Tekislik normal vektori, tekislik normal vektorining koordinatalari. Chiziqning normal vektori (normal vektor) x 3 chiziqning normal vektori koordinatalarga ega

Tekislikdagi va uch o'lchamli fazodagi to'g'ri chiziq tenglamalarini o'rganishda vektorlar algebrasiga tayanamiz. Bunda to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori va to'g'ri chiziqning normal vektori alohida ahamiyatga ega. Ushbu maqolada biz chiziqning normal vektorini batafsil ko'rib chiqamiz. Keling, to'g'ri chiziqning normal vektorini aniqlashdan boshlaylik, misollar va grafik rasmlarni keltiramiz. Keyinchalik, masalalarning batafsil yechimlarini ko'rsatgan holda, to'g'ri chiziqning taniqli tenglamalari yordamida to'g'ri chiziqning normal vektorining koordinatalarini topishga murojaat qilamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

To'g'ri chiziqning normal vektori - ta'rif, misollar, rasmlar.

Materialni tushunish uchun siz to'g'ri chiziq, tekislik haqida aniq tushunchaga ega bo'lishingiz, shuningdek vektorlar bilan bog'liq asosiy ta'riflarni bilishingiz kerak. Shuning uchun, avvalo maqolalar materiali, tekislikdagi to'g'ri chiziq, kosmosdagi to'g'ri chiziq, tekislik g'oyasi va boshqalar haqida xotirangizni yangilashingizni tavsiya qilamiz.

To'g'ri chiziqning normal vektorining ta'rifini beraylik.

Ta'rif.

Oddiy chiziq vektori berilganga perpendikulyar har qanday chiziqda yotuvchi nolga teng bo'lmagan vektor.

To'g'ri chiziqning normal vektorining ta'rifidan ko'rinib turibdiki, berilgan to'g'ri chiziqning cheksiz normal vektorlari to'plami mavjud.

To'g'ri chiziqning normal vektorini aniqlash va to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini aniqlash berilgan to'g'ri chiziqning har qanday normal vektori ushbu to'g'ri chiziqning istalgan yo'nalishi vektoriga perpendikulyar degan xulosaga kelishga imkon beradi.

To'g'ri chiziqning normal vektoriga misol keltiramiz.

Samolyotda Oksi berilsin. Ox koordinata chizig'ining normal vektorlari to'plamidan biri koordinata vektoridir. Haqiqatan ham vektor nolga teng emas va Ox o'qiga perpendikulyar bo'lgan Oy koordinata chizig'ida yotadi. Oxy to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi Ox koordinata chizig'ining barcha normal vektorlari to'plamini quyidagicha ko'rsatish mumkin. .

To'g'ri burchakli koordinatalar sistemasida Oxyz uch o'lchovli fazoda Oz to'g'ri chiziqning normal vektori vektor hisoblanadi. Koordinata vektori ham Oz to'g'ri chiziqning normal vektori hisoblanadi. Shubhasiz, Oz o'qiga perpendikulyar bo'lgan har qanday tekislikda yotgan har qanday nolga teng bo'lmagan vektor Oz chizig'ining normal vektori bo'ladi.

To'g'ri chiziqning normal vektorining koordinatalari - bu to'g'ri chiziqning ma'lum tenglamalari bo'yicha to'g'ri chiziqning normal vektorining koordinatalarini topish.

Agar toʻgʻri chiziqni toʻgʻri toʻrtburchaklar koordinatalar sistemasida Oxy deb hisoblasak, unda qandaydir turdagi tekislikdagi toʻgʻri chiziq tenglamasi unga mos keladi va toʻgʻri chiziqning normal vektorlari ularning koordinatalari bilan aniqlanadi (maqolaga qarang). Shu o‘rinda savol tug‘iladi: “Ushbu to‘g‘ri chiziq tenglamasini bilganimizda, to‘g‘ri chiziqning normal vektorining koordinatalarini qanday topish mumkin?”?

Har xil turdagi tenglamalar orqali tekislikda berilgan to'g'ri chiziqlar uchun berilgan savolga javob topamiz.

Agar tekislikdagi to'g'ri chiziq shakldagi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi bilan aniqlansa , keyin A va B koeffitsientlari ushbu to'g'ri chiziqning normal vektorining mos keladigan koordinatalarini ifodalaydi.

Misol.

To'g'ri chiziqning qandaydir normal vektorining koordinatalarini toping .

Yechim.

To'g'ri chiziq umumiy tenglama bilan berilganligi sababli, biz darhol uning normal vektorining koordinatalarini yozishimiz mumkin - ular x va y o'zgaruvchilari oldidagi mos keladigan koeffitsientlardir. Ya'ni, to'g'ri chiziqning normal vektori koordinatalarga ega.

Javob:

Chiziqning umumiy tenglamasidagi A yoki B raqamlaridan biri nolga teng bo'lishi mumkin. Bu sizni chalg'itmasligi kerak. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Har qanday oddiy chiziq vektorini tanlang.

Yechim.

Bizga chiziqning to'liq bo'lmagan umumiy tenglamasi berilgan. Sifatida qayta yozish mumkin , bu to'g'ri chiziqning normal vektorining koordinatalari darhol ko'rinadigan joydan:.

Javob:

Shaklning segmentlaridagi to'g'ri chiziq tenglamasi yoki qiya chiziqli to'g'ri chiziq tenglamasi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasiga osonlikcha keltiriladi, undan bu to'g'ri chiziqning normal vektorining koordinatalari topiladi.

Misol.

To'g'ri chiziqning normal vektorining koordinatalarini toping.

Yechim.

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasidan to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasiga o'tish juda oson: ... Shuning uchun bu chiziqning normal vektori koordinatalarga ega.

Javob:

Agar to'g'ri chiziq shakl tekisligidagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi yoki shakl tekisligidagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari bilan aniqlansa. , keyin normal vektorning koordinatalarini olish biroz qiyinroq. Ushbu tenglamalardan to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalari darhol ko'rinadi -. Ushbu to'g'ri chiziqning normal vektorining koordinatalarini toping va ruxsat bering.

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasini yoki to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini umumiy tenglamaga keltirsangiz, to'g'ri chiziqning normal vektorining koordinatalarini ham olishingiz mumkin. Buning uchun quyidagi o'zgarishlar amalga oshiriladi:

Qanday afzal ko'rish sizga bog'liq.

Keling, misollarning yechimlarini ko'rsatamiz.

Misol.

To'g'ri chiziqning qandaydir normal vektorini toping .

Yechim.

To'g'ri chiziqning yo'nalish vektori vektor hisoblanadi. Oddiy chiziq vektori vektorga perpendikulyar bo'lsa, u nolga teng bo'ladi: ... Bu tenglikdan n x ga ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan haqiqiy qiymat berib, n y ni topamiz. U holda n x = 1 bo'lsin , shuning uchun asl chiziqning normal vektori koordinatalarga ega.

Ikkinchi yechim.

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasidan umumiy tenglamaga o'tamiz:. Endi bu chiziqning normal vektorining koordinatalari ko'rinadi.

Javob:

To'g'ri chiziq tenglamalarini o'rganish uchun siz vektor algebrasini yaxshi tushunishingiz kerak. To'g'ri chiziqning yo'nalishi vektorini va normal vektorini topish muhimdir. Ushbu maqolada to'g'ri chiziqning normal vektorini misollar va raqamlar bilan ko'rib chiqamiz, agar to'g'ri chiziqlar tenglamalari ma'lum bo'lsa, uning koordinatalarini topamiz. Batafsil yechim ko'rib chiqiladi.

Materialni o'zlashtirishni osonlashtirish uchun siz vektorlar bilan bog'liq bo'lgan chiziq, tekislik va ta'riflar tushunchalarini tushunishingiz kerak. Avval to'g'ri chiziq vektori tushunchasi bilan tanishamiz.

Ta'rif 1

Chiziqning normal vektori Berilgan chiziqqa perpendikulyar bo'lgan har qanday chiziq ustida joylashgan nolga teng bo'lmagan vektor deyiladi.

Berilgan to'g'ri chiziqda joylashgan cheksiz normal vektorlar to'plami mavjudligi aniq. Quyidagi rasmni ko'rib chiqing.

Biz chiziq berilgan ikkita parallel to'g'ri chiziqdan biriga perpendikulyar ekanligini tushunamiz, keyin uning perpendikulyarligi ikkinchi parallel chiziqqa cho'ziladi. Demak, bu parallel chiziqlarning normal vektorlari to'plamlari mos kelishini aniqlaymiz. a va a 1 to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘lganda va n → a to‘g‘ri chiziqning normal vektori hisoblansa, a 1 to‘g‘ri chiziq uchun ham normal vektor hisoblanadi. Agar a chiziq to'g'ridan-to'g'ri vektorga ega bo'lsa, u holda vektor t · n → t parametrining istalgan qiymati uchun nolga teng bo'ladi va a chiziq uchun ham normaldir.

Normal va yo'nalish vektorlarining ta'rifidan foydalanib, siz normal vektor yo'nalishga perpendikulyar degan xulosaga kelishingiz mumkin. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Agar O x y tekislik berilgan bo'lsa, u holda O x uchun vektorlar to'plami j → koordinata vektoridir. U nolga teng emas deb hisoblanadi va O x ga perpendikulyar bo'lgan O y koordinata o'qiga tegishli. O x ga nisbatan normal vektorlarning butun majmuasini t j →, t ∈ R, t ≠ 0 shaklida yozish mumkin.

O x y z to'rtburchaklar sistemasi O z chizig'i bilan bog'liq i → normal vektoriga ega. j → vektori ham normal hisoblanadi. Demak, har qanday tekislikda joylashgan va O z ga perpendikulyar nolga teng bo'lmagan har qanday vektor O z uchun normal hisoblanadi.

To'g'ri chiziqning normal vektorining koordinatalari - to'g'ri chiziqning ma'lum tenglamalari yordamida to'g'ri chiziqning normal vektorining koordinatalarini topish.

To'g'ri to'rtburchak koordinatalar sistemasi O x yni ko'rib chiqsak, tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi unga to'g'ri kelishini va normal vektorlarni aniqlash koordinatalar orqali amalga oshirilishini aniqlaymiz. Agar to'g'ri chiziq tenglamasi ma'lum bo'lsa, lekin normal vektorning koordinatalarini topish kerak bo'lsa, u holda A x + B y + C = 0 tenglamasidan to'g'ri chiziqning koordinatalariga mos keladigan koeffitsientlarni aniqlash kerak. berilgan to'g'ri chiziqning normal vektori.

1-misol

2 x + 7 y - 4 = 0 _ ko'rinishdagi to'g'ri chiziq berilgan, normal vektorning koordinatalarini toping.

Yechim

Shartga ko'ra, to'g'ri chiziq umumiy tenglama bilan berilgan, ya'ni normal vektorning koordinatalari bo'lgan koeffitsientlarni yozish kerak. Bu vektorning koordinatalari 2, 7 ekanligini bildiradi.

Javob: 2 , 7 .

Tenglamadan A yoki B nolga teng bo'lgan holatlar mavjud. Keling, misol yordamida bunday vazifani hal qilishni ko'rib chiqaylik.

2-misol

Berilgan y - 3 = 0 chiziq uchun normal vektorni belgilang.

Yechim

Gipoteza bo'yicha bizga to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan, shuning uchun uni shu tarzda yozamiz 0 x + 1 y - 3 = 0. Endi biz normal vektorning koordinatalari bo'lgan koeffitsientlarni aniq ko'rishimiz mumkin. Demak, biz normal vektorning koordinatalari 0, 1 ekanligini olamiz.

Javob: 0, 1.

Agar tenglama xa + yb = 1 ko'rinishdagi segmentlarda yoki qiyaligi y = kx + b bo'lgan tenglama berilgan bo'lsa, u holda to'g'ri chiziqning koordinatalarini topish mumkin bo'lgan umumiy tenglamaga keltirish kerak. berilgan to'g'ri chiziqning normal vektori.

3-misol

X 1 3 - y = 1 to'g'ri chiziq tenglamasi berilgan normal vektorning koordinatalarini toping.

Yechim

Birinchidan, x 1 3 - y = 1 segmentlaridagi tenglamadan umumiy tenglamaga o'tishingiz kerak. Keyin biz x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0 ni olamiz.

Bu yerdan normal vektorning koordinatalari 3, - 1 qiymatiga ega ekanligini ko'rish mumkin.

Javob: 3 , - 1 .

Agar to'g'ri chiziq tekislikdagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi bilan x - x 1 ax = y - y 1 ay yoki parametrik x = x 1 + ax · l y = y 1 + ay · l bilan aniqlansa, u holda koordinatalarini olish yanada murakkablashadi. Ushbu tenglamalarga ko'ra, yo'nalish vektorining koordinatalari a → = (a x, a y) bo'lishini ko'rish mumkin. Normal vektor n → koordinatalarini topish imkoniyati n → va a → vektorlarning perpendikulyarlik sharti tufayli mumkin.

To'g'ri chiziqning kanonik yoki parametrik tenglamalarini umumiy tenglamaga qisqartirish orqali normal vektorning koordinatalarini olish mumkin. Keyin biz olamiz:

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 x = x 1 + ax l y = y 1 + ay l ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 = 0

Yechim uchun siz har qanday qulay usulni tanlashingiz mumkin.

4-misol

Berilgan chiziqning x - 2 7 = y + 3 - 2 normal vektorini toping.

Yechim

x - 2 7 = y + 3 - 2 to'g'ri chiziqdan ko'rinib turibdiki, yo'nalish vektori a → = (7, - 2) koordinatalariga ega bo'ladi. Berilgan chiziqning normal vektori n → = (n x, n y) a → = (7, - 2) ga perpendikulyar.

Keling, nuqta mahsuloti nimaga teng ekanligini bilib olaylik. a → = (7, - 2) va n → = (n x, n y) vektorlarning skalyar ko‘paytmasini topish uchun a →, n → = 7 n x - 2 n y = 0 yozamiz.

n x ning qiymati ixtiyoriy, siz n y ni topishingiz kerak. Agar n x = 1 bo'lsa, bundan 7 1 - 2 n y = 0 ⇔ n y = 7 2 ekanligini olamiz.

Demak, normal vektor 1, 7 2 koordinatalariga ega.

Yechishning ikkinchi usuli, kanonik tenglamadan umumiy shaklga kelish kerakligiga qisqartiriladi. Buning uchun biz aylantiramiz

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 (y + 3) = - 2 (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

Oddiy vektor koordinatalarining natijasi 2, 7 ga teng.

Javob: 2, 7 yoki 1 , 7 2 .

5-misol

x = 1 y = 2 - 3 · l to'g'ri chiziqning normal vektorining koordinatalarini belgilang.

Yechim

Birinchidan, to'g'ri chiziqning umumiy shakliga o'tish uchun transformatsiyani amalga oshirishingiz kerak. Keling, bajaramiz:

x = 1 y = 2 - 3 l ⇔ x = 1 + 0 l y = 2 - 3 l ⇔ l = x - 1 0 l = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 (x - 1) = 0 (y - 2) ⇔ - 3 x + 0 y + 3 = 0

Bu yerdan normal vektorning koordinatalari - 3, 0 ekanligini ko'rish mumkin.

Javob: - 3 , 0 .

O x y z to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi bilan berilgan fazodagi to‘g‘ri chiziq tenglamasi uchun normal vektorning koordinatalarini topish yo‘llarini ko‘rib chiqing.

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 va A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 kesishgan tekisliklar tenglamalari yordamida chiziq aniqlanganda, u holda ning normal vektori. tekislik A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 va A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ga ishora qiladi, keyin n 1 → = ko'rinishdagi vektorlarni olamiz. (A 1, B 1, C 1) va n 2 → = (A 2, B 2, C 2).

X - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az yoki x = x 1 + ax l y y = ko'rinishga ega bo'lgan parametrik ko'rinishga ega bo'lgan fazoning kanonik tenglamasi yordamida chiziq aniqlanganda. y 1 + ay l z = z 1 + az · l, demak, ax, ay va azlar berilgan to‘g‘ri chiziqning yo‘nalish vektorining koordinatalari hisoblanadi. Nolga teng bo'lmagan har qanday vektor berilgan to'g'ri chiziq uchun normal bo'lishi mumkin va a → = (a x, a y, a z) vektoriga perpendikulyar bo'lishi mumkin. Bundan kelib chiqadiki, parametrik va kanonik tenglamalar bilan normalning koordinatalari berilgan vektorga perpendikulyar a → = (a x, a y, a z) vektorining koordinatalari yordamida topiladi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing

Oddiy vektor

Ikkita normali tekis sirt

Differensial geometriyada, normal- bu qandaydir egri chiziqqa yoki biror sirtga teginish tekisligiga ortogonal (perpendikulyar) to'g'ri chiziq. Shuningdek, haqida gapiring normal yo'nalish.

Oddiy vektor ma'lum bir nuqtadagi sirtga - ma'lum bir nuqtaga qo'llaniladigan va normal yo'nalishga parallel bo'lgan birlik vektor. To'g'ri sirtdagi har bir nuqta uchun siz yo'nalishda farq qiluvchi ikkita normal vektorni belgilashingiz mumkin. Agar sirtda normal vektorlarning uzluksiz maydonini belgilash mumkin bo'lsa, u holda bu maydon aniqlangan deyiladi orientatsiya sirt (ya'ni, u tomonlardan birini ta'kidlaydi). Agar buni amalga oshirishning iloji bo'lmasa, sirt chaqiriladi yo'naltirilmagan.

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Oddiy vektor" nima ekanligini ko'ring:

normal vektor- normalės vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. oddiy vektor vok. Normalenvektor, m rus. normal vektor, m pranc. vecteur de la normale, m; vecteur normal, m ... Fizikos terminų žodynas

Ushbu maqola yoki bo'lim qayta ko'rib chiqilishi kerak. Iltimos, maqola yozish qoidalariga muvofiq maqolani yaxshilang. Darboux vektori - L egri chizig'ining uchburchak uchburchak atrofida aylanadigan lahzali aylanish o'qining yo'nalish vektori ... ... Vikipediya

Uzluksiz muhitning elektrodinamikasi Uzluksiz muhitning elektrodinamikasi ... Vikipediya

Darbu vektori lahzali aylanish oʻqining yoʻnaltiruvchi vektori boʻlib, uning atrofida L egri chiziqning uchburchak uchi M nuqta L egri chiziq boʻylab bir tekis harakat qilganda aylanadi. Darbu vektori L egri chizigʻining toʻgʻrilash tekisligida yotadi va u orqali ifodalanadi. birlik ...... Vikipediya

Gradient (lot. Gradiens dan, jins. Case gradientis yurish), maʼlum bir qiymatning eng keskin oʻzgarish yoʻnalishini koʻrsatuvchi vektor, uning qiymati fazoning bir nuqtasidan ikkinchisiga oʻzgaradi (qarang. Maydonlar nazariyasi). Agar miqdor ifodalangan bo'lsa ... ...

L egri chiziqning uchburchakka hamroh bo'lgan to'da atrofidagi lahzali aylanish o'qining d yo'nalish vektori M nuqtaning L. D. egri chizig'i bo'ylab bir tekis harakati bilan aylanadi. L egri chizig'ining to'g'rilash tekisligida yotadi va asosiy normal ... birlik vektorlari orqali ifodalanadi. Matematika ensiklopediyasi

Ushbu maqola yoki bo'lim qayta ko'rib chiqilishi kerak. Iltimos, maqola yozish qoidalariga muvofiq maqolani yaxshilang. Gipertop ... Vikipediya

Grafik quvur liniyasi - bu 3D grafiklarni vizualizatsiya qilish uchun apparat-dasturiy kompleks. Mundarija 1 3D sahnasining elementlari 1.1 Uskuna 1.2 Dasturlash interfeyslari ... Vikipediya

Evklid fazosining vektorlari ustida amallar xossalari o'rganiladigan matematik fan. Bunday holda, vektor tushunchasi nafaqat raqamli qiymat, balki ... ... bilan tavsiflangan miqdorlarning matematik abstraktsiyasidir. Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang: Samolyot. Bu erda Flatness so'rovi qayta yo'naltiriladi. Ushbu mavzu bo'yicha alohida maqola kerak ... Vikipediya

Koordinata usulidan foydalanish uchun formulalarni yaxshi bilish kerak. Ulardan uchtasi bor:

Bir qarashda, bu qo'rqinchli ko'rinadi, lekin ozgina mashq qilsangiz, hamma narsa ajoyib ishlaydi.

Vazifa. a = (4; 3; 0) va b = (0; 12; 5) vektorlari orasidagi burchakning kosinusini toping.

Yechim. Vektorlarning koordinatalari bizga berilganligi sababli ularni birinchi formulada almashtiramiz:

Vazifa. M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) va K = (2; 1; 0) nuqtalardan o'tmasligi ma'lum bo'lsa, tekislik uchun tenglama tuzing. kelib chiqishi.

Yechim. Tekislikning umumiy tenglamasi: Ax + By + Cz + D = 0, lekin kerakli tekislik koordinatalar - nuqta (0; 0; 0) - nuqtadan o'tmagani uchun D = 1 ni qo'yamiz. tekislik M, N va K nuqtalaridan o'tadi, keyin bu nuqtalarning koordinatalari tenglamani to'g'ri sonli tenglikka aylantirishi kerak.

M = (2; 0; 1) nuqtaning x, y va z koordinatalari o'rniga almashtiring. Bizda ... bor:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Xuddi shunday N = (0; 1; 1) va K = (2; 1; 0) nuqtalar uchun tenglamalarni olamiz:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Shunday qilib, bizda uchta tenglama va uchta noma'lum mavjud. Keling, tenglamalar tizimini tuzamiz va yechamiz:

Biz tekislikning tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega ekanligini oldik: - 0,25x - 0,5y - 0,5z + 1 = 0.

Vazifa. Tekislik 7x - 2y + 4z + 1 = 0 tenglama bilan berilgan. Berilgan tekislikka perpendikulyar vektorning koordinatalarini toping.

Yechim. Uchinchi formuladan foydalanib, biz n = (7; - 2; 4) ni olamiz - bu hammasi!

Vektorlarning koordinatalarini hisoblash

Ammo muammoda vektorlar bo'lmasa-chi - faqat to'g'ri chiziqlarda yotgan nuqtalar mavjud va bu to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni hisoblashingiz kerakmi? Hammasi oddiy: nuqtalarning koordinatalarini bilish - vektorning boshi va oxiri - vektorning o'zi koordinatalarini hisoblashingiz mumkin.

Vektorning koordinatalarini topish uchun uning oxiri koordinatalaridan boshining koordinatalarini ayirish kerak.

Bu teorema tekislikda ham, fazoda ham xuddi shunday ishlaydi. "Koordinatalarni ayirish" iborasi boshqa nuqtaning x koordinatasi bir nuqtaning x koordinatasidan ayirilishini anglatadi, keyin y va z koordinatalari bilan ham xuddi shunday qilish kerak. Mana bir nechta misollar:

Vazifa. Fazoda ularning koordinatalari bilan berilgan uchta nuqta mavjud: A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) va C = (- 4; 3; - 2). AB, AC va BC vektorlarining koordinatalarini toping.

AB vektorini ko'rib chiqaylik: uning kelib chiqishi A nuqtada, oxiri esa B nuqtada. Shuning uchun uning koordinatalarini topish uchun B nuqtaning koordinatalaridan A nuqtaning koordinatalarini ayirish kerak:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Xuddi shunday, AC vektorining boshlanishi hali ham bir xil A nuqta, lekin oxiri C nuqtadir. Shuning uchun bizda:
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

Nihoyat, BC vektorining koordinatalarini topish uchun C nuqtaning koordinatalaridan B nuqtaning koordinatalarini ayirish kerak:
BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9).

Javob: AB = (2; - 7; 4); AC = (- 5; - 3; - 5); BC = (- 7; 4; - 9)

Oxirgi BC vektorining koordinatalarini hisoblashga e'tibor bering: ko'p odamlar salbiy raqamlar bilan ishlashda xato qilishadi. Bu y o'zgaruvchisiga taalluqlidir: B nuqtasida y = - 1, C nuqtasi esa y = 3. Biz ko'pchilik ishonganidek, 3 - 1 emas, aynan 3 - (- 1) = 4 ni olamiz. Bunday ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymang!

To'g'ri chiziqlar uchun yo'nalish vektorlarini hisoblash

Agar siz C2 muammosini diqqat bilan o'qib chiqsangiz, u erda vektorlar yo'qligini bilib hayron qolasiz. Faqat to'g'ri chiziqlar va tekisliklar mavjud.

Keling, to'g'ri chiziqlardan boshlaylik. Bu erda hamma narsa oddiy: har qanday to'g'ri chiziqda kamida ikkita turli nuqta mavjud va aksincha, har qanday ikki xil nuqta bitta to'g'ri chiziqni belgilaydi ...

Oldingi paragrafda nima yozilganini kimdir tushunadimi? Men buni o'zim tushunmadim, shuning uchun men buni osonroq tushuntiraman: C2 muammosida to'g'ri chiziqlar har doim bir juft nuqta bilan beriladi. Agar biz koordinatalar tizimini kiritsak va bu nuqtalarda boshi va oxiri bo'lgan vektorni ko'rib chiqsak, to'g'ri chiziq uchun yo'nalish vektori deb ataladigan narsani olamiz:

Nima uchun bu vektor kerak? Gap shundaki, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak ularning yo'nalishi vektorlari orasidagi burchakdir. Shunday qilib, biz tushunarsiz to'g'ri chiziqlardan koordinatalarini hisoblash oson bo'lgan aniq vektorlarga o'tamiz. Bu qanchalik oson? Misollarni ko'rib chiqing:

Vazifa. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kubida AC va BD 1 chiziqlar chizilgan. Bu chiziqlarning yo‘nalish vektorlarining koordinatalarini toping.

Shartda kub qirralarining uzunligi ko'rsatilmaganligi sababli, biz AB = 1 ni o'rnatamiz. Koordinata tizimini A nuqtada koordinatalar tizimini kiritamiz va x, y, z o'qlari AB, AD va AA 1 chiziqlar bo'ylab yo'naltirilgan, mos ravishda. Birlik segmenti AB = 1 ga teng.

Endi AC chizig'i uchun yo'nalish vektorining koordinatalarini topamiz. Bizga ikkita nuqta kerak: A = (0; 0; 0) va C = (1; 1; 0). Bu yerdan AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) vektorining koordinatalarini olamiz - bu yo'nalish vektori.

Endi BD 1 to'g'ri chiziq bilan shug'ullanamiz. Uning ikkita nuqtasi ham bor: B = (1; 0; 0) va D 1 = (0; 1; 1). BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (- 1; 1; 1) yo'nalish vektorini olamiz.

Javob: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (- 1; 1; 1)

Vazifa. Muntazam uchburchak prizmasida ABCA 1 B 1 C 1, barcha qirralari 1 ga teng, AB 1 va AC 1 chiziqlar chiziladi. Bu chiziqlarning yo‘nalish vektorlarining koordinatalarini toping.

Koordinatalar sistemasini kiritamiz: bosh nuqta A nuqtada, x o‘qi AB bilan, z o‘qi AA 1 bilan to‘g‘ri keladi, y o‘qi x o‘qi bilan OXY tekisligini hosil qiladi, bu ABC tekisligiga to‘g‘ri keladi. .

Birinchidan, AB 1 to'g'ri chiziq bilan shug'ullanamiz. Bu erda hamma narsa oddiy: bizda A = (0; 0; 0) va B 1 = (1; 0; 1) nuqtalari mavjud. AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1) yo'nalish vektorini olamiz.

Endi biz AC 1 uchun yo'nalish vektorini topamiz. Hammasi bir xil - yagona farq shundaki, C 1 nuqtasi irratsional koordinatalarga ega. Shunday qilib, A = (0; 0; 0), shuning uchun bizda:

Javob: AB 1 = (1; 0; 1);

Oxirgi misol haqida kichik, ammo juda muhim eslatma. Agar vektorning kelib chiqishi boshlang'ichga to'g'ri kelsa, hisob-kitoblar juda soddalashtirilgan: vektorning koordinatalari oddiygina oxiri koordinatalariga teng. Afsuski, bu faqat vektorlar uchun amal qiladi. Misol uchun, samolyotlar bilan ishlaganda, ulardagi kelib chiqishning mavjudligi faqat hisob-kitoblarni murakkablashtiradi.

Samolyotlar uchun normal vektorlarni hisoblash

Oddiy vektorlar yaxshi ishlaydigan yoki ishlaydigan vektorlar emas. Ta'rifga ko'ra, tekislikka normal vektor (normal) bu tekislikka perpendikulyar vektordir.

Boshqacha qilib aytganda, normal - berilgan tekislikdagi har qanday vektorga perpendikulyar vektor. Albatta, siz bunday ta'rifni uchratdingiz - ammo vektorlar o'rniga biz to'g'ri chiziqlar haqida gapirgan edik. Biroq, yuqorida C2 muammosida istalgan qulay ob'ekt bilan - hatto to'g'ri chiziq bilan, hatto vektor bilan ishlashingiz mumkinligi ko'rsatilgan.

Yana bir bor eslatib o'tamanki, har qanday tekislik fazoda Ax + By + Cz + D = 0 tenglamasi bilan aniqlanadi, bu erda A, B, C va D ba'zi koeffitsientlardir. Yechimning umumiyligini yo‘qotmasdan, agar tekislik koordinata boshidan o‘tmasa, D = 1, o‘tgan bo‘lsa, D = 0 deb qabul qilishimiz mumkin. Har holda, normal vektorning bu tekislikka koordinatalari n = (A; B; C).

Shunday qilib, samolyot ham vektor bilan muvaffaqiyatli almashtirilishi mumkin - bir xil normal. Har qanday tekislik fazoda uch nuqta bilan aniqlanadi. Samolyotning tenglamasini (va shuning uchun normal) qanday topish mumkin, biz maqolaning boshida muhokama qildik. Biroq, bu jarayon ko'pchilik uchun muammo tug'diradi, shuning uchun men yana bir nechta misol keltiraman:

Vazifa. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kubida A 1 BC 1 kesma chizilgan. Ushbu kesma tekisligining normal vektorini toping, agar koordinata A nuqtada bo'lsa va x, y va z o'qlari mos ravishda AB, AD va AA 1 qirralariga to'g'ri kelsa.

Samolyot koordinata boshidan o'tmaganligi sababli, uning tenglamasi quyidagicha ko'rinadi: Ax + By + Cz + 1 = 0, ya'ni. koeffitsient D = 1. Bu tekislik A 1, B va C 1 nuqtalardan o'tganligi sababli, bu nuqtalarning koordinatalari tekislik tenglamasini to'g'ri sonli tenglikka aylantiradi.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

Xuddi shunday, B = (1; 0; 0) va C 1 = (1; 1; 1) nuqtalari uchun biz tenglamalarni olamiz:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Ammo biz A = - 1 va C = - 1 koeffitsientlarini allaqachon bilamiz, shuning uchun B koeffitsientini topish qoladi:
B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

Tekislik tenglamasini olamiz: - A + B - C + 1 = 0, Demak, normal vektorning koordinatalari n = (- 1; 1; - 1) ga teng.

Vazifa. ABCDA 1 B 1 C 1 D kubiga AA 1 C 1 C kesma chizilgan. Agar koordinata A nuqtada va x, y va z o‘qlari qirralar bilan to‘g‘ri kelsa, ushbu kesma tekisligining normal vektorini toping. AB, AD va AA 1 mos ravishda.

Bunda tekislik koordinata boshi orqali o'tadi, shuning uchun koeffitsient D = 0 va tekislik tenglamasi quyidagicha ko'rinadi: Ax + By + Cz = 0. Tekislik A1 va C nuqtalardan o'tganligi sababli, bu nuqtalarning koordinatalari. tekislik tenglamasini to'g'ri sonli tenglikka aylantiring.

A nuqtaning x, y va z koordinatalari o'rniga 1 = (0; 0; 1) almashtiring. Bizda ... bor:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Xuddi shunday, C = (1; 1; 0) nuqtasi uchun biz tenglamani olamiz:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

B = 1 ni qo'yamiz. Keyin A = - B = - 1 va butun tekislikning tenglamasi ko'rinishga ega: - A + B = 0, Demak, normal vektorning koordinatalari n = (- 1; 1; 0).

Umuman olganda, yuqoridagi masalalarda tenglamalar tizimini tuzish va uni yechish kerak. Uchta tenglama va uchta o'zgaruvchi bo'ladi, lekin ikkinchi holatda ulardan biri bepul bo'ladi, ya'ni. ixtiyoriy qiymatlarni qabul qiling. Shuning uchun biz B = 1 qo'yish huquqiga egamiz - yechimning umumiyligiga va javobning to'g'riligiga zarar etkazmasdan.

Ko'pincha C2 muammosida segmentni yarmiga bo'ladigan nuqtalar bilan ishlash talab qilinadi. Bunday nuqtalarning koordinatalari, agar segment uchlari koordinatalari ma'lum bo'lsa, osongina hisoblanadi.

Demak, segment uchlari - A = (x a; y a; z a) va B = (x b; y b; z b) nuqtalari bilan aniqlansin. Keyin segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini - biz uni H nuqtasi bilan belgilaymiz - formula bilan topish mumkin:

Boshqacha qilib aytganda, segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari uning uchlari koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymatidir.

Vazifa. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 birlik kubi koordinatalar tizimiga shunday joylashtirilganki, x, y va z o‘qlari mos ravishda AB, AD va AA 1 qirralari bo‘ylab yo‘naltirilgan bo‘lib, koordinata boshi A nuqtaga to‘g‘ri keladi. K nuqta. A 1 B 1 chetining o'rta nuqtasidir. Ushbu nuqtaning koordinatalarini toping.

K nuqta A 1 B 1 segmentining o'rta nuqtasi bo'lgani uchun uning koordinatalari uchlari koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng. Uchlari koordinatalarini yozamiz: A 1 = (0; 0; 1) va B 1 = (1; 0; 1). Endi K nuqtaning koordinatalarini topamiz:

Vazifa. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 birlik kubi koordinatalar tizimiga shunday joylashtirilganki, x, y va z o‘qlari mos ravishda AB, AD va AA 1 qirralari bo‘ylab yo‘nalgan bo‘lib, koordinata boshi A nuqtaga to‘g‘ri keladi. A 1 B 1 C 1 D 1 kvadratning diagonallarini kesishgan L nuqtaning koordinatalari.

Planimetriya kursidan ma'lumki, kvadrat diagonallarining kesishish nuqtasi uning barcha uchlaridan teng masofada joylashgan. Xususan, A 1 L = C 1 L, ya'ni. L nuqta - A 1 C 1 segmentining o'rta nuqtasi. Ammo A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), shuning uchun bizda:

Javob: L = (0,5; 0,5; 1)

Tekislik normal vektori berilgan tekislikka perpendikulyar vektordir. Shubhasiz, har qanday tekislikda cheksiz ko'p normal vektorlar mavjud. Ammo muammolarni hal qilish uchun bizga bittasi kifoya qiladi.

Agar tekislik umumiy tenglama bilan berilgan bo'lsa , keyin vektor berilgan tekislikning normal vektoridir... Shunchaki g'alati. Bajarishingiz kerak bo'lgan yagona narsa - koeffitsientlarni tekislik tenglamasidan "olib tashlash".

Va'da qilingan uchta ekran kutmoqda, keling, №1 misolga qaytaylik va uni tekshirib ko'raylik. Eslatib o'taman, u erda nuqta va ikkita vektor yordamida tekislik tenglamasini qurish kerak edi. Yechim natijasida biz tenglamani oldik. Biz tekshiramiz:

Birinchidan, nuqta koordinatalarini hosil bo'lgan tenglamaga almashtiramiz:

To'g'ri tenglik olinadi, bu nuqta haqiqatan ham ushbu tekislikda ekanligini anglatadi.

Ikkinchidan, normal vektorni tekislik tenglamasidan olib tashlaymiz:. Vektorlar tekislikka parallel, vektor esa tekislikka perpendikulyar bo'lgani uchun quyidagi faktlar ro'y berishi kerak: ... Vektorlarning perpendikulyarligini tekshirish oson nuqta mahsuloti:

Xulosa: tekislikning tenglamasi to'g'ri topildi.

Tekshirish paytida men nazariyaning quyidagi bayonotini keltirdim: vektor tekislikka parallel agar va faqat agar .

Keling, dars bilan bog'liq muhim muammoni hal qilaylik:

5-misol

Tekislikning normal birlik vektorini toping .

Yechim: Birlik vektor - uzunligi bitta bo'lgan vektor. Bu vektorni quyidagicha belgilaymiz. Umuman olganda, manzara quyidagicha ko'rinadi:

Vektorlar kollinear ekanligi aniq.

Birinchidan, tekislik tenglamasidan normal vektorni olib tashlaymiz:.

Birlik vektorini qanday topish mumkin? Birlik vektorini topish uchun , zarur har vektor koordinatasi vektor uzunligiga bo'linadi .

Oddiy vektorni ko'rinishda qayta yozamiz va uning uzunligini topamiz:

Yuqoridagilarga ko'ra:

Javob:

Tekshirish: biz tekshirmoqchi bo'lgan narsamiz.

Darsning oxirgi paragrafini diqqat bilan o'rgangan o'quvchilar Vektorlarning nuqta mahsuloti buni sezgan bo'lsa kerak birlik vektor koordinatalari Vektorning aynan yo'nalish kosinuslari :

Keling, tahlil qilingan muammodan chetga chiqaylik: sizga ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan vektor berilganda, va shartga ko'ra, uning yo'nalishi kosinuslarini topish talab qilinadi (darsning oxirgi vazifalari Vektorlarning nuqta mahsuloti), unda siz, aslida, berilgan birlik vektoriga to'g'ri keladigan birlik vektorini topasiz.

Aslida, bitta shishada ikkita vazifa.

Normal vektor birligini topish zarurati matematik analizning ba'zi masalalarida paydo bo'ladi.

Biz oddiy vektorni qanday qilib baliq qilishni aniqladik, endi biz teskari savolga javob beramiz.