Arifmetik progressi salbiy bo'lishi mumkinmi? Arifmetik va geometrik progressiya
Uchun vazifalar arifmetik progressiya Allaqachon antik davr bor edi. Ular paydo bo'ldi va echimni talab qildilar, chunki ular amaliy ehtiyojga ega edilar.
Shunday qilib, papirusning birida Qadimgi MisrMatematik tarkibga ega - Rinda Papirus (XIX asr) bunday vazifani o'z ichiga oladi: biz o'n kishi uchun o'n kishiga ajratamiz, ularning har biri o'rtasidagi farq - bu bitta sakkizinchi o'lchovlar. "
Qadimgi yunonlarning matematik asarlarida arifmetik progressiya bilan bog'liq oqlangan teoremalar mavjud. Shunday qilib, Gipsum (II asr, juda ko'p qiziqarli vazifalar, Exklidning boshlanishiga o'n to'rtinchi kitob qo'shildi, deb o'yladi: «Arifmetik progressiyada juft son A'zolar, 2-yarim yillik a'zolar soni a'zoning 1/2 raqamiga nisbatan 1-sonning 1-sonli sonidan ko'proq.
Ketma-ketligini bildiradi. Setlash raqamlari uning a'zolari deb nomlanadi va odatda ushbu a'zoning ketma-ketligi (A1, A2, A3 ... ni ko'rsatadigan indekslar bilan belgilanadi ("A 1 - O", "a 2-", "a 3- pin "va boshqalar.
Ketma-ketlik cheksiz yoki cheklangan bo'lishi mumkin.
Va arifmetik progressiya nima? Uning ostida ular bir xil sonli D bir xil soniga (N) bir xil son bilan to'ldirilishini tushunishadi, bu progressiya farqidir.
Agar D<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, ushbu progress o'sib bormoqda.
Arifmetik progressiya, agar uning birinchi a'zolari hisobga olingan bo'lsa, yakuniy deb ataladi. Ko'p sonli a'zolar bilan bu cheksiz targ'ibot.
Har qanday arifmetik progressiya quyidagi formula bilan belgilanadi:
a \u003d Kn + B, B va K ba'zi raqamlar.
Bu mutlaqo ko'rinadigan bayonot: agar ketma-ketlik shunga o'xshash formula tomonidan berilgan bo'lsa, unda bu xususiyatga ega bo'lgan narsa:
- Progressiyaning har bir a'zosi oldingi a'zoning yoki keyingi qismining arifmetik o'rtacha ko'rsatkichidir.
- Teskari: Agar 2-dan boshlab, har bir a'zo avvalgi a'zoning yoki keyingi a'zolarining arifmetik o'rtacha ko'rsatkichidir. Agar shart qoniqsa, bu ketma-ketlik arifmetik progressiya. Bu tenglik bir vaqtning o'zida taraqqiyot belgisidir, shuning uchun odatda rivojlanishning o'ziga xos xususiyati deb ataladi.
Shunga o'xshab, bu mulkni aks ettiruvchi teorema - bu ketma-ketlikning har bir a'zolarining har qanday a'zolaridan boshlab, 2-chi dan boshlab ketma-ketlikda bo'lgan taqdirda.
Har qanday arifmetik progressiya uchun xarakteristik mulk formulani bildirishi mumkin
Arifmetik progressiyada, a'zo quyidagi formulani qo'llash orqali topilishi mumkin:
Masalan: Arifmetik progressiyada birinchi muddat (A1) uchtaga teng va teng bo'lishi kerak va farq to'rtga teng. Sizga ushbu rivojlanishning qirq beshinchi a'zosi kerakligini topish. A45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177
A \u003d Ak + D formulasi (n - k) sizga aniqlashga imkon beradi n-TH a'zosi Uning K-to'langan a'zosining istalgan qismini ma'lum bo'lganidan birortasi orqali arifmetik progressiya.
Arifmetik progressiya a'zolarining yig'indisi (yakuniy progressning 1-a'zoni anglatadi) quyidagicha hisoblanadi:
SN \u003d (A1 + A) n / 2.
Agar 1-savol ham ma'lum bo'lsa, unda boshqa formulalar hisoblash uchun qulaydir:
SN \u003d ((2a1 + d (n - 1))) * n.
N a'zolari bo'lgan arifmetik progressiya miqdori shu tarzda hisoblab chiqiladi:
Hisoblash uchun formulalarni tanlash vazifalar va manbalar ma'lumotlariga bog'liq.
1,2,3, ..., n, ... - arifmetik progressiyaning eng oddiy namunasi har qanday raqamlarning tabiiy turlari.
Arifmetik progressiyadan tashqari, uning xususiyatlari va xususiyatlariga ega bo'lgan geometrik mavjud.
Agar har bir tabiiy son bo'lsa n. yaroqli n. , keyin ular to'plam nima deyishadi raqamli ketma-ketlik :
a. 1 , a. 2 , a. 3 , . . . , n. , . . . .
Shunday qilib, raqamli ketma-ketlik tabiiy dalilning vazifasidir.
Raqam a. 1 Qo'ng'iroq qilmoq birinchi ketma-ketlikning birinchi a'zosi , Raqam a. 2 — ketma-ketlikning ikkinchi a'zosi , Raqam a. 3 — uchinchi va boshqalar. Raqam n. Qo'ng'iroq qilmoq n-m dik ketma-ketlik va tabiiy son n. — uning soni .
Ikki qo'shni a'zolardan n. va n. +1 A'zolar ketma-ketliklari n. +1 Qo'ng'iroq qilmoq kuzatish (munosabatga ko'ra n. ), lekin n. — oldingi (munosabatga ko'ra n. +1 ).
Ketma-ketlikni o'rnatish uchun siz har qanday raqam bilan ketma-ketlik a'zosini topishga imkon beradigan usulni ko'rsatishingiz kerak.
Ko'pincha ketma-ketlik ishlatilgan forulas N-Th a'zosi , Ya'ni, uning raqami bo'yicha ketma-ketlikni aniqlash imkonini beradigan formula.
Masalan,
ijobiy toq sonlarning ketma-ketligi formulaga o'rnatilishi mumkin
n.= 2n - n -1,
va ketma-ketlik o'zgaradi 1 va -1 - formula
b. N. = (-1) N. +1 . ◄
Ketma-ketlik aniqlanishi mumkin takrorlanadigan formula, Ya'ni, oldingi (bir yoki bir nechta) a'zolar orqali ba'zi bir qismlardan boshlanadigan ketma-ketlik a'zosini ifodalaydigan formula.
Masalan,
agar a a. 1 = 1 , lekin n. +1 = n. + 5
a. 1 = 1,
a. 2 = a. 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a. 3 = a. 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a. 4 = a. 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a. 5 = a. 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Agar a a 1.= 1, a 2. = 1, n. +2 = n. + n. +1 , keyin birinchi etti a'zo raqamli ketma-ketlik O'rnatish quyidagicha:
a 1. = 1,
a 2. = 1,
a 3. = a 1. + a 2. = 1 + 1 = 2,
a 4. = a 2. + a 3. = 1 + 2 = 3,
a 5. = a 3. + a 4. = 2 + 3 = 5,
a. 6 = a. 4 + a. 5 = 3 + 5 = 8,
a. 7 = a. 5 + a. 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Ketma-ketliklar bo'lishi mumkin oxiri va cheksiz .
Ketma-ketlik deyiladi jarima solmoq Agar u bo'lsa final a'zolar. Ketma-ketlik deyiladi cheksiz Agar juda ko'p a'zolar bo'lsa.
Masalan,
ketma-ketlik ikki xonali tabiiy sonlar:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
cheksiz.
Chet elliklar ketma-ketligi:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
cheksiz. ◄
Ketma-ketlik deyiladi o'sib borayotgan Agar uning har biri ikkinchisidan boshlansa, avvalgisidan ko'proq.
Ketma-ketlik deyiladi kamayib borayotgan Agar har bir a'zo ikkinchisidan avvalgisidan kam bo'lsa.
Masalan,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n., . . . - ortib borayotgan ketma-ketlik;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / N., . . . - ketma-ketlikni kamaytirish. ◄
, Ularning soni ortib borayotgan ketma-ketlik, pasaymaydi yoki, aksincha, o'smaydi deb nomlanadi monoton ketma-ketlik .
Monotonum ketma-ketliklar, xususan, ortib borayotgan ketma-ketliklar ortib bormoqda va ketma-ketliklar.
Arifmetik progressiya
Arifmetik progressiya setsiy deyiladi, ularning har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab avvalgi narsa qo'shilgan.
a. 1 , a. 2 , a. 3 , . . . , n., . . .
agar biron bir tabiiy son bo'lsa, arifmetik progressiya n. Vaziyat qoniqarli:
n. +1 = n. + d.,
qayerda d. - ba'zi raqam.
Shunday qilib, ushbu arifmetik rivojlanishning keyingi va oldingi a'zolari o'rtasidagi farq har doim doimiydir:
a 2. - a. 1 = va 3. - a. 2 = . . . = n. +1 - n. = d..
Raqam d. Qo'ng'iroq qilmoq arifmetik progressiya o'rtasidagi farq.
Arifmetik progressiyani o'rnatish uchun birinchi muddatini va farqini ko'rsatish kifoya.
Masalan,
agar a a. 1 = 3, d. = 4 , ketma-ketlikning dastlabki beshta ketma-ketligi quyidagicha topiladi:
a 1. =3,
a 2. = a 1. + d. = 3 + 4 = 7,
a 3. = a 2. + d.= 7 + 4 = 11,
a 4. = a 3. + d.= 11 + 4 = 15,
a. 5 = a. 4 + d.= 15 + 4 = 19. ◄
Birinchi a'zo bilan arifmetik progressiya uchun a. 1 va farq d. u n.
n. = a 1. + (n.- 1)d.
Masalan,
arifmetik rivojlanishning o'ntyurtining a'zolarini toping
1, 4, 7, 10, . . .
a 1. =1, d. = 3,
a 30. = a 1. + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄
a n-1 = a 1. + (n.- 2)d,
n.= a 1. + (n.- 1)d,
n. +1 = a. 1 + nd.,
keyin aniq
| n.=
| a n-1 + a n + 1
|
| 2
|
ikkinchidan boshlab, arifmetik progressiyaning har bir a'zosi avvalgi arifmetikani va keyingi a'zolarga teng.
a, B va C raqamlari ba'zi arifmetik progressiyaning izchil a'zolari, agar ulardan biri o'rtacha ikkita arifmetikaga teng bo'lsa.
Masalan,
n. = 2n.- 7 arifmetik progressiya.
Yuqoridagi bayonotdan foydalanamiz. Bizda ... bor:
n. = 2n.- 7,
a n-1 = 2(n - n -1) - 7 = 2n.- 9,
a n + 1 = 2(n +..1) - 7 = 2n.- 5.
Shunday qilib,
| a n + 1 + a n-1
| =
| 2n.- 5 + 2n.- 9
| = 2n.- 7 = n.,
|
| 2
| 2
|
◄
Eslab qoling n. - Arifmetik progressiya a'zosi nafaqat topilishi mumkin a. 1 Ammo avvalgi har qanday k K.
n. = k K. + (n.- k K.)d..
Masalan,
uchun a. 5 yozib olinishi mumkin
a 5. = a 1. + 4d.,
a 5. = a 2. + 3d.,
a 5. = a 3. + 2d.,
a 5. = a 4. + d.. ◄
n. = a n-k + kD.,
n. = a n + k - kD.,
keyin aniq
| n.=
| a. N-k.
+ A. N + k.
|
| 2
|
ikkinchidan boshlab, arifmetik progressiya a'zosi, bu arifmetik rivojlanishning a'zolarining yarmiga teng.
Bundan tashqari, tenglik har qanday arifmetik rivojlanish uchun to'g'ri:
a m + a n \u003d a k + a l,
m + n \u003d k + l.
Masalan,
arifmetik progressiyada
1) a. 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a. 9 + a. 11 )/2;
2) 28 = a 10. = a 3. + 7d.\u003d 7 + 7 · 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;
3) a 10.= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;
4) a 2 + a 12 \u003d a 5 + a 9, kabi
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
A 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S N.= a 1 + a 2 + a 3. . .+ n.,
avval n. Arifmetik progressiya a'zolari atamalar sonining ekstremal alternativa atamalarining ishiga tengdir:
Bu yerdan, xususan, a'zolik yig'ilishi kerak bo'lsa, shundan dalolat beradi
k K., k K. +1 , . . . , n.,
oldingi formulani o'z tarkibini saqlab qoladi:
Masalan,
arifmetik progressiyada 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S. 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S. 10 - S. 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Agar arifmetik progressiya berilsa, unda qadriyatlar a. 1 , n., d., n. vaS. n. ikki formula bilan chegaralangan:
Shuning uchun, agar trey qadriyatlari Ushbu qiymatlar beriladi, keyin qolgan ikkita qiymatning tegishli qiymatlari ushbu formulalar bilan birlashtirilgan ikkita noma'lum bo'lgan ikkita tenglama tizimiga birlashtirilgan.
Arifmetik progressiya - bu monoton ketma-ketlik. Bunda:
- agar a d. > 0 , keyin u o'sib bormoqda;
- agar a d. < 0 , Bu pasayish;
- agar a d. = 0 Ketma-ketlik harakatsiz bo'ladi.
Geometrik rivojlanish
Geometrik rivojlanish setsiylar deyiladi, ularning har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab avvalgi raqamga ko'paytiriladi.
b. 1 , b. 2 , b. 3 , . . . , b n., . . .
agar biron bir tabiiy son bo'lsa, geometrik progressiya n. Vaziyat qoniqarli:
b n. +1 = b n. · savol:,
qayerda savol: ≠ 0 - ba'zi raqam.
Shunday qilib, oldingi geometrik rivojlanishning oldingi tomoniga nisbati doimiy hisoblanadi:
b. 2 / b. 1 = b. 3 / b. 2 = . . . = b n. +1 / b n. = savol:.
Raqam savol: Qo'ng'iroq qilmoq denominator geometrik progressiya.
Geometrik rivojlanishni o'rnatish uchun uning birinchi muddat va mazhabini aniqlash kifoya.
Masalan,
agar a b. 1 = 1, savol: = -3 , ketma-ketlikning dastlabki beshta ketma-ketligi quyidagicha topiladi:
b 1. = 1,
b 2. = b 1. · savol: = 1 · (-3) = -3,
b 3. = b 2. · savol:= -3 · (-3) = 9,
b 4. = b 3. · savol:= 9 · (-3) = -27,
b. 5 = b. 4 · savol:= -27 · (-3) = 81. ◄
b. 1 va denroinator savol: u n. - Men formulani topishim mumkin:
b n. = b. 1 · q n. -1 .
Masalan,
geometrik rivojlanishning ettinchi a'zosini toping 1, 2, 4, . . .
b. 1 = 1, savol: = 2,
b. 7 = b. 1 · savol: 6 = 1 · 2 6 \u003d 64. ◄
b n-1 = b 1. · q n. -2 ,
b n. = b 1. · q n. -1 ,
b n. +1 = b. 1 · q n.,
keyin aniq
b n. 2 = b n. -1 · b n. +1 ,
ikkinchidan boshlab har bir geometrik rivojlanishning har bir a'zosi o'rtacha geometrik (mutanosib) oldingi va keyingi a'zolarga teng.
Qarama-qarshi bayonot ham to'g'ri, so'ngra quyidagi bayonot bo'lib o'tadi:
a, B va C raqamlari ba'zi geometrik rivojlanishning izchil a'zolari, agar ulardan birining kvadratlari boshqa ikkisining ishiga teng bo'lsa, shundan iborat bo'lsa, bu raqamlardan biri o'rtacha ikki geometrik ikkitadan iborat.
Masalan,
biz formulada ko'rsatilgan ketma-ketlik ekanligini isbotlaymiz b n. \u003d -3 · 2 N. geometrik progressiya. Yuqoridagi bayonotdan foydalanamiz. Bizda ... bor:
b n. \u003d -3 · 2 N.,
b n. -1 \u003d -3 · 2 N. -1 ,
b n. +1 \u003d -3 · 2 N. +1 .
Shunday qilib,
b n. 2 \u003d (-3 · 2 N.) 2 \u003d (-3 · 2 N. -1 · (-3 · 2 N. +1 ) = b n. -1 · b n. +1 ,
bu kerakli bayonotni tasdiqlaydi. ◄
Eslab qoling n. - Geometrik rivojlanish a'zosi nafaqat orqali topilishi mumkin b. 1 , ammo oldingi a'zo ham b K. nima uchun formulani ishlatish kifoya
b n. = b K. · q n. - K K..
Masalan,
uchun b. 5 yozib olinishi mumkin
b 5. = b 1. · savol: 4 ,
b 5. = b 2. · 3-savol.,
b 5. = b 3. · 2-savol.,
b 5. = b 4. · savol:. ◄
b n. = b K. · q n. - K K.,
b n. = b n. - K K. · q K.,
keyin aniq
b n. 2 = b n. - K K.· b n. + K K.
ikkinchidan boshlab, geometrik progressiyaning kvadrat maydoni ushbu progress a'zolarining ishiga tengdir.
Bundan tashqari, tenglik har qanday geometrik rivojlanish uchun to'g'ri:
b m.· b n.= b K.· b l.,
m.+ n.= k K.+ l..
Masalan,
geometrik rivojlanishda
1) b. 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b. 5 · b. 7 ;
2) 1024 = b. 11 = b. 6 · savol: 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b. 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b. 4 · b. 8 ;
4) b. 2 · b. 7 = b. 4 · b. 5 , kabi
b. 2 · b. 7 = 2 · 64 = 128,
b. 4 · b. 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S N.= b. 1 + b. 2 + b. 3 + . . . + b n.
avval n. Denominator bilan geometrik progressiya a'zolari savol: ≠ 0 Formula tomonidan hisoblangan:
Va uchun savol: = 1 - formulaga muvofiq
S N.= nB. 1
E'tibor bering, agar siz a'zolarni yig'ish kerak bo'lsa
b K., b K. +1 , . . . , b n.,
formula ishlatiladi:
| S N.- S K K. -1 = b K. + b K. +1 + . . . + b n. = b K. · | 1 - q n. -
K K. +1
| . |
| 1 - savol:
|
Masalan,
geometrik rivojlanishda 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S. 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S. 10 - S. 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Agar geometrik progressiya berilsa, keyin qadriyatlar b. 1 , b n., savol:, n. va S N. ikki formula bilan chegaralangan:
Shuning uchun, agar ushbu qiymatlarning har uchalasi qadriyatlari berilgan bo'lsa, unda qolgan ikkita qiymatning tegishli qiymatlari ikkita noma'lum bo'lgan ikkita tenglama tizimiga birlashtirilgan.
Birinchi a'zo bilan geometrik progressiya uchun b. 1 va denroinator savol: Quyidagilar mavjud monotoniya xususiyatlari :
- quyidagi shartlardan biri amalga oshirilsa, progress o'smoqda:
b. 1 > 0 va savol:> 1;
b. 1 < 0 va 0 < savol:< 1;
- agar quyidagi shartlardan biri bajarilsa, progress pasaymoqda:
b. 1 > 0 va 0 < savol:< 1;
b. 1 < 0 va savol:> 1.
Agar a savol:< 0 Keyin geometrik progressiya - bu "toq sonlari bo'lgan a'zolari birinchi a'zosi va hatto raqamlar bilan bir xil belgi bo'lsa - qarama-qarshi belgi. Muqobil geometrik progression motonoz emasligi aniq.
Birinchi ish n. Geometrik rivojlanish a'zolari Formula tomonidan hisoblanishi mumkin:
P N.= b 1. · B 2. · B 3. · . . . · B n. = (b 1. · b n.) n. / 2 .
Masalan,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Geometrik rivojlanishning cheksiz rivojlanishi
Geometrik taraqqiyotning cheksiz rivojlanishi Denroinator modul kamroq bo'lgan cheksiz geometrik rivojlanishga qo'ng'iroq qiling 1 , ya'ni
|savol:| < 1 .
E'tibor bering, geometrik ravishda pasayish sur'atlari ketma-ketligi bo'lmasligi mumkin. Bu ishqa mos keladi
1 < savol:< 0 .
Ushbu denomyor bilan ketma-ketlik almashtiriladi. Masalan,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Geometrik o'sishni cheksiz yig'ish yig'imi birinchisining yig'indisi cheksiz deb hisoblang n. Raqamning cheksiz o'sishi bilan progressiya a'zolari n. . Bu raqam har doim, albatta, formula bilan ifodalanadi
| S.= b. 1 + b. 2 + b. 3 + . . . = | b. 1
| . |
| 1 - savol:
|
Masalan,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Arifmetik va geometrik rivojlanishning aloqalari
Arifmetik I. geometrik rivojlanish Bir-biri bilan yaqinroq bog'liq. Faqat ikkita misolni ko'rib chiqaylik.
a. 1 , a. 2 , a. 3 , . . . d. T.
b a. 1 , b a. 2 , b a. 3 , . . . b D. .
Masalan,
1, 3, 5, . . . - farq bilan arifmetik progressiya 2 va
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - Denominator bilan geometrik rivojlanish 7 2 . ◄
b. 1 , b. 2 , b. 3 , . . . - Denominator bilan geometrik rivojlanish savol: T.
b 1-ni qayd qiling, a 2-ni qayd qiling, b 3-ni qayd qiling, . . . - farq bilan arifmetik progressiya jurnal A.savol: .
Masalan,
2, 12, 72, . . . - Denominator bilan geometrik rivojlanish 6 va
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - farq bilan arifmetik progressiya lg 6 . ◄
Arifmetik progressiya summasi.
Arifmetik progressiya miqdori oddiy. Va ma'noda va formula bo'yicha. Ammo ushbu mavzu bo'yicha vazifalar har qanday narsa. Boshlang'ichdan juda qattiq.
Avval biz ma'no va xulosa formulasi bilan shug'ullanamiz. Keyin ular soqol olishadi. Mening mamnuniyatim.) Miqdorning ma'nosi sovun kabi oddiy. Arifmetik progressiya miqdorini topish uchun siz shunchaki uning barcha a'zolarini diqqat bilan bog'lashingiz kerak. Agar bu a'zolar kichik bo'lsa, siz hech qanday formulasiz qo'yishingiz mumkin. Ammo agar ko'p narsa yoki juda ko'p bo'lsa.) Bunday holda formulani tejashadi.
Miqdorning yig'indisi oddiy ko'rinadi:
Keling, tumshuq formulaga kiritilganligini bilib olaylik. Bu ko'p narsani aniqlaydi.
S N. - arifmetik progressiya miqdori. Qo'shish natijasi hamma A'zolar, S. avval bilan oxirgi. Bu muhim. Aynan hamma narsa O'tkazib, sakrab chiqmasdan ketma-ket a'zolar. Va u bilan boshlanadi birinchidan. Uchinchi va sakkizinchi a'zolar sonini yoki yigirmanchi-qizlar sonining miqdorini topish kabi vazifalarda - to'g'ridan-to'g'ri ariza Formulalar ko'ngli qoladi.)
a 1. - avval Rivojlanish a'zosi. Bu erda hamma narsa aniq, bu shunchaki avval qatorlar soni.
n. - oxirgi Rivojlanish a'zosi. Oxirgi qatorlar soni. Juda tanish ism emas, lekin, lekin miqdor bo'yicha qo'llanilganda, bu juda yaxshi. Keyinchalik ko'rasiz.
n. - oxirgi a'zoning soni. Bu raqamda bu raqamda buni tushunish muhimdir a'zolar soniga to'g'ri keladi.
Kontseptsiya bilan himoya qiling oxirgi A'zo n.. Zaxira savol: a'zo nima bo'ladi oxirgi Agar Dana bo'lsa cheksiz Arifmetik progressiya?)
Ishonch uchun arifmetik progresning elementar ma'nosini tushunishingiz va ... vazifani diqqat bilan o'qing!)
Arifmetik progressiya summasini topish vazifasida har doim oxirgi a'zo (bevosita yoki bilvosita) paydo bo'ladi kim bilan cheklanishi kerak. Aks holda yakuniy, aniq miqdor shunchaki mavjud emas. E'tibor berish uchun rivojlanishi o'rnatilishi juda muhim: yakuniy yoki cheksiz. Bu savol berish juda muhimdir: raqamlar yaqinida yoki N-Th a'zoning formulasi.
Eng muhimi, formulani birinchi darajali a'zolarga bo'lgan birinchi darajali ishlayotganini tushunishdir n. Aslida formulani to'liq nomi quyidagicha ko'rinadi: arifmetik rivojlanishning birinchi a'zolarining yig'indisi. Ushbu eng birinchi a'zolarning soni, i.e. n.faqat vazifa bilan belgilanadi. Vazifada bu qimmatli ma'lumotlar ko'pincha shifrlangan, ha ... lekin quyida keltirilgan misollarda biz ushbu sirlarni bog'laymiz.
Aritmetik progressiya summasi uchun vazifalar haqida misollar.
Eng avvalo, foydali ma'lumotlar:
Arifmetik progressiya miqdoridagi vazifalardagi asosiy murakkablik formulani elementlarini to'g'ri aniqlashdir.
Vazifalar tuzuvchilarining bu elementlari cheksiz xayolot bilan shifrlangan.) Asosiysi qo'rqmasligi kerak. Elementlarning mohiyatini tushunish, ularni shifrlash kifoya. Biz bir nechta misollarni batafsil tahlil qilamiz. Keling, haqiqiy gia asosida vazifani boshlaylik.
1. Arifmetik progressiya shart bo'yicha beriladi: a n \u003d 2n-3.5. Uning dastlabki 10 ning miqdorini toping.
Yaxshi vazifa. Yorug'lik.) Siz bilishingiz kerak bo'lgan formulasi bilan miqdorini aniqlash uchun bizga? Birinchi a'zo a 1., oxirgi dik n.Ha oxirgi a'zoning soni n.
Oxirgi a'zoning sonini qayerdan olish kerak n.? Ha, bu erda, holatda! Unda aytilishicha: miqdorni toping dastlabki 10 a'zo. Xo'sh, qaysi raqam bilan bo'ladi oxirgi, O'ninchi a'zosi?) Siz uning raqamiga ishonmaysiz - o'ninchi! n. Formulada biz almashtiramiz a 10.va o'rniga n. - o'nlab. Takror aytaman, oxirgi a'zoning soni a'zolar soniga to'g'ri keladi.
Bu aniqlash uchun qoladi a 1. va a 10.. Bu muammoning holatida berilgan N-Ts a'zosining formulasi bilan osongina ko'rib chiqiladi. Buni qanday qilishni bilmayapsizmi? Oldingi darsga ushbu narsasiz tashrif buyuring - hech qanday tarzda.
a 1.\u003d 2 · 1 - 3.5 \u003d -1.5
a 10.\u003d 2 · 10 - 3.5 \u003d 16.5
S N. = S 10..
Biz arifmetik progressiya formulasi elementlarining qiymatini aniqladik. Ularni almashtirish uchun davom etadi, ammo hisoblang:
Bu hamma narsa. Javob: 75.
GIA asosida boshqa vazifa. Biroz murakkabroq:
2. Arifmetik progressiya (A ning) beriladi, ularning farqi 3.,7; a 1 \u003d 2.3. Uning birinchi 15 a'zosining miqdorini toping.
Xulosa formulasini darhol yozing:
Ushbu formula bizga har qanday a'zoning qiymatini uning raqami bilan topishga imkon beradi. Biz oddiy almashtirishni qidirmoqdamiz:
a 15 \u003d 2.3 + (15-1) · 3,7 \u003d 54.1
Arifmetik progressiya summasidagi barcha elementlarning o'rnini bosadi va javobni hisoblaydi:
Javob: 423.
Aytgancha, agar summa yig'indisida bo'lsa n. N-Th a'zosining formulani o'rnini bosamiz, biz olamiz:
Biz shunga o'xshash narsalarni beramiz, arifmetik rivojlanish a'zolarining yig'indisining yangi formulasini olamiz:
 |
Ko'rinib turibdiki, u N-Th a'zosini talab qilmaydi n.. Ba'zi vazifalarda ushbu formula ajoyib yordam beradi, ha ... Siz ushbu formulani eslab qolishingiz mumkin. Va bu erda bo'lgani kabi, siz uni kerakli vaqtda olishingiz mumkin. Axir, summa formulasi va N-Ts a'zosining formulasini eslab qolish kerak.)
Endi qisqa shifrlash shaklida vazifa):
3. Ajablanarli ikki raqamli raqamlarning yig'indisini toping, bir nechta uchtasini toping.
Qanday qilib! Sizning birinchi a'zoingiz ham, oxirgisi ham, filialingiz ham emas ... Qanday yashash kerak!?
Siz boshingizni o'ylashingiz va arifmetik progressiya summasining barcha elementlarini sharti bilan tortib olishingiz kerak. Ikki xonali raqam - biz bilamiz. Ikkala tsiferokdan iborat.) Qaysi ikki xonali raqam bo'ladi avval? 10, ishonish kerak.) Va oxirgi narsa Ikki raqamli raqam? 99, albatta! Uning orqasida allaqachon uch xonali ...
Uchta bosing ... Um ... Bu uchta maqsadga bo'lingan raqamlar, bu erda! O'nlab o'nga bo'linmaydi, 11 bo'linmaydi ... 12 ... bo'lingan! Shunday qilib, biror narsa bug'lanadi. Siz allaqachon bir qator vazifa holatini yozishingiz mumkin:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Arifmetik progress oralig'i bormi? Albatta! Har bir a'zo avvalgilardan qat'iy uchtasida farq qiladi. Agar siz a'zo bo'lish uchun 2 yoki 4 ga qo'shilsangiz, ayting, natijasi I.E. Yangi raqam, endi uyumdan oldin yo'naltirilgan aktsiyalar emas, darhol va arifmetik progressiyaning farqini aniqlashingiz mumkin: d \u003d 3. Haqiqatga aylanmoq!)
Shunday qilib, siz ba'zi progressiya parametrlarini aniq yozishingiz mumkin:
Va raqam nima bo'ladi n. So'nggi a'zo? Bu 99 - Famografiy xato ... xonalar - ular har doim ketma-ket ketmoqda va bizda a'zolar bor - kuchli uchlikdan sakrashadi. Ular bir-biriga mos kelmaydi.
Hal qilishning ikki usuli mavjud. Bir yo'l - kapital ta'mirlash uchun. Siz progressiya, raqamlarni bo'yashingiz va barmog'ingiz bilan a'zolar sonini hisoblashingiz mumkin.) Ikkinchi usul o'ychandir. N-Sht \u200b\u200ba'zosining formulani eslab qolish kerak. Agar bizning vazifamizga tegishli formulani qabul qilsa, biz 99 ta rivojlanishning o'ntyurtdoshidir. Ular. n \u003d 30.
Biz arifmetik rivojlanishning formulasiga qaraymiz:
Biz qaraymiz va xursand bo'lamiz.) Biz vazifani bajarish shartlaridan voz kechdik:
a 1.= 12.
a 30.= 99.
S N. = S 30..
Boshlang'ich arifmetik qoladi. Raqamni formulaga almashtiramiz va ishonamiz:
Javob: 1665.
Yana bir ommabop vazifa turi:
4. Dana arifmetik progressiya:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Yigiruvchidan o'ttiz to'rtinchi a'zolarga a'zolarning miqdorini toping.
Biz summaning yig'indisiga qaraymiz va ... - bu formula, eslatma, miqdorni hisobga oladi birinchisidan A'zo. Va vazifani ko'rib chiqish kerak yigirmanchi bilan ... Formula ishlamaydi.
Siz, albatta, ketma-ket rivojlanishni 20 dan 34 gacha bo'yashingiz mumkin, ammo ... negadir ahmoqona va uzoq davom etadimi?
Yanada oqlangan eritma mavjud. Biz qatorimizni ikki qismga ajratamiz. Birinchi qism bo'ladi o'n to'qqizinchi birinchi a'zosidan. Ikkinchi qismi - yigirmanchidan o'ttiz ishlatilgan. Avval a'zolarning miqdorini ko'rib chiqsak, aniq S 1-19.Ha, ikkinchi qism a'zolarining yig'indisi bilan qo'shing S 20-34.Men o'ttiz to'rtinchi birinchi a'zoning birinchi a'zosidan chiqish miqdorini olaman S 1-34.. Mana bunday:
S 1-19. + S 20-34. = S 1-34.
Bu yerdan summani topish mumkin S 20-34. Siz osongina olib tashlashingiz mumkin
S 20-34. = S 1-34. - S 1-19.
Ikkala summa ham to'g'ri qism hisoblanadi birinchisidan A'zo, i.e. Bu standart xulosa formulasi bilan bog'liq. Boshlash?
Muammoning rivojlanishi muammosi muammosini olib tashlang:
d \u003d 1.5.
a 1.= -21,5.
Birinchi 19 va birinchi 34 a'zosining summalarini hisoblash uchun bizda 19-va 34-a'zolar kerak bo'ladi. Biz ularni 2-vazifada bo'lgani kabi N-Th a'zoning formulasiga ko'ra ko'rib chiqamiz:
a 19.\u003d --21,5 + (19-1) · 1,5 \u003d 5.5
34.\u003d --21,5 + (34-1) · 1,5 \u003d 28
Hech narsa qolmadi. 34 a'zoning 19 a'zosi miqdorini olib chiqish uchun:
S 20-34 \u003d s 1-34 - s 1-19 \u003d 110.5 - (-152) \u003d 262.5
Javob: 262.5
Bitta muhim eslatma! Ushbu vazifani hal qilish juda foydali chip mavjud. To'g'ridan-to'g'ri hisoblash o'rniga nima kerak (S 20-34), Biz hisobladik 1-19 ga to'g'ri keladigan narsa Keyin va keyin aniqlanadi va S 20-34., tomchi ot. to'liq natija keraksiz. Bunday "tirnoqlar" ko'pincha yomon ishlarni saqlaydilar.
Ushbu darsda biz arifmetik progressiya summasining ma'nosini tushunish uchun etarli bo'lgan vazifalarni ko'rib chiqdik. Xo'sh, bir nechta formulalarni bilish kerak.)
Arifmetik progressiya miqdorida biron bir vazifani hal qilishda men ushbu mavzudan ikkita asosiy formulalarni darhol chiqarishni tavsiya qilaman.
N-Th a'zosining formulasi:
Ushbu formulalar sizning vazifani hal qilish uchun nimani qidirish kerakligini darhol izlashingiz kerak. Yordam beradi.
Va endi o'z-o'zini qabul qilish vazifalari.
5. Uchta raqamga bo'linmaydigan barcha ikki raqamli raqamlarni toping.
Salqinmi?) Maslahat 4. Xo'sh, 3-vazifa yordam beradi.
6. Arifmetik progressiya shart bo'yicha belgilanadi: a 1 \u003d -5.5; a n + 1 \u003d a n +0.5. Uning birinchi 24 a'zosining miqdorini toping.
Noodatiymi?) Bu takrorlanadigan formulani. Bu haqda avvalgi darsda o'qish mumkin. Havolani e'tiborsiz qoldirmang, bunday vazifalar ko'pincha topiladi.
7. Vasya pul bayrami uchun to'plangan. Butun 4550 rubl! Va men o'zim yoqtirgan odamni bir necha kun baxt uchun berishga qaror qildim). Kuchli yashash uchun, rad etish. Birinchi kunda 500 rublni sarflang va har bir keyingi kunda avvalgisidan ko'ra 50 rublni sarflang! Pul zaxirasi tugaguncha. Vasi necha kunlik baxt keldi?
Qiyin formulalar 2-vazifadan yordam beradi.
Javoblar (tartibsizlikda): 7, 3240, 6.
Agar sizga ushbu sayt yoqsa ...
Aytgancha, menda yana bir juft qiziqarli saytlar bor.)
U misollar bilan tanishishda va sizning darajangizni bilib olish uchun kirish mumkin. Tez tekshirish bilan sinovdan o'tish. O'rganing - qiziqish bilan!)
Siz xususiyatlar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Yoki arifmetika - bu buyurtma qilingan raqamli ketma-ketlik shakli, uning xususiyatlari o'rganilgan maktab kursi Algebra. Ushbu maqolada arifmetik progressiya miqdorini qanday topish masalasi batafsil tasvirlangan.
Bu progressiya nima?
Muammoni ko'rib chiqish uchun (qanday arifmetik progressiya miqdorini topish mumkin), bu nima haqida gapirayotganimizni tushunishga arziydi.
Har bir qiymatdan ma'lum qiymatni qo'shish (aylantirilishi) tomonidan olingan haqiqiy raqamlarning har qanday ketma-ketligi algebraik (arifmetik) taraqqiyot deb ataladi. Matematika tilidagi ushbu ta'rif formani oladi:
Bu erda men A i I seriyasining elementi sonining ketma-ketligi. Shunday qilib, faqat bitta dastlabki raqamni bilish, siz butun oralig'ni osongina tiklaysiz. Formuladagi parametri dorisning farqlanishi deyiladi.
Buni ko'rib chiqilayotgan raqamlar soni uchun osonlikcha ko'rsatilishi mumkin, quyidagi tenglik amalga oshiriladi:
a n \u003d a 1 + d * (n - 1).
Ya'ni, N-Thundning qiymatini topish, N-1 Vaqtning birinchi elementga 1-chi farqni qo'shish kerak.
Arifmetik progressiya qancha turadi: formula
Belgilangan miqdordagi formulani olib kelishdan oldin, oddiy shaxsiy holatni hisobga olish kerak. 1 dan 10 gacha bo'lgan tabiiy sonlarning rivojlanishi beriladi, ularning summasini topish kerak. A'zolarga ko'ra, biroz (10) bo'lganligi sababli, siz peshonada vazifani, ya'ni barcha elementlarni tartibda jamlashingiz mumkin.
S 10 \u003d 1 + 2 + 4 + 6 6 6 + 8 + 8 + 8 + 10 \u003d 55.
Bu bitta qiziqarli narsani ko'rib chiqishga arziydi: har bir a'zo D \u003d 1 ning keyingi qiymatidan farq qiladi, keyin o'ninchi va shu sababli ikkinchi va boshqalar bilan birinchisi, ikkinchi va boshqalar bilan bir xil natija beradi. Haqiqatan ham:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Ko'rinib turibdiki, bu so'mlar atigi 5, ya'ni, aynan ikki baravar kam, bu seriya elementlari sonidan ikki baravar kam. Keyin har bir miqdor (11) natijalariga ko'ra summalar sonini (5) ko'paytirish, siz avval olingan natijaga kelasiz.
Agar siz ushbu dalillarni umumlashtirsangiz, quyidagi iborani yozib olishingiz mumkin:
S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.
Ushbu ibora barcha elementlarni umuman umumlashtirish kerak emasligini ko'rsatadi, bu birinchi 1 va ikkinchi n hamligini bilish kifoya jami shartlar n.
Bu tenglikdan oldin birinchi marta Gauss o'z qarorini ko'rib chiqayotganda o'ylagan maktab o'qituvchisi Vazifa: 100 birinchi butun sonni umumlashtirish.
M dan n gacha bo'lgan elementlar soni: formula
Oldingi paragrafda berilgan formulalar qanday arifmetik progressiya miqdorini (birinchi elementlar) topish masalasi bo'yicha javob beradi, ammo ko'pincha vazifalar bo'yicha tez-tez targ'ibot o'rtasida bir qator raqamlarni to'ldirish kerak. Buni qanday qilish kerak?
Ushbu savolga javob bering, quyidagi misolni hisobga olgan holda: janobdan N-Th gacha bo'lgan a'zolarning miqdorini topish kerak bo'ladi. Muammoni hal qilish uchun m yangi raqamli seriya shaklida m dan n gacha bo'lgan segentsiya mavjud bo'lishi kerak. Shunday vakili M-Th A M atamasi birinchi, va n N dan (m-1) sonida bo'ladi. Bu holda, standart formulani qo'llash uchun qo'llaniladi, quyidagi ibora olinadi:
S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Formulalarni ishlatishning misoli
Arifmetik progressiyani qanday topishni bilish yuqoridagi formulalardan foydalanishning oddiy misolini ko'rib chiqishga arziydi.
Raqamli ketma-ketlik - bu 12-chi va tugashdan boshlab o'z a'zolari miqdorini topishingiz kerak:
Ushbu raqamlar d ga teng ekanligini ko'rsatadi. N---chi uchun iborani ishlatish Siz progressiya 5 va 12-chi a'zolarining qiymatlarini topishingiz mumkin. Ma'lum bo'lishicha:
a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.
Ko'rilganlarning uchlarida turgan raqamlarning qiymatlarini bilish algebraik progressiyaShuningdek, ular ketma-ket qaysi raqamlarni bilishini bilish, avvalgi paragrafda olingan miqdor uchun formuladan foydalanishingiz mumkin. Ma'lum bo'lishicha:
S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.
Shuni ta'kidlash kerakki, ushbu qiymatni boshqacha olish mumkin: birinchi navbatda standart formulaga muvofiq birinchi 12 element miqdorini toping, so'ngra bir xil formulaga muvofiq birinchi 4 element miqdorini hisoblab chiqing, so'ng ikkinchi miqdorni ajrating.
Raqamli ketma-ketlik tushunchasi ba'zi bir haqiqiy qiymatning har bir tabiiy soniga yozishishni anglatadi. Bunday bir qator raqamlar o'zboshimchalik bilan ham, ma'lum bir xususiyatlarga ega bo'lishi mumkin - progressiya. Ichida so'nggi holat Har bir keyingi element (a'zo) avvalgisidan foydalanib hisoblab chiqilishi mumkin.
Arifmetik progressiya - uning qo'shni a'zolari bir-biridan bir xil raqamga (2-chi soniyadan boshlab turmalarning barcha elementlari) mulkka ega. Bu raqam avvalgi va keyingi a'zo o'rtasidagi farq - doimo va rivojlanish farqidir.
Progressning rivojlanishi: ta'rifi
A \u003d a (1), A (2), A (3), A (4), A (j), N. arifmetik progressiyadan iborat ketma-ketlikni ko'rib chiqing Uning ta'rifiga ko'ra - A (3) - a (2) \u003d a (3) - a (3) \u003d a (4) - a (4) - a (j) - a J-1) \u003d d. D qiymati bu rivojlanishning istalgan farqidir.
d \u003d a (j) - a (J-1).
Ajratish:
- Protsiyaning rivojlanishi, D\u003e 0. Masalan: 4, 8, 12, 16, ...
- Progressning pasayishi, keyin D< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Progressiya farqi va o'zboshimchalik elementlari
Agar progressiyaning 2 nafari a'zosi (i-th, k,) bo'lsa, unda ushbu ketma-ketlik munosabatlar munosabatlarga asoslanishi mumkin:
a (i) \u003d A (K) + (i - k) * d, bu d \u003d (i) - a (k)) / (men) (i - k) ni anglatadi.
Progressiya farqi va birinchi a'zo
Ushbu ibora noma'lum qiymatni faqat ketma-ketlik elementi ma'lum bo'lgan hollarda aniqlashga yordam beradi.
Progressiya farqi va uning miqdori
Progressiya miqdori uning a'zolarining yig'indisidir. Uning birinchi j elementlarining umumiy qiymatini hisoblash uchun tegishli formuladan foydalaning:
S (j) \u003d ((((J)) / 2) * J, lekin A (j) \u003d a (1) + d (j - 1), keyin s (((1) + A (1) + D (1) + d (j - 1)) * 2) * j \u003d j \u003d j \u003d (j - 1))) * 2) * J \u003d D (1))) * 2) * j \u003d d (1))) * 2) * j \u003d d (1)) (J - 1))) * 2) * 2) (J - 1)) * J.2) * J \u003d D (1))) * 2) * j \u003d d (1))) * 2) * '2) * J \u003d D (1))) * A (1))) * 2) * 2) *' 2 2a (1) + d (- 1)) / 2) * j.
