Yechim misollari ketma-ketligini cheklang. Ketma-ketlik chegarasi - asosiy teoremalar va xossalar
Xn elementlar yoki ketma-ketlik a'zolari, n - ketma-ketlik a'zolari. Agar f (n) funksiya analitik, ya’ni formula bilan berilgan bo’lsa, xn = f (n) ketma-ketlik a’zosining formulasi deyiladi.
a soni ketma-ketlikning chegarasi (xn) deb ataladi, agar har qanday e>0 uchun n = n (e) son mavjud bo'lsa, undan boshlab | xn-a |
2-misol. 1-misol shartlarida a = 1 soni oldingi misol ketma-ketligi chegarasi emasligini isbotlang. Yechim. Umumiy atamani yana soddalashtiring. e = 1 ni oling (har qanday raqam>
Ketma-ketlik chegarasini to'g'ridan-to'g'ri hisoblash vazifalari ancha monotondir. Ularning barchasida ko'phadlarning n ga nisbatan nisbati yoki bu ko'phadlarga nisbatan irratsional ifodalar mavjud. Yechishni boshlaganda, komponentni qavslar tashqarisida (radikal belgisi) eng yuqori darajaga qo'ying. Asl ifodaning numeratori uchun bu a ^ p omilining paydo bo'lishiga olib keladi va maxraj uchun b ^ q. Shubhasiz, qolgan barcha shartlar S / (n-k) ko'rinishga ega va n> uchun nolga moyil bo'ladi.
Ketma-ketlik chegarasini hisoblashning birinchi usuli uning ta'rifiga asoslanadi. To‘g‘ri, esda tutish kerakki, u chegarani to‘g‘ridan-to‘g‘ri izlash yo‘llarini bermaydi, balki faqat qandaydir a soni chegara ekanligini (yoki emasligini) isbotlashga imkon beradi.1-misol. Ketma-ketlik (xn) = ( ekanligini isbotlang. (3n ^ 2-2n -1) / (n ^ 2-n-2)) chegarasi a = 3. Yechim. Ta'rifni teskari tartibda qo'llash orqali isbotni bajaring. Ya'ni o'ngdan chapga. Xn.xn = (3n ^ 2 + 4n + 2) / (n ^ 2 + 3n22) = ((3n + 1) (n + 1)) / ((n) formulasini soddalashtirishning hech qanday usuli yo'qligini tekshiring. + 2) (n + 1)) =) = (3n + 1) / (n + 2) | (3n + 1) / (n + 2) -3 | 0 tengsizlikni koʻrib chiqaylik, nE kattaroq har qanday natural sonni topishingiz mumkin. dan -2+ 5 / e.
2-misol. 1-misol shartlarida a = 1 soni oldingi misol ketma-ketligi chegarasi emasligini isbotlang. Yechim. Umumiy atamani yana soddalashtiring. e = 1 (har qanday son> 0) ni oling.Umumiy ta'rifning yakuniy tengsizligini yozing |(3n + 1) / (n + 2) -1 |
Ketma-ketlik chegarasini to'g'ridan-to'g'ri hisoblash vazifalari ancha monotondir. Ularning barchasida ko'phadlarning n ga nisbatan nisbati yoki bu ko'phadlarga nisbatan irratsional ifodalar mavjud. Yechishni boshlaganda, komponentni qavslar tashqarisida (radikal belgisi) eng yuqori darajaga qo'ying. Asl ifodaning numeratori uchun bu a ^ p omilining paydo bo'lishiga olib keladi va maxraj uchun b ^ q. Shubhasiz, qolgan barcha shartlar S / (n-k) ko'rinishga ega va n> k uchun nolga moyil bo'ladi (n cheksizlikka intiladi). Keyin javobni yozing: pq bo'lsa 0.
Ketma-ketlik chegarasi va cheksiz summalarni topishning noan'anaviy usulini ko'rsatamiz. Funksional ketma-ketliklardan foydalanamiz (ularning funksiya a'zolari ma'lum bir intervalda (a, b) aniqlanadi) 3-misol. 1 + 1/2 ko'rinishdagi yig'indini toping! +1/3! +… + 1 / n! +… = S. Yechim. Har qanday raqam a ^ 0 = 1. 1 = exp (0) ni qo'ying va funktsiya ketma-ketligini ko'rib chiqing (1 + x + x ^ 2/2! + X ^ 3/3! +… + X ^ / n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}
Limitli sonli ketma-ketliklarning asosiy teoremalari va xossalarining formulalari berilgan. Ketma-ketlik ta'rifi va uning chegarasini o'z ichiga oladi. Ketma-ketliklar bilan arifmetik amallar, tengsizliklar bilan bog'liq xususiyatlar, yaqinlashish mezonlari, cheksiz kichik va cheksiz katta ketma-ketliklarning xossalari ko'rib chiqiladi.
TarkibKetma-ketliklarning chekli chegaraviy xossalari
Asosiy xususiyatlar
A nuqtasi ketma-ketlikning chegarasi, agar ushbu nuqtaning biron bir qo'shnisidan tashqarida bo'lsa elementlarning chekli soni ketma-ketliklar yoki bo'sh to'plam.
Agar a soni ketma-ketlikning chegarasi bo'lmasa, u holda a nuqtaning qo'shnisi mavjud bo'lib, undan tashqarida joylashgan. ketma-ketlikdagi cheksiz sonli elementlar.
Sonlar ketma-ketligi chegarasi uchun yagonalik teoremasi... Agar ketma-ketlikning chegarasi bo'lsa, u yagonadir.
Agar ketma-ketlikning chekli chegarasi bo'lsa, u holda cheklangan.
Agar ketma-ketlikning har bir elementi bir xil songa teng C: u holda bu ketma-ketlik C soniga teng chegaraga ega.
Agar ketma-ketlik birinchi m elementni qo'shish, o'chirish yoki o'zgartirish, keyin bu uning yaqinlashuviga ta'sir qilmaydi.
Asosiy xususiyatlarning dalillari sahifasida berilgan
Ketma-ketliklarning chekli chegaralarining asosiy xossalari >>>.
Limitli arifmetik amallar
Cheklangan chegaralar va ketma-ketliklar bo'lsin va. Va C doimiy, ya'ni berilgan son bo'lsin. Keyin
;
;
;
, agar.
Ko'rsatkich bo'lsa, barcha n uchun, deb faraz qilinadi.
Agar, keyin.
Arifmetik xossalarni isbotlash sahifasida berilgan
Ketma-ketliklarning chekli chegaralarining arifmetik xossalari >>>.
Tengsizlik xossalari
Agar qandaydir sondan boshlab ketma-ketlik elementlari tengsizlikni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlikning a chegarasi ham tengsizlikni qanoatlantiradi.
Agar qandaydir sondan boshlab ketma-ketlik elementlari yopiq intervalga (segmentga) tegishli bo'lsa, a chegarasi ham shu intervalga tegishli bo'ladi:.
Agar va va ketma-ketliklarning qandaydir sondan boshlab elementlari tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda.
Agar va, qandaydir sondan boshlab, u holda.
Xususan, agar, ba'zi bir raqamdan boshlab, keyin
agar, keyin;
agar, keyin.
Agar va bo'lsa, unda.
Qo'ying va. Agar a < b , u holda barcha n uchun N natural son mavjud > N tengsizlik mavjud.
Tengsizliklar bilan bog'liq xususiyatlarni isbotlash sahifasida berilgan
Tengsizliklarga oid ketma-ketlik chegarasi xossalari >>>.
Cheksiz katta va cheksiz kichik ketma-ketliklar
Cheksiz kichik ketma-ketlik
Cheksiz kichik ketma-ketlik chegarasi nolga teng bo'lgan ketma-ketlikdir:.
Yig'indi va farq chekli sonli cheksiz kichik ketma-ketlikning cheksiz kichik ketma-ketligidir.
Cheklangan ketma-ketlik mahsuloti infinitesimal tomonidan cheksiz kichik ketma-ketlikdir.
Cheklangan mahsulot cheksiz kichik ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlikdir.
Ketma-ketlik a chegarasiga ega bo'lishi uchun zarur va yetarli bo'ladi, bu erda cheksiz kichik ketma-ketlik.
Cheksiz kichik ketma-ketliklarning xossalarini isbotlash sahifasida berilgan
Infinitesimal Sequences - Ta'rifi va xossalari >>>.
Cheksiz katta ketma-ketlik
Cheksiz katta ketma-ketlik cheksiz katta chegaraga ega bo'lgan ketma-ketlikdir. Ya'ni, agar har qanday musbat son uchun N natural son mavjud bo'lsa, barcha natural sonlar uchun tengsizlik yuzaga keladi..
Bunday holda, yozing
.
Yoki da.
Ularning aytishicha, bu cheksizlikka intiladi.
Agar qandaydir N raqamidan boshlab, u holda
.
Agar, keyin
.
Agar ketma-ketliklar cheksiz katta bo'lsa, u holda N sonidan boshlab cheksiz kichik ketma-ketlik aniqlanadi. Agar ular nolga teng bo'lmagan elementlarga ega bo'lgan cheksiz kichik ketma-ketlik bo'lsa, unda ketma-ketlik cheksiz kattadir.
Agar ketma-ketlik cheksiz katta bo'lsa va ketma-ketlik chegaralangan bo'lsa, u holda
.
Agar ketma-ketlik elementlarining mutlaq qiymatlari pastdan musbat son () bilan chegaralangan bo'lsa va nolga teng bo'lmagan elementlar bilan cheksiz kichik bo'lsa, u holda
.
Tafsilotlarda misollar bilan cheksiz katta ketma-ketlikning ta'rifi sahifasida berilgan
Cheksiz katta ketma-ketlikning ta'rifi >>>.
Cheksiz katta ketma-ketliklarning xossalarini isbotlash sahifasida berilgan
Cheksiz katta ketma-ketliklarning xossalari >>>.
Ketma-ketliklarning yaqinlashuv mezonlari
Monoton ketma-ketliklar
Qat'iy ortib boruvchi ketma-ketlik barcha elementlari uchun quyidagi tengsizliklarga ega bo'lgan ketma-ketlikdir:.
Boshqa monoton ketma-ketliklar shunga o'xshash tengsizliklar bilan belgilanadi.
Qat'iy kamayib boruvchi ketma-ketlik:
.
Kamaymaydigan ketma-ketlik:
.
O'smaydigan ketma-ketlik:
.
Bundan kelib chiqadiki, qat'iy ortib boruvchi ketma-ketlik ham kamaymaydi. Qattiq kamayib boruvchi ketma-ketlik ham ortib bormaydi.
Monotonik ketma-ketlik kamaymaydigan yoki ortib bormaydigan ketma-ketlikdir.
Monotonik ketma-ketlik hech bo'lmaganda bir tomondan qiymat bilan cheklangan. Kamaymaydigan ketma-ketlik pastdan chegaralangan:. O'smaydigan ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan:.
Weierstrass teoremasi... Kamaymaydigan (o'smaydigan) ketma-ketlikning chekli chegarasi bo'lishi uchun uning yuqoridan (pastdan) chegaralangan bo'lishi zarur va yetarlidir. Bu erda M qandaydir raqam.
Har qanday kamaymaydigan (ortmaydigan) ketma-ketlik pastdan (yuqoridan) chegaralanganligi sababli, Veyershtrass teoremasini quyidagicha ifodalash mumkin:
Monotonik ketma-ketlikning chekli chegarasi bo'lishi uchun uning cheklangan bo'lishi zarur va etarli:.
Monoton chegaralanmagan ketma-ketlik kamaymaydigan va o'smaydigan ketma-ketlik uchun teng cheksiz chegaraga ega.
Veyershtras teoremasining isboti sahifada berilgan
Monoton ketma-ketlikning chegarasi haqidagi Veyershtras teoremasi >>>.
Ketma-ketlikning yaqinlashuvi uchun Koshi mezoni
Koshi holatiKetma-ketlik qanoatlantiradi Koshi holati agar birortasi uchun shunday natural son mavjud bo‘lsa, shartni qanoatlantiradigan barcha natural n va m sonlar uchun tengsizlik bo‘ladi.
.
Asosiy ketma-ketlik qanoatlantiradigan ketma-ketlikdir Koshi holati.
Ketma-ketlikning yaqinlashuvi uchun Koshi mezoni... Ketma-ketlik chekli chegaraga ega bo'lishi uchun uning Koshi shartini qondirishi zarur va etarli.
Koshi konvergentsiyasi mezonining isboti sahifada berilgan
Ketma-ketlikning yaqinlashuvi uchun Koshi mezoni >>>.
Quyi ketma-ketliklar
Bolzano - Weierstrass teoremasi... Har qanday chegaralangan ketma-ketlikdan konvergent quyi ketma-ketlikni tanlash mumkin. Va har qanday cheklanmagan ketma-ketlikdan - yoki ga yaqinlashuvchi cheksiz katta pastki ketma-ketlik.
Bolzano - Veyershtras teoremasining isboti sahifada berilgan
Bolzano - Veyershtras teoremasi >>>.
Quyi ketma-ketliklar va qisman chegaralarning taʼriflari, teoremalari va xossalari uchun sahifaga qarang
Ketma-ketliklarning pastki ketma-ketliklari va qisman chegaralari >>>.
Adabiyotlar:
SM. Nikolskiy. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 1983 yil.
L. D. Kudryavtsev. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 2003 yil.
V.A. Zorich. Matematik tahlil. 1-qism. Moskva, 1997 yil.
V.A. Ilyin, E.G. Poznyak. Matematik analiz asoslari. 1-qism. Moskva, 2005 yil.
Raqamlar ketma-ketligi chegarasi- son fazo elementlari ketma-ketligi chegarasi. Raqamli fazo metrik fazo bo'lib, undagi masofa elementlar orasidagi farq moduli sifatida aniqlanadi. Shuning uchun raqam chaqiriladi ketma-ketlik chegarasi agar biron bir uchun tengsizlik bajariladigan raqamga bog'liq bo'lsa.
Haqiqiy sonlar ketma-ketligi chegarasi tushunchasi juda oddiy va kompleks sonlarda ketma-ketlik chegarasining mavjudligi kompleks sonlarning haqiqiy va xayoliy qismlarining tegishli ketma-ketliklari chegaralarining mavjudligiga tengdir. .
Limit (sonli ketma-ketlik) matematik analizning asosiy tushunchalaridan biridir. Har bir haqiqiy sonni kerakli qiymatga yaqinlashishlar ketma-ketligi chegarasi sifatida ko'rsatish mumkin. Sanoq tizimi ushbu malaka ketma-ketligini ta'minlaydi. Irratsional butun sonlar davriy yaqinlashishlar ketma-ketligi bilan, irratsional sonlar esa davriy bo‘lmagan yaqinlashishlar ketma-ketligi bilan tavsiflanadi.
Sonli usullarda sonlarni chekli sonli belgilar bilan tasvirlash qo`llaniladigan holda, yaqinlashish tizimini tanlash alohida o`rin tutadi. Yaqinlashishlar tizimining sifati mezoni yaqinlashuv tezligi hisoblanadi. Shu nuqtai nazardan, davomli fraksiyalar samarali bo'ladi.
Ta'rif
Raqam chaqiriladi sonli ketma-ketlikning chegarasi agar ketma-ketlik cheksiz kichik bo'lsa, ya'ni uning barcha elementlari, ba'zilaridan boshlab, oldindan olingan har qanday musbat sondan kamroq mutlaq qiymatda bo'ladi.
Agar sonli ketma-ketlik haqiqiy son shaklida chegaraga ega bo'lsa, u deyiladi yaqinlashish bu raqamga. Aks holda, ketma-ketlik chaqiriladi ajralish ... Bundan tashqari, u cheksiz bo'lsa, uning chegarasi cheksizlikka teng deb hisoblanadi.
Bundan tashqari, agar chegaralanmagan ketma-ketlikning barcha elementlari qandaydir sondan boshlab musbat belgiga ega bo'lsa, bunday ketma-ketlikning chegarasi deyiladi. ortiqcha cheksizlik .
Agar chegaralanmagan ketma-ketlikning elementlari ma'lum bir sondan boshlab manfiy belgiga ega bo'lsa, ular bunday ketma-ketlikning chegarasi deb aytishadi. minus cheksizlik .
Ushbu ta'rifning halokatli kamchiligi bor: u chegara nima ekanligini tushuntiradi, lekin uni hisoblash usulini ham, uning mavjudligi haqida ma'lumot ham bermaydi. Bularning barchasi quyida isbotlangan chegaraning xususiyatlaridan kelib chiqadi.
Bugun darsda biz tahlil qilamiz qat'iy ketma-ketlik va funktsiya chegarasining qat'iy ta'rifi, shuningdek, nazariy xarakterdagi tegishli muammolarni hal qilishni o'rganing. Maqola, birinchi navbatda, matematik tahlil nazariyasini o'rganishni boshlagan va oliy matematikaning ushbu bo'limini tushunishda qiyinchiliklarga duch kelgan tabiiy fanlar va muhandislik-texnika yo'nalishlarining 1-kurs talabalari uchun mo'ljallangan. Bundan tashqari, material o'rta maktab o'quvchilari uchun juda qulay.
Sayt mavjud bo'lgan yillar davomida men taxminan quyidagi mazmundagi o'nlab xatlarni oldim: "Men matematik tahlilni tushunmayapman, nima qilishim kerak?", "Men matanni umuman tushunmayapman, menimcha, men tushunaman. o'qishimni tashla" va boshqalar. Darhaqiqat, birinchi mashg'ulotdan so'ng ko'pincha talabalar guruhini yupqalashtiradigan matandir. Nima uchun bu shunday? Chunki mavzu nihoyatda qiyinmi? Umuman yo'q! Matematik tahlil nazariyasi o'ziga xos bo'lganidek qiyin emas... Va siz uni kimligi uchun qabul qilishingiz va sevishingiz kerak =)
Keling, eng yomon holatdan boshlaylik. Avvalo, maktabni tark etishning hojati yo'q. To'g'ri tushuning, tashlab ketish har doim o'z vaqtida bo'ladi ;-) Albatta, agar bir yoki ikki yildan keyin siz tanlagan mutaxassislikdan kasal bo'lib qolsangiz, unda ha - bu haqda o'ylashingiz kerak. (va isitmani urmang!) faoliyatning o'zgarishi haqida. Ammo hozircha buni davom ettirishga arziydi. Va, iltimos, "Men hech narsani tushunmayapman" iborasini unuting - siz umuman hech narsani tushunmaysiz.
Agar nazariya yomon bo'lsa-chi? Aytgancha, bu nafaqat matematik tahlilga tegishli. Agar nazariya yomon bo'lsa, avval siz JIDDIY amaliyot bilan shug'ullanishingiz kerak. Shu bilan birga, bir vaqtning o'zida ikkita strategik vazifa hal qilinmoqda:
- Birinchidan, nazariy bilimlarning salmoqli qismi amaliyotdan olingan. Va shuning uchun ko'p odamlar nazariyani ... orqali tushunishadi - bu to'g'ri! Yo'q, yo'q, siz bu haqda o'ylamagan edingiz =)
- Ikkinchidan, amaliy ko'nikmalar sizni imtihonda "cho'zish" mumkin, hatto ... bo'lsa ham, lekin bunday sozlamaylik! Hamma narsa haqiqat va hamma narsa juda qisqa vaqt ichida "ko'tarish" uchun haqiqiydir. Matematik tahlil - bu oliy matematikaning eng sevimli sohasi, shuning uchun men sizga yordam qo'lini cho'zmasdan ilojim yo'q edi:
1-semestr boshida, odatda, ketma-ketlik chegaralari va funktsiyalar chegaralari o'tadi. Bu nima ekanligini tushunmayapsizmi va ularni qanday hal qilishni bilmayapsizmi? Maqola bilan boshlang Funktsiya chegaralari, unda "barmoqlarda" tushunchaning o'zi ko'rib chiqiladi va eng oddiy misollar tahlil qilinadi. Keyin mavzu bo'yicha boshqa darslar, jumladan, dars bilan ishlang ketma-ketliklar ichida Bu borada men allaqachon qat'iy ta'rifni ishlab chiqqanman.
Tengsizliklar va modullardan tashqari qanday belgilarni bilasiz?
- uzun vertikal tayoq quyidagicha o'qiydi: "Bunday", "bunday", "bunday" yoki "bunday", bizning holatlarimizda, aniqki, biz raqam haqida gapiramiz - shuning uchun "bunday";
- hamma uchun "en", kattaroq;
– modul belgisi masofani bildiradi, ya'ni. bu yozuv bizga qiymatlar orasidagi masofa epsilondan kamroq ekanligini aytadi.
Bu halokatli qiyinmi? =)
Amaliyotni o'zlashtirgandan so'ng, men sizni keyingi xatboshida kutaman:
Va aslida, keling, bir oz o'ylab ko'raylik - ketma-ketlikning qat'iy ta'rifini qanday shakllantirish kerak? ...Dunyoda xayolga keladigan birinchi narsa amaliy mashg'ulotlar: "Tartibning chegarasi - ketma-ketlik a'zolari cheksiz yaqin bo'lgan sondir."
Mayli, imzo qo'yamiz keyingi ketma-ketlik :
Buni tushunish qiyin emas keyingi ketma-ketlik 
-1 ga cheksiz yaqin va juft sonli hadlar 
- "bir" ga.
Yoki ikkita chegara bormi? Lekin nega ba'zi ketma-ketlikda o'n yoki yigirma bo'lishi mumkin emas? Bu uzoqqa borishi mumkin. Shu munosabat bilan, deb taxmin qilish mantiqan to'g'ri keladi agar ketma-ketlikning chegarasi bo'lsa, u yagonadir.
Eslatma : ketma-ketlikning chegarasi yo'q, lekin undan ikkita kichik ketma-ketlikni ajratish mumkin (yuqoriga qarang), ularning har biri o'z chegarasiga ega.
Shunday qilib, yuqoridagi ta'rif asossiz bo'lib chiqadi. Ha, u kabi holatlar uchun ishlaydi (amaliy misollarning soddalashtirilgan tushuntirishlarida men unchalik to'g'ri foydalanmadim), lekin endi biz qat'iy ta'rifni topishimiz kerak.
Ikkinchi urinish: "ketma-ketlik chegarasi - bu ketma-ketlikning BARCHA a'zolari yaqinlashadigan raqam, ehtimol ularning sonidan tashqari. final miqdori ". Bu haqiqatga yaqinroq, ammo baribir to'liq aniq emas. Shunday qilib, masalan, ketma-ketlik 
a'zolarning yarmi nolga umuman yaqinlashmaydi - ular shunchaki unga teng =) Aytgancha, "flasher" odatda ikkita sobit qiymatni oladi.
Formulyatsiyani aniqlashtirish qiyin emas, lekin keyin yana bir savol tug'iladi: ta'rifni matematik belgilarda qanday yozish kerak? Vaziyat hal bo'lgunga qadar ilm-fan dunyosi bu muammo ustida uzoq vaqt kurashdi mashhur maestro, bu mohiyatan klassik hisob-kitobni butun jiddiyligi bilan rasmiylashtirgan. Koshi operatsiya qilishni taklif qildi atrof-muhit , nazariyani sezilarli darajada ilgari surdi.
Muayyan nuqtani va uni ko'rib chiqing o'zboshimchalik bilan-Turar joy dahasi:
"Epsilon" so'zining ma'nosi har doim ijobiydir va bundan tashqari, uni o'zimiz tanlashga haqlimiz... Aytaylik, ma'lum bir mahallada bir qator shartlar mavjud (hammasi shart emas) ba'zi ketma-ketlik. Masalan, o'ninchi a'zo mahallaga kirganini qanday yozish kerak? Uning o'ng tomonida bo'lsin. Keyin nuqtalar orasidagi masofa "epsilon" dan kam bo'lishi kerak:. Biroq, agar "x o'ninchi" "a" nuqtasining chap tomonida joylashgan bo'lsa, farq salbiy bo'ladi va shuning uchun unga belgi qo'shishingiz kerak. modul: .
Ta'rif: agar raqam ketma-ketlikning chegarasi deyiladi har qanday uchun uning atrofi (oldindan tanlangan) natural son bor - BUNDAY HAMMA Yuqori raqamlarga ega bo'lgan ketma-ketlik a'zolari mahalla ichida bo'ladi:
Yoki qisqasi: agar
Ya’ni, “epsilon”ning qiymati qanchalik kichik bo‘lmasin, ertami-kechmi ketma-ketlikning “cheksiz dumi” bu mahallada TO‘LIM bo‘ladi.
Shunday qilib, masalan, ketma-ketlikning "cheksiz dumi" FULLY nuqtaning har qanday o'zboshimchalik bilan kichik qo'shnisiga kiradi. Shunday qilib, bu qiymat ta'rif bo'yicha ketma-ketlikning chegarasidir. Sizga shuni eslatamanki, chegarasi nolga teng bo'lgan ketma-ketlik chaqiriladi cheksiz kichik.
Shuni ta'kidlash kerakki, ketma-ketlik uchun endi "cheksiz quyruq" deyish mumkin emas keladi"- toq sonli a'zolar aslida nolga teng va" hech qaerga bormaydi "=) Shuning uchun" paydo bo'ladi "fe'li ta'rifda ishlatiladi. Va, albatta, bunday ketma-ketlikning a'zolari ham "hech qaerga bormaydilar". Aytgancha, raqam chegara ekanligini tekshiring.
Endi biz ketma-ketlikning chegarasi yo'qligini ko'rsatamiz. Masalan, nuqtaning qo'shnisini ko'rib chiqaylik. BARCHA a'zolar ma'lum bir mahallada bo'ladigan bunday raqam yo'qligi aniq - toq a'zolar har doim "minus bir" ga "sakrab chiqadilar". Xuddi shunday sababga ko'ra, nuqtada hech qanday chegara yo'q.
Keling, materialni amaliyot bilan tuzatamiz:
1-misol
Ketma-ketlik chegarasi nolga teng ekanligini isbotlang. Nuqtaning istalgan kichik qo'shnisida ketma-ketlikning barcha a'zolariga kafolat beriladigan raqamni ko'rsating.
Eslatma : ko'p ketma-ketliklar uchun kerakli natural son qiymatga bog'liq - shuning uchun yozuv.
Yechim: o'ylab ko'ring o'zboshimchalik bilan bormi raqam - shunday qilib, raqamlari yuqori bo'lgan HAMMA a'zolar shu mahallada bo'ladi:
Istalgan raqamning mavjudligini ko'rsatish uchun biz orqali ifodalaymiz.
"en" ning har qanday qiymati uchun modul belgisi olib tashlanishi mumkin:
Biz darslarda takrorlagan tengsizliklar bilan "maktab" harakatlaridan foydalanamiz Chiziqli tengsizliklar va Funktsiya doirasi... Bunday holda, "epsilon" va "en" ning ijobiy ekanligi muhim holat:
Chapda biz natural sonlar haqida gapiramiz va o'ng tomon odatda kasr bo'lgani uchun uni yaxlitlash kerak:
Eslatma : ba'zan xavfsiz tomonda bo'lish uchun o'ngga bir birlik qo'shiladi, lekin bu aslida ortiqcha. Nisbatan aytganda, agar yaxlitlash orqali natijani ham zaiflashtirsak, u holda eng yaqin mos raqam ("uch") baribir dastlabki tengsizlikni qondiradi.
Endi biz tengsizlikka qaraymiz va dastlab ko'rib chiqqanimizni eslaymiz o'zboshimchalik bilan-mahalla, ya'ni. Epsilon ga teng bo'lishi mumkin har qanday ijobiy raqam.
Chiqish: nuqtaning har qanday o'zboshimchalik bilan kichik -qo'shnisi uchun, qiymat 
... Shunday qilib, raqam ta'rif bo'yicha ketma-ketlikning chegarasidir. Q.E.D.
Aytgancha, olingan natijadan 
tabiiy qonuniyat yaqqol ko'rinadi: mahalla qanchalik kichik bo'lsa, raqam shunchalik katta bo'ladi, shundan so'ng ketma-ketlikning HAMMA a'zolari berilgan mahallada bo'ladi. Ammo "epsilon" qanchalik kichik bo'lmasin, har doim ichida "cheksiz dum" bo'ladi va tashqarida - hatto katta bo'lsa ham, lekin final a'zolar soni.
Taassurotlaringiz qanday? =) Men g'alati ekanligiga qo'shilaman. Lekin qat'iy! Iltimos, hamma narsani qayta o'qing va tushuning.
Keling, shunga o'xshash misolni ko'rib chiqaylik va boshqa texnikani o'rganamiz:
2-misol
Yechim: ketma-ketlikning ta'rifiga ko'ra, buni isbotlash kerak (biz baland ovozda aytamiz !!!).
O'ylab ko'ring o'zboshimchalik bilan-nuqtaning qo'shnisi va tekshiring mavjudmi natural son - shundayki, barcha katta sonlar uchun quyidagi tengsizlik bajariladi: 
Bundaylarning mavjudligini ko'rsatish uchun siz "epsilon" orqali "en" ni ifodalashingiz kerak. Modul belgisi ostidagi ifodani soddalashtiramiz: 
Modul minus belgisini yo'q qiladi: 
Denominator har qanday "en" uchun ijobiydir, shuning uchun tayoqlarni olib tashlash mumkin:
Aralash: 
Endi biz kvadrat ildizni ajratib olishimiz kerak, ammo ushlash shundaki, ba'zi epsilonlar uchun o'ng tomon salbiy bo'ladi. Ushbu muammodan qochish uchun mustahkamlanadi modul tengsizligi: 
Nima uchun buni qilish mumkin? Agar shartli ravishda aytilgan bo'lsa, unda bundan ham ko'proq shart bajariladi. Modul mumkin faqat ortadi kerakli raqam va bu bizga ham mos keladi! Taxminan aytganda, agar yuzinchi mos bo'lsa, unda 200-chi qiladi! Ta'rifga ko'ra, ko'rsatish kerak raqamning mavjudligi haqiqati(hech bo'lmaganda ba'zi), shundan keyin ketma-ketlikning barcha a'zolari -mahallada bo'ladi. Aytgancha, shuning uchun biz o'ng tomonning oxirgi yaxlitlashidan qo'rqmaymiz.
Ildizni ajratib oling: 
Va natijani yaxlitlash: 
Chiqish: beri "epsilon" qiymati o'zboshimchalik bilan tanlangan, keyin nuqtaning har qanday o'zboshimchalik bilan kichik qo'shnisi uchun qiymat topilgan. 
, shunday qilib, barcha katta sonlar uchun tengsizlik 
... Shunday qilib, 
a-prior. Q.E.D.
Maslahat bering ayniqsa tengsizliklarning kuchayishi va zaiflashishini tushunish - bu matematik tahlilning tipik va juda keng tarqalgan usullari. Kuzatishingiz kerak bo'lgan yagona narsa - bu yoki boshqa harakatning to'g'riligi. Masalan, tengsizlik 
hech qanday sharoitda bo'shatmoq ayirish orqali, aytaylik, bir: 
Shunga qaramay, shartli ravishda: agar raqam to'liq mos kelsa, avvalgisi endi mos kelmasligi mumkin.
Quyidagi misol o'z-o'zidan hal qilish uchundir:
3-misol
Ketma-ketlik ta'rifidan foydalanib, buni isbotlang 
Qo'llanma oxirida qisqacha yechim va javob.
Agar ketma-ketlik cheksiz ajoyib, u holda chegaraning ta'rifi shunga o'xshash tarzda tuziladi: nuqta ketma-ketlikning chegarasi deb ataladi, agar mavjud bo'lsa, xohlaganingizcha katta soni bo'lsa, shunday raqam borki, barcha katta raqamlar uchun tengsizlik saqlanib qoladi. Raqam chaqiriladi "plyus cheksizlik" nuqtasiga yaqinlik:
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, biz qanchalik katta qiymat olsak ham, ketma-ketlikning "cheksiz dumi" chap tomonda faqat cheklangan sonli a'zolarni qoldirib, nuqtaning qo'shnisiga o'tadi.
Vazifa namunasi:
Va stenografiya: agar
Vaqti-vaqti bilan ta'rifni o'zingiz yozing. To'g'ri versiya dars oxirida.
Amaliy misollarni o'rganib, ketma-ketlik chegarasini qanday aniqlashni tushunganingizdan so'ng, siz matematik tahlil adabiyotiga va/yoki ma'ruza kitobingizga murojaat qilishingiz mumkin. Men Bohanning 1-jildini yuklab olishni tavsiya qilaman (oddiyroq - sirtqi talabalar uchun) va Fichtengolts (batafsilroq va batafsil)... Boshqa mualliflar qatorida men Piskunovga maslahat beraman, uning kursi texnik universitetlarga qaratilgan.
Ketma-ketlik chegarasi, ularning isboti, xulosasiga taalluqli teoremalarni vijdonan o'rganishga harakat qiling. Nazariya dastlab “xushchaqchaq”dek tuyulishi mumkin, ammo bu yaxshi emas – ko‘nikish uchun biroz vaqt kerak bo‘ladi. Va ko'pchilik hatto ta'mga ega bo'ladi!
Funktsiya chegarasining qat'iy ta'rifi
Xuddi shu narsadan boshlaylik - bu kontseptsiyani qanday shakllantirish kerak? Funktsiya chegarasining og'zaki ta'rifi ancha sodda tarzda tuzilgan: "son - bu funktsiyaning chegarasi, agar" x" bilan (chap va o'ng), funktsiyaning mos qiymatlari "ga moyil bo'ladi. (rasmga qarang)... Hamma narsa normaldek tuyuladi, lekin so'zlar - so'zlar, ma'no - ma'no, piktogramma - bu ikona va qat'iy matematik belgilar etarli emas. Va ikkinchi xatboshida biz ushbu masalani hal qilishning ikkita yondashuvi bilan tanishamiz.
Funksiya nuqtadan tashqari ba'zi bir intervalda aniqlansin. O'quv adabiyotlarida bu funksiya mavjud deb qabul qilinadi emas belgilangan: 
Bu tanlov ta'kidlaydi funksiya chegarasining mohiyati: "X" cheksiz yaqin yondashuvlar va mos keladigan funktsiya qiymatlari - cheksiz yaqin ga. Boshqacha qilib aytganda, chegara tushunchasi nuqtalarga, ya'ni, "aniq yondashuv" ni anglatmaydi cheksiz yaqinlik, funktsiya nuqtada aniqlangan yoki aniqlanmaganligi muhim emas.
Funktsiya chegarasining birinchi ta'rifi, ajablanarli emas, ikkita ketma-ketlik yordamida tuzilgan. Birinchidan, tushunchalar o'zaro bog'liq, ikkinchidan, funktsiyalar chegaralari odatda ketma-ketlik chegaralaridan keyin o'rganiladi.
Ketma-ketlikni ko'rib chiqing 
ball (chizmada ko'rsatilmagan) intervalga tegishli va dan boshqa qaysi birlashadi ga. Keyin funksiyaning tegishli qiymatlari ham a'zolari ordinat o'qida joylashgan sonli ketma-ketlikni hosil qiladi.
Geyne funktsiyasi chegarasi har qanday uchun nuqta ketma-ketligi 
(to'g'ri keladi va boshqa) nuqtaga yaqinlashsa, funktsiya qiymatlarining mos keladigan ketma-ketligi yaqinlashadi.
Eduard Geyne - nemis matematiki. ... Va shunga o'xshash narsa haqida o'ylashning hojati yo'q, Evropada faqat bitta gey bor - bu Gey Lussak =)
Limitning ikkinchi ta'rifi qurilgan ... ha, siz haqsiz. Lekin birinchi navbatda uning dizaynini ko'rib chiqaylik. Nuqtaning o'zboshimchalik bilan qo'shniligini ko'rib chiqing ("Qora" mahallasi)... Oldingi paragrafga asoslanib, belgi shuni anglatadi qandaydir ma'no funksiya epsilon mahallasida joylashgan.
Endi biz berilgan -mahallaga mos keladigan -mahallani topamiz (qora nuqtali chiziqlarni aqliy ravishda chapdan o'ngga, so'ngra yuqoridan pastga qarating)... E'tibor bering, qiymat olinmoqda kichikroq segmentning uzunligi bo'ylab, bu holda - qisqaroq chap segmentning uzunligi bo'ylab. Bundan tashqari, "qizil" - nuqtaning atrofini hatto qisqartirish mumkin, chunki quyidagi ta'rifda mavjudligi haqiqatining o'zi muhimdir bu mahalla. Va shunga o'xshab, belgi "delta" mahallasi ichida qandaydir qiymat mavjudligini anglatadi.
Funksiyaning Koshi chegarasi: songa funktsiyaning nuqtadagi chegarasi deyiladi har qanday uchun oldindan tanlangan Turar joy dahasi (kichik bo'lsa ham), mavjud- punktning mahallasi, BUNDAY bu: FAQAT qadriyatlar sifatida (egalik) ushbu mahallaga kiritilgan: (qizil o'qlar)- SHUNDAN DARXOL funktsiyaning mos qiymatlari qo'shni hududga kirishi kafolatlanadi: (ko'k o'qlar).
Men sizni ogohlantirishim kerakki, aniqroq bo'lish uchun men biroz improvizatsiya qildim, shuning uchun ortiqcha ishlatmang =)
Qisqa yozuv: agar
Ta'rifning mohiyati nimada? Majoziy ma'noda, qo'shnichilikni cheksiz kamaytirsak, biz funktsiya qiymatlariga uning chegarasigacha "hamrohlik qilamiz" va ularga boshqa joyga yaqinlashish uchun alternativa qoldirmaymiz. Juda g'ayrioddiy, lekin yana qat'iy! Fikrni to'g'ri tushunish uchun so'zlarni qayta o'qing.
! Diqqat: agar siz faqat shakllantirishingiz kerak bo'lsa Heine ta'rifi yoki faqat Koshi ta'rifi iltimos unutmang muhim dastlabki izoh: "Ma'lum bir oraliqda aniqlangan funktsiyani ko'rib chiqing, mumkin bo'lgan nuqta bundan mustasno."... Men buni boshida bir marta aytdim va har safar takrorlamadim.
Tegishli matematik tahlil teoremasiga ko'ra, Geyne va Koshiga ko'ra ta'riflar ekvivalentdir, ammo eng mashhuri ikkinchi versiyadir. (hali ham bo'lardi!), bu "til chegarasi" deb ham ataladi:
4-misol
Limit ta'rifidan foydalanib, buni isbotlang 
Yechim: funktsiya nuqtadan tashqari butun son chizig'ida aniqlanadi. Ta'rifdan foydalanib, biz berilgan nuqtada chegara mavjudligini isbotlaymiz.
Eslatma : "delta" ning qiymati -mahalla "epsilon" ga bog'liq, shuning uchun yozuv
O'ylab ko'ring o'zboshimchalik bilan-Turar joy dahasi. Vazifa bu qiymat bo'yicha tekshirish, mavjudmi-Turar joy dahasi, BUNDAY, bu tengsizlikdan 
tengsizlik kelib chiqadi 
.
Faraz qilsak, oxirgi tengsizlikni o'zgartiramiz: 
(kvadrat trinomialni parchaladi)
Matematika dunyoni quruvchi fandir. Olim ham, oddiy odam ham - usiz hech kim qila olmaydi. Birinchidan, yosh bolalarga hisoblash, keyin qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish o'rgatiladi, harf belgilari o'rta maktab tomonidan o'ynaydi, kattaroq esa ularsiz qilolmaysiz.
Ammo bugun biz barcha ma'lum matematika nimaga asoslanganligi haqida gaplashamiz. "ketma-ketlik chegaralari" deb nomlangan raqamlar jamoasi haqida.
Ketma-ketliklar nima va ularning chegarasi qayerda?
“Kart” so‘zining ma’nosini izohlash qiyin emas. Bu kimdir yoki biror narsa ma'lum bir tartibda yoki navbatda joylashtirilgan narsalarning shunday qurilishidir. Misol uchun, hayvonot bog'iga chiptalar uchun navbat ketma-ketlikdir. Bundan tashqari, faqat bitta bo'lishi mumkin! Agar, masalan, do'kondagi navbatga qarasangiz, bu bitta ketma-ketlik. Va agar bir kishi to'satdan bu navbatni tark etsa, bu boshqa navbat, boshqa tartib.
“Chek” so‘zi ham oson talqin qilinadi – bu biror narsaning oxiri. Biroq, matematikada ketma-ketlik chegaralari raqamlar qatori moyil bo'lgan raqamlar chizig'idagi qiymatlardir. Nega intilish kerak va tugamaslik kerak? Bu oddiy, raqamlar qatorining oxiri yo'q va ko'pgina ketma-ketliklar, masalan, nurlar, faqat boshlanishiga ega va quyidagicha ko'rinadi:
x 1, x 2, x 3, ... x n ...
Demak, ketma-ketlikning ta'rifi tabiiy argumentning funktsiyasidir. Oddiyroq qilib aytganda, bu to'plam a'zolari qatoridir.
Raqamlar ketma-ketligi qanday tuzilgan?
Raqamli ketma-ketlikning eng oddiy misoli quyidagicha ko'rinishi mumkin: 1, 2, 3, 4, ... n ...
Aksariyat hollarda amaliy maqsadlar uchun ketma-ketliklar raqamlardan tuziladi va seriyaning har bir keyingi a'zosi, uni X bilan belgilaymiz, o'z nomiga ega. Masalan:
x 1 - ketma-ketlikning birinchi a'zosi;
x 2 - ketma-ketlikning ikkinchi a'zosi;
x 3 - uchinchi muddat;
x n - n-son.
Amaliy usullarda ketma-ketlik qandaydir o'zgaruvchi mavjud bo'lgan umumiy formula bilan beriladi. Masalan:
X n = 3n, keyin raqamlar qatorining o'zi quyidagicha ko'rinadi:
Shuni esdan chiqarmaslik kerakki, ketma-ketliklarni umumiy yozishda siz faqat X emas, balki har qanday lotin harflaridan foydalanishingiz mumkin. Masalan: y, z, k va boshqalar.
Arifmetik progressiya ketma-ketlikning bir qismi sifatida
Ketma-ketlik chegaralarini izlashdan oldin, o'rta sinflarda hamma duch kelgan shunga o'xshash raqamlar seriyasining kontseptsiyasiga chuqurroq kirib borish tavsiya etiladi. Arifmetik progressiya - qo'shni hadlar orasidagi farq doimiy bo'lgan sonlar qatoridir.
Masala: “a 1 = 15, sonlar qatori progressiyasining qadami d = 4 bo'lsin. Ushbu qatorning birinchi 4 a'zosini yarating "
Yechish: a 1 = 15 (shart bo'yicha) - progressiyaning birinchi a'zosi (sonlar qatori).
va 2 = 15 + 4 = 19 - progressiyaning ikkinchi hadi.
va 3 = 19 + 4 = 23 uchinchi haddir.
va 4 = 23 + 4 = 27 - to'rtinchi muddat.
Biroq, bu usul yordamida katta qiymatlarga erishish qiyin, masalan, 125.. ga. Ayniqsa, bunday holatlar uchun qulay formula olingan: a n = a 1 + d (n-1). Bunday holda, 125 = 15 + 4 (125-1) = 511.
Ketma-ketlik turlari
Ko'pgina ketma-ketliklar cheksiz va umr bo'yi eslab qolishga arziydi. Raqamlar seriyasining ikkita qiziqarli turi mavjud. Birinchisi a n = (- 1) n formula bilan berilgan. Matematiklar ko'pincha bu ketma-ketlikni miltillovchi yorug'lik deb atashadi. Nega? Keling, uning raqamli qatorini tekshiramiz.
1, 1, -1, 1, -1, 1, va hokazo. Ushbu misol orqali ketma-ketlikdagi raqamlarni osongina takrorlash mumkinligi aniq bo'ladi.
Faktoriy ketma-ketlik. Buni taxmin qilish oson - formulada ketma-ketlikni belgilaydigan faktorial mavjud. Masalan: va n = (n + 1)!
Keyin ketma-ketlik quyidagicha ko'rinadi:
a 2 = 1x2x3 = 6;
a 3 = 1x2x3x4 = 24 va boshqalar.
Arifmetik progressiya tomonidan berilgan ketma-ketlik, agar tengsizlik -1 bo'lsa, cheksiz kamayuvchi deyiladi. a 3 = - 1/8 va boshqalar. Hatto bir xil raqamning ketma-ketligi ham mavjud. Shunday qilib, va n = 6 cheksiz oltilik to'plamidan iborat. Ketma-ketlik chegaralari matematikada uzoq vaqtdan beri mavjud. Albatta, ular o'zlarining aqlli dizayniga loyiqdirlar. Shunday qilib, ketma-ketlik chegaralarining ta'rifini topish vaqti keldi. Boshlash uchun chiziqli funktsiya chegarasini batafsil ko'rib chiqing: Ketma-ketlik chegarasining ta'rifini quyidagicha shakllantirish mumkinligini tushunish oson: bu ma'lum bir son bo'lib, ketma-ketlikning barcha a'zolari cheksiz yaqinlashadi. Oddiy misol: a x = 4x + 1. Keyin ketma-ketlikning o'zi shunday ko'rinadi. 5, 9, 13, 17, 21 ... x ... Shunday qilib, bu ketma-ketlik cheksiz ravishda oshadi va shuning uchun uning chegarasi x → ∞ kabi cheksizlikka teng va buni quyidagicha yozish kerak: Agar shunga o'xshash ketma-ketlikni olsak, lekin x 1 ga moyil bo'lsa, biz quyidagilarni olamiz: Va raqamlar qatori shunday bo'ladi: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, va hokazo. Har safar raqamni bittaga yaqinroq (0,1, 0,2, 0,9, 0,986) almashtirish kerak. Bu qatordan funktsiyaning chegarasi beshta ekanligini ko'rish mumkin. Bu qismdan sonli ketma-ketlikning chegarasi nima ekanligini, oddiy muammolarni hal qilishning ta'rifi va usulini esga olish kerak. Raqamli ketma-ketlikning chegarasini, uning ta'rifi va misollarini qismlarga ajratgandan so'ng, siz yanada murakkab mavzuga o'tishingiz mumkin. Ketma-ketlikning barcha chegaralari odatda birinchi semestrda tahlil qilinadigan bitta formula bilan tuzilishi mumkin. Xo'sh, bu harflar, modullar va tengsizlik belgilari to'plami nimani anglatadi? ∀ universal kvant boʻlib, “hamma uchun”, “hamma narsa uchun” va hokazo iboralarni almashtiradi. ∃ - ekzistensial kvant, bu holda natural sonlar to'plamiga tegishli bo'lgan qandaydir N qiymat borligini bildiradi. N dan keyingi uzun vertikal tayoq berilgan N to'plami "shunday" ekanligini bildiradi. Amalda bu "bunday", "bunday" va hokazo ma'nolarni anglatishi mumkin. Materialni birlashtirish uchun formulani ovoz chiqarib o'qing. Yuqorida ko'rib chiqilgan ketma-ketliklar chegarasini topish usulidan foydalanish oson, lekin amalda unchalik oqilona emas. Quyidagi kabi funktsiya uchun chegarani topishga harakat qiling: Agar biz "x" ning turli qiymatlarini almashtirsak (har safar ortib boruvchi: 10, 100, 1000 va boshqalar), u holda biz hisoblagichda ∞, lekin maxrajda ham ∞ ni olamiz. Bu juda g'alati kasr bo'lib chiqdi: Lekin haqiqatan ham shundaymi? Bu holda sonli ketma-ketlikning chegarasini hisoblash juda oson ko'rinadi. Hamma narsani avvalgidek qoldirish mumkin, chunki javob tayyor va u maqbul shartlarda olingan, ammo bunday holatlar uchun boshqa yo'l bor. Birinchidan, kasrning numeratoridagi eng yuqori darajani topamiz - bu 1, chunki x ni x 1 sifatida ifodalash mumkin. Endi maxrajdagi eng yuqori darajani topamiz. Shuningdek, 1. Numeratorni ham, maxrajni ham o'zgaruvchiga eng yuqori darajaga bo'ling. Bu holda kasrni x 1 ga bo'lamiz. Keyinchalik, o'zgaruvchini o'z ichiga olgan har bir atama moyil bo'lgan qiymatni topamiz. Bunday holda, kasrlar hisobga olinadi. X → ∞ sifatida har bir kasrning qiymati nolga intiladi. Ishni yozma ravishda ro'yxatdan o'tkazishda quyidagi izohlarni kiritish kerak: Quyidagi ifoda olinadi: Albatta, x ni o'z ichiga olgan kasrlar nolga aylanmaydi! Ammo ularning qiymati shunchalik kichikki, uni hisob-kitoblarda hisobga olmaslik mumkin. Aslida, bu holda x hech qachon 0 ga teng bo'lmaydi, chunki siz nolga bo'linmaysiz. Aytaylik, professorning ixtiyorida bir xil murakkab formula bilan berilgan murakkab ketma-ketlik bor. Professor javobni topdi, lekin to'g'rimi? Axir, hamma odamlar noto'g'ri. Bir marta Auguste Koshi ketma-ketlik chegaralarini isbotlashning ajoyib usulini o'ylab topdi. Uning usuli atrofni boshqarish deb nomlangan. Faraz qilaylik, qandaydir a nuqta bor, uning son chizig‘ida har ikki yo‘nalishdagi qo‘shnisi e (“epsilon”). Oxirgi o'zgaruvchi masofa bo'lgani uchun uning qiymati har doim ijobiy bo'ladi. Endi qandaydir x n ketma-ketlikni aniqlaymiz va ketma-ketlikning o'ninchi hadi (x 10) a ning qo'shnisiga kiradi deb faraz qilaylik. Bu faktni matematik tilda qanday yozish mumkin? Aytaylik, x 10 a nuqtadan o'ng tomonda, keyin x 10 -a masofa<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Endi yuqorida aytib o'tilgan formulani amalda tushuntirish vaqti keldi. Agar e> 0 tengsizlik uning chegaralaridan biriga mos kelsa va butun qo'shnilikning natural soni N bo'lsa, ketma-ketlikning yakuniy nuqtasi deb ba'zi bir raqamni atash to'g'ri bo'ladi. ketma-ketlik | xn - a |< ε. Bunday bilimlar bilan ketma-ketlik chegaralari yechimini amalga oshirish, tayyor javobni isbotlash yoki rad etish oson. Ketma-ketlik chegarasi teoremalari nazariyaning muhim tarkibiy qismi bo'lib, ularsiz amaliyotni amalga oshirish mumkin emas. Faqat to'rtta asosiy teorema mavjud, ularni eslab, siz yechim yoki isbot jarayonini sezilarli darajada osonlashtirishingiz mumkin: Ba'zan teskari masalani yechish, sonli ketma-ketlikning berilgan chegarasini isbotlash talab qilinadi. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Formula orqali berilgan ketma-ketlikning chegarasi nolga teng ekanligini isbotlang. Yuqorida ko'rib chiqilgan qoidaga ko'ra, har qanday ketma-ketlik uchun | x n - a | tengsizlik<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Sonning mavjudligini ko'rsatish va ketma-ketlikning chegarasi borligini isbotlash uchun n ni epsilon bilan ifodalaymiz. Ushbu bosqichda "epsilon" va "en" musbat sonlar ekanligini va nolga teng emasligini unutmaslik kerak. Transformatsiya endi o'rta maktabda o'rganilgan tengsizliklar haqidagi bilimlardan foydalangan holda davom ettirilishi mumkin. n> -3 + 1 / e. Tabiiy sonlar haqida gapirayotganimizni esga olish kerak, natijani kvadrat qavs ichiga qo'yish orqali yaxlitlash mumkin. Shunday qilib, a = 0 nuqtaning "epsilon" qo'shniligining istalgan qiymati uchun dastlabki tengsizlik o'rinli bo'ladigan qiymat mavjudligi isbotlandi. Demak, a soni berilgan ketma-ketlikning chegarasi ekanligini ishonch bilan aytishimiz mumkin. Q.E.D. Bunday qulay usul yordamida siz birinchi qarashda qanchalik murakkab bo'lmasin, sonli ketma-ketlikning chegarasini isbotlashingiz mumkin. Asosiysi, topshiriqni ko'rib, vahima qo'ymang. Amalda ketma-ketlik chegarasining mavjudligi shart emas. Haqiqatan ham oxiri bo'lmagan raqamlar qatorini topish oson. Misol uchun, bir xil "flasher" x n = (-1) n. faqat ikkita raqamdan iborat bo'lgan, tsiklik takrorlanadigan ketma-ketlikning chegarasi bo'lmasligi aniq. Xuddi shu voqea hisob-kitoblar jarayonida har qanday tartibning noaniqligiga (0/0, ∞ / ∞, ∞ / 0 va boshqalar) ega bo'lgan bitta raqamdan, kasrdan iborat ketma-ketliklar bilan takrorlanadi. Biroq, noto'g'ri hisoblash ham sodir bo'lishini unutmaslik kerak. Ba'zan o'z yechimingizni qayta tekshirib, ketma-ketliklar chegarasini topishga yordam beradi. Yuqorida biz ketma-ketlikning bir nechta misollarini, ularni hal qilish usullarini ko'rib chiqdik va endi biz aniqroq ishni ko'rib chiqishga harakat qilamiz va uni "monotonik ketma-ketlik" deb nomlaymiz. Ta'rif: qat'iy tengsizlik x n bo'lsa, har qanday ketma-ketlikni monoton ravishda ortib boruvchi deb atash to'g'ri bo'ladi.< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Bu ikki shart bilan bir qatorda shunga o'xshash zaif tengsizliklar ham mavjud. Shunga ko'ra, x n ≤ x n +1 (kamaymaydigan ketma-ketlik) va x n ≥ x n +1 (o'smaydigan ketma-ketlik). Lekin buni misollar bilan tushunish osonroq. x n = 2 + n formulasi bilan berilgan ketma-ketlik quyidagi sonlar qatorini hosil qiladi: 4, 5, 6 va hokazo. Bu monoton ravishda ortib boruvchi ketma-ketlikdir. Va agar biz x n = 1 / n ni olsak, unda biz ketma-ketlikni olamiz: 1/3, ¼, 1/5, va hokazo. Bu monoton ravishda kamayib boruvchi ketma-ketlikdir. Cheklangan ketma-ketlik chegarasi bo'lgan ketma-ketlikdir. Konvergent ketma-ketlik cheksiz kichik chegaraga ega sonlar qatoridir. Shunday qilib, chegaralangan ketma-ketlikning chegarasi har qanday haqiqiy yoki kompleks sondir. Faqat bitta chegara bo'lishi mumkinligini unutmang. Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning chegarasi cheksiz kichik qiymatdir (haqiqiy yoki kompleks). Agar siz ketma-ketlik diagrammasini chizsangiz, unda ma'lum bir nuqtada u xuddi shunday birlashadi va ma'lum bir qiymatga aylanishga intiladi. Shuning uchun nom - konvergent ketma-ketlik. Bunday ketma-ketlikning chegarasi bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Avvaliga bu qachon ekanligini tushunish foydali bo'ladi, siz chegara yo'qligini isbotlashdan boshlashingiz mumkin. Monotonik ketma-ketliklar orasida konverging va diverging ajralib turadi. Konvergent - ketma-ketlik x to'plamda hosil bo'lgan va bu to'plamda haqiqiy yoki kompleks chegaraga ega. Divergent - o'z to'plamida chegarasi bo'lmagan ketma-ketlik (haqiqiy ham, murakkab ham emas). Bundan tashqari, agar geometrik tasvirda uning yuqori va pastki chegaralari yaqinlashsa, ketma-ketlik yaqinlashadi. Konversion ketma-ketlikning chegarasi ko'p hollarda nolga teng bo'lishi mumkin, chunki har qanday cheksiz kichik ketma-ketlik ma'lum chegaraga (nol) ega. Qaysi birlashuvchi ketma-ketlikni olsangiz, ularning barchasi cheklangan, lekin hamma cheklangan ketma-ketliklar birlashmaydi. Ikki yaqinlashuvchi ketma-ketlikning yig'indisi, ayirmasi, ko'paytmasi ham yaqinlashuvchi ketma-ketlikdir. Biroq, agar u aniqlangan bo'lsa, ko'rsatkich ham yaqinlashishi mumkin! Ketma-ketlik chegaralari bir xil muhim (ko'p hollarda) miqdor, raqamlar va raqamlar: 1, 2, 15, 24, 362 va boshqalar. Ma'lum bo'lishicha, ba'zi operatsiyalarni chegaralar bilan bajarish mumkin. Birinchidan, raqamlar va raqamlar singari, har qanday ketma-ketlikning chegaralarini qo'shish va ayirish mumkin. Ketma-ketliklar chegaralari haqidagi uchinchi teoremaga asoslanib, quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi: ketma-ketliklar yig'indisining chegarasi ularning chegaralari yig'indisiga teng. Ikkinchidan, ketma-ketliklar chegaralari haqidagi to'rtinchi teoremaga asoslanib, quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi: ketma-ketliklarning n-sonining ko'paytmasining chegarasi ularning chegaralari ko'paytmasiga teng. Xuddi shu narsa bo'linish uchun ham amal qiladi: chegara nolga teng bo'lmasligi sharti bilan, ikkita ketma-ketlikning bo'linish chegarasi ularning chegaralari koeffitsientiga teng. Axir, agar ketma-ketliklar chegarasi nolga teng bo'lsa, unda nolga bo'linish yuzaga keladi, bu mumkin emas. Raqamli ketma-ketlikning chegarasi allaqachon batafsil tahlil qilinganga o'xshaydi, ammo "cheksiz kichik" va "cheksiz katta" raqamlar kabi iboralar bir necha bor eslatib o'tilgan. Shubhasiz, agar 1 / x ketma-ketligi mavjud bo'lsa, bu erda x → ∞, u holda bunday kasr cheksiz kichikdir va agar bir xil ketma-ketlik, lekin chegara nolga (x → 0) moyil bo'lsa, u holda kasr cheksiz katta bo'ladi. Va bu miqdorlar o'ziga xos xususiyatlarga ega. Har qanday kichik yoki katta qiymatlarga ega bo'lgan ketma-ketlik chegarasining xususiyatlari quyidagicha: Aslida, oddiy algoritmni bilsangiz, ketma-ketlikning chegarasini hisoblash unchalik qiyin ish emas. Ammo ketma-ketliklarning chegaralari maksimal e'tibor va qat'iyatni talab qiladigan mavzu. Albatta, bunday iboralar yechimining mohiyatini anglashning o‘zi kifoya. Kichikdan boshlab, vaqt o'tishi bilan katta cho'qqilarga erisha olasiz.Ketma-ketlik chegarasini aniqlash
Cheklangan ketma-ketliklar uchun umumiy belgi
Noaniqlik va chegaraning aniqligi
Mahalla nima?
Teoremalar
Ketma-ketlikni isbotlash
Yoki u emasdir?
Monotonik ketma-ketlik
Konvergent va chegaralangan ketma-ketlik chegarasi
Monotonik ketma-ketlik chegarasi
Cheklangan turli xil harakatlar
Ketma-ketlik miqdori xossalari
