»12-dars. Matritsaning darajasi. Matritsaning rankini hisoblash. Matritsa normasi

Dars raqami 12. Matritsaning darajasi. Matritsaning rankini hisoblash. Matritsalar normasi.

Agar matritsaning barcha kichiklariAbuyurtmaknolga teng bo'lsa, k + 1 tartibli barcha kichiklar, agar mavjud bo'lsa, ular ham nolga teng.
Matritsaning darajasi bo'yicha A matritsaning voyaga etmaganlar buyurtmalarining eng kattasidir A nolga teng.
Maksimal daraja matritsaning satrlari yoki ustunlari sonining minimal soniga teng bo'lishi mumkin, ya'ni. agar matritsa 4x5 bo'lsa, maksimal daraja 4 bo'ladi.
Agar siz nol matritsa bilan ishlamasangiz, matritsaning minimal darajasi 1 ga teng, bu erda daraja har doim nolga teng.

n-tartibli buzilmagan kvadrat matritsaning darajasi n ga teng, chunki uning determinanti n-tartibning minoridir va buzilmagan matritsa nolga teng emas.
Matritsa ko'chirilganda uning darajasi o'zgarmaydi.

Matritsaning darajasi shunday bo'lsin. Keyin har qanday nolga teng bo'lmagan tartibli minor chaqiriladi asosiy kichik.
Misol. Berilgan A matritsasi.

Matritsaning determinanti nolga teng.
Ikkinchi darajali kichik ... Demak, r (A) = 2 va asosiy minor.
Baza minor ham kichikdir .
Kichik beri = 0, shuning uchun u asosiy bo'lmaydi.
Mashq qilish: boshqa ikkinchi darajali voyaga etmaganlarning qaysi biri asosiy va qaysi biri bo'lmasligini mustaqil ravishda tekshiring.

Matritsaning barcha kichiklarini hisoblash orqali uning darajasini topish juda ko'p hisoblash ishlarini talab qiladi. (O'quvchi to'rtinchi tartibli kvadrat matritsada 36 ta ikkinchi darajali kichiklar mavjudligini tekshirishi mumkin.) Shuning uchun darajani topish uchun boshqa algoritmdan foydalaniladi. Uni tavsiflash uchun bir qator qo'shimcha ma'lumotlar talab qilinadi.

Matritsalar bo'yicha quyidagi amallarni matritsalarni elementar o'zgartirishlar deb ataymiz:
1) satr yoki ustunlarni almashtirish;
2) satr yoki ustunni noldan boshqa raqamga ko'paytirish;
3) qatorlardan biriga raqamga ko'paytirilgan boshqa qatorni qo'shish yoki boshqa ustunning ustunlaridan biriga raqamga ko'paytiriladigan qo'shish.

Elementar transformatsiyalar matritsaning darajasini o'zgartirmaydi.
Matritsaning darajasini hisoblash algoritmi determinantni hisoblash algoritmiga o'xshaydi va elementar o'zgartirishlar yordamida matritsa oddiy shaklga keltiriladi, buning uchun darajani topish qiyin emas. Har bir transformatsiyada daraja o'zgarmaganligi sababli, o'zgartirilgan matritsaning darajasini hisoblab, biz asl matritsaning darajasini topamiz.

O'lcham matritsasining darajasini hisoblash talab qilinsin mxn.

Hisob-kitoblar natijasida A1 matritsasi shaklga ega

Agar uchinchidan boshlanadigan barcha satrlar nolga teng bo'lsa, u holda kichikligidan ... Aks holda, raqamlari ikkidan katta bo'lgan satr va ustunlarni qayta tartiblash orqali biz uchinchi qatorning uchinchi elementi nolga teng bo'lishiga erishamiz. Keyinchalik, mos keladigan raqamlar bilan ko'paytiriladigan uchinchi qatorni katta raqamlarga ega bo'lgan qatorlarga qo'shib, biz uchinchi ustunda to'rtinchi elementdan boshlab nollarni olamiz va hokazo.
Ba'zi bir bosqichda biz (r + 1) dan boshlab barcha satrlar nolga teng bo'lgan (yoki mavjud bo'lmagan) matritsaga kelamiz va birinchi qatorlar va birinchi ustunlardagi minor determinant hisoblanadi. diagonalda nolga teng bo'lmagan elementlarga ega uchburchak matritsa ... Bunday matritsaning darajasi. Shuning uchun Rang (A) = r.

Matritsaning darajasini topish uchun taklif qilingan algoritmda barcha hisob-kitoblarni yaxlitlashsiz bajarish kerak. Oraliq matritsalar elementlaridan kamida bittasining o'zboshimchalik bilan kichik o'zgarishi olingan javobning dastlabki matritsa darajasidan bir necha birlik bilan farqlanishiga olib kelishi mumkin.
Agar dastlabki matritsadagi elementlar butun son bo'lsa, unda kasrlarni ishlatmasdan hisob-kitoblarni bajarish qulay. Shuning uchun, har bir bosqichda, hisob-kitoblarda kasrlar ko'rinmasligi uchun satrlarni raqamlar bilan ko'paytirish tavsiya etiladi.

Amaliy laboratoriya ishida matritsaning rankini topishga misol keltiring.

JOYLASHTIRISH ALGORITMMI MATRIX STANDARTLARI .
Faqat uchta matritsa normalari mavjud.
Matritsaning birinchi normasi= modul bo'yicha olingan har bir ustunning barcha elementlarini qo'shish orqali olingan raqamlarning maksimali.
Misol: 3x2 A matritsa berilsin (10-rasm). Birinchi ustunda elementlar mavjud: 8, 3, 8. Barcha elementlar ijobiydir. Ularning yig'indisini topamiz: 8 + 3 + 8 = 19. Ikkinchi ustunda elementlar mavjud: 8, -2, -8. Ikki element salbiy, shuning uchun bu raqamlarni qo'shganda, bu raqamlarning modulini (ya'ni "minus" belgilarisiz) almashtirish kerak. Ularning yig'indisini topamiz: 8 + 2 + 8 = 18. Bu ikki raqamning maksimali 19. Demak, matritsaning birinchi normasi 19 ga teng.

10-rasm.

Matritsaning ikkinchi normasi matritsaning barcha elementlari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildizidir. Va bu shuni anglatadiki, biz matritsaning barcha elementlarini kvadratga aylantiramiz, keyin olingan qiymatlarni qo'shamiz va natijadan kvadrat ildizni chiqaramiz.
Bizning holatda, matritsaning 2 normasi 269 kvadrat ildizga teng. Diagrammada men taxminan 269 kvadrat ildizni chiqarib oldim va natijada taxminan 16,401 ni oldim. Ildizni chiqarmaslik to'g'riroq bo'lsa-da.

Matritsaning uchinchi normasi moduli olingan har bir satrning barcha elementlarini qo'shish orqali olingan raqamlarning maksimali.
Bizning misolimizda: birinchi qatorda elementlar mavjud: 8, 8. Barcha elementlar musbat. Keling, ularning yig'indisini topamiz: 8 + 8 = 16. Ikkinchi qatorda elementlar mavjud: 3, -2. Elementlardan biri salbiy, shuning uchun bu raqamlarni qo'shganda, siz ushbu raqamning modulini almashtirishingiz kerak. Keling, ularning yig'indisini topamiz: 3 + 2 = 5. Uchinchi qatorda 8 va -8 elementlar mavjud. Elementlardan biri salbiy, shuning uchun bu raqamlarni qo'shganda, siz ushbu raqamning modulini almashtirishingiz kerak. Keling, ularning yig'indisini topamiz: 8 + 8 = 16. Bu uchta raqamning maksimali 16 ga teng. Demak, matritsaning uchinchi normasi 16 ga teng.

Muallif: Saliy N.A.

Kollegial YouTube

1 / 1

✪ Vektor normasi. 4-qism.

Subtitrlar

Ta'rif

K er maydoni bo'lsin (odatda K = R yoki K = C ) va K elementlardan tashkil topgan m satr va n ta ustunli barcha matritsalarning chiziqli fazosi. Matritsalar fazosida, agar har bir matritsa manfiy bo'lmagan haqiqiy son bilan bog'langan bo'lsa, norma beriladi. ‖ A ‖ (\ displaystyle \ | A \ |), uning normasi deb ataladi, shuning uchun

Kvadrat matritsalar holatida (ya'ni. m = n), matritsalar bo'sh joy qoldirmasdan ko'paytirilishi mumkin va shuning uchun bu bo'shliqlardagi normalar odatda xususiyatni ham qondiradi. submultiplikativlik :

Submultiplikativlik kvadrat bo'lmagan matritsalar normalari uchun ham bajarilishi mumkin, lekin bir vaqtning o'zida bir nechta talab qilinadigan o'lchamlar uchun aniqlanadi. Ya'ni, agar A matritsa bo'lsa ℓ  ×  m, B esa matritsadir m ×  n, keyin A B- matritsa ℓ  ×  n .

Operator normalari

Matritsa me'yorlarining muhim sinfi operator normalari, deb ham ataladi bo'ysunuvchilar yoki qo'zg'atilgan ... Operator normasi har qanday matritsada aniqlangan ikkita norma bo'yicha yagona tarzda tuzilgan va shundan kelib chiqqan holda. m ×  n dan chiziqli operator bilan ifodalanadi K n (\ displaystyle K ^ (n)) v K m (\ displaystyle K ^ (m))... Xususan,

‖ A ‖ = sup (‖ A x ‖: x ∈ K n, ‖ x ‖ = 1) = sup (‖ A x ‖ ‖ x ‖: x ∈ K n, x ≠ 0). (\ displaystyle (\ start (hizalangan) \ | A \ | & = \ sup \ (\ | Ax \ |: x \ in K ^ (n), \ \ | x \ | = 1 \) \\ & = \ sup \ chap \ ((\ frac (\ | Ax \ |) (\ | x \ |)): x \ in K ^ (n), \ x \ neq 0 \ o'ng \). \ oxiri (hizalangan)))

Vektor bo'shliqlari bo'yicha me'yorlarni izchil spetsifikatsiya qilish sharti bilan bunday norma submultiplikativ hisoblanadi (qarang).

Operator normalariga misollar

Spektral normaning xususiyatlari:

1. Operatorning spektral normasi ushbu operatorning maksimal singulyar soniga teng.
2. Oddiy operatorning spektral normasi ushbu operatorning maksimal modul o'z qiymatining mutlaq qiymatiga teng.
3. Matritsa ortogonal (unitar) matritsaga ko'paytirilganda spektral norma o'zgarmaydi.

Operator bo'lmagan matritsa normalari

Operator normalari bo'lmagan matritsa normalari mavjud. Matritsalarning operator bo'lmagan normalari tushunchasini Yu.I.Lyubich kiritgan va G.R.Belitskiy tomonidan o'rganilgan.

Operator bo'lmagan normaga misol

Misol uchun, ikki xil operator normalarini ko'rib chiqing ‖ A ‖ 1 (\ displaystyle \ | A \ | _ (1)) va ‖ A ‖ 2 (\ displaystyle \ | A \ | _ (2)) qator va ustun normalari kabi. Yangi normani shakllantirish ‖ A ‖ = m a x (‖ A ‖ 1, ‖ A ‖ 2) (\ displaystyle \ | A \ | = maks (\ | A \ | _ (1), \ | A \ | _ (2))... Yangi normada halqa xususiyati bor ‖ A B ‖ ≤ ‖ A ‖ ‖ B ‖ (\ displaystyle \ | AB \ | \ leq \ | A \ | \ | B \ |), birlikni saqlaydi ‖ I ‖ = 1 (\ displaystyle \ | I \ | = 1) va operator emas.

Normlarga misollar

Vektor p (\ displaystyle p)-norma

Ko'rib chiqish mumkin m × n (\ displaystyle m \ marta n) matritsa kattalik vektori sifatida m n (\ displaystyle mn) va standart vektor normalaridan foydalaning:

‖ A ‖ p = ‖ vec (A) ‖ p = (∑ i = 1 m ∑ j = 1 n | aij | p) 1 / p (\ displaystyle \ | A \ | _ (p) = \ | \ mathrm ( vec) (A) \ | _ (p) = \ chap (\ summa _ (i = 1) ^ (m) \ summa _ (j = 1) ^ (n) | a_ (ij) | ^ (p) \ o'ng) ^ (1 / p))

Frobenius normasi

Frobenius normasi, yoki Evklid normasi uchun p-normasining alohida holatidir p = 2 : ‖ A ‖ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 naij 2 (\ displaystyle \ | A \ | _ (F) = (\ sqrt (\ sum _ (i = 1) ^ (m) \ sum _ (j) = 1) ^ (n) a_ (ij) ^ (2)))).

Frobenius normasini hisoblash oson (masalan, spektral norma bilan solishtirganda). Quyidagi xususiyatlarga ega:

‖ A x ‖ 2 2 = ∑ i = 1 m | ∑ j = 1 n a i j x j | 2 ≤ ∑ i = 1 m (∑ j = 1 n | a i j | 2 ∑ j = 1 n | x j | 2) = ∑ j = 1 n | x j | 2 ‖ A ‖ F 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ x ‖ 2 2. (\ displaystyle \ | Ax \ | _ (2) ^ (2) = \ summa _ (i = 1) ^ (m) \ chap | \ sum _ (j = 1) ^ (n) a_ (ij) x_ ( j) \ o'ng | ^ (2) \ leq \ so'm _ (i = 1) ^ (m) \ chap (\ sum _ (j = 1) ^ (n) | a_ (ij) | ^ (2) \ so'm _ (j = 1) ^ (n) | x_ (j) | ^ (2) \ o'ng) = \ yig'indisi _ (j = 1) ^ (n) | x_ (j) | ^ (2) \ | A \ | _ (F) ^ (2) = \ | A \ | _ (F) ^ (2) \ | x \ | _ (2) ^ (2).)

• Submultiplikativlik: ‖ A B ‖ F ≤ ‖ A ‖ F ‖ B ‖ F (\ displaystyle \ | AB \ | _ (F) \ leq \ | A \ | _ (F) \ | B \ | _ (F)), chunki ‖ A B ‖ F 2 = ∑ i, j | ∑ k a i k b k j | 2 ≤ ∑ i, j (∑ k | a i k | | b k j |) 2 ≤ ∑ i, j (∑ k | a i k | 2 ∑ k | b k j | 2) = ∑ i, k | a i k | 2 ∑ k, j | b k j | 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ B ‖ F 2 (\ displaystyle \ | AB \ | _ (F) ^ (2) = \ sum _ (i, j) \ chap | \ sum _ (k) a_ (ik) b_ (kj) \ o'ng | ^ (2) \ leq \ sum _ (i, j) \ chap (\ sum _ (k) | a_ (ik) || b_ (kj) | \ o'ng) ^ (2) \ leq \ sum _ (i, j) \ chap (\ sum _ (k) | a_ (ik) | ^ (2) \ sum _ (k) | b_ (kj) | ^ (2) \ o‘ng) = \ sum _ (i, k) | a_ (ik) | ^ (2) \ summa _ (k, j) | b_ (kj) | ^ (2) = \ | A \ | _ (F) ^ (2) \ | B \ | _ (F) ^ (2)).
• ‖ A ‖ F 2 = tr ⁡ A ∗ A = tr ⁡ AA ∗ (\ displaystyle \ | A \ | _ (F) ^ (2) = \ mathop (\ rm (tr)) A ^ (*) A = \ mathop (\ rm (tr)) AA ^ (*)), qayerda t r ⁡ A (\ displaystyle \ mathop (\ rm (tr)) A)- matritsa izi A (\ displaystyle A), A ∗ (\ displaystyle A ^ (*)) Hermit konjugat matritsasidir.
• ‖ A ‖ F 2 = r 1 2 + r 2 2 + ⋯ + r n 2 (\ displaystyle \ | A \ | _ (F) ^ (2) = \ rho _ (1) ^ (2) + \ rho _ (2) ^ (2) + \ nuqta + \ rho _ (n) ^ (2)), qayerda r 1, r 2,…, r n (\ displaystyle \ rho _ (1), \ rho _ (2), \ nuqta, \ rho _ (n))- matritsaning yagona qiymatlari A (\ displaystyle A).
• ‖ A ‖ F (\ displaystyle \ | A \ | _ (F)) matritsani ko'paytirishda o'zgarmaydi A (\ displaystyle A) chap yoki o'ng ortogonal (unitar) matritsalarga.

Maksimal modul

Modulning maksimal normasi p-normasining yana bir maxsus holatidir p = ∞ .

‖ A ‖ max = maks (| a i j |). (\ displaystyle \ | A \ | _ (\ matn (maksimal)) = \ max \ (| a_ (ij) | \).)

Schatten normasi

Matritsa va vektor me'yorlarining izchilligi

Matritsa normasi ‖ ⋅ ‖ a b (\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ (ab)) yoqilgan K m × n (\ displaystyle K ^ (m \ marta n)) chaqirdi kelishilgan normalar bilan ‖ ⋅ ‖ a (\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ (a)) yoqilgan K n (\ displaystyle K ^ (n)) va ‖ ⋅ ‖ b (\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ (b)) yoqilgan K m (\ displaystyle K ^ (m)), agar:

‖ A x ‖ b ≤ ‖ A ‖ a b ‖ x ‖ a (\ displaystyle \ | Ax \ | _ (b) \ leq \ | A \ | _ (ab) \ | x \ | _ (a))

har qanday uchun A ∈ K m × n, x ∈ K n (\ displaystyle A \ in K ^ (m \ marta n), x \ in K ^ (n))... Qurilish bo'yicha operator normasi dastlabki vektor normasiga mos keladi.

Kelishilgan, ammo bo'ysunmaydigan matritsa normalariga misollar:

Normlarning ekvivalentligi

Kosmosdagi barcha normalar K m × n (\ displaystyle K ^ (m \ marta n)) ekvivalentdir, ya'ni har qanday ikkita norma uchun ‖. ‖ B (\ displaystyle \ |. \ | _ (\ Alfa)) va ‖. ‖ B (\ displaystyle \ |. \ | _ (\ Beta)) va har qanday matritsa uchun A ∈ K m × n (\ displaystyle A \ in K ^ (m \ marta n)) qo'sh tengsizlik haqiqatdir.

Matritsa normasi biz ushbu matritsaga tayinlangan haqiqiy raqamni || A || deb nomlaymiz Shunday qilib, haqiqiy son sifatida n o'lchovli fazodan har bir matritsa bilan bog'langan va 4 ta aksiomani qanoatlantiradi:

1. || A || ³0 va || A || = 0 faqat agar A nol matritsa bo'lsa;

2. || aA || = | a | · || A ||, bu yerda a R;

3. || A + B || £ || A || + || B ||;

4. || A · ​​B || £ || A || · || B ||. (ko'paytirish xususiyati)

Matritsalar normasi turli usullar bilan kiritilishi mumkin. A matritsasi sifatida ko'rish mumkin n 2 - o'lchovli vektor.

Bu norma matritsaning Evklid normasi deyiladi.

Agar har qanday kvadrat matritsa A va o'lchami matritsa tartibiga teng bo'lgan har qanday x vektor uchun || Ax || £ || A || · || x ||

u holda A matritsaning normasi vektor normasiga mos keladi deyiladi. E'tibor bering, oxirgi shartning chap tomonida vektorning normasi (Ax - vektor).

Turli matritsa normalari berilgan vektor norma bilan muvofiqlashtiriladi. Ulardan eng kichigini tanlaymiz. Bu bo'ladi

Ushbu matritsa normasi berilgan vektor normasiga bo'ysunadi. Bu ifodada maksimalning mavjudligi normaning uzluksizligidan kelib chiqadi, chunki har doim vektor x -> || x || = 1 va || Ax || = || A || mavjud.

N (A) normasi hech qanday vektor normasiga bo'ysunmasligini ko'rsataylik. Oldin kiritilgan vektor normalariga bo'ysunadigan matritsaning normalari quyidagicha ifodalanadi:

1. || A || ¥ = | a ij | (norma-maksimal)

2. || A || 1 = | a ij | (norma-sum)

3. || A || 2 =, (spektral norma)

bu erda s 1 - A ¢ A nosimmetrik matritsaning eng katta tegishli qiymati bo'lib, u ko'chirilgan va dastlabki matritsalarning mahsulotidir. T k A ¢ A matritsasi nosimmetrik, keyin uning barcha xos qiymatlari haqiqiy va ijobiydir. l - xossalar soni qiymat, nolga teng bo'lmagan vektor x esa A matritsaning xos vektori (agar ular Ax = lx munosabati bilan bog'liq bo'lsa). Agar A matritsaning o'zi simmetrik bo'lsa, A ¢ = A, u holda A ¢ A = A 2 va keyin s 1 =, bu erda A matritsaning eng katta modulli xos qiymati. Demak, bu holda bizda =.

Matritsaning o'ziga xos qiymatlari uning kelishilgan me'yorlaridan oshmaydi. Xususiy qiymatlarni aniqlovchi munosabatni normallashtirib, biz || lx || = || Ax ||, | l | · || x || = || Ax || £ || A || · || x ||, | l | £ || A ||

Chunki bu haqiqat || A || 2 £ || A || e, Evklid normasini hisoblash oson bo'lgan joyda, taxminlarda spektral norma o'rniga matritsaning Evklid normasidan foydalanish mumkin.

30. Tenglamalar sistemasining shartliligi. Shartlilik omili .

Shartlilik- qarorning dastlabki ma'lumotlarga ta'siri. Ax = b: vektor b mos keladigan yechim x... Bo'lsin b miqdori bo'yicha o'zgaradi. Keyin vektor b + yangi yechim mos keladi x + : A (x + ) = b +... Tizim chiziqli bo'lgani uchun, demak Ax + A = b +, keyin A = ; = ; = ; b = Ax; = keyin; *, bu erda eritmaning buzilishining nisbiy xatosi, - holat omilishart (A) (yechim xatosi necha marta oshishi mumkin), vektorning nisbiy tebranishi b. shart (A) = ; shart (A) * Koeffitsient xususiyatlari: matritsa me'yorini tanlashga bog'liq; shart ( = shart (A); matritsani songa ko'paytirish shart omiliga ta'sir qilmaydi. Koeffitsient qanchalik katta bo'lsa, dastlabki ma'lumotlardagi xatolik SLAE yechimiga shunchalik ta'sir qiladi. Shart raqami 1 dan kam boʻlmasligi kerak.

31. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini yechishning supurgi usuli.

Ko'pincha matritsalari zaif to'ldirilgan tizimlarni hal qilish kerak, ya'ni. ko'p nolga teng bo'lmagan elementlarni o'z ichiga oladi. Bunday tizimlarning matritsalari odatda ma'lum bir tuzilishga ega bo'lib, ular orasida chiziqli strukturaning matritsalari bo'lgan tizimlar mavjud, ya'ni. ularda nolga teng bo'lmagan elementlar asosiy diagonalda va bir nechta yon diagonallarda joylashgan. Chiziqli matritsali tizimlarni echish uchun Gauss usulini samaraliroq usullarga aylantirish mumkin. Keling, tarmoqli tizimlarning eng oddiy holatini ko'rib chiqaylik, keyinroq ko'rib turganimizdek, differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni diskretlash masalalarini chekli farqlar, chekli elementlar va boshqalar usullari bilan echish unga tutash:

Uchta diagonal matritsada faqat (3n-2) noldan farqli yozuvlar mavjud.

Matritsaning koeffitsientlarini qayta nomlaymiz:

Keyin, komponent yozuvida tizim quyidagicha ifodalanishi mumkin:

A i * x i-1 + b i * x i + c i * x i + 1 = d i , i = 1, 2, ..., n; (7)

a 1 = 0, c n = 0. (sakkiz)

Tizimning tuzilishi faqat qo'shni noma'lumlar o'rtasidagi munosabatni nazarda tutadi:

x i = x i * x i +1 + h i (9)

x i -1 = x i -1 * x i + h i -1 va (7) ni almashtiring:

A i (x i-1 * x i + h i-1) + b i * x i + c i * x i + 1 = d i

(a i * x i-1 + b i) x i = –c i * x i + 1 + d i –a i * h i-1

Olingan ifodani (7) tasvir bilan taqqoslab, biz quyidagilarni olamiz:

Formulalar (10) supurish koeffitsientlarini hisoblash uchun takrorlanish munosabatlarini ifodalaydi. Ular boshlang'ich qiymatlarni o'rnatishni talab qiladi. Birinchi shartga muvofiq (8) i = 1 uchun biz 1 = 0 ga egamiz va demak

Keyinchalik, qolgan tozalash koeffitsientlari i = 2,3, ..., n uchun formulalar (10) bo'yicha hisoblab chiqiladi va saqlanadi va i = n uchun ikkinchi shartni (8) hisobga olgan holda biz xn = 0 ni olamiz. . Shuning uchun (9) formulaga muvofiq x n = h n.

Shundan so'ng (9) formula bo'yicha noma'lumlar x n -1, x n -2, ..., x 1 ketma-ket topiladi. Hisoblashning bu bosqichi teskari yugurish deb ataladi, supurish omillarini hisoblash esa oldinga siljish deb ataladi.

Supurish usulini muvaffaqiyatli qo'llash uchun hisob-kitoblar jarayonida nolga bo'linish holatlari bo'lmasligi va tizimlarning katta o'lchamlari bilan yaxlitlash xatolarining tez o'sishi bo'lmasligi kerak. Biz yugurishni chaqiramiz to'g'ri agar supurish koeffitsientlarining maxraji (10) yo'qolmasa va barqaror agar ½x i ½ bo'lsa<1 при всех i=1,2,…, n. Достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях выполняются, определяются теоремой.

Teorema. i = 2,3, ..., n-1 uchun (7) tenglamaning a i va c i koeffitsientlari noldan farq qilsin va

i = 1, 2, ..., n uchun ½b i ½> ½a i ½ + ½c i ½. (o'n bir)

Keyin (10), (9) formulalar bilan aniqlangan supurish to'g'ri va barqarordir.