Как да определим най-голямата стойност, получена в графика. На каква точка стойността на деривата е най-голямата? Изчисляване на деривативната стойност

В междинния ( но,б.), но х. - Това е произволно избраната точка на тази празнина. Нека дадем аргумент х. увеличение Δх (положителен или отрицателен).

Функцията y \u003d f (x) ще получи увеличение до ΔU, равен:

ΔY \u003d F (x + ΔX) -f (x).

С безкрайно малък Δh увеличение ΔU също е безкрайно малък.

Например:

Помислете за решаването на деривативната функция върху примера на свободното падане на тялото.

Тъй като t 2 \u003d t l + Δt, тогава

.

Изчислете лимита, намираме:

Определянето t 1 е въведено, за да се подчертае постоянство t, когато изчислява границата на функцията. Тъй като Т1 е произволна стойност на времето, индексът 1 може да бъде изхвърлен; Тогава получаваме:

Може да се види тази скорост v, Подобно на пътя с., има функция време. Изглед на функцията В. всички зависи от вида на функцията с.така функцията с. като че ли "произвежда" функция в.. Оттук и името " деривативна функция».

Разгледайте още един пример.

Намерете стойността на деривативната функция:

y \u003d x 2 за x \u003d 7..

Решение. За x \u003d 7. . \\ t y \u003d 7 2 \u003d 49. Нека дадем аргумент х. увеличение Δ х.. Аргументът ще стане равен 7 + Δ х.и функцията ще получи стойността (7 + Δ x) 2..

Деривативната функция е една от сложните теми в училищната програма. Не всеки възпитаник ще отговори на въпроса какво е получено.

Тази статия просто говорим за това, което производителят е и за какво се нуждае. Няма да се стремим да се стремим към математическата строгост на презентацията. Най-важното е да се разбере смисъла.

Спомняме си дефиницията:

Производно е скоростта на смяна на функцията.

На снимката - графики от три функции. Какво мислите, че нараства по-бързо?

Отговорът е очевиден - третата. Тя има най-голяма скорост на промяната, т.е. най-голямото производно.

Ето още един пример.

Костя, Гриша и Матви едновременно си имаха работа. Нека видим как се променят техните доходи през годината:

По график незабавно всичко може да се види, не е ли това? Доходът на костите в продължение на половин година е нараснал повече от два пъти. И приходите на Гриша също са нараснали, но доста малко. И доходът на Матю е намалял до нула. Стартиращите условия са еднакви и скоростта на смяна на функцията, т.е. дериватив- Различен. Що се отнася до Матей - доходът му е отрицателно извлечен.

Интуитивно, ние лесно оценяваме скоростта на промяна на функцията. Но как го правите?

Всъщност, ние разглеждаме колко хладно става графиката на функцията (или надолу). С други думи, колко бързо се променя y с промяна в x. Очевидно е, същата функция в различните точки може да има различна стойност на производно - т.е. тя може да варира по-бързо или по-бавно.

Деривативната функция е посочена.

Покажете как да намерите използването на графиката.

Начертана е графика. Вземете точка с абсциса върху нея. Ние рисуваме в този момент допирателна към графичната функция. Искаме да преценим как се охлажда графика на функцията. Удобна стойност за това - тангентен ъгъл на наклона.

Производството на функцията в точката е равно на допирателната на ъгъла на наклона, извършена към графиката на функцията в този момент.

Моля, обърнете внимание - като ъгъл на маркиране на допирател, ние приемаме ъгъл между допирателната и положителна посока на оста.

Понякога учениците попитат какво е допирало към функционалната графика. Това е директно, като има една обща точка с график на този участък и както е показано на нашата фигура. Изглежда като допирателна към обиколката.

Ние ще намерим. Спомняме си, че допирателната на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е равна на отношението на противоположния катеш към съседния. От триъгълника:

Намерихме производно с помощта на графика, дори и да знаем функцията за формула. Тези задачи често се срещат в изпита по математика на номера.

Има и друго важно съотношение. Припомнете, че директното се дава от уравнението

Стойността в това уравнение се нарича ъглов коефициент директен. Тя е равна на допирателната на ъгъла на наклона директно към оста.

.

Получаваме това

Спомням си тази формула. Той изразява геометричното значение на деривата.

Производството на функцията в точката е равно на ъгловия коефициент на допиране, извършен към графиката на функцията в този момент.

С други думи, производно е равно на договорен ъгъл на наклона.

Вече казахме, че същата функция в различни точки може да има различно производно. Нека видим как производно е свързано с поведението на функцията.

Начертайте графика на някаква функция. Нека тази функция се увеличава на някои раздели, на други - намалява, с различни скорости. И дори ако тази функция ще има точка на максимален и минимум.

В момента функцията се увеличава. Допирателна към графиката, която се извършва в точката, образува остър ъгъл с положителна посока на ос. Така че, в точката, производно е положително.

В точката, нашата функция намалява. Танер в този момент образува глупав ъгъл с положителна посока на ос. Тъй като допирателната доза ъгъл е отрицателна, производно е отрицателно в точката.

Това се оказва:

Ако функцията се увеличи, нейното производно е положително.

Ако е намалял, производителят му е отрицателен.

И какво ще бъде в точките на максималната и минимума? Виждаме това в точки (максимална точка) и (минимална точка) допирателна хоризонтална. Следователно, допирателният ъгъл на наклона в тези точки е нула, а производно също е нула.

Точка е максимална точка. В този момент нарастващата функция се заменя с низходяща. Следователно, знакът на деривативните промени в точка с "плюс" до "минус".

В точката - точката на минимума - деривата също е нула, но знакът му се променя от "минус" към "плюс".

Заключение: С помощта на дериват, можете да научите за поведението на функцията, която ни интересува.

Ако производно е положително, функцията се увеличава.

Ако производно е отрицателно, функцията намалява.

В точката на максималната, производно е нула и променя знака от "плюс" на "минус".

В точката на минимума, производно също е нула и променя знака от "минус" на "плюс".

Пишем тези заключения под формата на таблица:

	се увеличава	максимална точка	намаление	точка на минимум	се увеличава
+	0	-	0	+

Ще направим две малки разяснения. Един от тях ще се нуждае от вас при решаването на задачите на употребата. Други - през първата година, с по-сериозно проучване на функции и деривати.

Възможно е случай, когато производителят на функцията в някакъв момент е нула, но няма максимален, няма минимална функция в този момент. Това е така нареченото :

В точка допирателната към графиката на хоризонталата и производно е нула. Въпреки това функцията на функцията се увеличава - и след като точката продължава да се увеличава. Знакът на деривата не се променя - той е положителен и останал.

Също така се случва, че в точката на максимално или минимум дериватив не съществува. На графиката тя съответства на рязко разбиване, когато допирателната е невъзможна в този момент.

И как да намерим производно, ако функцията не е посочена от графика, но по формулата? В този случай се прилага

Имаше нови задачи. Да анализираме решението им.

Прототип на задача B8 (№ 317543)

Фигурата показва графика на функцията Y \u003d F (X) и точки -2, -1, 1, 2, 2. В коя от тези точки стойността на производното е най-голямата? В отговор посочете тази точка.

Както знаем, извикахме

ограничението на връзката на функцията на функцията за увеличаване на аргумента, когато стъпките на аргумента са нулеви:

Производно в точката показва функция за промяна на скоростта В този момент. Колкото по-бързо се променя функцията, толкова по-голяма е увеличаването на функцията, толкова по-голям е ъгълът на накланяне. Тъй като задачата изисква да определи точката, в която стойността на деривата е най-голямата, ние ще изключим от разглеждането на точката с абдсссис --1 и 1 - при тези точки функцията намалява и производно в тях е отрицателно.

Функцията се увеличава в точки -2 и 2. Въпреки това, тя се увеличава в тях по различни начини - в точка -2 графика на функцията се издига по-стръмен, отколкото в точка 2, и следователно увеличението на функцията в този момент и, то означава, че производно е повече.

Отговор: -2.

И подобна задача:

Прототип на задача B8 (№ 317544)

Фигурата показва функционалния график и са маркирани -2, -1, 1, 4. В коя от тези точки е стойността на производителя на най-малките? В отговор посочете тази точка.

Решението на този проблем е подобно на решаването на предишната "с точност към обратното"

Ние се интересуваме от точка, в която производно отнема най-малко значение, т.е. ние търсим точка, в която функцията намалява най-бързо - на графиката е точка, в която най-готиният "спускане". Това е точка с абсциса 4.

Този раздел съдържа задачите на ЕГЕ по математика по теми, свързани с изследването на функциите и техните деривати.

В демонстрационни варианти EGGE 2020. години те могат да се срещнат на номер 14 За основно ниво и номер 7 За ниво на профила.

Погледнете внимателно тези три графики на функции.
Забелязахте ли, че тези функции в смисъл "роднини"?
Например, в тези зони, където графиката на зелената функция е разположена над нула, червената функция се увеличава. В тези сайтове, където графиката на зелената функция е под нулата, червената функция намалява.
Подобни коментари могат да бъдат направени по отношение на червените и сините графики.
Можете също да забележите, че нули на зелената функция (точки х. \u003d -1 I. х. \u003d 3) съвпада с точките на екстремусите на червената диаграма: кога х. \u003d -1 на червена графика виждаме местен максимум, когато х. \u003d 3 на червения график е местен минимум.
Лесно е да се види, че местните максимуми и минимуми на синята графики са постигнати в същите точки, където червеният график преминава през стойността. y. = 0.
Можете да вземете още няколко заключения за особеностите на поведението на тези графики, защото те наистина са свързани помежду си. Вижте формулите на функциите, разположени под всяка от графиките, и чрез изчисления, уверете се, че всеки предишен е получен за следващите и съответно всеки следващ е един от предварително образованите предишни функции.

φ 1 (х. ) = φ" 2 (х. ) φ 2 (х. ) = Φ 1 (х. )
φ 2 (х. ) = φ" 3 (х. ) φ 3 (х. ) = Φ 2 (х. )

Спомнете си, че знаем за деривата:

Функция y. = е.(х.) В точка х. изразява скоростта на промяна на функцията в точката х..

Дериват за физически смисъл Това е, че производно изразява скоростта на производство на процеса, описан от зависимостта y \u003d f (x).

Геометричен смисъл на деривата Именно, че неговата стойност в разглежданата точка е равна на ъгловия коефициент на тангенциална, проведена на графиката на диференцируемата функция в този момент.

И сега остави червената графика в чертежа да не бъде. Да предположим, че и двете формули са неизвестни за нас.

Мога ли да ви попитам за нещо, свързано с поведението на функцията φ 2 (х. ) Ако е известно, че това е получена функция φ 3 (х. ) и примитивна функция φ 1 (х. )?
Мога. Можете да дадете точен отговор на много въпроси, защото знаем, че производителят е характерно за функцията на промяна на промяната, за да можем да преценим някои от поведението на една от тези функции, като разгледаме графика на другия.

Преди да отговорите на следните въпроси, превъртете нагоре страницата нагоре, така че горният модел, съдържащ червения график, е скрит. Когато отговорите са дадени, върнете го, за да проверите резултата. И само след това вижте моето решение.

ВНИМАНИЕ: За повишаване на учебния ефект отговори и решения Зареждане отделно за всяка задача да натиснете серийно бутоните на жълт фон. (Когато има много задачи, бутоните могат да се появят със закъснение. Ако бутоните изобщо не са видими, проверете дали е разрешено в браузъра ви JavaScript.)

1) Използване на графиката на деривата φ" 2 (х. ) (В нашия случай, това е зелен график), определяйте кои от двете стойности на функцията повече φ 2 (-3) или φ 2 (−2)?

Според графиката на производно, може да се види, че е стриктно положително в раздел [-3; -2], това означава, че функцията в тази област се увеличава само, така че стойността на функцията в левия край х. \u003d -3 по-малко от стойността си в десния край х. = −2.

Отговор: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) използване на основната графика Φ 2 (х. ) (В нашия случай, това е син график), определете коя от двете стойности на функцията повече φ 2 (-1) или φ 2 (4)?

Според графиките е ясно, че точката х. \u003d -1 е в областта на нарастващото, следователно стойността на съответното производно е положителна. Точка х. \u003d 4 се намира на намаляването на площадката и стойността на съответното производно отрицателно. Тъй като положителната стойност е по-отрицателна, заключаваме - стойността на неизвестна функция, която е само производна, в точка 4 по-малка, отколкото в точка -1.

Отговор: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

Може да има много такива въпроси относно липсващите графики, които причиняват голямо разнообразие от задачи с кратък отговор, построен според същата схема. Опитайте се да решите някои от тях.

Задачи за определяне на производните на характеристиките на функционалната графика.

Снимка 1.

Фигура 2.

Задача 1.

y. = е. (х. ), определена на интервала (-10,5; 19). Определете броя на цели числа, при които деривативната функция е положителна.

Деривативната функция е положителна в тези области, където функцията се увеличава. Фигура показва, че тези интервали (-10.5; -7,6), (-1; 8.2) и (15.7, 19). Изброяваме всички точки в рамките на тези интервали: "-10", "- 9", "-8", "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6 "," 7 "," 8 "," 16 "," 17 "," 18 ". Общо 15 точки.

Отговор: 15

Коментари.
1. Когато графиките в класациите изискват името "точки", като правило, имаме предвид само стойностите на аргумента х. Кои са абдсценките на съответните точки, разположени на графиката. Органтите на тези точки са стойностите на функцията, те са зависими и могат лесно да бъдат изчислени, ако е необходимо.
2. Когато изброявате точки, ние не взехме предвид ръбовете на интервалите, тъй като функцията в тези точки не се увеличава и не намалява, но "разгръща". Деривата на такива точки не е положителна и не отрицателна, тя е нула, така че те се наричат \u200b\u200bстационарни точки. Освен това не разглеждаме границите на дефиницията тук, защото състоянието се казва, че това е интервалът.

Задача 2.

Фигура 1 показва графика на графика y. = е. (х. ), определена на интервала (-10,5; 19). Определят броя на цели числа, в които произхождащата функция f (х. ) Отрицателен.

Деривативната функция е отрицателна в тези области, в които функцията намалява. Фигура показва, че тези интервали (-7.6; -1) и (8.2; \u200b\u200b15,7). Цели точки в рамките на тези интервали: "-7", "- 6", "-5", "- 4", "-3", "- 2", "9", "10", "11", "12 "," 13 "," 14 "," 15 ". Общо 13 точки.

Отговор: 13

Вижте коментарите към предишната задача.

За да решите следните задачи, трябва да си припомните други дефиниции.

Максималните и минималните характеристики се комбинират с общо име - точки на екстремум .

В тези точки, получената функция е нула или не съществува ( необходимо състояние на екстрема).
Въпреки това, необходимото условие е знак, но не и гаранция за съществуването на екстремум функция. Достатъчно условие за екстремум Това е промяна на знака на деривата: ако производно в точката променя знака от "+" до "-", тогава това е точката на максималната функция; Ако деривата на точката променя знака от "-" на "+", тогава това е точката на минимална функция; Ако в точката деривативната функция е нула, или не съществува, но знакът на деривата по време на прехода през тази точка не се променя в обратното, след което определената точка не е крайна точка на функцията. Това може да бъде точка на огъване, точка на прекъсване или точка на прекъсване на функцията на дадена функция.

Задача 3.

Фигура 1 показва графика на графика y. = е. (х. ), определена на интервала (-10,5; 19). Намерете броя на точките, в които функцията допирателната към функцията е успоредна на директното y. \u003d 6 или съвпада с него.

Припомнете си, че прякото уравнение има мнение y. = kX. + б. където к. - коефициент на наклон на това директно към оста Вол.. В нашия случай к. \u003d 0, т.е. прав y. \u003d 6 не се накланя, но успоредно на оста Вол.. Това означава, че желаните допирателни вещества също трябва да бъдат успоредни на оста Вол. И трябва да има и коефициент на наклон 0. Този имот на допирателите притежава в точките на екстремум на функциите. Ето защо, за да отговорите на въпроса, трябва да преброите всички точки на екстремум на графиката. Тук те са 4 - две точки на максимални и две точки на минимални.

Отговор: 4

Задача 4.

Функции y. = е. (х. ), определен на интервала (-11; 23). Намерете количеството функции на екстремум точки на сегмента.

На посочения сегмент виждаме 2 точки на екстремум. Максималната функция се постига в точката х. 1 \u003d 4, минимум в точка х. 2 = 8.
х. 1 + х. 2 = 4 + 8 = 12.

Отговор: 12

Задача 5.

Фигура 1 показва графика на графика y. = е. (х. ), определена на интервала (-10,5; 19). Намерете броя точки, в които произхождащата функция f (х. ) Равен на 0.

Деривативната функция е нула в точките на екстрема, които се виждат на графиката 4:
2 точки за максимален и 2 точки минимум.

Отговор: 4

Задачи за определяне на характеристиките на функцията върху графиката на производителя.

Снимка 1.

Фигура 2.

Задача 6.

Фигура 2 показва графика f (х. ) - Извлечена функция е. (х. ), определен на интервала (-11; 23). В коя точка е сегментът [-6; 2] функция е. (х. ) отнема най-голяма стойност.

В посочения участък производно не е положителен, следователно функцията не се увеличава. Тя е намаляла или преминава през стационарни точки. Така функцията е постигнала най-голяма стойност на лявата граница на сегмента: х. = −6.

Отговор: −6

Коментар: Според графиката производно показва, че на сегмента [-6; 2] е нула три пъти: в точки х. = −6, х. = −2, х. \u003d 2. но в точката х. \u003d -2 тя не промени знака, а след това в този момент не може да бъде екстрем функция. Най-вероятно е имало точка на инфлексия на графиката на оригиналната функция.

Задача 7.

Фигура 2 показва графика f (х. ) - Извлечена функция е. (х. ), определен на интервала (-11; 23). В коя точка на сегмента функцията отнема най-малката стойност.

На сегмента дериватив е строго положителен, затова функцията в тази област току-що се е увеличила. По този начин най-малката функция достигна на лявата граница на сегмента: х. = 3.

Отговор: 3

Задача 8.

Фигура 2 показва графика f (х. ) - Извлечена функция е. (х. ), определен на интервала (-11; 23). Намерете номера на функциите на максималната функция е. (х. ), принадлежащи към сегмента [-5; 10].

Според желаното състояние на екстрема, максималната функция може би В точки, където производно е нула. На даден сегмент, тези точки: х. = −2, х. = 2, х. = 6, х. \u003d 10. Но според достатъчно състояние, той със сигурностсамо в тези от тях, когато знакът на дериватите се променя с "+" до "-". На графиката на деривата виждаме, че само точката е от изброените точки х. = 6.

Отговор: 1

Задача 9.

Фигура 2 показва графика f (х. ) - Извлечена функция е. (х. ), определен на интервала (-11; 23). Намерете броя на екстремумните точки е. (х. ) принадлежащи към сегмента.

Екстремните функции могат да бъдат в тези точки, където производно е 0. на даден сегмент от графиката, виждаме 5 такива точки: х. = 2, х. = 6, х. = 10, х. = 14, х. \u003d 18. Но в точката х. \u003d 14 Деривата не промени знака, поради което тя трябва да бъде изключена от разглеждане. Така остават 4 точки.

Отговор: 4

Задача 10.

Фигура 1 показва графика f (х. ) - Извлечена функция е. (х. ), определена на интервала (-10,5; 19). Намерете цените на нарастващата функция е. (х. ). В отговор, посочете дължината на най-големите от тях.

Пропуските на нарастващата функция съвпадат с пропуските на деривата на позитивност. Върху графиката виждаме техните три - (-9; -7), (4; 12), (18; 19). Най-дългата от тях е втората. Неговата дължина л. = 12 − 4 = 8.

Отговор: 8

Задача 11.

Фигура 2 показва графика f (х. ) - Извлечена функция е. (х. ), определен на интервала (-11; 23). Намерете броя точки, в които функция е допирателна е. (х. ) Паралелен директен y. = −2х. − 11 или съвпада с него.

Ъгловият коефициент (допирателната на ъгъла на наклона) на посочената директна K \u003d -2. Ние се интересуваме от паралелни или съвпадащи допирателни, т.е. Направо със същия наклон. Въз основа на геометричното значение на производно - ъглов коефициент на тангенциална в разглежданата точка на графиката на функцията, ние превеждаме точки, в които производно е равно на -2. Фигура 2 от тези точки 9. Удобно е да се разчита на кръстовища на графиката и координатна решетка, преминаваща през стойността на -2 на оста Oy..

Отговор: 9

Както можете да видите, един и същ график можете да зададете голямо разнообразие от въпроси относно поведението на функцията и нейното производно. Също така, един въпрос може да се дължи на графиките на различните функции. Бъдете внимателни, когато решавате тази задача на изпита и ще ви изглежда много лесно. Други видове задачи на тази задача - върху геометричния смисъл на примитивния - ще бъдат разгледани в друг раздел.

Здравейте! Ще ударя приближаването на напр. Игра с висококачествено системно обучение и постоянство в смилането на гранита на науката !!! В Краят на пощата е конкурентна задача, бъдете първият! В един от статиите в тази категория ние сме с функционалния график и различни въпроси, свързани с екстремус, нарастващи интервали (низходящи) и други.

В тази статия ще разгледаме задачите на математиката върху математиката, в която се предоставя графиката на деривативната функция и се задават следните въпроси:

1. В коя точка на посочения сегмент функцията отнема най-голямата (или най-малка) стойност.

2. Намерете номера на максималните точки (или минимални) функции, принадлежащи към даден сегмент.

3. Намерете броя на функциите на екстремум точки, принадлежащи към даден сегмент.

4. Намерете екстремумната точка на функцията, принадлежаща към определения сегмент.

5. Намерете пропуските в увеличаването (или низходящите) функции и в отговор на определянето на количеството на целочислените точки в тези интервали.

6. Намерете пропуските в увеличаването (или низходящите) функции. В отговор, посочете продължителността на най-големите от тези пропуски.

7. Намерете броя на точките, в които функцията-допирателната функция е успоредна на директната форма y \u003d kx + b или съвпада с нея.

8. Намерете точка на абсциса, в която функцията е допирана към функцията, успоредна на оста на абсцисата или съвпада с нея.

Възможно е да има и други въпроси, но те няма да причинят трудности, ако разбирате и (връзките са изброени на статии, в които е представена информацията, необходима за решаването, препоръчвам повтаряне).

Основна информация (накратко):

1. Деривата на интервали от нарастваща има положителен знак.

Ако производно в определена точка от определен интервал има положителна стойност, тогава функционалната графика на този интервал се увеличава.

2. На интервали от плоскост производно има отрицателен знак.

Ако производно в определена точка от някой интервал има отрицателна стойност, тогава функционалният график намалява на този интервал.

3. Деривата на точка X е равна на ъгловия коефициент на тангенциална, проведена на графиката на функцията в същата точка.

4. В екстремум точки (максимален минимум), деривативната функция е нула. Танър към графиката на функцията в тази точка, успоредна на оста о.

Необходимо е ясно да се разбере и запомните !!!

Много графики на производното "объркване". Някои невници го приемат за графика на самия функция. Ето защо, в такива сгради, където виждате, че графикът е даден, незабавно подчертайте вниманието си върху факта, че е дадено: функционален график или графика на деривативната функция?

Ако това е графика на деривативната функция, се обърнете към нея, сякаш да "отразявате" самата функция, която просто ви дава информация за тази функция.

Помислете за задачата:

Фигура показва графика y \u003d.е.'(Х) - Извлечена функция е.(х)определени на интервала (-2; 21).

Отговорете на следните въпроси:

1. На каква точка функцията сегмент е.(х) отнема най-голяма стойност.

На дадена секция деривативната функция е отрицателна, това означава, че функцията намалява на този сегмент (намалява от лявата граница на интервала вдясно). Така най-голяма стойност на функцията се постига на лявата граница на сегмента, т.е. в точка 7.

Отговор: 7.

2. В каква точка функцията сегмент е.(х)

За този график производно може да каже следното. На дадена част, деривативната функция е положителна, това означава, че функцията на този сегмент се увеличава (тя се увеличава от лявата граница на интервала вдясно). Така най-малкото стойност на функцията се постига на лявата граница на сегмента, т.е. в точка X \u003d 3.

Отговор: 3.

3. Намерете броя на функциите на максималната функция е.(х)

Максималните точки съответстват на точката на промяна на знака на производа с положителен за отрицателен. Помислете къде се променя знакът.

Върху сегмента (3; 6), производно е положително, върху сегмента (6; 16) е отрицателен.

Нарязания (16; 18) производно е положително, върху сегмента (18; 20) е отрицателен.

По този начин, на даден сегмент, функцията има две точки от максимума x \u003d 6 и x \u003d 18.

Отговор: 2.

4. Намерете броя на точките на минималната функция е.(х)принадлежащи към сегмента.

Минималните точки съответстват на точките за смяна на точките с отрицателен до положителен. Ние имаме на интервала (0; 3) производно е отрицателно, на интервала (3; 4) е положителен.

По този начин, на сегмента, функцията има само една точка от минимум x \u003d 3.

* Бъдете внимателни, когато записвате отговор - броят на точките се записва, а не стойността x, такава грешка може да бъде разрешена поради невнимание.

Отговор: 1.

5. Намерете броя на екстремумните функции е.(х)принадлежащи към сегмента.

Моля, обърнете внимание, че трябва да намерите количество Точки на екстрема (това са максималните точки и минимални точки).

Екстремните точки съответстват на точката на промяна на знака на производа (с положителен до отрицателен или обратно). По този график това са нулеви функции. Деривата се отнася до нула в точки 3, 6, 16, 18.

Така, на сегмента, функцията има 4 точки на екстремум.

Отговор: 4.

6. Намерете нарастващите диапазони на функцията е.(х)

Пропуски в увеличаването на тази функция е.(х) съответстват на пропуските, на които производно е положително, т.е. интервали (3; 6) и (16; 18). Моля, обърнете внимание, че интервалните граници не са включени в него (кръгли скоби - границите не са включени в интервала, квадратни са включени). Тези интервали съдържат цели числа 4, 5, 17. тяхното количество е: 4 + 5 + 17 \u003d 26

Отговор: 26.

7. Намерете плоскост на функцията е.(х) На даден интервал. В отговор уточнете количеството на целочислените точки в тези интервали.

Светлини на намаляване на функцията е.(х) съответстват на пропуските, върху които деривативната функция е отрицателна. В тази задача тези интервали (-2; 3), (6; 16), (18; 21).

Тези интервали съдържат следните цели целочислени точки: -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Тяхното количество е равно на:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Отговор: 140.

* Обърнете внимание на състоянието: дали границите са включени в интервала или не. Ако границите са включени, тогава в разглежданите интервали, тези граници също трябва да бъдат разгледани.

8. Намерете нарастващите диапазони на функцията е.(х)

Релси на нарастваща функция е.(х) съответстват на пропуските, върху които е положителна функцията. Вече ги посочихме: (3; 6) и (16; 18). Най-големият от тях е интервалът (3; 6), чиято дължина е 3.

Отговор: 3.

9. Намерете плоскост на функцията е.(х). В отговор, посочете дължината на най-големите от тях.

Светлини на намаляване на функцията е.(х) съответстват на пропуските, върху които деривативната функция е отрицателна. Вече ги посочихме, това са интервали (-2; 3), (6; 16), (18; 21), техните дължини са съответно 5, 10, 3.

Дължината на най-голямото е 10.

Отговор: 10.

10. Намерете броя на точките, в които функцията е допирана е.(х) Паралелно директно Y \u003d 2x + 3 или съвпада с него.

Стойността на производа на дозиращата точка е равна на ъгловия коефициент на допирателна. Тъй като допирателният паралел на директния y \u003d 2x + 3 или съвпада с него, тогава техните ъглови коефициенти са равни на 2. Така че е необходимо да се намери броя на точките, в които y '(x 0) \u003d 2. геометрично, \\ t Това съответства на броя на точките на пресичане на графиката на производа с директен Y \u003d 2. На този интервал от такива точки 4.

Отговор: 4.

11. Намерете екстремумната точка на функцията е.(х)принадлежащи към сегмента.

Точката на екстремалната функция е такава точка, в която производно е нула, с нещо в съседство от тази точка, производно променя знамението (от положителен до отрицателен или обратно). На сегмента, производна графика пресича ос абсцисата, производно променя знака от отрицателния върху положителната. Следователно, точка X \u003d 3 е екстремумна точка.

Отговор: 3.

12. Намерете абдсмите на точките, в които допирателните за графиката Y \u003d F (X) са успоредни на оста на абсциса или съвпадат с него. В отговор, посочете най-големите от тях.

Tanner към графиката Y \u003d F (x) може да бъде успоредна на ос или съвпада с него, само в точки, където производно е нула (може да са точките на екстремум или стационарни точки, в близост до които прави производителят не променяме своя знак). Според този график може да се види, че производно е нула в точки 3, 6, 16,18. Най-голямото е 18.

Можете да изградите мотиви по този начин:

Стойността на производа на дозиращата точка е равна на ъгловия коефициент на допирателна. Тъй като тангенциалната паралелна ос на абсцисата или съвпада с нея, нейният ъглов коефициент е 0 (наистина допиращ ъгъл до нула е нула). Следователно търсим точка, в която ъгловият коефициент е нула, което означава, че производно е нула. Производството е нула в този момент, в който нейният график пресича ос от абсциса и те са точки 3, 6, 16.18.

Отговор: 18.

Фигура показва графика y \u003d.е.'(Х) - Извлечена функция е.(х)определени на интервала (-8; 4). В каква точка е сегментът [-7; -3] функция е.(х) Отнема най-малката стойност.

Фигура показва графика y \u003d.е.'(Х) - Извлечена функция е.(х)определени на интервала (-7; 14). Намерете номера на функциите на максималната функция е.(х)принадлежащи към сегмента [-6; 9].

Фигура показва графика y \u003d.е.'(Х) - Извлечена функция е.(х)определени на интервала (-18; 6). Намерете броя минимални точки е.(х)принадлежащи към сегмента [-13; 1].

Фигура показва графика y \u003d.е.'(Х) - Извлечена функция е.(х)дефинирани на интервала (-11; -11). Намерете броя на екстремумните точки е.(х)принадлежащи към сегмента [-10; -10].

Фигура показва графика y \u003d.е.'(Х) - Извлечена функция е.(х)дефинирани на интервала (-7; 4). Намерете цените на нарастващата функция е.(х). В отговор уточнете количеството на целочислените точки в тези интервали.

Фигура показва графика y \u003d.е.'(Х) - Извлечена функция е.(х)определени на интервала (-5; 7). Намерете плоскост на функцията е.(х). В отговор уточнете количеството на целочислените точки в тези интервали.

Фигура показва графика y \u003d.е.'(Х) - Извлечена функция е.(х)определени на интервала (-11; 3). Намерете цените на нарастващата функция е.(х). В отговор, посочете дължината на най-големите от тях.

F картината показва графика

Състоянието на задачите е същото (което разглеждахме). Намерете сумата от три числа:

1. Сумата на квадратите на екстремум функции f (x).

2. Разликата на квадратите на сумата от максималните точки и сумата на точките на минималната функция f (x).

3. Количеството допирателни до F (x), успоредно на директния Y \u003d -3x + 5.

Първият, който ще даде правилния отговор, ще получи награда за стимулиране - 150 рубли. Отговори Пишете в коментарите. Ако това е вашият първи коментар в блога, тогава веднага няма да се появи, малко по-късно (не се притеснявайте, времето на писане на коментар е регистриран).

Успех за вас!

Искрено, Александър Крутсих.

P.s: Ще бъда благодарен, ако разкажете за сайта в социалните мрежи.