Řešení lineárních rovnic s příklady. Lineární rovnice

Rovnice je rovnost, ve které je neznámý člen - x. Jeho smysl je třeba najít.

Neznámá veličina se nazývá kořen rovnice. Řešení rovnice znamená najít její kořen a k tomu potřebujete znát vlastnosti rovnic. Rovnice pro ročník 5 jsou jednoduché, ale pokud se je naučíte správně řešit, nebudete s nimi mít v budoucnu problémy.

Hlavní vlastnost rovnic

Když změníte obě strany rovnice o stejnou hodnotu, bude to i nadále stejná rovnice se stejným kořenem. Pojďme si vyřešit pár příkladů, abychom toto pravidlo lépe pochopili.

Jak řešit rovnice: Sčítání nebo odečítání

Předpokládejme, že máme rovnici ve tvaru:

a + x = b - zde a a b jsou čísla a x je v rovnici neznámý člen.

Pokud přidáme (nebo odečteme) hodnotu c na obě strany rovnice, nezmění se:

a + x + c = b + c
a + x - c = b - c.

Příklad 1

Použijme tuto vlastnost k vyřešení rovnice:

37 + x = 51

Odečtěte 37 od obou částí:

37 + x-37 = 51-37

dostaneme:

x = 51-37.

Kořen rovnice je x = 14.

Když se pozorně podíváme na poslední rovnici, vidíme, že je stejná jako ta první. Jednoduše jsme přesunuli člen 37 z jedné strany rovnice na druhou a nahradili jsme plus mínusem.

Ukazuje se, že libovolné číslo lze přenést z jedné strany rovnice na druhou s opačným znaménkem.

Příklad 2

37 + x = 37 + 22

Provedeme stejnou akci, přeneseme číslo 37 z levé strany rovnice na pravou:

x = 37 - 37 + 22

Protože 37-37 = 0, jednoduše to snížíme a dostaneme:

x = 22.

Identické členy rovnice se stejným znaménkem, které jsou v různých částech rovnice, lze zrušit (smazat).

Násobení a dělení rovnic

Obě strany rovnosti lze také vynásobit nebo vydělit stejným číslem:

Pokud se rovnost a = b vydělí nebo vynásobí c, nezmění se:

a / c = b / c,
ac = bc.

Příklad 3

5x = 20

Vydělte obě strany rovnice 5:

5x / 5 = 20/5.

Protože 5/5 = 1, zrušíme tento faktor a dělitele na levé straně rovnice a dostaneme:

x = 20/5, x = 4

Příklad 4

5x = 5a

Pokud jsou obě strany rovnice dělené 5, dostaneme:

5x / 5 = 5a / 5.

5 v čitateli a jmenovateli levé a pravé strany se ruší, vyjde x = a. To znamená, že stejné faktory na levé a pravé straně rovnic se vyruší.

Pojďme vyřešit ještě jeden příklad:

13 + 2x = 21

Posuňte člen 13 z levé strany rovnice doprava s opačným znaménkem:

2x = 21 - 13
2x = 8.

Vydělíme obě strany rovnice 2, dostaneme:

x = 4.

Makarova T.P., GBOU střední škola č. 618 Školení "Rovnice" 5. ročník

Školení pro 5. ročník na téma "Rovnice" ve 2 verzích

Makarova Tatiana Pavlovna,

Učitel GBOU střední škola č. 618, Moskva

Kontingent: 5. třída

Školení je zaměřeno na prověření znalostí a dovedností studentů na téma "Rovnice". Školení je určeno pro žáky 5. ročníku k učebnici N.Ya.Vilenkin, V.I.Zhokhova a další.Učebnice pro 5. ročník. - M .: Mněmosina, 2013 .-- 288s. Test obsahuje dvě paralelní varianty stejné obtížnosti, po devíti úlohách (4 úlohy s možností výběru odpovědi, 3 úlohy s krátkou odpovědí, 2 úlohy s podrobným řešením).

Toto školení plně odpovídá federálnímu státnímu vzdělávacímu standardu (druhá generace), lze jej použít při provádění kontroly ve třídě a mohou jej využít i žáci 5. ročníku pro samostatnou práci na tématu.

Na vyplnění testu je vyhrazeno 15 až 25 minut vyučovacího času. Klíče jsou součástí dodávky.

Školení pro 5. ročník na téma "Rovnice". Možnost 1.

№p / p

Cvičení

Odpovědět

Vyřešte rovnici

574

1124

1114

1024

Najděte kořen rovnice

(156-X )+43=170.

1) Kořenem rovnice je význam písmene.

2) Kořen rovnice (23 - X) - 21 = 2 není přirozené číslo.

3) K nalezení odečtené neznámé je nutné odečíst rozdíl od redukovaného.

4) Rovnice x - x= 0 má právě jeden kořen.

Péťa vymyslel číslo. Když k tomuto číslu přičteme 43 a k celkovému počtu přičteme 77, dostaneme 258. Jaké číslo Péťa plánuje?

1) (X + 43) – 77 = 258

2) (X + 43) + 77 = 258

3) (X – 43) + 77 = 258

4) (X – 43) – 77 = 258

Vyřešte rovnici: (5 S – 8) : 2 = 121: 11.

Vyřešte rovnici: 821 - ( m + 268) = 349.

Najděte význam čísla A pokud 8 A + 9X= 60 a X=4.

Vyřešte úlohu pomocí rovnice. Knihovna měla 125 knih z matematiky. Poté, co si studenti vzali několik knih a poté se vrátily 3 knihy, jich bylo 116. Kolik knih si studenti vzali?

Řešte rovnici:

456 + (X – 367) – 225 =898

Školení pro 5. ročník na téma "Rovnice". Možnost 2.

№p / p

Cvičení

Odpovědět

Část 1. Zadání s více odpověďmi

Vyřešte rovnici

525

1081

535

1071

Najděte kořen rovnice

942 – (y + 142) = 419.

391

481

1219

381

Uveďte čísla správných tvrzení:

1) Rovnice je rovnost obsahující písmeno, jehož hodnotu je třeba najít.

2) Jakékoli přirozené číslo je kořenem rovnice

3) Kořenem rovnice je hodnota písmene, při které se z rovnice získá správné číselné vyjádření.

4) Chcete-li najít neznámou dividendu, musíte ke kvocientu přidat dělitele.

Dáša počala číslo. Když k tomuto číslu přičteme 43 a od obdržené částky odečteme 77, dostaneme 258. Jaké číslo má Dáša na mysli?

1) (X + 43) – 77 = 258

2) (X + 43) + 77 = 258

3) (X – 43) + 77 = 258

4) (X – 43) – 77 = 258

Část 2. Úkol s krátkou odpovědí

Vyřešte rovnici: 63: (2 X – 1) = 21: 3.

Vyřešte rovnici: 748 - ( b +248) = 300.

Najděte význam čísla A pokud 7 A – 3X= 41 a X=5.

Část 3. Úkoly s podrobným řešením

Vyřešte úlohu pomocí rovnice. Ve skladu bylo 197 strojů. Poté, co se některé prodaly a přivezlo 86 dalších, zůstalo ve skladu dalších 115 strojů. Kolik strojů jste celkem prodali?

Lineární rovnice. Řešení, příklady.

Pozornost!
Existují další
materiály ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří jsou velmi "ne příliš ..."
A pro ty, kteří jsou „velmi vyrovnaní...“)

Lineární rovnice.

Lineární rovnice nejsou nejtěžším tématem školní matematiky. Existují však triky, které mohou zmást i trénovaného studenta. Vymyslíme to?)

Typicky je lineární rovnice definována jako rovnice ve tvaru:

sekera + b = 0 kde a a b- jakákoli čísla.

2x + 7 = 0. Tady a = 2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 Zde a = 0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 zde a = 12, b = 1/2

Nic složitého, že? Zvláště pokud si nevšimnete slov: "kde a a b jsou jakákoli čísla"... A když si všimneš, ale bezstarostně přemýšlíš?) Přece kdyby a = 0, b = 0(jsou možná nějaká čísla?), pak dostanete legrační výraz:

Ale to není vše! Pokud řekněme a = 0, A b = 5, ukazuje se něco naprosto neobvyklého:

Což namáhá a podkopává důvěru v matematiku, ano...) Zejména u zkoušek. Ale z těchto podivných výrazů je také nutné najít X! Což tam vůbec není. A toto X je překvapivě velmi snadné najít. Naučíme se, jak na to. V tomto tutoriálu

Jak poznáte lineární rovnici podle jejího vzhledu? Záleží na vzhledu.) Trik je v tom, že lineárním rovnicím se říká nejen rovnice tvaru sekera + b = 0 , ale také libovolné rovnice, které jsou do této podoby redukovány transformacemi a zjednodušeními. A kdo ví, jestli to lze snížit nebo ne?)

V některých případech lze jasně rozpoznat lineární rovnici. Řekněme, pokud máme rovnici, ve které jsou pouze neznámé na prvním stupni a čísla. A v rovnici není zlomky děleno neznámý , to je důležité! A rozdělení podle číslo, nebo číselný zlomek - prosím! Například:

Toto je lineární rovnice. Jsou zde zlomky, ale nejsou x ve čtverci, v krychli atd. a ve jmenovatelích nejsou x, tzn. Ne dělení x... A tady je rovnice

nelze nazvat lineární. Zde jsou všechna x na prvním stupni, ale existuje dělení výrazem s x... Po zjednodušení a transformacích můžete získat lineární rovnici a kvadratickou rovnici a vše, co chcete.

Ukazuje se, že je nemožné zjistit lineární rovnici v nějakém záludném příkladu, dokud ji téměř nevyřešíte. To je znepokojující. Ale úkoly se většinou neptají na typ rovnice, že? V úkolech jsou přikázány rovnice řešit. To mi dělá radost.)

Řešení lineárních rovnic. Příklady.

Celé řešení lineárních rovnic sestává z identických transformací rovnic. Mimochodem, tyto transformace (až dvě!) jsou základem řešení všechny rovnice matematiky. Jinými slovy, řešení žádný rovnice začíná právě těmito transformacemi. V případě lineárních rovnic je to (řešení) založeno na těchto transformacích a končí plnohodnotnou odpovědí. Dává smysl následovat odkaz, ne?) Navíc jsou tam i příklady řešení lineárních rovnic.

Začněme tím nejjednodušším příkladem. Bez jakýchkoliv nástrah. Předpokládejme, že potřebujeme vyřešit tuto rovnici.

x - 3 = 2 - 4x

Toto je lineární rovnice. X je vše na prvním stupni, neexistuje žádné dělení X. Ale ve skutečnosti je nám jedno, o jakou rovnici se jedná. Musíme to vyřešit. Schéma je zde jednoduché. Seberte vše s x na levé straně rovnosti, vše bez x (číslo) na pravé straně.

Chcete-li to provést, musíte provést přenos - 4x doleva, se změnou znamení, samozřejmě, ale - 3 - doprava. Mimochodem, tohle je první identická transformace rovnic. Jsi překvapený? Takže jsme nesledovali odkaz, ale marně ...) Dostáváme:

x + 4x = 2 + 3

Dáváme podobné, věříme:

Co nám chybí k úplnému štěstí? Ano, takže nalevo bylo čisté X! Pětka stojí v cestě. Zbavit se prvních pěti s druhá identická transformace rovnic. Obě strany rovnice totiž vydělíme 5. Dostaneme připravenou odpověď:

Elementární příklad, samozřejmě. To je na zahřátí.) Není moc jasné, proč jsem si zde vybavoval stejné transformace? OK. Vezmeme býka za rohy.) Pojďme se rozhodnout pro něco působivějšího.

Zde je například rovnice:

kde začneme? S x - doleva, bez x - doprava? Může to tak být. Malými krůčky po dlouhé cestě. Nebo můžete okamžitě, univerzálním a výkonným způsobem. Pokud samozřejmě ve vašem arzenálu existují identické transformace rovnic.

Položím vám klíčovou otázku: co se ti na této rovnici nejvíc nelíbí?

95 lidí ze 100 odpoví: zlomky ! Odpověď je správná. Pojďme se jich tedy zbavit. Začneme proto hned s druhá transformace identity... Co potřebujete k vynásobení zlomku vlevo, aby se jmenovatel mohl úplně zmenšit? Vpravo, ve 3. A vpravo? 4. Ale matematika nám umožňuje obě strany vynásobit stejné číslo... Jak se dostaneme ven? A vynásobme obě strany 12! Tito. společným jmenovatelem. Pak se zmenší trojka i čtyřka. Nezapomeňte, že je třeba každou část vynásobit. zcela... Takto vypadá první krok:

Rozšíření závorek:

Poznámka! Čitatel (x + 2) Dal jsem to do závorek! Je to proto, že když násobíte zlomky, čitatel se vynásobí úplně, úplně! A nyní lze zlomky snížit:

Rozbalte zbývající závorky:

Ne příklad, ale čiré potěšení!) Nyní si připomeneme kouzlo ze základních tříd: s x - doleva, bez x - doprava! A použijte tuto transformaci:

Tady jsou podobné:

A obě části dělíme 25, tzn. znovu použít druhou transformaci:

To je vše. Odpovědět: X=0,16

Poznámka: abychom původní zmatenou rovnici uvedli do příjemné podoby, použili jsme dvě (pouze dvě!) identické transformace- převod zleva doprava se změnou znaménka a násobením-dělením rovnice stejným číslem. Toto je univerzální způsob! Tímto způsobem budeme pracovat s žádný rovnice! Naprosto jakékoli. Proto tyto identické transformace stále opakuji.)

Jak vidíte, princip řešení lineárních rovnic je jednoduchý. Vezmeme rovnici a zjednodušujeme ji pomocí identických transformací, dokud nedostaneme odpověď. Hlavní problémy jsou zde ve výpočtech, nikoli v principu řešení.

Ale ... V procesu řešení těch nejelementárnějších lineárních rovnic jsou taková překvapení, že vás mohou přivést do silného omámení ...) Naštěstí mohou být taková překvapení jen dvě. Říkejme jim speciální případy.

Speciální případy při řešení lineárních rovnic.

První překvapení.

Předpokládejme, že narazíte na elementární rovnici, něco jako:

2x + 3 = 5x + 5 - 3x - 2

Trochu znuděně to přeneseme s x doleva, bez x doprava ... Se změnou znaménka je všechno brada-chinar ...

2x-5x + 3x = 5-2-3

Myslíme si, a ... sakra!!! Dostaneme:

Tato rovnost sama o sobě není závadná. Nula je skutečně nula. Ale X je pryč! A my jsme povinni do odpovědi napsat, což se rovná x. Jinak se rozhodnutí nepočítá, ano...) Slepá ulička?

Uklidnit! V takových pochybných případech šetří nejobecnější pravidla. Jak řešit rovnice? Co to znamená řešit rovnici? To znamená, najděte všechny hodnoty x, které nám po dosazení do původní rovnice poskytnou správnou rovnost.

Ale máme skutečnou rovnost již Stalo! 0 = 0, o kolik přesnější?! Zbývá zjistit, v jakém xx to dopadne. Do jakých hodnot x lze dosadit počáteční rovnice, pokud jsou tato x stejně se zmenší na nulu? no tak?)

Ano!!! Xs může být nahrazeno žádný! Co chceš. Alespoň 5, alespoň 0,05, alespoň -220. Stejně se zmenší. Pokud mi nevěříte, můžete to zkontrolovat.) Dosaďte libovolné hodnoty x do počáteční rovnice a počet. Po celou dobu bude získána čistá pravda: 0 = 0, 2 = 2, -7,1 = -7,1 a tak dále.

Zde je odpověď: x - libovolné číslo.

Odpověď může být zapsána různými matematickými symboly, podstata se nemění. Toto je naprosto správná a úplná odpověď.

Druhé překvapení.

Vezměme stejnou elementární lineární rovnici a změňme v ní pouze jedno číslo. Vyřešíme toto:

2x + 1 = 5x + 5 - 3x - 2

Po stejných identických transformacích dostaneme něco zajímavého:

Takhle. Vyřešil lineární rovnici, dostal podivnou rovnost. Matematicky vzato, máme falešná rovnost. A zjednodušeně řečeno to není pravda. Vztekat se. Ale přesto je tento nesmysl velmi dobrým důvodem pro správné řešení rovnice.)

Opět uvažujeme na základě obecných pravidel. Co nám dá x, když dosadíme do původní rovnice skutečný rovnost? Ano, žádný! Taková x neexistují. Cokoli nahradíte, vše se sníží, delirium zůstane.)

Zde je odpověď: žádná řešení.

To je také celkem plnohodnotná odpověď. V matematice se takové odpovědi často nacházejí.

Takhle. Teď vás doufám ztráta x v procesu řešení jakékoli (nejen lineární) rovnice vůbec nezmate. Věc je již známá.)

Nyní, když jsme přišli na všechna úskalí lineárních rovnic, má smysl je řešit.

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Okamžité ověřovací testování. Učení – se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Jedna z nejdůležitějších dovedností v přijetí do třídy 5 je schopnost řešit nejjednodušší rovnice. Vzhledem k tomu, že 5. ročník ještě není tak daleko od základní školy, není tolik typů rovnic, které by žák mohl řešit. Seznámíme vás se všemi základními typy rovnic, které pokud chcete, musíte umět řešit přihlásit se na fyzikální a matematickou školu.

Typ 1: "cibulovitý"
To jsou rovnice, které vás téměř pravděpodobně napadnou, když přijetí na jakoukoli školu nebo kroužek třídy 5 jako samostatný úkol. Jsou snadno odlišitelné od ostatních: proměnná je v nich přítomna pouze jednou. Například, nebo.
Jsou řešeny velmi jednoduše: stačí se „dostat“ do neznáma, postupně „odstraňovat“ vše nepotřebné, co ho obklopuje – jakoby loupat cibuli – odtud název. K jeho vyřešení si stačí zapamatovat pár pravidel z druhé třídy. Pojďme si je všechny vyjmenovat:

Přidání

člen1 + člen2 = součet
člen1 = součet - člen2
člen2 = součet - člen1

Odčítání

odečteno - odečteno = rozdíl
odečteno = odečteno + rozdíl
odečteno = odečteno - rozdíl

Násobení

faktor1 * faktor2 = produkt
faktor1 = produkt: faktor2
faktor2 = produkt: faktor1

Divize

dividenda: dělitel = podíl
dividenda = dělitel * kvocient
dělitel = dělenec: kvocient

Vezměme si příklad, jak tato pravidla aplikovat.

Všimněte si, že se rozdělujeme na a dostaneme. V této situaci známe dělitele a kvocient. Chcete-li najít dividendu, musíte vynásobit dělitele kvocientem:

Trochu jsme se přiblížili sami sobě. Teď to vidíme přidáno a získáno. Chcete-li tedy najít jeden z výrazů, musíte od součtu odečíst známý výraz:

A ještě jedna "vrstva" je odstraněna z neznáma! Nyní vidíme situaci se známou hodnotou produktu () a jedním známým faktorem ().

Nyní situace "sníženo - odečteno = rozdíl"

A posledním krokem je známý produkt () a jeden z faktorů ()

Typ 2: rovnice se závorkami
S rovnicemi tohoto typu se nejčastěji setkáváme v úlohách – 90 % všech úloh pro přijetí do třídy 5... Na rozdíl od "cibulové rovnice" proměnná se zde může objevit vícekrát, takže není možné ji řešit metodami z předchozího odstavce. Typické rovnice: nebo
Hlavním problémem je správné otevření závorek. Poté, co se nám to podařilo správně, bychom měli přinést podobné pojmy (čísla k číslům, proměnné k proměnným) a poté dostaneme nejjednodušší "cibulovitá rovnice"že víme, jak vyřešit. Ale nejdřív.

Rozšiřující závorky... Uvedeme několik pravidel, která by měla být v tomto případě použita. Ale jak ukazuje praxe, student začne správně otevírat závorky až po 70-80 vyřešených problémech. Základní pravidlo je toto: jakýkoli faktor mimo závorku musí být vynásoben každým členem v závorce. A mínus před závorkou mění znaménko všech výrazů uvnitř. Takže základní pravidla zveřejňování:

Přinášet podobné... Všechno je zde mnohem jednodušší: musíte převodem podmínek přes rovnítko zajistit, aby na jedné straně byly pouze termíny s neznámým a na druhé straně pouze čísla. Základní pravidlo je toto: každý přenesený výraz změní své znaménko - pokud byl s, stane se c a naopak. Po úspěšném převodu je nutné spočítat celkový počet neznámých, konečné číslo stojící na druhé straně rovnosti, spíše než proměnné, a vyřešit prvočíslo "cibulovitá rovnice".

V tomto videu rozebereme celou sadu lineárních rovnic, které jsou řešeny stejným algoritmem – proto se jim říká ty nejjednodušší.

Pro začátek si definujme: co je to lineární rovnice a která z nich je nejjednodušší?

Lineární rovnice je taková, ve které existuje pouze jedna proměnná, a to pouze v prvním stupni.

Nejjednodušší rovnice znamená konstrukci:

Všechny ostatní lineární rovnice jsou redukovány na nejjednodušší pomocí algoritmu:

Rozbalte závorky, pokud existují;
Přesunout členy obsahující proměnnou na jednu stranu rovnítka a členy bez proměnné na druhou;
Přeneste podobné výrazy nalevo a napravo od rovnítka;
Výslednou rovnici vydělte koeficientem proměnné $ x $.

Tento algoritmus samozřejmě vždy nepomůže. Faktem je, že někdy se po všech těchto manipulacích koeficient v proměnné $ x $ ukáže jako nula. V tomto případě jsou možné dvě možnosti:

Rovnice nemá vůbec žádná řešení. Například, když dostanete něco jako $ 0 \ cdot x = 8 $, tj. vlevo je nula a vpravo nenulové číslo. Ve videu níže se podíváme na několik důvodů najednou, proč je taková situace možná.
Řešením jsou všechna čísla. Jediný případ, kdy je to možné - rovnice byla zredukována na konstrukci $ 0 \ cdot x = 0 $. Je celkem logické, že ať dosadíme cokoli $ x $, stejně nám to vyjde „nula rovna nule“, tzn. správná číselná rovnost.

Nyní se podívejme, jak to celé funguje na příkladu reálných problémů.

Příklady řešení rovnic

Dnes se zabýváme lineárními rovnicemi, a to pouze těmi nejjednoduššími. Obecně lineární rovnice znamená jakoukoli rovnost obsahující právě jednu proměnnou a jde pouze do prvního stupně.

Takové konstrukce jsou řešeny přibližně stejným způsobem:

Nejprve musíte rozšířit závorky, pokud existují (jako v našem posledním příkladu);
Pak přineste podobné
Nakonec uchopte proměnnou, tzn. vše, co je spojeno s proměnnou - pojmy, ve kterých je obsažena - by mělo být přeneseno jedním směrem a vše, co zůstalo bez ní, by mělo být přeneseno na druhou stranu.

Pak je zpravidla třeba přinést podobné na každou stranu získané rovnosti a poté zbývá pouze vydělit koeficientem u „x“ a dostaneme konečnou odpověď.

Teoreticky to vypadá hezky a jednoduše, ale v praxi mohou i zkušení středoškoláci dělat útočné chyby v celkem jednoduchých lineárních rovnicích. Chyby se obvykle dělají buď při rozšiřování závorek, nebo při výpočtu „plusů“ a „mínusů“.

Navíc se stává, že lineární rovnice nemá vůbec žádná řešení, nebo tak, že řešením je celá číselná osa, tzn. jakékoliv číslo. Tyto jemnosti budeme analyzovat v dnešní lekci. Ale začneme, jak jste již pochopili, s nejjednoduššími úkoly.

Schéma řešení nejjednodušších lineárních rovnic

Pro začátek mi dovolte ještě jednou napsat celé schéma řešení nejjednodušších lineárních rovnic:

Rozbalte závorky, pokud existují.
Vylučujeme proměnné, tzn. vše, co obsahuje „x“, se přenese na jednu stranu a bez „x“ na druhou.
Uvádíme podobné termíny.
Vše rozdělíme na koeficient v "x".

Toto schéma samozřejmě nefunguje vždy, jsou v něm určité jemnosti a triky a nyní je poznáme.

Řešení reálných příkladů jednoduchých lineárních rovnic

Problém číslo 1

V prvním kroku jsme povinni rozšířit závorky. Ale v tomto příkladu nejsou, takže tuto fázi přeskočíme. Ve druhém kroku potřebujeme uchopit proměnné. Pozor: mluvíme pouze o jednotlivých termínech. Pojďme psát:

Uvádíme podobné výrazy vlevo a vpravo, ale to již bylo provedeno. Proto přejdeme ke čtvrtému kroku: dělení koeficientem:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

Tak jsme dostali odpověď.

Problém číslo 2

V tomto problému můžeme pozorovat závorky, takže je rozšiřme:

Nalevo i napravo vidíme přibližně stejnou konstrukci, ale postupujme podle algoritmu, tzn. vylučujeme proměnné:

Tady jsou podobné:

V jakých kořenech se provádí. Odpověď: pro jakýkoli. Proto můžeme napsat, že $ x $ je libovolné číslo.

Problém číslo 3

Třetí lineární rovnice je již zajímavější:

\ [\ vlevo (6-x \ vpravo) + \ vlevo (12 + x \ vpravo) - \ vlevo (3-2x \ vpravo) = 15 \]

Je zde pár závorek, ale nejsou ničím násobeny, jen mají před sebou jiná znaménka. Pojďme je otevřít:

Provádíme druhý krok, který již známe:

\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]

Pojďme počítat:

Provedeme poslední krok - vše vydělíme koeficientem v "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

Na co pamatovat při řešení lineárních rovnic

Kromě příliš jednoduchých úkolů bych rád řekl následující:

Jak jsem řekl výše, ne každá lineární rovnice má řešení – někdy prostě nejsou kořeny;
I když jsou kořeny, může mezi nimi být nula – na tom není nic špatného.

Nula je stejné číslo jako ostatní, neměli byste je nijak diskriminovat nebo předpokládat, že když dostanete nulu, pak jste udělali něco špatně.

Další funkce souvisí s rozšířením závorek. Upozornění: když je před nimi "mínus", odstraníme jej, ale v závorkách změníme znaky na naproti... A pak jej můžeme otevřít pomocí standardních algoritmů: dostaneme to, co jsme viděli ve výpočtech výše.

Pochopení tohoto prostého faktu vám umožní vyhnout se hloupým a zraňujícím chybám na střední škole, kdy se takové jednání považuje za samozřejmost.

Řešení složitých lineárních rovnic

Přejděme ke složitějším rovnicím. Nyní se konstrukce stanou složitějšími a při provádění různých transformací se objeví kvadratická funkce. Toho se však nemusíte bát, protože pokud podle záměru autora řešíme lineární rovnici, pak v procesu transformace budou nutně zrušeny všechny monočleny obsahující kvadratickou funkci.

Příklad #1

Prvním krokem je samozřejmě rozšíření závorek. Udělejme to velmi opatrně:

Nyní k soukromí:

\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]

Tady jsou podobné:

Je zřejmé, že tato rovnice nemá řešení, takže do odpovědi zapíšeme takto:

\ [\ varnothing \]

nebo bez kořenů.

Příklad č. 2

Postupujeme podle stejných kroků. První krok:

Posuňte vše s proměnnou doleva a bez ní doprava:

Tady jsou podobné:

Je zřejmé, že tato lineární rovnice nemá řešení, takže ji napíšeme takto:

\ [\ varnothing \],

nebo tam nejsou kořeny.

Nuance řešení

Obě rovnice jsou kompletně vyřešeny. Na příkladu těchto dvou výrazů jsme se opět ujistili, že ani v těch nejjednodušších lineárních rovnicích nemusí být všechno tak jednoduché: může být buď jeden, nebo žádný, nebo nekonečně mnoho kořenů. V našem případě jsme uvažovali dvě rovnice, v obou prostě žádné kořeny nejsou.

Rád bych vás ale upozornil na jiný fakt: jak pracovat se závorkami a jak je otevírat, pokud je před nimi znaménko mínus. Zvažte tento výraz:

Před zveřejněním je potřeba vše vynásobit „X“. Poznámka: násobí každý jednotlivý termín... Uvnitř jsou dva termíny – respektive dva termíny a násobený.

A teprve poté, co jsou provedeny tyto zdánlivě elementární, ale velmi důležité a nebezpečné transformace, můžete rozšířit závorku z toho pohledu, že za ní je znaménko mínus. Ano, ano: teprve nyní, když jsou transformace dokončeny, si pamatujeme, že před závorkou je znaménko mínus, což znamená, že vše, co jde dolů, pouze mění znaménka. Zároveň mizí samotné závorky a hlavně mizí i přední „mínus“.

Totéž uděláme s druhou rovnicí:

Ne náhodou upozorňuji na tyto malé, zdánlivě bezvýznamné skutečnosti. Protože řešení rovnic je vždy sledem elementárních transformací, kdy neschopnost jasně a kompetentně provádět jednoduché úkony vede k tomu, že za mnou chodí středoškoláci a znovu se učí takto jednoduché rovnice řešit.

Samozřejmě přijde den a vy tyto dovednosti vypilujete k automatismu. Už nemusíte pokaždé provádět tolik transformací, vše napíšete na jeden řádek. Ale zatímco se teprve učíte, je potřeba psát každou akci zvlášť.

Řešení i složitějších lineárních rovnic

To, co teď budeme řešit, je už těžké nazvat nejjednodušším úkolem, ale smysl zůstává stejný.

Problém číslo 1

\ [\ vlevo (7x + 1 \ vpravo) \ vlevo (3x-1 \ vpravo) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

Vynásobme všechny prvky v první části:

Udělejme odloučení:

Tady jsou podobné:

Provádíme poslední krok:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

Zde je naše konečná odpověď. A to i přesto, že se v procesu řešení koeficientů s kvadratickou funkcí vzájemně anihilovaly, čímž je rovnice přesně lineární, nikoli čtvercová.

Problém číslo 2

\ [\ vlevo (1-4x \ vpravo) \ vlevo (1-3x \ vpravo) = 6x \ vlevo (2x-1 \ vpravo) \]

Udělejme první krok úhledně: vynásobte každý prvek v první závorce každým prvkem ve druhé závorce. Celkem by po transformacích měly být čtyři nové termíny:

Nyní pečlivě proveďte násobení v každém termínu:

Posuňme pojmy s "x" doleva a bez - doprava:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

Zde jsou podobné termíny:

Opět jsme dostali konečnou odpověď.

Nuance řešení

Nejdůležitější poznámka k těmto dvěma rovnicím je následující: jakmile začneme násobit závorky, ve kterých je více, než je člen, pak se to děje podle následujícího pravidla: vezmeme první člen z prvního a násobte každým prvkem od druhého; pak vezmeme druhý prvek z prvního a podobně vynásobíme každým prvkem z druhého. Výsledkem jsou čtyři termíny.

Algebraický součet

Posledním příkladem bych chtěl studentům připomenout, co je to algebraický součet. V klasické matematice rozumíme pod pojmem $ 1-7 $ jednoduchou konstrukci: odečtěte sedm od jedné. V algebře tím myslíme následující: k číslu „jedna“ přidáme další číslo, a to „mínus sedm“. Tím se algebraický součet liší od obvyklého aritmetického.

Jakmile při provádění všech transformací, každého sčítání a násobení, začnete vidět konstrukce podobné výše popsaným, prostě nebudete mít v algebře problémy při práci s polynomy a rovnicemi.

Na závěr se podívejme na několik dalších příkladů, které budou ještě složitější než ty, na které jsme se právě dívali, a abychom je vyřešili, budeme muset mírně rozšířit náš standardní algoritmus.

Řešení rovnic se zlomkem

Abychom takové problémy vyřešili, budeme muset do našeho algoritmu přidat ještě jeden krok. Nejprve však připomenu náš algoritmus:

Rozbalte závorky.
Samostatné proměnné.
Přineste podobné.
Rozdělit faktorem.

Bohužel, tento vynikající algoritmus se při vší své účinnosti ukazuje jako ne zcela vhodný, když čelíme zlomkům. A v tom, co uvidíme níže, máme v obou rovnicích zlomek nalevo a napravo.

Jak v tomto případě pracovat? Vše je velmi jednoduché! Chcete-li to provést, musíte do algoritmu přidat ještě jeden krok, který lze provést před první akcí i po ní, konkrétně zbavit se zlomků. Algoritmus tedy bude následující:

Zbavte se zlomků.
Rozbalte závorky.
Samostatné proměnné.
Přineste podobné.
Rozdělit faktorem.

Co znamená „zbavit se zlomků“? A proč to lze udělat jak po, tak před prvním standardním krokem? Ve skutečnosti jsou v našem případě všechny zlomky z hlediska jmenovatele číselné, tzn. všude ve jmenovateli je jen číslo. Pokud tedy vynásobíme obě strany rovnice tímto číslem, pak se zlomků zbavíme.

Příklad #1

\ [\ frac (\ vlevo (2x + 1 \ vpravo) \ vlevo (2x-3 \ vpravo)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

Zbavme se zlomků v této rovnici:

\ [\ frac (\ vlevo (2x + 1 \ vpravo) \ vlevo (2x-3 \ vpravo) \ cdot 4) (4) = \ vlevo (((x) ^ (2)) - 1 \ vpravo) \ cdot 4\]

Pozor: vše se jednou násobí „čtyřmi“, tzn. to, že máte dvě závorky, neznamená, že musíte každou z nich vynásobit čtyřmi. Pojďme si zapsat:

\ [\ vlevo (2x + 1 \ vpravo) \ vlevo (2x-3 \ vpravo) = \ vlevo (((x) ^ (2)) - 1 \ vpravo) \ cdot 4 \]

Nyní otevřeme:

Děláme oddělení proměnné:

Provádíme redukci podobných termínů:

\ [- 4x = -1 \ vlevo | : \ vlevo (-4 \ vpravo) \ vpravo. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

Máme konečné řešení, přejděte k druhé rovnici.

Příklad č. 2

\ [\ frac (\ vlevo (1-x \ vpravo) \ vlevo (1 + 5x \ vpravo)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

Zde provádíme všechny stejné akce:

\ [\ frac (\ vlevo (1-x \ vpravo) \ vlevo (1 + 5x \ vpravo) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

Problém byl vyřešen.

To je vlastně vše, co jsem dnes chtěl říct.

Klíčové body

Klíčová zjištění jsou následující:

Znát algoritmus pro řešení lineárních rovnic.
Schopnost otevřít závorky.
Nebojte se, pokud někde máte kvadratické funkce, s největší pravděpodobností se v procesu dalších transformací zmenší.
Kořeny v lineárních rovnicích, dokonce i ty nejjednodušší, jsou tří typů: jeden jediný kořen, celá číselná osa je kořen a neexistují žádné kořeny.

Doufám, že vám tato lekce pomůže zvládnout jednoduché, ale velmi důležité téma pro další porozumění celé matematice. Pokud něco není jasné, přejděte na web a vyřešte příklady tam uvedené. Zůstaňte naladěni, čeká na vás mnoho dalších zajímavých věcí!