11.3. Maticová metoda pro rozvoj strategií Vývoj vize organizace Různé stavy vnějšího a vnitřního prostředí organizací vysvětlují rozmanitost organizací samotných a jejich skutečný stav Multifaktoriální povaha parametrů, které určují pozici každé organizace.

Cvičení 1

Vypočítejte součet matic kA+mB, jestliže

Prvky součtové matice jsou určeny vzorcem:

cij=kaij+mbij.

Vypočítejte prvky prvního řádku součtové matice:

C11=-4*2+5*3=7

C12=-4* (-1)+5*7=39

C13=-4*4+5*(-2)=-26

C21=-4*6+5*9=21

C22=-4*3+5*1=-7

C23=-4*0+5*6=30

С31=-4* (-7)+5* (-4)=8

C32=-4*5+5*8=20

C33=-4*9+5*5=-11

Součtová matice tedy bude mít tvar:

Úkol 2

Vypočítejte inverzní matici a zkontrolujte.

K nalezení inverzní matice používáme algoritmus:

• 1. Matice je čtvercová (počet řádků se rovná počtu sloupců), proto existuje matice inverzní k ní.
• 2. Najděte determinant původní matice:

• ?A=-3 * 3 * 3+1 * (-5) * 1+0 * (-4) * 3-1 * 3 * 3-(-4) * 1 * 3-0 * (-5) * (-3) = -29? 0
• 3. Najděte matici skládající se z algebraických doplňků prvků původní matice:

A11=(-1) 2*3*3-0*(-5)=-9

A12=(-1)3*-4*3-1* (-5)=7

A13=(-1)4*-4*0-1*3=-3

A21=(-1) 3*1*3-0*3=-3

A22=(-1) 4*-3*3-1*3=-12

A23=(-1)5*-3*0-1*1=1

A31=(-1) 4*1*(-5)-3*3=-14

A32=(-1) 5 * -3 * (-5)-(-4) * 3=-27

A33=(-1)6*-3*3-(-4)*1=-5

Dostaneme tedy matici:

4. Transponujte výslednou matici:

5. Poslední matici vydělíme determinantem původní matice a získáme inverzní matici:

6. Zkontrolujeme výsledek. K tomu najdeme součin výsledné matice původní:

A-1 .* A=A * A-1 =*= ==

Tak jsme dostali matici identity jako výsledek. Proto byla nalezena inverzní matice, správně.

Úkol 3

Řešte soustavu lineárních rovnic Cramerovou, Gaussovou metodou.

Řešení:

1) Vyřešte soustavu Cramerovou metodou.

Složíme matici systému:

Vypočítáme determinant této matice:

0 * (-8) * 4+3 * 2 * (-5)+7 * 2 * 9-9 * (-8) * (-5)-3 * 7 * 4-0 * 2 * 2=-348?0

Hledání determinantů? 1 , ?2, ?3, získané z původního determinantu nahrazením prvního, druhého a třetího sloupce sloupcem volných členů:

1==2 * (-8) * 4+3 * 2 * (-3)+9 * 5 * 2-9 * (-8) * (-3)-3 * 5 * 4-2 * 2 * 2=-276

2==0 * 5 * 4+2 * 2 * (-5)+9 * 7 * (-3)-9 * 5 * (-5)-2 * 7 * 2-0 * 2 * (-3)=- 40

3==0 * (-8) * (-3)+3 * 5 * (-5)+2 * 7 * 2-2 * (-8) * (-5)-3 * 7 * (-3)-0 * 5 * 2=- 64

Nyní pomocí Cramerových vzorců

x1=, x2=, x3=,

najít řešení systému:

X1==,=0,79 x2==,=0,11 x3===0,18

2) Soustavu řešíme Gaussovou metodou.

Sestavíme rozšířenou matici systému, která obsahuje koeficienty pro proměnné a volné členy:

Vynásobte 2. řádek číslem (5). Vynásobte 3. řádek číslem (7). Přidejme 3. řádek ke 2.:

Vynásobte 1. řádek číslem (26). Vynásobte 2. řádek číslem (3). Přidejme 2. řádek k 1.:

Z 1. řádku vyjádříme x 3

Z 2. řádku vyjádříme x 2

26x 2 \u003d - + 4 \u003d 0,11

Od 3. řádku vyjádříme x 1

5x 1 \u003d -2 * 0,11- - 3 \u003d 0,79

Úkol 4

maticový determinant linear Cramer gauss

Vypočítejte determinant 4. řádu

Do čtvrtého řádku zapíšeme rozvoj determinantu:

A \u003d\u003d 0 * A 41 +3 * A 42 +0 * A 43 +1 * A 44

kde Aij je algebraický doplněk prvku ij a .

Najděte algebraické sčítání podle vzorce A ij =(-1) i+j , kde m ij je moll prvku ij a, který se získá z původního determinantu vymazáním řádku a sloupce, na jehož průsečíku se tento prvek stojí.

A 42 \u003d (-1) 4 + 2 * m 42 \u003d (-1) 6 * \u003d 4 * 7 * (-9) + 7 * (-7) * 0 + 1 * (-1) * 0 - 0 * 7 * 0 - 7 * 1 * (-9) - 4 * (-7) * (-1) = -217

A 44 \u003d (-1) 4 + 4 * m 44 \u003d (-1) 8 * \u003d 4 * (-3) * (-1) + 0 * 7 * 0 + 1 * 1 * 7-7 * (-3) * 0-0 * 1 * (-1)-4 * 7 * 1=-9

Získané hodnoty dosadíme do rozšíření determinantu:

3 * A 42 + A 44 \u003d 3 * (-217) + (-9) \u003d -660

Úkol 5

inverzní determinantová matice lineární Cramer gauss

Samostatně, analogicky k příkladu, vytvořte problém s ekonomickým obsahem, sestavte matematický model ekonomického procesu a problém vyřešte.

Úkol.

Náklady tří druhů surovin A, B, C na výrobu jednotky každého ze tří druhů výrobků I, II, III a zásoby každého druhu suroviny jsou uvedeny v tabulce (tabulka 1) :

stůl 1

Je třeba stanovit plán výroby, který zajistí využití všech surovin.

Zapišme soustavu lineárních rovnic pomocí dat uvedených v tabulce:

kde - objem výstupu každého typu.

K řešení používáme Gaussovu metodu. Napišme rozšířenou matici systému:

Systém zapíšeme ve formě rozšířené matice:

Vynásobte 2. řádek číslem (-2). Přidejme 2. řádek k 1.:

Vynásobte 2. řádek číslem (3). Vynásobte 3. řádek číslem (-1). Přidejme 3. řádek ke 2.:

Vynásobte 1. řádek číslem (2). Přidejme 2. řádek k 1.:

Nyní lze původní systém zapsat jako:

x2 = /2

x 1 = /3

Z 1. řádku vyjádříme x 3

Z 2. řádku vyjádříme x 2

Od 3. řádku vyjádříme x 1

Kurz přednášek z disciplíny

"Matricová analýza"

pro studenty 2. ročníku

obor Matematická fakulta

"Ekonomická kybernetika"

(přednášející Dmitruk Maria Aleksandrovna)

1. Definice funkce.

Df. Nechat

Řešení tohoto problému je známé, když f(x) je polynom:

Definice f(A) v obecném případě.

Nechť m(x) je minimální polynom A a má kanonický rozklad

Nechť g(A)=h(A) (1), pak polynom d(x)=g(x)-h(x) je anihilační polynom pro A, protože d(A)=0, tedy d(x ) je dělitelný lineárním polynomem, tzn d(x)=m(x)*q(x) (2).

Dohodněme se na m číslech pro f(x) takových

Pokud je pro f(x) definována množina f(Sp A), pak je funkce definována na spektru matice A.

Z (3) vyplývá, že polynomy h(x) a g(x) mají na spektru matice A stejné hodnoty.

Naše úvaha je vratná, tzn. od (3) Þ (3) Þ (1). Je-li tedy dána matice A, pak je hodnota polynomu f(x) zcela určena hodnotami tohoto polynomu na spektru matice A, tzn. všechny polynomy g i (x), které nabývají stejných hodnot ve spektru matice, mají stejné hodnoty matice g i (A). Požadujeme, aby se definice hodnoty f(A) v obecném případě řídila stejným principem.

Hodnoty funkce f(x) na spektru matice A musí plně určovat f(A), tzn. funkce, které mají stejné hodnoty ve spektru, musí mít stejnou hodnotu matice f(A). Je zřejmé, že k určení f(A) v obecném případě stačí najít polynom g(x), který by na spektru A nabyl stejných hodnot jako funkce f(A)=g(A).

Df. Pokud je f(x) definováno na spektru matice A, pak f(A)=g(A), kde g(A) je polynom, který nabývá na spektru stejných hodnot jako f(A),

Df.Hodnota funkce z matice A nazýváme hodnotu polynomu v této matici pro

Mezi polynomy z С[x], které nabývají na spektru matice A stejné hodnoty jako f(x), stupně ne vyššího než (m-1), který nabývá stejných hodnot na spektrum A, protože f(x) je zbytek dělení libovolného polynomu g(x), který má na spektru matice A stejné hodnoty jako f(x) k minimálnímu polynomu m(x)=g(x) )=m(x)*g(x)+r(x) ​​.

Tento polynom r(x) se nazývá Lagrangeův-Sylvesterův interpolační polynom pro funkci f(x) na spektru matice A.

Komentář. Pokud minimální polynom m(x) matice A nemá více kořenů, tzn.

Příklad:

Najděte r(x) pro libovolné f(x), pokud je matice

. Sestrojme f(H 1). Najděte minimální polynom H 1 - poslední invariantní faktor:

dn-i = x2; dn-1 = 1;

m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n-1 (x) \u003d x nÞ 0 – n-násobná odmocnina z m(x), tzn. n-násobné vlastní hodnoty H 1 .

, r(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0)Þ .

2. Vlastnosti funkcí z matic.

Nemovitost #1. Pokud matice

Důkaz:

Nechť má charakteristický polynom matice A tvar:

Udělejme změnu v rovnosti:

Rovnost (*) platí pro jakoukoli množinu f(x), proto nahradíme polynom f(x) za

Vlevo jsme získali charakteristický polynom pro matici f(A), rozložený vpravo na lineární faktory, což znamená, že

CHTD.

Nemovitost #2. Nechte matici

Důkaz:

Protože funkce f(x) je definována na spektru matice A, pak existuje interpolační polynom matice r(x) takový, že

Druhý přístup k analýze Petriho sítí je založen na maticové reprezentaci Petriho sítí. Alternativou k definici Petriho sítě ve tvaru (P, T, I, O) je definice dvou matic D - a D + , reprezentujících vstupní a výstupní funkce. Každá matice má m řádků (jeden na přechod) a n sloupců (jeden na pozici). Definujte D- = #(pi, I(tj)) a D+ = #(pi, O(tj)). D - definuje přechodové vstupy, D + - výstupy.

Maticový tvar definice Petriho sítě (P, T, D - , D +) je ekvivalentní námi používanému standardnímu tvaru, umožňuje však definice z hlediska vektorů a matic. Nechť e[j] je m-vektor obsahující všude nuly kromě j-té složky, která je rovna jedné. Přechod t j je reprezentován m-řádkovým vektorem e[j].

Nyní je přechod t j ve značení µ povolen, pokud µ > e[j] D - , a výsledek běhu přechodu t j ve značení µ je zapsán jako:

δ(t j) = µ - e[j] D - + e[j] D + = µ + e[j] D

kde D = D + - D - je složená matice změn.

Pak pro spouštěcí sekvenci přechodu σ = t j ​​​​1 , t j 2 , … , t jk máme:

δ(σ) = µ + e D + e D + … + e D =

= µ + (e + e + … + e)D = µ + f(σ) D

Vektor f(σ) = e + e + ... + e se nazývá spouštěcí vektor sekvence σ = tj 1 , tj 2 , … , t jk , f(σ) jp je počet běhů přechodu tp v posloupnosti tj 1 , tj 2 , … , t jk . Spouštěcí vektor f(σ) je tedy vektor s nezápornými celočíselnými složkami. (Vektor f(σ) je Parikhovo zobrazení posloupnosti σ = t j ​​​​1, t j 2, …, t jk).

Abychom ukázali užitečnost takového maticového přístupu k Petriho sítím, zvažte například problém ochrany: je daná označená Petriho síť konzervační? Pro zobrazení konzervace je nutné najít (nenulový) váhový vektor, pro který je vážený součet přes všechny dosažitelné značky konstantní.

Nechť w = (w 1 ,w 2 , … , w n) je sloupcový vektor. Pak, pokud µ je počáteční označení a µ" je libovolně dosažitelné označení, tj. µ" patří do R(C,µ), je nutné, aby µ w = µ" w. Nyní, protože µ" je dosažitelné, existuje sekvence přechodů běhů σ = tj 1 , tj 2 , … , t jk , která vezme síť z µ do µ".

µ" = µ + f(σ) D

Proto,

µ w = µ" w = (µ + f(σ) D) w = µw + f(σ) D w, takže f(σ) D w = 0.

Protože to musí platit pro všechna f(σ) , máme D w = 0.

Petriho síť se tedy zachovává právě tehdy, když existuje kladný vektor w takový, že D w = 0.

To poskytuje jednoduchý algoritmus kontroly perzistence a také umožňuje získat váhový vektor w.

Rozvinutá maticová teorie Petriho sítí je nástrojem pro řešení problému dosažitelnosti. Předpokládejme, že značka µ" je dosažitelná ze značky µ. Pak je zde sekvence (případně prázdná) přechodových počátků σ, která vede z µ do µ". To znamená, že f(σ) je nezáporné celé číslo řešení následující maticové rovnice pro x:

µ" = µ + xD

Pokud je tedy µ" dosažitelné z µ, pak má daná rovnice řešení v nezáporných celých číslech; nemá-li daná rovnice řešení, pak µ" je z µ nedosažitelné.

Vezměme si například Petriho síť označenou na obrázku 1:

Rýže. 1. Petriho síť ilustrující metodu analýzy založenou na maticových rovnicích

Matice D - a D + mají tvar:

t 1 t 2 t 3 t 1 t 2 t 3

p 1 1 0 0 p 1 1 0 0

D - = p 2 1 0 0 D + = p 2 0 2 0

p 3 1 0 1 p 3 0 1 0

p 4 0 1 0 p 4 0 0 1

a matice D:

V počátečním značení µ = (1, 0, 1, 0) je přechod t 3 povolen a vede ke značení µ" = (1, 0, 0, 1).

µ" = µ + e D = (1, 0, 1, 0) + (0, 0, 1) D =

= (1, 0, 1, 0) + (0, 0, -1, 1) = (1, 0, 0, 1).

Sekvence σ = t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 1 je reprezentována startovacím vektorem f(σ) = (1, 2, 2) a je označena µ":

µ" = (1, 0, 1, 0) + (1, 2, 2) D = (1, 0, 1, 0) + (0, 3, -1, 0) = (1, 3, 0, 0)

Abychom určili, zda je štítek (1, 8, 0, 1) dosažitelný ze štítku (1,0, 1, 0), máme rovnici:

(1, 8, 0, 1) = (1, 0, 1,0) + xD

která má řešení x =(0, 4, 5). Tomu odpovídá posloupnost σ = t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3

(1, 7, 0, 1) = (1, 0, 1, 0) + x D

nemá řešení.

Maticový přístup k analýze Petriho sítí je velmi slibný, ale má také určité potíže. Nejprve si všimneme, že matice D sama o sobě plně neodráží strukturu Petriho sítě. Přechody, které mají vstupy i výstupy ze stejné pozice (smyčky), jsou reprezentovány odpovídajícími maticovými prvky D+ a D - , ale pak se v matici navzájem vyruší D = D + - D -. To se odráží v předchozím příkladu polohou p 4 a přechodem t3.

Dalším problémem je nedostatek sekvenčních informací ve spouštěcím vektoru. Zvažte Petriho síť na obr. 2. Předpokládejme, že chceme určit, zda je označení (0, 0, 0, 0, 1) dosažitelné z (1, 0, 0, 0, 0). Pak máme rovnici

(1, 0, 0, 0, 0) = (0, 0, 0, 0, 1) + x D

Rýže. 2. Další Petriho síť pro ilustraci maticové analýzy

Tato rovnice nemá jednoznačné řešení, ale redukuje se na množinu řešení (a\f(o) =(1 x 2, x 6 - 1, 2x 6, x e - 1, x 6)). Definuje vztah mezi spouštěči přechodu. Pokud položíme x 6= 1 a x 2= 1, pak /(o) = (1, 1, 0, 2, 0, 1), ale tento spouštěcí vektor odpovídá sekvenci 44444. spuštění není známo.

Dalším problémem je, že řešení rovnice je nutné pro dosažitelnost, ale nestačí. Uvažujme jednoduchou Petriho síť zobrazenou na obr. 3. Pokud chceme určit, zda je (0, 0, 0, 1) dosažitelné z (1, 0, 0, 0), musíme vyřešit rovnici

Rýže. 3. Petriho síť ukazující, že řešení maticové rovnice je nutnou, nikoli však postačující podmínkou pro řešení problému dosažitelnosti

Tato rovnice má řešení f(a) = (1, 1) odpovídající dvěma posloupnostem: sýkorka 2 a /3/t. Ale ani jedna z těchto dvou přechodových sekvencí není možná, protože v (1,0, 0, 0) ani jedna t to ani 4 nejsou povoleny. Řešení rovnice tedy k prokázání dosažitelnosti nestačí.

Kontrolní otázky a úkoly

1. Sestavte graf Petriho sítě pro následující Petriho síť:

P=(p1,p2,p3,p4), T=(t1,t2,t3,t4,t5),

I(ti)=(), O(ti)=(p1),

I(t2)=(p1), O(t2)=(p2),

I(t3)=(p2,p2,p4), O(t3)=(p1,p3),

I(t4)=(), O(t4)=(p3),

I(t5)=(p3), O(t5)=(p4,p4).

2. Vytvořte graf Petriho sítě pro následující Petriho síť:

P=(p1,p2,p3,p4), T=(t1,t2,t3,t4),

I(ti)=(), O(ti)=(p1,p1,p1,p1,p2),

I(t2)=(p2), O(t2)=(p1,p1p1,p1,p1,p1,p3),

I(t3)=(p1,p1,p1,p1,p1,p1), O(t3)=(p2,p2p2,p2p4,p4),

I(t4)=(p2,p3p4,p4), O(t4)=(p3).

3. U Petriho sítě ze cvičení 1 pro označení m=(5,4,0,0) označte povolené přechody.

4. U Petriho sítě ze cvičení 2 pro označení m=(7,12,2,1) uveďte povolené přechody.

5. Ukažte, že ÈR(C,m)=N n , kde mнN n .

6. Dokažte, že pokud m‘н R(C,m), pak R(C,m‘)н R(C,m).

7. Dokažte, že m‘н R(C,m) právě tehdy, když R(C,m‘)н R(C,m).

8. Sestavte sadu dosažitelnosti pro Petriho síť ze cvičení 1.

9. Sestavte dosažitelnou sadu pro Petriho síť ze cvičení 2.

10. Petriho sítě svými žetony a pravidly spouštění v mnohém připomínají hry, které mají hrací pole: dáma, backgammon, him, go atd. Můžete vymyslet hru pro jednu nebo čtyři osoby, která se skládá z hraní pole (jako pole se používá Petriho síť) a sada žetonů. Žetony jsou rozmístěny po pozicích Petriho sítě a hráči se střídají ve výběru povolených přechodů a jejich spouštění. Definujte pravidla hry a zajistěte následující:

a Jak se určuje počáteční poloha dlaždic? (Například každý hráč začíná hru s jedním žetonem v domě nebo každý hráč obdrží n dlaždic na celé pole podle libosti atd.).

b Jaký je účel hry? (Zachyťte soupeřovy žetony, získejte co nejvíce žetonů, zbavte se žetonů co nejdříve atd.).

c Je nutné obarvit figurky pro různé hráče? (Podle toho určete pravidla pro spouštění přechodů.)

d Neměli bychom přiřazovat body různým přechodům? (Pak je skóre hráče určeno součtem přechodů, které vypálil).

Na základě toho popište hru, uveďte příklad hry.

11. Vytvořte program, který implementuje hru ze cvičení 10, kde je vaším soupeřem počítač pro danou Petriho síť.

12. Sestavte simulační systém pro provádění Petriho sítě. Začátek povolených přechodů nastavuje uživatel simulačního systému.

13. Moudří muži sedí u velkého kulatého stolu, na kterém je spousta jídel čínské kuchyně. Mezi sousedy leží jedna hůlka. Ke konzumaci čínského jídla jsou však potřeba dvě hůlky, takže by si každý mudrc měl vzít hůlky zprava a zleva. Problém je v tom, že pokud všichni mudrci vezmou klacky na levé straně a pak čekají, až se klacky na pravé straně uvolní, budou čekat věčně a zemřou hlady (slepý stav). Je potřeba vybudovat takovou Petriho síť, která stanoví strategii pořádání večeře a nemá žádné slepé uličky.

14.Sestavte Petriho síť představující konečný automat, který vypočítá dvojkový doplněk binárního čísla.

15.Sestavte Petriho síť představující konečný automat pro určení parity vstupního binárního čísla.

16.Sestavte Petriho síť představující konečný automat, který definuje spouštěč s počítacím vstupem.

17.Vybudujte Petriho síť představující stavový automat, který definuje spouštěč se samostatnými vstupy.

18.Vypracujte algoritmus pro modelování vývojových diagramů s Petriho sítí.

19.PERT-diagram je grafické znázornění vztahů mezi různými fázemi, které tvoří projekt. Projekt je souborem velkého množství činností a činnosti musí být dokončeny, než mohou začít jiné. Dokončení každé úlohy navíc trvá určitou dobu. Díla jsou graficky znázorněna vrcholy a oblouky se používají k zobrazení vztahů příčin a následků mezi nimi. PETR diagram je orientovaný graf s váženými hranami. Úkolem je určit minimální čas na dokončení projektu. Vytvořte algoritmus pro modelování PERT diagramů pomocí Petriho sítí.

20. Vytvořte model založený na Petriho sítích pro simulaci chemických reakcí.

21. Zvažte vytvoření ne stromu, ale grafu dosažitelnosti. Pokud vrchol x generuje následný vrchol z s m[z]=m[y] pro nějaký nehraniční vrchol y, zavede se vhodně označený oblouk od x do y. Popište algoritmus pro konstrukci grafu dosažitelnosti.

22. Ukažte, že algoritmus konstrukce grafu dosažitelnosti konverguje a prozkoumejte jeho vlastnosti porovnáním s algoritmem konstrukce stromu dosažitelnosti.

23. Strom dosažitelnosti nelze použít k řešení problému s dosažitelností, protože informace se ztrácí v souvislosti se zavedením pojmu symbol w. Zavádí se, když dojdeme k označení m‘ a na cestě od kořene k m‘ je označení m takové, že m‘>m. V tomto případě lze získat všechna označení ve tvaru m+n(m‘-m). Prozkoumejte možnost použití výrazu a+bn i namísto w k vyjádření hodnot komponent. Pokud můžete definovat strom dosažitelnosti, ve kterém jsou všechny vektory štítků výrazy, pak je řešení problému dosažitelnosti určeno jednoduše řešením soustavy rovnic.

24. Zobecněte definici konzervace povolením záporných vah.Jaká by byla rozumná interpretace záporné váhy? Je problém určení perzistence Petriho sítě řešitelný, pokud jsou povoleny záporné váhy?

25. Vytvořte algoritmus pro určení ohraničenosti Petriho sítě pomocí maticového přístupu k analýze.

26.Vypracujte algoritmus pro řešení úlohy rovnosti dvou Petriho sítí. Petriho síť C 1 =(P 1 ,T 1 ,I 1 ,O 1) označená m 1 se rovná Petriho síti C 2 =(P 2 ,T 2,I 2 ,O 2) označená m 2, pokud R(C 1 ,mi)= R(C2,m2).

27.Vypracujte algoritmus pro řešení problému podmnožiny dvou Petriho sítí. Petriho síť C 1 =(P 2 ,T 2 ,I 2 ,O 2) označená m 2 je podmnožinou Petriho sítě C 1 =(P 1 ,T 1 ,I 1 ,O 1) označená m 1, pokud R( C 1,m1)N R(C2,m2).

28.Vypracujte algoritmus pro řešení problému dosažitelnosti. V Petriho síti C=(P,T,I,O) se značkou m je značka m‘ dosažitelná z m, pokud m‘ ОR(C,m).

29. Vyviňte algoritmus pro problém dosažitelnosti dílčích značek. Je-li dána podmnožina P‘ Н P a označení m‘, existuje m‘‘ ОR(C,m) takové, že m‘‘(p i)=m‘(p i) pro všechna p i ОP‘?.

30.Vypracujte algoritmus pro problém nulové dosažitelnosti. Platí m‘нR(C,m), kde m‘(p i)=0, platí pro všechna p i нP?

31.Vypracujte algoritmus pro úkol dosažení nuly na jedné pozici. Existuje pro danou pozici p i ОP m‘ОR(C,m) s m‘(p i)=0?

32.Vypracujte algoritmus pro řešení problému aktivity Petriho sítě. Jsou všechny přechody t j ОT aktivní?

33.Vypracujte algoritmus pro řešení problému aktivity jednoho přechodu. Je tento přechod t j ОT aktivní?

34. Petriho síť se nazývá reverzibilní, jestliže pro každý přechod t j ОT existuje přechod t k ОT takový, že

#(pi,I(t j))=#(pi,O(t k)), #(pi,O(t j))=#(pi,I(t k)),

ty. pro každý přechod existuje jiný přechod s reverzními vstupy a výstupy. Vyvinout algoritmus pro řešení problému dosažitelnosti pro reverzibilní Petriho sítě.

35. Vytvořte algoritmus pro řešení problému rovnosti pro reverzibilní Petriho sítě.

36. Úkol kuřáků. Každý ze tří kuřáků nepřetržitě vyrábí cigaretu a kouří ji. K výrobě cigarety potřebujete tabák, papír a zápalky. Jeden z kuřáků má vždy papír, druhý má vždy zápalky, třetí má vždy tabák. Agent má nekonečné zásoby papíru, zápalek a tabáku. Agent položí dvě součásti na stůl. Kuřák s třetí chybějící ingrediencí si může vyrobit a vykouřit cigaretu, což signalizuje agentovi. Agent poté umístí další dvě ze tří složek a cyklus se opakuje. Navrhněte aktivní Petriho síť, která modeluje problém kuřáků.

37. Automat Petriho síť je Petriho síť, ve které může mít každý přechod právě jeden výstup a jeden vstup, tzn. pro všechna tj ОT½I(tj)i=1 a ½O(tj)i=1. Vytvořte algoritmus pro konstrukci konečného automatu, který je ekvivalentní danému automatu Petriho síti.

38. Označený graf je Petriho síť, ve které je každá pozice vstupem právě pro jeden přechod a výstupem právě jednoho přechodu, tzn. pro každý přechod p i ОP ½I(pi)1=1 a ½O(p i)1=1. Vyvinout algoritmus pro řešení problému dosažitelnosti pro označené grafy.

39. Uvažujme třídu Petriho sítí, které jsou jak označené grafy, tak automatické Petriho sítě.

40.Vybudujte Petriho síť, která simuluje systémy popsané v příloze 8. Popište události, které se v systému vyskytují, a podmínky, které systém popisují. Postavte dosažitelný strom pro postavenou Petriho síť. Popište stavy, ve kterých se systém může nacházet.