Ko'plab ko'paytirgichlarning parchalanish usullari qanday? Ko'plab ko'paytirgichlarda polinomiallarning parchalanishining murakkab holatlari
Bu ifodani soddalashtirishning eng boshlang'ich usullaridan biridir. Ushbu usulni qo'llash uchun keling, ko'paytirishning qo'shimcha qonunini eslab qolsin (ushbu so'zlardan qo'rqmang, siz ushbu qonunni bilasiz, men uning ismini unuta olaman).
Qonunda aytilishicha: ikki raqam miqdorini uchinchi raqamga ko'paytirish uchun siz har bir hizalanishni ushbu raqamga ko'paytirishingiz va olingan natijalar boshqacha aytganda.
Siz ham qarama-qarshi operatsiyani bajarishingiz mumkin, bu bizdan bu teskari foydalanish va bizni qiziqtir. Namunadan ko'rinib turibdiki, a qavsdan olinishi mumkin.
Bunday operatsiyani o'zgaruvchilar, masalan, masalan, va raqamlar bilan amalga oshirish mumkin:.
Ha, bu juda oddiy misol, shuningdek, avvalgi parchalanish bilan, chunki hamma bu raqamlarni biladi, va agar sizda ifoda paydo bo'lsa:
Qanday qilib qanday qilib, masalan, raqamga bo'linganligini qanday aniqlash mumkin, uni kalkulyator bilan har kim qila oladi va ular zaifmi? Va bunga ajratilgan belgilar bor, bu alomatlar buni bilishga arziydi, ular sizga umumiy multiplikatorni qavsdan olib tashlash kerakligini tushunishga yordam beradi.
Tarkibiylik belgilari
Ular buni eslab qolish unchalik qiyin emas, ehtimol ularning aksariyati bu bilan tanish edi va biron bir narsa yangi foydali kashfiyot bo'ladi, stolda ko'proq foydali bo'ladi:
Eslatma: Stolning bo'linish belgisi yo'q. Agar ikkita oxirgi raqamlar 4 ga bo'lingan bo'lsa, unda butun son 4 ga bo'linadi.
Qanday qilib belgini yoqtirasiz? Men unga eslab qolishni maslahat beraman!
Xo'sh, keling, ko'rsatmaga qaytaylik, ehtimol u qavs uchun etarli va u bilan etarli bo'lishi mumkinmi? Yo'q, matematiklar sodda qilib, to'liq, barcha olingan narsalarga ega!
Shunday qilib, Oliy bilan hamma narsa aniq va ifodasining roziyallohu anhudagi narsasi bormi? Ikkala raqam ham g'alati, shuning uchun taqsimlash mumkin emas,
Siz ajratish belgisi, raqamlar miqdori va ularning soni teng va bo'linganligini anglatadi va bu degani, bu ikkiga bo'linganligini anglatadi.
Buni bilish, siz ustunga xavfsiz bo'lishingiz mumkin, qabul qilish (ajratish belgilari foydali bo'ldi!). Shunday qilib, biz qavsni, shuningdek y va Natijada bizda:
Hammasini to'g'ri qo'yganingizga ishonch hosil qilish uchun siz parchalanishni tekshirishingiz mumkin!
Shuningdek, umumiy multiplikatorni elektr iboralarida olib chiqish mumkin. Bu erda, masalan, umumiy multiplikatorni ko'ring?
Ushbu iboraning barcha a'zolari Xserlarga ega - biz bardosh beramiz - yana bir bor qabul qilamiz, nima bo'lganini ko'rib chiqamiz:.
2. Qisqartirilgan ko'payish formulalari
Agar u nima ekanligini eslasangiz, unda qisqartirilgan ko'payishning formulalari, agar siz ularni xotirada yangilashingiz kerak.
Xo'sh, agar siz o'zingizni juda aqlli va juda dangasa deb hisoblasangiz, shunchaki o'qing, formulani ko'rib chiqing, rasmga murojaat qiling.
Ushbu parchalanishning mohiyati - bu sizning oldingizda mavjud bo'lgan mavjud iborada ma'lum bir formulanni ko'rish, uni qo'llash va olish, shuning uchun biror narsa va biror narsaning mahsuloti, bu barcha parchalanish. Quyidagi formulalar:
Va endi yuqoridagi formulalardan foydalangan holda ko'paytirgichlarga quyidagi iborani tarqating:
Ammo nima bo'lishi kerak:
Siz sezganingizdek, ushbu formulalar multiplierlarning parchalanishining juda samarali usulidir, bu har doim ham mos emas, lekin juda foydali bo'lishi mumkin!
3. guruhlash yoki guruhlash usuli
Va bu erda yana bir ishonchli.
xo'sh, u bilan nima qilasiz? Bu biror narsaga bo'linganga o'xshaydi va nimadir
Ammo barchasi bir-birlarini ajratmaydi, yaxshi umumiy omil yo'qQanday qilib izlamang, ko'paytirgichlarga yotqizmang, shuning uchun chiqing, ko'paytirgichlarga berilmayaptimi?
Bu erda aralashmani ko'rsatish kerak va bu hidning nomi guruhlash!
Barcha a'zolardan umumiy bo'linuvchilar bo'lmaganida qo'llaniladi. Guruhlash uchun kerak umumiy bo'linadigan vositalarga ega bo'lgan atamalar guruhlarini toping Va ularni har bir guruhdan olish uchun ularni qayta tartiblash uchun ularni qayta tartiblash.
Ba'zi joylarda qayta tartiblash kerak emas, ammo ravshanlikni aniq ko'rsatib turadi, chunki qavs ichida ifodaning ba'zi qismlarini olish mumkin emas, siz xohlaganingizcha o'rnatilishi taqiqlanmaydi, asosiy narsa qo'rqitmaydi.
Bularning barchasi aniq emasmi? Men misol haqida tushuntirib beraman:
Molynomialda biz a'zoni - a'zodan keyin - biz olamiz
biz dastlabki ikki a'zoni alohida qavsda, shuningdek uchinchi va to'rtinchi a'zolar guruhiga guruhlashni ham o'rganamiz, men qavs uchun "minus" belgisini olaman, biz olamiz:
Va endi biz ikkala "qoziq" ning har biriga alohida ko'rinamiz, buning uchun biz o'z ifodasini qavslar bilan sindirib tashladik.
Hiyla-nayrang bunday xatolarga olib keladi, ular maksimal multimni bajarish mumkin, yoki shu misolni olib borish, masalan, krontila uchun multiplilani ishlab chiqaruvchilarni tuzgandan so'ng, biz ham xuddi shunday ifoda edik.
Ikkala qavsdan ikkinchisining umumiy sonini birinchi qavsdan olib boramiz va ikkinchisidan olamiz:
Ammo bu parchalanish emas!
Pechkaeshak Dekompozitsiya faqat ko'paytirish kerakModomiki, bizda molynomial ravishda ikkiga bo'lingan ...
Ammo! Ushbu polinom umumiy ishlaydi. u
qavs uchun va yakuniy ishni oling
Bingo! Ko'rib turganingizdek, allaqachon bir bo'lak va qavslar mavjud emas, qo'shimcha, na qo'shimcha, parchalanishi tugallanmagan, chunki Bizda qavslar uchun boshqa hech narsa yo'q.
Qavslar uchun ko'paytirgich tuzgandan so'ng, biz qavs ichida yana bir xil iboralarni qoldirdik.
Va bu mo''jiza emas, haqiqat shundaki, darsliklar va ee-da imtihon, masalan, soddalashtirish vazifalarida yoki faktorizatsiya To'g'ri yondashuv bilan u osonlikcha soddalashtiriladi va har bir iborada bir xil tugmachani qidirsangiz va bir xil tugmachani qidiring.
Men chalg'itadigan narsam, biz haqimizda soddalashtirish bor? Qattiq politomiya sodda shaklda :.
Qabul qilmang, bunday xijolat emas, qanday bo'ldi?
4. To'liq kvadratni izolyatsiya qilish.
Ba'zida, qisqartirilgan ko'payish formulalarini ishlatish uchun mavjud polinomni o'zgartirish uchun, uning shartlari summa shaklida yoki ikki a'zoning farqi bo'lgan shartlaridan birini ifodalash uchun mavjud bo'lishi kerak.
Qanday bo'lmasin, siz buni qilishingiz kerak, misoldan o'rganishingiz kerak:
Ushbu shakldagi polinom qisqartirilgan ko'payish formulalaridan foydalanib, uni o'zgartirilishi kerak. Ehtimol, dastlab nima a'zo bo'lishining aniq bo'lmaydi, ammo vaqt o'tishi bilan siz butunlay yo'q bo'lib qolmasa ham, qisqartirilgan ko'payish formulalarini darhol ko'rishni o'rganasiz va bu juda tez aniqlanadi, bu esa yo'q to'liq formulada to'liq formulada, ammo hozirgacha - o'rganish, talaba yoki maktab o'quvchisi.
Buning o'rniga farqning bir kvadratining to'liq formulasi uchun. Uchinchi a'zoni farqni tasavvur qiling, biz olamiz: qavs ichida ifodaga siz farqning maydonining formulani qo'llashingiz mumkin (Kvadratlarning farqini chalkashtirib bo'lmaydi !!!)Biz quyidagi ifodaga, siz kvadrat farq formulasini qo'llashingiz mumkin (Farqi kvadrat bilan adashmaslik uchun !!!)Men, qanday qilib olamiz:
Shakl har doim ham parchalanishdan osonroq va kamroq ko'rinmaydi, ammo bu shaklda u belgilar va boshqa matematik bema'nilikning o'zgarishini to'xtata olmasligingiz sezilarli bo'ladi. Xo'sh, bu erda mustaqil qaror uchun quyidagi iboralar ko'paytirgichlarga ajratilishi kerak.
Misollar:
Javoblar:
5. Maydonning ko'paytirgichlari bo'yicha uchta dekorativ
Maydon parchalanishida omillar bo'yicha parchalanishda parchalanish misollarida yana bir bor ko'radi.
Ko'plab ko'paytirgichlarni ko'paytirish uchun ko'payishning 5 usulining misollari
1. Qavslar uchun umumiy omilni olib tashlash. Misollar.
Qanday tarqatish qonuni nima ekanligini eslaysizmi? Bu qoida:
Misol:
Ko'paytirgichlarni ko'paytirish uchun polinomiallarni yuborish.
Qaror:
Yana bir misol:
Ko'paytirgichlarga tarqalish.
Qaror:
Agar atama qavslar ortida to'liq tugasa, jihoz o'rniga qavs ichida qoladi!
2. Qisqartirilgan ko'payish formulalari. Misollar.
Ko'pincha biz formulalar farqini, kublarning farqi va kub miqdorini ishlatamiz. Ushbu formulalarni eslaysizmi? Agar yo'q bo'lsa, mavzuni zudlik bilan takrorlang!
Misol:
Ko'plab ifodani o'rganing.
Qaror:
Ushbu iborada kublarning farqi haqida bilish juda oson:
Misol:
Qaror:
3. guruhlash usuli. Misollar
Ba'zan uni shu tarzda o'zgartirilishi mumkin, shu tarzda qo'shni har bir juft qo'shni sonidan ajratilishi mumkin. Ushbu umumiy omilni qavs orqali erishish mumkin va dastlabki polinom ishqa aylanadi.
Misol:
Ko'p ko'prikka tarqating.
Qaror:
Komponentlarni quyidagicha ko'rib chiqing:
.
Birinchi guruhda men qavs uchun umumiy ko'paytiraman, ikkinchisida -:
.
Endi umumiy fabrika ham qavslar uchun topshirilishi mumkin:
.
4. Yuqori kvadratcha izolyatsiya usuli. Misollar.
Agar ikki ma'noli kvadratlar kvadratining maydonining shaklida bo'lsa, unda qisqartirilgan ko'paytirish formulani (kvadratlarning farqi) shakllanishini qo'llash mumkin.
Misol:
Ko'p ko'prikka tarqating.
Qaror:Misol:
\\ Boshlang'ich (qator) (* (35) (l))
((x) ^ (2)) + 6 (x) -7 \u003d \\ skrice ((2) ^ (2) ^ (2)) + 2 \\ CDOT X + 9) _ ((\\ 1 \\) (X + 3 \\ o'ng)) ^ (2))) - 9-7 \u003d (chap (x + 3 \\ o'ng)) ^ (2)) - 16 \u003d \\\\
\u003d \\ chap (x + 3 + 4 \\ o'ng) \\ chap (x + 3-4 \\ o'ng) \u003d chap (x + 7 \\ o'ng) \\ chap (x-1 \\ o'ng) \\\\
\\ End (qator)
Ko'p ko'prikka tarqating.
Qaror:
\\ Boshlang'ich (qator) (* (35) (l))
((x) ^ (4)) - 4 ((2)) - 1 \u003d \\ pivalent ((4) ^ (4)) - 2 \\ cdot 2 \\ cdot ((x) ^ (2) ^ (2) ) +4) _ (kvadrat \\ farq (((2) ^ (2)) - 2 \\ o'ngda) - 2 \\ o'ngda)) ^ (2))) - 4-1 \u003d ((((x) ^ (2)) - 2 \\ o'ngda)) ^ (2)) - 5 \u003d \\\\
\u003d \\ chap ((2) ^ (2)) - 2+ \\ sqrt (5) \\ o'ng) \\ chap ((2) ^ (2)) - 2- sqrt (5) \\ o'ng) \\\\
\\ End (qator)
5. Maydonning ko'paytirgichlar bo'yicha uchta dekorativ. Misol.
Kvadrat uchi noma'lum bo'lgan kolinom ko'rinish - bu ba'zi raqamlar va.
O'zgaruvchining nolga aylantiruvchi o'zgaruvchining qiymatlari uch kadrlarning ildizlari deyiladi. Binobarin, uch otishning ildizlari kvadrat tenglamaning ildizlari.
Teorema.
Misol:
Ko'plab ko'paytirgich maydoniga tarqalish:.
Birinchidan, biz kvadrat tenglamasini hal qilamiz: Endi ushbu maydonning parchalanishini qayd etishingiz mumkin:
Endi sizning fikringiz ...
Biz ko'paytirgichlarni qanday qilib va \u200b\u200bko'paytiruvchilarni batafsil bayon qildik.
Biz amaliyotda qanday ishlashni amalga oshirish kerakligini juda ko'p misollar keltirdik, gardishlarga ishora qildi ...
Siz nima deysiz?
Ushbu maqola sizga qanday yoqadi? Siz ushbu usullardan foydalanasizmi? Siz ularning mohiyatini tushunasizmi?
Izohlarga yozing va ... Imtihonga tayyorlaning!
Hozircha u hayotingizda eng muhimdir.
Muammoni imtihondan yoki matematikadan kirish imtihonidan foydalanish jarayonida siz mittilarni o'rgangan standart usullari bilan ko'payish imkoni bo'lmagan taqdirda nima qilish kerak? Ushbu maqolada matematika o'qituvchisi bitta samarali usulda, ular maktab dasturidan tashqarida bo'lgan, ammo uning yordamida polinomni parchalash qiyin emas. Ushbu maqolani oxirigacha oling va qo'llaniladigan video qo'llanmani ko'rib chiqing. Siz olishingiz kerak bo'lgan bilim sizga imtihonda yordam beradi.
Bo'linish usullariga polinomning parchalanishi
Agar siz ikkinchi darajali darajadan ko'proq siz ko'p darajaga ega bo'lsangiz va ushbu polinomning nolga teng bo'lgan o'zgaruvchining qiymatini taxmin qilishingiz mumkin (masalan, ushbu qiymat teng), biling! Ushbu polizim qoldiqsiz bo'lish mumkin.
Masalan, to'rtinchi darajali polinomning nolga murojaat qilishini ko'rish juda oson. Bu shuni anglatadiki, uni qoldiqsiz bo'lish mumkin, uchinchi darajali (birlik uchun kamroq) ko'p kamol topgan holda. Ya'ni tasavvur qiling:
qayerda A., B., C. va D. - ba'zi raqamlar. Qavslar:
Xuddi shu darajadagi koeffitsientlar bir xil bo'lishi kerak, biz olamiz:
Shunday qilib, oldim:
Davom etishga ruxsat. Uchinchi darajalilarning ko'payishi yana bir necha baravar o'zgarganligini ko'rib, bir nechta kichik butun sonlarni saralash kifoya. Bu ikkinchi darajali polinom (birlik uchun kamroq). Keyin yangi yozuvga o'ting:
qayerda E., F. va G. - ba'zi raqamlar. Biz qavslarni ochib, quyidagi ifodaga keldik:
Yana bir darajadagi koeffitsientlarning tengligi sharti bilan biz olamiz:
Keyin biz olamiz:
Ya'ni, dastlabki polizual omillarga quyidagicha ajratilishi mumkin:
Aslida, agar so'ralsa, formuladan foydalansa, kvadratlarning farqi, natijasi quyidagicha yuborilishi mumkin:
Bu ko'paytirgichlarda polinomiallarni parchalashning bunday samarali va samarali usuli. Esingizda bo'lsin, u matematikadan imtihon yoki olimpiadalarga qulay bo'lishi mumkin. Ushbu usuldan foydalanishni o'rganganingizni tekshiring. Quyidagi vazifani o'zingiz hal qilishga harakat qiling.
Ko'paytiruvchilarni ko'paytirish uchun polinomni tarqating:
Javoblaringizni sharhlar bilan yozing.
Sergey Valeriyevich materiallar tayyorlangan
- 1. Qavslar va guruhlash usuli uchun umumiy omilni davolash. Ba'zi hollarda, ba'zi a'zolarni bunday shartlarning (farqini) almashtirish yoki o'zaro yo'q qilish a'zolarini tanishtirish tavsiya etiladi.
- 2. Qisqartirilgan ko'payish formulalaridan foydalanish.Ba'zida siz qavslar, guruh a'zolari uchun ko'paytirgichlarga dosh berishingiz va faqat kub miqdorini, kvadratlarning farqi yoki ish shaklida ifodalash uchun kublarning farqi.
- 3. Maydoning teoremasi va noaniq koeffitsientlar usuli yordamida.
Misol . Ko'plab ko'paytirgichlarni jo'natish:
P 3 (x) \u003d x 3 + 4x 2 + 5x + 2;
P 3 (-1) \u003d 0, keyin polinomial p 3 (x) x + 1 ga bo'linadi. Noma'lum koeffitsientlarning usuli polinomlar bo'linmasidan shaxsiy topiladi
P 3 (x) \u003d x 3x 2 + 5x + 2 bükmon x + 1.
Xususiy Xususiy X 2 + ovqatlanishiga yo'l qo'ying. X 3 + 4X 2 + 5X + 2 \u003d (x + 1) · (x 2 +) \u003d
X 3 + (+ 1) · x 2 + () · X +, biz tizimni olamiz:
Qayerdan. Binobarin, p 3 (x) \u003d (x + 1) · (x 2 + 3x + 2).
X 2 + 3x + 2 \u003d x 2 + x + 2x + 2x + 2. 2. (x + 1) \u003d (x + 1), keyin p 3 (x ) \u003d (x + 1) 2 dan (x + 2).
4. "Sahna" loyi va bo'linmasidan foydalanish.
Misol . Ko'plab ko'paytirgichlarda parchalanadi
P 4 (x) \u003d 5 · x 4 + 9 · x x x xom 2-X -8.
Qaror . P 4 (1) \u003d 5 + 9-8-8 \u003d 0, keyin p 4 (x) ga bo'linadi (x-1). "Ustun" divizi biz shaxsiy topamiz
Shunday qilib,
P 4 (x) \u003d (x-) · (5 · x 3 + 14x 2 + 12x + 8) \u003d
\u003d (x - 1) · p 3 (x).
P 3 (-2) \u003d -40 + 56-24 + 8 \u003d 0, keyin polinomial p 3 (x) \u003d 5 · 14x + 12x + 12x + 12x + 12x + 8 + 2) x + 2 ga bo'linadi.
"Sahna" xususiy bo'linmasini toping:
Shunday qilib,
P 3 (x) \u003d (x + 2) · (5 · x 2 + 4x + 4).
Kvadrat kamsisidan uchtasi 5 · 2 + 4x + 4 d \u003d -24<0, то этот
linear ko'paytirgichga kvadrat uch baravar ko'paymaydi.
Shunday qilib, p 4 (x) \u003d (x - 1) · (x + 2) · (5 · 1 + 4x + 4)
5. Mousure teoremasi va ingliz sxemasi yordamida. Ushbu usullardan olingan xususiy usullar ko'paytirgichlarga boshqalarga yoki xuddi shu tarzda tarqalishi mumkin.
Misol . Ko'plab ko'paytirgichlarni jo'natish:
P 3 (x) \u003d 2 · x 3 -5 - 1 -1966-x + 99;
Qaror .
Agar bu polinom oqilona ildizlarga ega bo'lsa, ular faqat 1/2, 1, 3/2, 9, 9, 9, 9, 9, 99, 99, 11 raqamlar orasida bo'lishi mumkin.
Ushbu polinomning ildizini topish uchun biz quyidagi bayonnomadan foydalanamiz:
Agar ba'zi segmentning uchida polinomning qiymati turli xil belgilarga ega bo'lsa, unda intervalda (a; a; b) ushbu polinomning kamida bitta ildizi mavjud.
Ushbu polinomial p 3 (0) \u003d 99, p 3 (1) \u003d - 100. Shuning uchun ushbu polinomning kamida bitta ildizi (0; 1). Shuning uchun 24 ta raqam yozganlar orasida avvalgi raqamlarga tegishli bo'lgan raqamlarni tekshirish tavsiya etiladi
(0; 1). Ushbu raqamlarning faqat raqami ushbu oraliqga tegishli.
X \u003d 1/2 bilan p 3 (x) ning qiymati nafaqat to'g'ridan-to'g'ri almashtirish, balki boshqa yo'llar bilan ham, masalan, tog 'sxemasiga ko'ra, p () bo'linish qoldiqiga teng. polinomial p (x) dan x gacha. Bundan tashqari, ko'p misollarda ushbu usul afzal, chunki koeffitsientlar ham bir vaqtning o'zida joylashgan.
Ushbu misol uchun tog 'sxemasiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:
P 3 (1/2) \u003d 0, x \u003d 1/2 polinomial p 3 (x) ning ildizi va polizomial p 3 (x) x-1/2 ga bo'linadi. 2 · X 3 -5-X 2 -196 XON + 99 \u003d (X-1/2) · (2 \u200b\u200b· 1/2 -4 · 198).
2 · 2 -4 · XX-19-XE 19 (x 2 -2 · 1-1) \u003d 2 · (x-1) 2-10 2) \u003d 2 -1 (x + 9) X-11) Keyin
P 3 (x) \u003d 2 · x 3 -5666-X + 99 \u003d 2 · (X-1/2) · (X + 9) ·
Uzuk halqalari tushunchasi
Bo'linmoq Gava L. Uyatuvchan halqalar
1-ta'rif. : Uzuk Ga Oddiy halqalarni kengaytirish deb ataladi K K. Elementlardan foydalanish x. va yozing:
L \u003d k [x]Agar shartlar qondirilsa:
sahifa uzuklari
Asosiy to'plam K [x]sumbinlarni bildiradi L, k [x].
2-ta'rif. : Oddiy kengaytirish L \u003d k [x] uzuk K K. yordamida x. - Oddiy transcendent uzuk kengaytmasi K K. yordamida x.Agar shartlar qondirilsa:
sahifa uzuklari
Agar, keyin
3-ta'rif. : Element x. uzuk ustiga transcendent deb nomlanadi K K.Agar shart qoniqsa: agar, keyin
Hukm. Bo'linmoq K [x] Oddiy transkendental kengayish. Agar va qaerda, keyin
Dalil . Shart bo'yicha ikkinchi ibora birinchi ifodadan chiqarib tashlanadi, biz olamiz: Elementdan x. Transcendentien nad. K K.keyin (3) dan, biz olamiz :.
Chiqish. Teng bo'lmagan nolni oddiy ziddiyatni oddiy ushlab turishning har qanday elementi K K. Buyumdan foydalanish x. Faqat bir qismning salbiy bo'lmagan qismining chiziqli kombinatsiyasi shaklida faqat taqdim etishga imkon beradi x.
Ta'rif: Noma'lum tomonidan polinomiya halqasi x. ortiqcha, teng bo'lmagan nol, halqali K K. Nol bo'lmagan kommutatorli halqaning oddiy transsendental kengayishi deb nomlanadi K K. Buyumdan foydalanish x..
Teorema . Hech qanday nolga aylanmaydigan halqali halqali K, Element yordamida oddiy transsendental kengaytma mavjud. x, k [x]
Molinomiyalar bo'yicha operatsiyalar
K [x] nol qatli uzuk emas, balki polinomiyalar halqa bo'lsin K K.
1-ta'rif: K [x] ga tegishli polynoms F va g teng bo'ladi va F \u003d G yozish, agar noma'lumlarning ba'zi darajalarida bo'lsa, bir-biriga tengdir x.
Fohisha . Molynomial yozuvda, hizalanish tartibi unchalik katta emas. Molynomial yozuvni hisobga olish va ularni hisobga olishdan tashqari, nol koeffitsienti bilan komponent polinomni o'zgartirmaydi.
2-ta'rif. Tengilyat tomonidan belgilanadigan polynomials f va g polynomial F + g deb ataladi:
3-ta'rif. : - Rolinomlar mahsuloti qoida bilan belgilanadi:
Polinomlar darajasi
Uyatib turing. K [x] Mirada polinomlar K K. : ,
Ta'rif : NOMINI KERAK Agar, salbiy bo'lmagan raqam - bu polinomlar darajasidir f.. Bir vaqtning o'zida ular n \u003d di f..
Raqamlar - bu katta koeffitsientning katta koeffitsientidir.
Agar a bo'lsa, f. - normallashtirildi. Nol polinomiya darajasi noaniq.
Molynlyial darajasi darajasining xususiyatlari
K K. - yaxlitlik maydoni
Dalil :
Shunday qilib. Ga - yaxlitlik maydoni.
1 ta roziyaly. : k [x] maydon bo'ylab Ga (Yaxlitlik) o'z navbatida benuqsonlik maydoni. Birlashgan har qanday yaxlit hudud uchun ma'lum bir ko'lami mavjud.
2 ta roziyaly. : Har qanday k [x] uchun yaxlitlik maydoni Ga Xususiy maydon mavjud.
To'plam va polinom ildizlari bo'linishi.
Elementni polinomiya qiymati deb atashiga ruxsat bering f. Argumentdan.
Teorem Bezu : Har qanday polinom va element uchun buyum mavjud:.
Dalil : Ruxsat bering - har qanday ko'payish
Fohisha : Molynomialning bo'linishining qoldiqlari tengdir.
Ta'rif : Element polinomning ildizi deb ataladi f., agar a bo'lsa.
Teorema : Element ildizga bo'lsin f. keyin va faqat divizatsiya paytida f.
Dalillar:
Ehtiyoj. Kafolatdan, u ushbu qismdan ajralmas mulkdan kelib chiqadi
Etki, etarlilik. Bunga ruxsat bering. Ch.t.d.
Yaxlitlik maydoni bo'yicha polinomiya ildizlarining maksimal soni.
Teorema : K totuvlik sohasi bo'lsin. Molinomial ildizlarning soni f. Benuqsonlik sohasida k K. Boshqa daraja yo'q n. mushkul f..
Dalil :
Molynyial darajasi bo'yicha indüksiya. Mollinamial f. Uning nol ildizlari bor va ularning soni oshmaydi.
Tekorning har qandayi isbotlansin.
Biz 2-bandda, polinomlar uchun teoremani tasdiqlash haqiqatini ko'rsatamiz.
Ikkala holat mumkin bo'lsin:
- A) Molinomial f. Uning ildizlari yo'q, shuning uchun teoremaning bayonoti to'g'ri.
- B) polizli f. hech bo'lmaganda ildiz, teoremada monasturada, beri k K. - yaxlitlik maydoni, keyin 3-mulk bo'yicha (polinomiya darajasi), bunga amal qiladi
Kabi, k - Yaxlitlik maydoni.
Shunday qilib, polinomning barcha ildizlari - bu polinomning ildizidir g. O'shandan beri, indüksiyon taxminida polinomning barcha ildizlari soni g. Ko'p emas n., shuning uchun, shuning uchun f. boshqa yo'q ( n +..1) ildiz.
Fohisha : Bo'lsin k K. - yaxlitlik maydoni, agar polinom ildizlari soni bo'lsa f. Ko'proq raqamlar n,qayerda, bu f. - nol polinom.
Algebraik va polinomiyalarning funktsional tengligi
Ehtiyot bo'ling, ba'zi bir mushtlashingiz mumkin, u ba'zi funktsiyani belgilaydi
umuman olganda, har qanday polinom bitta funktsiyani aniqlaydi.
Teorema : Bo'lsin k K.- Benuqsonlik sohasi polinomlar va tenglik tengligi uchun (bir xil tenglik) () tenglik ()) aniqlangan va.
Dalil :
Ehtiyoj. Ikkalasi ham - yaxlitlik sohasi,.
, Shunday bo'lsin
Etki, etarlilik. Buni ko'rsatamiz. Deb hisoblang k K. Yaxlitlik maydoni, keyin polinom h. Tergovdan kelib chiqadigan ildizlar soni bor h. Nol polinomiya. Shunday qilib, bt.t.
Qoldiq bilan tanishish nazari
Ta'rif : Evklid halqasi K K. bunday yaxlitlik sohasi deb nomlangan k,funktsiya funktsiyani aniqlaydi h,soxta qadriyatlar va shartni qoniqtiradi
Ushbu elementlar uchun elementlarni topish jarayonida qoldiq bilan bo'linish bo'linmasi, - bo'linish balansi hisoblanadi.
Sozda - dalada polinomlar halqasi.
Teorema (qoldiq bilan bo'linish) : Polnerdan polinomlar va bir nechta polinomlarning bitta juftligi qutbli va bitta polinomlarning bitta juftligi qoniqarli bo'lsa, bu holat qondiriladi yoki. yoki
Dalil : Mulinomiya mavjudligi. Buning, ya'ni. Teorem qat'iy, aniq, agar nol yoki undan beri yoki. Biz qachon boshlanadi. Mulynomiyalar darajasini inobatga olgan holda, teorema isbotlangan deb taxmin qiladi (o'ziga xoslikdan tashqari), polinomiya uchun. Biz bu holda teoremaning roziligi uchun tasdiqlanganligini ko'rsatamiz. Darhaqiqat, polinomiallarning eng katta koeffitsienti, polinom bir xil katta koeffitsientga ega bo'ladi va melinomial bo'lgan darajaga ega bo'ladi, shuning uchun polizomlar nol ko'payadi. Agar biz olganimizda bo'lsa, Agar, ya'ni, ya'ni, biz olganimizda, ya'ni Molynomiya mavjudligi isbotlangan.
Biz bunday polinomlar yagona bir juftlik ekanligini ko'rsatamiz.
Ykalada olib bo'lsin:. Ikki holat mumkin yoki.
Boshqa tomondan. Shart yoki yoki.
Agar a bo'lsa. Qarama-qarshilik olinadi, shuning uchun. O'ziga xoslik isbotlandi.
1 ta roziyaly. : Dalada polinomiallar halqalari, Evlididiya maydoni.
2 ta roziyaly. : Rolinomiyalar uzuk - bu asosiy ideallarning halqasi (har qanday ideal bitta generator mavjud)
Har qanday Evklidli halqasi aniq: polinomiya uzukli romlar filial qo'ng'irog'i deb ataladi.
Evklida algorida. Ikki polinomlarning tuguni
Yuqoridagi polinomlar halqasini tushiring.
1-ta'rif. : Agar ko'paytilgan bo'lsa ham, bo'linish bo'lsa, bo'linishning qoldiqlari nolga teng, polinomli divid qiluvchi deyiladi: ().
2-ta'rif. : Rolinomiyalarning eng katta umumiy diytiruvchisi polinom deb ataladi:
va (- umumiy bo'luvchi va).
(har qanday umumiy divider va).
Polinomiyalarning eng katta umumiy divideri va tugun (;) tomonidan belgilanadi. Har qanday polinomlarning umumiy isbinlari nol darajadan, ya'ni nol darajadagi maydonni o'z ichiga oladi. Bu polinomning ikkita ma'lumotlari shuni ko'rsatilishi va nol poldinomiya bo'lmagan umumiy bo'luvchilarga ega emas.
Ta'rif : Agar polinomiyalar va ko'p bo'lmagan nol darajadagi keng tarqalgan bo'lmasangiz, ular o'zaro sodda deb nomlanadi.
Lemma : Agar polinomlar maydondan yuqoridan bo'lsa, joy mavjud, polinomlar va tugunning eng katta umumiy bo'linuvchisi bog'langan. ~
Yozish ( a ~ B.) ta'rifi bo'yicha (lar) ni anglatadi.
Dalil : Men ...
va shuning uchun biz buni o'rgatamiz - bu - ko'p polynom va.
umumiy bo'luvchi va olish
Evklida algoritm
Ko'plab ko'paytirgichlarda polinomlar parchalanishi bir xil o'zgarishdir, natijada polinom bir nechta omillar - polinomlar yoki bitta qanotning mahsulotiga aylantiriladi.
Ko'plab ko'paytirgichlarda polinomiallarni parchalashning bir necha usullari mavjud.
Usul 1. Qo'riqch uchun umumiy omilni boshqa joyga ko'chirish.
Ushbu o'zgarish ko'paytirish qonuniga asoslanadi: AC + BC \u003d C (A + B). Qayta taqqoslashning mohiyati, ikkinchi komponentda keng omil va qavslar uchun "tashqarida" ni ajratishdir.
Biz polinomiya 28x 3 - 35x 4 ning polinomlarini parchalaymiz.
Qaror.
1. 28X 3 va 35x 4 umumiy bo'lin elementlarini toping. 28 va 35 yoshda bo'ladi 7; X 3 va x 4 - x 3 uchun. Boshqacha aytganda, bizning umumiy 7x 3-sonli.
2. Har bir elementlar multiplerning ishini anglatadi, ulardan biri
7X 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.
3. Biz qavslar uchun umumiy mulozikatorni olib chiqamiz
7X 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).
Mativided 2. qisqartirilgan ko'payish formulalaridan foydalanish. Ushbu usulning "mahorati" tomonidan qisqartirilgan ko'payish formulalaridan biriga e'tibor berishdir.
X 6 - 1-sonli polinomiyalarning ko'paytirgichlariga tarqaldi.
Qaror.
1. Ushbu ifodaga kvadratchalar farqini o'zgartirishimiz mumkin. Buning uchun X 6 (x 3) 2 va 1-ni 1-chi, I.E. 1. Shakl shaklni oladi:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).
2. Olingan ifodaga, biz summaning formulasini va kublarning farqini qo'llashimiz mumkin:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) ↓ (x 2 - x + 1) ↓ (x 2 - x + 1) ↓ (X - 1) ↓ 1 (x 2 + x + 1).
Shunday qilib,
x 6 - 1 \u003d (x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ↓ (x 2 - x + 1) ↓ (X - 1) ↓ 2 + x + 1).
Usul 3. Guruhlar. Guruhlik usuli - bu polynomning tarkibiy qismlarini harakatlarni amalga oshirish oson (qo'shimcha, ajratish, umumiy multiplikator).
X 3 - 3x 2 + 5x-15 ning ko'p sonli polinomlarini parchalaymiz.
Qaror.
1. Shu tarzda komponentlarni qaratish: 1-chi va 3-chi
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).
2. Olingan ifodada biz umumiy ko'payuvchilarni qavs uchun o'tkazamiz: birinchi holatda va 5-soniyada.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (X - 3).
3. Biz qavslar uchun x - 3 umumiy omilini olib chiqamiz:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x 2 + 5).
Shunday qilib,
x 3 - 3 x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) ∙ (x 2 +) 5).
Materialni mahkamlang.
Ko'plab ko'paytirgichlarda polinomial-ni 2 - 7AB + 12b 2 yuborish.
Qaror.
1. 7AB 4AB 4 4AB ning yig'indisi sifatida tasavvur qiling. Shakl shaklni oladi:
a 2 - (3AB + 4AB) + 12b 2. 
Biz qavslarni ochib beramiz va:
a 2 - 3ab - 4A + 12b 2.
2. Shu tarzda polinom komponentlarini ko'rib: 1-chi 3 va 3-chi. Biz olamiz:
(A 2 - 3ab) - (4AB - 12b 2).
3. Men qavslar uchun umumiy ko'paytirgichlarni olib kelaman:
(A 2 - 3ab) - (4AB - 12b 2) \u003d a (A - 3b) - 4b (a - 3b).
4. Men qavslar uchun umumiy mulozikatorni (a-3b) olib kelaman:
a (a - 3b) - 4b (A - 3b) \u003d (a - 3 b) ∙ (a - 4b).
Shunday qilib,
a 2 - 7A + 12b 2 \u003d
\u003d A 2 - (3AB + 4AB) + 12b 2 \u003d
\u003d a 2 - 3ab - 4AB + 12b 2 \u003d
\u003d (A 2 - 3ab) - (4AB - 12b 2) \u003d
\u003d A (A - 3b) - 4b (a - 3b) \u003d
\u003d (A - 3 b) ∙ (a - 4b).
sayt, asl manbaga nisbatan materialning to'liq yoki qisman nusxasini nusxalash kerak.
Har qanday algebraik polinom darajasi N-chiziqli omil va doimiy raqam sifatida ifodalanishi mumkin, bu X, I, I. I.E. katta bosqichida polinomial koeffitsientlar bo'lgan.
qayerda 
- Mulynomning ildizlari.
Polinomni nolga aylantiradigan raqamni (haqiqiy yoki murakkab) chaqiradi. Molynomialning ildizlari ikkalasi ham ildiz va murakkab-konjuga qadar ildizlari bo'lishi mumkin, keyin polinomiya quyidagi shaklda keltirilgan bo'lishi mumkin:
"N" darajasini birinchi va ikkinchi darajali ko'paytirgichlar ishiga molynomsifikatsiya qilish usullarini ko'rib chiqing.
1 raqami.Noma'lum koeffitsientlar usuli.
Bunday o'zgartirilgan ifoda koeffitsientlari noaniq koeffitsientlar usuli bilan belgilanadi. Usulning mohiyati oldindan ma'lum bo'lgan ko'paytirgichlarning oldindan ma'lum bo'lgan shakli mavjudligi bilan qisqartirildi. Noma'lum koeffitsientlar usulidan foydalanganda quyidagi gaplar amal qiladi:
P.1. Ikkala polinomlar koeffitsientlar x daraja bilan teng bo'lgan taqdirda bir xil darajada tengdir.
P. Uchinchi darajaning har qanday ko'payishi chiziqli va kvadrat ko'paytirgich mahsulotiga parchalanadi.
P.3. To'rtinchi darajaning har qanday ko'payishi ikkinchi darajali ikkita polinomiyalarning ishiga parchalanadi.
1.1-misol. Ko'plab ko'paytirgichlarda kubik ifodani parchalash kerak:
P.1. Kubik ifoda qabul qilingan bayonotlariga muvofiq bir xil tenglik adolatli:
P. Shaklning o'ng qismida komponentlar shaklida keltirilishi mumkin:
P.3. Biz koeffitsientlarning tenglik holatidan kubik ifodasining mos keladigan darajalarida tenglamalar tizimini tuzamiz.
Ushbu tenglamalar tizimi koeffitsientlarni tanlash orqali hal qilinishi mumkin (agar oddiy akademik muammo bo'lsa) yoki tenglamalarning sotilmaydigan tizimlarni echish usullari. Ushbu tenglamalar tizimini hal qilish, biz bu noaniq koeffitsientlar quyidagicha belgilanadi:
Shunday qilib, dastlabki ifoda quyidagi shaklda ko'paytirgichlarga rad etiladi:
Ushbu usulda ham tahliliy hisob-kitoblar va kompyuter dasturlari bilan tenglamaning ildiz qidiruv jarayonini avtomatlashtirish uchun ishlatilishi mumkin.
2 raqami.Vietsa formulalari
Vietsa formulalari - n va uning ildizlarining algebraik tenglamalarining koeffitsientlarini bog'laydigan formulalar. Ushbu formulalar frantsuz matematika asarlarida frantsuz matematika asarlarida (1540 - 1603) taqdim etildi. Vet Vets faqat ijobiy haqiqiy ildizlarni ko'rib chiqishi sababli, u bu formulalarni umumiy aniq shaklda yozishga imkoniga ega emas edi.
N-haqiqiy ildizlarga ega bo'lgan har qanday algebraik polinomiya diplomi uchun
molynomialning ildizlarini koeffitsientlar bilan bog'laydigan quyidagi munosabatlar:
Vetnaning formulalari polinom ildizlarining to'g'riligini tekshirish, shuningdek, belgilangan ildizlarda polinomial tuzishni tekshirish uchun ishlatiladi.
2.1-misol. Molynomning ildizlari koeffitsientlar bilan kub tenglamaning misoli bo'yicha qanday bog'liqligini ko'rib chiqing
Vetnaning formulalariga muvofiq, polinomlarning koeffitsientlari bilan bo'lgan ildizlarining o'zaro munosabatlari quyidagi shaklda:
Shunga o'xshash munosabatlar har qanday ko'payish uchun N.
3 raqami. Kvadrat tenglamaning oqilona ildizlari bilan omillar uchun parchalanishi
Viet'ing oxirgi formulasidan ko'ra, polinomning ildizlari uning bepul a'zosining bo'linishi va eski koeffitsientning bo'linmasidir. Shu munosabat bilan, agar muammo holatida bo'lsa, polinom diplomini to'liq koeffitsientlar bilan o'rnatadi
ushbu polinomning oqilona ildizi (begona fraktsiya), u erda bepul a'zo Divermi va Q KEDIKA KONFERTAKOMLI ENG ZO'RLAB CHIQARADI. Bunday holda, N darajasida molnom kasalligi shaklida (miting teoremasi) quyidagilarni ifodalash mumkin:
Mulynom, uning darajasi dastlabki ko'payish darajasidan 1 ga teng, masalan, tog 'sxemasi yoki "ustun" bo'lishning eng oson usuli bilan belgilanadi.
3.1-misol. Ko'plab ko'paytirgichlarni parchalash kerak
P.1. Yuqori darajadagi koeffitsient bir narsaga teng, bu polinomning oqilona ildizlari, iboraning erkin a'zosi bo'luvchilari, i.e. butun son bo'lishi mumkin 
. Biz har bir raqamning har birini boshlang'ich ifodaga almashtiramiz, polinomlarning ildizi tengdir.
Asl polinomiya bo'limini sakrash uchun o'tkazing:
Biz hamgenchik sxemadan foydalanamiz
Manba polinom koeffitsientlari yuqori satrda namoyish etiladi va yuqori satrning birinchi hujayrasi bo'sh qoladi.
Ikkinchi qatorning birinchi hujayrali hujayrada qayd etilgan ("2" raqami ko'rib chiqilgan misolda) qayd etiladi, hujayralardagi quyidagi qiymatlar ma'lum bir tarzda hisoblanadi va ular koeffitsientlardir molnyial, bu molynomialning gulchangiga bo'linadi. Noma'lum koeffitsientlar quyidagicha belgilanadi:
Ikkinchi bosqichda ikkinchi qator birinchi qatorning mos hujayrasidan (namunaning misolida) o'tkaziladi (masalan, "1" raqami qayd etiladi).
Ikkinchi liniyaning uchinchi chizig'i ikkinchi qatorning ikkinchi hujayrasidagi birinchi hujayraning qiymatini va birinchi qatorning uchinchi qismidagi qiymatni (2 ∙ 1 -5 \u003d -3 misolida) qiymatini qayd etadi.
Ikkinchi qatorning to'rtinchi hujayrasida birinchi hujayraning qiymati ikkinchi qatorning uchinchi kamerasiga va birinchi qatorning to'rtinchi hujayrasining qiymatiga (2-misolda (-3) +7 \u003d 1 ).
Shunday qilib, dastlabki polizual ko'p ko'paytirgichlarga rad etiladi:
4-raqam.Qisqartirilgan ko'payish formulalaridan foydalanish
Qisqartirilgan ko'payish formulalari hisob-kitoblarni soddalashtirish, shuningdek ko'paytirgichlarda polinomlar parchalanishini soddalashtirish uchun ishlatiladi. Kamaytirilgan ko'payish formulalari individual vazifalarni hal qilishga imkon beradi.
Ko'proq parchalanadigan formulalar
