ketma-ketlik
‑bu ketma-ketlik

Ketma-ketlikning barcha elementlari to'plami
belgilangan
.

Bo'lsin
va
- ikkita ketma-ketlik.

BILAN ummat ketma-ketliklar
va
qo'ng'iroqlar ketma-ketligi
, qayerda
, ya'ni.

R mo'l-ko'llik bu ketma-ketliklar ketma-ketlik deyiladi
, qayerda
, ya'ni.

Agar va ‑ doimiy, keyin ketma-ketlik
,
deyiladi chiziqli birikma ketma-ketliklar
va
, ya'ni.

Mahsulot bo'yicha ketma-ketliklar
va
bilan ketma-ketlikni chaqirish -chi a'zo
, ya'ni.
.

Agar
, keyin siz belgilashingiz mumkin xususiy
.

Ketma-ketliklarning yig'indisi, farqi, mahsuloti va qismi
va
ular deyiladi algebraikkompozitsiyalar.

Misol.Ketma-ketlikni ko'rib chiqing
va
, qayerda. Keyin
, ya'ni. keyingi ketma-ketlik
nolga teng barcha elementlarga ega.

,
, ya'ni. ishning barcha elementlari va qism tengdir
.

Agar ketma-ketlikning ba'zi elementlarini kesib tashlasangiz
cheksiz sonli elementlar qolishi uchun biz boshqa ketma-ketlikni olamiz, deb ataladi keyingi ketma-ketlik ketma-ketliklar
... Agar ketma-ketlikning dastlabki bir nechta elementlarini kesib tashlasangiz
, keyin yangi ketma-ketlik chaqiriladi qolgan.

Keyingi ketma-ketlik
cheklanganyuqorida(pastdan) agar to'plam bo'lsa
yuqoridan (pastki) chegaralangan. Ketma-ket deyiladi cheklangan agar u yuqoridan va pastdan chegaralangan bo'lsa. Ketma-ketlik, agar uning qolgan qismi cheklangan bo'lsa, cheklangan bo'ladi.

Konversion ketma-ketliklar

Ular shunday deyishadi keyingi ketma-ketlik
son bo'lsa, yaqinlashadi har qanday uchun shunday
shunday bor
bu har qanday uchun
, tengsizlik quyidagilarga ega:
.

Raqam deyiladi ketma-ketlik chegarasi
... Shu bilan birga, yozing
yoki
.

Misol.
.

Keling, buni ko'rsataylik
... Keling, istalgan raqamni o'rnatamiz
... Tengsizlik
uchun bajarilgan
shu kabi
son uchun konvergentsiyaning ta'rifi qanoatlantirilishi
... Ma'nosi,
.

Boshqa so'zlar bilan aytganda
ketma-ketlikning barcha a'zolarini bildiradi
yetarlicha katta sonlar sonidan kam farq qiladi , ya'ni. ba'zi bir raqamdan boshlanadi
(uchun) ketma-ketlik elementlari intervalda
qaysi deyiladi - punktning qo'shnisi .

Keyingi ketma-ketlik
, chegarasi nolga teng (
, yoki
da
) deyiladi cheksiz kichik.

Infinitesimal bilan bog'liq holda, quyidagi bayonotlar to'g'ri:

Ikki cheksiz kichikning yig'indisi cheksiz kichikdir;

Cheklangan miqdorning cheksiz kichikning ko'paytmasi cheksiz kichikdir.

Teorema .Muvofiqlik uchun
chegarasi bor, bu zarur va yetarli
, qayerda - doimiy; - cheksiz kichik .

Birlashtiruvchi ketma-ketlikning asosiy xususiyatlari:

3. va 4. xossalar har qanday sonli yaqinlashuvchi ketma-ketliklar holatiga umumlashtiriladi.

Esda tutingki, kasrning chegarasini hisoblashda, uning soni va maxraji kuchlarning chiziqli birikmasidir. , kasr chegarasi eng yuqori shartlar nisbati chegarasiga teng (ya'ni, eng katta vakolatlarni o'z ichiga olgan shartlar). hisoblagich va maxraj).

Keyingi ketma-ketlik
chaqirdi:

Barcha bunday ketma-ketliklar deyiladi monoton.

Teorema . Agar ketma-ketlik
monoton ravishda ortadi va yuqoridan chegaralanadi, keyin u yaqinlashadi va uning chegarasi aniq yuqori chegarasiga teng; agar ketma-ketlik kamayib, pastdan chegaralangan bo'lsa, u holda u aniq pastki chegarasiga yaqinlashadi.

Kirish ………………………………………………………………………………… 3

1.Nazariy qism ……………………………………………………………… .4

Asosiy tushunchalar va atamalar ……………………………………………. 4

1.1 Ketma-ketlik turlari ………………………………………………… 6

1.1.1.Cheklangan va cheksiz sonli ketma-ketliklar ... ..6

1.1.2 Ketma-ketliklarning monotonligi ………………………………… 6

1.1.3 Cheksiz katta va cheksiz kichik ketma-ketliklar …… .7

1.1.4.Cheksiz kichik ketma-ketliklarning xossalari …………………… 8

1.1.5.Yaqinlashuvchi va ayiruvchi ketma-ketliklar va ularning xossalari ... ... 9

1.2 Ketma-ketlik chegarasi ………………………………………………… .11

1.2.1. Sequence chegaralari teoremalar ......................................................................................................... 15

1.3.Arifmetik progressiya ……………………………………………… 17

1.3.1. Arifmetik progressiyaning xossalari ……………………………… ..17

1.4 Geometrik progressiya …………………………………………… ..19

1.4.1. Geometrik progressiyaning xossalari ………………………………… .19

1.5. Fibonachchi raqamlari …………………………………………………… ..21

1.5.1 Fibonachchi raqamlarining boshqa bilim sohalari bilan aloqasi …………………… .22

1.5.2. Jonli va jonsiz tabiatni tasvirlash uchun Fibonachchi raqamlari seriyasidan foydalanish ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. O‘z tadqiqoti …………………………………………… .28

Xulosa ……………………………………………………………………… .30

Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati …………………………………………. 31

Kirish.

Raqamlar ketma-ketligi juda qiziqarli va tarbiyaviy mavzudir. Bu mavzu kvestlarda uchraydi murakkabligi ortdi mualliflar tomonidan talabalarga taqdim etilgan didaktik materiallar, matematika olimpiadalari masalalari, Oliy o'quv yurtlariga kirish imtihonlari Ta'lim muassasalari va imtihonda. Men matematik ketma-ketliklarning boshqa bilim sohalari bilan bog'liqligini o'rganishga qiziqaman.

Maqsad tadqiqot ishi: Raqamlar ketma-ketligi haqidagi bilimlaringizni kengaytiring.

1. Ketma-ketlikni ko'rib chiqing;

2. Uning xususiyatlarini ko'rib chiqing;

3. Ketma-ketlikning analitik vazifasini ko'rib chiqing;

4. Boshqa bilim sohalarini rivojlantirishda uning rolini ko'rsating.

5. Jonli va jonsiz tabiatni tasvirlash uchun Fibonachchi raqamlari seriyasidan foydalanishni ko'rsating.

1. Nazariy qism.

Asosiy tushunchalar va atamalar.

Ta'rif. Raqamli ketma-ketlik y = f (x), x O N ko'rinishdagi funktsiyadir, bu erda N - natural sonlar to'plami (yoki natural argument funktsiyasi), y = f (n) yoki y1, y2 bilan belgilanadi. ,…, yn,…. Y1, y2, y3,… qiymatlari navbati bilan ketma-ketlikning birinchi, ikkinchi, uchinchi,… aʼzolari deb ataladi.

Agar ixtiyoriy oldindan belgilangan ixtiyoriy kichik musbat son e uchun N natural son mavjud bo'lsa, a soni ketma-ketlikning chegarasi deyiladi x = (x n) agar hamma n> N uchun tengsizlik | x n - a |< ε.

Agar a soni ketma-ketlikning chegarasi x = (x n) bo'lsa, ular x n ning a ga moyilligini aytadilar va yozadilar.

.

Ketma-ketlik (yn) ortib boruvchi deyiladi, agar uning har bir a'zosi (birinchisidan tashqari) oldingisidan katta bo'lsa:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Ketma-ketlik (yn) kamayuvchi deyiladi, agar uning har bir a'zosi (birinchisidan tashqari) oldingisidan kichik bo'lsa:

y1> y2> y3>…> yn> yn + 1>….

Ko'tariluvchi va kamayib boruvchi ketma-ketliklar umumiy atama - monotonik ketma-ketliklar bilan birlashtirilgan.

Agar n dan boshlab yn = yn + T tengligi bajariladigan natural T soni mavjud bo'lsa, ketma-ketlik davriy deyiladi. T soni davr uzunligi deb ataladi.

Arifmetik progressiya ketma-ketlik (an) bo’lib, uning har bir a’zosi ikkinchisidan boshlab oldingi hadning yig’indisiga va bir xil d soniga teng bo’lib, arifmetik progressiya deyiladi, d soni esa ayirmasidir. arifmetik progressiya.

Demak, arifmetik progressiya munosabatlar orqali rekursiv berilgan sonli ketma-ketlik (an)dir.

a1 = a, an = an – 1 + d (n = 2, 3, 4, ...)

Geometrik progressiya ketma-ketlik boʻlib, uning barcha aʼzolari nolga teng boʻlib, har bir aʼzosi ikkinchisidan boshlab oldingi haddan bir xil q songa koʻpaytirib olinadi.

Demak, geometrik progressiya munosabatlar orqali rekursiv berilgan sonli ketma-ketlik (bn)dir

b1 = b, bn = bn – 1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Ketma-ketlik turlari.

1.1.1 Cheklangan va cheksiz ketma-ketliklar.

Har qanday n son uchun bn≤ M tengsizlik qanoatlantiriladigan M son mavjud bo'lsa, ketma-ketlik (bn) yuqoridan chegaralangan deb ataladi;

Har qanday n son uchun bn≥ M tengsizlik qanoatlantiriladigan M son bo'lsa, ketma-ketlik (bn) pastdan chegaralangan deb ataladi;

Masalan:

1.1.2 Ketma-ketliklarning monotonligi.

Agar har qanday n soni uchun bn≥ bn + 1 (bn ≤bn + 1) tengsizlik to‘g‘ri bo‘lsa, ketma-ketlik (bn) o‘smaydigan (kamayuvchi) deyiladi;

Agar har qanday n soni uchun bn> bn + 1 (bn) tengsizlik bo'lsa, ketma-ketlik (bn) kamayuvchi (ortuvchi) deyiladi.

Kamayuvchi va ortib boruvchi ketma-ketliklar keng ma'noda qat'iy monoton, o'smaydigan monoton deb ataladi.

Bir vaqtning o'zida yuqoridan va pastdan chegaralangan ketma-ketliklar chegaralangan deb ataladi.

Bu turlarning ketma-ketligi birgalikda monotonik deb ataladi.

1.1.3 Cheksiz katta va kichik ketma-ketliklar.

Cheksiz kichik ketma-ketlik nolga intiladigan sonli funksiya yoki ketma-ketlikdir.

a ketma-ketligi cheksiz kichik if deb ataladi

Agar ℓimx → x0 f (x) = 0 bo'lsa, funksiya x0 nuqtaning qo'shnisida cheksiz kichik deb ataladi.

Agar ℓimx → + ∞ f (x) = 0 yoki ℓimx → -∞ f (x) = 0 bo‘lsa, funksiya cheksiz kichik deb ataladi.

Shuningdek, cheksiz kichik funktsiya funksiya va uning chegarasi o'rtasidagi farqdir, ya'ni agar ℓimx →.+ ∞ f (x) = a bo'lsa, f (x) - a = a (x), ℓimx →.+ ∞ f. (( x) -a) = 0.

Cheksiz katta ketma-ketlik sonli funksiya yoki cheksizlikka intiluvchi ketma-ketlikdir.

a ketma-ketligi cheksiz katta if deyiladi

ℓimn → 0 an = ∞.

Agar ℓimx → x0 f (x) = ∞ bo'lsa, funksiya x0 nuqtaning qo'shnisida cheksiz katta deb ataladi.

Funktsiya cheksizlikda cheksiz katta deb ataladi

ℓimx →.+ ∞ f (x) = ∞ yoki ℓimx → -∞ f (x) = ∞.

1.1.4 Cheksiz kichik ketma-ketliklarning xossalari.

Ikki cheksiz kichik ketma-ketlikning yig'indisining o'zi ham cheksiz kichik ketma-ketlikdir.

Ikki cheksiz kichik ketma-ketlikning farqining o'zi ham cheksiz kichik ketma-ketlikdir.

Har qandayning algebraik yig'indisi chekli son cheksiz kichik ketma-ketliklarning o'zi ham cheksiz kichik ketma-ketliklardir.

Chegaralangan ketma-ketlikning cheksiz kichik ketma-ketlik mahsuloti cheksiz kichik ketma-ketlikdir.

Har qanday chekli sonli cheksiz kichik ketma-ketliklarning mahsuloti cheksiz kichik ketma-ketlikdir.

Har qanday cheksiz kichik ketma-ketlik cheklangan.

Agar statsionar ketma-ketlik cheksiz kichik bo'lsa, uning barcha elementlari, ba'zi biridan boshlab, nolga teng.

Agar butun cheksiz kichik ketma-ketlik bir xil elementlardan iborat bo'lsa, u holda bu elementlar nolga teng.

Agar (xn) cheksiz katta ketma-ketlik bo'lib, unda nol hadlar bo'lmasa, u holda cheksiz kichik ketma-ketlik (1 / xn) mavjud. Agar, shunga qaramay, (xn) nol elementlarni o'z ichiga olsa, u holda (1 / xn) ketma-ketlikni qandaydir n sonidan boshlab aniqlash mumkin va baribir cheksiz kichik bo'ladi.

Agar (an) cheksiz kichik ketma-ketlik bo'lib, unda nol hadlar mavjud bo'lmasa, u holda cheksiz katta qator (1 / a) mavjud. Agar, shunga qaramay, (an) nol elementlarni o'z ichiga olsa, u holda (1 / an) ketma-ketlik hali ham n sonidan boshlab aniqlanishi mumkin va baribir cheksiz katta bo'ladi.

1.1.5 Yaqinlashuvchi va ayiruvchi ketma-ketliklar va ularning xossalari.

Yaqinlashuvchi ketma-ketlik bu to'plamda chegaraga ega bo'lgan X to'plamining elementlari ketma-ketligidir.

Divergent ketma-ketlik konvergent bo'lmagan ketma-ketlikdir.

Har qanday cheksiz kichik ketma-ketlik konvergent hisoblanadi. Uning chegarasi nolga teng.

Cheksiz ketma-ketlikdan har qanday cheklangan sonli elementlarni olib tashlash bu ketma-ketlikning yaqinlashuviga ham, chegarasiga ham ta'sir qilmaydi.

Har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan. Biroq, har bir cheklangan ketma-ketlik bir-biriga yaqinlashmaydi.

Agar ketma-ketlik (xn) yaqinlashsa, lekin cheksiz kichik bo'lmasa, u holda qandaydir sondan boshlab, chegaralangan ketma-ketlik (1 / xn) aniqlanadi.

Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning yig'indisi ham yaqinlashuvchi ketma-ketlikdir.

Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning farqi ham yaqinlashuvchi ketma-ketlikdir.

Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning mahsuloti ham yaqinlashuvchi ketma-ketlikdir.

Ikki yaqinlashuvchi ketma-ketlikning qismi, agar ikkinchi ketma-ketlik cheksiz kichik bo'lmasa, qaysidir elementdan boshlab aniqlanadi. Ikki yaqinlashuvchi ketma-ketlikning qismi aniqlansa, u yaqinlashuvchi ketma-ketlikdir.

Agar yaqinlashuvchi ketma-ketlik pastdan chegaralangan bo'lsa, unda uning pastki chegaralaridan hech biri chegarasidan oshmaydi.

Agar yaqinlashuvchi ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo'lsa, u holda uning chegarasi uning yuqori chegaralaridan oshmaydi.

Agar biron-bir son uchun bir yaqinlashuvchi ketma-ketlikning a'zolari boshqa yaqinlashuvchi ketma-ketlikning a'zolaridan oshmasa, birinchi qatorning chegarasi ham ikkinchisining chegarasidan oshmaydi.

Ma’ruza 8. Sonli ketma-ketliklar.

Ta'rif8.1. Agar har bir qiymat ma'lum bir qonunga muvofiq tayinlangan bo'lsa, qandaydir haqiqiy raqamx n , keyin raqamlangan haqiqiy sonlar to'plami

– qisqartirilgan belgi
, (8.1)

qo'ng'iroq qiladiraqamli ketma-ketlik yoki shunchaki ketma-ketlik.

Alohida raqamlar x n  ketma-ketlikning elementlari yoki a'zolari (8.1).

Ketma-ketlik umumiy atama formulasi bilan berilishi mumkin, masalan:
yoki
... Ketma-ketlik noaniq ko'rsatilishi mumkin, masalan, –1, 1, –1, 1, ... ketma-ketligi formula bilan ko'rsatilishi mumkin.
yoki
... Ba'zan ketma-ketlikni ko'rsatishning rekursiv usuli qo'llaniladi: ketma-ketlikning dastlabki bir necha a'zolari beriladi va keyingi elementlarni hisoblash uchun formuladan foydalaniladi. Masalan, birinchi element bilan aniqlangan ketma-ketlik va takrorlanish munosabati
(arifmetik progressiya). deb nomlangan ketma-ketlikni ko'rib chiqing Fibonachchi yaqinida: birinchi ikkita element o'rnatiladi x 1 =1, x 2 = 1 va takrorlanish munosabati
har qanday uchun
... Biz 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... raqamlari ketma-ketligini olamiz. Bunday seriyalar uchun umumiy atama uchun formulani topish juda qiyin.

8.1. Ketma-ketliklar bilan arifmetik amallar.

Ikki ketma-ketlikni ko'rib chiqing:

(8.1)

Ta'rif 8.2. Qo'ng'iroq qilaylikketma-ketlikning mahsuloti
raqami bo'yicha mkeyingi ketma-ketlik
... Keling, buni shunday yozamiz:
.

Keling, ketma-ketlikni chaqiraylik ketma-ketliklar yig'indisi (8.1) va (8.2) ni quyidagicha yozamiz:; xuddi shunday
qo'ng'iroq qilaylik ketma-ketlik farqi (8.1) va (8.2);
 ketma-ketliklar mahsuloti (8.1) va (8.2);  shaxsiy ketma-ketliklar (8.1) va (8.2) (barcha elementlar
).

8.2. Cheklangan va cheksiz ketma-ketliklar.

Barcha elementlarning ixtiyoriy ketma-ketlikda to'planishi
yuqoridan (pastdan) chegaralanishi mumkin bo'lgan va haqiqiy sonlar uchun kiritilgan ta'riflarga o'xshash ta'riflar to'g'ri keladigan ba'zi sonli to'plamlarni hosil qiladi.

Ta'rif 8.3. Keyingi ketma-ketlik
chaqirdiyuqoridan chegaralangan , agar; M  yuqori cheti.

Ta'rif 8.4. Keyingi ketma-ketlik
chaqirdipastdan cheklangan , agar;m  pastki cheti.

Ta'rif 8.5.Keyingi ketma-ketlik
chaqirdicheklangan agar u yuqoridan ham, pastdan ham chegaralangan bo'lsa, ya'ni ikkita haqiqiy son M va bo'lsam shundayki, ketma-ketlikning har bir elementi
tengsizliklarni qondiradi:

, (8.3)

mvaM- pastki va yuqori qirralar
.

Tengsizliklar (8.3) deyiladi ketma-ketlikning chegaralanganligi sharti
.

Masalan, ketma-ketlik
cheklangan va
cheksiz.

♦ Bayonot 8.1.
cheklangan .

Isbot. Keling, tanlaymiz
... 8.5 ta'rifiga ko'ra, ketma-ketlik
cheklangan bo'ladi. ■

Ta'rif 8.6. Keyingi ketma-ketlik
chaqirdicheksiz agar har qanday musbat (ixtiyoriy katta) haqiqiy A soni uchun ketma-ketlikning kamida bitta elementi mavjud bo'lsax n tengsizlikni qondirish:
.

Masalan, 1, 2, 1, 4, ..., 1, 2 ketma-ketligi n,…  cheksiz, beri faqat pastdan cheklangan.

8.3. Cheksiz katta va cheksiz kichik ketma-ketliklar.

Ta'rif 8.7. Keyingi ketma-ketlik
chaqirdicheksiz katta agar biron-bir (o'zboshimchalik bilan katta) haqiqiy A soni uchun raqam mavjud bo'lsa
hamma uchun shunday
elementlarx n
.

☼ Izoh 8.1. Agar ketma-ketlik cheksiz katta bo'lsa, u cheksizdir. Lekin har qanday cheksiz ketma-ketlikni cheksiz katta deb o'ylamaslik kerak. Masalan, ketma-ketlik
cheklangan emas, lekin cheksiz katta emas, chunki holat
hatto hamma uchun ham muvaffaqiyatsiz n. ☼

 8.1-misol.
cheksiz katta. Har qanday raqamni oling A> 0. Tengsizlikdan
olamiz n>A... Olsangiz
keyin hamma uchun n>N tengsizlik
, ya'ni 8.7 ta'rifiga ko'ra, ketma-ketlik
cheksiz katta. 

Ta'rif 8.8. Keyingi ketma-ketlik
chaqirdicheksiz kichik uchun bo'lsa
(kichik bo'lsa ham ) raqam bor
hamma uchun shunday
elementlar bu ketma-ketlik tengsizlikni qanoatlantiradi
.

 8.2-misol. Keling, ketma-ketlikni isbotlaylik cheksiz kichik.

Har qanday raqamni oling
... Tengsizlikdan
olamiz ... Olsangiz
keyin hamma uchun n>N tengsizlik
. 

♦ Bayonot 8.2. Keyingi ketma-ketlik
uchun cheksiz katta
va cheksiz kichik uchun
.

Isbot.

1) Birinchi bo'lsin
:
, qayerda
... Bernulli formulasi bo‘yicha (6.3-misol, 6.1-bet)
... Biz ixtiyoriy ijobiy raqamni tuzatamiz A va u orqali raqamni tanlang N Shunday qilib, tengsizlik to'g'ri bo'ladi:

,
,
,
.

Chunki
, keyin hamma uchun haqiqiy sonlar mahsulotining xossasi bilan

.

Shunday qilib, uchun
shunday raqam bor
bu hamma uchun


- cheksiz katta
.

2) Vaziyatni ko'rib chiqing
,
(da q= 0 bizda arzimas holat mavjud).

Bo'lsin
, qayerda
, Bernulli formulasi bo'yicha
yoki
.

Biz tuzatamiz
,
va tanlang
shu kabi

,
,
.

Uchun

... Biz bunday raqamni ko'rsatamiz N bu hamma uchun

, ya'ni uchun
keyingi ketma-ketlik
cheksiz kichik. ■

8.4. Cheksiz kichik ketma-ketliklarning asosiy xossalari.

♦ 8.1 teorema.so'm

va

Isbot. Biz tuzatamiz ;
- cheksiz kichik

,

- cheksiz kichik

... Keling, tanlaymiz
... Keyin soat

,
,
. ■

♦ 8.2 teorema. Farq
ikkita cheksiz kichik ketma-ketlik
va
cheksiz kichik ketma-ketlik mavjud.

Uchun dalil teorema uchun tengsizlikdan foydalanish kifoya. ■

Natija.Har qanday chekli sonli cheksiz kichik ketma-ketlikning algebraik yig'indisi cheksiz kichik ketma-ketlikdir.

♦ 8.3 teorema.Chegaralangan ketma-ketlikning cheksiz kichik ketma-ketlik mahsuloti cheksiz kichik ketma-ketlikdir.

Isbot.
- cheklangan,
- cheksiz kichik ketma-ketlik. Biz tuzatamiz ;
,
;
: da
adolatli
... Keyin
. ■

♦ 8.4 teorema.Har qanday cheksiz kichik ketma-ketlik chegaralangan.

Isbot. Biz tuzatamiz Bir oz raqam bering. Keyin
barcha raqamlar uchun n, bu ketma-ketlikning cheklanganligini bildiradi. ■

Natija. Ikki (va har qanday chekli son) cheksiz kichik ketma-ketlikning mahsuloti cheksiz kichik ketma-ketlikdir.

♦ 8.5 teorema.

Agar cheksiz kichik ketma-ketlikning barcha elementlari
bir xil raqamga tengc, keyin c = 0.

Isbot teorema qarama-qarshilik orqali amalga oshiriladi, agar belgilasak
. ■

♦ 8.6 teorema. 1) Agar
Demak, qandaydir sondan boshlab cheksiz katta ketma-ketlikn, qism aniqlanadi ikkita ketma-ketlik
va
, bu cheksiz kichik ketma-ketlikdir.

2) Agar cheksiz kichik ketma-ketlikning barcha elementlari
nolga teng bo'lmagan bo'lsa, keyin ko'rsatkich ikkita ketma-ketlik
va
cheksiz katta ketma-ketlikdir.

Isbot.

1) Mayli
- cheksiz katta ketma-ketlik. Biz tuzatamiz ;
yoki
da
... Shunday qilib, 8.8 ta'rifiga ko'ra, ketma-ketlik - cheksiz kichik.

2) ruxsat bering
- cheksiz kichik ketma-ketlik. Barcha elementlarni deylik
nolga teng. Biz tuzatamiz A;
yoki
da
... 8.7 ta'rifiga ko'ra, ketma-ketlik cheksiz katta. ■