Bir tekis tezlashtirilgan harakatda tananing siljish moduli formulasi. Siqilish proyeksiyasi tenglamasi

8/12 sahifa

§ 7. Bir tekis tezlashtirilgan harakat
to'g'ri chiziqli harakat

1. Tezlik va vaqt grafigidan foydalanib, siz jismni bir tekis to'g'ri chiziqli harakatga keltirish formulasini olishingiz mumkin.

30-rasmda o'q bo'yicha bir xil harakat tezligi proyeksiyasining grafigi ko'rsatilgan X vaqtdan boshlab. Agar biror nuqtada vaqt o'qiga perpendikulyar o'rnatsak C, keyin biz to'rtburchaklar olamiz OABC. Ushbu to'rtburchakning maydoni tomonlarning mahsulotiga teng O.A Va OC. Ammo yon uzunligi O.A ga teng v x, va yon uzunligi OC - t, shuning uchun S = v x t. Tezlikning o'qdagi proyeksiyasining mahsuloti X va vaqt siljish proyeksiyasiga teng, ya'ni. s x = v x t.

Shunday qilib, bir tekis to'g'ri chiziqli harakat uchun siljish proyeksiyasi son jihatdan to'rtburchakning koordinata o'qlari, tezlik grafigi va vaqt o'qiga ko'tarilgan perpendikulyar bilan chegaralangan maydoniga teng.

2. To'g'ri chiziqli bir tekis tezlashtirilgan harakatda siljish proyeksiyasi formulasini xuddi shunday tarzda olamiz. Buning uchun tezlik proyeksiyasining o'qqa bog'liqligi grafigidan foydalanamiz X vaqtdan boshlab (31-rasm). Grafikda kichik maydonni tanlang ab va nuqtalardan perpendikulyarlarni tushiring a Va b vaqt o'qi bo'yicha. Agar vaqt oralig'i D t, bo'limga mos keladi cd vaqt o'qi bo'yicha kichik bo'lsa, bu vaqt davomida tezlik o'zgarmaydi va tana bir xilda harakat qiladi deb taxmin qilishimiz mumkin. Bu holda raqam cabd to'rtburchakdan unchalik farq qilmaydi va uning maydoni segmentga to'g'ri keladigan vaqtdagi tananing harakatining proyeksiyasiga son jihatdan teng. cd.

Siz butun raqamni bunday chiziqlarga bo'lishingiz mumkin OABC, va uning maydoni barcha chiziqlar maydonlarining yig'indisiga teng bo'ladi. Shuning uchun vaqt o'tishi bilan tananing harakatining proektsiyasi t son jihatdan trapezoidning maydoniga teng OABC. Geometriya kursidan bilasizki, trapezoidning maydoni uning asoslari va balandligi yig'indisining yarmiga teng: S= (O.A + Miloddan avvalgi)OC.

31-rasmdan ko'rinib turibdiki, O.A = v 0x , Miloddan avvalgi = v x, OC = t. Bundan kelib chiqadiki, siljish proyeksiyasi quyidagi formula bilan ifodalanadi: s x= (v x + v 0x)t.

Bir tekis tezlashtirilgan to'g'ri chiziqli harakatda tananing istalgan vaqtda tezligi teng bo'ladi v x = v 0x + a x t, Binobarin, s x = (2v 0x + a x t)t.

Bu yerdan:

Jismning harakat tenglamasini olish uchun siljish proyeksiyasi formulasiga uning ifodasini koordinatalar farqi orqali almashtiramiz. s x = x – x 0 .

Biz olamiz: x – x 0 = v 0x t+ , yoki

x = x 0 + v 0x t + .

Harakat tenglamasiga ko'ra, jismning boshlang'ich koordinatasi, boshlang'ich tezligi va tezlanishi ma'lum bo'lsa, istalgan vaqtda tananing koordinatasini aniqlash mumkin.

3. Amalda ko'pincha bir xil tezlashtirilgan to'g'ri chiziqli harakat paytida jismning siljishini topish kerak bo'lgan muammolar mavjud, ammo harakat vaqti noma'lum. Bunday hollarda boshqa siljish proyeksiyasi formulasidan foydalaniladi. Keling, olamiz.

Bir tekis tezlashtirilgan to'g'ri chiziqli harakat tezligini proyeksiyalash formulasidan v x = v 0x + a x t vaqtni ifodalaymiz:

t = .

Ushbu ifodani siljish proyeksiyasi formulasiga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

s x = v 0x + .

Bu yerdan:

s x = , yoki
–= 2a x s x.

Agar tananing dastlabki tezligi nolga teng bo'lsa, u holda:

2a x s x.

4. Muammoni hal qilish misoli

Chang'ichi tinch holatdan tog' yonbag'iridan 20 sekundda 0,5 m/s 2 tezlanish bilan pastga tushadi va keyin gorizontal uchastka bo'ylab 40 m to'xtashgacha harakatlanadi.Changichi qanday tezlanish bilan bo'ylab harakat qildi gorizontal sirt? Tog' yonbag'irining uzunligi qancha?

Berilgan:

Yechim

v 01 = 0

a 1 = 0,5 m/s 2

t 1 = 20 s

s 2 = 40 m

v 2 = 0

Chang'ichining harakati ikki bosqichdan iborat: birinchi bosqichda tog' yonbag'iridan tushib, chang'ichi mutlaq qiymatda ortib borayotgan tezlik bilan harakat qiladi; ikkinchi bosqichda, gorizontal sirt bo'ylab harakatlanayotganda, uning tezligi pasayadi. Harakatning birinchi bosqichiga tegishli qiymatlar 1 indeks bilan, ikkinchi bosqichga tegishli qiymatlar esa 2 indeks bilan yoziladi.

a 2?

s 1?

Biz mos yozuvlar tizimini Yer, o'q bilan bog'laymiz X uning harakatining har bir bosqichida chang'ichining tezligi yo'nalishi bo'yicha yo'naltiramiz (32-rasm).

Tog'dan tushish oxirida chang'ichining tezligi uchun tenglamani yozamiz:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

Eksa bo'yicha proyeksiyalarda X olamiz: v 1x = a 1x t. Tezlik va tezlanishning o'qdagi proyeksiyalaridan beri X ijobiy bo'lsa, chang'ichining tezligi moduli: v 1 = a 1 t 1 .

Harakatning ikkinchi bosqichida chang'ichining tezligi, tezlanishi va harakati proyeksiyalari bilan bog'liq tenglama yozamiz:

–= 2a 2x s 2x .

Harakatning ushbu bosqichida chang'ichining dastlabki tezligi uning birinchi bosqichdagi oxirgi tezligiga teng ekanligini hisobga olsak.

v 02 = v 1 , v 2x= 0 ni olamiz

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Bu yerdan a 2 = ;

a 2 == 0,125 m / s 2.

Harakatning birinchi bosqichida chang'ichining harakat moduli tog' yonbag'irining uzunligiga teng. Siqish tenglamasini yozamiz:

s 1x = v 01x t + .

Demak, tog' yonbag'irining uzunligi s 1 = ;

s 1 == 100 m.

Javob: a 2 \u003d 0,125 m / s 2; s 1 = 100 m.

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar

1. O'q bo'yicha bir tekis to'g'ri chiziqli harakat tezligini proyeksiyalash syujetiga ko'ra X

2. Eksa bo'yicha bir tekis tezlashtirilgan to'g'ri chiziqli harakat tezligi proyeksiyasi grafigiga ko'ra X vaqtdan boshlab jismning siljishi proyeksiyasini aniqlash uchun?

3. Bir tekis tezlashtirilgan to'g'ri chiziqli harakat paytida jismning siljishi proyeksiyasini hisoblash uchun qanday formuladan foydalaniladi?

4. Agar jismning dastlabki tezligi nolga teng bo'lsa, bir tekis tezlashtirilgan va to'g'ri chiziqli harakatlanuvchi jismning siljishi proyeksiyasini hisoblash uchun qanday formuladan foydalaniladi?

Vazifa 7

1. Agar shu vaqt ichida uning tezligi 0 dan 72 km/soatgacha o‘zgargan bo‘lsa, avtomobilning 2 daqiqada siljish moduli qanday bo‘ladi? O'sha paytda mashinaning koordinatasi qanday t= 2 min? Dastlabki koordinata nolga teng deb hisoblanadi.

2. Poyezd dastlabki tezligi 36 km/soat va 0,5 m/s 2 tezlanish bilan harakatlanadi. Poyezdning 20 s dagi siljishi va vaqt momentidagi koordinatasi nimaga teng t Agar poezdning boshlang'ich koordinatasi 20 m bo'lsa = 20 s?

3. Velosipedchining tormozlash boshlangandan keyin 5 s davomidagi harakati qanday bo'ladi, agar uning tormozlash vaqtidagi dastlabki tezligi 10 m/s, tezlanishi esa 1,2 m/s 2 bo'lsa? Velosipedchining vaqtdagi koordinatasi qanday t= 5 s, agar vaqtning boshlang'ich momentida u boshlang'ichda bo'lsa?

4. 54 km/soat tezlikda harakatlanayotgan avtomobil 15 soniya tormozlanganda to‘xtaydi. Tormozlashda avtomobilning siljish moduli qanday?

5. Ikkita mashina bir-biridan 2 km uzoqlikda joylashgan ikkita aholi punktidan bir-biriga qarab harakatlanmoqda. Bir avtomobilning dastlabki tezligi 10 m/s va tezlanishi 0,2 m/s 2, ikkinchisining dastlabki tezligi 15 m/s va tezlanishi 0,2 m/s 2 ga teng. Mashinalarning uchrashish joyining vaqtini va koordinatasini aniqlang.

№1 laboratoriya

Bir tekis tezlashtirilganni o'rganish
to'g'ri chiziqli harakat

Ishning maqsadi:

bir tekis tezlashtirilgan to'g'ri chiziqli harakatda tezlanishni o'lchashni o'rganish; ketma-ket teng vaqt oralig'ida bir tekis tezlashtirilgan to'g'ri chiziqli harakat paytida tananing bosib o'tgan yo'llarining nisbatini eksperimental ravishda o'rnatish.

Uskunalar va materiallar:

truba, shtat, metall shar, sekundomer, o'lchov lentasi, metall silindr.

Ish tartibi

1. Naychaning bir uchini stol yuzasi bilan kichik burchak hosil qiladigan tarzda shtat oyoq qismiga mahkamlang, trubaning ikkinchi uchiga metall silindrni soling.

2. Har biri 1 s ga teng ketma-ket 3 vaqt oralig'ida to'p bosib o'tgan yo'llarni o'lchang. Bu turli yo'llar bilan amalga oshirilishi mumkin. Siz 1 s, 2 s, 3 s ga teng vaqt nuqtalarida to'pning o'rnini belgilab, bo'r bilan trubaga belgilar qo'yishingiz va masofalarni o'lchashingiz mumkin. s_ bu belgilar orasida. To'pni har safar bir xil balandlikdan qo'yib, yo'lni o'lchash mumkin s, uning yonidan avval 1 s, keyin 2 s va 3 soniyada o'tdi, so'ngra ikkinchi va uchinchi soniyalarda to'p bosib o'tgan yo'lni hisoblang. O'lchov natijalarini 1-jadvalga yozing.

3. Ikkinchi soniyada bosib o‘tgan yo‘lning birinchi soniyada bosib o‘tgan yo‘lga, uchinchi soniyada bosib o‘tgan yo‘lning birinchi soniyada bosib o‘tgan yo‘lga nisbatini toping. Xulosa qiling.

4. To‘pning truba bo‘ylab yurgan vaqtini va u bosib o‘tgan masofani o‘lchang. Formuladan foydalanib, uning tezlanishini hisoblang s = .

5. Tezlanishning eksperimental ravishda olingan qiymatidan foydalanib, to'p harakatining birinchi, ikkinchi va uchinchi soniyalarida bosib o'tishi kerak bo'lgan yo'llarni hisoblang. Xulosa qiling.

1-jadval

tajriba raqami

Eksperimental ma'lumotlar

Nazariy natijalar

Vaqt t , dan

Yo'l s , sm

Vaqt t , dan

Yo'l

s, sm

Tezlanish a, sm/s2

Vaqtt, dan

Yo'l s , sm

Tezlik (v) jismoniy miqdor bo'lib, son jihatdan tananing vaqt birligi (t) uchun bosib o'tgan yo'liga (s) tengdir.

Yo'l

Yo'l (S) - tananing harakatlanayotgan traektoriyasining uzunligi son jihatdan tananing tezligi (v) va harakat vaqti (t) ko'paytmasiga teng.

Sayohat vaqti

Harakat vaqti (t) tananing bosib o'tgan yo'lining (S) harakat tezligiga (v) nisbatiga teng.

o'rtacha tezlik

O‘rtacha tezlik (vav) jism bosib o‘tgan yo‘l uchastkalari (s 1 s 2, s 3, ...) yig‘indisining vaqt oralig‘iga (t 1 + t 2 + t 3) nisbatiga teng. + ...) bu yo'lni bosib o'tgan.

o'rtacha tezlik- tananing bosib o'tgan yo'li uzunligining ushbu yo'l bosib o'tgan vaqtga nisbati.

o'rtacha tezlik tekis chiziqda notekis harakatlanayotganda: bu butun yo'lning umumiy vaqtga nisbati.

Har xil tezlikda ikkita ketma-ket bosqich: qaerda

Muammolarni hal qilishda - harakatning qancha bosqichlari juda ko'p komponentlardan iborat bo'ladi:

Koordinata o'qlaridagi siljish vektorining proyeksiyalari

O'zgartirish vektorining OX o'qiga proyeksiyasi:

O'zaro siljish vektorining OY o'qiga proyeksiyasi:

Agar vektor o'qga perpendikulyar bo'lsa, vektorning o'qga proyeksiyasi nolga teng.

Siqilish proyeksiyalarining belgilari: agar vektor boshi proyeksiyasidan oxiri proyeksiyasigacha bo'lgan harakat o'q yo'nalishi bo'yicha sodir bo'lsa, proyeksiya musbat, o'qqa qarshi bo'lsa manfiy hisoblanadi. Ushbu misolda

Harakat moduli siljish vektorining uzunligi:

Pifagor teoremasiga ko'ra:

Harakat proyeksiyalari va qiyalik burchagi

Ushbu misolda:

Koordinata tenglamasi (umuman):

Radius vektori- vektor, uning boshlanishi koordinatalarning kelib chiqishiga to'g'ri keladi va oxiri - ma'lum bir vaqtda tananing pozitsiyasiga to'g'ri keladi. Radius vektorining koordinata o'qlaridagi proyeksiyalari ma'lum bir vaqtda tananing koordinatalarini aniqlaydi.

Radius vektori berilgandagi moddiy nuqtaning o'rnini belgilash imkonini beradi mos yozuvlar tizimi:

Bir tekis to'g'ri chiziqli harakat - ta'rif

Bir tekis to'g'ri chiziqli harakat- tana har qanday teng vaqt oralig'ida teng siljishlarni amalga oshiradigan harakat.

Bir tekis to'g'ri chiziqli harakatdagi tezlik. Tezlik vektor fizik miqdor bo'lib, tananing vaqt birligida qancha harakat qilishini ko'rsatadi.

Vektor shaklida:

OX o'qiga proyeksiyalarda:

Qo'shimcha tezlik birliklari:

1 km/soat = 1000 m/3600 s,

1 km/s = 1000 m/s,

1 sm/s = 0,01 m/s,

1 m/min =1 m/60 s.

O'lchash moslamasi - tezlik o'lchagich - tezlik modulini ko'rsatadi.

Tezlik proyeksiyasining belgisi tezlik vektori va koordinata o'qining yo'nalishiga bog'liq:

Tezlikni proyeksiyalash grafigi - bu tezlik proyeksiyasining vaqtga bog'liqligi:

Bir tekis to'g'ri chiziqli harakat tezligining grafigi- vaqt o'qiga parallel to'g'ri chiziq (1, 2, 3).

Agar grafik vaqt o'qi (.1) ustida joylashgan bo'lsa, u holda tana OX o'qi yo'nalishi bo'yicha harakat qiladi. Agar grafik vaqt o'qi ostida joylashgan bo'lsa, u holda tana OX o'qiga qarshi harakat qiladi (2, 3).

Harakatning geometrik ma'nosi.

Bir tekis to'g'ri chiziqli harakatda siljish formula bilan aniqlanadi. Agar biz o'qlardagi tezlik grafigi ostidagi rasmning maydonini hisoblasak, xuddi shunday natijaga erishamiz. Shunday qilib, to'g'ri chiziqli harakat paytida yo'l va siljish modulini aniqlash uchun o'qlardagi tezlik grafigi ostidagi raqamning maydonini hisoblash kerak:

Siqilish proyeksiyasi chizmasi- siljish proyeksiyasining vaqtga bog'liqligi.

Uchun siljish proyeksiyasi grafigi bir tekis to'g'ri chiziqli harakat- koordinatadan chiqadigan to'g'ri chiziq (1, 2, 3).

Agar to'g'ri chiziq (1) vaqt o'qidan yuqorida joylashgan bo'lsa, u holda tana OX o'qi yo'nalishi bo'yicha, o'q (2, 3) ostida bo'lsa, OX o'qiga qarshi harakat qiladi.

Grafikning qiyaligi (1) tangensi qanchalik katta bo'lsa, tezlik moduli shunchalik katta bo'ladi.

Chizma koordinatasi- tana koordinatalarining vaqtga bog'liqligi:

Bir tekis to'g'ri chiziqli harakatning grafik koordinatalari - to'g'ri chiziqlar (1, 2, 3).

Vaqt o'tishi bilan koordinata oshsa (1, 2), u holda tana OX o'qi yo'nalishi bo'yicha harakat qiladi; agar koordinata pasaysa (3), u holda tana OX o'qi yo'nalishiga qarshi harakat qiladi.

Nishabning tangensi (1) qanchalik katta bo'lsa, tezlik moduli shunchalik katta bo'ladi.

Agar ikkita jismning koordinatalarining grafiklari kesishsa, u holda kesishgan nuqtadan vaqt o'qiga va koordinata o'qiga perpendikulyarlarni tushirish kerak.

Mexanik harakatning nisbiyligi

Nisbiylik deganda biz biror narsaning mos yozuvlar tizimini tanlashga bog'liqligini tushunamiz. Masalan, tinchlik nisbiydir; nisbiy harakat va tananing nisbiy holati.

Ko'chirishlarni qo'shish qoidasi. Ko'chishlarning vektor yig'indisi

bu erda tananing harakatlanuvchi mos yozuvlar tizimiga (RFR) nisbatan siljishi; - PSO ning belgilangan ma'lumot tizimiga (FRS) nisbatan harakati; - tananing qattiq ma'lumot tizimiga (FRS) nisbatan harakati.

Vektor qo'shilishi:

Bir to'g'ri chiziq bo'ylab yo'naltirilgan vektorlarni qo'shish:

Bir-biriga perpendikulyar vektorlarni qo'shish

Pifagor teoremasiga ko'ra

To'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanayotgan va istalgan vaqt oralig'ida bir tekis tezlangan jismning siljish vektorining proyeksiyasini hisoblash uchun qo'llanilishi mumkin bo'lgan formulani keltiramiz. Buning uchun 14-rasmga murojaat qilamiz.14-rasm a-rasmda ham, 14-b-shaklda ham AC segmenti doimiy tezlanish a (boshlang‘ich tezlikda) bilan harakatlanayotgan jismning tezlik vektori proyeksiyasining grafigi. v 0).

Guruch. 14. To'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanuvchi va bir xil tezlashtirilgan jismning siljish vektorining proyeksiyasi son jihatdan grafik ostidagi S maydonga teng.

Eslatib o'tamiz, tananing to'g'ri chiziqli bir tekis harakati bilan, bu jism tomonidan amalga oshirilgan siljish vektorining proyeksiyasi tezlik vektori proyeksiya grafigi ostida o'ralgan to'rtburchakning maydoni bilan bir xil formula bilan aniqlanadi (6-rasmga qarang). Shuning uchun siljish vektorining proyeksiyasi son jihatdan ushbu to'rtburchakning maydoniga teng.

To'g'ri chiziqli bir tekis tezlashtirilgan harakatda sx siljish vektorining proyeksiyasini AC grafigi, Ot o'qi va OA va BC segmentlari o'rtasida joylashgan rasmning maydoni bilan bir xil formula bilan aniqlash mumkinligini isbotlaylik. , ya'ni, bu holda, siljish vektorining proyeksiyasi tezlik grafigi ostidagi raqamning maydoniga sonli tengdir. Buning uchun Ot o'qida (14-rasm, a ga qarang) biz kichik vaqt oralig'ini db tanlaymiz. d va b nuqtalardan Ot o'qiga perpendikulyarlarni a va c nuqtalarda tezlik vektori proyeksiya grafigi bilan kesishguncha o'tkazamiz.

Shunday qilib, db segmentiga mos keladigan vaqt oralig'ida tananing tezligi v ax dan v cx gacha o'zgaradi.

Etarlicha qisqa vaqt oralig'ida tezlik vektorining proyeksiyasi juda oz o'zgaradi. Shuning uchun tananing bu vaqt oralig'idagi harakati bir xillikdan, ya'ni doimiy tezlikda harakat qilishdan kam farq qiladi.

Trapezoid bo'lgan OASV figurasining butun maydonini bunday chiziqlarga bo'lish mumkin. Shuning uchun OB segmentiga mos keladigan vaqt oralig'i uchun siljish vektorining sx proyeksiyasi son jihatdan OASV trapesiyaning S maydoniga teng va shu maydon bilan bir xil formula bilan aniqlanadi.

Maktab geometriya kurslarida berilgan qoidaga ko'ra, trapezoidning maydoni uning asoslari va balandligi yig'indisining yarmiga teng. Shakl 14, b OASV trapesiyaning asoslari OA = v 0x va BC = v x segmentlari, balandligi esa OB = t segmenti ekanligini ko'rsatadi. Binobarin,

v x \u003d v 0x + a x t, a S \u003d s x bo'lgani uchun, biz yozishimiz mumkin:

Shunday qilib, biz bir tekis tezlashtirilgan harakat paytida siljish vektorining proyeksiyasini hisoblash formulasini oldik.

Xuddi shu formuladan foydalanib, jism kamayuvchi tezlik moduli bilan harakat qilganda, siljish vektorining proyeksiyasi ham hisoblanadi, faqat bu holda tezlik va tezlanish vektorlari qarama-qarshi yo'nalishlarga yo'naltiriladi, shuning uchun ularning proyeksiyalari turli xil belgilarga ega bo'ladi.

Savollar

14, a-rasmdan foydalanib, bir tekis tezlashtirilgan harakat paytida siljish vektorining proyeksiyasi son jihatdan OASV figurasining maydoniga teng ekanligini isbotlang.
Jismning to'g'ri chiziqli bir tekis tezlashtirilgan harakati davomida siljish vektorining proyeksiyasini aniqlash uchun tenglamani yozing.

7-mashq

8/12 sahifa

§ 7. Bir tekis tezlashtirilgan harakat
to'g'ri chiziqli harakat

1. Tezlik va vaqt grafigidan foydalanib, siz jismni bir tekis to'g'ri chiziqli harakatga keltirish formulasini olishingiz mumkin.

31-rasmdan ko'rinib turibdiki, O.A = v 0x , Miloddan avvalgi = v x, OC = t. Bundan kelib chiqadiki, siljish proyeksiyasi quyidagi formula bilan ifodalanadi: s x= (v x + v 0x)t.

Bir tekis tezlashtirilgan to'g'ri chiziqli harakatda tananing istalgan vaqtda tezligi teng bo'ladi v x = v 0x + a x t, Binobarin, s x = (2v 0x + a x t)t.

Jismning harakat tenglamasini olish uchun siljish proyeksiyasi formulasiga uning ifodasini koordinatalar farqi orqali almashtiramiz. s x = x – x 0 .

Biz olamiz: x – x 0 = v 0x t+ , yoki

x = x 0 + v 0x t + .

Harakat tenglamasiga ko'ra, jismning boshlang'ich koordinatasi, boshlang'ich tezligi va tezlanishi ma'lum bo'lsa, istalgan vaqtda tananing koordinatasini aniqlash mumkin.

Bir tekis tezlashtirilgan to'g'ri chiziqli harakat tezligini proyeksiyalash formulasidan v x = v 0x + a x t vaqtni ifodalaymiz:

Ushbu ifodani siljish proyeksiyasi formulasiga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

s x = v 0x + .

s x = , yoki
–= 2a x s x.

Agar tananing dastlabki tezligi nolga teng bo'lsa, u holda:

2a x s x.

4. Muammoni hal qilish misoli

Chang'ichi dam olish holatidan tog' yonbag'iridan 20 sekundda 0,5 m/s 2 tezlanish bilan pastga tushadi va keyin gorizontal uchastka bo'ylab 40 m to'xtashgacha harakatlanadi. gorizontal sirt? Tog' yonbag'irining uzunligi qancha?

Berilgan:

v 01 = 0

a 1 = 0,5 m/s 2

t 1 = 20 s

s 2 = 40 m

v 2 = 0

a 2?

s 1?

Biz mos yozuvlar tizimini Yer, o'q bilan bog'laymiz X uning harakatining har bir bosqichida chang'ichining tezligi yo'nalishi bo'yicha yo'naltiramiz (32-rasm).

Tog'dan tushish oxirida chang'ichining tezligi uchun tenglamani yozamiz:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

Eksa bo'yicha proyeksiyalarda X olamiz: v 1x = a 1x t. Tezlik va tezlanishning o'qdagi proyeksiyalaridan beri X ijobiy bo'lsa, chang'ichining tezligi moduli: v 1 = a 1 t 1 .

Harakatning ikkinchi bosqichida chang'ichining tezligi, tezlanishi va harakati proyeksiyalari bilan bog'liq tenglama yozamiz:

–= 2a 2x s 2x .

Harakatning ushbu bosqichida chang'ichining dastlabki tezligi uning birinchi bosqichdagi oxirgi tezligiga teng ekanligini hisobga olsak.

v 02 = v 1 , v 2x= 0 ni olamiz

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Bu yerdan a 2 = ;

a 2 == 0,125 m / s 2.

Harakatning birinchi bosqichida chang'ichining harakat moduli tog' yonbag'irining uzunligiga teng. Siqish tenglamasini yozamiz:

s 1x = v 01x t + .

Demak, tog' yonbag'irining uzunligi s 1 = ;

s 1 == 100 m.

Javob: a 2 \u003d 0,125 m / s 2; s 1 = 100 m.

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar

1. O'q bo'yicha bir tekis to'g'ri chiziqli harakat tezligini proyeksiyalash syujetiga ko'ra X

2. Eksa bo'yicha bir tekis tezlashtirilgan to'g'ri chiziqli harakat tezligi proyeksiyasi grafigiga ko'ra X vaqtdan boshlab jismning siljishi proyeksiyasini aniqlash uchun?

3. Bir tekis tezlashtirilgan to'g'ri chiziqli harakat paytida jismning siljishi proyeksiyasini hisoblash uchun qanday formuladan foydalaniladi?

4. Agar jismning dastlabki tezligi nolga teng bo'lsa, bir tekis tezlashtirilgan va to'g'ri chiziqli harakatlanuvchi jismning siljishi proyeksiyasini hisoblash uchun qanday formuladan foydalaniladi?

Vazifa 7

4. 54 km/soat tezlikda harakatlanayotgan avtomobil 15 soniya tormozlanganda to‘xtaydi. Tormozlashda avtomobilning siljish moduli qanday?

№1 laboratoriya

Bir tekis tezlashtirilganni o'rganish
to'g'ri chiziqli harakat

Ishning maqsadi:

Uskunalar va materiallar:

truba, shtat, metall shar, sekundomer, o'lchov lentasi, metall silindr.

Ish tartibi

1. Naychaning bir uchini stol yuzasi bilan kichik burchak hosil qiladigan tarzda shtat oyoq qismiga mahkamlang, trubaning ikkinchi uchiga metall silindrni soling.

2. Har biri 1 s ga teng ketma-ket 3 vaqt oralig'ida to'p bosib o'tgan yo'llarni o'lchang. Bu turli yo'llar bilan amalga oshirilishi mumkin. Siz 1 s, 2 s, 3 s ga teng vaqt nuqtalarida to'pning o'rnini belgilab, bo'r bilan trubaga belgilar qo'yishingiz va masofalarni o'lchashingiz mumkin. s_ bu belgilar orasida. To'pni har safar bir xil balandlikdan qo'yib, yo'lni o'lchash mumkin s, uning yonidan avval 1 soniyada, keyin 2 s va 3 soniyada o'tdi, so'ngra ikkinchi va uchinchi soniyalarda to'p bosib o'tgan yo'lni hisoblang. O'lchov natijalarini 1-jadvalga yozing.

4. To‘pning truba bo‘ylab yurgan vaqtini va u bosib o‘tgan masofani o‘lchang. Formuladan foydalanib, uning tezlanishini hisoblang s = .

5. Tezlanishning eksperimental ravishda olingan qiymatidan foydalanib, to'p harakatining birinchi, ikkinchi va uchinchi soniyalarida bosib o'tishi kerak bo'lgan yo'llarni hisoblang. Xulosa qiling.

1-jadval

tajriba raqami

Eksperimental ma'lumotlar

Nazariy natijalar

Vaqt t , dan

Yo'l s , sm

Vaqt t , dan

Yo'l

s, sm

Tezlanish a, sm/s2

Vaqtt, dan

Yo'l s , sm

To'xtash masofasini bilib, avtomobilning dastlabki tezligini qanday aniqlash mumkin va harakatning dastlabki tezligi, tezlashuvi, vaqt kabi xususiyatlarini bilib, avtomobilning harakatini qanday aniqlash mumkin? Javoblarni bugungi darsimiz mavzusi bilan tanishganimizdan so'ng olamiz: "Bir tekis tezlashtirilgan harakat bilan siljish, bir tekis tezlashtirilgan harakat bilan koordinatalarning vaqtga bog'liqligi".

Bir tekis tezlashtirilgan harakatda grafik yuqoriga koʻtarilayotgan toʻgʻri chiziqqa oʻxshaydi, chunki uning tezlanish proyeksiyasi noldan katta.

Yagona to'g'ri chiziqli harakat bilan, maydon son jihatdan tananing siljishi proektsiyasining moduliga teng bo'ladi. Ma’lum bo‘lishicha, bu faktni faqat bir tekis harakat holati uchun emas, balki har qanday harakat uchun ham umumlashtirish mumkin, ya’ni grafik ostidagi maydon ko‘chish proyeksiyasi moduliga son jihatdan teng ekanligini ko‘rsatish mumkin. Bu qat'iy matematik tarzda amalga oshiriladi, ammo biz grafik usuldan foydalanamiz.

Guruch. 2. Bir tekis tezlashtirilgan harakat bilan tezlikning vaqtga bog'liqligi grafigi ()

Bir tekis tezlashtirilgan harakat tezligining vaqtdan proyeksiyasi grafigini kichik Dt vaqt oraliqlariga ajratamiz. Faraz qilaylik, ular shunchalik kichikki, ularning uzunligi davomida tezlik deyarli o'zgarmadi, ya'ni rasmdagi chiziqli bog'liqlik grafigini shartli ravishda narvonga aylantiramiz. Uning har bir bosqichida tezlik unchalik o'zgarmaganiga ishonamiz. Tasavvur qiling-a, biz Dt vaqt oralig'ini cheksiz kichik qilamiz. Matematikada ular aytadilar: biz chegaraga o'tamiz. Bunday holda, bunday zinapoyaning maydoni V x (t) grafigi bilan chegaralangan trapezoidning maydoniga cheksiz ravishda to'g'ri keladi. Va bu shuni anglatadiki, bir tekis tezlashtirilgan harakat uchun biz siljish proyeksiyasi moduli son jihatdan V x (t) grafigi bilan chegaralangan maydonga teng: abscissa va ordinata o'qlari va abscissa o'qiga tushirilgan perpendikulyar, ya'ni 2-rasmda ko'rib turganimizdek, trapezoid OABS maydoni.

Muammo jismoniy masaladan matematikaga aylanadi - trapesiya maydonini topish. Bu standart holat, fiziklar ma'lum bir hodisani tavsiflovchi model yaratadilar, keyin esa matematika o'ynaydi, bu modelni tenglamalar, qonunlar bilan boyitadi - bu modelni nazariyaga aylantiradi.

Biz trapetsiyaning maydonini topamiz: trapezoid to'rtburchaklardir, chunki o'qlar orasidagi burchak 90 0 ga teng, biz trapezoidni ikkita shaklga ajratamiz - to'rtburchaklar va uchburchaklar. Shubhasiz, umumiy maydon bu raqamlarning maydonlari yig'indisiga teng bo'ladi (3-rasm). Ularning maydonlarini topamiz: to'rtburchakning maydoni tomonlarning ko'paytmasiga teng, ya'ni V 0x t, to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni oyoqlarning yarmi mahsulotiga teng bo'ladi - 1/2AD BD proyeksiya qiymatlarini almashtirib, biz quyidagilarga erishamiz: 1/2t (V x - V 0x), va bir xil tezlashtirilgan harakat bilan tezlikning vaqt bo'yicha o'zgarishi qonunini eslab, V x (t) = V 0x + axt, bu aniqki, tezliklar proyeksiyalaridagi farq t vaqt bo'yicha tezlanish oqi proyeksiyasining ko'paytmasiga teng, ya'ni V x - V 0x = a x t.

Guruch. 3. Trapetsiyaning maydonini aniqlash ( Manba)

Trapezoidning maydoni son jihatdan siljish proyeksiya moduliga teng ekanligini hisobga olsak, biz quyidagilarni olamiz:

S x (t) \u003d V 0 x t + a x t 2/2

Skalar ko'rinishda bir tekis tezlashtirilgan harakat bilan siljish proyeksiyasining vaqtga bog'liqligi qonunini oldik, vektor shaklida u quyidagicha ko'rinadi:

(t) = t + t 2/2

Keling, o'zgaruvchi sifatida vaqtni o'z ichiga olmaydigan joy o'zgartirish proyeksiyasi uchun yana bitta formulani chiqaramiz. Biz tenglamalar tizimini echamiz, undan vaqtni hisobga olmaganda:

S x (t) \u003d V 0 x + a x t 2/2

V x (t) \u003d V 0 x + a x t

Tasavvur qiling, biz vaqtni bilmaymiz, keyin ikkinchi tenglamadan vaqtni ifodalaymiz:

t \u003d V x - V 0x / a x

Olingan qiymatni birinchi tenglamaga almashtiring:

Biz shunday noqulay iborani olamiz, biz uni kvadratga aylantiramiz va shunga o'xshashlarni beramiz:

Harakat vaqtini bilmagan holat uchun juda qulay siljish proyeksiyasi ifodasini oldik.

Keling, mashinaning dastlabki tezligini olaylik, tormozlash boshlanganda, V 0 \u003d 72 km / soat, oxirgi tezlik V \u003d 0, tezlashuv a \u003d 4 m / s 2. Tormozlash masofasining uzunligini aniqlang. Kilometrlarni metrga aylantirib, qiymatlarni formulaga almashtirsak, to'xtash masofasi quyidagicha bo'ladi:

S x \u003d 0 - 400 (m / s) 2 / -2 4 m / s 2 \u003d 50 m

Keling, quyidagi formulani tahlil qilaylik:

S x \u003d (V 0 x + V x) / 2 t

Harakat proyeksiyasi boshlang'ich va oxirgi tezliklar proyeksiyalari yig'indisining yarmini harakat vaqtiga ko'paytiradi. O'rtacha tezlik uchun siljish formulasini eslang

S x \u003d V cf t

Bir tekis tezlashtirilgan harakatda o'rtacha tezlik quyidagicha bo'ladi:

V cf \u003d (V 0 + V k) / 2

Biz bir tekis tezlashtirilgan harakat mexanikasining asosiy muammosini hal qilishga, ya'ni koordinata vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadigan qonunni olishga yaqinlashdik:

x(t) \u003d x 0 + V 0 x t + a x t 2/2

Ushbu qonundan qanday foydalanishni o'rganish uchun biz odatiy muammoni tahlil qilamiz.

Dam olish holatidan harakatlanayotgan mashina 2 m / s 2 tezlashuvga ega bo'ladi. Mashinaning 3 soniyada va uchinchi soniyada bosib o'tgan masofasini toping.

Berilgan: V 0 x = 0

Vaqt o'tishi bilan siljish o'zgarishi qonunini yozamiz

bir tekis tezlashtirilgan harakat: S x \u003d V 0 x t + a x t 2/2. 2 c

Muammoning birinchi savoliga ma'lumotlarni kiritish orqali javob berishimiz mumkin:

t 1 \u003d 3 c S 1x \u003d a x t 2/2 \u003d 2 3 2/2 \u003d 9 (m) - bu borgan yo'l

c avtomobil 3 soniyada.

U 2 soniyada qancha masofani bosib o'tganini bilib oling:

S x (2 s) \u003d a x t 2/2 \u003d 2 2 2/2 \u003d 4 (m)

Shunday qilib, siz va men ikki soniya ichida mashina 4 metr yurganini bilamiz.

Endi, bu ikki masofani bilib, uchinchi soniyada bosib o'tgan yo'lni topishimiz mumkin:

S 2x \u003d S 1x + S x (2 s) \u003d 9 - 4 \u003d 5 (m)

Bir tekis tezlashtirilgan harakat tezlanish vektori kattaligi va yo'nalishi bo'yicha o'zgarishsiz qoladigan bunday harakat deyiladi. Bunday harakatga misol sifatida gorizontga ma'lum bir burchak ostida tashlangan toshning harakatlanishi (havo qarshiligiga e'tibor bermaslik) mumkin. Traektoriyaning istalgan nuqtasida toshning tezlashishi erkin tushish tezlashishiga teng. Shunday qilib, bir tekis tezlashtirilgan harakatni o'rganish to'g'ri chiziqli bir xil tezlashtirilgan harakatni o'rganishga qisqartiriladi. To'g'ri chiziqli harakatda tezlik va tezlanish vektorlari to'g'ri chiziq bo'ylab yo'naltiriladi. Demak, harakat yo`nalishi bo`yicha proyeksiyalardagi tezlik va tezlanishni algebraik kattaliklar deb hisoblash mumkin. Bir tekis tezlashtirilgan to'g'ri chiziqli harakatda tananing tezligi (1) formula bilan aniqlanadi.

Ushbu formulada tananing tezligi t = 0 (boshlanish tezligi ), = const – tezlanish. Tanlangan x o'qiga proyeksiyada (1) tenglama quyidagi ko'rinishda yoziladi: (2). Tezlik proyeksiya grafigida y x ( t), bu bog'liqlik to'g'ri chiziq shakliga ega.

Tezlikni aniqlash uchun tezlik grafigining qiyaligidan foydalanish mumkin a tanasi. Tegishli konstruktsiyalar sek. Grafik I uchun tezlanish son jihatdan uchburchak tomonlari nisbatiga teng ABC: .

Vaqt o'qi bilan tezlik grafigini tashkil etuvchi b burchak qanchalik katta bo'lsa, ya'ni grafikning qiyaligi shunchalik katta bo'ladi ( tiklik), tananing tezlashishi qanchalik katta.

Grafik I uchun: y 0 \u003d -2 m / s, a\u003d 1/2 m / s 2. II grafik uchun: y 0 \u003d 3 m / s, a\u003d -1/3 m / s 2.

Tezlik grafigi, shuningdek, ma'lum vaqt t uchun tananing siljishi s proyeksiyasini aniqlash imkonini beradi. Vaqt o'qi bo'yicha bir oz kichik vaqt oralig'ini Dt ajratamiz. Agar bu vaqt oralig'i etarlicha kichik bo'lsa, unda bu davrdagi tezlikning o'zgarishi kichik bo'ladi, ya'ni bu vaqt oralig'idagi harakatni ma'lum bir o'rtacha tezlik bilan bir xil deb hisoblash mumkin, bu y ning oniy tezligiga teng. tana Dt oralig'ining o'rtasida. Demak, Dt vaqt ichida Ds joy almashish Ds = yDt ga teng bo'ladi. Bu siljish shakldagi soyali maydonga teng. chiziqlar. Vaqt oralig'ini 0 dan ma'lum bir momentgacha bo'lgan vaqt oralig'ini Dt kichik oraliqlarga bo'lish orqali biz bir xil tezlashtirilgan to'g'ri chiziqli harakat bilan ma'lum vaqt t uchun siljish s ning ODEF trapesiya maydoniga teng ekanligini olishimiz mumkin. Tegishli konstruktsiyalar sek. II jadval uchun. Vaqt t 5,5 s ga teng qabul qilinadi.

(3) - hosil bo'lgan formula, agar tezlanish noma'lum bo'lsa, bir xil tezlashtirilgan harakat bilan siljishni aniqlashga imkon beradi.

Agar tezlik (2) ifodasini (3) tenglamaga almashtirsak, (4) ni olamiz - bu formuladan tana harakati tenglamasini yozish uchun foydalaniladi: (5).

Agar (2) tenglamadan harakat vaqtini (6) ifodalab, (3) tenglikka almashtirsak, u holda

Ushbu formula harakatning noma'lum vaqtidagi harakatni aniqlash imkonini beradi.

Bir tekis tezlashtirilgan harakatlanuvchi jismning siljish vektorining proyeksiyasi, agar uning dastlabki tezligi v 0 nolga teng bo'lsa, qanday hisoblanishini ko'rib chiqamiz. Bunday holda, tenglama

quyidagicha ko'rinadi:

Keling, bu tenglamani unga vektorlarning s x va a x proyeksiyalari o‘rniga s va a modullarini qo‘yib, qayta yozamiz.

siljish va tezlanish. Bu holda sua vektorlari bir yo'nalishda yo'naltirilganligi sababli, ularning proyeksiyalari bir xil belgilarga ega. Shuning uchun vektorlar modullari uchun tenglama yozilishi mumkin:

Ushbu formuladan kelib chiqadiki, boshlang'ich tezligi bo'lmagan to'g'ri chiziqli bir tekis tezlashtirilgan harakatda, siljish vektorining moduli ushbu harakat amalga oshirilgan vaqt oralig'ining kvadratiga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir. Bu shuni anglatadiki, harakat vaqtining n marta ortishi bilan (harakat boshlangan paytdan boshlab hisoblangan) harakat n 2 marta ortadi.

Masalan, agar harakat boshidan boshlab ixtiyoriy vaqt davomida t 1 bo'lsa, tana harakatlangan

keyin t 2 \u003d 2t 1 vaqt oralig'ida (t 1 bilan bir vaqtning o'zida hisoblangan) u harakat qiladi

ma'lum vaqt uchun t n \u003d nt l - siljish s n \u003d n 2 s l (bu erda n - natural son).

Boshlang'ich tezliksiz to'g'ri chiziqli bir tekis tezlashtirilgan harakat paytida siljish vektori modulining vaqtga bog'liqligi 15-rasmda aniq aks ettirilgan, bu erda OA, OB, OS, OD va OE segmentlari siljish vektorlarining modullari (s 1, s). 2, s 3, s 4 va s 5), mos ravishda t 1, t 2 = 2t 1, t 3 = 3t 1, t 4 = 4t 1 va t 5 = 5t 1 vaqt oraliqlari uchun organ tomonidan sodir etilgan.

Guruch. 15. Bir tekis tezlashtirilgan harakat naqshlari: OA:OB:OC:OD:0E = 1:4:9:16:25; OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9

Bu raqamdan ko'rinib turibdiki

OA:OB:OS:OD:OE = 1:4:9:16:25, (1)

ya'ni harakat boshidan hisoblangan vaqt oralig'ining t 1 bilan solishtirganda butun son marta ortishi bilan mos keladigan siljish vektorlarining modullari ketma-ket natural sonlarning kvadratlari qatori sifatida ortadi.

15-rasmda yana bir naqsh ko'rsatilgan:

OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9, (2)

ya'ni, tana tomonidan ketma-ket teng vaqt oralig'ida (ularning har biri t 1 ga teng) bajariladigan siljishlar vektorlarining modullari ketma-ket toq sonlar qatori sifatida bog'langan.

(1) va (2) qonuniyatlar faqat bir tekis tezlashtirilgan harakatga xosdir. Shuning uchun, agar harakatning bir tekis tezlashtirilgan yoki yo'qligini aniqlash kerak bo'lsa, ulardan foydalanish mumkin.

Masalan, harakatning dastlabki 20 soniyasida 0,5 sm, ikkinchi 20 soniyada 1,5 sm, uchinchi 20 soniyada 2,5 sm harakat qilgan kokleaning harakati bir xilda tezlashtirilganmi yoki yo'qligini aniqlaymiz.

Buning uchun ikkinchi va uchinchi vaqt oraliqlarida qilingan harakatlar birinchisiga nisbatan necha marta katta ekanligini topamiz:

Bu 0,5 sm: 1,5 sm: 2,5 sm = 1: 3: 5 degan ma'noni anglatadi. Bu nisbatlar ketma-ket toq sonlar qatori bo'lgani uchun tananing harakati bir xilda tezlashdi.

Bunda harakatning bir xilda tezlashtirilganligi qonuniyat asosida ochildi (2).

Savollar

Jismning tinch holatdan bir tekis tezlashtirilgan harakati paytida uning siljish vektorining proyeksiyasi va modulini hisoblash uchun qanday formulalar qo'llaniladi?
Jismning harakatlanish vaqti tinch holatdan n marta ortishi bilan uning siljish vektorining moduli necha marta ortadi?
T 1 ga nisbatan uning harakat vaqtining butun son marta ortishi bilan tinch holatdan bir tekis tezlashtirilgan harakatlanuvchi jismning siljish vektorlarining modullari bir-biriga qanday bog‘lanishini yozing.
Jismning ketma-ket teng vaqt oralig'ida bajargan siljishlar vektorlarining modullari, agar bu jism tinch holatdan bir tekis tezlashtirilgan harakat qilsa, bir-biriga qanday bog'lanishini yozing.
(1) va (2) qonuniyatlardan foydalanishdan maqsad nima?

8-mashq

Stansiyadan jo‘nab ketayotgan poyezd dastlabki 20 soniyada to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanadi va bir xilda tezlashadi. Ma’lumki, poyezd harakat boshlangandan uchinchi soniyada 2 m yo‘l bosib o‘tgan.Poyezdning birinchi soniyada qilgan siljish vektorining modulini va u harakat qilgan tezlanish vektorining modulini aniqlang.
Tinch holatdan bir tekis tezlashtirilgan harakatlanuvchi avtomobil tezlanishning beshinchi soniyasida 6,3 m yo‘l bosib o‘tadi.Harakat boshlangandan boshlab beshinchi sekundning oxiriga kelib avtomobil qanday tezlikka erishdi?
Dastlabki tezliksiz harakatning dastlabki 0,03 soniyasida ba'zi jismlar 2 mm, birinchi 0,06 soniyada - 8 mm, birinchi 0,09 soniyada - 18 mm harakat qildi. Muntazamlikka (1) asoslanib, barcha 0,09 s davomida tananing bir tekis tez harakatlanishini isbotlang.

Savollar.

1. Jismning tinch holatdan bir tekis tezlashtirilgan harakati paytidagi siljish vektorining proyeksiyasi va moduli qanday formulalar yordamida hisoblanadi?

2. Jismning harakatlanish vaqti tinch holatdan n marta ortishi bilan uning siljish vektorining moduli necha marta ortadi?

3. T 1 ga nisbatan harakat vaqtining butun son marta ortishi bilan tinch holatdan bir tekis tezlashtirilgan harakatlanuvchi jismning siljish vektorlarining modullari bir-biriga qanday bog’lanishini yozing.

4. Jismning ketma-ket teng vaqt oralig'ida bajargan siljishlar vektorlarining modullari, agar bu jism tinch holatdan bir tekis tezlashtirilgan harakat qilsa, bir-biriga qanday bog'lanishini yozing.

5. (3) va (4) qonuniyatlardan qanday maqsadda foydalanish mumkin?

(3) va (4) naqshlar harakatning bir xilda tezlashtirilgan yoki yo'qligini aniqlash uchun ishlatiladi (33-betga qarang).

Mashqlar.

1. Stansiyadan jo‘nab ketayotgan poyezd dastlabki 20 soniyada to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanadi va bir xilda tezlashadi. Ma’lumki, poyezd harakat boshlangandan uchinchi soniyada 2 m yo‘l bosib o‘tgan.Poyezdning birinchi soniyada qilgan siljish vektorining modulini va u harakat qilgan tezlanish vektorining modulini aniqlang.