Poměr tečny. Pravidla pro hledání goniometrických funkcí: sinus, kosinus, tangens a kotangens

Řešení:

Podle definice je tečna ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku rovna poměru protější větve k sousední. Rameno a=25 cm sousedí s úhlem α=36° a neznámé rameno b je opačné. Pak:

$$ tg(\alpha) = \frac(b)(a) $$ , tedy $$ b = a \cdot tg(\alpha) $$

Udělejme náhradu:

$$ b = 25 \cdot tg (36^0) = 25 \cdot 0,727 = 18,175 cm$$

$$ b = 18,175 cm$$

Řešení:

Při nahrazování je třeba vzít v úvahu, že jeden z úhlů se měří ve stupních, druhý v radiánech:

$$ 2 + tg(12^0) - tg^2 \left(\frac(\pi)(5) \right) = 2 + 0,213 - 0,727^2 \cca 1,684 $$

Řešení:

Výška pyramidy H a vzdálenost k ní L jsou ramena pravoúhlého trojúhelníku, jehož přepona je sluneční paprsek. Pak tangens úhlu, pod kterým je Slunce vidět na vrcholu pyramidy, je:

$$ tg \alpha = \frac(H)(L) $$, výšku vypočítáme transformací vzorce:

$$ H = L \cdot tg(\alpha) = 362 \cdot tg(21^0) = 138,96 $$

$$ H = 138,96 $$

Řešení:

A-převorství

$$ tg \alpha = \frac(b)(a) $$

$$tg \alpha = \frac(6)(5) = 1,2 $$

Tedy úhel $$ \alpha = 50^(\circ) $$ .

$$tg \alpha = 1,2 $$

Řešení:

Pomocí Pythagorova vzorce najdeme sousední větev trojúhelníku:

$$ a = \sqrt((c^2 - b^2)) $$

$$ a = \sqrt((10^2 - 8^2)) = \sqrt(36) = 6 \ cm $$

A-převorství

$$tg \ \alpha = \frac(8)(6) = 1,333 $$

Tedy úhel $$ \alpha = 53^(\circ) $$ .

$$ tg \alpha = 1,333 $$

Řešení:

Pomocí Pythagorova vzorce najdeme nohy trojúhelníku:

$$ c = \sqrt( (b^2 + 4b^2) ) = \sqrt((5b^2)) = b\sqrt(5) $$

$$ b = \frac(c)(\sqrt(5)) = \frac( 5\sqrt(5) )(\sqrt(5)) = 5 \ cm $$

$$ a = 5 \cdot 2 = 10 \ cm $$

A-převorství

$$ tg \ \alpha = \frac(b)(a) $$

$$ tg \ \alpha = \frac(5)(10) = 0,5$$

Tedy úhel $$ \alpha = 27^(\circ) $$ .

$$ tg \alpha = 0,5 $$

Řešení:

Najděte nohu v blízkosti požadovaného rohu. Je známo, že noha ležící proti úhlu 30 ° se rovná polovině přepony. Prostředek,

$$ a = 6 \ cm $$

Podle Pythagorovy věty najdeme nohu proti požadovanému úhlu:

$$ b = \sqrt( (c^2 + a^2) ) $$

$$ b = \sqrt( (144-36) ) = \sqrt(108) = 6\sqrt(3)$$

A-převorství

$$ tg \ \alpha = \frac(b)(a) $$

$$ tg \ \alpha = \frac(6 \sqrt(3))(6) = \sqrt(3) = 1,732 $$

Tedy úhel $$ \alpha = 60^(\circ) $$ .

$$ tg \alpha = 1,732 $$

Řešení:

A-převorství

$$ tg \ \alpha = \frac(b)(a) $$

$$tg \ \alpha = 1 $$

Tedy úhel $$ \alpha = 45^(\circ) $$ .

Pojmy sinus, kosinus, tangens a kotangens jsou hlavní kategorie trigonometrie - odvětví matematiky a jsou nerozlučně spjaty s definicí úhlu. Ovládnutí této matematické vědy vyžaduje zapamatování a pochopení vzorců a vět, stejně jako rozvinuté prostorové myšlení. Proto často působí trigonometrické výpočty školákům a studentům potíže. Chcete-li je překonat, měli byste se lépe seznámit s goniometrickými funkcemi a vzorci.

Pojmy v trigonometrii

Abyste pochopili základní pojmy trigonometrie, musíte se nejprve rozhodnout, co je pravoúhlý trojúhelník a úhel v kruhu a proč jsou s nimi spojeny všechny základní trigonometrické výpočty. Trojúhelník, ve kterém je jeden z úhlů 90 stupňů, je pravoúhlý trojúhelník. Historicky byla tato postava často používána lidmi v architektuře, navigaci, umění, astronomii. V souladu s tím, při studiu a analýze vlastností tohoto obrázku, lidé dospěli k výpočtu odpovídajících poměrů jeho parametrů.

Hlavní kategorie spojené s pravoúhlými trojúhelníky jsou přepona a nohy. Přepona je strana trojúhelníku, která je protilehlá pravému úhlu. Nohy jsou další dvě strany. Součet úhlů libovolného trojúhelníku je vždy 180 stupňů.

Sférická trigonometrie je úsek trigonometrie, který se ve škole nestuduje, ale v aplikovaných vědách, jako je astronomie a geodézie, ji vědci používají. Rysem trojúhelníku ve sférické trigonometrii je, že má vždy součet úhlů větší než 180 stupňů.

Úhly trojúhelníku

V pravoúhlém trojúhelníku je sinus úhlu poměr nohy opačné k požadovanému úhlu k přeponě trojúhelníku. V souladu s tím je kosinus poměrem sousední větve a přepony. Obě tyto hodnoty mají vždy hodnotu menší než jedna, protože přepona je vždy delší než noha.

Tangenta úhlu je hodnota rovna poměru protilehlého ramene k sousednímu ramenu požadovaného úhlu nebo sinusu ke kosinusu. Kotangens je zase poměr přilehlé větve požadovaného úhlu k opačnému kaktetu. Kotangens úhlu lze také získat vydělením jednotky hodnotou tečny.

jednotkový kruh

Jednotková kružnice v geometrii je kružnice, jejíž poloměr je roven jedné. Taková kružnice je sestrojena v kartézském souřadnicovém systému se středem kružnice shodným s výchozím bodem a počáteční poloha vektoru poloměru je určena kladným směrem osy X (osa úsečky). Každý bod kružnice má dvě souřadnice: XX a YY, tedy souřadnice úsečky a pořadnice. Označením libovolného bodu na kružnici v rovině XX a snížením kolmice z něj na osu úsečky dostaneme pravoúhlý trojúhelník tvořený poloměrem k vybranému bodu (označme jej písmenem C), kolmici nakreslenou k osou X (průsečík je označen písmenem G) a úsečkou osou úsečky mezi počátkem (bod je označen písmenem A) a průsečíkem G. Výsledný trojúhelník ACG je pravoúhlý trojúhelník vepsaný v kruh, kde AG je přepona a AC a GC jsou nohy. Úhel mezi poloměrem kružnice AC a segmentem osy úsečky s označením AG definujeme jako α (alfa). Takže cos α = AG/AC. Vzhledem k tomu, že AC je poloměr jednotkové kružnice a je roven jedné, ukazuje se, že cos α=AG. Podobně hřích α=CG.

Se znalostí těchto údajů je navíc možné určit souřadnici bodu C na kružnici, protože cos α=AG, a sin α=CG, což znamená, že bod C má dané souřadnice (cos α; sin α). S vědomím, že tečna se rovná poměru sinusu ke kosinu, můžeme určit, že tg α \u003d y / x a ctg α \u003d x / y. S ohledem na úhly v negativním souřadnicovém systému lze vypočítat, že hodnoty sinus a kosinus některých úhlů mohou být záporné.

Výpočty a základní vzorce

Hodnoty goniometrických funkcí

Po zvážení podstaty goniometrických funkcí prostřednictvím jednotkového kruhu můžeme odvodit hodnoty těchto funkcí pro některé úhly. Hodnoty jsou uvedeny v tabulce níže.

Nejjednodušší goniometrické identity

Rovnice, ve kterých je pod znaménkem goniometrické funkce neznámá hodnota, se nazývají goniometrické. Totožnosti s hodnotou sin x = α, k je libovolné celé číslo:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. hřích x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, žádná řešení.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Totožnosti s hodnotou cos x = a, kde k je libovolné celé číslo:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, žádná řešení.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Totožnosti s hodnotou tg x = a, kde k je libovolné celé číslo:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identity s hodnotou ctg x = a, kde k je libovolné celé číslo:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Odlévat vzorce

Tato kategorie konstantních vzorců označuje metody, kterými můžete přejít od goniometrických funkcí tvaru k funkcím argumentu, to znamená převést sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlu libovolné hodnoty na odpovídající ukazatele úhlu úhlu. interval od 0 do 90 stupňů pro větší pohodlí výpočtů.

Vzorce pro redukční funkce pro sinus úhlu vypadají takto:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Pro kosinus úhlu:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + a) = -cos a;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Použití výše uvedených vzorců je možné při dodržení dvou pravidel. Za prvé, pokud lze úhel reprezentovat jako hodnotu (π/2 ± a) nebo (3π/2 ± a), hodnota funkce se změní:

• od hříchu k cos;
• od cos k hříchu;
• od tg do ctg;
• z ctg do tg.

Hodnota funkce zůstane nezměněna, jestliže úhel může být reprezentován jako (π ± a) nebo (2π ± a).

Za druhé, znaménko redukované funkce se nemění: pokud bylo původně kladné, zůstává. Totéž platí pro negativní funkce.

Sčítací vzorce

Tyto vzorce vyjadřují hodnoty sinus, kosinus, tangens a kotangens součtu a rozdílu dvou úhlů rotace z hlediska jejich goniometrických funkcí. Úhly se obvykle označují jako α a β.

Vzorce vypadají takto:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Tyto vzorce platí pro libovolné úhly α a β.

Vzorce dvojitého a trojitého úhlu

Goniometrické vzorce dvojitého a trojitého úhlu jsou vzorce, které vztahují funkce úhlů 2α a 3α k goniometrickým funkcím úhlu α. Odvozeno ze sčítacích vzorců:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Přechod od součtu k produktu

Uvážíme-li, že 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), zjednodušením tohoto vzorce získáme identitu sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Podobně sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Přechod od produktu k součtu

Tyto vzorce vyplývají z identit pro přechod součtu na součin:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Redukční vzorce

V těchto identitách lze druhé mocniny a kubické mocniny sinu a kosinus vyjádřit jako sinus a kosinus první mocniny vícenásobného úhlu:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Univerzální substituce

Univerzální goniometrické substituční vzorce vyjadřují goniometrické funkce v podmínkách tangens polovičního úhlu.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), zatímco x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kde x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kde x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), zatímco x \u003d π + 2πn.

Speciální případy

Konkrétní případy nejjednodušších goniometrických rovnic jsou uvedeny níže (k je libovolné celé číslo).

Soukromé pro sinus:

Kosinové kvocienty:

Soukromé pro tečnu:

Kotangensové kvocienty:

Věty

Sinusová věta

Existují dvě verze věty – jednoduchá a rozšířená. Jednoduchá sinová věta: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. V tomto případě jsou a, b, c strany trojúhelníku a α, β, γ jsou opačné úhly.

Rozšířená sinusová věta pro libovolný trojúhelník: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. V této identitě R označuje poloměr kružnice, do které je daný trojúhelník vepsán.

Kosinová věta

Identita je zobrazena takto: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Ve vzorci jsou a, b, c strany trojúhelníku a α je úhel protilehlé strany a.

Věta tečny

Vzorec vyjadřuje vztah mezi tečnami dvou úhlů a délkou protilehlých stran. Strany jsou označeny a, b, c a odpovídající opačné úhly jsou α, β, γ. Vzorec teorému tečny: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Kotangensová věta

Přiřadí poloměr kružnice vepsané trojúhelníku k délce jeho stran. Jestliže a, b, c jsou strany trojúhelníku a A, B, C jsou jejich opačné úhly, r je poloměr vepsané kružnice a p je polovina obvodu trojúhelníku, následující identity držet:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Aplikace

Trigonometrie není pouze teoretická věda spojená s matematickými vzorci. Jeho vlastnosti, věty a pravidla využívají v praxi různá odvětví lidské činnosti – astronomie, letecká a námořní navigace, hudební nauka, geodézie, chemie, akustika, optika, elektronika, architektura, ekonomie, strojírenství, měřicí práce, počítačová grafika, kartografie, oceánografie a mnoho dalších.

Sinus, kosinus, tangens a kotangens jsou základními pojmy trigonometrie, pomocí kterých můžete matematicky vyjádřit vztah mezi úhly a délkami stran v trojúhelníku a najít požadované veličiny pomocí identit, vět a pravidel.

Jednoduše řečeno, jde o zeleninu vařenou ve vodě podle speciální receptury. Zvážím dvě počáteční složky (zeleninový salát a voda) a konečný výsledek - boršč. Geometricky to může být znázorněno jako obdélník, ve kterém jedna strana označuje salát, druhá strana označuje vodu. Součet těchto dvou stran bude označovat boršč. Úhlopříčka a plocha takového obdélníku "boršč" jsou čistě matematické pojmy a nikdy se nepoužívají v receptech na boršč.

O lineárních úhlových funkcích v učebnicích matematiky nic nenajdete. Ale bez nich nemůže být žádná matematika. Zákony matematiky, stejně jako zákony přírody, fungují, ať víme, že existují, nebo ne.

Lineární úhlové funkce jsou zákony sčítání. Podívejte se, jak se algebra mění v geometrii a geometrie v trigonometrii.

Je možné se obejít bez lineárních úhlových funkcí? Můžete, protože matematici se bez nich stále obejdou. Trik matematiků spočívá v tom, že nám vždy říkají jen o těch problémech, které sami dokážou vyřešit, a nikdy nám neřeknou o problémech, které vyřešit neumí. Vidět. Známe-li výsledek sčítání a jeden člen, pomocí odčítání najdeme druhý člen. Všechno. Jiné problémy neznáme a nejsme schopni je řešit. Co dělat, když známe pouze výsledek sčítání a neznáme oba pojmy? V tomto případě je třeba výsledek sčítání rozložit na dva členy pomocí lineárních úhlových funkcí. Dále si sami vybíráme, jaký může být jeden člen, a lineární úhlové funkce ukazují, jaký by měl být druhý člen, aby výsledek sčítání byl přesně takový, jaký potřebujeme. Takových dvojic pojmů může být nekonečně mnoho. V běžném životě si vedeme velmi dobře, aniž bychom součet rozkládali, stačí nám odčítání. Ale při vědeckých studiích přírodních zákonů může být rozšíření součtu na termíny velmi užitečné.

Další zákon sčítání, o kterém matematici neradi mluví (jejich další trik), vyžaduje, aby výrazy měly stejnou měrnou jednotku. U salátu, vody a boršče to mohou být jednotky hmotnosti, objemu, ceny nebo měrné jednotky.

Obrázek ukazuje dvě úrovně rozdílu pro matematiku. První úrovní jsou rozdíly v poli čísel, které jsou uvedeny A, b, C. To je to, co dělají matematici. Druhou úrovní jsou rozdíly v oblasti měrných jednotek, které jsou uvedeny v hranatých závorkách a jsou označeny písmenem U. To je to, co fyzikové dělají. Můžeme chápat třetí rovinu – rozdíly v rozsahu popisovaných objektů. Různé objekty mohou mít stejný počet stejných měrných jednotek. Jak je to důležité, můžeme vidět na příkladu trigonometrie boršče. Pokud ke stejnému zápisu měrných jednotek různých objektů přidáme dolní indexy, můžeme přesně říci, jaká matematická veličina popisuje konkrétní objekt a jak se mění v čase nebo v souvislosti s naším jednáním. dopis W Vodu označím písmenem S Salát označím písmenem B- boršč. Zde je návod, jak by vypadaly funkce lineárního úhlu pro boršč.

Pokud odebereme část vody a část salátu, společně se promění v jednu porci boršče. Zde vám navrhuji, abyste si trochu odpočinuli od boršče a zavzpomínali na své vzdálené dětství. Pamatujete si, jak nás učili skládat zajíčky a kachny dohromady? Bylo nutné zjistit, kolik zvířat dopadne. Co nás tedy učili dělat? Naučili nás oddělovat jednotky od čísel a sčítat čísla. Ano, libovolné číslo lze přidat k libovolnému jinému číslu. To je přímá cesta k autismu moderní matematiky – nerozumíme čemu, není jasné proč, a velmi špatně rozumíme tomu, jak to souvisí s realitou, protože matematici operují pouze na jedné úrovni rozdílu. Bude správnější naučit se přecházet z jedné jednotky měření na druhou.

A zajíčci, kachny a zvířátka se dají spočítat na kusy. Jedna společná jednotka měření pro různé objekty nám umožňuje je sčítat. Toto je dětská verze problému. Podívejme se na podobný problém u dospělých. Co získáte, když přidáte zajíčky a peníze? Zde jsou dvě možná řešení.

První možnost. Určíme tržní hodnotu zajíčků a přidáme ji k dostupné hotovosti. Dostali jsme celkovou hodnotu našeho bohatství v penězích.

Druhá možnost. K počtu bankovek, které máme, můžete přidat počet zajíčků. Množství movitého majetku získáme na kusy.

Jak vidíte, stejný zákon sčítání umožňuje získat různé výsledky. Vše záleží na tom, co přesně chceme vědět.

Ale zpět k našemu boršči. Nyní vidíme, co se stane pro různé hodnoty úhlu funkcí lineárního úhlu.

Úhel je nulový. Máme salát, ale žádnou vodu. Nemůžeme vařit boršč. Nulové je také množství boršče. To vůbec neznamená, že nulový boršč se rovná nule vody. Nulový boršč může být i na nulovém salátu (pravý úhel).

Pro mě osobně je to hlavní matematický důkaz toho, že . Nula po přidání nemění číslo. Je to proto, že samotné sčítání je nemožné, pokud existuje pouze jeden člen a druhý člen chybí. Můžete se k tomu vztahovat, jak chcete, ale pamatujte – všechny matematické operace s nulou vymysleli sami matematici, takže zahoďte logiku a hloupě cpete definice vymyšlené matematiky: „dělení nulou je nemožné“, „libovolné číslo vynásobené nulou“ rovná se nule“, „za bodem nula“ a další nesmysly. Stačí si jednou zapamatovat, že nula není číslo, a už nikdy nebudete mít otázku, zda je nula přirozené číslo nebo ne, protože taková otázka obecně ztrácí veškerý význam: jak lze považovat číslo za číslo, které není číslem? . Je to jako ptát se, jaké barvě přiřadit neviditelnou barvu. Přidání nuly k číslu je jako malování barvou, která neexistuje. Zamávali suchým štětcem a všem řekli, že „máme natřeno“. Ale to jsem trochu odbočil.

Úhel je větší než nula, ale menší než čtyřicet pět stupňů. Máme hodně salátu, ale málo vody. V důsledku toho získáme hustý boršč.

Úhel je čtyřicet pět stupňů. Máme stejné množství vody a salátu. Tohle je perfektní boršč (nech mi kuchařky prominou, je to jen matematika).

Úhel je větší než čtyřicet pět stupňů, ale menší než devadesát stupňů. Máme hodně vody a málo salátu. Získejte tekutý boršč.

Pravý úhel. Máme vodu. Na salát zůstaly jen vzpomínky, protože pokračujeme v měření úhlu od čáry, která kdysi salát označovala. Nemůžeme vařit boršč. Množství boršče je nulové. V tom případě vydržte a pijte vodu, dokud je k dispozici)))

Tady. Něco takového. Mohu zde vyprávět další příběhy, které se zde budou více než hodit.

Oba přátelé měli své podíly na společném podnikání. Po vraždě jednoho z nich vše připadlo na druhého.

Vznik matematiky na naší planetě.

Všechny tyto příběhy jsou vyprávěny jazykem matematiky pomocí lineárních úhlových funkcí. Někdy jindy vám ukážu skutečné místo těchto funkcí ve struktuře matematiky. Mezitím se vraťme k trigonometrii boršče a uvažujme projekce.

Sobota 26. října 2019

Středa 7. srpna 2019

Na závěr rozhovoru o , musíme zvážit nekonečnou množinu. Dá se říci, že koncept „nekonečna“ působí na matematiky jako hroznýš na králíka. Chvějící se hrůza z nekonečna připravuje matematiky o zdravý rozum. Zde je příklad:

Původní zdroj je umístěn. Alfa označuje reálné číslo. Rovnítko ve výše uvedených výrazech znamená, že pokud k nekonečnu přidáte číslo nebo nekonečno, nic se nezmění, výsledkem bude stejné nekonečno. Vezmeme-li jako příklad nekonečnou množinu přirozených čísel, lze uvažované příklady znázornit následovně:

Aby matematici vizuálně dokázali svůj případ, přišli s mnoha různými metodami. Osobně se na všechny tyto metody dívám jako na tance šamanů s tamburínami. V podstatě všichni dojdou na to, že buď některé pokoje nejsou obsazené a jsou v nich usazeni noví hosté, nebo je část návštěvníků vyhozena na chodbu, aby uvolnila místo pro hosty (velmi lidsky). Svůj pohled na taková rozhodnutí jsem prezentovala formou fantastického příběhu o Blondýně. Na čem je založena moje úvaha? Přesun nekonečného počtu návštěvníků trvá nekonečně dlouho. Poté, co vyklidíme první pokoj pro hosty, bude vždy jeden z návštěvníků chodit po chodbě ze svého pokoje do dalšího až do konce času. Časový faktor lze samozřejmě hloupě ignorovat, ale to už bude z kategorie „zákon není psán pro hlupáky“. Vše závisí na tom, co děláme: přizpůsobujeme realitu matematickým teoriím nebo naopak.

Co je to „nekonečný hotel“? Infinity inn je hostinec, který má vždy libovolný počet volných míst, bez ohledu na počet obsazených pokojů. Pokud jsou všechny pokoje v nekonečné chodbě „pro návštěvy“ obsazeny, je zde další nekonečná chodba s pokoji pro „hosty“. Takových chodeb bude nekonečně mnoho. „Nekonečný hotel“ má přitom nekonečný počet pater v nekonečném počtu budov na nekonečném počtu planet v nekonečném počtu vesmírů stvořených nekonečným počtem Bohů. Matematici se naproti tomu nedokážou vzdálit banálním každodenním problémům: Bůh-Alláh-Buddha je vždy jen jeden, hotel je jeden, chodba je jen jedna. Matematici se tedy snaží žonglovat se sériovými čísly hotelových pokojů a přesvědčují nás, že je možné „strčit do nešvaru“.

Logiku své úvahy vám předvedu na příkladu nekonečné množiny přirozených čísel. Nejprve musíte odpovědět na velmi jednoduchou otázku: kolik množin přirozených čísel existuje - jedna nebo mnoho? Na tuto otázku neexistuje správná odpověď, protože jsme sami vynalezli čísla, v přírodě žádná čísla nejsou. Ano, příroda umí perfektně počítat, ale k tomu používá jiné matematické nástroje, které nám nejsou známé. Jak si příroda myslí, řeknu vám to jindy. Protože jsme vynalezli čísla, sami rozhodneme, kolik množin přirozených čísel existuje. Zvažte obě možnosti, jak se na skutečného vědce sluší a patří.

Možnost jedna. „Nechte nás dostat“ jedinou sadu přirozených čísel, která leží klidně na polici. Bereme tuto sadu z police. To je vše, žádná další přirozená čísla na poličce nezůstala a není ani kde vzít. Nemůžeme přidat jeden do této sady, protože ji již máme. Co když opravdu chceš? Žádný problém. Můžeme vzít jednotku z již odebrané sady a vrátit ji do police. Poté můžeme vzít jednotku z police a přidat ji k tomu, co nám zbylo. Výsledkem je opět nekonečná množina přirozených čísel. Všechny naše manipulace můžete napsat takto:

Zapsal jsem operace v algebraickém zápisu a v zápisu teorie množin s podrobným výčtem prvků množiny. Dolní index označuje, že máme jednu a jedinou sadu přirozených čísel. Ukazuje se, že množina přirozených čísel zůstane nezměněna pouze tehdy, když se od ní jedno odečte a stejné se přičte.

Možnost dvě. Na poličce máme mnoho různých nekonečných množin přirozených čísel. Zdůrazňuji - JINÉ, přesto, že jsou prakticky k nerozeznání. Bereme jednu z těchto sad. Pak vezmeme jedno z jiné množiny přirozených čísel a přidáme ho k množině, kterou jsme již vzali. Můžeme dokonce sečíst dvě sady přirozených čísel. Zde je to, co získáme:

Indexy „jedna“ a „dva“ označují, že tyto prvky patřily do různých sad. Ano, pokud přidáte jedničku k nekonečné množině, výsledkem bude také nekonečná množina, ale nebude stejná jako původní množina. Pokud se k jedné nekonečné množině přidá další nekonečná množina, výsledkem je nová nekonečná množina sestávající z prvků prvních dvou množin.

Množina přirozených čísel se používá k počítání stejně jako pravítko pro měření. Nyní si představte, že jste k pravítku přidali jeden centimetr. Toto již bude jiný řádek, který se nebude rovnat původnímu.

Můžete přijmout nebo nepřijmout moji úvahu - je to vaše věc. Pokud ale někdy narazíte na matematické problémy, zamyslete se, zda nejdete cestou falešných úvah, prošlapaných generacemi matematiků. Hodiny matematiky v nás totiž v první řadě utvářejí ustálený stereotyp myšlení a teprve pak nám přidávají rozumové schopnosti (nebo naopak zbavují svobodného myšlení).

pozg.ru

Neděle 4. srpna 2019

Psal jsem příspěvek k článku o a viděl jsem tento úžasný text na Wikipedii:

Čteme: "...bohatý teoretický základ matematiky Babylonu neměl holistický charakter a byl zredukován na soubor různorodých technik, postrádajících společný systém a důkazní základnu."

Páni! Jak jsme chytří a jak dobře dokážeme vidět nedostatky druhých. Je pro nás slabé dívat se na moderní matematiku ve stejném kontextu? Mírně parafrázuji výše uvedený text, osobně jsem dostal následující:

Bohatý teoretický základ moderní matematiky nemá celostní charakter a je redukován na soubor nesourodých oddílů, postrádajících společný systém a důkazní základnu.

Nebudu chodit daleko, abych potvrdil svá slova – má jazyk a konvence, které se liší od jazyka a konvencí mnoha jiných odvětví matematiky. Stejná jména v různých odvětvích matematiky mohou mít různé významy. Nejviditelnějším omylům moderní matematiky chci věnovat celý cyklus publikací. Brzy se uvidíme.

Sobota 3. srpna 2019

Jak rozdělit množinu na podmnožiny? Chcete-li to provést, musíte zadat novou měrnou jednotku, která je přítomna v některých prvcích vybrané sady. Zvažte příklad.

Ať máme mnoho A skládající se ze čtyř lidí. Tato sada je tvořena na základě "lidí" Označme prvky této sady prostřednictvím písmene A, dolní index s číslem bude uvádět pořadové číslo každé osoby v této sadě. Zaveďme novou měrnou jednotku „sexuální charakteristika“ a označme ji písmenem b. Protože sexuální charakteristiky jsou vlastní všem lidem, násobíme každý prvek souboru A na pohlaví b. Všimněte si, že naše sada „lidé“ se nyní stala sadou „lidé s pohlavím“. Poté můžeme pohlavní znaky rozdělit na mužské bm a dámské bw genderové charakteristiky. Nyní můžeme použít matematický filtr: vybereme jednu z těchto sexuálních charakteristik, nezáleží na tom, která je mužská nebo ženská. Je-li v člověku přítomen, pak ho vynásobíme jednou, pokud takový znak neexistuje, vynásobíme ho nulou. A pak aplikujeme obvyklou školní matematiku. Podívejte se, co se stalo.

Po násobení, redukcích a přeskupení jsme dostali dvě podmnožiny: mužskou podmnožinu bm a podskupina žen bw. Přibližně stejným způsobem uvažují matematici, když aplikují teorii množin v praxi. Ale nepouštějí nás do detailů, ale dávají nám hotový výsledek – „spousta lidí se skládá z podmnožiny mužů a podmnožiny žen“. Přirozeně vás může napadnout otázka, jak správně aplikovat matematiku ve výše uvedených transformacích? Troufám si vás ujistit, že ve skutečnosti jsou transformace provedeny správně, stačí znát matematické zdůvodnění aritmetiky, Booleovy algebry a dalších úseků matematiky. co to je? Někdy jindy vám o tom povím.

Pokud jde o nadmnožiny, je možné spojit dvě sady do jedné nadmnožiny výběrem měrné jednotky, která je přítomna v prvcích těchto dvou sad.

Jak vidíte, jednotky měření a běžná matematika dělají z teorie množin minulost. Známkou toho, že s teorií množin není vše v pořádku, je to, že matematici přišli s vlastním jazykem a notací pro teorii množin. Matematici dělali to, co kdysi dělali šamani. Jen šamani vědí, jak „správně“ uplatnit své „znalosti“. Tyto „znalosti“ nás učí.

Nakonec vám chci ukázat, jak matematici manipulují s .

Pondělí 7. ledna 2019

V pátém století př. n. l. starověký řecký filozof Zenón z Elea formuloval své slavné aporie, z nichž nejznámější je aporie „Achilles a želva“. Zní to takto:

Řekněme, že Achilles běží desetkrát rychleji než želva a je tisíc kroků za ní. Během doby, během které Achilles uběhne tuto vzdálenost, želva ujde sto kroků stejným směrem. Když Achilles uběhne sto kroků, želva se plazí dalších deset kroků a tak dále. Proces bude pokračovat donekonečna, Achilles želvu nikdy nedohoní.

Tato úvaha se stala logickým šokem pro všechny následující generace. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Ti všichni tak či onak považovali Zenónovy aporie. Šok byl tak silný, že " ... diskuse pokračují i ​​v současné době, vědecká komunita se dosud nedokázala shodnout na podstatě paradoxů ... do studia problematiky byla zapojena matematická analýza, teorie množin, nové fyzikální a filozofické přístupy ; žádný z nich se nestal všeobecně přijímaným řešením problému..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Každý chápe, že je klamán, ale nikdo nechápe, co je to podvod.

Z hlediska matematiky Zeno ve svých aporiích jasně demonstroval přechod od hodnoty k. Tento přechod znamená použití místo konstant. Pokud jsem pochopil, matematický aparát pro aplikaci proměnných jednotek měření buď ještě nebyl vyvinut, nebo nebyl aplikován na Zenónovu aporii. Použití naší obvyklé logiky nás zavede do pasti. My setrvačností myšlení aplikujeme konstantní jednotky času na reciproční. Z fyzikálního hlediska to vypadá jako zpomalení času, až se úplně zastaví v okamžiku, kdy Achilles želvu dožene. Pokud se čas zastaví, Achilles už nemůže želvu předběhnout.

Pokud obrátíme logiku, na kterou jsme zvyklí, vše do sebe zapadne. Achilles běží konstantní rychlostí. Každý následující úsek jeho cesty je desetkrát kratší než ten předchozí. Čas strávený na jeho překonání je tedy desetkrát kratší než ten předchozí. Pokud v této situaci použijeme pojem "nekonečno", pak by bylo správné říci "Achilles nekonečně rychle předběhne želvu."

Jak se této logické pasti vyhnout? Zůstaňte v konstantních jednotkách času a nepřecházejte na reciproční hodnoty. V Zenoově jazyce to vypadá takto:

Za dobu, kterou Achilles uběhne tisíc kroků, se želva plazí sto kroků stejným směrem. Během dalšího časového intervalu, který se rovná prvnímu, uběhne Achilles dalších tisíc kroků a želva ujde sto kroků. Nyní je Achilles osm set kroků před želvou.

Tento přístup adekvátně popisuje realitu bez jakýchkoli logických paradoxů. Ale to není úplné řešení problému. Einsteinův výrok o nepřekonatelnosti rychlosti světla je velmi podobný Zenónově aporii „Achilles a želva“. Tento problém musíme ještě studovat, přehodnotit a vyřešit. A řešení je třeba hledat ne v nekonečně velkém počtu, ale v měrných jednotkách.

Další zajímavá aporie Zeno vypráví o létajícím šípu:

Letící šíp je nehybný, protože je v každém okamžiku v klidu, a protože je v každém okamžiku v klidu, je vždy v klidu.

V této aporii je logický paradox překonán velmi jednoduše – stačí si ujasnit, že letící šíp je v každém okamžiku v klidu v různých bodech prostoru, což je ve skutečnosti pohyb. Zde je třeba poznamenat ještě jeden bod. Z jedné fotografie auta na silnici není možné určit ani skutečnost jeho pohybu, ani vzdálenost k němu. K určení skutečnosti pohybu automobilu jsou zapotřebí dvě fotografie pořízené ze stejného bodu v různých časových okamžicích, ale nelze je použít k určení vzdálenosti. Pro určení vzdálenosti k autu potřebujete dvě fotografie pořízené z různých bodů v prostoru současně, ale nemůžete z nich určit skutečnost pohybu (přirozeně stále potřebujete další data pro výpočty, pomůže vám trigonometrie). Chci poukázat zejména na to, že dva body v čase a dva body v prostoru jsou dvě různé věci, které by se neměly zaměňovat, protože poskytují různé příležitosti k průzkumu.
Postup ukážu na příkladu. Vybíráme "červená pevná látka v pupínku" - to je náš "celek". Zároveň vidíme, že tyto věci jsou s mašlí a jsou bez mašle. Poté vybereme část „celku“ a vytvoříme sadu „s mašličkou“. Takto se šamani živí tím, že spojují svou teorii množin s realitou.

Nyní uděláme malý trik. Vezměme „pevné v pupínku s mašlí“ a sjednoťme tyto „celek“ podle barvy a vybereme červené prvky. Dostali jsme hodně "červené". Nyní záludná otázka: jsou přijaté sady "s mašličkou" a "červenou" stejnou sadou nebo dvěma různými sadami? Odpověď znají jen šamani. Přesněji oni sami nic nevědí, ale jak říkají, tak je.

Tento jednoduchý příklad ukazuje, že teorie množin je zcela zbytečná, pokud jde o realitu. Jaké je tajemství? Vytvořili jsme sadu "červený pevný pupínek s mašlí". Formování probíhalo podle čtyř různých měrných jednotek: barva (červená), síla (plná), drsnost (v pupínku), ozdoby (s mašlí). Pouze množina měrných jednotek umožňuje adekvátně popsat skutečné objekty v jazyce matematiky. Tady je to, jak to vypadá.

Písmeno "a" s různými indexy označuje různé jednotky měření. V závorkách jsou zvýrazněny měrné jednotky, podle kterých je v předběžné fázi přidělen „celek“. Jednotka měření, podle které je sestava tvořena, je vyjmuta ze závorek. Poslední řádek zobrazuje konečný výsledek - prvek sady. Jak vidíte, pokud použijeme jednotky k vytvoření množiny, pak výsledek nezávisí na pořadí našich akcí. A to je matematika a ne tance šamanů s tamburínami. Šamani mohou „intuitivně“ dojít ke stejnému výsledku a argumentovat „samozřejmostí“, protože jednotky měření nejsou zahrnuty v jejich „vědeckém“ arzenálu.

Pomocí měrných jednotek je velmi snadné rozbít jednu nebo spojit několik sad do jedné nadmnožiny. Podívejme se blíže na algebru tohoto procesu.

Tam, kde byly zvažovány úlohy pro řešení pravoúhlého trojúhelníku, jsem slíbil, že představím techniku ​​pro zapamatování definic sinus a kosinus. Při jeho použití si vždy rychle zapamatujete, která noha patří do přepony (sousední nebo protilehlá). Rozhodla jsem se to neodkládat na neurčito, potřebný materiál je níže, přečtěte si ho 😉

Faktem je, že jsem opakovaně pozoroval, jak žáci 10.–11. ročníku mají potíže si tyto definice zapamatovat. Dobře si pamatují, že noha odkazuje na přeponu, ale kterou- zapomenout a zmatený. Cenou za chybu, jak víte u zkoušky, je ztracené skóre.

Informace, které budu prezentovat přímo matematice, nemá co dělat. Je spojena s figurativním myšlením a metodami verbálně-logického spojení. To je pravda, já sám jsem si jednou provždy vzpomněldefiniční data. Pokud je přesto zapomenete, pak je s pomocí prezentovaných technik vždy snadno zapamatovatelné.

Dovolte mi připomenout definice sinus a kosinus v pravoúhlém trojúhelníku:

Kosinus ostrý úhel v pravoúhlém trojúhelníku je poměr přilehlé nohy k přeponě:

Sinus ostrý úhel v pravoúhlém trojúhelníku je poměr protější větve k přeponě:

Jaké asociace ve vás tedy slovo kosinus vyvolává?

Asi každý má ten svůjZapamatujte si odkaz:

Tak budete mít okamžitě v paměti výraz -

«… poměr PŘIDLOUZENÉ nohy k přeponě».

Problém s definicí kosinu je vyřešen.

Pokud si potřebujete zapamatovat definici sinu v pravoúhlém trojúhelníku a pak si zapamatovat definici kosinu, můžete snadno zjistit, že sinus ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je poměr protější větve k přeponě. Koneckonců, existují pouze dvě nohy, pokud je sousední noha „obsazena“ kosinusem, zůstane pro sinus pouze opačná strana.

A co tangens a kotangens? Stejný zmatek. Studenti vědí, že jde o poměr nohou, ale problém je zapamatovat si, která se ke které vztahuje - buď protilehlá k sousedním, nebo naopak.

Definice:

Tečna ostrý úhel v pravoúhlém trojúhelníku je poměr protilehlé nohy k sousední:

Kotangens ostrý úhel v pravoúhlém trojúhelníku je poměr sousední nohy k opačné:

Jak si zapamatovat? Existují dva způsoby. Jeden také používá verbálně-logické spojení, druhý - matematický.

MATEMATICKÁ METODA

Existuje taková definice - tangens ostrého úhlu je poměr sinu úhlu k jeho kosinu:

* Při zapamatování vzorce můžete vždy určit, že tečna ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je poměrem protější větve k sousední.

Rovněž.Kotangens ostrého úhlu je poměr kosinusu úhlu k jeho sinu:

Tak! Když si zapamatujete tyto vzorce, můžete vždy určit, že:

- tečna ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je poměr protější větve k přilehlé

- kotangens ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je poměr sousedního ramene k protějšímu.

VERBÁLNĚ-LOGICKÁ METODA

O tečně. Zapamatujte si odkaz:

To znamená, že pokud si potřebujete zapamatovat definici tečny, pomocí tohoto logického spojení si snadno vzpomenete, co to je

"...poměr protilehlé nohy k sousední"

Pokud jde o kotangens, pak když si zapamatujete definici tečny, můžete snadno vyjádřit definici kotangens -

"...poměr sousední nohy k opačné"

Na místě je zajímavá technika pro zapamatování tečny a kotangens " Matematický tandem " , Koukni se.

METODA UNIVERZÁLNÍ

Můžete jen brousit.Ale jak ukazuje praxe, díky verbálně-logickým souvislostem si člověk dlouho pamatuje informace, a to nejen matematické.

Doufám, že vám byl materiál užitečný.

S pozdravem Alexander Krutitskikh

P.S: Byl bych vděčný, kdybyste o webu řekli na sociálních sítích.

Jednoduše řečeno, jde o zeleninu vařenou ve vodě podle speciální receptury. Zvážím dvě počáteční složky (zeleninový salát a voda) a konečný výsledek - boršč. Geometricky to může být znázorněno jako obdélník, ve kterém jedna strana označuje salát, druhá strana označuje vodu. Součet těchto dvou stran bude označovat boršč. Úhlopříčka a plocha takového obdélníku "boršč" jsou čistě matematické pojmy a nikdy se nepoužívají v receptech na boršč.

O lineárních úhlových funkcích v učebnicích matematiky nic nenajdete. Ale bez nich nemůže být žádná matematika. Zákony matematiky, stejně jako zákony přírody, fungují, ať víme, že existují, nebo ne.

Lineární úhlové funkce jsou zákony sčítání. Podívejte se, jak se algebra mění v geometrii a geometrie v trigonometrii.

Je možné se obejít bez lineárních úhlových funkcí? Můžete, protože matematici se bez nich stále obejdou. Trik matematiků spočívá v tom, že nám vždy říkají jen o těch problémech, které sami dokážou vyřešit, a nikdy nám neřeknou o problémech, které vyřešit neumí. Vidět. Známe-li výsledek sčítání a jeden člen, pomocí odčítání najdeme druhý člen. Všechno. Jiné problémy neznáme a nejsme schopni je řešit. Co dělat, když známe pouze výsledek sčítání a neznáme oba pojmy? V tomto případě je třeba výsledek sčítání rozložit na dva členy pomocí lineárních úhlových funkcí. Dále si sami vybíráme, jaký může být jeden člen, a lineární úhlové funkce ukazují, jaký by měl být druhý člen, aby výsledek sčítání byl přesně takový, jaký potřebujeme. Takových dvojic pojmů může být nekonečně mnoho. V běžném životě si vedeme velmi dobře, aniž bychom součet rozkládali, stačí nám odčítání. Ale při vědeckých studiích přírodních zákonů může být rozšíření součtu na termíny velmi užitečné.

Další zákon sčítání, o kterém matematici neradi mluví (jejich další trik), vyžaduje, aby výrazy měly stejnou měrnou jednotku. U salátu, vody a boršče to mohou být jednotky hmotnosti, objemu, ceny nebo měrné jednotky.

Obrázek ukazuje dvě úrovně rozdílu pro matematiku. První úrovní jsou rozdíly v poli čísel, které jsou uvedeny A, b, C. To je to, co dělají matematici. Druhou úrovní jsou rozdíly v oblasti měrných jednotek, které jsou uvedeny v hranatých závorkách a jsou označeny písmenem U. To je to, co fyzikové dělají. Můžeme chápat třetí rovinu – rozdíly v rozsahu popisovaných objektů. Různé objekty mohou mít stejný počet stejných měrných jednotek. Jak je to důležité, můžeme vidět na příkladu trigonometrie boršče. Pokud ke stejnému zápisu měrných jednotek různých objektů přidáme dolní indexy, můžeme přesně říci, jaká matematická veličina popisuje konkrétní objekt a jak se mění v čase nebo v souvislosti s naším jednáním. dopis W Vodu označím písmenem S Salát označím písmenem B- boršč. Zde je návod, jak by vypadaly funkce lineárního úhlu pro boršč.

Pokud odebereme část vody a část salátu, společně se promění v jednu porci boršče. Zde vám navrhuji, abyste si trochu odpočinuli od boršče a zavzpomínali na své vzdálené dětství. Pamatujete si, jak nás učili skládat zajíčky a kachny dohromady? Bylo nutné zjistit, kolik zvířat dopadne. Co nás tedy učili dělat? Naučili nás oddělovat jednotky od čísel a sčítat čísla. Ano, libovolné číslo lze přidat k libovolnému jinému číslu. To je přímá cesta k autismu moderní matematiky – nerozumíme čemu, není jasné proč, a velmi špatně rozumíme tomu, jak to souvisí s realitou, protože matematici operují pouze na jedné úrovni rozdílu. Bude správnější naučit se přecházet z jedné jednotky měření na druhou.

A zajíčci, kachny a zvířátka se dají spočítat na kusy. Jedna společná jednotka měření pro různé objekty nám umožňuje je sčítat. Toto je dětská verze problému. Podívejme se na podobný problém u dospělých. Co získáte, když přidáte zajíčky a peníze? Zde jsou dvě možná řešení.

První možnost. Určíme tržní hodnotu zajíčků a přidáme ji k dostupné hotovosti. Dostali jsme celkovou hodnotu našeho bohatství v penězích.

Druhá možnost. K počtu bankovek, které máme, můžete přidat počet zajíčků. Množství movitého majetku získáme na kusy.

Jak vidíte, stejný zákon sčítání umožňuje získat různé výsledky. Vše záleží na tom, co přesně chceme vědět.

Ale zpět k našemu boršči. Nyní vidíme, co se stane pro různé hodnoty úhlu funkcí lineárního úhlu.

Úhel je nulový. Máme salát, ale žádnou vodu. Nemůžeme vařit boršč. Nulové je také množství boršče. To vůbec neznamená, že nulový boršč se rovná nule vody. Nulový boršč může být i na nulovém salátu (pravý úhel).

Pro mě osobně je to hlavní matematický důkaz toho, že . Nula po přidání nemění číslo. Je to proto, že samotné sčítání je nemožné, pokud existuje pouze jeden člen a druhý člen chybí. Můžete se k tomu vztahovat, jak chcete, ale pamatujte – všechny matematické operace s nulou vymysleli sami matematici, takže zahoďte logiku a hloupě cpete definice vymyšlené matematiky: „dělení nulou je nemožné“, „libovolné číslo vynásobené nulou“ rovná se nule“, „za bodem nula“ a další nesmysly. Stačí si jednou zapamatovat, že nula není číslo, a už nikdy nebudete mít otázku, zda je nula přirozené číslo nebo ne, protože taková otázka obecně ztrácí veškerý význam: jak lze považovat číslo za číslo, které není číslem? . Je to jako ptát se, jaké barvě přiřadit neviditelnou barvu. Přidání nuly k číslu je jako malování barvou, která neexistuje. Zamávali suchým štětcem a všem řekli, že „máme natřeno“. Ale to jsem trochu odbočil.

Úhel je větší než nula, ale menší než čtyřicet pět stupňů. Máme hodně salátu, ale málo vody. V důsledku toho získáme hustý boršč.

Úhel je čtyřicet pět stupňů. Máme stejné množství vody a salátu. Tohle je perfektní boršč (nech mi kuchařky prominou, je to jen matematika).

Úhel je větší než čtyřicet pět stupňů, ale menší než devadesát stupňů. Máme hodně vody a málo salátu. Získejte tekutý boršč.

Pravý úhel. Máme vodu. Na salát zůstaly jen vzpomínky, protože pokračujeme v měření úhlu od čáry, která kdysi salát označovala. Nemůžeme vařit boršč. Množství boršče je nulové. V tom případě vydržte a pijte vodu, dokud je k dispozici)))

Tady. Něco takového. Mohu zde vyprávět další příběhy, které se zde budou více než hodit.

Oba přátelé měli své podíly na společném podnikání. Po vraždě jednoho z nich vše připadlo na druhého.

Vznik matematiky na naší planetě.

Všechny tyto příběhy jsou vyprávěny jazykem matematiky pomocí lineárních úhlových funkcí. Někdy jindy vám ukážu skutečné místo těchto funkcí ve struktuře matematiky. Mezitím se vraťme k trigonometrii boršče a uvažujme projekce.

Sobota 26. října 2019

Středa 7. srpna 2019

Na závěr rozhovoru o , musíme zvážit nekonečnou množinu. Dá se říci, že koncept „nekonečna“ působí na matematiky jako hroznýš na králíka. Chvějící se hrůza z nekonečna připravuje matematiky o zdravý rozum. Zde je příklad:

Původní zdroj je umístěn. Alfa označuje reálné číslo. Rovnítko ve výše uvedených výrazech znamená, že pokud k nekonečnu přidáte číslo nebo nekonečno, nic se nezmění, výsledkem bude stejné nekonečno. Vezmeme-li jako příklad nekonečnou množinu přirozených čísel, lze uvažované příklady znázornit následovně:

Aby matematici vizuálně dokázali svůj případ, přišli s mnoha různými metodami. Osobně se na všechny tyto metody dívám jako na tance šamanů s tamburínami. V podstatě všichni dojdou na to, že buď některé pokoje nejsou obsazené a jsou v nich usazeni noví hosté, nebo je část návštěvníků vyhozena na chodbu, aby uvolnila místo pro hosty (velmi lidsky). Svůj pohled na taková rozhodnutí jsem prezentovala formou fantastického příběhu o Blondýně. Na čem je založena moje úvaha? Přesun nekonečného počtu návštěvníků trvá nekonečně dlouho. Poté, co vyklidíme první pokoj pro hosty, bude vždy jeden z návštěvníků chodit po chodbě ze svého pokoje do dalšího až do konce času. Časový faktor lze samozřejmě hloupě ignorovat, ale to už bude z kategorie „zákon není psán pro hlupáky“. Vše závisí na tom, co děláme: přizpůsobujeme realitu matematickým teoriím nebo naopak.

Co je to „nekonečný hotel“? Infinity inn je hostinec, který má vždy libovolný počet volných míst, bez ohledu na počet obsazených pokojů. Pokud jsou všechny pokoje v nekonečné chodbě „pro návštěvy“ obsazeny, je zde další nekonečná chodba s pokoji pro „hosty“. Takových chodeb bude nekonečně mnoho. „Nekonečný hotel“ má přitom nekonečný počet pater v nekonečném počtu budov na nekonečném počtu planet v nekonečném počtu vesmírů stvořených nekonečným počtem Bohů. Matematici se naproti tomu nedokážou vzdálit banálním každodenním problémům: Bůh-Alláh-Buddha je vždy jen jeden, hotel je jeden, chodba je jen jedna. Matematici se tedy snaží žonglovat se sériovými čísly hotelových pokojů a přesvědčují nás, že je možné „strčit do nešvaru“.

Logiku své úvahy vám předvedu na příkladu nekonečné množiny přirozených čísel. Nejprve musíte odpovědět na velmi jednoduchou otázku: kolik množin přirozených čísel existuje - jedna nebo mnoho? Na tuto otázku neexistuje správná odpověď, protože jsme sami vynalezli čísla, v přírodě žádná čísla nejsou. Ano, příroda umí perfektně počítat, ale k tomu používá jiné matematické nástroje, které nám nejsou známé. Jak si příroda myslí, řeknu vám to jindy. Protože jsme vynalezli čísla, sami rozhodneme, kolik množin přirozených čísel existuje. Zvažte obě možnosti, jak se na skutečného vědce sluší a patří.

Možnost jedna. „Nechte nás dostat“ jedinou sadu přirozených čísel, která leží klidně na polici. Bereme tuto sadu z police. To je vše, žádná další přirozená čísla na poličce nezůstala a není ani kde vzít. Nemůžeme přidat jeden do této sady, protože ji již máme. Co když opravdu chceš? Žádný problém. Můžeme vzít jednotku z již odebrané sady a vrátit ji do police. Poté můžeme vzít jednotku z police a přidat ji k tomu, co nám zbylo. Výsledkem je opět nekonečná množina přirozených čísel. Všechny naše manipulace můžete napsat takto:

Zapsal jsem operace v algebraickém zápisu a v zápisu teorie množin s podrobným výčtem prvků množiny. Dolní index označuje, že máme jednu a jedinou sadu přirozených čísel. Ukazuje se, že množina přirozených čísel zůstane nezměněna pouze tehdy, když se od ní jedno odečte a stejné se přičte.

Možnost dvě. Na poličce máme mnoho různých nekonečných množin přirozených čísel. Zdůrazňuji - JINÉ, přesto, že jsou prakticky k nerozeznání. Bereme jednu z těchto sad. Pak vezmeme jedno z jiné množiny přirozených čísel a přidáme ho k množině, kterou jsme již vzali. Můžeme dokonce sečíst dvě sady přirozených čísel. Zde je to, co získáme:

Indexy „jedna“ a „dva“ označují, že tyto prvky patřily do různých sad. Ano, pokud přidáte jedničku k nekonečné množině, výsledkem bude také nekonečná množina, ale nebude stejná jako původní množina. Pokud se k jedné nekonečné množině přidá další nekonečná množina, výsledkem je nová nekonečná množina sestávající z prvků prvních dvou množin.

Množina přirozených čísel se používá k počítání stejně jako pravítko pro měření. Nyní si představte, že jste k pravítku přidali jeden centimetr. Toto již bude jiný řádek, který se nebude rovnat původnímu.

Můžete přijmout nebo nepřijmout moji úvahu - je to vaše věc. Pokud ale někdy narazíte na matematické problémy, zamyslete se, zda nejdete cestou falešných úvah, prošlapaných generacemi matematiků. Hodiny matematiky v nás totiž v první řadě utvářejí ustálený stereotyp myšlení a teprve pak nám přidávají rozumové schopnosti (nebo naopak zbavují svobodného myšlení).

pozg.ru

Neděle 4. srpna 2019

Psal jsem příspěvek k článku o a viděl jsem tento úžasný text na Wikipedii:

Čteme: "...bohatý teoretický základ matematiky Babylonu neměl holistický charakter a byl zredukován na soubor různorodých technik, postrádajících společný systém a důkazní základnu."

Páni! Jak jsme chytří a jak dobře dokážeme vidět nedostatky druhých. Je pro nás slabé dívat se na moderní matematiku ve stejném kontextu? Mírně parafrázuji výše uvedený text, osobně jsem dostal následující:

Bohatý teoretický základ moderní matematiky nemá celostní charakter a je redukován na soubor nesourodých oddílů, postrádajících společný systém a důkazní základnu.

Nebudu chodit daleko, abych potvrdil svá slova – má jazyk a konvence, které se liší od jazyka a konvencí mnoha jiných odvětví matematiky. Stejná jména v různých odvětvích matematiky mohou mít různé významy. Nejviditelnějším omylům moderní matematiky chci věnovat celý cyklus publikací. Brzy se uvidíme.

Sobota 3. srpna 2019

Jak rozdělit množinu na podmnožiny? Chcete-li to provést, musíte zadat novou měrnou jednotku, která je přítomna v některých prvcích vybrané sady. Zvažte příklad.

Ať máme mnoho A skládající se ze čtyř lidí. Tato sada je tvořena na základě "lidí" Označme prvky této sady prostřednictvím písmene A, dolní index s číslem bude uvádět pořadové číslo každé osoby v této sadě. Zaveďme novou měrnou jednotku „sexuální charakteristika“ a označme ji písmenem b. Protože sexuální charakteristiky jsou vlastní všem lidem, násobíme každý prvek souboru A na pohlaví b. Všimněte si, že naše sada „lidé“ se nyní stala sadou „lidé s pohlavím“. Poté můžeme pohlavní znaky rozdělit na mužské bm a dámské bw genderové charakteristiky. Nyní můžeme použít matematický filtr: vybereme jednu z těchto sexuálních charakteristik, nezáleží na tom, která je mužská nebo ženská. Je-li v člověku přítomen, pak ho vynásobíme jednou, pokud takový znak neexistuje, vynásobíme ho nulou. A pak aplikujeme obvyklou školní matematiku. Podívejte se, co se stalo.

Po násobení, redukcích a přeskupení jsme dostali dvě podmnožiny: mužskou podmnožinu bm a podskupina žen bw. Přibližně stejným způsobem uvažují matematici, když aplikují teorii množin v praxi. Ale nepouštějí nás do detailů, ale dávají nám hotový výsledek – „spousta lidí se skládá z podmnožiny mužů a podmnožiny žen“. Přirozeně vás může napadnout otázka, jak správně aplikovat matematiku ve výše uvedených transformacích? Troufám si vás ujistit, že ve skutečnosti jsou transformace provedeny správně, stačí znát matematické zdůvodnění aritmetiky, Booleovy algebry a dalších úseků matematiky. co to je? Někdy jindy vám o tom povím.

Pokud jde o nadmnožiny, je možné spojit dvě sady do jedné nadmnožiny výběrem měrné jednotky, která je přítomna v prvcích těchto dvou sad.

Jak vidíte, jednotky měření a běžná matematika dělají z teorie množin minulost. Známkou toho, že s teorií množin není vše v pořádku, je to, že matematici přišli s vlastním jazykem a notací pro teorii množin. Matematici dělali to, co kdysi dělali šamani. Jen šamani vědí, jak „správně“ uplatnit své „znalosti“. Tyto „znalosti“ nás učí.

Nakonec vám chci ukázat, jak matematici manipulují s .

Pondělí 7. ledna 2019

V pátém století př. n. l. starověký řecký filozof Zenón z Elea formuloval své slavné aporie, z nichž nejznámější je aporie „Achilles a želva“. Zní to takto:

Řekněme, že Achilles běží desetkrát rychleji než želva a je tisíc kroků za ní. Během doby, během které Achilles uběhne tuto vzdálenost, želva ujde sto kroků stejným směrem. Když Achilles uběhne sto kroků, želva se plazí dalších deset kroků a tak dále. Proces bude pokračovat donekonečna, Achilles želvu nikdy nedohoní.

Tato úvaha se stala logickým šokem pro všechny následující generace. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Ti všichni tak či onak považovali Zenónovy aporie. Šok byl tak silný, že " ... diskuse pokračují i ​​v současné době, vědecká komunita se dosud nedokázala shodnout na podstatě paradoxů ... do studia problematiky byla zapojena matematická analýza, teorie množin, nové fyzikální a filozofické přístupy ; žádný z nich se nestal všeobecně přijímaným řešením problému..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Každý chápe, že je klamán, ale nikdo nechápe, co je to podvod.

Z hlediska matematiky Zeno ve svých aporiích jasně demonstroval přechod od hodnoty k. Tento přechod znamená použití místo konstant. Pokud jsem pochopil, matematický aparát pro aplikaci proměnných jednotek měření buď ještě nebyl vyvinut, nebo nebyl aplikován na Zenónovu aporii. Použití naší obvyklé logiky nás zavede do pasti. My setrvačností myšlení aplikujeme konstantní jednotky času na reciproční. Z fyzikálního hlediska to vypadá jako zpomalení času, až se úplně zastaví v okamžiku, kdy Achilles želvu dožene. Pokud se čas zastaví, Achilles už nemůže želvu předběhnout.

Pokud obrátíme logiku, na kterou jsme zvyklí, vše do sebe zapadne. Achilles běží konstantní rychlostí. Každý následující úsek jeho cesty je desetkrát kratší než ten předchozí. Čas strávený na jeho překonání je tedy desetkrát kratší než ten předchozí. Pokud v této situaci použijeme pojem "nekonečno", pak by bylo správné říci "Achilles nekonečně rychle předběhne želvu."

Jak se této logické pasti vyhnout? Zůstaňte v konstantních jednotkách času a nepřecházejte na reciproční hodnoty. V Zenoově jazyce to vypadá takto:

Za dobu, kterou Achilles uběhne tisíc kroků, se želva plazí sto kroků stejným směrem. Během dalšího časového intervalu, který se rovná prvnímu, uběhne Achilles dalších tisíc kroků a želva ujde sto kroků. Nyní je Achilles osm set kroků před želvou.

Tento přístup adekvátně popisuje realitu bez jakýchkoli logických paradoxů. Ale to není úplné řešení problému. Einsteinův výrok o nepřekonatelnosti rychlosti světla je velmi podobný Zenónově aporii „Achilles a želva“. Tento problém musíme ještě studovat, přehodnotit a vyřešit. A řešení je třeba hledat ne v nekonečně velkém počtu, ale v měrných jednotkách.

Další zajímavá aporie Zeno vypráví o létajícím šípu:

Letící šíp je nehybný, protože je v každém okamžiku v klidu, a protože je v každém okamžiku v klidu, je vždy v klidu.

V této aporii je logický paradox překonán velmi jednoduše – stačí si ujasnit, že letící šíp je v každém okamžiku v klidu v různých bodech prostoru, což je ve skutečnosti pohyb. Zde je třeba poznamenat ještě jeden bod. Z jedné fotografie auta na silnici není možné určit ani skutečnost jeho pohybu, ani vzdálenost k němu. K určení skutečnosti pohybu automobilu jsou zapotřebí dvě fotografie pořízené ze stejného bodu v různých časových okamžicích, ale nelze je použít k určení vzdálenosti. Pro určení vzdálenosti k autu potřebujete dvě fotografie pořízené z různých bodů v prostoru současně, ale nemůžete z nich určit skutečnost pohybu (přirozeně stále potřebujete další data pro výpočty, pomůže vám trigonometrie). Chci poukázat zejména na to, že dva body v čase a dva body v prostoru jsou dvě různé věci, které by se neměly zaměňovat, protože poskytují různé příležitosti k průzkumu.
Postup ukážu na příkladu. Vybíráme "červená pevná látka v pupínku" - to je náš "celek". Zároveň vidíme, že tyto věci jsou s mašlí a jsou bez mašle. Poté vybereme část „celku“ a vytvoříme sadu „s mašličkou“. Takto se šamani živí tím, že spojují svou teorii množin s realitou.

Nyní uděláme malý trik. Vezměme „pevné v pupínku s mašlí“ a sjednoťme tyto „celek“ podle barvy a vybereme červené prvky. Dostali jsme hodně "červené". Nyní záludná otázka: jsou přijaté sady "s mašličkou" a "červenou" stejnou sadou nebo dvěma různými sadami? Odpověď znají jen šamani. Přesněji oni sami nic nevědí, ale jak říkají, tak je.

Tento jednoduchý příklad ukazuje, že teorie množin je zcela zbytečná, pokud jde o realitu. Jaké je tajemství? Vytvořili jsme sadu "červený pevný pupínek s mašlí". Formování probíhalo podle čtyř různých měrných jednotek: barva (červená), síla (plná), drsnost (v pupínku), ozdoby (s mašlí). Pouze množina měrných jednotek umožňuje adekvátně popsat skutečné objekty v jazyce matematiky. Tady je to, jak to vypadá.

Písmeno "a" s různými indexy označuje různé jednotky měření. V závorkách jsou zvýrazněny měrné jednotky, podle kterých je v předběžné fázi přidělen „celek“. Jednotka měření, podle které je sestava tvořena, je vyjmuta ze závorek. Poslední řádek zobrazuje konečný výsledek - prvek sady. Jak vidíte, pokud použijeme jednotky k vytvoření množiny, pak výsledek nezávisí na pořadí našich akcí. A to je matematika a ne tance šamanů s tamburínami. Šamani mohou „intuitivně“ dojít ke stejnému výsledku a argumentovat „samozřejmostí“, protože jednotky měření nejsou zahrnuty v jejich „vědeckém“ arzenálu.

Pomocí měrných jednotek je velmi snadné rozbít jednu nebo spojit několik sad do jedné nadmnožiny. Podívejme se blíže na algebru tohoto procesu.