Ekvivalentní rovnice. Věty o ekvivalenci pro rovnice
Umožnění přechodu z řešené rovnice k tzv ekvivalentní rovnice A důsledkové rovnice, jejichž řešeními lze určit řešení původní rovnice. V tomto článku podrobně rozebereme, které rovnice se nazývají ekvivalentní a které se nazývají důsledkové rovnice, uvedeme odpovídající definice, uvedeme vysvětlující příklady a vysvětlíme, jak najít kořeny rovnice ze známých kořenů ekvivalentní rovnice a rovnice. důsledková rovnice.
Ekvivalentní rovnice, definice, příklady
Uveďme definici ekvivalentních rovnic.
Definice
Ekvivalentní rovnice jsou rovnice, které mají stejné kořeny nebo žádné kořeny.
Významově podobné, ale mírně odlišné definice jsou uvedeny v různých učebnicích matematiky, např.
Definice
Nazývají se dvě rovnice f(x)=g(x) a r(x)=s(x). ekvivalent, pokud mají stejné kořeny (nebo zejména pokud obě rovnice nemají kořeny).
Definice
Rovnice, které mají stejné kořeny, se nazývají ekvivalentní rovnice. Rovnice, které nemají kořeny, jsou také považovány za ekvivalentní.
Stejnými kořeny se rozumí následující: pokud je nějaké číslo kořenem jedné z ekvivalentních rovnic, pak je také kořenem kterékoli jiné z těchto rovnic a žádná z ekvivalentních rovnic nemůže mít kořen, který není kořen kterékoli jiné z těchto rovnic.
Uveďme příklady ekvivalentních rovnic. Například tři rovnice 4 x=8, 2 x=4 a x=2 jsou ekvivalentní. Ve skutečnosti má každý z nich jedinečný kořen 2, takže jsou z definice ekvivalentní. Jiný příklad: dvě rovnice x 0=0 a 2+x=x+2 jsou ekvivalentní, množiny jejich řešení jsou stejné: kořenem první a druhé z nich je libovolné číslo. Dvě rovnice x=x+5 a x 4 =−1 jsou také příkladem ekvivalentních rovnic, obě nemají reálná řešení.
Pro dokreslení obrázku stojí za to uvést příklady neekvivalentních rovnic. Například rovnice x=2 a x 2 =4 nejsou ekvivalentní, protože druhá rovnice má kořen −2, který není kořenem rovnice první. Rovnice a také nejsou ekvivalentní, protože kořeny druhé rovnice jsou jakákoli čísla a číslo nula není kořenem první rovnice.
Znějící definice ekvivalentních rovnic platí jak pro rovnice s jednou proměnnou, tak pro rovnice s velkým počtem proměnných. Nicméně pro rovnice se dvěma, třemi atd. proměnných, slovo „kořeny“ v definici by mělo být nahrazeno slovem „řešení“. Tak,
Definice
Ekvivalentní rovnice jsou rovnice, které mají stejná řešení, nebo je nemají.
Ukažme si příklad ekvivalentních rovnic s několika proměnnými. x 2 +y 2 +z 2 =0 a 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - zde je příklad ekvivalentních rovnic se třemi proměnnými x, y a z, obě mají jedinečné řešení (0, 0 , 0). Ale rovnice se dvěma proměnnými x + y=5 a x y=1 nejsou ekvivalentní, protože například dvojice hodnot x=2, y=3 je řešením první rovnice (při dosazení těchto hodnot do první rovnice dostaneme správnou rovnost 2+3=5 ), ale není řešením druhé (při dosazení těchto hodnot do druhé rovnice dostaneme chybnou rovnost 2 3=1 ).
Důsledkové rovnice
Zde jsou definice následných rovnic ze školních učebnic:
Definice
Pokud je každý kořen rovnice f(x)=g(x) zároveň kořenem rovnice p(x)=h(x) , pak se nazývá rovnice p(x)=h(x) následek rovnice f(x)=g(x) .
Definice
Pokud jsou všechny kořeny první rovnice kořeny druhé rovnice, nazývá se druhá rovnice následek první rovnice.
Uveďme několik příkladů důsledkových rovnic. Rovnice x 2 =3 2 je důsledkem rovnice x−3=0 . Druhá rovnice má totiž jediný kořen x=3, tento kořen je také kořenem rovnice x 2 =3 2, proto je podle definice rovnice x 2 =3 2 důsledkem rovnice x−3= 0 Jiný příklad: rovnice (x−2) (x−3) (x−4)=0 je důsledkem rovnice 
, protože všechny kořeny druhé rovnice (jsou dva, to jsou 2 a 3 ), jsou samozřejmě kořeny první rovnice.
Z definice důsledkové rovnice vyplývá, že absolutně každá rovnice je důsledkem každé rovnice, která nemá kořeny.
Za zmínku stojí několik poměrně zřejmých důsledků z definice ekvivalentních rovnic a definice důsledkové rovnice:
- Pokud jsou dvě rovnice ekvivalentní, pak je každá důsledkem druhé.
- Pokud je každá ze dvou rovnic důsledkem druhé, pak jsou tyto rovnice ekvivalentní.
- Dvě rovnice jsou ekvivalentní právě tehdy, když každá z nich je důsledkem druhé.
1. Dva rovnocenní hráči hrají hru, ve které jsou remízy vyloučeny. Jaká je pravděpodobnost, že první hráč vyhraje: a) jedna hra ze dvou? b) dva ze čtyř? c) tři ze šesti?
Odpovědět: A); b) ; PROTI)
3. Řez AB oddělené tečkou S v poměru 2:1. Na tento segment jsou náhodně hozeny čtyři body. Najděte pravděpodobnost, že dva z nich jsou vlevo od bodu C a dva vpravo.
Odpovědět:
4. Najděte pravděpodobnost, že událost A nastane přesně 70krát ve 243 pokusech, pokud je pravděpodobnost výskytu této události v každém pokusu 0,25.
Odpovědět: .
5. Pravděpodobnost mít chlapce je 0,515. Najděte pravděpodobnost, že mezi 100 novorozenců budou rovnoměrně rozděleni chlapci a dívky.
Odpovědět: 0,0782
6. Prodejna obdržela 500 lahví ve skleněných obalech. Pravděpodobnost, že se některá z lahví během přepravy rozbije, je 0,003. Najděte pravděpodobnost, že obchod obdrží rozbité lahve: a) právě dvě; b) méně než dva; c) alespoň dva; d) alespoň jeden.
Odpovědět: a) 0,22; b) 0,20; c) 0,80; d) 0,95
7. Automobilový závod vyrábí 80 % automobilů bez výrazných závad. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 600 vozy, které přišly z továrny na automobilovou burzu, bude alespoň 500 vozů bez výraznějších závad?
Odpovědět: 0,02.
8. Kolikrát si musíte hodit mincí, abyste s pravděpodobností 0,95 mohli očekávat, že se relativní četnost erbu bude lišit od pravděpodobnosti R\u003d 0,5 vzhledu erbu jedním hodem mincí maximálně o 0,02?
Odpověď: n ≥ 2401.
9. Pravděpodobnost události vyskytující se v každé ze 100 nezávislých událostí je konstantní a rovná se p= 0,8. Najděte pravděpodobnost, že událost nastane: a) nejméně 75krát a nejvýše 90krát; b) alespoň 75krát; c) ne více než 74krát.
Odpovědět: a B C).
10. Pravděpodobnost výskytu události v každém z nezávislých pokusů je 0,2. Zjistěte, jakou odchylku relativní četnosti výskytu události od její pravděpodobnosti lze očekávat s pravděpodobností 0,9128 na 5000 pokusů.
Odpovědět:
11. Kolikrát je třeba hodit mincí, aby se s pravděpodobností 0,6 dalo očekávat, že odchylka relativní četnosti výskytu erbu od pravděpodobnosti p=0,5 nebude v absolutní hodnotě větší než 0,01.
Odpověď: n = 1764.
12. Pravděpodobnost výskytu události v každém z 10 000 nezávislých studií je 0,75. Najděte pravděpodobnost, že se relativní četnost výskytu události odchyluje od její pravděpodobnosti v absolutní hodnotě nejvýše o 0,01.
Odpovědět: .
13. Pravděpodobnost výskytu události v každém z nezávislých pokusů je 0,5. Najděte počet pokusů n, při kterém lze s pravděpodobností 0,7698 očekávat, že relativní četnost výskytu události se od její pravděpodobnosti v absolutní hodnotě odchyluje nejvýše o 0,02.
Oddíl 2. Logická ekvivalence vzorců. Normální formy pro vzorce výrokové algebry
Vztah ekvivalence
Pomocí pravdivostních tabulek lze určit, pod kterými sadami pravdivostních hodnot vstupních proměnných bude mít vzorec pravdivou nebo nepravdivou hodnotu (stejně jako příkaz, který má odpovídající logickou strukturu), které vzorce budou tautologiemi. nebo rozpory, a také zjistit, zda dva dané formule ekvivalent.
V logice se říká, že dvě věty jsou ekvivalentní, pokud jsou obě pravdivé nebo obě nepravdivé. Slovo „současně“ v této frázi je nejednoznačné. Takže pro věty „Zítra bude úterý“ a „Včera byla neděle“ má toto slovo doslovný význam: v pondělí jsou obě pravdivé a po zbytek týdne jsou obě nepravdivé. Pro rovnice" x = 2" A " 2x = 4» "současně" znamená "se stejnými hodnotami proměnné". Předpovědi „Zítra bude pršet“ a „Není pravda, že zítra nebude pršet“ se současně potvrdí (ukáže se jako pravdivá) nebo nepotvrdí (ukáže se jako nepravdivá). V podstatě se jedná o stejnou předpověď, vyjádřenou ve dvou různých formách, které lze znázornit pomocí vzorců X A . Tyto vzorce mají současně hodnotu "true" nebo hodnotu "false". Pro kontrolu stačí vytvořit pravdivostní tabulku:
| X | ||
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
Vidíme, že pravdivostní hodnoty v prvním a posledním sloupci jsou stejné. Takové vzorce, stejně jako jim odpovídající věty, jsou přirozeně považovány za ekvivalentní.
Formule F 1 a F 2 se nazývají ekvivalentní, pokud je jejich ekvivalentem tautologie.
Ekvivalence dvou vzorců se zapisuje takto: (čti: vzorec F1 je ekvivalentní vzorci F2).
Existují tři způsoby, jak ověřit, zda jsou formule ekvivalentní: 1) vytvořte jejich ekvivalent a použijte pravdivostní tabulku ke kontrole, zda se jedná o tautologii; 2) pro každý vzorec vytvořte pravdivostní tabulku a porovnejte konečné výsledky; pokud v celkových sloupcích pro stejné sady hodnot proměnných pravdivostní hodnoty obou vzorců budou stejné, pak jsou vzorce ekvivalentní; 3) pomocí ekvivalentních transformací.
Příklad 2.1: Zjistěte, zda jsou vzorce ekvivalentní: 1) , ; 2), .
1) K určení ekvivalence použijeme první metodu, tedy zjistíme, zda je ekvivalence formulí tautologií.
Udělejme ekvivalenci vzorců: . Výsledný vzorec obsahuje dvě různé proměnné ( A A V) a 6 operací: 1) ; 2); 3); 4); 5); 6). To znamená, že odpovídající pravdivostní tabulka bude mít 5 řádků a 8 sloupců:
| A | V | ||||||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Z posledního sloupce pravdivostní tabulky je vidět, že sestavená ekvivalence je tautologie, a tedy .
2) Abychom zjistili, zda jsou vzorce a ekvivalentní, použijeme druhý způsob, to znamená, že pro každý ze vzorců sestavíme pravdivostní tabulku a porovnáme výsledné sloupce. ( Komentář. Aby bylo možné efektivně používat druhou metodu, je nutné, aby všechny sestavené pravdivostní tabulky začínaly stejným způsobem, tj. sady hodnot proměnných byly v příslušných řádcích stejné .)
Vzorec má dvě různé proměnné a 2 operace, což znamená, že odpovídající pravdivostní tabulka má 5 řádků a 4 sloupce:
| A | V | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
Vzorec má dvě různé proměnné a 3 operace, což znamená, že odpovídající pravdivostní tabulka má 5 řádků a 5 sloupců:
| A | V | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Porovnáním konečných sloupců sestavených pravdivostních tabulek (protože tabulky začínají stejně, můžeme sady hodnot proměnných ignorovat), vidíme, že se neshodují, a proto vzorce nejsou ekvivalentní ().
Výraz není vzorec (protože symbol " " neodkazuje na žádnou logickou operaci). Vyjadřuje se přístup mezi vzorci (stejně jako rovnost mezi čísly, rovnoběžnost mezi řádky atd.).
Platí věta o vlastnostech vztahu ekvivalence:
Věta 2.1. Vztah ekvivalence mezi formulemi výrokové algebry:
1) reflexivně: ;
2) symetricky: if , then ;
3) tranzitivně: if a , then .
Zákony logiky
Ekvivalence formulí výrokové logiky se často nazývají zákony logiky. Uvádíme ty nejdůležitější z nich:
1. - zákon identity.
2. - zákon vyloučeného středu
3. - zákon rozporu
4. - disjunkce s nulou
5. - konjunkce s nulou
6. - disjunkce s jednotkou
7. - spojení s jednotkou
8. - zákon dvojí negace
9. - komutativnost spojky
10. – komutativnost disjunkce
11. - asociativita spojky
12. - disjunkční asociativita
13. – distributivita spojky
14. – distributivní disjunkce
15. - zákony idempotence
16. 
; 
- absorpční zákony
17. 
; 
- De Morganovy zákony
18. 
je zákon vyjadřující implikaci prostřednictvím disjunkce
19. 
- zákon kontrapozice
20. - zákony vyjadřující ekvivalenci jinými logickými operacemi
Logické zákony se používají ke zjednodušení složitých vzorců a k prokázání, že vzorce jsou stejně pravdivé nebo nepravdivé.
Ekvivalentní transformace. Zjednodušení vzorců
Pokud do ekvivalentních vzorců všude dosadíme stejný vzorec místo nějaké proměnné, pak se nově získané vzorce také ukážou jako ekvivalentní v souladu se substitučním pravidlem. Tímto způsobem lze z každé ekvivalence získat libovolný počet nových ekvivalencí.
Příklad 1: Pokud v De Morganově zákoně místo toho X nahradit , místo toho Y náhradní , pak dostaneme novou ekvivalenci . Platnost získané ekvivalence lze snadno ověřit pomocí pravdivostní tabulky.
Pokud nějaký vzorec, který je součástí vzorce F, být nahrazen vzorcem ekvivalentním vzorci , pak bude výsledný vzorec ekvivalentní vzorci F.
Potom pro vzorec z příkladu 2 můžeme provést následující substituce:
- zákon dvojí negace;
- De Morganův zákon;
- zákon dvojí negace;
– zákon asociace;
je zákon idempotence.
Vlastností tranzitivity vztahu ekvivalence to můžeme tvrdit 
.
Nahrazení jednoho vzorce jiným, jemu ekvivalentním, se nazývá ekvivalentní transformace vzorce.
Pod zjednodušení formulemi, které neobsahují znaménka implikace a ekvivalence, se rozumí ekvivalentní transformace, která vede k formuli, která neobsahuje negace neelementárních formulí (zejména dvojité negace) nebo obsahuje celkově menší počet konjunkčních a disjunkčních znamének než původní formule. jeden.
Příklad 2.2: Zjednodušme vzorec 
.
V prvním kroku jsme použili zákon, který transformuje implikaci na disjunkci. Ve druhém kroku bylo aplikováno komutativní právo. Ve třetím kroku byl aplikován zákon idempotence. Na čtvrtém - De Morganův zákon. A za páté - zákon dvojité negace.
Poznámka 1. Je-li určitá formule tautologií, pak každá formule jí ekvivalentní je také tautologií.
K prokázání shodné pravdivosti určitých vzorců lze tedy použít i ekvivalentní transformace. K tomu musí být tento vzorec redukován ekvivalentními transformacemi na jeden ze vzorců, které jsou tautologiemi.
Poznámka 2. Některé tautologie a ekvivalence se spojují do dvojic (zákon rozporu a zákon alternativní, komutativní, asociativní atd.). V těchto korespondencích tkz princip duality .
Volají se dva vzorce, které neobsahují znaky implikace a ekvivalence dvojí , lze-li každý z nich získat od druhého nahrazením znamének za , resp.
Princip duality říká následující:
Věta 2.2: Pokud jsou dva vzorce, které neobsahují znaky implikace a ekvivalence, ekvivalentní, pak jsou ekvivalentní i jejich duální vzorce.
normální formy
normální forma je syntakticky jednoznačný způsob zápisu vzorce, který implementuje danou funkci.
Pomocí známých logických zákonů lze libovolnou formuli převést na ekvivalentní formuli tvaru 
, kde a každý je buď proměnná, nebo negace proměnné, nebo spojení proměnných nebo jejich negací. Jinými slovy, jakýkoli vzorec může být redukován na ekvivalentní vzorec jednoduché standardní formy, který bude disjunkcí prvků, z nichž každý je konjunkcí samostatných různých logických proměnných, buď se znaménkem negace, nebo bez něj.
Příklad 2.3: Ve velkých vzorcích nebo s vícenásobnými transformacemi je obvyklé vynechávat znaménko spojky (analogicky s násobilkou): . Vidíme, že po provedených transformacích je vzorec disjunkcí tří spojek.
Tato forma se nazývá disjunktivní normální forma (DNF). Nazývá se jeden prvek DNF elementární konjunkce nebo základní jednotka.
Podobně lze jakýkoli vzorec redukovat na ekvivalentní vzorec, který bude konjunkcí prvků, z nichž každý bude disjunkcí logických proměnných se znaménkem negace nebo bez něj. To znamená, že každý vzorec může být redukován na ekvivalentní vzorec formuláře 
, kde a every je buď proměnná, nebo negace proměnné, nebo disjunkce proměnných nebo jejich negace. Tato forma se nazývá konjunktivní normální forma
(KNF).
Příklad 2.4:
Nazývá se jediný prvek CNF elementární disjunkce nebo prvek nuly.
Je zřejmé, že každý vzorec má nekonečně mnoho DNF a CNF.
Příklad 2.5: Pojďme najít několik DNF pro vzorec 
.
Dokonalé normální formy
SDNF (perfect DNF) je taková DNF, ve které každá elementární spojka obsahuje všechny elementární výroky, případně jejich negace jednou, elementární spojky se neopakují.
SKNF (perfect CNF) je taková CNF, ve které každá elementární disjunkce obsahuje všechny elementární výroky nebo jejich negace jednou, elementární disjunkce se neopakují.
Příklad 2.6: 1) - SDNF
2) 1 - SKNF
Zformulujme charakteristické rysy SDNF (SKNF).
1) Všechny členy disjunkce (konjunkce) jsou různé;
2) Všechny členy každé spojky (disjunkce) jsou různé;
3) Žádná spojka (disjunkce) neobsahuje proměnnou i její negaci;
4) Každá spojka (disjunkce) obsahuje všechny proměnné obsažené v původním vzorci.
Jak vidíme, vlastnosti (ale ne formy!) splňují definici duality, takže stačí pochopit jednu formu, abychom se naučili, jak získat obě.
Je snadné získat SDNF (SKNF) z DNF (CNF) pomocí ekvivalentních transformací. Protože pravidla pro získání dokonalých normálních forem jsou také duální, podrobně rozebereme pravidlo pro získání SMNF a zformulujeme pravidlo pro získání SKNF nezávisle pomocí definice duality.
Obecné pravidlo pro redukci vzorce na SDNF pomocí ekvivalentních transformací je:
Aby bylo možné dát vzorec F, který není identicky nepravdivý, k SDNF, stačí:
1) přineste to do nějakého DNF;
2) odstranit členy disjunkce obsahující proměnnou spolu s její negací (pokud existuje);
3) ze stejných členů disjunkce (pokud existují), odstraňte všechny kromě jednoho;
4) odstranit všechny identické členy každé spojky kromě jednoho (pokud existují);
5) pokud jakákoli spojka neobsahuje proměnnou z proměnných obsažených v původním vzorci, přidejte k této spojce termín a použijte odpovídající distributivní zákon;
6) pokud výsledná disjunkce obsahuje stejné termíny, použijte předpis 3.
Výsledný vzorec je SDNF tohoto vzorce.
Příklad 2.7: Najdeme SDNF a SKNF pro vzorec 
.
Protože DNF pro tento vzorec již byl nalezen (viz příklad 2.5), začneme získáním SDNF:
2) ve výsledné disjunkci nejsou žádné proměnné spolu s jejich negacemi;
3) v disjunkci nejsou identické členy;
4) v žádné konjunkci nejsou identické proměnné;
5) první elementární spojka obsahuje všechny proměnné obsažené v původním vzorci a druhá elementární spojka postrádá proměnnou z, tak k tomu přidejme termín a použijme distributivní zákon: ;
6) je snadné vidět, že se v disjunkci objevily stejné termíny, takže jeden odstraníme (předpis 3);
3) odstraňte jednu z identických disjunkcí: 
;
4) ve zbývajících disjunkcích nejsou identické termíny;
5) žádná z elementárních disjunkcí neobsahuje všechny proměnné obsažené v původním vzorci, proto každou z nich doplníme spojkou : ;
6) ve výsledné konjunkci nejsou identické disjunkce, takže nalezený konjunktivní tvar je dokonalý.
Protože v souhrnu SKNF a SDNF vzorce F 8 členů, pak jsou s největší pravděpodobností nalezeni správně.
Každý splnitelný (vyvratitelný) vzorec má jeden SDNF a jeden SKNF. Tautologie nemá SKNF a rozpor nemá SDNF.
Definice. Dva vzorce algebry logiky A a B volal ekvivalent pokud mají stejné logické hodnoty na jakékoli sadě hodnot elementárních výroků obsažených ve vzorcích.
Ekvivalenci vzorců budeme označovat znaménkem a zápisem A V znamená, že vzorce A a B jsou ekvivalentní.
Například následující vzorce jsou ekvivalentní:
Formule A se nazývá stejně pravdivé (nebo tautologie), pokud má hodnotu 1 pro všechny hodnoty proměnných v něm obsažených.
Například vzorce jsou také pravdivé , .
Vzorec A volal stejně nepravdivé, pokud má hodnotu 0 pro všechny hodnoty proměnných v něm obsažených.
Například vzorec je stejně nepravdivý.
Je jasné, že vztah ekvivalence je reflexivní, symetrický a tranzitivní.
Mezi pojmy ekvivalence a ekvivalence existuje následující souvislost: pokud vzorce A A V jsou ekvivalentní, pak vzorec A V- tautologie a naopak, je-li formule A V- tautologie, pak formule A A V jsou ekvivalentní.
Nejdůležitější ekvivalence algebry logiky lze rozdělit do tří skupin.
1. Základní ekvivalence:
Dokažme jeden z absorpčních zákonů. Zvažte vzorec . Pokud tento vzorec A= 1 pak, samozřejmě, a zatímco spojení dvou pravdivých tvrzení. Pusťme se nyní do vzorce A x = 0. Ale pak podle definice spojkové operace bude spojka nepravdivá a spojka . Takže ve všech případech hodnoty vzorce A odpovídat hodnotám A, a proto A X.
2. Ekvivalence vyjadřující některé logické operace z hlediska jiných:
Je jasné, že ekvivalence 5 a 6 získáme z ekvivalence 3 a 4, pokud vezmeme negace z obou částí druhé a použijeme zákon odstranění dvojitých negací. První čtyři ekvivalence tedy potřebují důkaz. Dokažme dva z nich: první a třetí.
Protože pro stejné logické hodnoty X A na jsou pravdivé formule , , , pak bude i spojka pravdivá 
.
Proto v tomto případě mají obě části ekvivalence stejné skutečné hodnoty.
Nechte teď X A na mají různé logické hodnoty. Pak ekvivalence a jedna ze dvou implikací nebo budou nepravdivé. Ve stejnou dobu
bude nepravdivé a spojka . V tomto případě tedy mají obě části ekvivalence stejné logické hodnoty.
Zvažte ekvivalenci 3. Pokud X A na přijmout skutečné hodnoty ve stejnou dobu, pak bude spojení pravdivé x&y a falešná negace konjunkce. Přitom obojí a a budou nepravdivé, a proto bude nepravdivá i disjunkce .
Uveďme nyní alespoň jednu z proměnných X nebo na má hodnotu false. Pak dojde k falešné konjunkci x&y a jeho skutečné popření. Zároveň bude pravdivá negace alespoň jedné z proměnných, a proto bude pravdivá i disjunkce .
Proto ve všech případech nabývají obě části ekvivalence 3 stejné logické hodnoty.
Ekvivalence 2 a 4 jsou dokázány obdobně.
Z ekvivalencí této skupiny vyplývá, že libovolnou formuli algebry logiky lze nahradit formuli jí ekvivalentní, obsahující pouze dvě logické operace: konjunkci a negaci nebo disjunkci a negaci.
Další vyloučení logických operací není možné. Pokud tedy použijeme pouze spojku, pak již takový vzorec jako negace X nelze vyjádřit pomocí spojkového operátoru.
Existují však operace, kterými lze vyjádřit kteroukoli z pěti logických operací, které používáme. Takovou operací je například operace „Schaefferova mrtvice“. Tato operace je symbolizována x|y a je určeno následující pravdivostní tabulkou:
| X | y | x|y |
Je zřejmé, že existují ekvivalence:
2) x&y (x|y)|(x|y).
Z těchto dvou ekvivalencí vyplývá, že jakýkoli vzorec algebry logiky může být nahrazen ekvivalentním vzorcem obsahujícím pouze operaci „Schaefferův tah“.
Všimněte si, že .
Podobně lze zavést provoz 
.
3. Ekvivalence vyjadřující základní zákony algebry logiky:
1. x&y y&x - komutativnost konjunkce.
2. X na y X- komutativnost disjunkce.
3. x& (y&z) (x & y) & z- Asociativita konjunkce.
4. X(yz ) (X y) z je asociativita disjunkce.
5. x& (y z) (x&y) (x&z)- distributivita konjunkce vzhledem k disjunkci.
6. X (y&z) (X y)& (x z ) - distributivita disjunkce vzhledem ke konjunkci.
Dokažme poslední z uvedených zákonů. Li X= 1, pak budou vzorce pravdivé X (y& z), X y, x z . Pak ale bude pravdivá i konjunkce (X y)& (x z ). Tedy při X= 1 obě části ekvivalence 6 mají stejné logické hodnoty (pravda).
Nechte teď x = 0. Potom X (y&z) y&z, x na na A X z z , a tedy konjunkce X (y&z) y&z. Zde jsou tedy obě části ekvivalence 6 ekvivalentní stejnému vzorci y&z, a proto mají stejné booleovské hodnoty.
§ 5. Ekvivalentní transformace vzorců
Použitím ekvivalence skupin I, II a III je možné nahradit část vzorce nebo vzorce ekvivalentním vzorcem. Takové transformace vzorců se nazývají ekvivalent.
Ekvivalentní transformace se používají k dokazování ekvivalencí, k uvedení vzorců do daného tvaru, ke zjednodušení vzorců.
Vzorec A je považován za jednodušší než ekvivalentní vzorec V, pokud obsahuje méně písmen, méně logických operací. V tomto případě jsou operace ekvivalence a implikace obvykle nahrazeny operacemi disjunkce a konjunkce a negace je označována jako elementární propozice. Podívejme se na několik příkladů.
1. Dokažte ekvivalenci 
.
Pomocí ekvivalencí skupin I, II a III
2.
Zjednodušte vzorec 
.
Napišme řetězec ekvivalentních vzorců:
3. Dokažte shodnou pravdivost vzorce
Napišme řetězec ekvivalentních vzorců:
Booleova algebra
Ekvivalence skupiny III říkají, že algebra logiky má komutativní a asociativní zákony s ohledem na operace konjunkce a disjunkce a distributivní zákon konjunkce s ohledem na disjunkci; tytéž zákony platí také v algebře čísel. Proto je možné přes vzorce algebry logiky provádět stejné transformace, jaké se provádějí v algebře čísel (otevírací závorky, závorky, závorky společného činitele).
Ale v algebře logiky jsou možné i jiné transformace založené na použití ekvivalence:
Tato funkce nám umožňuje dospět k dalekosáhlým zobecněním.
Zvažte neprázdnou sadu M prvky jakékoli povahy ( x,y,z,...} , který definuje vztah "=" (rovná se) a tři operace: "+" (sčítání), "" (násobení) a "-" (negace), s výhradou následujících axiomů:
Komutativní zákony:
1a. x + y = y + x, 1b. X y = y X.
Asociační zákony:
2a. x + (y + z)= (x + y) + z, 2b. X (na z) = (x y) z.
Distribuční zákony:
3a. (x + y) z = (x z ) + (y G) 3b. (x y) + z = (x+z) (y + z).
Zákony idempotence:
4a. x + x = x, 4b. X x = x.
Zákon dvojí negace:
De Morganovy zákony:
6a. , 6b . .
Absorpční zákony:
7a. x + (y X)= X, 7b. X (y + x) = x.
Takové množství M volal booleovská algebra.
Pokud pod hlavními prvky x, y, z, ... mínit výroky pod operacemi "+", "", "-" disjunkce, konjunkce, negace a považovat rovnítko za znak ekvivalence, pak, jak vyplývá z ekvivalence skupin I, II a III , jsou splněny všechny axiomy Booleovy algebry.
V těch případech, kdy je pro určitý systém axiomů možné vybrat konkrétní objekty a konkrétní vztahy mezi nimi tak, aby byly splněny všechny axiomy, říkáme, že výklad(nebo Modelka) tento systém axiomů.
Algebra logiky je tedy interpretací Booleovy algebry. Booleova algebra má také jiné výklady. Například pokud pod hlavními prvky x, y, z, ... sady M střední množiny, pod operacemi "+", "", "-" sjednocení, průnik, doplněk a pod rovnítkem - znakem rovnosti množin, se dostáváme k algebře množin. Je snadné ověřit, že v algebře množin jsou splněny všechny axiomy Booleovy algebry.
Mezi různými interpretacemi Booleovy algebry existují interpretace technické povahy. O jednom z nich bude řeč níže. Jak bude ukázáno, hraje důležitou roli v moderní automatizaci.
Funkce algebry logiky
Jak již bylo uvedeno, význam vzorce algebry logiky zcela závisí na významech výroků obsažených v tomto vzorci. Proto je vzorec algebry logiky funkcí elementárních výroků, které jsou v něm obsaženy.
Například vzorec je funkce
tři proměnné f(x,y,z). Charakteristickým rysem této funkce je skutečnost, že její argumenty nabývají jedné ze dvou hodnot: nula nebo jedna, zatímco funkce také nabývá jedné ze dvou hodnot: nula nebo jedna.
Definice. Logická funkce algebry ha proměnné (příp Booleovská funkce) Je volána funkce n proměnných, kde každá proměnná nabývá dvou hodnot: 0 a 1 a zároveň funkce může nabývat pouze jedné ze dvou hodnot: 0 nebo 1.
Je jasné, že shodně pravdivé a shodně nepravdivé vzorce algebry logiky jsou konstantní funkce a dva ekvivalentní vzorce vyjadřují stejnou funkci.
Pojďme zjistit, jaký je počet funkcí n proměnných. Je zřejmé, že každou funkci algebry logiky (stejně jako vzorec algebry logiky) lze definovat pomocí pravdivostní tabulky, která bude obsahovat 2 n řádků. Každá funkce n proměnných tedy nabývá 2n hodnot, skládajících se z nul a jedniček. Funkce n proměnných je tedy zcela určena množinou hodnot nul a jedniček délky 2 n. (Celkový počet množin složených z nul a jedniček délky 2 n je roven. Počet různé funkce logické algebry P proměnné se rovná .
Konkrétně existují čtyři různé funkce jedné proměnné a šestnáct různých funkcí dvou proměnných. Zapišme si všechny funkce algebry logické jedničky A dvě proměnné.
Uvažujme pravdivostní tabulku pro různé funkce jedné proměnné. Evidentně to vypadá takto:
| X | f 1 (x) | f 2 (x) | f 3 (x) | f 3 (x) |
| 1 | ||||
Z této tabulky vyplývá, že dvě funkce jedné proměnné budou konstantní: f 1 (x)= 1, f 4 (x) = 0 a f 2 (x) X, A f 3 (x) .
Pravdivostní tabulka pro všechny možné funkce dvou proměnných je:
f i = f i (x, y)
| X | y | f1 | f2 | f 3 | f4 | f5 | f6 | f7 | f 8 | f9 | f 10 | f 11 | f 12 | f 13 | f 14 | f 15 | f 16 |
Je jasné, že analytické výrazy pro tyto funkce lze zapsat následovně.
Definice. Dvě rovnice f 1 (x) = g 1 (x) a f 2 (x) = g 2 (x) se nazývají ekvivalentní, pokud jsou množiny jejich kořenů stejné.
Například rovnice x 2 - 9 = 0 a (2 X + 6)(X- 3) = 0 jsou ekvivalentní, protože oba mají jako kořeny čísla 3 a -3. Rovnice (3 X + 1)-2 = x 2- + 1 a x 2+ 1 = 0, protože oba nemají kořeny, tzn. soubory jejich kořenů jsou stejné.
Definice. Nahrazení rovnice ekvivalentní rovnicí se nazývá ekvivalentní transformace.
Pojďme nyní zjistit, jaké transformace umožňují získat ekvivalentní rovnice.
Věta 1. Nechte rovnici f(x) a g(x) uvedené na sadě a h(X) je výraz definovaný ve stejné množině. Pak rovnice f(x) = g(x)(1) a f(x) + h(X) =g(x) + h(X) (2) jsou ekvivalentní.
Důkaz. Označit podle T 1 - množina řešení rovnice (1), a přes T 2 - sada řešení rovnice (2). Pak rovnice (1) a (2) budou ekvivalentní, jestliže T 1 \u003d T 2. Abychom to ověřili, je nutné ukázat, že jakýkoli kořen z T 1 je kořen rovnice (2) a naopak libovolný kořen z T 2 je kořen rovnice (1).
Nechte číslo A je kořen rovnice (1). Pak A? T 1 a při dosazení do rovnice (1) ji změní na skutečnou číselnou rovnost f(a) = g(a) a výraz h(x) převede na číselný výraz h(A), což na place dává smysl X. Přidejte k oběma stranám skutečné rovnosti f(a) = g(a)číselný výraz h(A). Podle vlastností skutečných číselných rovností získáme skutečnou číselnou rovnost f(a) + h(A) =g(a) + h(A), což naznačuje, že A je kořen rovnice (2).
Bylo tedy prokázáno, že každý kořen rovnice (1) je také kořenem rovnice (2), tzn. T 1 S T2.
Nechte teď A - kořen rovnice (2). Pak A? T2 a při dosazení do rovnice (2) ji změní na skutečnou číselnou rovnost f(a) + h(A) =g(a) + h(A). Přidejme k oběma částem této rovnosti číselný výraz - h(A), dostaneme skutečnou číselnou rovnost f(x) = g(x), což znamená, že číslo A - kořen rovnice (1).
Bylo tedy prokázáno, že každý kořen rovnice (2) je také kořenem rovnice (1), tzn. T2 S T1.
Protože T 1 S T 2 A T 2 S T 1 pak definicí rovných množin T 1= T 2, což znamená, že rovnice (1) a (2) jsou ekvivalentní.
Tato věta může být formulována jinak: pokud obě strany rovnice s definičním oborem X přidejte stejný výraz s proměnnou, definovanou na stejné množině, pak dostaneme novou rovnici ekvivalentní dané rovnici.
Z této věty vyplývají důsledky, které se používají při řešení rovnic:
1. Přičteme-li na obě strany rovnice stejné číslo, dostaneme rovnici, která je ekvivalentní dané.
2. Přeneseme-li jakýkoli člen (číselný výraz nebo výraz s proměnnou) z jedné části rovnice do druhé a změníme znaménko členu na opačné, dostaneme rovnici ekvivalentní dané rovnici.
Věta 2. Nechte rovnici f(x) = g(x) nastavit na sadě X A h(x) - výraz, který je definován ve stejné množině a nezmizí pro žádnou hodnotu X z mnoha X. Pak rovnice f(x) = g(x) A f(x) h(X) =g(x) h(X) jsou ekvivalentní.
Důkaz této věty je podobný důkazu věty 1.
Větu 2 lze formulovat různě: pokud obě strany rovnice s definičním oborem X vynásobíme stejným výrazem, který je definován na stejné množině a nezaniká na ní, pak dostaneme novou rovnici ekvivalentní dané dané.
Z této věty vyplývá: pokud se obě části rovnice vynásobí (nebo vydělí) stejným číslem jiným než nula, pak dostaneme rovnici ekvivalentní dané jedničce.
Řešení rovnic s jednou proměnnou
Vyřešte rovnici 1- X/3 = X/6, X ? R a zdůvodníme všechny transformace, které v procesu řešení provedeme.
| Proměny | Odůvodnění konverze |
| 1. Výrazy na levé a pravé straně rovnice přivedeme na společného jmenovatele: (6-2 X)/ 6 = X/6 | Provedl identickou transformaci výrazu na levé straně rovnice. |
| 2. Vypusťte společného jmenovatele: 6-2 X = X | Vynásobili jsme 6 obě části rovnice (Věta 2), dostali jsme rovnici ekvivalentní dané dané. |
| 3. Výraz -2x přeneseme na pravou stranu rovnice s opačným znaménkem: 6 = X+2X. | Použili jsme důsledek z věty 1 a dostali rovnici ekvivalentní předchozí a tedy i dané. |
| 4. Na pravé straně rovnice uvádíme podobné členy: 6 = 3 X. | Provedl identickou transformaci výrazu. |
| 5. Vydělte obě strany rovnice 3: X = 2. | Použili jsme důsledek z věty 2, získali rovnici ekvivalentní předchozí, a tedy této |
Protože všechny transformace, které jsme provedli při řešení této rovnice, byly ekvivalentní, lze tvrdit, že 2 je kořen této rovnice.
Pokud v procesu řešení rovnice nejsou splněny podmínky vět 1 a 2, může dojít ke ztrátě kořenů nebo se mohou objevit cizí kořeny. Proto je důležité při provádění transformací rovnice za účelem získání jednodušší zajistit, aby vedly k rovnici ekvivalentní dané rovnici.
Vezměme si například rovnici x(x - 1) = 2x, x? R. Rozdělme obě části na X, dostaneme rovnici X - 1 = 2, odkud X= 3, tj. tato rovnice má jediný kořen - číslo 3. Ale je to pravda? Je snadné vidět, že pokud v této rovnici místo proměnné X dosaďte 0, změní se na skutečnou číselnou rovnost 0 (0 - 1) = 2 0. A to znamená, že 0 je kořen této rovnice, kterou jsme ztratili při provádění transformací. Pojďme je analyzovat. První věc, kterou jsme udělali, bylo rozdělit obě strany rovnice na X, těch. násobeno výrazem1/ X, ale při X= Oh, to nedává smysl. V důsledku toho jsme nesplnili podmínku věty 2, což vedlo ke ztrátě kořene.
Abychom se ujistili, že množina kořenů této rovnice se skládá ze dvou čísel 0 a 3, uvádíme další řešení. Přesuneme výraz 2 X zprava doleva: x(x- 1) - 2x \u003d 0. Vyjmeme závorky na levé straně rovnice X a dát podobné podmínky: x(x - 3) = 0. Součin dvou faktorů je roven nule právě tehdy, když je alespoň jeden z nich roven nule X= 0 nebo X- 3 = 0. Odtud dostaneme, že kořeny této rovnice jsou 0 a 3.
V počátečním kurzu matematiky je teoretickým základem pro řešení rovnic vztah mezi složkami a výsledky akcí. Například řešení rovnice ( X 9):24 = 3 je odůvodněno následovně. Protože neznámá je v dividendě, k nalezení dividendy musíte vynásobit dělitele kvocientem: X 9 = 24 3, popř X 9 = 72.
Chcete-li najít neznámý faktor, musíte rozdělit produkt známým faktorem: x = 72:9, popř x = 8, kořenem této rovnice je tedy číslo 8.
Cvičení
1 . Určete, které z následujících položek jsou rovnice s jednou proměnnou:
A) ( X-3) 5 = 12 X; d) 3 + (12-7) 5 = 16;
b) ( X-3) 5 = 12; e) ( X-3) y =12X;
V) ( X-3) 17 + 12; E) x 2 - 2x + 5 = 0.
2. Rovnice 2 X 4 + 4X 2 -6 = 0 je dáno na množině přirozených čísel. Vysvětlete, proč je číslo 1 kořenem této rovnice, ale 2 a -1 nejsou její kořeny.
3. V rovnici ( X+ ...)(2X + 5) - (X - 3)(2X+ 1) = 20 jedno číslo je vymazáno a nahrazeno tečkami. Najděte vymazané číslo, pokud víte, že kořenem této rovnice je číslo 2.
4. Formulujte podmínky, za kterých:
a) číslo 5 je kořenem rovnice f(x) = g(x);
b) číslo 7 není kořenem rovnice f(x) = g(x).
5. Určete, které z následujících dvojic rovnic jsou ekvivalentní na množině reálných čísel:
a) 3 + 7 X\u003d -4 a 2 (3 + 7l X) = -8;
6)3 + 7X= -4 a 6 + 7 X = -1;
c) 3 + 7 X= -4 a l X + 2 = 0.
6. Formulujte vlastnosti vztahu ekvivalence rovnic. Které z nich se používají v procesu řešení rovnice?
7. Vyřešte rovnice (všechny jsou uvedeny na množině reálných čísel) a zdůvodněte všechny transformace provedené v procesu jejich zjednodušení:
a) (7 X+4)/2 – X = (3X-5)/2;
b) X –(3X-2)/5 = 3 – (2X-5)/3;
ve 2- X)2-X (X + 1,5) = 4.
8. Student vyřešil rovnici 5 X + 15 = 3 X+ 9 takto: dejte číslo 5 ze závorek na levou stranu a číslo 3 na pravou stranu, dostanete rovnici 5 (x+ 3) = 3(X+ 3) a poté obě části rozdělte do výrazu X+ 3. Dostal jsem rovnost 5 = 3 a usoudil jsem, že tato rovnice nemá kořeny. Má student pravdu?
9. Řešte rovnici 2/(2- X) – ½ = 4/((2- X)X); X? R. Je číslo 2 kořenem této rovnice?
10. Vyřešte rovnice pomocí vztahu mezi komponentami a výsledky akcí:
A) ( X+ 70) 4 = 328; c) (85 X + 765): 170 = 98;
b) 560: ( X+ 9) - 56; G) ( X - 13581):709 = 306.
11. Řešte problémy aritmetickým a algebraickým způsobem:
a) Na první polici je o 16 knih více než na druhé. Pokud z každé police odeberete 3 knihy, bude na první polici jedenapůlkrát více knih než na druhé. Kolik knih je na každé polici?
b) Cyklista ujel celou cestu z kempu na nádraží, rovných 26 km, za 1 hodinu a 10 minut. Prvních 40 minut této doby jel stejnou rychlostí a zbytek - rychlostí o 3 km/h nižší. Najděte rychlost cyklisty v prvním úseku cesty.
