Какво се нарича нули на квадратична функция. Как да се изгради парабола? Какво е парабола? Как решават квадратните уравнения? III случай изглежда "C"

Функцията на вида, където се нарича квадратична функция.

График на квадратична функция - парабола.

Разгледайте случаите:

Аз класическа парабола

I.e,

За изграждане, попълнете таблицата, заместване на стойностите на X във формулата:

Отбелязваме точките (0; 0); (1; 1); (-1; 1) и т.н. На координатната равнина (с по-малка стъпка, ние приемаме стойността на x (в този случай, стъпка 1), и колкото повече приемаме стойностите на x, Smaker ще бъде кривата), получаваме парабола:

Лесно е да се види, че ако вземем случая ,,, това е, ще получим парабола, симетрична около ос (о). Уверете се, че това е лесно чрез попълване на подобна таблица:

II случай, "А" е отличен от един

Какво ще се случи, ако вземем,? Как ще се промени поведението на параболата? С заглавие \u003d "(! Lang: Предоставено от QuickTex.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

В първата снимка (виж по-горе) ясно се вижда, че точките от таблицата за парабола (1; 1), (-1; 1) се трансформират в точки (1; 4), (1; -4), т.е. със същите стойности на ордината на всяка точка, умножена на 4. Това ще се случи с всички ключови моменти от таблицата на източника. По същия начин, ние твърдим в случаи на снимки 2 и 3.

И в Parabola "ще стане по-широк" Parabola:

Да представим:

1) Знакът за коефициент е отговорен за посоката на клоните. С заглавие \u003d "(! Lang: Предоставено от QuickTex.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Абсолютна стойност Коефициентът (модул) е отговорен за "разширяване", "компресия" Parabola. Колкото по-голям, колкото повече параболи, толкова по-малко |, по-широката парабола.

III случай изглежда "C"

Сега нека да влезем в играта (т.е. ние разглеждаме случая, когато), ще разгледаме парабола на вида. Не е трудно да се досещате (винаги можете да се обърнете към масата), която ще премества парабола по оста, в зависимост от знака:

IV калъфът се появява "B"

Кога Parabola "избухне" от оста и най-накрая ще "ходи" в координатния самолет? Кога ще престане да бъде равен.

Тук за изграждане на Parabola ще ни трябва формула за изчисляване на върха: , .

Така в този момент (както в точката (0; 0) от новата координатна система) ще построим парабола, която можем за постоянно. Ако се занимаваме с случая, тогава от върховете поставят един единствен сегмент вдясно, един нагоре, - получената точка е нашата (подобна на лявата стъпка, стъпка нагоре е наша точка); Ако се занимаваме, например, тогава от върховете поставят един единствен сегмент надясно, две-нагоре и т.н.

Например, Vertex Parabola:

Сега най-важното е да се разбере, че в този топ ще построим парабола на парабола, защото в нашия случай.

При изграждане на парабола след намирането на координатите на върха е много Удобно е да се вземат предвид следните точки:

1) парабола определено ще премине през точката . Всъщност, замествайки формулата x \u003d 0, ние го получаваме. Това означава, че ордината на пресичането на парабола с оста (OU) е. В нашия пример (по-горе), Parabola пресича ордината на орената в точката, тъй като.

2) ос на симетрия парабола е права, така че всички точки на парабола ще бъдат симетрични за това. В нашия пример веднага да вземем точката (0; -2) и изграждаме симетрия на парабола със симетрия спрямо оста, получаваме точка (4; -2), през която ще премине Parabola.

3) Приравняваме, че научаваме точките на пресичане на парабола с оста (о). За да направите това, решете уравнението. В зависимост от дискриминацията, ще получим един (), две (заглавие \u003d "(! Lang: Предоставено от QuickTex.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . В предишния пример имаме корен от дискриминантния - не цяло число, когато го строим, няма смисъл да се намерят корените, но виждаме ясно, че ще имат две точки на пресечната точка с ос (о) От заглавието \u003d "(! Lang: Предоставено от QuickLatex.com." height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Така че нека работим

Алгоритъм за изграждане на парабола, ако е зададено във формата

1) ние определяме посоката на клоните (A\u003e 0 - нагоре, a<0 – вниз)

2) Ние откриваме координатите на Vertex Parabola по формулата.

3) Ние откриваме точката на пресичане на парабола с ос (OU) на свободен член, ние изграждаме точка, симетрична за оста на симетрията на Парабола (трябва да се отбележи, това се случва, че този въпрос е нерентабилен за отбелязване, Например, защото стойността е страхотна ... ми липсва тази позиция ...)

4) На намерената точка - горната част на парабола (както в точката (0; 0) от новата координатна система) ние изграждаме парабола. Ако заглавието \u003d "(! Lang: Предоставено от QuickTextex.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Ние откриваме точката на пресичане на парабола с ос (OU) (ако те все още не се появяват "), решаване на уравнение

Пример 1.

Пример 2.

Забележка 1. Ако Parabola първоначално е поставен под формата, където има някои номера (например), тогава ще бъде още по-лесно да се изгради, защото вече са определени координатите на върховете. Защо?

Вземете площад три остарял и маркирайте пълния квадрат в него: погледнете, така че имаме това. Вече наричахме върха на Парабола, който сега е.

Например, . Отбелязваме на равнината на върха на парабола, разбираме, че клоните са насочени надолу, Parabola се разширява (относително). Това е, ние изпълняваме параграфи 1; 3; четири; 5 от алгоритъма на парабола (виж по-горе).

Бележка 2. Ако Parabola е поставен във форма, подобна на тази (т.е. тя е представена под формата на работа на два линейни мултия), след това веднага се виждаме до точката на пресичане на парабола с оста (о). В този случай - (0; 0) и (4; 0). В противен случай действаме според алгоритъма, отварянето на скобата.

Много задачи трябва да изчислят максималната или минималната квадратична функция. Максимум или минимум може да бъде намерен, ако функцията на източника се записва в стандартен формуляр: или чрез координатите на Parabola на Vertex: f (x) \u003d a (x - h) 2 + k (displessisyle f (x) \u003d a (x - h) ^ (2) + k). Освен това максималният или минимум от всяка квадратична функция може да бъде изчислен с помощта на математически операции.

Стъпка

Квадратичната функция се записва в стандартен формуляр

Запишете функцията в стандартен формуляр. Квадратичната функция е функция, чието уравнение включва променлива x 2 (displessstyle x ^ (2)). Уравнението може да включва или не включва променлива. X (displaySyle x). Ако уравнението включва променлива с индикатор за повече от 2, той не описва квадратичната функция. Ако е необходимо, донесете подобни членове и ги отгледайте, за да записвате функцията в стандартен формуляр.

Графиката на квадратична функция е парабола. Клоновете на Parabola са насочени нагоре или надолу. Ако коефициентът A (dispresstyle a) С променлива x 2 (displessstyle x ^ (2)) A (dispresstyle a)

Изчисляване -b / 2a. Стойност - B 2 A (DisplaySyle - (FRAC (B) (2A))) - Това е координати X (displaySyle x) Върховете на парабола. Ако квадратичната функция се записва в стандартен формуляр a x 2 + b x + c (displaysyle ax ^ (2) + bx + c), използвайте коефициентите, когато X (displaySyle x) и x 2 (displessstyle x ^ (2)) По следния начин:

• Във функцията на коефициентите a \u003d 1 (displaySyle a \u003d 1) и B \u003d 10 (DisplaySyle B \u003d 10)
• Като втори пример, помислете за функцията. Тук A \u003d - 3 (DisplaySyle A \u003d -3) и B \u003d 6 (DisplaySyle B \u003d 6). Ето защо "X" координата на върха на Parabolas ще изчисли това:

1. Намерете съответната стойност F (x). Подгответе стойността "x" в функцията на източника, за да намерите съответната стойност f (x). Така ще намерите минимална или максимална функция.

   • В първия пример F (x) \u003d x 2 + 10 x - 1 (displaySyle f (x) \u003d x ^ (2) + 10x-1) Изчислили сте, че координата "x" на язовиращия парабол е равна на x \u003d - 5 (DisplaySyle x \u003d -5). Вместо това в оригиналната функция X (displaySyle x) Слагам - 5 (DisplaySyle -5)
   • Във втория пример F (x) \u003d - 3 x 2 + 6 x - 4 (displaySyle f (x) \u003d - 3x ^ (2) + 6x-4) Установихте, че координата "x" от горната част на парабола е равна на x \u003d 1 (displaySyle x \u003d 1). Вместо това в оригиналната функция X (displaySyle x) Слагам 1 (DisplaySyle 1)За да намерите максималната си стойност:

2. Запишете отговора. Прочетете повторното състояние на задачата. Ако трябва да намерите координатите на горната част на парабола, в отговор, напишете двете стойности X (displaySyle x) и Y (displessstyle y) (или f (x) (displaySyle f (x))). Ако трябва да изчислите максимална или минимална функция, в отговор, запишете само стойността Y (displessstyle y) (или f (x) (displaySyle f (x))). Още веднъж погледнете знака на коефициента A (dispresstyle a)За да проверите дали сте изчислили: максимум или минимум.

   Квадратичната функция се записва чрез координатите на Parabola на Vertex

   1. Запишете квадратичната функция чрез координатите на Parabola Vertex. Такова уравнение е както следва:

      Определят посоката на парабола. За да направите това, погледнете знака на коефициента A (dispresstyle a). Ако коефициентът A (dispresstyle a) Положителни, Parabola е насочена. Ако коефициентът A (dispresstyle a) Отрицателен, Parabola е насочен надолу. Например:

      Намерете минималната или максималната функционална стойност. Ако функцията се записва чрез координатите на Pearabela Vertex, минимален или максимален, равен на стойността на коефициента K (displessstyle k). В примерите по-горе:

      Намерете координатите на върховете на Pearabela. Ако задачата е необходима, за да намерите върха на параболата, нейните координати са равни (H, k) (DisplaySyle (H, K)). Забележка Когато квадратичната функция се записва чрез координатите на Vertex в Peyabela, операцията по изваждане трябва да бъде затворена в скоби. (X - h) (дисплей (x - h))Следователно стойността H (DisplaySyle H) Заема с обратния знак.

   Как да изчислим минимум или максимум с помощта на математически операции

   Първо разгледайте стандартния тип уравнение. Запишете квадратичната функция в стандартния формуляр: f (x) \u003d a x 2 + b x + c (displaysyle f (x) \u003d ax ^ (2) + bx + c). Ако е необходимо, въведете подобни членове и ги пренаредете, за да получите стандартно уравнение.

   Намерете първото производно. Първото производно на квадратичната функция, което се записва в стандартен формуляр, е равен на f '(x) \u003d 2 a x + b (displaySyle f ^ (първичен) (x) \u003d 2AX + b).

   Производно се равнява на нула. Припомнете си, че произведената функция е равна на ъгловия коефициент на функцията в определена точка. В минимум или максимум, ъгловият коефициент е нула. Следователно, за да се намери минималната или максималната функционална стойност, производно трябва да бъде равно на нула. В нашия пример:

Квадратичната функция се нарича функция на формуляра:
y \u003d a * (x ^ 2) + b * x + c,
където А е коефициентът с висша степен на неизвестен х,
б - коефициентът в неизвестното x,
и с - свободен член.
Графиката на квадратичната функция е крива, наречена Parabola. Обща форма. Parabola е представена на фигурата по-долу.

Фиг.1 Обща изглед на парабола.

Има няколко различни начина за изграждане на графика на квадратична функция. Ще разгледаме основния и най-често срещан.

Алгоритъм за изграждане на графика на квадратична функция y \u003d A * (x ^ 2) + b * x + c

1. Изградете координатна система, маркирайте един сегмент и знак координатни оси.

2. Определете посоката на клоните на парабола (нагоре или надолу).
За да направите това, трябва да погледнете знака на коефициента a. Ако плюс - клоните са насочени нагоре, ако клоните са изпратени.

3. Определете координатата на върха на парабола.
За да направите това, трябва да използвате формулата на Hvershins \u003d -b / 2 * a.

4. Определете координата в горната част на парабола.
За да направите това, заменете Alien \u003d A * (x ^ 2) + b * x + c уравнение вместо x, намерено в предишната стъпка.

5. Приложете получената точка на графиката и прекарвайте оста на симетрията през нея, успоредно на координатната ос на OU.

6. Намерете точките за пресичане на графиката с оста о.
За да направите това, е необходимо да решите квадратното уравнение a * (x ^ 2) + b * x + c \u003d 0 по един от известните методи. Ако уравнението няма реални корени, функционалната графика не пресича оста о.

7. Намерете координатите на точката на пресичане на графиката с оста на OU.
За да направите това, ние заменяме стойността x \u003d 0 до уравнение и изчисляваме стойността на y. Празнуваме тази и симетрична точка на графиката.

8. Ние намираме координатите на произволната точка А (x, y)
За да направите това, изберете произволната стойност на координатите X и ние го заменяме в нашето уравнение. Получаваме стойността в този момент. Приложете точка в графика. И също така обърнете внимание на точката на графиката, симетричната точка a (x, y).

9. Свържете получените точки на графиката на гладката линия и продължете графика за крайни точкидо края на координатната ос. Подпишете графика или на каленото, или ако мястото е разположено по графиката.

Пример за изграждане на графика

Като пример ние изграждаме диаграма на квадратична функция, дадена от уравнението y \u003d x ^ 2 + 4 * x-1
1. Ние нарисуваме координирани оси, ние ги подписваме и маркираме един сегмент.
2. Стойностите на коефициентите A \u003d 1, B \u003d 4, C \u003d -1. От А \u003d 1, това е насочено повече нулев клон на Parabola.
3. Определете координатния х от горната част на Hvershina Parabola \u003d -b / 2 * A \u003d -4 / 2 * 1 \u003d -2.
4. Определете координата в горната част на парабола
Спрей \u003d A * (x ^ 2) + b * x + c \u003d 1 * ((- 2) ^ 2) + 4 * (- 2) - 1 \u003d -5.
5. Отбелязваме върха и извършваме оста симетрия.
6. Ние намираме точката на пресичане на графиката на квадратичната функция с оста о. Ние решаваме квадратното уравнение x ^ 2 + 4 * x-1 \u003d 0.
x1 \u003d -2-√3 x2 \u003d -2 + √3. Отбелязваме стойностите, получени в графиката.
7. Ние намираме точката на пресичане на графика с оста на OU.
x \u003d 0; y \u003d -1.
8. Изберете произволна точка Б. Нека да има координатна x \u003d 1.
След това y \u003d (1) ^ 2 + 4 * (1) -1 \u003d 4.
9. Свързваме получените точки и запишете график.

Ако искате да участвате в голям живот, попълнете главата си с математика, докато има възможност. Тя ще ви даде огромна помощ във вашата работа.

M.i. Калинин

Една от основните функции училищна математиказа които е изградена пълната теория и всички свойства са доказани, е квадратична функция. Учениците трябва ясно да разберат и да знаят всички тези свойства. В този случай задачите за квадратична функция има голям комплект - от много прост, който тече директно от теорията и формулите до най-трудното решение, което изисква анализ и дълбоко разбиране на всички свойства на функцията .

При решаване на задачи на квадратична функция практическа стойност Той има съответствие между алгебричното описание на проблема и геометричното му тълкуване - изображението на координатна равнина на скицата на функцията на функцията. Благодарение на тази функция винаги имате възможност да проверите коректността и последователността на нашето теоретично разсъждение.

Обмислете няколко задачи по темата "квадратична функция" и се съсредоточете върху тяхното подробно решение.

Задача 1.

Намерете размера на общите стойности на номера P, в който Vertex Parabola y \u003d 1 / 3x 2 - 2px + 12P се намира над ос OX.

Решение.

Парабола се насочват (A \u003d 1/3\u003e 0). Тъй като горната част на параболата се намира над овката на OX, тогава Parabola не пресича оста на абсциса (фиг. 1). Така функция

y \u003d 1 / 3x 2 - 2px + 12p няма нули,

уравнение

1 / 3x 2 - 2px + 12p \u003d 0 няма корени.

Това е възможно, ако дискриминацията на последното уравнение се окаже отрицателна.

Изчислявам се:

D / 4 \u003d Р2 - 1/3 · 12p \u003d P2 - 4P;

p 2 - 4p< 0;

p (P - 4)< 0;

p принадлежи към интервала (0; 4).

Сумата от целочислените стойности на номера Р от пролуката (0; 4): 1 + 2 + 3 \u003d 6.

Отговор: 6.

Имайте предвид, че за отговора на въпроса за задачата е възможно да се решава неравенството

y In\u003e 0 или (4AC - B 2) / 4A\u003e 0.

Задача 2.

Намерете броя на числото на номера А, в който абсцисата и ордината на върха на Parabola Y \u003d (X - 9A) 2 + A 2 + 7A + 6 са отрицателни.

Решение.

Ако се разглежда квадратичната функция

y \u003d a (x - n) 2 + m, точката с координати (m; n) е връх на Peyabol.

В нашия случай

x \u003d 9a; Y B \u003d 2 + 7A + 6.

Тъй като абсцисата, и ордината на върховете на Peyabol трябва да бъде отрицателна, тогава системата на неравенствата:

(9a.< 0,
(2 + 7A + 6< 0;

Разреши получената система:

(А.< 0,
((A + 1) (a + 6)< 0;

Ще изобразя решаването на неравенствата върху координата на директна и да дам окончателния отговор:

а принадлежи към интервала (-6; -1).

Целочислени стойности на броя на: -5; - -3; -2. Техният брой: 4.

Отговор: 4.

Задача 3.

Намерете най-чистата стойност на броя m, при който квадратичната функция
y \u003d -2x 2 + 8x + 2m взема само отрицателни стойности.

Решение.

Клоновете на Parabola са насочени надолу (A \u003d -2< 0). Данная функция будет принимать только отрицательные значения, если ее график не будет иметь общих точек с осью абсцисс, т.е. уравнение -2x 2 + 8x + 2m = 0 не будет иметь корней. Это возможно, если дискриминант последнего уравнения будет отрицательным.

2x 2 + 8x + 2m \u003d 0.

Разделяме коефициентите на уравнението на -2, получаваме:

x 2 - 4x - m \u003d 0;

D / 4 \u003d 2 2 - 1 · 1 · (-M) \u003d 4 + m;

Най-голямата целева стойност на броя m: -5.

Отговор: -5.

За да отговорим на въпроса за задачата, беше възможно да се реши неравенството y< 0 или

(4AC - B 2) / 4A< 0.

Задача 4.

Намерете най-малката стойност на квадратичната функция Y \u003d AX 2 - (A + 6) x + 9, ако е известно, че права линия x \u003d 2 е оста на симетрията на нейния график.

Решение.

1) Тъй като направо x \u003d 2 е ос на симетрия на тази графика, x b \u003d 2. използваме формулата

x b \u003d -b / 2a, след това x b \u003d (a + 6) / 2а. Но x b \u003d 2.

Направете уравнение:

(A + 6) / 2A \u003d 2;

След това функцията отнема гледката

y \u003d 2x 2 - (2 + 6) x + 9;

y \u003d 2x 2 - 8x + 9.

2) Parabola клона

Най-малкият смисъл на тази функция е ордината на върха на парабола (Фиг. 2)което е лесно да се намери с формулата

y B \u003d (4AC - B 2) / 4а.

y b \u003d (4 · 2,9 - 8 2) / 4 · 2 \u003d (72 - 64) / 8 \u003d 8/8 \u003d 1.

Най-малката стойност на разглежданата функция е 1.

Отговор: 1.

Задача 5.

Намерете най-малката цялостна стойност на номера А, при който набор от стойности на функцията y \u003d x 2 - 2x + a и y \u003d -x2 + 4x - a не се пресичат.

Решение.

Намерете много стойности на всяка функция.

I Метод.

y 1 \u003d x 2 - 2x + a.

Прилагайте формула

y B \u003d (4AC - B 2) / 4а.

y B \u003d (4 · 1 · А - 2 2) / 4 · 1 \u003d (4а - 4) / 4 \u003d 4 (А - 1) / 4 \u003d А - 1.

Тъй като клоните на Парабола са насочени нагоре, тогава

E (y) \u003d.

E (Y 2) \u003d (-∞; 4 - а].

Изобразяване на получените комплекти на координата (Фиг. 3).

Получените комплекти няма да се пресичат, ако точката с координатна 4 - A ще бъде разположена вляво от точката с координата А - 1, т.е.

4 - А.< a – 1;

Най-малката цялата стойност на броя на: 3.

Отговор: 3.

Задачите за местоположението на корените на квадратичната функция, задачите с параметрите и задачите, които са намалени до квадратични функции, са много популярни на изпита. Следователно, когато се подготвяте за изпити, трябва да обърнете специално внимание на тях.

Имате въпроси? Не знаете как да изградите диаграма на квадратична функция?
За да получите помощ за наставник - Регистрирайте се.

сайтът, с пълно или частично копиране на позоваването на материала към оригиналния източник.

Функцията на формата y \u003d A * x ^ 2 + b * x + c, където a, b, c е някои реални числа и е различен от нула, и x, y - променливи, наречени квадратична функция. Графиката на квадратичната функция y \u003d a * x ^ 2 + b * x + c е линия, наречена по математика парабола. Обща гледка към Парабола Представени на фигурата по-долу.

Заслужава да се отбележи, че ако функцията е коефициент А\u003e 0, тогава параболът е насочен нагоре и ако аграфичът на квадратичната функция е симетричен по отношение на осната симетрия. Ос от симетрия на параболата е директно изразходван през точката x \u003d (- b) / (2 * а), успоредна на оста на OU.

Координатите на Vertex Parabola се определят от следните формули:

x0 \u003d (- b) / (2 * а) y0 \u003d y (x0) \u003d (4 * a * c-b ^ 2) / 4 * а.

Фигура по-долу показва графика на произволна квадратична функция. Изграждане на графика на квадратична функция. Също така на снимката се маркира върха на параболата и оста на симетрията.

В зависимост от стойността на коефициента a, горната част на парабола ще бъде минималната или максималната стойност на квадратичната функция. С\u003e 0, Vertex е минималната стойност на квадратичната функция, докато максималната стойност не съществува. В случай на симетрия преминава през върха на парабола. Областта на дефиниция на квадратичната функция е много реални числа R.

Квадратичната функция y \u003d A * x ^ 2 + b * x + c винаги е възможно да се конвертирате във формата y \u003d a * (x + k) ^ 2 + p, където k \u003d b / (2 * а), p \u003d (4 * a * cb ^ 2) / (4 * а). За да направите това, е необходимо да се подчертае пълен квадрат.

Моля, обърнете внимание, че точката с координати (-k; P) ще бъде Vertex от Peyabol. Графиката на квадратичната функция y \u003d A * (x + k) ^ 2 + p може да бъде получена от графиката на функцията y \u003d A * x ^ 2, използвайки паралелен трансфер.

Нуждаете се от помощ при изучаването?

Предишна тема: