Jak rozložit vzorce. Online kalkulačka. Zjednodušení polynomu. Násobení polynomů
Mezi různými výrazy, které jsou uvažovány v algebře, zaujímají součty monomiálů důležité místo. Zde jsou příklady takových výrazů:
\ (5a ^ 4 - 2a ^ 3 + 0,3a ^ 2 - 4,6a + 8 \)
\ (xy ^ 3 - 5x ^ 2y + 9x ^ 3 - 7y ^ 2 + 6x + 5y - 2 \)
Součet monomiálů se nazývá polynom. Termíny v polynomu se nazývají termíny polynomu. Monomie jsou také označovány jako polynomy, přičemž monomie je polynom sestávající z jednoho výrazu.
Například polynom
\ (8b ^ 5 - 2b \ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25b \ cdot (-12) b + 16 \)
lze zjednodušit.
Všechny termíny zastupujeme jako monomály standardního formuláře:
\ (8b ^ 5 - 2b \ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25b \ cdot (-12) b + 16 = \)
\ (= 8b ^ 5 -14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 \)
Pojďme si ve výsledném polynomu představit podobné výrazy:
\ (8b ^ 5 -14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 = -6b ^ 5 -8b + 16 \)
Výsledkem je polynom, jehož všechny členy jsou monomie standardní formy a podobné mezi nimi nejsou. Takovým polynomům se říká polynomy standardní formy.
Za polynomiální stupeň standardní formy mají největší ze stupňů jeho členů. Binomická \ (12a ^ 2b - 7b \) má tedy třetí stupeň a trinomiální \ (2b ^ 2 -7b + 6 \) - druhý.
Obvykle jsou členy standardních polynomů obsahujících jednu proměnnou uspořádány sestupně podle exponentů jejího exponentu. Například:
\ (5x - 18x ^ 3 + 1 + x ^ 5 = x ^ 5 - 18x ^ 3 + 5x + 1 \)
Součet několika polynomů lze převést (zjednodušit) na standardní polynom.
Někdy je třeba členy polynomu rozdělit do skupin a každou skupinu uzavřít do závorek. Vzhledem k tomu, že závorky jsou opakem expanze závorek, je snadné je formulovat Pravidla rozšíření závorek:
Pokud je před závorkami umístěn znak „+“, pak jsou členy uzavřené v závorkách zapsány stejnými znaky.
Pokud je znak „-“ umístěn před závorkami, pak jsou členy uzavřené v závorkách zapsány s opačnými znaky.
Transformace (zjednodušení) součinu monomického a polynomu
Pomocí distribuční vlastnosti násobení můžete transformovat (zjednodušit) součin monomiální a polynomiální na polynom. Například:
\ (9a ^ 2b (7a ^ 2 - 5ab - 4b ^ 2) = \)
\ (= 9a ^ 2b \ cdot 7a ^ 2 + 9a ^ 2b \ cdot (-5ab) + 9a ^ 2b \ cdot (-4b ^ 2) = \)
\ (= 63a ^ 4b - 45a ^ 3b ^ 2 - 36a ^ 2b ^ 3 \)
Součin monomia a polynomu je identicky roven součtu součinů tohoto monomia a každého z členů polynomu.
Tento výsledek je obvykle formulován jako pravidlo.
Chcete -li znásobit monomiál polynomem, musíte jej znásobit každým z členů polynomu.
Toto pravidlo pro násobení součtem jsme již použili mnohokrát.
Součin polynomů. Transformace (zjednodušení) součinu dvou polynomů
Obecně platí, že součin dvou polynomů je identicky roven součtu součinů každého člena jednoho polynomu a každého člena druhého.
Obvykle se používá následující pravidlo.
Chcete -li znásobit polynom polynomem, musíte znásobit každý člen jednoho polynomu každým členem druhého a přidat výsledné součiny.
Zkrácené multiplikační vzorce. Součtové čtverce, rozdíly a rozdíly čtverců
S některými výrazy v algebraické transformace musí jednat častěji než ostatní. Snad nejběžnější výrazy \ ((a + b) ^ 2, \; (a - b) ^ 2 \) a \ (a ^ 2 - b ^ 2 \), tj. Čtverec součtu, čtverec rozdílu a rozdílu čtverců. Všimli jste si, že názvy těchto výrazů se zdají být neúplné, takže například \ ((a + b) ^ 2 \) samozřejmě není jen čtverec součtu, ale čtverec součtu a a b. Čtverec součtu a a b však není tak běžný, zpravidla místo písmen a a b obsahuje různé, někdy spíše složité výrazy.
Výrazy \ ((a + b) ^ 2, \; (a - b) ^ 2 \) lze snadno převést (zjednodušit) na polynomy standardního tvaru, ve skutečnosti jste se s tímto úkolem již setkali při násobení polynomů:
\ ((a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = \)
\ (= a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \)
Získané identity jsou užitečné k zapamatování a aplikaci bez mezilehlých výpočtů. Pomáhají tomu krátké verbální formulace.
\ ((a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab \) - čtverec součtu se rovná součtu čtverců a zdvojeného součinu.
\ ((a - b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \) - čtverec rozdílu se rovná součtu čtverců bez zdvojeného součinu.
\ (a ^ 2 - b ^ 2 = (a - b) (a + b) \) - rozdíl čtverců se rovná součinu rozdílu součtem.
Tyto tři identity umožňují v transformacích nahradit jejich levé strany pravými a naopak-pravé strany levými. Nejtěžší je vidět odpovídající výrazy a porozumět tomu, co v nich nahrazuje proměnné a a b. Podívejme se na několik příkladů použití zkrácených multiplikačních vzorců.
V této lekci se seznámíme se vzorci pro druhou mocninu součtu a druhou mocninu rozdílu a zobrazíme je. Pojďme dokázat vzorec pro druhou mocninu součtu geometricky. Kromě toho budeme pomocí těchto vzorců řešit mnoho různých příkladů.
Formulace tématu lekce
Sumy Ras-smot-rim for-mu-lu quad-ra-ta:
Odvození a důkaz vzorce pro druhou mocninu
Takže my, my-zda-ať pro-mu-lu quad-ra-ta součty:
Slo-weight-but this form-mo-la you-ra-zha-is like this: the square of the sum is equal to the square of the first number, plus the doubled pro-of-ve-de-nition of the první číslo do druhého plus čtverec druhého čísla.
Tuto formu lze snadno znázornit geo-met-r-che-ski.
Rat-smot-rim square-rat s bokem:
Square-square-ra-ta.
Na druhou stranu, stejný čtverec může být prezentován odlišně, rozbitím strany na a a b (obr. 1).
Rýže. 1. Náměstí
Potom lze plochu čtverce znázornit jako součet plochy:
Protože-ku-ku-ra-you were the same-to-ko-you, then their areas are equal, which means:
Takže děláme ka-za-ať už geo-met-ri-che-ski za-mu-lu quad-ra-ta součty.
Řešení příkladů na vzorci čtvercového součtu
Ras-smot-řím příklady:
Příklad 1:
Komentář: příklad je vyřešen příkladem formy druhé mocniny součtu.
Příklad 2:
Příklad 3:
Odvození vzorce pro druhou mocninu rozdílu
You-ve-dem for-mu-lu quad-ra-ta-no-sti:
Takže my-ve-zda pro-mu-lu quad-ra-ta-no-sti:
Slo-weight-but this form-mu-la you-ra-zha-is like this: the square of the difference is equal to the square of the first number minus the doubled pro from the ve-de of the first number to the druhé plus čtverec druhého čísla.
Řešení příkladů vzorce na druhou mocninový rozdíl
Ras-smot-řím příklady:
Příklad 4:
Příklad 5:
Příklad 6:
Součty typu kvad-ra-ta a kvad-ra-ta raz-no-sti mohou fungovat jak zleva doprava, tak zprava doleva. Při použití zleva doprava to budou formy co-krásné chytrosti, budou použity s vašimi příklady -numbers-le-nii a pre-ob-ra-zo-va-nii. A při použití-pol-zo-va-nii, right-va na-le-vo-forma-mu-ly rozdělení na hodně.
Zvažte příklady, ve kterých potřebujete rozdělit daného vícečlenu na mnoho, pomocí tvaru -ly kvad-ra-that sums a kvad-ra-that raz-no-sti. Chcete-li to provést, musíte se velmi pozorně podívat na mého člena a určit, jak se jmenuje, ale je správné žít.
Řešení příkladů pro faktoring polynomu na faktory
Příklad 7:
Komentář: abyste mohli rozdělit vícečlen na vícečlen, musíte určit, co je v tomto v-ra-nii zastoupeno. Takže vidíme čtvercovou krysu a čtvercovou krysu jednoty. Nyní musíte najít zdvojnásobené pro-of-ve-de-it. Takže jsou tam všechny potřebné prvky, stačí určit, toto je druhá mocnina součtu nebo rozdílu. Před zdvojeným pro-of-ve-de-n-je znaménko plus, což znamená, že před námi je čtverec součtu.
Příklad 8:
Příklad 9:
Komentář: Chcete -li vyřešit tento příklad, musíte minus závorky, abyste viděli formulář, který potřebujeme.
Řešení různých typických problémů pro aplikaci vzorců druhé mocniny součtu a rozdílu
Pe-re-dem k řešení rovnice:
Příklad 10:
Komentář: Chcete-li vyřešit tuto rovnici, musíte zjednodušit levou stranu pomocí formy rozdílu mezi čtverci a čtverci different-but-sti, poté přivést podobné členy. Poté přesuňte všechny neznámé na levou stranu a volný člen doprava a vyřešte elementární lineární rovnici ne.
Příklad 11:
Vypočítat-počet :.
Komentář: pro řešení tohoto příkladu musíte mít podobu tvaru rozdílu čtverců a čtverců součtu, poté vymalovat v nejlepším zlomku.
Příklad 12:
Rovnost To-Ka-Zat:
Split-press na hodně:
Z každé sady vy-not-this-minus one-not-tsu pro závorky:
Budeme si rovni (a - b) 2 = (b - a) 2.
Tato rovnost je velmi užitečná při zjednodušování výrazů. Podívejte se na příklad.
Příklad 13:
Raz-lo-live na hodně :.
Příklad 14:
Do-ka-zhi-ty, které jsou čtvercem každého lichého čísla sníženy o jednu a děleny osmi.
Představujeme pro-of-free liché číslo jako, a jeho druhou mocninu, co-vet-ness-but, as. Výraz zapíšeme podle podmínky:
Zjednodušte polovičatý výraz:
Abychom dokázali, že přijatý výraz je násobkem osmi, musíme dokázat, že je rozdělen na 2 a 4. Zjevně vidíte, že jste dostatečně rychlí, protože je v něm hodně 4. Proto potřebujeme dokázat, že -Lit dne 2.
Záznam je pro-of-ve-de-nie dvou po-před-důležitých čísel, ale je to vždy násobek dvou, protože ze dvou po-to-v počtu čísel bude jedno vždy sudé, a druhá, společná odpověď, lichá a asi lichá násobek dvou, což znamená, že říkáte násobek osmi. Takže jsme si uvědomili, že čtverec každého lichého čísla, zmenšený o jednu, je dělen osmi.
Závěry z lekce
Závěr: v této lekci jsme vás-ve-zda forma-mu-ly quad-ra-součtu a quad-ra-that rozdílu a naučili jsme se řešit různé různé úkoly pro použití těchto vzorce.
V této lekci si připomeneme dříve naučené zkrácené multiplikační vzorce, a to druhou mocninu součtu a druhou mocninu rozdílu. Odvodíme vzorec pro rozdíl čtverců a vyřešíme mnoho různých typických problémů pro aplikaci tohoto vzorce. Kromě toho budeme řešit problémy pro komplexní aplikaci několika vzorců.
Formulace tématu a účelu lekce a připomenutí materiálu z předchozí lekce
Pamatujte, že v předchozí lekci jsme se podívali na rozdíl mezi součtem quad-ra-that a quad-ra-that. Napišme jim:
Odvození vzorce pro rozdíl čtverců
You-ve-dem for-mu-lu different-sti-quad-ra-tov. Právem máte plno chytrých dvoučlenů:
Slo-weight-but-given form-mu-la you-look-dit is like this: the difference between the square of the two choices is equal to the pro-of-ve-de-nii of the sum of these ra- stejně jako jejich rozdíl.
Říkáme tomu různé čtverce.
Říkáme tomu square-ra-tom odlišnost, neměli bychom si tyto dva výrazy plést.
Příklady přímého použití vzorce a standardního chybového znění
Ras-smot-rim použití form-mule v ti-po-vy-da-chah. Začínáme úkoly pro přímou aplikaci formuláře.
Příklad 1: 
.
Pri-meme for, for, for-chim:
.
Ras-pi-shem podle-no-mu-le:
Pe-re-dem na původní proměnné:
Standardní chyba:
v závorce se znaménkem plus slabá místa, svým způsobem:
.
Často s takovým za-pi-si poo-ta-ut, které náměstí vás následuje-čest, z kterého:
Řešení příkladů pro přímou aplikaci vzorce
Příklad 2:
Komentář: pokud existuje-no-work-not-work, je možné, podobně-lo-gich-but before-du-shu-for-me-ru-me-ru-me-to-change one of the same do a, a druhý do b, aby bylo snáze vidět požadovaný tvar.
Příklad 3:
Komentář: v tomto příkladu je nutné mít na paměti a nedovolit chybu ty-in-the-th, popsanou výše. K tomu je vhodné změnit slabá místa v první závorce.
Pass-rei-dem do zad-cham pro inverzní použití form-mu-ly-rozdělení na hodně.
Příklad 4:
Comment-ta-ri: příklad je vyřešen z definice různých quad-ra-tov. Je nutné pouze určit, aby se nalít, čtverec jak na to-th-ra-ze-nia je první jednočlenný a druhý.
Příklad 5:
Příklad 6:
Komentář: v tomto případě musíte vlákno studie použít několikrát. Možná pro-ano-ale z dlouhé formy na konci dlouhé formy-mu-l, abyste získali standardní formu mnoha členů, pak musíte pero-ale-znovu znovu přitisknout sponky mezi sebou a zkráťte výraz na nejjednodušší.
Příklady komplexní aplikace několika vzorců
Dalším typem problémů je aplikace několika vzorců com-bi-ni-ro-van-nye.
Příklad 7 - zjednodušení:
Comment-ta-ri: v tomto příkladu musíte použít dvě formy-mu-ly: different-but-sti-quad-ra-tov a quad-ra-ta-no- sti, in the semi-chen-ny -ra-zh-nii jako-ve-sti-jako členové.
Příklad 8:
Řešení rovnic a výpočetních úloh
Pe-re-dem k řešení rovnice.
Příklad 9:
Ras-smot-rim you-num-li-tel-ny-da-chi.
Příklad 10:
Příklad 11:
Závěry z lekce a domácí úkoly
Závěr: v této lekci jsme vás-ve-zda-pro-mu-lu rozdílu square-ra-tov a rozhodl-zda existuje mnoho různých-osobních-příkladů, ale jmenovitě urav -no-nia, numerical-ntntntd -chi, assign-nndntnny, tntntntnrtnnop-zo-va-vnzv-den- noah form-mu-ly a další. Kromě toho jsme vyřešili několik problémů pomocí komplexní aplikace několika vzorců.
V této lekci budeme pokračovat ve studiu zkrácených multiplikačních vzorců, konkrétně budeme uvažovat vzorce pro rozdíl a součet kostek. Kromě toho budeme řešit různé typické úkoly pro aplikaci těchto vzorců.
Odvození vzorce pro rozdíl kostek
Při studiu forem-mezků tak krásné chytrosti jsme již studovali:
Čtvercový součet a rozdíl;
Rozdíl čtverců-ra-tov.
Vy-ve-dem pro-mu-lu velikosti kostek.
Naším úkolem je dokázat, že když otevíráme bok po boku na pravé straně a když-ve-de-ny, jsme na -Pojdeme k re-zul-ta-te doleva.
Vy-ra-zy-va-zy-va-is-Xia neúplný čtvercový-ra-objem součtu, protože ode dne-dne je dvojka před pro-of-ve-de-no you-ra-same .
Odvození vzorce pro součet kostek
Definice
Rozdíl mezi kostkami dvou výrazů je výsledkem rozdílu mezi těmito výrazy neúplným čtvercem jejich součtu.
Vy-my-my-dem pro-mu-lu součet kostek.
You-a-half-n-I-am smart-chewing of many members:
Q.E.D.
Vy-ra-zh-zy-va-is-Xia neúplný square-ra-tom rozdílu, protože ode dne-dne je dvojka před pro-of-ve-de -nee-you-ra-zh- niy.
Úkoly pro zjednodušení výrazu
Definice
Součet kostek obou výrazů je pro-protože součet těchto výrazů pro neúplný čtverec jejich rozdílu.
Příklad 1 - pro zjednodušení výrazu:
Nechte a máme:
Toto je izu-cha-e-may for-mo-la-raz-no-sti kostek:
Příklad 2 - pro zjednodušení výrazu:
Nechte a máme:
Toto je studie-cha-e-may for-mu-la-součet kostek.
V předchozí lekci jsme zjistili faktoring. Zvládli jsme dvě metody: vyjmutí společného faktoru ze závorek a seskupení. V tomto tutoriálu je dalším mocným způsobem: zkrácené multiplikační vzorce... Stručně řečeno - FSU.
Zkrácené multiplikační vzorce (čtverec součtu a rozdílu, krychle součtu a rozdílu, rozdíl čtverců, součet a rozdíl kostek) jsou zásadní ve všech odvětvích matematiky. Používají se při zjednodušování výrazů, řešení rovnic, násobení polynomů, rušení zlomků, řešení integrálů atd. atd. Zkrátka existuje každý důvod, proč se jimi zabývat. Pochopte, odkud pocházejí, proč jsou potřeba, jak si je pamatovat a jak je aplikovat.
Porozumění?)
Odkud pocházejí zkrácené multiplikační vzorce?
Rovnice 6 a 7 nejsou psány příliš známým způsobem. Jako by to bylo naopak. Je to schválně.) Jakákoli rovnost funguje jak zleva doprava, tak zprava doleva. V takovém záznamu je jasnější, odkud FSO pochází.
Pocházejí z násobení.) Například:
(a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
To je vše, žádné vědecké triky. Jen vynásobíme závorky a dáme podobné. Takže to dopadá všechny zkrácené multiplikační vzorce. Zkráceno násobení je proto, že v samotných vzorcích neexistuje žádné vynásobení závorek a obsazení podobných. Zkráceno.) Výsledek je okamžitě uveden.
FSO potřebuje vědět nazpaměť. Bez prvních tří nemůžete snít o trojce, bez zbytku - o čtyřce a A.)
Proč potřebujeme zkrácené multiplikační vzorce?
Existují dva důvody, proč se učit, dokonce si tyto vzorce zapamatovat. První je, že hotová odpověď na stroji výrazně snižuje počet chyb. To ale není hlavní důvod. Ale ten druhý ...
Pokud se vám tento web líbí ...
Mimochodem, mám pro vás pár dalších zajímavých stránek.)
Můžete si procvičit příklady řešení a zjistit svoji úroveň. Okamžité ověřovací testování. Učení - se zájmem!)
můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.
>> Matematika: Zkrácené multiplikační vzorce
Zkrácené multiplikační vzorce
Existuje několik případů, kdy vynásobení jednoho polynomu druhým vede ke kompaktnímu a snadno zapamatovatelnému výsledku. V těchto případech je lepší nemnožit jeden pokaždé polynom na druhé straně, ale použijte hotový výsledek. Zvažme tyto případy.
1. Druhá mocnina součtu a druhá mocnina rozdílu:
Příklad 1. Rozbalte závorky ve výrazu:
a) (Zx + 2) 2;
b) (5а 2 - 4b 3) 2
a) Používáme vzorec (1), vezmeme -li v úvahu, že role a je Zx, a role b je číslo 2.
Dostaneme:
(Zx + 2) 2 = (Zx) 2 + 2 Zx 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.
b) Používáme vzorec (2) vzhledem k tomu, že v roli ale zastánci 5a 2, a v roli b zastánci 4b 3... Dostaneme:
(5a 2 -4b 3) 2 = (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.
Pokud používáte vzorce na druhou nebo druhou mocninu, pamatujte na to
( - a - b) 2 = (a + b) 2;
(b-a) 2 = (a-b) 2.
To vyplývá ze skutečnosti, že (- a) 2 = a 2.
Všimněte si toho, že některé matematické triky jsou založeny na vzorcích (1) a (2), což vám umožňuje provádět výpočty v hlavě.
Například můžete téměř orálně umocnit čísla končící na 1 a 9. Skutečně
71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8 100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - I) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.
Někdy můžete rychle zarovnat číslo končící na číslo 2 nebo číslo 8. Například,
102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;
48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.
Ale nejelegantnější trik zahrnuje kvadraturu čísel končících na 5.
Provedeme odpovídající odůvodnění pro 85 2.
My máme:
85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.
Všimněte si, že k výpočtu 85 2 stačilo vynásobit 8 číslem 9 a výsledku získanému vpravo přiřadit 25. Totéž lze provést v jiných případech. Například 35 2 = 1225 (3 4 = 12 a 25 bylo přiřazeno k výslednému číslu vpravo);
65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 a 25 bylo přidáno k výslednému číslu vpravo).
Jelikož mluvíme o různých kuriózních okolnostech spojených s nudnými (na první pohled) vzorci (1) a (2), doplníme tento rozhovor následujícím geometrickým uvažováním. Nechť a a b jsou kladná čísla. Zvažte čtverec se stranami a + b a ve dvou jeho rozích vyřízněte čtverce se stranami rovnými a a b (obr. 4).
Plocha čtverce se stranou a + b je (a + b) 2. Tento čtverec jsme ale rozdělili na čtyři části: čtverec se stranou a (jeho plocha je 2), čtverec se stranou b (jeho plocha je b 2), dva obdélníky se stranami a a b (plocha každého takového obdélník je ab). (A + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, to znamená, že jsme získali vzorec (1).
Vynásobte binomické a + b binomickým a - b. Dostaneme:
(a + b) (a - b) = a 2 - ab + bа - b 2 = a 2 - b 2.
tak
Jakákoli rovnost v matematice se používá jak zleva doprava (to znamená, že levá strana rovnosti je nahrazena pravou stranou), tak zprava doleva (to znamená, že pravá strana rovnosti je nahrazena levou stranou ). Pokud se vzorec C) používá zleva doprava, pak vám umožňuje nahradit produkt (a + b) (a - b) konečným výsledkem a 2 - b 2. Stejný vzorec lze použít zprava doleva, pak vám umožní nahradit rozdíl čtverců a 2 - b 2 součinem (a + b) (a - b). Vzorec (3) v matematice má speciální název - rozdíl čtverců.
Komentář.
Nezaměňujte pojmy „rozdíl čtverců“ k a „čtverec rozdílu“. Rozdíl čtverců je 2 - b 2, což znamená, že přichází to o vzorci (3); druhá mocnina rozdílu je (a - b) 2, což znamená, že mluvíme o vzorci (2). V běžném jazyce se vzorec (3) čte „zprava doleva“ takto:
rozdíl čtverců dvou čísel (výrazů) se rovná součtu součtu těchto čísel (výrazů) jejich rozdílem,
Příklad 2. Proveďte násobení
(3x- 2 roky) (3x + 2 roky)
Řešení. My máme:
(Zx - 2y) (Zx + 2y) = (Zx) 2 - (2y) 2 = 9x 2 - 4y 2.
Příklad 3. Představte binomické číslo 16x 4 - 9 jako součin binomických čísel.
Řešení. Máme: 16x 4 = (4x 2) 2, 9 = З 2, což znamená, že daný binom je rozdíl čtverců, tj. lze na něj použít vzorec (3), čtený zprava doleva. Pak dostaneme:
16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - З 2 = (4x 2 + 3) (4x 2 - 3)
Vzorec (3), stejně jako vzorce (1) a (2), se používá pro matematické triky. Vidět:
79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.
Ukončeme náš rozhovor o vzorci rozdílu čtverců zajímavým geometrickým zdůvodněním. Nechť a a b jsou kladná čísla s a> b. Uvažujme obdélník se stranami a + b a a - b (obr. 5). Jeho plocha je (a + b) (a - b). Odřízněte obdélník se stranami b a a - b a přilepte jej ke zbývající části, jak ukazuje obrázek 6. Je zřejmé, že výsledný obrázek má stejnou plochu, tj. (A + b) (a - b). Ale toto číslo může být
postavte takto: vystřihněte čtverec se stranou b ze čtverce se stranou a (to je jasně vidět na obr. 6). Plocha nové figury se tedy rovná 2 - b 2. Takže (a + b) (a - b) = a 2 - b 2, to znamená, že máme vzorec (3).
3. Rozdíl kostek a součet kostek
Vynásobte binomické a - b trinomickým a 2 + ab + b 2.
Dostaneme:
(a - b) (а 2 + ab + b 2) = а 2 a b 2 - b 2 - b 2 - b 2 - b 2 - b 2 - b 2 - a 2 b - ab 2 -b 3 = a 3 -b 3.
Rovněž
(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3
(podívejte se sami). Tak,
Obvykle se nazývá vzorec (4) rozdíl kostek, vzorec (5) je součet kostek. Zkusme přeložit vzorce (4) a (5) do běžného jazyka. Než to uděláme, všimněte si, že výraz a 2 + ab + b 2 je podobný výrazu a 2 + 2ab + b 2, který se objevil ve vzorci (1) a dal (a + b) 2; výraz a 2 - ab + b 2 je podobný výrazu a 2 - 2ab + b 2, který se objevil ve vzorci (2) a poskytl (a - b) 2.
Aby se odlišily (v jazyce) tyto dvojice výrazů od sebe, každý z výrazů a 2 + 2ab + b 2 a a 2 - 2ab + b 2 se nazývá dokonalý čtverec (součet nebo rozdíl) a každý z výrazů a 2 + ab + b 2 a a 2 - ab + b 2 se nazývají neúplný čtverec (součet nebo rozdíl). Poté se získá následující překlad vzorců (4) a (5) (čti „zprava doleva“) do běžného jazyka:
rozdíl mezi kostkami dvou čísel (výrazů) se rovná součinu rozdílu mezi těmito čísly (výrazy) a neúplného čtverce jejich součtu; součet kostek dvou čísel (výrazů) se rovná součinu součtu těchto čísel (výrazů) neúplným čtvercem jejich rozdílu.
Komentář. Všechny vzorce (1) - (5) získané v této části se používají jak zleva doprava, tak zprava doleva, pouze v prvním případě (zleva doprava) se uvádí, že (1) - (5) jsou zkrácené násobení vzorce, a ve druhém případě (zprava doleva) řekněte, že (1) - (5) jsou vzorce faktorizace.
Příklad 4. Proveďte násobení (2x- 1) (4x 2 + 2x +1).
Řešení. Protože prvním faktorem je rozdíl mezi monomii 2x a 1 a druhým faktorem je neúplný čtverec jejich součtu, můžete použít vzorec (4). Dostaneme:
(2x - 1) (4x 2 + 2x + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.
Příklad 5. Reprezentujte binomii 27a 6 + 8b 3 jako součin polynomů.
Řešení. Máme: 27a 6 = (Pro 2) 3, 8b 3 = (2b) 3. To znamená, že daný binom je součet kostek, to znamená, že na něj lze použít vzorec 95) čtený zprava doleva. Pak dostaneme:
27a 6 + 8b 3 = (Pro 2) 3 + (2b) 3 = (Pro 2 + 2b) ((Pro 2) 2 - Pro 2 2b + (2b) 2) = (Pro 2 + 2b) (9a 4 - 6a 2 b + 4b 2).
Nápověda pro studenty online, Matematika ke stažení pro 7. ročník, kalendářově tematické plánování
A. V. Pogorelov, Geometrie pro ročníky 7-11, Učebnice pro vzdělávací instituce
Obsah lekce přehled lekce podpora rámcové lekce prezentace akcelerační metody interaktivní technologie Praxe úkoly a cvičení workshopy autotestu, školení, případy, úkoly domácí úkol diskuze otázky rétorické otázky od studentů Ilustrace audio, videoklipy a multimédia fotografie, obrázky, grafy, tabulky, schémata humor, anekdoty, zábava, komiksová podobenství, rčení, křížovky, citáty Doplňky souhrnyčlánky žetony pro zvědavé podváděcí listy učebnice základní a doplňující slovník pojmů ostatní Zdokonalování učebnic a lekcíopravy chyb v tutoriálu aktualizace fragmentu v učebnici prvky inovace v lekci nahrazení zastaralých znalostí novými Pouze pro učitele perfektní lekce kalendářní plán na rok pokyny program jednání Integrované lekceNásobení polynomu polynomem
! Na vynásobte polynom polynomem, musíte vynásobit každý člen jednoho polynomu každým výrazem jiného polynomu a přidat výsledné produkty.
Buď opatrný! Každý výraz má své vlastní znamení.
Zkrácené multiplikační vzorce polynomy - jedná se zpravidla o 7 (sedm) často se vyskytujících případů násobení polynomů.
Definice aZkrácené multiplikační vzorce. stůl
Tři zkrácené multiplikační vzorce pro čtverce
1. Vzorec pro druhou mocninu součtu.
Sum na druhou dva výrazy se rovnají druhé mocnině prvního výrazu plus dvakrát součin prvního výrazu druhým plus druhé mocnině druhého výrazu.
Abychom lépe porozuměli vzorci, pojďme nejprve výraz zjednodušit (rozbalit vzorec pro druhou mocninu součtu)
Nyní pojďme faktorizovat (vzorec sbalíme)
Pořadí akcí pro faktoring:
- určit, které monomialy byly na druhou ( 5 a 3 m);
- zkontrolujte, zda je zdvojený součin uprostřed vzorce (2 5 3m = 30 m);
- napište odpověď (5 + 3 m) 2.
2. Diferenční čtvercový vzorec
Rozdíl na druhou dva výrazy se rovnají druhé mocnině prvního výrazu minus dvojnásobek součinu prvního výrazu druhým plus druhé mocnině druhého výrazu.
Nejprve zjednodušte výraz (rozbalte vzorec):
A pak naopak rozebereme (konvoluujeme vzorec):
3. Rozdíl ve vzorcích čtverců
Součin součtu dvou výrazů jejich rozdílem se rovná rozdílu druhých mocnin těchto výrazů.
Sbalit vzorec (provést násobení)
Nyní rozbalíme vzorec (rozčleníme to)
Čtyři zkrácené multiplikační vzorce pro kostky
4. Kostkový vzorec součtu dvou čísel
Kostka součtu dvou výrazů se rovná krychli prvního výrazu plus třikrát druhé mocnině prvního výrazu a druhé plus třikrát druhé mocnině druhého plus krychli druhého výrazu.
Pořadí akcí při „skládání“ vzorce:
- najděte monomály, které byly přeneseny do krychle (zde 4x a 1 );
- zkontrolujte, zda jsou průměrné podmínky v souladu se vzorcem;
- napište odpověď.
5. Kostkový vzorec rozdílu dvou čísel
Kostka rozdílu mezi těmito dvěma výrazy se rovná krychli prvního výrazu mínus trojnásobek čtverce prvního výrazu a druhého plus třikrát součin prvního výrazu a druhé mocniny druhého mínus krychle druhý výraz.
6. Vzorec pro součet kostek
Součet kostek dvou výrazů se rovná součinu součtu prvního a druhého výrazu neúplným čtvercem rozdílu těchto výrazů.
A zpět:
7. Cube Difference Formula
Rozdíl mezi kostkami dvou výrazů se rovná součinu rozdílu mezi prvním a druhým výrazem neúplným čtvercem součtu těchto výrazů.
Použití zkrácených multiplikačních vzorců. stůl
Příklad použití vzorců v praxi (orální počítání).
Úkol: Najděte plochu čtverce se stranou a = 71 cm.
Řešení: S = a 2. Pomocí vzorce pro druhou mocninu součtu máme
71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 * 70 * 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 cm 2
Odpovědět: 5041 cm 2
