So finden Sie a1 in der arithmetischen Progressionsformel. inverse Matrix

Also, Dienste zum Lösen von Matrizen online:

Der Dienst zum Arbeiten mit Matrizen ermöglicht Ihnen elementare Matrixtransformationen.
Wenn Sie eine Aufgabe haben, eine komplexere Transformation durchzuführen, sollte dieser Dienst als Konstruktor verwendet werden.

Beispiel... Gegebene Matrizen EIN und B, ich muss finden C = EIN -1 * B + B T,

Sie sollten zuerst finden inverse MatrixA1 = EIN-1, Verwenden des Dienstes zum Finden der inversen Matrix;
Nach dem Finden der Matrix A1 Tu es Matrix-MultiplikationA2 = A1 * B Verwenden des Matrixmultiplikationsdienstes;
Lass uns ausführen Matrix transponierenA3 = B T (Dienst zum Finden der transponierten Matrix);
Und das Letzte - finde die Summe der Matrizen VON = A2 + A3(Dienst zur Berechnung der Matrizensumme) - und wir bekommen eine Antwort mit der detailliertesten Lösung !;

Produkt von Matrizen

Dies ist ein Online-Service in Zwei schritte:

Führen Sie die erste Faktormatrix ein EIN
Führen Sie die zweite Faktormatrix oder den zweiten Spaltenvektor ein B

Matrix-Vektor-Multiplikation

Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor findet man mit dem Dienst Matrix-Multiplikation
(Der erste Faktor ist die gegebene Matrix, der zweite Faktor ist die Spalte, die aus den Elementen des gegebenen Vektors besteht)

Dies ist ein Online-Service in Zwei schritte:

Geben Sie die Matrix ein EIN, für die Sie die inverse Matrix finden müssen
Erhalten Sie eine Antwort mit einer detaillierten Lösung zum Finden der inversen Matrix

Determinante einer Matrix

Dies ist ein Online-Service in ein Schritt:

Geben Sie die Matrix ein EIN, für die Sie die Determinante der Matrix finden müssen

Matrix transponieren

Hier können Sie den Matrixtranspositionsalgorithmus verfolgen und lernen, wie Sie solche Probleme selbst lösen können.
Dies ist ein Online-Service in ein Schritt:

Geben Sie die Matrix ein EIN transponiert werden

Matrixrang

Dies ist ein Online-Service in ein Schritt:

Geben Sie die Matrix ein EIN, für die Sie den Rang finden müssen

Matrix-Eigenwerte und Matrix-Eigenvektoren

Dies ist ein Online-Service in ein Schritt:

Geben Sie die Matrix ein EIN, für die Sie Eigenvektoren und Eigenwerte (Eigenwerte) finden müssen

Potenzierung einer Matrix

Dies ist ein Online-Service in Zwei schritte:

Geben Sie die Matrix ein EIN, die du zur Macht erheben wirst
Geben Sie eine ganze Zahl ein q- Grad

Die Matrix $ A ^ (- 1) $ heißt invers zur quadratischen Matrix $ A $, wenn die Bedingung $ A ^ (- 1) \ cdot A = A \ cdot A ^ (- 1) = E $ erfüllt ist , wobei $ E $ die Identitätsmatrix ist, deren Ordnung gleich der Ordnung der Matrix $ A $ ist.

Nicht entartete Matrix - eine Matrix, deren Determinante ungleich Null ist. Dementsprechend ist eine entartete Matrix eins mit Null-Determinante.

Die inverse Matrix $ A ^ (- 1) $ existiert genau dann, wenn die Matrix $ A $ nicht entartet ist. Wenn die inverse Matrix $ A ^ (- 1) $ existiert, dann ist sie eindeutig.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Inverse einer Matrix zu finden, und wir werden uns zwei davon ansehen. Auf dieser Seite wird die adjungierte Matrixmethode diskutiert, die in den meisten höheren Mathematikkursen als Standard gilt. Die zweite Methode zum Auffinden der inversen Matrix (die Methode der elementaren Transformationen), bei der die Gauß-Methode oder die Gauß-Jordan-Methode verwendet wird, wird im zweiten Teil diskutiert.

Die adjungierte (adjungierte) Matrixmethode

Gegeben sei die Matrix $ A_ (n \ mal n) $. Um die Inverse der $ A ^ (- 1) $ Matrix zu finden, sind drei Schritte erforderlich:

Bestimmen Sie die Determinante der Matrix $ A $ und stellen Sie sicher, dass $ \ Delta A \ neq 0 $, d.h. dass die Matrix A nicht entartet ist.
Bilden Sie die algebraischen Komplemente $ A_ (ij) $ jedes Elements der Matrix $ A $ und schreiben Sie die Matrix $ A_ (n \ mal n) ^ (*) = \ left (A_ (ij) \ right) $ aus dem algebraische Komplemente gefunden.
Schreiben Sie die inverse Matrix unter Berücksichtigung der Formel $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $.

Die Matrix $ (A ^ (*)) ^ T $ wird oft als adjungiert (reziprok, adjungiert) zur Matrix $ A $ bezeichnet.

Wenn die Lösung manuell durchgeführt wird, ist die erste Methode nur für Matrizen relativ kleiner Ordnung geeignet: zweite (), dritte (), vierte (). Andere Methoden werden verwendet, um die Inverse einer Matrix höherer Ordnung zu finden. Zum Beispiel die Gauss-Methode, die im zweiten Teil diskutiert wird.

Beispiel 1

Finden Sie die Umkehrung von $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) 5 & -4 & 1 & 0 \\ 12 & -11 & 4 & 0 \\ -5 & 58 & 4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \ Ende (Array) \ Rechts) $.

Da alle Elemente der vierten Spalte gleich Null sind, ist $ \ Delta A = 0 $ (d. h. die Matrix $ A $ ist entartet). Da $ \ Delta A = 0 $ ist, existiert die zur Matrix $ A $ inverse Matrix nicht.

Antworten: die Matrix $ A ^ (- 1) $ existiert nicht.

Beispiel Nr. 2

Finden Sie die Inverse der Matrix $ A = \ left (\ begin (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right) $. Prüfen.

Wir verwenden das adjungierte Matrixverfahren. Zuerst finden wir die Determinante der gegebenen Matrix $ A $:

$$ \ Delta A = \ links | \ begin (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right | = -5 \ cdot 8-7 \ cdot 9 = -103. $$

Da $ \ Delta A \ neq 0 $ dann die inverse Matrix existiert, werden wir die Lösung fortsetzen. Algebraische Komplemente finden

\ begin (ausgerichtet) & A_ (11) = (- 1) ^ 2 \ cdot 8 = 8; \; A_ (12) = (- 1) ^ 3 \ cdot 9 = -9;\\ & A_ (21) = (- 1) ^ 3 \ cdot 7 = -7; \; A_ (22) = (- 1) ^ 4 \ cdot (-5) = - 5. \\ \ Ende (ausgerichtet)

Wir setzen eine Matrix aus algebraischen Komplementen zusammen: $ A ^ (*) = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -9 \\ -7 & -5 \ end (array) \ right) $.

Transponiere die resultierende Matrix: $ (A ^ (*)) ^ T = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (array) \ right) $ (das resultierende Matrix wird oft als adjungierte oder adjungierte Matrix zur $ A $ -Matrix bezeichnet). Mit der Formel $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $ erhalten wir:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (- 103) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $$

Die Umkehrung ergibt sich also: $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $. Um die Wahrheit des Ergebnisses zu überprüfen, genügt es, die Wahrheit einer der Gleichungen zu überprüfen: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ oder $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Prüfen wir die Gleichheit $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $. Um weniger mit Brüchen zu arbeiten, ersetzen wir die Matrix $ A ^ (- 1) $ nicht in der Form $ \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $, und als $ - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (array ) \ right) $:

$$ A ^ (- 1) \ cdot (A) = - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end ( array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right) = - \ frac (1) (103) \ cdot \ left ( \ begin (array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end (array ) \ rechts) = E $$

Antworten: $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $.

Beispiel Nr. 3

Finden Sie die Inverse der Matrix $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (array) \ right) $. Prüfen.

Beginnen wir mit der Berechnung der Determinante der Matrix $ A $. Die Determinante der Matrix $ A $ lautet also:

$$ \ Delta A = \ links | \ begin (array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (array) \ right | = 18-36 + 56-12 = 26. $$

Da $ \ Delta A \ neq 0 $ dann die inverse Matrix existiert, werden wir die Lösung fortsetzen. Wir finden die algebraischen Komplemente jedes Elements der gegebenen Matrix:

$$ \ begin (ausgerichtet) & A_ (11) = (- 1) ^ (2) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 9 & 4 \\ 3 & 2 \ end (array) \ right | = 6;\; A_ (12) = (- 1) ^ (3) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) -4 & 4 \\ 0 & 2 \ end (array) \ right | = 8; A_ (13) = (- 1) ^ (4) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) -4 & 9 \\ 0 & 3 \ end (array) \ right | = -12; \\ & A_ (21) = (- 1) ^ (3) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 7 & 3 \\ 3 & 2 \ end (array) \ right | = -5; A_ (22) = (- 1) ^ (4) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 1 & 3 \\ 0 & 2 \ end (array) \ right | = 2; A_ (23) = (- 1) ^ (5) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 1 & 7 \\ 0 & 3 \ end (array) \ right | = -3; \\ & A_ (31) = (- 1) ^ (4) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 7 & 3 \\ 9 & 4 \ end (array) \ right | = 1; A_ (32) = (- 1) ^ (5) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 1 & 3 \\ -4 & 4 \ end (array) \ right | = -16; A_ (33) = (- 1) ^ (6) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 1 & 7 \\ -4 & 9 \ end (array) \ right | = 37. \ end (ausgerichtet) $$

Wir stellen eine Matrix aus algebraischen Komplementen zusammen und transponieren sie:

$$ A ^ * = \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37 \ end (array) \ right); \; (A ^ *) ^ T = \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (array) \ right) ... $$

Mit der Formel $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $ erhalten wir:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ Ende (Array) \ rechts) $$

Also $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \ end (Array) \ right) $. Um die Wahrheit des Ergebnisses zu überprüfen, genügt es, die Wahrheit einer der Gleichungen zu überprüfen: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ oder $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Prüfen wir die Gleichheit $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Um weniger mit Brüchen zu arbeiten, ersetzen wir die Matrix $ A ^ (- 1) $ nicht in der Form $ \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end (array) \ right) $, und als $ \ frac (1) (26) \ cdot \ left ( \ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (array) \ right) $:

$$ A \ cdot (A ^ (- 1)) = \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (array) \ right) \ cdot \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (array) \ right) = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end (array) \ right) = E $$

Die Prüfung war erfolgreich, das Inverse $ A ^ (- 1) $ wurde korrekt gefunden.

Antworten: $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 / 13 & -3/26 & 37/26 \ end (Array) \ right) $.

Beispiel Nr. 4

Finden Sie die Umkehrung von $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4 \\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7 \\ -4 & 8 & -8 & -3 \ Ende (Array) \ rechts) $.

Für eine Matrix vierter Ordnung ist es etwas schwierig, die inverse Matrix unter Verwendung algebraischer Komplemente zu finden. Solche Beispiele finden sich jedoch in Testpapieren.

Um die Inverse einer Matrix zu finden, müssen Sie zunächst die Determinante der Matrix $ A $ berechnen. In dieser Situation können Sie dies am besten tun, indem Sie die Determinante nach Zeile (Spalte) erweitern. Wir wählen eine beliebige Zeile oder Spalte aus und finden die algebraischen Komplemente jedes Elements der ausgewählten Zeile oder Spalte.

Für die erste Zeile erhalten wir zum Beispiel:

$$ A_ (11) = \ left | \ begin (array) (ccc) 7 & 5 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 8 & -8 & -3 \ end (array) \ right | = 556; \; A_ (12) = - \ left | \ begin (array) (ccc) 9 & 5 & 2 \\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \ end (array) \ right | = -300 ; $$ $$ A_ (13) = \ left | \ begin (array) (ccc) 9 & 7 & 2 \\ 7 & 5 & 7 \\ -4 & 8 & -3 \ end (array) \ right | = -536;\; A_ (14) = - \ left | \ begin (Array) (ccc) 9 & 7 & 5 \\ 7 & 5 & 3 \\ -4 & 8 & -8 \ end (Array) \ right | = -112. $$

Die Determinante der Matrix $ A $ wird nach folgender Formel berechnet:

$$ \ Delta (A) = a_ (11) \ cdot A_ (11) + a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (13) \ cdot A_ (13) + a_ (14) \ cdot A_ (14 ) = 6 \ cdot 556 + (- 5) \ cdot (-300) +8 \ cdot (-536) +4 \ cdot (-112) = 100. $$

$$ \ begin (ausgerichtet) & A_ (21) = - 77; \; A_ (22) = 50; \; A_ (23) = 87; \; A_ (24) = 4; \\ & A_ (31) = -93; \; A_ (32) = 50; \; A_ (33) = 83; \; A_ (34) = 36; \\ & A_ (41) = 473; \; A_ (42) = - 250 ; \; A_ (43) = - 463; \; A_ (44) = - 96. \ end (ausgerichtet) $$

Algebraische Komplementmatrix: $ A ^ * = \ left (\ begin (array) (cccc) 556 & -300 & -536 & -112 \\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96 \ Ende (Array) \ rechts) $.

Verbundene Matrix: $ (A ^ *) ^ T = \ left (\ begin (array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473 \\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463 \\ -112 & 4 & 36 & -96 \ Ende (Array) \ rechts) $.

Inverse Matrix:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (100) \ cdot \ left (\ begin (array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473 \\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463 \\ -112 & 4 & 36 & -96 \ Ende (Array) \ Rechts) = \ Links (\ Anfang (Array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28 / 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \ Ende (Array) \ rechts) $$

Die Überprüfung kann, falls gewünscht, auf die gleiche Weise wie in den vorherigen Beispielen durchgeführt werden.

Antworten: $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \ Ende (Array) \ rechts) $.

Im zweiten Teil wird ein anderer Weg zum Auffinden der inversen Matrix betrachtet, der die Verwendung von Transformationen des Gauß-Verfahrens oder des Gauß-Jordan-Verfahrens beinhaltet.

Um das lineare Gleichungssystem (3) bezüglich solve zu lösen x 1 Wir verwenden die Gauß-Methode.

Die restlichen linearen Gleichungssysteme (2) werden auf ähnliche Weise gelöst.

Schließlich eine Gruppe von Spaltenvektoren x 1, x 2, ..., x n bildet die Umkehrung A -1.

Beachten Sie, dass nach dem Finden der Permutationsmatrizen P1, P2, ..., Pn-1 und Ausschlussmatrizen M1, M2, ..., Mn-1(siehe Seite Gaußsche Eliminationsmethode) und Aufbau einer Matrix

M = M n-1 P n-1 ... M 2 P 2 M 1 P 1,

System (2) lässt sich in die Form

MAX 1 = Me 1,
MAX 2 = Ich 2,
......
MAx n = Me n.

Von hier sind x 1, x 2, ..., x n, mit verschiedenen rechten Seiten Ich 1, Ich 2, ..., Ich n.

Bei der Berechnung der inversen Matrix ist es bequemer, die Identitätsmatrix auf der rechten Seite der ursprünglichen Matrix hinzuzufügen und die Gaußsche Methode in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung anzuwenden.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Ein Beispiel für die Berechnung der inversen Matrix

Es sei erforderlich, die inverse Matrix zu finden A -1 für eine gegebene Matrix EIN:

Schreiben wir die Identitätsmatrix auf die rechte Seite:

Wir wählen das Pivot-Element "4" (da es das größte im Absolutwert ist) und ordnen die erste und dritte Zeile neu an:

Wenden Sie die Gaußsche Ausnahme für die erste Spalte an:

Vertauschen Sie die zweite und dritte Zeile und wenden Sie einen Gaußschen Ausschluss für die zweite Spalte an.

Methoden zum Finden der inversen Matrix. Betrachten Sie eine quadratische Matrix

Wir bezeichnen Δ = det A.

Die quadratische Matrix A heißt nicht entartet, oder Nicht-Einzahl wenn seine Determinante ungleich Null ist, und degenerieren oder Besondere, wenn einΔ = 0.

Eine quadratische Matrix B existiert für eine quadratische Matrix A derselben Ordnung, wenn ihr Produkt A B = B A = E ist, wobei E die Identitätsmatrix derselben Ordnung wie die Matrizen A und B ist.

Satz . Damit die Matrix A eine inverse Matrix hat, ist es notwendig und ausreichend, dass ihre Determinante ungleich Null ist.

Die inverse Matrix der Matrix A, bezeichnet mit A- 1, so dass B = A - 1 und berechnet sich nach der Formel

, (1)

wobei А i j die algebraischen Komplemente der Elemente a i j der Matrix A .. sind.

Die Berechnung von A -1 gemäß Formel (1) für Matrizen höherer Ordnung ist sehr mühsam, daher ist es in der Praxis praktisch, A -1 mit der Methode der elementaren Transformationen (EP) zu finden. Jede nichtsinguläre Matrix A kann mittels EP von nur Spalten (oder nur Zeilen) auf die Identitätsmatrix E reduziert werden.Wenn über der Matrix A perfekte EFs in der gleichen Reihenfolge auf die Identitätsmatrix E angewendet werden, ist das Ergebnis eine inverse Matrix . Es ist praktisch, EP gleichzeitig über die Matrizen A und E auszuführen, indem beide Matrizen nebeneinander durch eine Linie geschrieben werden. Beachten Sie noch einmal, dass man beim Auffinden der kanonischen Form einer Matrix zum Zwecke des Auffindens Transformationen von Zeilen und Spalten verwenden kann. Wenn Sie die Inverse einer Matrix finden müssen, sollten im Transformationsprozess nur Zeilen oder nur Spalten verwendet werden.

Beispiel 1... Für Matrix finde A -1.

Entscheidung.Wir finden zunächst die Determinante der Matrix A
daher existiert die inverse Matrix und wir können sie durch die Formel finden: , wobei A i j (i, j = 1,2,3) die algebraischen Komplemente der Elemente a i j der ursprünglichen Matrix sind.

Wovon .

Beispiel 2... Finden Sie mit der Methode der elementaren Transformationen A -1 für die Matrix: A =.

Entscheidung.Wir weisen der Originalmatrix rechts die Identitätsmatrix gleicher Ordnung zu: ... Mit Hilfe elementarer Spaltentransformationen bringen wir die linke „Hälfte“ auf die Einheit Eins und führen gleichzeitig exakt die gleichen Transformationen über die rechte Matrix durch.
Vertauschen wir dazu die erste und die zweite Spalte: ~ ... Addiere die erste zur dritten Spalte und die erste multipliziert mit -2 zur zweiten: ... Von der ersten Spalte subtrahieren wir die zweite verdoppelt und von der dritten - die zweite mit 6 multipliziert; ... Fügen wir die dritte Spalte zur ersten und zweiten hinzu: ... Lassen Sie uns die letzte Spalte mit -1 multiplizieren: ... Die quadratische Matrix rechts vom vertikalen Balken ist die Umkehrung der gegebenen Matrix A. Also,
.

Beim Algebra-Studium an einer allgemeinbildenden Schule (Klasse 9) ist eines der wichtigen Themen das Studium von Zahlenfolgen, die Progressionen umfassen - Geometrie und Arithmetik. In diesem Artikel betrachten wir die arithmetische Progression und Beispiele mit Lösungen.

Was ist eine arithmetische Folge?

Um dies zu verstehen, ist es notwendig, die betrachtete Progression zu definieren und die grundlegenden Formeln anzugeben, die bei der Lösung von Problemen weiter verwendet werden.

Eine arithmetische oder algebraische Folge ist eine Menge geordneter rationaler Zahlen, von denen sich jeder Term um einen konstanten Betrag vom vorherigen unterscheidet. Dieser Wert wird als Differenz bezeichnet. Das heißt, wenn Sie jedes Mitglied der geordneten Zahlenreihe und die Differenz kennen, können Sie die gesamte arithmetische Folge wiederherstellen.

Geben wir ein Beispiel. Die nächste Zahlenfolge ist eine arithmetische Folge: 4, 8, 12, 16, ..., da die Differenz in diesem Fall 4 beträgt (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Aber die Zahlenmenge 3, 5, 8, 12, 17 kann nicht mehr dem betrachteten Verlaufstyp zugeordnet werden, da die Differenz dafür kein konstanter Wert ist (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Wichtige Formeln

Lassen Sie uns nun die grundlegenden Formeln angeben, die benötigt werden, um Probleme mit einer arithmetischen Folge zu lösen. Bezeichnen wir mit a n den n-ten Term der Folge, wobei n eine ganze Zahl ist. Der Unterschied wird mit dem lateinischen Buchstaben d bezeichnet. Dann gelten folgende Ausdrücke:

Um den Wert des n-ten Termes zu bestimmen, eignet sich die Formel: a n = (n-1) * d + a 1.
Um die Summe der ersten n Terme zu bestimmen: S n = (a n + a 1) * n / 2.

Um Beispiele für arithmetische Progression mit einer Lösung in der 9. Klasse zu verstehen, genügt es, sich an diese beiden Formeln zu erinnern, da alle Probleme der betrachteten Art auf ihrer Verwendung aufbauen. Sie sollten auch daran denken, dass der Unterschied in der Progression durch die Formel bestimmt wird: d = a n - a n-1.

Beispiel Nr. 1: ein unbekanntes Mitglied finden

Lassen Sie uns ein einfaches Beispiel für eine arithmetische Folge und Formeln geben, die zum Lösen verwendet werden müssen.

Sei die Folge 10, 8, 6, 4, ... gegeben, es müssen fünf Terme darin gefunden werden.

Aus der Problemstellung folgt bereits, dass die ersten 4 Terme bekannt sind. Der fünfte kann auf zwei Arten definiert werden:

Berechnen wir zuerst die Differenz. Wir haben: d = 8 - 10 = -2. Ebenso könnte man zwei beliebige andere Mitglieder nebeneinander nehmen. Zum Beispiel d = 4 - 6 = -2. Da bekannt ist, dass d = a n - a n-1 ist, ist d = a 5 - a 4, woraus wir erhalten: a 5 = a 4 + d. Ersetzen Sie die bekannten Werte: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Die zweite Methode erfordert auch die Kenntnis der Differenz der betrachteten Progression, daher müssen Sie diese zuerst wie oben gezeigt bestimmen (d = -2). Da wir wissen, dass der erste Term a 1 = 10 ist, verwenden wir die Formel für die Zahl n der Folge. Wir haben: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Setzen wir n = 5 in den letzten Ausdruck ein, erhalten wir: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Wie Sie sehen, führten beide Lösungsmethoden zum gleichen Ergebnis. Beachten Sie, dass in diesem Beispiel die Differenz d der Progression negativ ist. Solche Folgen werden als abnehmend bezeichnet, da jeder nächste Term kleiner ist als der vorherige.

Beispiel #2: Progressionsdifferenz

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig, geben wir ein Beispiel wie

Es ist bekannt, dass bei einigen der 1. Term gleich 6 und der 7. Term gleich 18 ist. Es ist notwendig, den Unterschied zu finden und diese Sequenz auf den 7. Term wiederherzustellen.

Verwenden wir die Formel, um den unbekannten Term zu bestimmen: a n = (n - 1) * d + a 1. Wir setzen darin die bekannten Daten aus der Bedingung ein, also die Zahlen a 1 und a 7, wir haben: 18 = 6 + 6 * d. Aus diesem Ausdruck können Sie leicht die Differenz berechnen: d = (18 - 6) / 6 = 2. Damit haben wir den ersten Teil der Aufgabe beantwortet.

Um eine Sequenz mit bis zu 7 Termen wiederherzustellen, sollten Sie die Definition einer algebraischen Progression verwenden, dh a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d usw. Als Ergebnis stellen wir die gesamte Sequenz wieder her: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Beispiel Nr. 3: Fortschritte machen

Lassen Sie uns den Zustand des Problems noch komplizierter machen. Nun gilt es, die Frage zu beantworten, wie man die arithmetische Progression findet. Sie können folgendes Beispiel geben: Geben Sie zwei Zahlen an, zum Beispiel - 4 und 5. Es ist notwendig, eine algebraische Progression zu machen, damit drei weitere Terme dazwischen passen.

Bevor Sie mit der Lösung dieses Problems beginnen, müssen Sie verstehen, welchen Platz die angegebenen Zahlen in der zukünftigen Entwicklung einnehmen werden. Da zwischen ihnen drei weitere Terme liegen, dann a 1 = -4 und a 5 = 5. Nachdem wir dies festgestellt haben, fahren wir mit dem Problem fort, das dem vorherigen ähnlich ist. Auch für den n-ten Term verwenden wir die Formel, wir erhalten: a 5 = a 1 + 4 * d. Von wo: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Hier haben wir keinen ganzzahligen Wert der Differenz erhalten, sondern eine rationale Zahl, sodass die Formeln für die algebraische Progression gleich bleiben.

Fügen Sie nun die gefundene Differenz zu einer 1 hinzu und stellen Sie die fehlenden Elemente der Progression wieder her. Wir erhalten: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, was zusammenfiel mit dem Zustand des Problems.

Beispiel Nr. 4: der erste Term der Progression

Lassen Sie uns weiterhin Beispiele für arithmetische Progression mit einer Lösung geben. Bei allen vorherigen Problemen war die erste Zahl der algebraischen Progression bekannt. Betrachten Sie nun ein Problem anderer Art: Geben Sie zwei Zahlen an, wobei a 15 = 50 und a 43 = 37. Es ist notwendig, die Zahl zu finden, ab der diese Folge beginnt.

Die bisher verwendeten Formeln setzen die Kenntnis von a 1 und d voraus. Über diese Zahlen ist in der Problembeschreibung nichts bekannt. Trotzdem schreiben wir für jedes Mitglied, über das es Informationen gibt, Ausdrücke auf: a 15 = a 1 + 14 * d und a 43 = a 1 + 42 * d. Erhalten zwei Gleichungen, in denen 2 unbekannte Größen (a 1 und d) sind. Dies bedeutet, dass das Problem auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems reduziert wird.

Der einfachste Weg, dieses System zu lösen, besteht darin, in jeder Gleichung eine 1 auszudrücken und dann die resultierenden Ausdrücke zu vergleichen. Die erste Gleichung: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; zweite Gleichung: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Wenn wir diese Ausdrücke gleichsetzen, erhalten wir: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, daher die Differenz d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (nur 3 Dezimalstellen sind angegeben).

Wenn Sie d kennen, können Sie einen der beiden obigen Ausdrücke für eine 1 verwenden. Zum Beispiel die erste: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Wenn Sie Zweifel am Ergebnis haben, können Sie es überprüfen, zum Beispiel den 43-Term der Progression bestimmen, der in der Bedingung angegeben ist. Wir erhalten: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Ein kleiner Fehler ist darauf zurückzuführen, dass bei den Berechnungen auf Tausendstel gerundet wurde.

Beispiel #5: Betrag

Schauen wir uns nun einige Beispiele mit Lösungen für die Summe einer arithmetischen Folge an.

Gegeben sei eine Zahlenfolge der folgenden Form: 1, 2, 3, 4, ...,. Wie berechnet man die Summe dieser 100 Zahlen?

Dank der Entwicklung der Computertechnologie ist es möglich, dieses Problem zu lösen, dh alle Zahlen nacheinander zu addieren, was der Computer tut, sobald eine Person die Eingabetaste drückt. Das Problem kann jedoch im Kopf gelöst werden, wenn wir darauf achten, dass die vorgestellte Zahlenreihe eine algebraische Folge ist und ihre Differenz 1 ist. Wenden wir die Formel für die Summe an, erhalten wir: S n = n * (a 1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Es ist merkwürdig, dass dieses Problem "Gaussian" genannt wird, denn zu Beginn des 18. Jahrhunderts konnte es der berühmte Deutsche, obwohl er erst 10 Jahre alt war, in wenigen Sekunden in seinem Kopf lösen. Der Junge kannte die Formel für die Summe einer algebraischen Progression nicht, aber er bemerkte, dass man, wenn man die Zahlen an den Kanten der Folge paarweise addiert, immer ein Ergebnis erhält, dh 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., und da dieser Betrag genau 50 (100/2) beträgt, reicht es aus, 50 mit 101 zu multiplizieren, um die richtige Antwort zu erhalten.

Beispiel # 6: Summe der Mitglieder von n bis m

Ein weiteres typisches Beispiel für die Summe einer arithmetischen Folge ist das folgende: Bei einer Reihe von Zahlen: 3, 7, 11, 15, ... müssen Sie herausfinden, was die Summe ihrer Glieder von 8 bis 14 ergibt.

Das Problem wird auf zwei Arten gelöst. Der erste beinhaltet das Finden unbekannter Terme von 8 bis 14 und dann deren sequentielle Summation. Da es wenige Begriffe gibt, ist diese Methode nicht aufwendig genug. Dennoch wird vorgeschlagen, dieses Problem durch die zweite Methode zu lösen, die universeller ist.

Die Idee ist, eine Formel für die Summe der algebraischen Progression zwischen den Termen m und n zu erhalten, wobei n > m ganze Zahlen sind. Schreiben wir für beide Fälle zwei Ausdrücke für die Summe auf:

Sm = m * (am + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

Da n > m, ist es offensichtlich, dass die 2. Summe die erste enthält. Die letzte Schlussfolgerung bedeutet, dass wir die notwendige Antwort auf das Problem erhalten, wenn wir die Differenz zwischen diesen Summen nehmen und den Term a m hinzufügen (im Fall der Differenz wird sie von der Summe S n subtrahiert). Wir haben: S mn = S n - S m + am = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + morgens * (1- m / 2). In diesem Ausdruck ist es notwendig, die Formeln für a n und a m zu ersetzen. Dann erhalten wir: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Die resultierende Formel ist etwas umständlich, dennoch hängt die Summe von S mn nur von n, m, a 1 und d ab. In unserem Fall a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Wenn wir diese Zahlen einsetzen, erhalten wir: S mn = 301.

Wie aus den angegebenen Lösungen ersichtlich ist, basieren alle Probleme auf der Kenntnis des Ausdrucks für den n-ten Term und der Formel für die Summe der Menge der ersten Terme. Bevor Sie mit der Lösung eines dieser Probleme fortfahren, wird empfohlen, die Bedingung sorgfältig zu lesen, klar zu verstehen, was gefunden werden muss, und erst dann mit der Lösung fortzufahren.

Ein weiterer Tipp ist, nach Einfachheit zu streben, dh wenn Sie eine Frage ohne komplexe mathematische Berechnungen beantworten können, müssen Sie genau dies tun, da in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers geringer ist. In einem Beispiel einer arithmetischen Folge mit Lösung # 6 könnte man beispielsweise bei der Formel S mn = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am anhalten und brechen das allgemeine Problem in separate Teilaufgaben (in diesem Fall finden Sie zuerst die Mitglieder an und am).

Bei Zweifeln über das erhaltene Ergebnis wird empfohlen, es zu überprüfen, wie dies in einigen der aufgeführten Beispiele der Fall war. Wir haben herausgefunden, wie man die arithmetische Progression findet. Wenn du es herausfindest, ist es nicht so schwer.