Jak vyšetřovat funkci a vykreslit její graf?

Zdá se, že začínám chápat oduševnělou tvář vůdce světového proletariátu, autora sebraných děl v 55 svazcích .... Dlouhá cesta začala základními informacemi o funkce a grafy, a nyní práce na pracném tématu končí přirozeným výsledkem – článkem o plné funkční studii. Dlouho očekávaný úkol je formulován takto:

Prozkoumejte funkci metodami diferenciálního počtu a na základě výsledků studie sestavte její graf

Nebo stručně: prozkoumejte funkci a zakreslete ji.

Proč zkoumat? V jednoduchých případech pro nás nebude těžké vypořádat se s elementárními funkcemi, nakreslit graf získaný pomocí elementární geometrické transformace atd. Vlastnosti a grafické znázornění složitějších funkcí však zdaleka nejsou samozřejmé, a proto je potřeba celá studie.

Hlavní kroky řešení jsou shrnuty v referenčním materiálu Funkční schéma studia, toto je váš průvodce sekcí. Dummy potřebují podrobné vysvětlení tématu, někteří čtenáři nevědí, kde začít a jak si studium zorganizovat, a pokročilé studenty může zajímat jen pár bodů. Ale ať jste kdokoli, milý návštěvníku, navrhované shrnutí s odkazy na různé lekce vás v co nejkratším čase zorientuje a nasměruje směrem zájmu. Roboti uronili slzu =) Manuál byl vytvořen ve formě pdf souboru a zaujal své místo na stránce Matematické vzorce a tabulky.

Použil jsem rozdělit studium funkce do 5-6 bodů:

6) Další body a graf na základě výsledků studie.

Pokud jde o závěrečnou akci, myslím, že každý rozumí všemu - bude velkým zklamáním, pokud se během několika sekund přeškrtne a úkol se vrátí k přepracování. SPRÁVNÝ A PŘESNÝ NÁKRES je hlavním výsledkem řešení! Velmi pravděpodobně „zakryje“ analytické nedopatření, zatímco nesprávný a/nebo nedbalý harmonogram způsobí problémy i při perfektně provedené studii.

Nutno podotknout, že v jiných zdrojích se může počet výzkumných položek, pořadí jejich realizace a styl provedení výrazně lišit od mnou navrženého schématu, ale ve většině případů je to docela dost. Nejjednodušší verze úlohy se skládá pouze ze 2-3 fází a je formulována asi takto: „prozkoumej funkci pomocí derivace a grafu“ nebo „prozkoumej funkci pomocí 1. a 2. derivace, vykreslování“.

Přirozeně, pokud je ve vaší školicí příručce podrobně analyzován jiný algoritmus nebo váš učitel striktně vyžaduje, abyste se drželi jeho přednášek, budete muset provést určité úpravy řešení. Není to složitější než vyměnit vidlici za lžíci na motorovou pilu.

Zkontrolujeme funkci pro sudé / liché:

Následuje šablona pro odhlášení odběru:
, takže tato funkce není ani sudá, ani lichá.

Protože funkce je spojitá na , neexistují žádné vertikální asymptoty.

Nejsou zde ani šikmé asymptoty.

Poznámka : Připomínám, že čím vyšší pořadí růstu než , takže konečný limit je přesně " plus nekonečno."

Pojďme zjistit, jak se funkce chová v nekonečnu:

Jinými slovy, půjdeme-li doprava, pak graf jde nekonečně daleko nahoru, pokud jdeme doleva, nekonečně dolů. Ano, pod jednou položkou jsou také dva limity. Pokud máte potíže s dešifrováním znaků, navštivte prosím lekci o infinitezimální funkce.

Takže funkce neomezené shora a zdola neomezené. Vzhledem k tomu, že nemáme body zlomu, je jasné a funkční rozsah: je také libovolné reálné číslo.

UŽITEČNÁ TECHNIKA

Každý krok úlohy přináší nové informace o grafu funkce, takže v průběhu řešení je vhodné použít jakýsi LAYOUT. Nakreslete na výkres kartézský souřadnicový systém. Co je známo jistě? Za prvé, graf nemá žádné asymptoty, a proto není potřeba kreslit rovné čáry. Za druhé, víme, jak se funkce chová v nekonečnu. Podle analýzy nakreslíme první aproximaci:

Všimněte si, že ve skutečnosti kontinuita a skutečnost, že graf musí alespoň jednou protnout osu. Nebo možná existuje několik průsečíků?

3) Nuly funkce a intervaly konstantního znaménka.

Nejprve najděte průsečík grafu s osou y. Je to jednoduché. Je nutné vypočítat hodnotu funkce, když:

Půlka nad hladinou moře.

Chcete-li najít průsečíky s osou (nuly funkce), musíte vyřešit rovnici a zde nás čeká nepříjemné překvapení:

Na konci číhá volný člen, což značně komplikuje úkol.

Taková rovnice má alespoň jeden skutečný kořen a nejčastěji je tento kořen iracionální. V nejhorší pohádce na nás čekají tři prasátka. Rovnice je řešitelná pomocí tzv Cardanovy vzorce, ale poškození papíru je srovnatelné s téměř celou studií. V tomto ohledu je moudřejší ústně nebo na návrh pokusit se vyzvednout alespoň jeden Celý vykořenit. Pojďme zkontrolovat, zda jsou tato čísla:
- nesedí;
- tady je!

Tady je štěstí. V případě neúspěchu můžete také testovat, a pokud tato čísla nebudou sedět, obávám se, že je velmi málo šancí na ziskové řešení rovnice. Pak je lepší bod výzkumu úplně přeskočit – možná se něco vyjasní v posledním kroku, kdy se prolomí další body. A pokud jsou kořeny (kořeny) jasně „špatné“, pak je lepší skromně mlčet o intervalech stálosti znaků a přesněji dokreslit kresbu.

Máme však krásný kořen, a tak polynom rozdělíme beze zbytku:

Algoritmus pro dělení polynomu polynomem je podrobně probrán v prvním příkladu lekce. Komplexní limity.

Výsledkem je levá strana původní rovnice expanduje do produktu:

A teď něco málo o zdravém životním stylu. To samozřejmě chápu kvadratické rovnice je třeba řešit každý den, ale dnes uděláme výjimku: rovnici má dva skutečné kořeny.

Na číselnou osu vyneseme nalezené hodnoty a intervalová metoda definujte znaky funkce:


og Tedy na intervalech graf umístěn
pod osou x a v intervalech - nad touto osou.

Výsledná zjištění nám umožňují upřesnit naše rozložení a druhá aproximace grafu vypadá takto:

Pamatujte, že funkce musí mít alespoň jedno maximum na intervalu a alespoň jedno minimum na intervalu. Ale nevíme, kolikrát, kde a kdy se jízdní řád "namotá". Mimochodem, funkce může mít nekonečně mnoho extrémy.

4) Zvyšování, snižování a extrémy funkce.

Pojďme najít kritické body:

Tato rovnice má dva skutečné kořeny. Položme je na číselnou osu a určeme znaménka derivace:


Proto se funkce zvyšuje o a sníží se o .
V okamžiku, kdy funkce dosáhne svého maxima: .
V okamžiku, kdy funkce dosáhne svého minima: .

Zjištěná fakta zavádějí naši šablonu do poměrně rigidního rámce:

Netřeba dodávat, že diferenciální počet je mocná věc. Pojďme se konečně zabývat tvarem grafu:

5) Konvexnost, konkávnost a inflexní body.

Najděte kritické body druhé derivace:

Definujme znaky:


Graf funkce je konvexní na a konkávní na . Vypočítejme souřadnici inflexního bodu: .

Téměř vše se vyčistilo.

6) Zbývá najít další body, které pomohou přesněji sestavit graf a provést autotest. V tomto případě je jich málo, ale nezanedbáme:

Provedeme kresbu:

Inflexní bod je označen zeleně, další body jsou označeny křížky. Graf kubické funkce je symetrický k jejímu inflexnímu bodu, který je vždy umístěn přesně uprostřed mezi maximem a minimem.

V průběhu zadání jsem uvedl tři hypotetické mezikresby. V praxi stačí nakreslit souřadný systém, označit nalezené body a po každém bodu studia v duchu vymyslet, jak by mohl vypadat graf funkce. Pro studenty s dobrou úrovní přípravy nebude obtížné provést takovou analýzu pouze ve své mysli bez návrhu.

Pro samostatné řešení:

Příklad 2

Prozkoumejte funkci a vytvořte graf.

Vše je zde rychlejší a zábavnější, přibližná ukázka ukončení na konci lekce.

Studium frakčních racionálních funkcí odhaluje mnoho tajemství:

Příklad 3

Pomocí metod diferenciálního počtu prozkoumejte funkci a na základě výsledků studie sestrojte její graf.

Řešení: první etapa studie se neliší v ničem pozoruhodném, s výjimkou díry v definiční oblasti:

1) Funkce je definovaná a spojitá na celé číselné ose kromě bodu , doména: .

, takže tato funkce není ani sudá, ani lichá.

Je zřejmé, že funkce je neperiodická.

Graf funkce se skládá ze dvou souvislých větví umístěných v levé a pravé polorovině – to je snad nejdůležitější závěr 1. odstavce.

2) Asymptoty, chování funkce v nekonečnu.

a) Pomocí jednostranných limit studujeme chování funkce v blízkosti podezřelého bodu, kde vertikální asymptota musí jednoznačně být:

Funkce skutečně vydrží nekonečná mezera na místě
a přímka (osa) je vertikální asymptota grafické umění.

b) Zkontrolujte, zda existují šikmé asymptoty:

Ano, čára je šikmá asymptota grafika pokud .

Nemá smysl analyzovat limity, protože už je jasné, že funkce v objetí se svou šikmou asymptotou neomezené shora a zdola neomezené.

Druhý bod studie přinesl mnoho důležitých informací o funkci. Udělejme si hrubý náčrt:

Závěr č. 1 se týká intervalů stálosti znaménka. V "minus nekonečnu" je graf funkce jednoznačně umístěn pod osou x a v "plus nekonečnu" je nad touto osou. Jednostranné limity nám navíc řekly, že jak vlevo, tak vpravo od bodu je funkce také větší než nula. Upozorňujeme, že v levé polorovině musí graf alespoň jednou protnout osu x. V pravé polorovině nemusí být žádné nuly funkce.

Závěr č. 2 je, že funkce se zvyšuje na a nalevo od bodu (jde „zdola nahoru“). Napravo od tohoto bodu se funkce snižuje (jde „shora dolů“). Pravá větev grafu musí mít určitě alespoň jedno minimum. Vlevo nejsou extrémy zaručeny.

Závěr č. 3 poskytuje spolehlivou informaci o konkávnosti grafu v okolí bodu. O konvexitě/konkávnosti v nekonečnu zatím nemůžeme říci nic, protože přímku lze přitlačit k její asymptotě shora i zdola. Obecně řečeno, existuje analytický způsob, jak to zjistit právě teď, ale tvar grafu „za nic“ bude jasnější v pozdější fázi.

Proč tolik slov? Pro kontrolu následných výzkumných bodů a vyvarování se chyb! Další výpočty by neměly být v rozporu s vyvozenými závěry.

3) Průsečíky grafu se souřadnicovými osami, intervaly konstantního znaménka funkce.

Graf funkce neprotíná osu.

Pomocí intervalové metody určíme znaménka:

, jestliže ;
, pokud .

Výsledky odstavce jsou plně v souladu se závěrem č. 1. Po každém kroku se podívejte na návrh, v duchu se podívejte na studii a dokončete kreslení grafu funkce.

V tomto příkladu je čitatel rozdělen člen po členu podle jmenovatele, což je velmi výhodné pro rozlišení:

Ve skutečnosti to již bylo provedeno při hledání asymptot.

- kritický bod.

Definujme znaky:

zvyšuje o a klesá na

V okamžiku, kdy funkce dosáhne svého minima: .

Rovněž nebyly zjištěny žádné rozpory se závěrem č. 2 a s největší pravděpodobností jsme na správné cestě.

To znamená, že graf funkce je konkávní v celém definičním oboru.

Výborně - a nemusíte nic kreslit.

Nejsou zde žádné inflexní body.

Konkávnost je v souladu se závěrem č. 3, navíc naznačuje, že v nekonečnu (tam i tam) se graf funkce nachází výše jeho šikmá asymptota.

6) Úkol svědomitě připneme dalšími body. Tady se musíme hodně snažit, protože ze studie známe jen dva body.

A obrázek, který pravděpodobně mnozí již dlouho prezentovali:

V průběhu zadání je třeba dbát na to, aby mezi jednotlivými fázemi studia nebyly rozpory, ale někdy je situace naléhavá nebo dokonce zoufale slepá. Zde se analytika „nekonverguje“ – a je to. V tomto případě doporučuji nouzovou techniku: najdeme co nejvíce bodů patřících do grafu (kolik trpělivosti stačí) a označíme je na souřadnicové rovině. Grafická analýza nalezených hodnot ve většině případů napoví, kde je pravda a kde lež. Kromě toho lze graf předem sestavit pomocí nějakého programu, například ve stejném Excelu (je jasné, že to vyžaduje dovednosti).

Příklad 4

Pomocí metod diferenciálního počtu prozkoumejte funkci a vykreslete její graf.

Toto je příklad typu „udělej si sám“. V něm je sebekontrola umocněna rovnoměrností funkce – graf je symetrický kolem osy, a pokud něco ve vaší studii tomuto faktu odporuje, hledejte chybu.

Sudou nebo lichou funkci lze zkoumat pouze pro , a pak lze použít symetrii grafu. Toto řešení je optimální, ale vypadá dle mého názoru velmi nezvykle. Osobně uvažuji celou číselnou osu, ale další body stále najdu pouze vpravo:

Příklad 5

Proveďte kompletní studii funkce a vykreslete její graf.

Řešení: spěchal tvrdě:

1) Funkce je definovaná a spojitá na celé reálné čáře: .

To znamená, že tato funkce je lichá, její graf je symetrický vzhledem k počátku.

Je zřejmé, že funkce je neperiodická.

2) Asymptoty, chování funkce v nekonečnu.

Protože funkce je spojitá na , neexistují žádné vertikální asymptoty

Obvykle pro funkci obsahující exponent samostatný studium "plus" a "minus nekonečna", nám však život usnadňuje právě symetrie grafu - buď je asymptota vlevo a vpravo, nebo není. Proto lze obě nekonečné limity uspořádat pod jedinou položkou. V průběhu řešení používáme L'Hopitalovo pravidlo:

Přímka (osa) je vodorovná asymptota grafu v .

Všimněte si, jak jsem se chytře vyhnul úplnému algoritmu pro nalezení šikmé asymptoty: limita je zcela legální a objasňuje chování funkce v nekonečnu a horizontální asymptota byla nalezena „jakoby současně“.

Z kontinuity a existence horizontální asymptoty vyplývá, že funkce omezena shora a omezený zdola.

3) Průsečíky grafu se souřadnicovými osami, intervaly stálosti.

Zde také zkrátíme řešení:
Graf prochází počátkem.

Neexistují žádné další průsečíky se souřadnicovými osami. Navíc jsou intervaly stálosti zřejmé a osu nelze nakreslit: , což znamená, že znaménko funkce závisí pouze na „x“:
, jestliže ;
, pokud .

4) Zvyšování, snižování, extrémy funkce.


jsou kritické body.

Body jsou symetrické k nule, jak má být.

Definujme znaménka derivace:


Funkce se zvyšuje na intervalu a snižuje na intervalech

V okamžiku, kdy funkce dosáhne svého maxima: .

Vzhledem k majetku (zvláštnost funkce) minimum lze vynechat:

Protože funkce klesá na intervalu , pak je graf samozřejmě umístěn v "minus nekonečnu" pod s jeho asymptotou. Na intervalu funkce také klesá, ale zde je tomu naopak - po průchodu maximálním bodem se přímka přibližuje k ose shora.

Z výše uvedeného také vyplývá, že graf funkce je konvexní v „minus nekonečnu“ a konkávní v „plus nekonečnu“.

Po tomto bodě studie byla také nakreslena oblast hodnot funkce:

Pokud byste některým bodům neporozuměli, ještě jednou vás vyzývám, abyste si do sešitu nakreslili souřadné osy a s tužkou v rukou znovu analyzovali každý závěr úkolu.

5) Konvexnost, konkávnost, inflexe grafu.

jsou kritické body.

Symetrie bodů je zachována a s největší pravděpodobností se nemýlíme.

Definujme znaky:


Graf funkce je konvexní a dále konkávní .

Byla potvrzena konvexnost/konkávnost v extrémních intervalech.

Ve všech kritických bodech jsou v grafu inflexe. Pojďme najít pořadnice inflexních bodů, přičemž opět snížíme počet výpočtů pomocí lichosti funkce:

Úkolem je: provést kompletní studii funkce a sestavit její graf.

Každý student si prošel podobnými problémy.

To, co následuje, předpokládá dobré znalosti. Pokud máte nějaké dotazy, doporučujeme vám nahlédnout do této části.

Algoritmus zkoumání funkcí se skládá z následujících kroků.

Nalezení rozsahu funkce.

Toto je velmi důležitý krok ve studiu funkce, protože všechny další akce budou prováděny v oblasti definice.

V našem příkladu potřebujeme najít nuly ve jmenovateli a vyloučit je z oblasti reálných čísel.



(V jiných příkladech mohou existovat kořeny, logaritmy atd. Připomeňme, že v těchto případech se doména hledá následovně:
například pro odmocninu sudého stupně - definiční obor je nalezen z nerovnosti ;
pro logaritmus - definiční obor se zjistí z nerovnosti ).

Zkoumání chování funkce na hranici definičního oboru, hledání vertikálních asymptot.

Na hranicích definičního oboru má funkce vertikální asymptoty, pokud jsou v těchto hraničních bodech nekonečné.

V našem příkladu jsou hraniční body definičního oboru .

Zkoumáme chování funkce při přiblížení k těmto bodům zleva a zprava, pro které najdeme jednostranné limity:


Protože jednostranné limity jsou nekonečné, jsou čáry vertikálními asymptotami grafu.

Vyšetřování funkce pro sudou nebo lichou paritu.

Funkce je dokonce, pokud . Parita funkce udává symetrii grafu kolem osy y.

Funkce je zvláštní, pokud . Lichost funkce udává symetrii grafu vzhledem k počátku.

Pokud není splněna žádná z rovností, pak máme funkci obecného tvaru.

V našem příkladu platí rovnost, proto je naše funkce sudá. To zohledníme při vykreslování grafu – bude symetrický podle osy y.

Hledání intervalů rostoucích a klesajících funkcí, extrémní body.

Intervaly nárůstu a poklesu jsou řešením nerovností resp.

Body, kde derivace mizí, se nazývají stacionární.

Kritické body funkce zavolejte vnitřní body definičního oboru, ve kterém je derivace funkce rovna nule nebo neexistuje.

KOMENTÁŘ(zda zahrnout kritické body do intervalů nárůstu a poklesu).

Kritické body zahrneme do vzestupných a sestupných intervalů, pokud patří do definičního oboru funkce.

Takto, určit intervaly nárůstu a poklesu funkce

• nejprve najdeme derivaci;
• za druhé, najdeme kritické body;
• za třetí rozdělujeme definiční obor podle kritických bodů do intervalů;
• za čtvrté určíme znaménko derivace na každém z intervalů. Znaménko plus bude odpovídat intervalu nárůstu, znaménko mínus - intervalu poklesu.

Jít!

Derivaci najdeme na definiční oblasti (v případě potíží viz sekce).


Najdeme pro to kritické body:

Tyto body položíme na číselnou osu a určíme znaménko derivace uvnitř každého výsledného intervalu. Případně můžete vzít libovolný bod v intervalu a vypočítat hodnotu derivace v tomto bodě. Pokud je hodnota kladná, vložte znaménko plus nad tento interval a přejděte na další, pokud je záporná, vložte mínus atd. Například, , proto dáme plus nad první interval zleva.


Došli jsme k závěru:

Schematicky znaménka plus/mínus označují intervaly, ve kterých je derivace kladná/záporná. Vzestupné / sestupné šipky ukazují vzestupný / sestupný směr.

extrémní body funkce jsou body, ve kterých je funkce definována a kterými prochází derivace mění znaménko.

V našem příkladu je extrémní bod x=0. Hodnota funkce v tomto bodě je . Protože derivace při průchodu bodem x=0 mění znaménko z plus na mínus, pak (0; 0) je lokální maximální bod. (Pokud by derivace změnila znaménko z mínus na plus, pak bychom měli lokální minimální bod).

Hledání intervalů konvexnosti a konkávnosti funkce a inflexních bodů.

Intervaly konkávnosti a konvexnosti funkce se zjistí řešením nerovnic, resp.

Někdy se konkávnost nazývá klesající konvexita a konvexita se nazývá vzestupná konvexita.

I zde platí poznámky podobné těm z odstavce o intervalech nárůstu a poklesu.

Takto, k určení rozpětí konkávnosti a konvexnosti funkce:

• nejprve najdeme druhou derivaci;
• za druhé, najdeme nuly v čitateli a jmenovateli druhé derivace;
• za třetí rozdělíme definiční obor získanými body na intervaly;
• za čtvrté určíme znaménko druhé derivace na každém z intervalů. Znaménko plus bude odpovídat intervalu konkávnosti, znaménko mínus - konvexnímu intervalu.

Jít!

Druhou derivaci najdeme na definičním oboru.


V našem příkladu neexistují žádné nuly v čitateli, nuly ve jmenovateli.

Tyto body položíme na reálnou osu a určíme znaménko druhé derivace uvnitř každého výsledného intervalu.



Došli jsme k závěru:

Bod se nazývá inflexní bod, jestliže v daném bodě existuje tečna ke grafu funkce a druhá derivace funkce při průchodu změní znaménko .

Jinými slovy, inflexní body mohou být body, jejichž prostřednictvím druhá derivace mění znaménko, v bodech samých se buď rovná nule, nebo neexistuje, ale tyto body jsou zahrnuty v definičním oboru funkce.

V našem příkladu nejsou žádné inflexní body, protože druhá derivace při průchodu body mění znaménko a nejsou zahrnuty v definičním oboru funkce.

Hledání vodorovných a šikmých asymptot.

Horizontální nebo šikmé asymptoty by se měly hledat pouze tehdy, když je funkce definována v nekonečnu.

Šikmé asymptoty jsou hledány ve formě přímek , kde a .

Pokud k=0 a b se nerovná nekonečnu, pak se stane šikmá asymptota horizontální.

Kdo jsou vlastně tyto asymptoty?

To jsou čáry, ke kterým se graf funkce blíží v nekonečnu. Tím pádem hodně pomáhají při vykreslování funkce.

Pokud neexistují žádné vodorovné nebo šikmé asymptoty, ale funkce je definována v plus nekonečnu a/nebo minus nekonečnu, pak by se měla vypočítat limita funkce v plus nekonečnu a/nebo minus nekonečnu, abychom získali představu o chování graf funkce.

Pro náš příklad

je horizontální asymptota.

Tím je studium funkce ukončeno, přistoupíme k vykreslování.

Vypočítáme hodnoty funkcí v mezilehlých bodech.

Pro přesnější vykreslování doporučujeme najít několik funkčních hodnot v mezilehlých bodech (tedy v libovolných bodech z oblasti definice funkce).

Pro náš příklad najdeme hodnoty funkce v bodech x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4. Díky paritě funkce se tyto hodnoty budou shodovat s hodnotami v bodech x=2, x=1, x=3/4, x=1/4.


Sestavení grafu.

Nejprve sestrojíme asymptoty, vyneseme body lokálních maxim a minim funkce, inflexní body a mezilehlé body. Pro pohodlí vykreslování můžete použít i schematické označení intervalů nárůstu, poklesu, konvexnosti a konkávnosti, ne nadarmo jsme funkci studovali =).


Zbývá kreslit čáry grafu vyznačenými body, přibližovat se k asymptotám a sledovat šipky.


S tímto mistrovským dílem výtvarného umění je úkol úplného prozkoumání funkce a vykreslení dokončen.

Grafy některých elementárních funkcí lze sestavit pomocí grafů základních elementárních funkcí.

Pokud je v úloze nutné provést kompletní studii funkce f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 s konstrukcí jejího grafu, pak tento princip podrobně zvážíme.

K vyřešení problému tohoto typu je třeba použít vlastnosti a grafy hlavních elementárních funkcí. Výzkumný algoritmus zahrnuje následující kroky:

Hledání domény definice

Vzhledem k tomu, že výzkum je prováděn na doméně funkce, je nutné začít tímto krokem.

Příklad 1

Uvedený příklad zahrnuje nalezení nul ve jmenovateli za účelem jejich vyloučení z DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; +∞

V důsledku toho můžete získat kořeny, logaritmy a tak dále. Pak lze ODZ hledat pro kořen sudého stupně typu g (x) 4 pomocí nerovnosti g (x) ≥ 0 , pro logaritmus log a g (x) pomocí nerovnosti g (x) > 0 .

Zkoumání hranic ODZ a hledání vertikálních asymptot

Na hranicích funkce jsou vertikální asymptoty, kdy jednostranné limity v takových bodech jsou nekonečné.

Příklad 2

Uvažujme například hraniční body rovné x = ± 1 2 .

Poté je nutné funkci prostudovat k nalezení jednostranné limity. Pak dostaneme, že: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = limit x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = limit x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

To ukazuje, že jednostranné limity jsou nekonečné, což znamená, že přímky x = ± 1 2 jsou vertikální asymptoty grafu.

Vyšetřování funkce a pro sudé nebo liché

Když je splněna podmínka y (- x) = y (x), funkce je považována za sudou. To naznačuje, že graf je umístěn symetricky vzhledem k O y. Při splnění podmínky y (- x) = - y (x) je funkce považována za lichou. To znamená, že symetrie jde s ohledem na počátek souřadnic. Pokud selže alespoň jedna nerovnost, získáme funkci obecného tvaru.

Splnění rovnosti y (- x) = y (x) znamená, že funkce je sudá. Při konstrukci je nutné počítat s tím, že vzhledem k O y bude symetrie.

K vyřešení nerovnosti se používají intervaly nárůstu a poklesu s podmínkami f "(x) ≥ 0 a f" (x) ≤ 0, resp.

Definice 1

Stacionární body jsou body, které mění derivaci na nulu.

Kritické body jsou vnitřní body z definičního oboru, kde je derivace funkce rovna nule nebo neexistuje.

Při rozhodování je třeba vzít v úvahu následující body:

• pro existující intervaly nárůstu a poklesu nerovnosti tvaru f "(x) > 0 nejsou kritické body zahrnuty do řešení;
• body, ve kterých je funkce definována bez konečné derivace, musí být zahrnuty do intervalů nárůstu a poklesu (například y \u003d x 3, kde bod x \u003d 0 dělá funkci definovanou, derivace má hodnotu nekonečna v tomto okamžiku je y " \u003d 1 3 x 2 3, y " (0) = 1 0 = ∞, x = 0 zahrnuto do intervalu nárůstu);
• aby nedocházelo k neshodám, doporučuje se používat matematickou literaturu, kterou doporučuje MŠMT.

Zahrnutí kritických bodů do intervalů rostoucích a klesajících v případě, že splňují definiční obor funkce.

Definice 2

Pro stanovení intervalů nárůstu a poklesu funkce, je nutné najít:

• derivát;
• kritické body;
• rozdělit doménu definice pomocí kritických bodů na intervaly;
• určete znaménko derivace na každém z intervalů, kde + je nárůst a - je pokles.

Příklad 3

Najděte derivaci na definičním oboru f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Řešení

K vyřešení potřebujete:

• najděte stacionární body, tento příklad má x = 0 ;
• najděte nuly ve jmenovateli, příklad má hodnotu nula v x = ± 1 2 .

Vystavíme body na číselné ose, abychom určili derivaci na každém intervalu. K tomu stačí vzít libovolný bod z intervalu a provést výpočet. Pokud je výsledek kladný, nakreslíme do grafu +, což znamená zvýšení funkce a - znamená její pokles.

Například f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, což znamená, že první interval vlevo má znaménko +. Zvažte číslo čára.

Odpovědět:

• dochází k nárůstu funkce na intervalu - ∞ ; - 1 2 a (- 1 2; 0];
• dochází k poklesu na intervalu [ 0 ; 12) a 12; +∞ .

V diagramu je pomocí + a - znázorněna pozitivita a negativita funkce a šipky označují klesající a rostoucí.

Extrémní body funkce jsou body, kde je funkce definována a přes které derivace mění znaménko.

Příklad 4

Pokud vezmeme v úvahu příklad, kde x \u003d 0, pak hodnota funkce v něm je f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Když se znaménko derivace změní z + na - a prochází bodem x \u003d 0, pak je bod se souřadnicemi (0; 0) považován za maximální bod. Když se znaménko změní z - na +, dostaneme minimální bod.

Konvexnost a konkávnost jsou určeny řešením nerovnic tvaru f "" (x) ≥ 0 a f "" (x) ≤ 0 . Méně často používají název boule down místo konkávnosti a boule nahoru místo boule.

Definice 3

Pro stanovení mezer konkávnosti a konvexnosti nutné:

• najít druhou derivaci;
• najít nuly funkce druhé derivace;
• rozdělit doménu definice body, které se objevují do intervalů;
• určit znaménko mezery.

Příklad 5

Najděte druhou derivaci z definičního oboru.

Řešení

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Najdeme nuly v čitateli a jmenovateli, kde na našem příkladu platí, že nuly ve jmenovateli x = ± 1 2

Nyní je třeba umístit body na číselnou osu a určit znaménko druhé derivace z každého intervalu. Chápeme to

Odpovědět:

• funkce je konvexní z intervalu - 1 2 ; 12;
• funkce je konkávní z mezer - ∞ ; - 12 a 12; +∞ .

Definice 4

inflexní bod je bod ve tvaru x 0 ; f(x0) . Když má tečnu ke grafu funkce, pak když prochází x 0, funkce změní znaménko na opačné.

Jinými slovy, toto je takový bod, kterým prochází druhá derivace a mění znaménko a v bodech samotných je rovna nule nebo neexistuje. Všechny body jsou považovány za definiční obor funkce.

V příkladu bylo vidět, že neexistují žádné inflexní body, protože druhá derivace mění znaménko při průchodu body x = ± 1 2 . Ty zase nejsou zahrnuty do oblasti definice.

Hledání vodorovných a šikmých asymptot

Při definování funkce v nekonečnu je třeba hledat vodorovné a šikmé asymptoty.

Definice 5

Šikmé asymptoty jsou nakresleny pomocí čar daných rovnicí y = k x + b, kde k = lim x → ∞ f (x) x a b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Pro k = 0 a b nerovnající se nekonečnu zjistíme, že se šikmá asymptota stává horizontální.

Jinými slovy, asymptoty jsou čáry, ke kterým se graf funkce blíží v nekonečnu. To přispívá k rychlé konstrukci grafu funkce.

Pokud neexistují žádné asymptoty, ale funkce je definována v obou nekonečnech, je nutné vypočítat limitu funkce v těchto nekonečnech, abychom pochopili, jak se bude graf funkce chovat.

Příklad 6

Zvažte to například

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

je horizontální asymptota. Po prozkoumání funkce ji můžete začít budovat.

Výpočet hodnoty funkce v mezilehlých bodech

Aby bylo vykreslování co nejpřesnější, doporučuje se najít několik hodnot funkce v mezilehlých bodech.

Příklad 7

Z příkladu, který jsme uvažovali, je nutné najít hodnoty funkce v bodech x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Protože je funkce sudá, dostaneme, že hodnoty se shodují s hodnotami v těchto bodech, to znamená, že dostaneme x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Pojďme napsat a vyřešit:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Pro určení maxima a minima funkce, inflexních bodů, mezilehlých bodů je nutné sestavit asymptoty. Pro pohodlné označení jsou pevně stanoveny intervaly nárůstu, poklesu, konvexnosti, konkávnosti. Zvažte obrázek níže.

Přes vyznačené body je nutné kreslit čáry grafu, které vám umožní přiblížit se k asymptotám podle šipek.

Tím je kompletní studie funkce uzavřena. Existují případy konstrukce některých elementárních funkcí, pro které se používají geometrické transformace.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter