Najděte maximální bod derivace. Kritické body funkce
Jak víme z kurzu sociálních studií, společnost v širokém slova smyslu je formou organizace a způsoby interakce mezi lidmi. Integrita je spolu s dynamikou, stabilitou a otevřeností jedním z nejdůležitějších rysů společnosti. Integrita společnosti je chápána jako spojení mezi prvky společnosti. Mezi prvky společnosti patří politická, ekonomická, sociální a duchovní sféra. Všechny jsou vzájemně propojeny. Po odstranění jedné ze sfér společnosti a jí se společnost pravděpodobně rozpadne. To měl Seneca na mysli, když mluvil o sadě kamenů.
Naprosto souhlasím s tvrzením autora. Vezměte si jakýkoli stát, kde probíhá revoluce v politické sféře, ať už jde o revoluci nebo Občanská válka... V každém případě tím trpí celá společnost, všechny její sféry přestávají normálně fungovat. Pro příklady není třeba chodit daleko, stačí si připomenout probíhající konflikt na Ukrajině.
Vezměme si další příklad z médií. Neustále nám ve zprávách říkají, že prezident podepsal jeden zákon o ochraně spotřebitele (politika a ekonomika), jel na jednání ve zdravotnictví (politika a společnost), navštívil resort školství (politika a duchovní sféra). Jak je vidět na příkladech jednání hlavy státu, politika úzce souvisí s duchovní, ekonomickou a sociální sférou. Stejně tak je vzdělání spojeno s politikou a ekonomikou, stejně jako je spojena produkce bohatství sociální sféra a politické a tak dále.
Všechny sféry jsou úzce propojeny a tvoří jeden celek, jeden systém – společnost.
Podpora je, když sdílíte lidské pocity, dát jasně najevo, že není ve svých potížích sám. Čas od času to potřebuje každý: lidé jsou sociální tvorové, soustředí se na život ve skupině a sblížení se svým druhem. Se všemi obtížemi se nikdo nevyrovná sám, ale v tradicích naší kultury se podpora dokonce nazývá podporou, která s tím nemá nic společného, například výzvy „sbírejte“ a „vydržte“, učení, zápisy, nářky. a dokonce i zastrašování. Zjišťujeme, jak podpořit ostatní a jak ne.
Jak ne
Pokud vám někdo řekne, že je bez podpory v pořádku a absolutně ji nepotřebuje, je pravděpodobné, že tyto toxické a škodlivé reakce myslí podporou. Ti, kteří se s nimi setkali, většinou, když potřebují pomoc a přijetí, si své pocity raději nechávají pro sebe a vypořádají se sami. Jaký je rozdíl mezi toxickými reakcemi a skutečnou podporou? Jak se vzájemně kompetentně a správně podporovat? Začněme tím, že to není podpora, ale pouze maskování.
"Vzchop se!"
Fráze „vydrž“, „buď silná“, „seber odvahu“ a další výzvy k odolnosti nejsou moc dobré způsoby podpory. Pro člověka, který žádá o podporu, je cíl přesně opačný. Chce to s někým sdílet emocionální zátěž a jen se „nedržet“, ale alespoň se trochu uvolnit a cítit se lépe. Jsou mu vysílána slova „vydrž“ nebo „seber odvahu“: „Podpora odepřena. Rozhoduj o všem sám, buď silný. Vzchop se. "
"A kočku mého souseda pokousali toulaví psi."
Ani v krajní situaci nářky člověku nijak nepomáhá. Kamarádův rodinný příslušník se dostal na intenzivní péči, ukradli peněženku, zmizel pes? Neříkejte jí: "Jaká noční můra!" Už ví, že je to opravdu noční můra. A neříkejte jí o podobných případech, které se staly s vašimi přáteli. To jí nijak nepomůže, ale jen zvýší paniku. Obecně platí, že pokud se chcete vcítit, neměli byste toho člověka zatěžovat svými emocemi. Nyní sám potřebuje útěchu a rozhodně nemá prostředky, aby partnera uklidnil. Vaše slzy a nářky v duchu "Jaká hrůza, co teď dělat?" jen přesvědčí vyděšeného, že je vše opravdu velmi špatné.
"Máš pravdu, je to blázen"
Buďte opatrní, pokud se chcete připojit k hněvu nebo nespokojenosti partnera: rozdmýchávání negativních emocí je spíše maladaptivní než pomoc při vyrovnávání se se situací. A člověk, který si stěžuje na své blízké, má obvykle rozporuplné pocity: ti, které miluje, mu udělali špatně. Říká: "Ano, váš manžel je skutečný sobecký!" nebo „Vypadá to, že vaše sestra není schopná vůbec myslet,“ jako byste potvrzovali jeho nejhorší obavy.
Nikdo si nechce myslet, že jeho milovaní jsou monstra. I když situace skutečně vyžaduje tvrdé negativní hodnocení (například v případě fyzického nebo emocionálního týrání), je lepší tyto informace prezentovat opatrněji: „Víte, zdá se mi, že tato slova jsou čistá voda manipulace "," Takový čin se vám zdá nečestný "," Zdá se mi, že to, co se děje, je pro vás nebezpečné."
"Znám skvělého homeopata, pomůže!"
Nevyžádané rady jsou také špatný nápad. „Bývá dítě často nemocné? Poslyšte, mám kontakty na výborného pediatra, hned vám to řeknu. Musíte to temperovat, pošlu vám odkaz na článek, jak na to.“
Praktická pomoc je velmi důležitá, ale pouze na požádání. Je nežádoucí ukládat to bez ptaní. Za prvé, není pravda, že člověk, který se dostal do obtížné situace, je připraven jednat právě teď - možná k tomu potřebuje nejprve přijít k rozumu a shromáždit své myšlenky. Za druhé, není známo, zda potřebuje formu pomoci, kterou mu chcete nabídnout. Pouze sám člověk se může rozhodnout, které akce pro něj budou správné: temperovat dítě, poradit se s důvěryhodným lékařem nebo jednoduše přečkat období nekonečných dětských nachlazení. Tím, že na partnera uvalíme konkrétní akce, vložíme do toho myšlenku jeho bezmocnosti: "Vy sami se s ničím nedokážete vyrovnat, teď vám řeknu, jak jednat."
"To se mi nestává"
Rozhovor shora, demonstrující, že se vám v této oblasti rozhodně daří, je nečestný způsob chování, který není v žádném případě podpůrný. Například v situaci, kdy člověku, kterému byla diagnostikována deprese, řeknete: „Páni, jakou máš smůlu. Ale praktikuji pozitivní způsob myšlení a snažím se užívat si každý den a nemám žádnou depresi, “- není nic jiného než touha cítit se lépe na úkor partnera v obtížné situaci.
"Za to můžeš ty!"
Obviňování, „kouzelné kopance“ a další prostředky „lidové“ psychologie jsou zcela nepřijatelné – to je obviňování obětí a úplný opak podpory. Příklad takové toxické reakce bohužel často uvádějí rodiče dětí a dospívajících: „Nepropadl vám čtvrtletní test? A řekl jsem vám, že musíte méně sedět u počítače. Ale ty neposloucháš, jsi nejchytřejší v naší zemi! Nevím, jak teď opravíte známku."
Předpokládá se, že taková reakce pomáhá sbírat a jednat, stejně jako si uvědomit své minulé chyby a neopakovat je znovu. Ve skutečnosti bude účinek přesně opačný: ve stresové situaci není nikdo schopen analyzovat chyby a vyvodit závěry pro budoucnost a obvinění a drsná konverzace trauma jen zvyšují. Na krátkou dobu se člověk může opravdu sejít a jednat, ale ne proto, že „kouzelný kop“ funguje, ale proto, že jde o stresovou reakci, kdy všechny city zamrznou.
Ale z dlouhodobého hlediska je tato metoda velmi toxická. Nese poselství: „Dostali jste se do problémů? Takže vy sami jste špatní (vy sami jste špatní). Nečekej, že ti pomůžu." Kromě dalšího stresu pro člověka, kterému se něco stalo, „kouzelné kopance“ ničí vztah. Je těžké věřit někomu, kdo dokončí lživého člověka.
Jak
Podpora je ve své podstatě vzkazem druhému člověku: "Slyším tě, rozumím, přijímám tvé pocity a tvou nelehkou situaci a jsem připraven být v tom s tebou." Můžete být s někým v obtížné situaci různými způsoby - záleží na míře blízkosti s osobou, na situaci samotné a také na síle, zdrojích a touze pomoci, které máte. Jak tedy podpořit?
Střízlivě zhodnoťte svou sílu
Malá, ale upřímná podpora je lepší než simulace. Často reagují na stížnosti toxickým způsobem právě proto, že partner, od kterého očekávají podporu, na to nemá sílu ani prostředky, ale bojí se to přiznat. Nestyďte se: Je naprosto normální, že nechcete nebo nemůžete někoho podporovat. Nabídněte jen to, co skutečně můžete poskytnout bez násilí na sobě. Možná jste nyní schopni naslouchat partnerovi pouze pět minut a ne více. Nebo můžete mluvit půl hodiny, ale nejste připraveni poskytnout praktickou pomoc.
Pokud ani nemáte sílu zůstat v blízkosti člověka, když prožívá těžké pocity, bylo by nejupřímnější říci o tom: „Promiň, prosím, ale jsem teď velmi unavený, na svém nervy, úplně vyčerpaný. Mohl bych si s tebou promluvit zítra, jestli to pro tebe bude výhodné." Není pravda, že účastníka nebudete urážet, ale je to lepší, než páchat na sobě násilí a pak vylévat agresi na druhého.
Poslouchejte a sdílejte
pocity druhého
Verbální podpora se může zdát nejjednodušší, ale ve skutečnosti být v blízkosti někoho, kdo má silné negativní pocity, není snadné. Chceme se citově izolovat, „vyskočit“ z nepříjemného tématu, a proto se často vracíme k některé z toxických reakcí.
Chcete-li podpořit člověka v konverzaci, musíte tam být, sdílet emoce partnera a neodstrčit ho. Nechte ho mluvit. Používejte aktivní naslouchání: přikývněte, souhlasíte, pokládejte krátké vysvětlující otázky. Vystresovaný člověk, rozrušený nebo otrávený, je velmi podporující už jen verbálními projevy sympatií. V ruštině zní tvar „omlouvám se“ stále trochu neohrabaně, ale sedí – stejně jako „soucítím“ nebo „škoda, že se vám to stalo“. Můžete odrážet pocity partnera: "To se zdá být opravdu nepříjemné", "Zní to velmi smutně", "Chápu, proč se na ně tak zlobíte." Zdržet se hodnocení situace, jednání a skutků.
Zeptejte se, jestli potřebujete pomoc
Dalším skvělým způsobem podpory je zeptat se přímo dotyčného, co v této situaci potřebuje: „Můžu pro vás něco udělat? Řekni mi, jestli ti můžu s něčím pomoct." Možná stačil rozhovor. Nebo se ukáže, že potřebujete praktickou pomoc, radu, kontakty – zcela na místě bude, když se na to dotyčný přímo zeptal.
Toto prohlášení je věnováno problému interakce prvků systému společnosti. Filozofové různých epoch uvažovali o tomto tématu a snažili se určit vedoucí sféru života, například ve středověku dominovala myšlenka důležitosti náboženství, v moderní době pozornost myslitelů přitahovaly vědecké poznatky, a později Marx předložil hypotézu o nadřazenosti ekonomické sféry. Nejstarší civilizacešly cestou harmonické práce všech sfér a moderní státy se snaží zajistit jejich normální fungování.
Autor výroku říká, že v každé společnosti se její prvky vzájemně doplňují a bez souvislostí a vztahů, které je spojují, by upadla. Jednota těchto prvků určuje způsob života společnosti.
Argumentuji svůj vlastní postoj na teoretické úrovni. Společnost je v širokém slova smyslu soubor forem spojování lidí a způsobů jejich interakce.
Spolu s dynamikou a otevřeností se vyznačuje důsledností a integritou. Společnost je zase souborem prvků společnosti, které mají smysl pouze jako součást celku a spojují je vzájemné stabilní vazby. Prvky systému jsou sociální skupiny a instituce. Zahrnuje také subsystém - 4 sféry života jako soubor stabilních vztahů mezi sociálními subjekty: duchovní, sociální, politický a ekonomický. Všechny sféry se doplňují a v každé společnosti lze vysledovat jejich vzájemné ovlivňování. Pokud vyloučíte alespoň jeden prvek, stabilní vazby se přeruší a funkce tohoto prvku zůstanou nenaplněny, to znamená, že lze tvrdit, že systém společnosti bude vadný.
Prokážu svůj vlastní názor na empirické úrovni. Připomeňme si konflikt mezi ruskou pravoslavnou církví a sovětskou mocí v dějinách Ruska ve 20. století. S nástupem bolševiků k moci v důsledku říjnového převratu začala aktivní propaganda ateismu. V roce 1918 byl přijat Dekret o odluce církve od státu a školy od církve, podle kterého byla církev zbavena práva mít jakýkoli majetek a v oblasti sovětských zákonů se ukázala jako nezákonná. Patriarcha Tikhon zradil sovětská moc anathema, mnoho náboženských vůdců bylo potlačeno. Nová vláda aktivně podporovala renovace a schizma v církvi. Kvůli tomuhle obecná úroveň morálka a etika mezi obyvatelstvem upadly tváří v tvář vnitřní politické a sociální nestabilitě. Pronásledování církve se však s počátkem Velké dočasně zastavilo Vlastenecká válka, I.V. Stalin si uvědomil důležitost náboženství v boji proti nepříteli a rozhodl se ho použít jako nástroj ke zvýšení morálky a vlasteneckého cítění armády. To vše ho přimělo upravit politiku vůči ROC. To dokazuje, že bez duchovní sféry je společnost nestabilní a nemůže se normálně rozvíjet.
Můžete také zvážit složení anglického filozofa T. Hobbese "Leviathan". Myslitel v ní pojednává o předstátním stavu společnosti. Podle jeho názoru ji lze charakterizovat jako „válku všech proti všem“. Zpočátku je člověk agresivní, porušuje společenské normy ve svůj vlastní prospěch. Lidé proto uzavřeli společenskou smlouvu, čímž přenesli část své svobody na panovníka, který bude jejich práva chránit zákonem. Tato smlouva je nevratná a schvaluje vznik státu. Tato teorie dokazuje, že společnost nemůže existovat bez politické sféry života.
Můžeme tedy dojít k závěru, že bez synchronního působení živlů nebude společnost schopna normálně fungovat pro nedostatek souhlasu jejích složek.
význam
Největší
význam
Nejméně
Maximální bod
Minimální bod
Problémy s nalezením extrémních bodů funkce jsou řešeny podle standardního schématu ve 3 krocích.
Krok 1... Najděte derivaci funkce
- Zapamatujte si vzorce pro derivaci elementárních funkcí a základní pravidla derivování, abyste derivaci našli.
y ′ (x) = (x3−243x + 19) ′ = 3x2−243.
Krok 2... Najděte nuly derivace
- Vyřešte výslednou rovnici a najděte nuly derivace.
3x2−243 = 0⇔x2 = 81⇔x1 = −9, x2 = 9.
Krok 3... Najděte extrémní body
- K určení znamének derivace použijte metodu mezer;
- V minimálním bodě je derivace rovna nule a mění znaménko z mínus na plus a v maximálním bodě z plus na mínus.
Vezměme tento přístup k vyřešení následujícího problému:
Najděte maximální bod funkce y = x3−243x + 19.
1) Najděte derivaci: y ′ (x) = (x3−243x + 19) ′ = 3x2−243;
2) Řešte rovnici y ′ (x) = 0: 3x2−243 = 0⇔x2 = 81⇔x1 = −9, x2 = 9;
3) Derivace je kladná pro x> 9 a x<−9 и отрицательная при −9 Jak najít největší a nejmenší hodnotu funkce Vyřešit problém hledání největších a nejmenších hodnot funkce nutné: Pomáhá v mnoha úkolech teorém: Pokud je na segmentu pouze jeden extrémní bod, a to je minimální bod, pak se tam dosáhne nejmenší hodnoty funkce. Pokud je toto maximální bod, pak je tam dosaženo nejvyšší hodnoty. 14. Pojem a základní vlastnosti neurčitého integrálu. Pokud je funkce F(X X, a k Je to tedy číslo Stručně řečeno: konstantu lze vyjmout ze znaménka integrálu. Pokud funkce F(X) a G(X) mají na intervalu primitivní funkce X, pak Stručně řečeno: integrál součtu se rovná součtu integrálů. Pokud je funkce F(X) má na intervalu primitivní prvek X, pak pro vnitřní body tohoto intervalu: Stručně řečeno: derivace integrálu se rovná integrandu. Pokud je funkce F(X) je spojitý na intervalu X a diferencovatelné ve vnitřních bodech tohoto intervalu, pak: Stručně řečeno: integrál diferenciálu funkce je roven této funkci plus integrační konstanta. Uveďme přesnou matematickou definici neurčité integrální pojmy. Výraz tohoto druhu se nazývá integrál funkce f (x)
, kde f (x)
- integrand, který je dán (známý), dx
- diferenciál X
, se symbolem je vždy přítomen dx
. Definice. Neurčitý integrál volala funkce F (x) + C
obsahující libovolnou konstantu C
jehož diferenciál je roven integrand výraz f (x) dx
, tj. Odvolej to - diferenciální funkce a je definován takto: Úkol najít neurčitý integrál je najít takovou funkci, derivát který se rovná integrandu. Tato funkce je určena až do konstanty, od derivace konstanty je rovna nule. To se například ví, pak se ukáže, že Hledání úkolu neurčitý integrál z funkcí není tak jednoduché a snadné, jak se na první pohled zdá. V mnoha případech musí být dovednost pracovat s neurčité integrály, musí existovat zkušenost, která přichází s praxí a se stálostí řešení příkladů na neurčité integrály. Stojí za to vzít v úvahu skutečnost, že neurčité integrály některé funkce (je jich hodně) se v elementárních funkcích neberou. 15. Tabulka základních neurčitých integrálů. Základní vzorce 16. Určitý integrál jako limita integrálního součtu. Geometrický a fyzikální význam integrálu. Nechť je funkce y = ƒ (x) definována na segmentu [a; b] a< b. Выполним следующие действия. 1.Pomocí bodů x 0 = a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0 2. V každém dílčím segmentu i = 1,2, ..., n vyberte libovolný bod s i є a vypočítejte v něm hodnotu funkce, tedy hodnotu ƒ (s i). 3. Nalezenou hodnotu funkce ƒ (s i) vynásobte délkou ∆x i = x i -x i-1 příslušného dílčího segmentu: ƒ (s i) ∆x i. 4. Sestavme součet S n všech takových součinů: Součet tvaru (35.1) se nazývá integrální součet funkce y = ƒ (x) na intervalu [a; b]. Označme λ délku největšího dílčího segmentu: λ = max ∆x i (i = 1,2, ..., n). 5. Najděte limitu integrálního součtu (35.1) jako n → ∞ tak, aby λ → 0. Pokud má v tomto případě integrální součet S n limitu I, která nezávisí na způsobu dělení segmentu [a; b] k dílčím úsečkám, nebo z výběru bodů v nich, pak číslo I nazýváme určitým integrálem funkce y = ƒ (x) na úsečce [a; b] a označuje se takto Čísla a a b se nazývají dolní a horní hranice integrace, ƒ (x) - integrand, ƒ (x) dx - integrand, x - proměnná integrace, segment [a; b] - oblast (segment) integrace. Funkce y = ƒ (x), pro kterou na segmentu [a; b] na tomto intervalu existuje určitý integrál nazývaný integrovatelný. Zformulujme nyní větu o existenci určitého integrálu. Věta 35.1 (Cauchy). Je-li funkce y = ƒ (x) spojitá na segmentu [a; b], pak určitý integrál Všimněte si, že kontinuita funkce je postačující podmínkou pro její integrovatelnost. Určitý integrál však může existovat i pro některé nespojité funkce, zejména pro jakoukoli funkci omezenou na interval a mající na sobě konečný počet bodů nespojitosti. Uveďme některé vlastnosti určitého integrálu, které přímo vyplývají z jeho definice (35.2). 1. Určitý integrál je nezávislý na označení proměnné integrace: Vyplývá to ze skutečnosti, že integrální součet (35.1), a tedy i jeho limita (35.2), nezávisí na tom, které písmeno označuje argument této funkce. 2. Určitý integrál se stejnými limity integrace je roven nule: 3. Pro libovolné reálné číslo c. 17. Newtonův-Leibnizův vzorec. Základní vlastnosti určitého integrálu. Nechte funkci y = f (x) kontinuální na segmentu
a F (x) je tedy jednou z primitivních funkcí funkce na tomto segmentu Newtonův-Leibnizův vzorec: Nazývá se Newtonův-Leibnizův vzorec základní vzorec integrálního počtu. Abychom dokázali Newton-Leibnizův vzorec, potřebujeme pojem integrálu s proměnnou horní hranicí. Pokud je funkce y = f (x) kontinuální na segmentu
, pak pro argument je integrál tvaru funkcí horní meze. Tuto funkci označujeme Skutečně zapíšeme přírůstek funkce odpovídající přírůstku argumentu a použijeme pátou vlastnost určitého integrálu a důsledek desáté vlastnosti: Tuto rovnost přepíšeme jako Pojďme počítat F (a) pomocí první vlastnosti určitého integrálu: Přírůstek funkce se obvykle označuje jako Abychom mohli aplikovat Newtonův-Leibnizův vzorec, potřebujeme znát jeden z primitivních derivátů y = F (x) integrandová funkce y = f (x) na segmentu
a vypočítat přírůstek této primitivní funkce na tomto segmentu. V článku jsou analyzovány metody integrace hlavní způsoby hledání primitivního derivátu. Zde je několik příkladů výpočtu určitých integrálů pomocí Newton-Leibnizova vzorce pro objasnění. Příklad. Vypočítejte hodnotu určitého integrálu pomocí Newton-Leibnizova vzorce. Řešení. Pro začátek si všimněte, že integrand je v segmentu spojitý
, proto je na něj integrovatelný. (O integrovatelných funkcích jsme hovořili v části o funkcích, pro které existuje určitý integrál). Z tabulky neurčitých integrálů je vidět, že pro funkci je množina primitivních funkcí pro všechny reálné hodnoty argumentu (a tedy pro) zapsána jako Nyní zbývá použít k výpočtu určitého integrálu Newton-Leibnizův vzorec: 18. Geometrické aplikace určitého integrálu. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU Výpočet objemu těla Výpočet objemu tělesa ze známých ploch rovnoběžných řezů: Objem rotačního tělesa:; ... Příklad 1... Najděte plochu obrázku ohraničenou křivkou y = sinx, přímky Řešení: Najděte oblast obrázku: Příklad 2... Vypočítejte plochu tvaru ohraničenou čarami Řešení: Nalezneme úsečky průsečíků grafů těchto funkcí. K tomu řešíme soustavu rovnic Odtud najdeme x 1 = 0, x 2 = 2,5. 19. Pojem diferenciální regulace. Diferenciální rovnice 1. řádu. Diferenciální rovnice- rovnice spojující hodnotu derivace funkce s funkcí samotnou, hodnoty nezávisle proměnné, čísla (parametry). Pořadí derivací zahrnutých v rovnici může být různé (formálně není ničím omezeno). Derivace, funkce, nezávislé proměnné a parametry mohou do rovnice vstupovat v různých kombinacích, nebo všechny, kromě alespoň jedné derivace, mohou zcela chybět. Ne každá rovnice obsahující derivace neznámé funkce je diferenciální rovnicí. Například, Parciální diferenciální rovnice(PDE) jsou rovnice obsahující neznámé funkce více proměnných a jejich parciální derivace. Obecný tvar takových rovnic může být reprezentován jako: kde jsou nezávislé proměnné a je funkcí těchto proměnných. Pořadí parciálních diferenciálních rovnic lze určit stejným způsobem jako u obyčejných diferenciálních rovnic. Další důležitou klasifikací parciálních diferenciálních rovnic je jejich rozdělení na rovnice eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zejména pro rovnice druhého řádu. Jak obyčejné diferenciální rovnice, tak parciální diferenciální rovnice lze rozdělit na lineární a nelineární... Diferenciální rovnice je lineární, pokud neznámá funkce a její derivace vstupují do rovnice pouze do prvního stupně (a vzájemně se nenásobí). Pro takové rovnice tvoří řešení afinní podprostor prostoru funkcí. Teorie lineárního DE je rozvinuta mnohem hlouběji než teorie nelineárních rovnic. Obecný pohled na lineární diferenciální rovnici n- pořadí: kde p i(X) jsou známé funkce nezávisle proměnné, nazývané koeficienty rovnice. Funkce r(X) na pravé straně se nazývá volný člen(jediný člen nezávislý na neznámé funkci) Důležitou speciální třídou lineárních rovnic jsou lineární diferenciální rovnice s konstantní koeficienty. Podtřídou lineárních rovnic jsou homogenní diferenciální rovnice - rovnice, které neobsahují volný člen: r(X) = 0. Pro homogenní diferenciální rovnice je splněn princip superpozice: lineární kombinace partikulárních řešení takové rovnice bude zároveň jejím řešením. Všechny ostatní lineární diferenciální rovnice se nazývají heterogenní diferenciální rovnice. V obecném případě nelineární diferenciální rovnice nemají vyvinuté metody řešení, s výjimkou některých konkrétních tříd. V některých případech (pomocí určitých aproximací) mohou být redukovány na lineární. Například lineární rovnice harmonického oscilátoru · - homogenní diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty. Řešení je rodina funkcí, kde a jsou libovolné konstanty, které jsou pro konkrétní řešení určeny ze zvlášť zadaných počátečních podmínek. Tato rovnice zejména popisuje pohyb harmonického oscilátoru s cyklickou frekvencí 3. Druhý Newtonův zákon lze zapsat ve formě diferenciální rovnice · Besselova diferenciální rovnice je obyčejná lineární homogenní rovnice druhého řádu s proměnnými koeficienty: Její řešení jsou Besselovy funkce. Příklad nejednotné nelineární obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu: V další skupině příkladů neznámá funkce u závisí na dvou proměnných X a t nebo X a y. Homogenní lineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu: Jednorozměrná vlnová rovnice - homogenní lineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu hyperbolického typu s konstantními koeficienty, popisuje kmitání struny, jestliže - výchylka struny v bodě se souřadnicí X momentálně t a parametr A nastavuje vlastnosti řetězce: Laplaceova rovnice ve dvourozměrném prostoru je homogenní lineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu eliptického typu s konstantními koeficienty, vznikající v mnoha fyzikálních problémech mechaniky, vedení tepla, elektrostatiky, hydrauliky: Kortewegova - de Vriesova rovnice, nelineární parciální diferenciální rovnice třetího řádu popisující stacionární nelineární vlny, včetně solitonů: 20. Diferenciální rovnice se separovatelnou použitelností. Lineární rovnice a Bernoulliho metoda. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu je rovnice, která je lineární s ohledem na neznámou funkci a její derivaci. Má formu
nebo 
Funkce je volána primitivní funkce... Primitivní funkce funkce je určena v rámci konstantní hodnoty.
, zde je libovolná konstanta.
.
a tato funkce je spojitá a rovnost 
.
kde .
... Pokud si připomeneme definici derivace funkce a přejdeme k limitě at, pak dostaneme. To znamená, že je to jedna z primitivních funkcí funkce y = f (x) na segmentu
... Tedy množina všech primitivních F (x) lze napsat jako 
, kde S Je libovolná konstanta.
, tedy, . Tento výsledek použijeme při výpočtu F (b): , tedy 
... Tato rovnost dává osvědčený Newton-Leibnizův vzorec .
... Pomocí tohoto zápisu má formu Newton-Leibnizův vzorec 
.
... Vezmi primitivní pro C = 0: .
.Obdélníkové S.K. Funkce, daná parametricky Polyarnaya S.K.
Výpočet ploch rovinných útvarů
Výpočet délky oblouku rovinné křivky
Výpočet plochy povrchu revoluce
není diferenciální rovnice.
lze považovat za aproximaci nelineární rovnice matematického kyvadla 
pro případ malých amplitud, kdy y≈ hřích y.
kde m- tělesná hmotnost, X- jeho souřadnice, F(X, t) je síla působící na těleso se souřadnicí X momentálně t... Jeho řešením je dráha tělesa při působení zadané síly.
