Welches Gewicht hat eine Position im Zahlensystem? Was ist ein Zahlensystem? Welche Zahlensysteme verwenden Experten, um mit einem Computer zu kommunizieren?

Bekanntschaft mit Blatt

Der Erfinder Listik erfand ein Gerät zur Übertragung von Zahlen. Sein Gerät übermittelte Nachrichten in Form einer Kette von kurzen und langen Signalen. In seinen Notizen bezeichnet Listik ein kurzes Signal mit der Zahl „0“ und das lange mit der Zahl „1“. Bei der Übermittlung von Zahlen verwendete er für jede Ziffer den folgenden Code:

Die Nummer 12, bestehend aus den Nummern 1 und 2, hat sich Merkblatt zur Übermittlung wie folgt notiert:

Das Gerät übermittelte diese Nachricht in einer Kette solcher Signale: drei kurze, eine lange, zwei kurze, eine lange und eine kurze.

Die Zahl 77 nach Listiks System wurde wie folgt codiert:

Informationscodierung

Codierung ist die Übersetzung von Informationen in eine Form, die für die Übertragung oder Speicherung geeignet ist.

Texte werden beispielsweise mit Buchstaben und Satzzeichen kodiert. Darüber hinaus kann ein und derselbe Datensatz auf unterschiedliche Weise codiert werden: auf Russisch, auf Englisch, auf Chinesisch ...

Zahlen werden mit Zahlen codiert. Die Zahlen, die wir gewohnt sind, heißen arabische Zahlen. Manchmal werden römische Ziffern verwendet. In diesem Fall ändert sich das Verfahren zum Codieren von Informationen. 12 und XII sind beispielsweise unterschiedliche Schreibweisen für dieselbe Zahl.

Musik kann mit Sonderzeichen - Notizen - codiert werden. Verkehrszeichen sind codierte Botschaften an Autofahrer und Fußgänger, die Piktogramme verwenden.

Produkte im Geschäft sind mit einem Barcode gekennzeichnet, der Informationen über das Produkt und seinen Hersteller enthält.

Ein Barcode ist eine Folge von schwarzen und weißen Streifen, die Informationen in einer für technische Geräte leicht lesbaren Form kodiert. Zusätzlich kann unter dem Strichcode ein Code in Form einer Ziffernfolge platziert werden.

Informationen werden immer in Form von Codes gespeichert und übertragen. Sie können nicht nur Informationen ohne einen Träger speichern. Ebenso ist es unmöglich, nur Informationen zu speichern und zu übertragen: Sie haben immer eine Form, dh sie sind verschlüsselt.

Binäre Kodierung

Binäre Codierung ist die Codierung von Informationen mit Nullen und Einsen. Diese Art der Informationsdarstellung hat sich für Computertechnologien als sehr komfortabel erwiesen.

Der Punkt ist, dass Computer auf Elementen aufgebaut sind, die sich in zwei möglichen Zuständen befinden können. Ein solcher Zustand wird mit der Nummer 0 bezeichnet, der andere mit der Nummer 1.

Ein Beispiel für ein binäres Gerät ist eine gewöhnliche Glühbirne. Es kann sich in einem von zwei Zuständen befinden: Ein (Zustand 1) oder Aus (Zustand 0).

Sie können auf Glühbirnen ein elektrisches Gedächtnis aufbauen und darin zum Beispiel Zahlen mit dem Binärcode von Leaf speichern.

Zum Speichern jeder Dezimalstelle werden vier Glühbirnen benötigt. So können Sie sich die Zahl 6 merken:

Stellen Sie die Schalter auf die gewünschte Position - und los geht's Tee trinken! Wenn der Strom nicht abgeschaltet wird, werden die Informationen gespeichert.

Glühbirnen eignen sich natürlich nicht für die Herstellung von Computern: Sie sind groß, brennen schnell durch, sind teuer (immerhin gibt es Millionen davon) und heizen die Umwelt stark auf.

In modernen Computern wird ein elektronisches Gerät, ein Transistor, als Speicherelement verwendet.

Der Transistor kann Strom durch sich selbst leiten (Zustand 1) oder nicht (Zustand 0).

Es gab eine Zeit, in der jeder Transistor separat hergestellt wurde und eine bedeutende Größe aufwies.

Jetzt werden Transistoren wie andere elektronische Elemente ähnlich wie beim Fotodruck hergestellt. Einer Mikroschaltung Fingernagelgroß können mehrere Millionen Transistoren „aufgedruckt“ werden.

Der Code, den Listik zum Kodieren von Nachrichten verwendet hat, wird tatsächlich verwendet, um mit Zahlen in einem Computer zu arbeiten.

Bei der Binärcodierung müssen Sie sich diese Tabelle gar nicht ansehen, aber denken Sie an die einfache Regel zum Übersetzen eines Binärcodes in eine Dezimalziffer.

Die im Code an erster Stelle rechts gibt die Zahl an
lo 1, auf der zweiten - 2, auf der dritten - 4, auf der vierten - 8. Um die Dezimalziffer zu erhalten, werden die Zahlen addiert. Zum Beispiel wird der Code „0101“ in die Ziffer 5 übersetzt (die Summe der Zahlen 4 und 1).

Die gleiche Regel kann auch für die Dekodierung verwendet werden. Zum Beispiel wird Ziffer 6 als Summe der Zahlen 4 und 2 geschrieben, was bedeutet, dass ihr Code „0110“ lautet.

Eine Tafel mit Zahlen, die im Zahlensystem geschrieben sind, das im alten Babylon verwendet wurde. Um 1700 v. Chr. 1945 entziffert.

Zahlensysteme

Blattcode und Zahlencodierung of

In der vorherigen Lektion haben Sie gezeigt, wie Sie Zahlen mit Nullen und Einsen schreiben. Prospekt kodiert jede Ziffer Nummer vier binär Zeichen.

Die Zahl 102 des Leaf-Codes wird also mit 12 binären Zeichen geschrieben:

Prospekt kodiert separat jeweils 10 Ziffern und verwendet dafür 4 Binärziffern. Aber vier Binärzeichen können nicht 10, sondern 16 Werte kodieren:

Es stellt sich heraus, dass 6 Blattcodes (das sind mehr als die Hälfte von 10) verschwendet werden!

Kann man kostengünstiger codieren?

Sie können, wenn Sie codieren keine Zahlen(von denen die Nummer gesammelt wird), und sofort die Zahlen! Die Zahl 102 kann mit dieser Codierungsmethode also nicht in zwölf, sondern nur in sieben binären Ziffern geschrieben werden (wir sparen 5 Ziffern):

Diese Codierung wird in diesem Tutorial behandelt. Aber fangen wir der Reihe nach an.

Dezimalzahlensystem

Wie Sie wissen, werden Zahlen aus Zahlen aufgebaut, und es gibt nur zehn Zahlen, hier sind sie:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Wie kann man große Zahlen mit nur zehn Ziffern schreiben? Wir werden dies jetzt sehen, aber erinnern Sie sich zuerst an die Definition:

Die Schreibweise von Zahlen heißt Zahlensystem.

Gelehrtes Wort Koppelnavigation, im Einklang mit dem Wort "Berechnung" bedeutet bereits "eine Art, Zahlen zu schreiben". Aber es schien den Mathematikern, dass der Satz Notation klingt besser. Egal, wir werden diesen Zwei-Wort-Begriff meistern! Lass uns jetzt damit umgehen Zahlensystem, an die sie gewöhnt sind.

Schauen Sie sich die Nummer 253 an. In diesem Eintrag ist die erste Ziffer rechts (sie heißt niedrigstwertige Ziffer) bedeutet „drei Einsen“, fünf bedeutet „fünf Zehner“ und zwei ( höchste Ziffer) - "zweihundert".

Es stellt sich heraus: 253 = 2 · 100 + 5 · 10 + 3 · 1.

Wir sprechen: "Zweihundertdreiundfünfzig"... Dies bedeutet die Zahl, die durch Addition erhalten wird:

zweihundert (2 100 = zweihundert),

fünf Dutzend (5 10 = fünfzig) und

drei Einheiten (3 1 = drei).

Wir sehen, dass der Wert der Ziffer in der Zahlenaufzeichnung abhängig ist von Positionen in der sich die Ziffer befindet. Ziffernpositionen werden anders genannt entlädt Zahlen.

Die niedrigstwertige Ziffer bedeutet Einheiten:

Die zweite Ziffer von rechts bedeutet Zehner:

Die dritte Ziffer von rechts bedeutet Hunderter:

Wir sehen, dass der Beitrag der Ziffer zur Zahl von rechts nach links zunimmt.

Zahlensysteme, in denen der Beitrag einer Ziffer zu einer Zahl abhängt von Positionen die Nummern im Eintrag werden aufgerufen Positionszahlensysteme.

Das uns bekannte Zahlensystem ist, wie wir gesehen haben, positionsgebunden. Beachten Sie, dass in Basis es soll Nummer 10 sein - die Anzahl der verwendeten Ziffern.

Die kleinste Ziffer zeigt die Anzahl der Einheiten der Zahl, die zweite von rechts - die Zehnerzahl (1 · 10). Der dritte zeigt Hunderte (10 10), der vierte Tausende (10 100) und so weiter.

Wir zählen als Einheiten, Einheiten addieren sich zu Zehner (zehn Einheiten werden durch eine Zehn ersetzt), Zehner werden zu Hunderten (zehn Zehner werden durch Hundert ersetzt) und so weiter.

Die Zahl 10 ist die Grundlage des üblichen Zahlensystems, daher heißt sie Dezimalsystem, oder nach dem Zahlensystem Basis 10.

Schauen Sie sich noch einmal an, wie 2789 in eine Zahl übersetzt wird.

Die Zahl erhält man durch Addition Einlagen darin enthaltene Nummern:

Der Beitrag jeder Ziffer wird durch Multiplizieren dieser Ziffer mit einem positionsabhängigen Multiplikator erhalten, der der Basis des Systems zugeordnet ist.

Positionsmultiplikatoren werden nach folgender Regel berechnet:

1. Der Multiplikator der ersten (rechten) Position ist 1 .

2. Der Multiplikator jeder nächsten Position wird durch Multiplikation der Basis des Systems (die Zahl 10 ) um einen Faktor der vorherigen Position.

Die Positionsmultiplikatoren werden aufgerufen Gewichte der Positionen, oder Positionsgewichte.

Die Zahl entspricht der Summe der Einzahlungen. Der Beitrag ist gleich dem Produkt aus Figur und Positionsgewicht. Das Gewicht der ersten Position beträgt 1, die zweite ist 10, die dritte 100 und so weiter. Das heißt, das Gewicht jeder Position (außer der ersten) wird aus dem Gewicht der vorherigen durch Multiplikation mit der Basis des Systems erhalten. Das Gewicht der ersten Position ist gleich eins.

So geht's: Sie haben sich multipliziert, addiert und nicht vermutet! Es stellt sich heraus, dass wir Zahlen in schreiben Basis-Ten-Positionsnotation! Warum ist die Basis unseres Systems gleich 10? Nun, das ist verständlich: Immerhin haben wir 10 Finger, es ist bequem zu zählen, indem man sie der Reihe nach beugt.

Aber für einen Computer ist, wie Sie bereits wissen, das Binärsystem bekannter, das heißt Positionsbasis zwei.

Binäres Zahlensystem

Im Binärsystem gibt es nur zwei Ziffern:

Wenn im Dezimalsystem die Positionsgewichte durch Multiplikation mit zehn erhalten werden, dann im Binärsystem - durch Multiplizieren mit zwei:

Es stellt sich heraus: 1011 2 = 1 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1 2 · 1 + 1 1 .

Im Binärsystem werden sie als Einsen betrachtet, Einsen addieren sich zu Zweien (zwei Einsen werden durch eins zwei ersetzt), Zweien - zu Vieren (zwei Zweier werden durch eins vier ersetzt) und so weiter.

Wenn geklärt werden muss, in welchem System eine Zahl geschrieben wird, wird ihr die Basis des Systems von unten zugeschrieben:

1011 2 - die Zahl wird im Binärsystem geschrieben.

Es ist nicht schwer, es in das Dezimalsystem umzuwandeln, Sie müssen nur die Operationen der Multiplikation und Addition ausführen:

1011 2 = 1 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1 2 · 1 + 1 1 =

1 8 + 0 4 + 1 2 + 1 1 = 11 10.

Binär-zu-Dezimal-Konvertierung

Im Binärsystem ist der Beitrag von Eins an erster Stelle rechts die Zahl 1, an zweiter Stelle - 2, an dritter - 4, an vierter - 8 und so weiter. Beiträge von Nullen sind natürlich unabhängig von ihrer Position gleich Null.

Wir erhalten folgende Regel:

Um von binär in dezimal umzuwandeln, müssen Sie das Gewicht seiner Position über jede binäre Ziffer schreiben und die darüber geschriebenen Zahlen addieren.

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10 .

Ein weiteres Beispiel, die Nummer 100110:

100110 2 = 32 + 4 + 2 = 38 10 .

Dezimal-zu-Binär-Konvertierung

Um von dezimal in binär umzuwandeln, verwenden wir das vorherige Schema mit Positionsgewichtungen:

Angenommen, Sie müssen die Zahl 26 in das Binärsystem übersetzen.Wir wählen den Anfang der Binärzahl (die höchstwertige Ziffer) nach dem Schema aus. 32 ist viel, also beginnen wir mit 16:

Ein Teil der ursprünglichen Zahl, nämlich 16, wird verschlüsselt, es bleibt 26 - 16 = 10. Nehmen Sie 8 (die größtmögliche Positionsgewichtung):

Es bleibt noch 10 - 8 = 2 zu codieren. Vier ist viel. Wir schreiben auf Position 0 und nehmen 2:

Wir haben die ganze Zahl codiert, was bedeutet, dass die letzte Ziffer Null sein sollte:

Es stellt sich heraus: 26 10 = 11010 2.

Die Umrechnungsregel von dezimal in binär lässt sich wie folgt formulieren.

Um diesen Algorithmus besser zu verstehen, arbeiten Sie auf dem Prüfstand des Testers. Drück den Knopf Zurücksetzen, wähle eine Nummer. Drücken Sie dann die Taste Start: Sie werden sehen, wie der Tester Schritt für Schritt den Binärumwandlungsalgorithmus durchführt.

Bitte beachten: Im Algorithmus-Datensatz ist das auszuführende Element markiert. nach dem den Knopf drücken Start... Zum Beispiel, wenn das Element markiert ist „Wiederholen, bis die Zahl Null wird“, dann nach Klick auf Start Der Tester prüft die aktuelle Zahl auf Gleichheit mit Null und entscheidet, ob die Wiederholung fortgesetzt wird.

(Führen Sie die Arbeit mit dem Tester auf der Seite der elektronischen Anwendung durch.)

Positionssysteme mit anderen Basen

Vasya liebt das Dezimalsystem, sein Computer ist binär und neugierige Mathematiker lieben verschiedene Positionszahlensysteme, weil man jede Zahl als Basis nehmen kann, nicht nur 2 oder 10.

Nehmen wir als Beispiel ein ternäres Zahlensystem.

Ternäres Zahlensystem

Das ternäre Zahlensystem verwendet, wie Sie sich vorstellen können, drei Zahlen:

Im ternären System werden sie als Einheiten betrachtet, Einsen werden zu Dreien hinzugefügt (drei Einsen werden durch eine Drei ersetzt), Dreier - zu Neunen (drei Dreier werden durch eine Neun ersetzt) und so weiter.

Interessanterweise wurde 1958 unter der Führung von N.P. Brusentsov, der Setun-Computer wurde an der Moskauer Staatlichen Universität entwickelt und arbeitete mit Zahlen nicht im binären, sondern im ternären Zahlensystem! Der erste Prototyp "Setun" ist auf dem Foto zu sehen:

Umwandlung von ternär in dezimal

Bezeichnen wir im Diagramm die Positionsbeiträge von Ziffern im ternären Zahlensystem:

Um in das Dezimalsystem umzurechnen, addieren Sie die Ziffern multipliziert mit ihren Positionsgewichten (Positionen mit Nullstellen können natürlich weggelassen werden):

10212 3 = 1 81 + 2 9 + 1 3 + 2 1 = 104 10 .

Im Binärsystem haben wir auf die Multiplikation verzichtet (es hat keinen Sinn mit 1 zu multiplizieren). Es gibt eine Zahl 2 im ternären System, also müssen Sie die entsprechenden Positionsgewichte verdoppeln.

Dezimal in ternäre Konvertierung

Übersetzen wir die Zahl 196 in das ternäre System, wählen wir den Anfang der ternären Zahl nach dem Schema. 243 ist viel, also beginnen wir mit 81 und der Zahl 2 (2 81< 196):

Ein Teil der ursprünglichen Zahl, nämlich 162 = 2 · 81, wird codiert, es bleibt noch 196 - 162 = 34 zu codieren. Nehmen Sie 27 und die Zahl 1 (Zahl 2 ergibt 54, was zu viel ist):

Es bleibt noch 34 - 1 · 27 = 7 zu codieren. Position mit Gewicht 9 gibt zu viel, schreibe 0 hinein und nimm Position mit Gewicht 3 und Nummer 2:

Es bleibt noch 7 - 2 · 3 = 1 zu codieren. Dies ist genau der Wert der verbleibenden niedrigstwertigen Stelle:

Es stellt sich heraus: 196 10 = 21021 3.

Positionssysteme: Grundregeln

Wir formulieren die allgemeinen Regeln für die Konstruktion von Zahlen in Positionszahlensystemen.

Die Zahl wird in Zahlen geschrieben, zum Beispiel:

Um den Wert einer Zahl zu bestimmen, müssen Sie die Zahlen mit den Gewichten ihrer Positionen multiplizieren und die Ergebnisse addieren.

Die Positionen sind von rechts nach links nummeriert. Das Gewicht der ersten Position beträgt 1.

Das Gewicht jeder nächsten Position wird aus dem Gewicht der vorherigen durch Multiplikation mit der Basis des Systems erhalten.

Es stellt sich heraus, dass das Gewicht der zweiten Position immer gleich der Basis des Systems ist.

Die Basis des Systems zeigt die Anzahl der Stellen, die im gegebenen System verwendet werden. In einem System mit Basis 10 gibt es also zehn Ziffern, in einem System mit Basis 5 fünf Ziffern.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Wenn der Eintrag

bedeutet eine Zahl im System zur Basis 5, dann ist sie gleich

3242 5 = 3 125 + 2 25 + 4 5 + 2 1 = 447 10 .

Der gleiche Eintrag im Basis-6-System bedeutet die Zahl

3242 6 = 3 216 + 2 36 + 4 6 + 2 1 = 746 10 .

Nicht-positionale Zahlensysteme

Positionszahlensysteme tauchten nicht sofort auf, primitive Menschen bezeichneten die Anzahl einiger Objekte als gleich der Anzahl anderer (sie galten als Kieselsteine, Stöcke, Knochen).

Es wurden auch bequemere Zählmethoden verwendet: Kerben an einem Stock, Striche an einem Stein, Knoten an einem Seil.

Manchmal verwenden auch moderne Menschen ein solches Zahlensystem und notieren beispielsweise die Anzahl der Tage, die um Kerben verstrichen sind.

Das ist ein Beispiel nicht-positionelles Einheitszahlensystem: zum Zählen verwendet allein Zahl (Stein, Stock, Knochen, Strich, Knoten ...), und der Beitrag dieser Figur hängt nicht von ihrer Position (Position) ab, sie ist immer gleich einer Einheit.

Es ist klar, dass es viel bequemer ist, Positionszahlensysteme zu verwenden.

Aktionen zu Zahlen

Aktionen auf Zahlen im Positionssystem mit beliebiger Basis werden genauso ausgeführt wie im Dezimalsystem: Sie basieren auf den Additions- und Multiplikationstabellen der Ziffern der entsprechenden Zahlensysteme.

Es wäre seltsam, wenn Sie in verschiedenen Systemen auf unterschiedliche Weise addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren müssten! Tatsächlich werden Zahlen in allen Zahlensystemen auf die gleiche Weise konstruiert, was bedeutet, dass Aktionen mit ihnen auf die gleiche Weise ausgeführt werden müssen.

Schauen wir uns einige Beispiele an.

Zusatz

5 + 7 = 12. In das niedrigstwertige Bit schreiben wir 2 und fügen eins zum nächsten Bit hinzu.

Lassen Sie uns eine oktale Additionstabelle erstellen:

Laut Additionstabelle 5 + 7 = 14 8. Wir schreiben 4 in die niedrigstwertige Ziffer und addieren eine zur nächsten Ziffer.

Subtraktion

Wir besetzen 1 an zweiter Stelle und ziehen 7 von der Zahl 15 ab. Ähnlich im Oktalsystem:

Wir besetzen 1 an der zweiten Stelle und subtrahieren 7 von der Zahl 15 8. Nach der Additionstabelle in Zeile 7 finden wir die Zahl 15. Die Zahl der entsprechenden Spalte ergibt das Ergebnis der Differenz - die Zahl 6.

Dies ist wahrscheinlich für Spinnen bequem zu verwenden
Oktales Zahlensystem!

Multiplikation

2 7 = 14. Wir schreiben 4 und 1 geht an "Gedanken" (zur nächsten Kategorie hinzufügen). 4 · 7 = 28. Wir schreiben 9 (8 plus 1 aus "Geist") und 2 übertragen wir in die nächste Kategorie.

Lassen Sie uns eine oktale Multiplikationstabelle erstellen:

2 7 = 16 8. Wir schreiben 6 und 1 geht an „Gedanken“ (zur nächsten Kategorie hinzufügen). 4 7 = 34 8. Wir schreiben 5 (4 plus 1 von "mind") und 3 übertragen wir auf die nächste Ziffer.

Einteilung

3 5< 17 < 4·5, поэтому первая цифра результата - 3. Из 17 вычитаем 5·3 = 15. К разности 2 приписываем цифру 5, получается 25. 25 = 5 ·5. Из 25 вычитаем 25=5·5, получается 0 - деление закончено.

In der Multiplikationstabelle in Zeile 5 finden wir die entsprechende Zahl 17 8 = 5 3:

Das bedeutet, dass die erste Ziffer des Ergebnisses 3 ist. Von 17 8 subtrahieren wir 17 8 = 5 · 3. Der Differenz 0 ordnen wir die letzte Ziffer 5 zu. 5 = 5 · 1. Ziehe 5 von 5 ab, es ergibt sich 0 - die Division ist beendet.

Fragen und Antworten

1. Definieren Sie den Begriff "Zahlensystem".

2. Definieren Sie den Begriff "Positionszahlensystem".

3. Erklären Sie die Prinzipien der Konstruktion von Zahlen in Dezimalschreibweise am Beispiel der Zahl 548.

4. Wie nennt man das Gewicht einer Position? Nennen Sie uns den Algorithmus zum Ermitteln der Gewichtung einer Position. Welches Gewicht hat die dritte Stelle von rechts in der Dezimalschreibweise der Zahl? Und binär? Und im Ternär?

5. Was versteht man unter einer Entlastung? An welcher Stelle steht die Zahl 5 in der Dezimalzahl 1532?

6. Wie nennt man den Beitrag der Zahlen? Welchen Beitrag leistet die Zahl 7 zu 1745 10? Und der Beitrag der Zahl 4 zur Zahl 1432 5?

7. Definieren Sie den Begriff „Basis des Positionszahlensystems“. Wie hängt die Basis eines Systems mit der Anzahl der Stellen in diesem System zusammen? Wie viele Stellen hat das 5-stellige Zahlensystem? Und hexadezimal? Wie wäre es mit einem Basis-25-System?

8. Wo ist die niedrigstwertige Ziffer im Zahlendatensatz? Und der Älteste?

9. Nennen Sie uns den Algorithmus zur Umwandlung einer Binärzahl in das Dezimalzahlensystem und führen Sie diesen Algorithmus für die Zahl 101101 2 durch.

10. Nennen Sie den Algorithmus zur Umwandlung einer Dezimalzahl in ein binäres Zahlensystem und führen Sie diesen Algorithmus für die Zahl 50 10 durch.

11. Wie konvertiert man eine Zahl aus einem beliebigen Positionszahlensystem in das Dezimalsystem? Die Erläuterung erfolgt am Beispiel eines Systems mit einer Basis 4.

Hausaufgaben

Option 1. Durchführung ohne Computer, "auf Papier"

1. Zungenbrecher lesen und Binärzahlen durch Dezimalzahlen ersetzen:

Gut gegessen
100001 2 Torten mit Torte,
Ja, alles mit Hüttenkäse.

Es waren 101000 2 Mäuse,
Getragen 101000 2 Grosz,
A 10 2 Mäuse sind kleiner
Sie trugen jeweils 10 2 Grosz.

2. Lösen Sie die Binärbuchstaben-Rätsel:

3. Führen Sie die Berechnungen durch und notieren Sie die Antwort in Dezimalschreibweise:

1) 100 2 5 8 =

2) 100 3 + 100 5 =

3) 10 9 10 100 - 10 900 =

4) 33 4 + 44 5 =

5) 15 6 + 51 8 =

4. Übersetzen Sie die angegebenen Zahlen in die angegebenen Zahlensysteme:

Option 2. Auf einem Computer ausgeführt

1. Schreiben Sie den arithmetischen Ausdruck zur Lösung des folgenden Problems auf und berechnen Sie die Antwort:

Unsere clevere Malvina
Kümmert sich um Buratino
Und ich habe es für ihn gekauft
Was er am meisten braucht:
10 2 Abdeckungen, 11 2 Lineale
Und für 111 2 Rubel-Aufkleber.
Auf den Titelseiten - Barmaley,
Der Preis beträgt jeweils 101 2 Rubel.
Auf den Linealen, die ich gekauft habe
101010 2 Rubel waren genug.
Wie viel haben die Einkäufe gekostet?
Beim Nachdenken - eine halbe Minute.

2. Versuchen Sie, mit dem Standard-Rechner-Programm Zahlen aus einem Gedicht in die übliche Dezimalschreibweise umzuwandeln ( Aussicht- Ingenieurwesen, Behälter- binäre Darstellung einer Zahl, Dezember- Dezimaldarstellung der Zahl). Verwenden Sie den Taschenrechner, um Algorithmen zum Umwandeln von Zahlen von binär in dezimal und umgekehrt, von dezimal in binär, aufzuschreiben.

Option 3. Für Neugierige

1. Beweisen Sie, dass 10 in einem beliebigen Positionszahlensystem eine Zahl bedeutet, die gleich der Basis dieses Systems ist.

2. Bestimmen Sie die Basis des Positionszahlensystems b für jede Gleichheit:

1) 10 b = 50 10 ;

2) 11 b = 6 10 ;

3) 100 b = 64 10 ;

4) 101 b = 26 10 ;

5) 50 b = 30 10 ;

6) 99 b = 909 10 ;

7) 21 b = 15 6 ;

8) 10 2 b = 100 b ;

9) 12 2 b = 22 b ;

10) 14 b· b = 104 b .

p ALIGN = "JUSTIFY"> 3. Das hexadezimale Zahlensystem verwendet 16 Stellen. Die ersten zehn Ziffern stimmen mit den Ziffern des Dezimalsystems überein und die letzten werden mit Buchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

	Wert

Übersetzen wir zum Beispiel die Zahl A8 16 ins Dezimalsystem:

A8 16 = 10 16 + 8 1 = 168 10 .

Finde in jeder Aufgabe den Wert der Zahl x:

1) 25 16 = x 10 ; 4) 170 10 = x 16 ;

2) AB 16 = x 10 ; 5) 2569 10 = x 16 ;

3) FD 16 = x 10 ; 6) 80 32 = x 16 .

4. Führen Sie die folgenden Aufgaben aus.

1) Ermitteln Sie das Gewicht der dritten Position im Zahlendatensatz, wenn bekannt ist, dass das Gewicht der zweiten Position 7 beträgt. Nummerierung der Positionen von rechts nach links.

2) Das Zahlensystem verwendet 5 Ziffern. Finden Sie das Gewicht der vierten Position von rechts in der Zahlenschreibweise.

3) Die Zahl wird in zwei Einheiten geschrieben: 11. In welchem Zahlensystem wird sie geschrieben, wenn sie dezimal gleich 21 ist?

4) In einem bestimmten Zahlensystem sieht die Zahl wie 100 aus. Wie viele Stellen verwendet dieses Zahlensystem, wenn die Zahl im Dezimalsystem 2500 ist?

5) Zwei Zahlen werden als 100 geschrieben, jedoch in Systemen mit unterschiedlicher Basis. Es ist bekannt, dass die Basis des ersten Systems doppelt so groß ist wie die des zweiten. Welche Zahl ist größer und wie oft?

6) Finden Sie die Basis des Systems, wenn bekannt ist, dass die in diesem System geschriebene Zahl 101 die Dezimalzahl 37 bedeutet.

7) In welchem Zahlensystem müssen Sie, um eine Zahl zu verdoppeln, rechts neben ihrem Eintrag eine Null hinzufügen?

8) Die Multiplikation mit 10 im Dezimalsystem bedeutet, dass rechts der Zahl Null hinzugefügt wird. Formulieren Sie die Multiplikationsregel mit 10 b in einem System mit einer Basis b.

5. Formulieren Sie einen Algorithmus zum Umwandeln einer Zahl vom dezimalen in das ternäre Zahlensystem.

6. Erstellen Sie Additions- und Multiplikationstabellen für das vierfache Zahlensystem. Führen Sie mithilfe dieser Tabellen die folgenden Aktionen für die Zahlen in einer Spalte aus (während Sie im quartären Zahlensystem bleiben):

1.a) 1021 4 + 333 4;

b) 3333 4 + 3210 4;

2.a) 321 4 - 123 4;

b) 1000 4 - 323 4;

3. a) 13 4 · 12 4;

b) 302 4 23 4;

4.a) 1123 4:13 4;

b) 112003 4: 101 4.

7. Erstellen Sie Additions- und Multiplikationstabellen für das binäre Zahlensystem. Führen Sie anhand dieser Tabellen die folgenden Schritte für die Zahlen in einer Spalte aus (die im binären Zahlensystem verbleiben):

1.a) 1001 2 + 1010 2;

b) 10111 2 + 1110 2;

2. a) 1110 2 - 101 2;

b) 10000 2 - 111 2;

3. a) 101 2 · 11 2;

b) 1110 2 · 101 2;

4.a) 1000 110 2: 101 2;

b) 100000100 2: 1101 2.

Werkstatt

Arbeiten Sie auf den Seiten der elektronischen Anwendung mit dem Performer Encoder.

Übungen beinhalten folgende Aufgabengruppen:

Dezimal

1. Von binär zu dezimal

2. Von ternär zu dezimal

3. Von fünf auf dezimal

4. Von hexadezimal zu dezimal

Von dezimal

1. Dezimal zu Binär

2. Von dezimal zu ternär

3. Von dezimal auf fünf

4. Dezimal zu Hexadezimal

Anrechnungsklasse 1

2. 1101 2 = ? 10

3. 11101 2 = ? 10

Anrechnungsklasse 2

10. 1001 2 = ? 16

Lehrermaterial

Positionsnummernsysteme

Im Positionszahlensystem wird eine Zahl als Kette von Sonderzeichen geschrieben:

a n a n – 1 ... ein 2 ein 1 (1)

Symbole ein ich werden genannt Zahlen... Sie bezeichnen ordinale zählbare Größen, beginnend bei Null und bis zum Wert einer Zahl weniger. q namens Basis Zahlensystem. Das heißt, wenn q- Basis, dann liegen die Werte der Ziffern im Intervall (einschließlich Grenzen).

Die Position der Ziffer im Datensatz der Zahl (1) heißt it Position, oder erfüllen.

Hinweis 1. Auf diesen Seiten wird der Begriff „Position“ bevorzugt. Zum einen stimmt das Wort „Position“ gut mit dem Begriff „Positional Number System“ überein und zum anderen klingt der Begriff „Positional Weight“ oder „Position Weight“ besser, klarer und einfacher als „Bit Weight“ oder „Bit Weight“. . Der Lehrer kann und sollte die Schüler jedoch von Zeit zu Zeit daran erinnern, dass „Position“ und „Rang“ gleichwertige Begriffe sind.

Anmerkung 2. Die in den Texten für den Schüler angegebene Definition des Positionszahlensystems ist nicht ganz korrekt. Die Abhängigkeit des Beitrags der Figur von der Position allein reicht nicht aus. Im römischen Zahlensystem zum Beispiel hängt der Beitrag der Ziffer auch von der Position ab (die Zahlen IV und VI sind unterschiedlich), aber dieses System ist nicht positionsgebunden. Als genaue Definition kann das gesamte Regelwerk zur Bildung einer Zahl angesehen werden, das in diesem Zusammenhang für einen Lehrer gegeben ist (d. h. neben der Tatsache der Positionsabhängigkeit umfasst die Definition: die Endlichkeit der Zahlenmenge und die Regel für eine Nummer durch ihre Aufnahme finden).

Die Positionen sind von rechts nach links nummeriert. Die Zahl an erster Stelle heißt is der jüngere Ziffer einer Zahl, im letzten - Senior.

Jeder Position ist eine Zahl zugeordnet, die wir ihr Gewicht nennen ( Gewichtsposition).

Positionsgewichte werden nach der folgenden rekursiven Regel bestimmt:

1. Das Gewicht der untersten Position beträgt 1.

2. Das Gewicht jeder nächsten Position ergibt sich aus dem Gewicht der vorherigen durch Multiplikation mit der Basis des Systems.

Lassen q- die Basis des Zahlensystems. Dann gilt die Regel zur Berechnung der Positionsgewichte ich bin kann prägnanter als wiederkehrende Formel geschrieben werden:

1. w 1 = 1.

2. ich bin = ich bin-einer · q(für alle ich > 1).

Im Positionszahlensystem ist der Datensatz

a n a n – 1 ... ein 2 ein 1 (1)

bedeutet Zahl Nein, gleich der Summe der Produkte der Ziffern durch ihre Positionsgewichte:

N = ein· w n + ein-einer · w n–1 + ... + ein 2 w 2 + ein einer · w 1 . (2)

Das Produkt einer Ziffer durch ihr Positionsgewicht (d.h. ein ich· ich bin) wird angerufen werden Positionsbeitrag von Zahlen.

Formel (2) ist die Grundlage für die Regeln für die Übersetzung von Zahlen von einem System in ein anderes, die in den Texten für den Studenten vorgeschlagen werden.

Im Dezimalsystem werden Zahlen mit zehn arabischen Zeichen geschrieben: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Die Positionsgewichte dieses Systems sind: ..., 1000, 100, 10, 1.

4627 10 = 4 1000 + 6 100 + 2 10 + 7 1.

Im Binärsystem werden Zahlen mit zwei arabischen Zeichen geschrieben: 0 und 1. Positionsgewichte dieses Systems: ..., 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Der Eintrag 10101 wird beispielsweise so „entschlüsselt“:

10101 2 = 1 16 + 0 8 + 1 4 + 0 2 + 1 1.

Beachten Sie, dass die rekursive Regel zur Berechnung von Gewichten impliziert, dass ich bin = q ich–1 und damit entspricht die Notation (2) der traditionellen Notation in Form eines Potenzpolynoms:

N = ein· q nein–1 + ein-einer · q nein–2 + ... + ein 2 q + ein 1 . (3)

Beweisen wir dies durch Induktion. Induktionsbasis beim ich= 1 wird direkt geprüft: w 1 = q 0 = 1.

Induktionshypothese: Lassen Sie die Aussage für einige wahr sein nein:

w n = q nein–1 .

Lassen Sie uns beweisen, dass es auch gilt für nein + 1.
Das heißt, wir beweisen die Gültigkeit der Gleichheit:

w n + 1 = q nein.

Tatsächlich, w n+1 = w n· q(gemäß der rekursiven Definition des Positionsgewichts) und w n = q nein–1 durch Induktionshypothese. Es stellt sich heraus:

w n + 1 = w n· q = q nein-einer · q = q nein.

Zeigen wir, dass jede Zahl in der Form (1) (Satz 1) eindeutig darstellbar ist (Satz 2).

Satz 1 (Existenz). Irgendeine Nummer ich kann in der Form (1) für beliebige dargestellt werden q > 1.

Beweise. Beweisen wir es durch Induktion. Zum ich = 0
und ich= 1 ist es einfach, die erforderliche Darstellung zu konstruieren - dies sind 0 bzw. 1 (für alle q>1). Nehmen wir an, wir haben es geschafft, die Zahl darzustellen ich im Formular (1). Wir finden dann eine Darstellung für ich+ 1. Dazu reicht es, die Summe umzurechnen

ein q nein–1 + ein-einer · q nein–2 + ... + ein 2 q + ein 1 + 1 um (1) zu bilden.

Wenn ein ein 1 < (q-1), dann erhält man die gewünschte Darstellung durch Ersetzen der Ziffer ein 1 an ein " 1 = ein 1 + 1.

Wenn ein ein 1 = (q–1) erhalten wir die Übergabe der Einheit an die nächste Position:

ein q nein F – 1 + ein-einer · q nein–2 + ... + (ein 2 + 1) q + 0.

Als nächstes argumentieren wir in ähnlicher Weise. Wenn ein ein 2 < (q-1), dann erhält man die gewünschte Darstellung durch Ersetzen der Ziffer ein 2 an ein " 2 = ein 2 + 1. Wenn ein 2 = (q–1), dann ein 2 wird durch Null ersetzt und eins wird an die nächste Stelle übertragen.

Oder auf einigen ich < nein wir werden den Bau beenden, oder wir werden einen Rekord von 1000 bekommen ... 0 - eins und nein Nullen nach rechts. Der Beweis ist vollständig.

Vor Satz 2 beweisen wir das Lemma.

Lemma. Der Beitrag jeder Ziffer ungleich Null im Datensatz (1) übersteigt die Summe der Beiträge der Ziffern rechts davon.

a n a n – 1 ... ein 2 ein 1 . (1)

Beweise. Lassen Sie uns das für jeden beweisen nein > 1:

ein q nein–1 > ein-einer · q nein–2 + ... + ein 2 q+ ein 1 .

Zahlen ein ich liegen im Intervall, was bedeutet, dass es genügt, die Ungleichung für die kleinste von Null verschiedene Stelle links und die maximalen Stellen rechts zu beweisen:

qn – 1> ( q-einer)· q nein–2 + ... + (q-einer)· q + (q–1).

Auf der rechten Seite nehmen wir den Faktor ( q–1) außerhalb der Halterung:

(q-einer)· q nein–2 + ... + (q-einer)· q + (q–1) =

= (q-einer)·( q nein–2 + ... + q + 1).

Die Summe des geometrischen Verlaufs in der letzten Klammer berechnen wir nach der bekannten Formel:

(q-einer)·( q nein–2 + ... + q + 1) =

= (q-einer)·( q nein–1 –1)/(q–1) = q nein–1 – 1.

Wir erhalten eine offensichtliche Ungleichung, die das Lemma beweist:

qn – 1> q nein–1 – 1.

Satz 2 (Eindeutigkeit). Die Zahl in der Form (1) wird auf die einzige Weise dargestellt.

Beweise. Aus dem Lemma folgt, dass Zahlen mit unterschiedlicher Stellenzahl in ihrer Notation (nicht signifikante Nullen auf der linken Seite werden nicht gezählt) nicht gleich sein können: eine Zahl mit vielen Stellen ist immer größer. Es ist also nur zu beweisen, dass wenn ein ich nicht gleich b ich für alle ich von 1 bis nein dann Aufzeichnungen

a n a n – 1 ... ein 2 ein 1 (4)

b n b n – 1 ... b 2 b 1 (5)

kann nicht dieselbe Zahl bedeuten.

Sehen wir uns die Datensätze (4) und (5) von links nach rechts auf der Suche nach nicht übereinstimmenden Ziffern an. Kümmer dich nicht darum ein k und b k Loslassen ein k – b k = d.

Auf der k-Platz im Rekord, es gab einen Unterschied in d· q k-einer . Diese Differenz sollte durch die Beiträge der rechts liegenden Positionen ausgeglichen werden. Dies ist aber unmöglich, da nach dem Lemma die Summe der Beiträge der rechts liegenden Positionen immer kleiner ist als der Beitrag der aktuellen Position. Der Satz ist bewiesen.

Umrechnung in Dezimalzahl

So übersetzen Sie Zahlen aus einem Radix-System q im Dezimalsystem können Sie die Formel (2) verwenden und darin Multiplikation und Addition durchführen.

N = ein· w n + ein-einer · w n–1 + ... + ein 2 w 2 + ein einer · w 1 (2)

Beim Übersetzen aus einem Binärsystem wird nur addiert (weil man nicht mit 1 multiplizieren kann). Damit erhalten wir die im Lesesaal formulierte Übersetzungsregel:

Um von binär in dezimal umzuwandeln, müssen Sie das Gewicht seiner Position über jede binäre Ziffer schreiben und die darüber geschriebenen Zahlen addieren.

Für die Zahl 10111 erhalten wir zum Beispiel:

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10

Allgemeine Transferregel von q-ary-System nach Dezimalsystem klingt wie folgt:

Um zu transferieren von q-ary-System im Dezimalsystem, müssen Sie das Gewicht seiner Position über jeder Ziffer aufschreiben und die Summe der Produkte der Ziffern anhand ihrer Positionsgewichte ermitteln (dh die Summe der Positionsbeiträge ermitteln).

Für die Zahl 10212 3 erhalten wir zum Beispiel:

Wir addieren die Zahlen multipliziert mit ihren Positionsgewichten (Positionen mit Nullstellen können natürlich weggelassen werden):

10212 3 = 1 81 + 2 9 + 1 3 + 2 1 = 104 10 .

Übersetzung ins q- persönlich

Um Zahlen von Dezimal in Radix umzuwandeln q wir verlassen uns weiterhin auf Formel (2):

N = ein· w n + ein-einer · w n–1 + ... + ein 2 w 2 + ein einer · w 1 . (2)

Algorithmus der Übersetzung.

I. Wiederholen, bis die Zahl Null wird:

1. Suchen Sie die erste Position links, deren Gewicht nicht mehr als die aktuelle Zahl beträgt. Schreiben Sie in die Position die maximal mögliche Ziffer, so dass ihr Positionsbeitrag (das Produkt der Ziffer durch das Gewicht) die aktuelle Zahl nicht überschreitet.

2. Verringern Sie die aktuelle Zahl um den Beitrag der konstruierten Position.

II. Schreiben Sie Nullen an die Stellen, die nicht von den konstruierten Ziffern besetzt sind.

An jeder Stelle wird die maximal mögliche Ziffer genommen, da nach dem Lemma der Beitrag dieser Ziffer nicht durch die rechts stehenden Ziffern kompensiert werden kann. Der Algorithmus funktioniert aufgrund der bewiesenen Existenz (Satz 1) und Eindeutigkeit (Satz 2) der Darstellung einer Zahl in der Form (1).

Für ein binäres System erhalten wir eine Variante des im Material für den Schüler angegebenen Algorithmus.

Um in Binär zu konvertieren, müssen Sie eine Vorlage mit Gewichten von Binärziffern erstellen:

Die Zahl wird nach folgendem Algorithmus übersetzt:

I. Wiederholen, bis die Zahl Null wird:

1. Schreiben Sie 1 an die erste Stelle von links, deren Gewicht nicht größer ist als die aktuelle Zahl.

2. Verringern Sie die aktuelle Zahl um das Gewicht der konstruierten Einheit.

II. Schreiben Sie Nullen an die Stellen, die nicht mit Einsen besetzt sind.

In der Praxis erweist sich diese Übersetzungsmethode als viel einfacher und schneller als der traditionelle Algorithmus mit dem Finden von Residuen.

Bei der Umrechnung von einem Dezimalsystem in ein Ternärsystem sind sowohl die Positionsgewichte selbst als auch deren Verdoppelung zu berücksichtigen. Für eine schnelle Übersetzung können Sie eine Tabelle erstellen, deren Zeilen den Positionen der Zahlen entsprechen, die Spalten - den Zahlen und die Zellen - den Beiträgen der Zahl zur Zahl, je nach ihrer Position im Nummernrekord:


Position 729
Position 243
Position 81
Position 27
Position 9
Position 3
Position 1

Nehmen wir an, der Beitrag der Zahl 2 an Position 243 ist die Zahl 486 und an Position 9 ist die Zahl 18.

Um in ein ternäres System zu übersetzen, müssen Sie die Tabelle Zeile für Zeile nach der größten Zahl durchsuchen, die den aktuellen Wert nicht überschreitet.

Konvertieren wir zum Beispiel die Zahl 183 in ein ternäres System. Ein passender Wert befindet sich in der dritten Zeile und ersten Spalte:


Position 729
Position 243
Position 81
Position 27
Position 9
Position 3
Position 1

Daher beginnt die Ternärzahl mit der Ziffer 2:

183 10 = 202?? 3

Für die Zahl 21-18 = 3 gibt es eine genaue Bedeutung in der Tabelle, die Übersetzung ist abgeschlossen:

183 10 = 20210 3 .

Bei Systemen mit großer Basis werden die entsprechenden Tabellen natürlich umfangreicher. Als letztes Beispiel erstellen wir eine Tabelle zur Konvertierung in ein hexadezimales Zahlensystem:

Wandeln wir die Zahl 4255 in das Hexadezimalsystem um, suchen wir die erste Zahl in der Tabelle (von links nach rechts, Zeile für Zeile, von oben beginnend), die sich als nicht mehr als die ursprüngliche Zahl 4255 herausstellt:

Wir erhalten die erste Ziffer 1 in Position 4096:

Es bleibt noch 4255 - 4096 = 159 zu codieren.

Überspringen Sie Zeile 256 (die entsprechende Ziffer ist 0), und in Zeile 16 finden wir den entsprechenden Wert 144:

Wir erhalten die Zahlen in den Positionen 256 und 16:

Es bleibt noch 159 - 144 = 15 zu codieren. Es ist klar, dass dies der Wert der niedrigstwertigen Ziffer ist:

Es stellt sich heraus: 4255 10 = 109F 16.

Aktionen zu Zahlen

Dieser Abschnitt wird zu Informationszwecken im Material für den Schüler schematisch dargestellt.

Dem Thema kann eine eigene, große und ziemlich interessante Lektion gewidmet werden, aber es gibt schon viel Stoff - die Unermesslichkeit ist schwer zu fassen!

In einer einfachen einführenden Version wird gezeigt, dass Aktionen auf Zahlen in einem beliebigen Zahlensystem genauso ausgeführt werden wie im Dezimalsystem. Es ist seltsam, wenn es anders wäre, denn Zahlen in allen Positionssystemen sind nach den gleichen Regeln aufgebaut, was bedeutet, dass Aktionen auf ihnen auf die gleiche Weise ausgeführt werden müssen.

Der Abschnitt wird durch Hausaufgaben zu Option 3 unterstützt. Diese Übungen können neugierigen Schülern als Einzelaufgaben empfohlen werden.

Kapitel 4. Arithmetische Grundlagen von Computern

4.1. Was ist ein Zahlensystem?

Es gibt positionsgebundene und nicht-positionale Zahlensysteme.

In nicht-positionalen Zahlensystemen das Gewicht einer Ziffer (d. h. der Beitrag, den sie zum Wert der Zahl leistet) hängt nicht von ihrer Position ab in der Notation der Zahl. Im römischen Zahlensystem beträgt das Gewicht der Zahl X in der Zahl XXXII (zweiunddreißig) also an jeder Position nur zehn.

In Positionszahlensystemen das Gewicht jeder Ziffer ändert sich abhängig von ihrer Position (Position) in der Ziffernfolge, die die Zahl darstellt. In der Zahl 757,7 bedeutet die erste Sieben beispielsweise siebenhundert, die zweite - 7 Einheiten und die dritte - 7 Zehntel von eins.

Dieselbe Notation der Zahl 757.7 bedeutet eine abgekürzte Notation des Ausdrucks

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Jedes Positionszahlensystem zeichnet sich durch seine Basis.

Als Basis des Systems kann jede natürliche Zahl genommen werden - zwei, drei, vier usw. Daher, unzählige Positionierungssysteme möglich: binär, ternär, quaternär usw. Schreiben von Zahlen in jedes der Radix-Systeme q bedeutet Abkürzungsausdruck

ein n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + ... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + ... + a -m q -m ,

Wo ein ich - Zahlennummern; nein und ich - die Anzahl der Integer- bzw. Nachkommastellen.
Beispielsweise:

4.2. Wie werden ganze Zahlen in Positionszahlensystemen erzeugt?

In jedem Zahlensystem sind Zahlen nach ihrer Bedeutung geordnet: 1 ist größer als 0, 2 ist größer als 1, usw.

Die Zahl 1 vorzurücken bedeutet, sie durch 2 zu ersetzen, die Zahl 2 vorzurücken, bedeutet, sie durch 3 zu ersetzen usw. Hochstellige Werbeaktion(zum Beispiel die Zahlen 9 dezimal) bedeutet, es durch 0 zu ersetzen... In einem Binärsystem, das nur zwei Ziffern verwendet, 0 und 1, bedeutet das Ersetzen von 0, es durch 1 zu ersetzen, und das Vorrücken von 1 bedeutet, es durch 0 zu ersetzen.

Ganzzahlen in einem beliebigen Zahlensystem werden erzeugt mit generated Kontoregeln [44 ]:

Wenden wir diese Regel an und schreiben wir die ersten zehn ganzen Zahlen

binär: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

im ternären System: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

im fünffachen System: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

im Oktal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

4.3. Welche Zahlensysteme verwenden Spezialisten, um mit einem Computer zu kommunizieren?

Neben dezimalen Systemen werden häufig Systeme mit einer ganzzahligen Potenz von 2 verwendet, nämlich:

binär(Zahlen 0, 1 werden verwendet);

oktal(Zahlen 0, 1, ..., 7 werden verwendet);

hexadezimal(für die ersten ganzen Zahlen von null bis neun werden die Ziffern 0, 1, ..., 9 verwendet, und für die nächsten ganzen Zahlen von zehn bis fünfzehn werden die Zeichen A, B, C, D, E, F verwendet als Ziffern).

Es ist nützlich, sich den Eintrag in diesen Zahlensystemen für die ersten beiden Zehner ganzer Zahlen zu merken:

Von allen Zahlensystemen besonders einfach Und deswegen interessant für die technische Umsetzung im binären Zahlensystem von Computern.

4.4. Warum verwenden Menschen Dezimal und Computer verwenden Binär?

Die Menschen bevorzugen das Dezimalsystem, wahrscheinlich weil sie seit der Antike mit den Fingern gezählt haben und die Menschen zehn Finger an Händen und Füßen haben. Nicht immer und nicht überall verwendet man das dezimale Zahlensystem. In China zum Beispiel wurde lange Zeit das fünffache Zahlensystem verwendet.

Und Computer verwenden ein Binärsystem, weil es gegenüber anderen Systemen eine Reihe von Vorteilen hat:

um es umzusetzen, brauchst du technische Geräte mit zwei stationären Zuständen(es gibt einen Strom - kein Strom, magnetisiert - nicht magnetisiert usw.) und nicht zum Beispiel mit zehn, wie in Dezimal;

Darstellung von Informationen durch nur zwei Zustände zuverlässig und Anti-Jamming;

möglicherweise Boolesche Algebra-Geräteanwendung um logische Transformationen von Informationen durchzuführen;

binäre Arithmetik ist viel einfacher als dezimal.

Der Nachteil des Binärsystems ist schneller Anstieg der Stellenzahl zum Schreiben von Zahlen erforderlich.

4.5. Warum verwenden Computer auch oktale und hexadezimale Zahlensysteme?

Ein für Computer geeignetes Binärsystem ist für Menschen wegen seiner Umständlichkeit und ungewöhnlichen Aufzeichnung unbequem.

Das Umwandeln von Zahlen von Dezimal in Binär und umgekehrt wird von der Maschine durchgeführt. Um einen Computer professionell nutzen zu können, müssen Sie jedoch das Wort Maschine verstehen lernen. Dafür wurden die Oktal- und Hexadezimalsysteme entwickelt.

Zahlen in diesen Systemen lassen sich fast genauso leicht lesen wie dezimale, sie benötigen drei (oktal) bzw. vier (hexadezimal) mal weniger Stellen als im Binärsystem (schließlich sind die Zahlen 8 bzw und vierte Potenzen der Zahl 2) ...

Beispielsweise:

Beispielsweise,

4.6. Wie konvertiert man eine ganze Zahl vom Dezimalsystem in ein anderes Positionszahlensystem?

Beispiel: Lassen Sie uns die Zahl 75 vom Dezimalsystem in binär, oktal und hexadezimal umwandeln:

Antworten: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

4.7. Wie übersetzt man die richtige Dezimalzahl in ein anderes Positionszahlensystem?

Um die richtige Dezimalzahl zu übersetzenF radixierenq notwendigF malq , geschrieben im gleichen Dezimalsystem, dann multipliziere den Bruchteil des resultierenden Produkts mitq, und so weiter, bis der Bruchteil des nächsten Produkts gleich Null wird oder die erforderliche Genauigkeit der Zahl erreicht ist F imq -gepaartes System. Darstellung des Bruchteils einer ZahlF im neuen Nummernsystem wird es eine Folge ganzer Teile der eingegangenen Werke geben, die in der Reihenfolge ihres Eingangs geschrieben und durch Eins dargestellt werden q -eine Zahl. Wenn die erforderliche Genauigkeit der ZahlenumwandlungF istk Nachkommastellen, dann ist der maximale absolute Fehler gleichq - (k + 1) / 2.

Beispiel. Konvertieren wir die Zahl 0,36 vom Dezimalsystem in binär, oktal und hexadezimal:

4.8. Wie konvertiert man eine Zahl vom binären (oktalen, hexadezimalen) System in das Dezimalsystem?

Umrechnung einer Zahl ins Dezimalsystemx aufgenommen inq -äres Zahlensystem (q = 2, 8 oder 16) in der Formx q = (a nein ein n-1 ... ein 0 , ein -1 ein -2 ... ein -m ) q reduziert sich auf die Berechnung des Wertes des Polynoms

x 10 = a nein q nein + a n-1 q n-1 + ... + a 0 q 0 + a -1 q -1 + a -2 q -2 + ... + a -m q -m

mittels Dezimalarithmetik.

Beispiele:

4.9. Übersichtstabelle der Übersetzungen von ganzen Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes

Betrachten Sie nur die Zahlensysteme, die in Computern verwendet werden - dezimal, binär, oktal und hexadezimal. Aus Gründen der Bestimmtheit nehmen wir eine beliebige Dezimalzahl, zum Beispiel 46, und führen dafür alle möglichen aufeinanderfolgenden Übersetzungen von einem Zahlensystem in ein anderes durch. Die Reihenfolge der Übersetzungen wird gemäß der Abbildung bestimmt:

Diese Abbildung verwendet die folgenden Konventionen:

die Basen der Zahlensysteme sind in Kreisen geschrieben;

Pfeile geben die Translationsrichtung an;

die Zahl neben dem Pfeil bedeutet die Seriennummer des entsprechenden Beispiels in der Übersichtstabelle 4.1.

Zum Beispiel: bedeutet eine Übersetzung von binär in hexadezimal, die in der Tabelle eine Folgenummer 6 hat.

Pivot-Tabelle der ganzzahligen ÜbersetzungenzweiAbschnitte- die Theorie der Statistik ... Statistik, Informatik als Disziplinen ... KR (elektronisch Ausführung Auflagen). ".... Mikroökonomische Statistik des EP: Lehrbuch. Beihilfe... - M.: Delo, 2000. ... Zeitschrift. das Internet- Rosstat-Websites ...

& quot die Bildung von offenen Datenbanken mit Informationsressourcen &

Bericht

Referenzausgaben. Bibliografische Leistungen. Abschnitt 1. Referenzveröffentlichungen ... von Schlichtungsverfahren. das Internet-Ausführung die Zeitschrift bietet Zugang zu ... URSS / das Internet-Ergebnis bestehtvonzwei Abteilungen: ... Spezialisten des Amtes Informatik und Telekommunikation...

Notation ist eine Methode zum Schreiben einer Zahl mit einem bestimmten Satz von Sonderzeichen (Zahlen).

Notation:

gibt eine Darstellung einer Reihe von Zahlen (Ganzzahlen und / oder reelle Zahlen) an;

gibt jeder Zahl eine eindeutige Darstellung (oder zumindest eine Standarddarstellung);

zeigt die algebraische und arithmetische Struktur einer Zahl an.

Das Schreiben einer Zahl in ein bestimmtes Zahlensystem nennt man Zahlencode.

Eine separate Position in der Anzeige einer Nummer wird aufgerufen erfüllen, was bedeutet, dass die Positionsnummer Rangnummer.

Die Anzahl der Bits einer Zahl heißt Bissigkeit und entspricht seiner Länge.

Zahlensysteme sind unterteilt in positionell und nicht positionell. Positionsnummernsysteme sind geteilt

auf der homogen und gemischt.

oktales Zahlensystem, hexadezimales Zahlensystem und andere Zahlensysteme.

Übersetzung von Zahlensystemen. Zahlen können von einem Zahlensystem in ein anderes übersetzt werden.

Korrespondenztabelle von Zahlen in verschiedenen Zahlensystemen.