Definitionen und Zeichen von Sinus, Cosinus, Tangens eines Winkels. So merken Sie sich die Werte von Kosinus und Sinus der Hauptpunkte des Zahlenkreises Trigonometrischer Kreis positiv und negativ

Einfach ausgedrückt handelt es sich dabei um Gemüse, das nach einem speziellen Rezept in Wasser gekocht wird. Ich werde zwei Anfangskomponenten (Gemüsesalat und Wasser) und das Endergebnis - Borschtsch - betrachten. Geometrisch kann dies als Rechteck dargestellt werden, bei dem eine Seite Salat und die andere Seite Wasser bedeutet. Die Summe dieser beiden Seiten ergibt Borschtsch. Die Diagonale und die Fläche eines solchen "Borschtsch"-Rechtecks sind rein mathematische Konzepte und werden in Borschtsch-Rezepten niemals verwendet.

Wie wird Salat und Wasser mathematisch gesehen zu Borschtsch? Wie kann aus der Summe zweier Segmente Trigonometrie werden? Um dies zu verstehen, benötigen wir lineare Winkelfunktionen.

In Mathematiklehrbüchern findet man nichts über lineare Winkelfunktionen. Aber ohne sie gibt es keine Mathematik. Die Gesetze der Mathematik funktionieren wie die Naturgesetze unabhängig davon, ob wir wissen, dass sie existieren oder nicht.

Lineare Winkelfunktionen sind die Additionsgesetze. Sehen Sie, wie sich Algebra in Geometrie und Geometrie in Trigonometrie verwandelt.

Kann man auf lineare Winkelfunktionen verzichten? Sie können, denn Mathematiker kommen immer noch ohne sie aus. Der Trick der Mathematiker liegt darin, dass sie uns immer nur über die Probleme erzählen, die sie selbst lösen können, und niemals über die Probleme, die sie nicht lösen können. Sehen. Wenn wir das Ergebnis der Addition und eines Terms kennen, verwenden wir die Subtraktion, um den anderen Term zu finden. Alles. Andere Probleme kennen wir nicht und können sie auch nicht lösen. Was tun, wenn wir nur das Ergebnis der Addition und nicht beide Terme kennen? In diesem Fall muss das Additionsergebnis mit linearen Winkelfunktionen in zwei Terme zerlegt werden. Außerdem wählen wir selbst aus, was ein Term sein kann, und die linearen Winkelfunktionen zeigen, was der zweite Term sein sollte, damit das Ergebnis der Addition genau das ist, was wir brauchen. Es kann unendlich viele solcher Begriffspaare geben. Im Alltag kommen wir sehr gut ohne Zerlegung der Summe aus, uns reicht die Subtraktion. Aber in wissenschaftlichen Studien der Naturgesetze kann die Erweiterung der Summe in Terme sehr nützlich sein.

Ein weiteres Additionsgesetz, über das Mathematiker nicht gerne sprechen (ein weiterer Trick von ihnen), erfordert, dass die Terme dieselbe Maßeinheit haben. Bei Salat, Wasser und Borschtsch können dies Gewichts-, Volumen-, Kosten- oder Maßeinheiten sein.

Die Abbildung zeigt zwei Niveaus der Differenz für Mathematik. Die erste Ebene sind die Unterschiede im Bereich der Zahlen, die angezeigt werden a, b, c. Das machen Mathematiker. Die zweite Ebene sind die Unterschiede im Bereich der Maßeinheiten, die in eckigen Klammern dargestellt und durch den Buchstaben gekennzeichnet sind U. Das machen Physiker. Wir können die dritte Ebene verstehen - die Unterschiede im Umfang der beschriebenen Objekte. Unterschiedliche Objekte können dieselbe Anzahl derselben Maßeinheiten haben. Wie wichtig das ist, sehen wir am Beispiel der Borschtsch-Trigonometrie. Wenn wir dieselbe Notation für die Maßeinheiten verschiedener Objekte um Indizes ergänzen, können wir genau sagen, welche mathematische Größe ein bestimmtes Objekt beschreibt und wie es sich im Laufe der Zeit oder in Verbindung mit unseren Handlungen verändert. Buchstabe W Ich werde das Wasser mit dem Buchstaben markieren S Ich werde den Salat mit dem Buchstaben markieren B- Borschtsch. So würden die linearen Winkelfunktionen für Borschtsch aussehen.

Wenn wir einen Teil des Wassers und einen Teil des Salats nehmen, wird daraus eine Portion Borschtsch. Hier schlage ich vor, dass Sie eine kleine Pause vom Borschtsch machen und sich an Ihre ferne Kindheit erinnern. Erinnerst du dich, wie uns beigebracht wurde, Hasen und Enten zusammenzusetzen? Es war notwendig herauszufinden, wie viele Tiere sich herausstellen werden. Was wurde uns dann beigebracht? Uns wurde beigebracht, Einheiten von Zahlen zu trennen und Zahlen zu addieren. Ja, jede Nummer kann zu jeder anderen Nummer hinzugefügt werden. Dies ist ein direkter Weg zum Autismus der modernen Mathematik - wir verstehen nicht was, es ist nicht klar warum, und wir verstehen sehr schlecht, wie dies mit der Realität zusammenhängt, wegen der drei Ebenen der Differenz operieren Mathematiker nur auf einer. Es ist richtiger zu lernen, wie man von einer Maßeinheit zu einer anderen wechselt.

Und Hasen und Enten und kleine Tiere können in Stücken gezählt werden. Eine gemeinsame Maßeinheit für verschiedene Objekte ermöglicht es uns, sie zu addieren. Dies ist eine Kinderversion des Problems. Schauen wir uns ein ähnliches Problem für Erwachsene an. Was bekommst du, wenn du Hasen und Geld hinzufügst? Hier gibt es zwei mögliche Lösungen.

Erste Wahl. Wir ermitteln den Marktwert der Hasen und addieren ihn zum verfügbaren Bargeld. Wir haben den Gesamtwert unseres Vermögens in Geld ausgedrückt.

Zweite Option. Sie können die Anzahl der Hasen zu der Anzahl der Banknoten hinzufügen, die wir haben. Wir erhalten den Betrag des beweglichen Vermögens in Stücken.

Wie Sie sehen, können Sie mit demselben Additionsgesetz unterschiedliche Ergebnisse erhalten. Es hängt alles davon ab, was genau wir wissen wollen.

Aber zurück zu unserem Borschtsch. Jetzt können wir sehen, was für verschiedene Werte des Winkels der linearen Winkelfunktionen passieren wird.

Der Winkel ist Null. Wir haben Salat, aber kein Wasser. Wir können keinen Borschtsch kochen. Die Menge an Borschtsch ist ebenfalls null. Das bedeutet keineswegs, dass null Borschtsch gleich null Wasser ist. Null Borschtsch kann auch Null Salat sein (rechter Winkel).

Für mich persönlich ist dies der wichtigste mathematische Beweis dafür, dass . Null ändert die Zahl nicht, wenn sie hinzugefügt wird. Das liegt daran, dass die Addition selbst unmöglich ist, wenn es nur einen Term gibt und der zweite Term fehlt. Sie können sich darauf beziehen, wie Sie möchten, aber denken Sie daran - alle mathematischen Operationen mit Null wurden von Mathematikern selbst erfunden, also verwerfen Sie Ihre Logik und stopfen Sie die von Mathematikern erfundenen Definitionen dumm zusammen: "Division durch Null ist unmöglich", "jede Zahl multipliziert mit Null". gleich Null", "hinter der Komma Null" und anderen Unsinn. Es reicht aus, sich einmal daran zu erinnern, dass Null keine Zahl ist, und Sie werden nie eine Frage haben, ob Null eine natürliche Zahl ist oder nicht, weil eine solche Frage im Allgemeinen jeden Sinn verliert: Wie kann man eine Zahl als das betrachten, was keine Zahl ist? . Es ist, als würde man fragen, welcher Farbe eine unsichtbare Farbe zugeschrieben werden soll. Das Addieren von Null zu einer Zahl ist wie Malen mit Farbe, die es nicht gibt. Sie schwenkten einen trockenen Pinsel und sagten allen, dass "wir gemalt haben". Aber ich schweife ein wenig ab.

Der Winkel ist größer als Null, aber kleiner als fünfundvierzig Grad. Wir haben viel Salat, aber wenig Wasser. Als Ergebnis bekommen wir einen dicken Borschtsch.

Der Winkel beträgt fünfundvierzig Grad. Wir haben gleiche Mengen Wasser und Salat. Das ist der perfekte Borschtsch (mögen mir die Köche verzeihen, es ist nur Mathe).

Der Winkel ist größer als fünfundvierzig Grad, aber kleiner als neunzig Grad. Wir haben viel Wasser und wenig Salat. Nimm flüssigen Borschtsch.

Rechter Winkel. Wir haben Wasser. An den Salat bleiben nur Erinnerungen, während wir weiterhin den Winkel von der Linie messen, die einst den Salat markierte. Wir können keinen Borschtsch kochen. Die Menge an Borschtsch ist null. In diesem Fall halte durch und trinke Wasser, solange es verfügbar ist)))

Hier. Irgendwie so. Ich kann hier andere Geschichten erzählen, die hier mehr als angebracht sein werden.

Die beiden Freunde hatten ihre Anteile an dem gemeinsamen Geschäft. Nach dem Mord an einem von ihnen ging alles an den anderen.

Die Entstehung der Mathematik auf unserem Planeten.

All diese Geschichten werden in der Sprache der Mathematik anhand linearer Winkelfunktionen erzählt. Ein andermal werde ich Ihnen den wirklichen Platz dieser Funktionen in der Struktur der Mathematik zeigen. Kehren wir in der Zwischenzeit zur Trigonometrie von Borschtsch zurück und betrachten Projektionen.

Samstag, 26. Oktober 2019

Ich habe mir ein interessantes Video darüber angesehen Grandis Reihe Eins minus eins plus eins minus eins - Numberphile. Mathematiker lügen. Sie haben in ihrer Argumentation keinen Gleichheitstest durchgeführt.

Das deckt sich mit meiner Argumentation bzgl.

Schauen wir uns die Anzeichen dafür, dass Mathematiker uns betrügen, genauer an. Ganz am Anfang der Argumentation sagen Mathematiker, dass die Summe der Folge davon ABHÄNGIG ist, ob die Anzahl der Elemente darin gerade ist oder nicht. Dies ist eine objektiv feststehende Tatsache. Was passiert als nächstes?

Als nächstes subtrahieren Mathematiker die Folge von Eins. Wozu führt das? Dadurch ändert sich die Anzahl der Elemente in der Folge – eine gerade Zahl wird zu einer ungeraden Zahl, eine ungerade Zahl zu einer geraden Zahl. Immerhin haben wir der Folge ein Element gleich eins hinzugefügt. Bei aller äußerlichen Ähnlichkeit ist die Abfolge vor der Transformation nicht gleich der Abfolge nach der Transformation. Auch wenn wir von einer unendlichen Folge sprechen, müssen wir bedenken, dass eine unendliche Folge mit einer ungeraden Anzahl von Elementen nicht gleich einer unendlichen Folge mit einer geraden Anzahl von Elementen ist.

Mathematiker setzen ein Gleichheitszeichen zwischen zwei Sequenzen, die sich in der Anzahl der Elemente unterscheiden, und behaupten, dass die Summe der Sequenz NICHT von der Anzahl der Elemente in der Sequenz abhängt, was einer objektiv festgestellten Tatsache widerspricht. Weitere Überlegungen zur Summe einer unendlichen Folge sind falsch, weil sie auf einer falschen Gleichheit beruhen.

Wenn Sie sehen, dass Mathematiker im Verlauf von Beweisen Klammern setzen, die Elemente eines mathematischen Ausdrucks neu anordnen, etwas hinzufügen oder entfernen, seien Sie sehr vorsichtig, höchstwahrscheinlich versuchen sie, Sie zu täuschen. Wie Kartenzauberer lenken Mathematiker Ihre Aufmerksamkeit mit verschiedenen Manipulationen des Ausdrucks ab, um Ihnen schließlich ein falsches Ergebnis zu liefern. Wenn Sie den Kartentrick nicht wiederholen können, ohne das Geheimnis des Betrugs zu kennen, ist in der Mathematik alles viel einfacher: Sie ahnen nicht einmal etwas vom Betrug, aber wenn Sie alle Manipulationen mit einem mathematischen Ausdruck wiederholen, können Sie andere davon überzeugen Korrektheit des Ergebnisses, genauso wie wenn Sie überzeugt haben.

Frage aus dem Publikum: Und unendlich (als Anzahl der Elemente in der Folge S), ist es gerade oder ungerade? Wie kann man die Parität von etwas ändern, das keine Parität hat?

Die Unendlichkeit für Mathematiker ist wie das Himmelreich für Priester - niemand war jemals dort, aber jeder weiß genau, wie alles dort funktioniert))) Ich stimme zu, nach dem Tod wird es Ihnen absolut gleichgültig sein, ob Sie eine gerade oder eine ungerade Anzahl von Tagen gelebt haben , aber ... Wenn Sie nur einen Tag zu Beginn Ihres Lebens hinzufügen, erhalten wir eine völlig andere Person: sein Nachname, sein Vorname und sein Patronym sind genau gleich, nur das Geburtsdatum ist völlig anders - er wurde als einer geboren Tag vor dir.

Und jetzt zum Punkt))) Angenommen, eine endliche Folge mit Parität verliert diese Parität, wenn sie ins Unendliche geht. Dann muss auch jedes endliche Segment einer unendlichen Folge die Parität verlieren. Dies beobachten wir nicht. Die Tatsache, dass wir nicht sicher sagen können, ob die Anzahl der Elemente in einer unendlichen Folge gerade oder ungerade ist, bedeutet keineswegs, dass die Parität verschwunden ist. Parität, falls vorhanden, kann nicht spurlos ins Unendliche verschwinden, wie im Ärmel einer schärferen Karte. Für diesen Fall gibt es eine sehr gute Analogie.

Haben Sie schon einmal einen Kuckuck, der in einer Uhr sitzt, gefragt, in welche Richtung sich der Uhrzeiger dreht? Für sie dreht sich der Pfeil in die entgegengesetzte Richtung zu dem, was wir "im Uhrzeigersinn" nennen. Es mag paradox klingen, aber die Drehrichtung hängt allein davon ab, von welcher Seite wir die Drehung beobachten. Wir haben also ein Rad, das sich dreht. Wir können nicht sagen, in welche Richtung die Rotation erfolgt, da wir sie sowohl von einer Seite der Rotationsebene als auch von der anderen beobachten können. Wir können nur bezeugen, dass es eine Rotation gibt. Völlige Analogie mit der Parität einer unendlichen Folge S.

Fügen wir nun ein zweites rotierendes Rad hinzu, dessen Rotationsebene parallel zur Rotationsebene des ersten rotierenden Rads ist. Wir können immer noch nicht genau sagen, in welche Richtung sich diese Räder drehen, aber wir können mit absoluter Sicherheit sagen, ob sich beide Räder in die gleiche Richtung oder in entgegengesetzte Richtungen drehen. Vergleich zweier unendlicher Folgen S und 1-S, habe ich mit Hilfe der Mathematik gezeigt, dass diese Folgen unterschiedliche Paritäten haben und es ein Fehler ist, ein Gleichheitszeichen dazwischen zu setzen. Persönlich glaube ich an Mathematik, ich vertraue Mathematikern nicht))) Übrigens, um die Geometrie der Transformationen unendlicher Folgen vollständig zu verstehen, ist es notwendig, das Konzept einzuführen "Gleichzeitigkeit". Dies muss gezeichnet werden.

Mittwoch, 7. August 2019

Zum Abschluss des Gesprächs über müssen wir eine unendliche Menge betrachten. Gab zu, dass der Begriff „Unendlichkeit“ auf Mathematiker wirkt wie eine Boa Constrictor auf einen Hasen. Der zitternde Schrecken der Unendlichkeit beraubt Mathematiker ihres gesunden Menschenverstandes. Hier ist ein Beispiel:

Die Originalquelle ist lokalisiert. Alpha bezeichnet eine reelle Zahl. Das Gleichheitszeichen in den obigen Ausdrücken zeigt an, dass sich nichts ändert, wenn Sie eine Zahl oder Unendlich zu Unendlich hinzufügen, das Ergebnis dieselbe Unendlichkeit ist. Nehmen wir als Beispiel eine unendliche Menge natürlicher Zahlen, dann lassen sich die betrachteten Beispiele wie folgt darstellen:

Um ihren Fall visuell zu beweisen, haben Mathematiker viele verschiedene Methoden entwickelt. Ich persönlich betrachte all diese Methoden als Tänze von Schamanen mit Tamburinen. Im Kern laufen sie alle darauf hinaus, dass entweder einige der Zimmer nicht belegt sind und neue Gäste darin angesiedelt werden, oder dass ein Teil der Besucher auf den Flur geworfen wird, um den Gästen Platz zu machen (sehr menschlich). Meine Sicht auf solche Entscheidungen habe ich in Form einer fantastischen Geschichte über die Blondine dargestellt. Worauf basiert meine Argumentation? Das Bewegen einer unendlichen Anzahl von Besuchern nimmt unendlich viel Zeit in Anspruch. Nachdem wir das erste Gästezimmer geräumt haben, wird bis zum Ende der Zeit immer einer der Besucher den Korridor entlang von seinem Zimmer zum nächsten gehen. Natürlich kann der Zeitfaktor dummerweise ignoriert werden, aber das wird schon aus der Kategorie "Das Gesetz ist nicht für Dummköpfe geschrieben" fallen. Es hängt alles davon ab, was wir tun: die Realität an mathematische Theorien anpassen oder umgekehrt.

Was ist ein „unendliches Hotel“? Ein Infinity Inn ist ein Gasthaus, das immer beliebig viele Plätze frei hat, egal wie viele Zimmer belegt sind. Wenn alle Räume im endlosen Flur „für Besucher“ belegt sind, gibt es einen weiteren endlosen Flur mit Räumen für „Gäste“. Es wird unendlich viele solcher Korridore geben. Gleichzeitig hat das „unendliche Hotel“ unendlich viele Stockwerke in unendlich vielen Gebäuden auf unendlich vielen Planeten in unendlich vielen Universen, die von unendlich vielen Göttern erschaffen wurden. Mathematiker dagegen können sich nicht von banalen Alltagsproblemen lösen: Gott-Allah-Buddha ist immer nur einer, das Hotel ist einer, der Korridor ist nur einer. Also versuchen Mathematiker, mit den Seriennummern von Hotelzimmern zu jonglieren, um uns davon zu überzeugen, dass es möglich ist, "das Unaufgeforderte zu schieben".

Ich werde Ihnen die Logik meiner Argumentation am Beispiel einer unendlichen Menge natürlicher Zahlen demonstrieren. Zuerst müssen Sie eine sehr einfache Frage beantworten: Wie viele Mengen natürlicher Zahlen gibt es – eine oder viele? Auf diese Frage gibt es keine richtige Antwort, da wir selbst die Zahlen erfunden haben, gibt es in der Natur keine Zahlen. Ja, die Natur weiß, wie man perfekt zählt, aber dafür verwendet sie andere mathematische Werkzeuge, die uns nicht vertraut sind. Wie die Natur denkt, erzähle ich euch ein andermal. Seit wir die Zahlen erfunden haben, werden wir selbst entscheiden, wie viele Mengen natürlicher Zahlen es gibt. Betrachten Sie beide Optionen, wie es sich für einen echten Wissenschaftler gehört.

Option eins. "Lass uns gegeben werden" eine einzelne Menge natürlicher Zahlen, die gelassen auf einem Regal liegt. Wir nehmen dieses Set aus dem Regal. Das war's, es sind keine anderen natürlichen Zahlen mehr im Regal und man kann sie nirgendwo hinbringen. Wir können diesem Set keinen hinzufügen, da wir es bereits haben. Was ist, wenn du es wirklich willst? Kein Problem. Wir können eine Einheit aus dem Set nehmen, das wir bereits genommen haben, und sie ins Regal zurückstellen. Danach können wir eine Einheit aus dem Regal nehmen und zu dem hinzufügen, was wir übrig haben. Als Ergebnis erhalten wir wieder eine unendliche Menge natürlicher Zahlen. Sie können alle unsere Manipulationen so schreiben:

Ich habe die Operationen in algebraischer Notation und in mengentheoretischer Notation aufgeschrieben und die Elemente der Menge im Detail aufgelistet. Der Index zeigt an, dass wir eine einzige Menge natürlicher Zahlen haben. Es stellt sich heraus, dass die Menge der natürlichen Zahlen nur dann unverändert bleibt, wenn eine davon abgezogen und dieselbe hinzugefügt wird.

Möglichkeit zwei. Wir haben viele verschiedene unendliche Mengen natürlicher Zahlen im Regal. Ich betone - UNTERSCHIEDLICH, obwohl sie praktisch nicht zu unterscheiden sind. Wir nehmen eines dieser Sets. Dann nehmen wir eine aus einer anderen Menge natürlicher Zahlen und fügen sie der Menge hinzu, die wir bereits genommen haben. Wir können sogar zwei Mengen natürlicher Zahlen addieren. Hier ist, was wir bekommen:

Die Indizes „eins“ und „zwei“ zeigen an, dass diese Elemente zu unterschiedlichen Mengen gehörten. Ja, wenn Sie eins zu einer unendlichen Menge hinzufügen, ist das Ergebnis ebenfalls eine unendliche Menge, aber es ist nicht dasselbe wie die ursprüngliche Menge. Wenn einer unendlichen Menge eine weitere unendliche Menge hinzugefügt wird, ist das Ergebnis eine neue unendliche Menge, die aus den Elementen der ersten beiden Mengen besteht.

Die Menge der natürlichen Zahlen wird zum Zählen wie ein Lineal zum Messen verwendet. Stellen Sie sich nun vor, Sie hätten dem Lineal einen Zentimeter hinzugefügt. Dies wird bereits eine andere Linie sein, die nicht dem Original entspricht.

Sie können meine Argumentation akzeptieren oder nicht akzeptieren - das ist Ihre eigene Angelegenheit. Aber wenn Sie jemals auf mathematische Probleme stoßen, denken Sie darüber nach, ob Sie sich auf dem Weg des falschen Denkens befinden, der von Generationen von Mathematikern beschritten wird. Schließlich bildet der Mathematikunterricht zunächst ein stabiles Stereotyp des Denkens in uns, und erst dann fügt er uns geistige Fähigkeiten hinzu (oder beraubt uns umgekehrt des freien Denkens).

pozg.ru

Sonntag, 4. August 2019

Ich schrieb ein Nachwort zu einem Artikel über und sah diesen wunderbaren Text auf Wikipedia:

Wir lesen: "... die reichhaltige theoretische Grundlage der babylonischen Mathematik hatte keinen ganzheitlichen Charakter und wurde auf eine Reihe unterschiedlicher Techniken reduziert, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Beweisgrundlage."

Wow! Wie schlau wir sind und wie gut wir die Mängel anderer erkennen können. Ist es schwach für uns, die moderne Mathematik im selben Kontext zu betrachten? Wenn ich den obigen Text leicht umschreibe, habe ich persönlich Folgendes erhalten:

Die reichhaltige theoretische Grundlage der modernen Mathematik hat keinen ganzheitlichen Charakter und ist auf eine Reihe disparater Abschnitte reduziert, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Beweisgrundlage.

Ich werde nicht weit gehen, um meine Worte zu bestätigen - es hat eine Sprache und Konventionen, die sich von der Sprache und den Konventionen vieler anderer Zweige der Mathematik unterscheiden. Dieselben Namen in verschiedenen Zweigen der Mathematik können unterschiedliche Bedeutungen haben. Den offensichtlichsten Fehlern der modernen Mathematik möchte ich einen ganzen Zyklus von Veröffentlichungen widmen. Bis bald.

Samstag, 3. August 2019

Wie teilt man eine Menge in Teilmengen auf? Dazu müssen Sie eine neue Maßeinheit eingeben, die in einigen Elementen der ausgewählten Menge vorhanden ist. Betrachten Sie ein Beispiel.

Mögen wir viele haben ABER bestehend aus vier Personen. Diese Menge wird auf der Grundlage von "Menschen" gebildet. Lassen Sie uns die Elemente dieser Menge durch den Buchstaben bezeichnen a, der Index mit einer Zahl gibt die Ordnungszahl jeder Person in dieser Menge an. Führen wir eine neue Maßeinheit "Geschlechtsmerkmal" ein und bezeichnen sie mit dem Buchstaben b. Da allen Menschen sexuelle Merkmale innewohnen, multiplizieren wir jedes Element der Menge ABER zum Geschlecht b. Beachten Sie, dass unser „Menschen“-Set jetzt zum „Menschen mit Geschlecht“-Set geworden ist. Danach können wir die Geschlechtsmerkmale in männlich unterteilen bm und Frauen sw Geschlechtsmerkmale. Jetzt können wir einen mathematischen Filter anwenden: Wir wählen eines dieser Geschlechtsmerkmale aus, egal welches männlich oder weiblich ist. Wenn es in einer Person vorhanden ist, multiplizieren wir es mit eins, wenn es kein solches Zeichen gibt, multiplizieren wir es mit Null. Und dann wenden wir die übliche Schulmathematik an. Sehen Sie, was passiert ist.

Nach Multiplikation, Reduktionen und Umordnungen haben wir zwei Teilmengen erhalten: die männliche Teilmenge bm und eine Untergruppe von Frauen sw. Ungefähr genauso argumentieren Mathematiker, wenn sie die Mengenlehre in der Praxis anwenden. Aber sie lassen uns nicht in die Details ein, sondern geben uns das fertige Ergebnis – „viele Menschen bestehen aus einer Untergruppe von Männern und einer Untergruppe von Frauen.“ Natürlich haben Sie vielleicht eine Frage, wie richtig angewandte Mathematik bei den obigen Transformationen? Ich wage zu versichern, dass die Transformationen tatsächlich korrekt durchgeführt werden. Es reicht aus, die mathematische Begründung der Arithmetik, der Booleschen Algebra und anderer Bereiche der Mathematik zu kennen. Was ist das? Ein andermal erzähle ich dir davon.

Bei Obermengen ist es möglich, zwei Mengen zu einer Obermenge zu kombinieren, indem man eine Maßeinheit wählt, die in den Elementen dieser beiden Mengen vorhanden ist.

Wie Sie sehen können, gehören die Mengenlehre durch Maßeinheiten und gängige Mathematik der Vergangenheit an. Ein Zeichen dafür, dass mit der Mengenlehre nicht alles in Ordnung ist, ist, dass Mathematiker ihre eigene Sprache und Notation für die Mengenlehre entwickelt haben. Die Mathematiker taten, was einst die Schamanen taten. Nur Schamanen wissen, wie sie ihr „Wissen“ „richtig“ anwenden. Dieses "Wissen" lehren sie uns.

Abschließend möchte ich Ihnen zeigen, wie Mathematiker manipulieren
Nehmen wir an, Achilles läuft zehnmal schneller als die Schildkröte und ist ihr tausend Schritte hinterher. In der Zeit, in der Achilles diese Strecke läuft, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte gelaufen ist, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird auf unbestimmte Zeit fortgesetzt, Achilles wird die Schildkröte niemals einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Alle betrachteten sie auf die eine oder andere Weise als Zenons Aporien. Der Schock war so stark, dass " ... die Diskussionen werden derzeit fortgesetzt, die wissenschaftliche Gemeinschaft hat es noch nicht geschafft, zu einer gemeinsamen Meinung über das Wesen von Paradoxien zu gelangen ... mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze waren an der Untersuchung des Problems beteiligt ; keiner von ihnen wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ..."[Wikipedia," Zenos Aporien "]. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, was die Täuschung ist.

Aus mathematischer Sicht hat Zeno in seiner Aporie den Übergang vom Wert zu deutlich demonstriert. Dieser Übergang impliziert die Anwendung anstelle von Konstanten. Soweit ich weiß, ist der mathematische Apparat zur Anwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder auf Zenos Aporie nicht angewendet worden. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Durch die Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als ob die Zeit in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, verlangsamt und vollständig angehalten wird. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles die Schildkröte nicht mehr überholen.

Wenn wir die gewohnte Logik umdrehen, ergibt sich alles. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jedes nachfolgende Segment seines Weges ist zehnmal kürzer als das vorherige. Dementsprechend ist die Zeit, die für die Überwindung aufgewendet wird, zehnmal kürzer als die vorherige. Wenn wir in dieser Situation den Begriff „Unendlichkeit“ anwenden, dann wäre es richtig zu sagen „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell überholen“.

Wie vermeidet man diese logische Falle? Bleiben Sie in konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Werten. In Zenos Sprache sieht das so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, gleich dem ersten, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unüberwindbarkeit der Lichtgeschwindigkeit ist Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“ sehr ähnlich. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen, sondern in Maßeinheiten gesucht werden.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt ruht, und da er zu jedem Zeitpunkt ruht, ruht er immer.

In dieser Aporie wird das logische Paradoxon sehr einfach überwunden – es genügt zu verdeutlichen, dass der fliegende Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich Bewegung ist. Hier ist noch ein weiterer Punkt zu beachten. Aus einem Foto eines Autos auf der Straße kann weder die Tatsache seiner Bewegung noch die Entfernung zu ihm bestimmt werden. Um die Tatsache der Bewegung des Autos zu bestimmen, werden zwei Fotos benötigt, die vom selben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aber sie können nicht zur Bestimmung der Entfernung verwendet werden. Um die Entfernung zum Auto zu bestimmen, benötigen Sie zwei Fotos, die gleichzeitig von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aber Sie können daraus nicht die Tatsache der Bewegung bestimmen (natürlich benötigen Sie noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft Ihnen). Was ich besonders hervorheben möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum zwei verschiedene Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten der Erforschung bieten.
Ich werde den Vorgang anhand eines Beispiels zeigen. Wir wählen "roter Körper in einem Pickel" - das ist unser "Ganzes". Gleichzeitig sehen wir, dass diese Dinge mit einem Bogen sind, und es gibt sie ohne Bogen. Danach wählen wir einen Teil des „Ganzen“ aus und bilden ein Set „mit Schleife“. So ernähren sich Schamanen, indem sie ihre Mengenlehre an die Realität binden.

Jetzt machen wir einen kleinen Trick. Nehmen wir "fest in einem Pickel mit Schleife" und vereinen diese "Ganzes" nach Farbe, indem wir rote Elemente auswählen. Wir haben viel "rot". Nun eine knifflige Frage: Sind die erhaltenen Sets „mit Schleife“ und „rot“ das gleiche Set oder zwei verschiedene Sets? Nur Schamanen kennen die Antwort. Genauer gesagt wissen sie selbst nichts, aber wie sie sagen, sei es so.

Dieses einfache Beispiel zeigt, dass die Mengentheorie in Bezug auf die Realität völlig nutzlos ist. Was ist das Geheimnis? Wir bildeten eine Reihe von "roten festen Pickeln mit Schleife". Die Entstehung erfolgte nach vier verschiedenen Maßeinheiten: Farbe (rot), Stärke (massiv), Rauheit (in einer Beule), Verzierungen (mit Schleife). Nur eine Reihe von Maßeinheiten ermöglicht es, reale Objekte in der Sprache der Mathematik angemessen zu beschreiben. So sieht es aus.

Der Buchstabe „a“ mit unterschiedlichen Indizes bezeichnet unterschiedliche Maßeinheiten. In Klammern sind Maßeinheiten hervorgehoben, nach denen das „Ganze“ im Vorfeld zugeordnet wird. Aus Klammern ist die Maßeinheit herausgenommen, nach der das Set gebildet wird. Die letzte Zeile zeigt das Endergebnis - ein Element der Menge. Wie Sie sehen können, hängt das Ergebnis nicht von der Reihenfolge unserer Aktionen ab, wenn wir Einheiten verwenden, um eine Menge zu bilden. Und das ist Mathematik und nicht die Tänze von Schamanen mit Tamburinen. Schamanen können „intuitiv“ zu demselben Ergebnis kommen und es mit „Offensichtlichkeit“ argumentieren, weil Maßeinheiten nicht in ihrem „wissenschaftlichen“ Arsenal enthalten sind.

Mit Hilfe von Maßeinheiten ist es sehr einfach, einen zu zerlegen oder mehrere Sätze zu einem Obersatz zusammenzufassen. Schauen wir uns die Algebra dieses Prozesses genauer an.

In der letzten Lektion haben wir die Schlüsselkonzepte aller Trigonometrie erfolgreich gemeistert (oder wiederholt - wie jeder möchte). Das trigonometrischer Kreis , Winkel auf einem Kreis , Sinus und Cosinus dieses Winkels und auch gemeistert Vorzeichen trigonometrischer Funktionen in Vierteln . Ausführlich gelernt. An den Fingern könnte man sagen.

Aber das ist noch nicht genug. Um all diese einfachen Konzepte erfolgreich in der Praxis anwenden zu können, benötigen wir eine weitere nützliche Fähigkeit. Nämlich das Richtige Arbeiten mit Ecken in Trigonometrie. Ohne diese Fähigkeit in Trigonometrie - nichts. Selbst in den primitivsten Beispielen. Wieso den? Ja, denn der Winkel ist die Schlüsselfigur in jeder Trigonometrie! Nein, keine trigonometrischen Funktionen, nicht Sinus mit Kosinus, nicht Tangens mit Kotangens, nämlich die Ecke selbst. Kein Winkel - keine trigonometrischen Funktionen, ja ...

Wie arbeitet man mit Ecken auf einem Kreis? Dazu müssen wir ironischerweise zwei Punkte lernen.

1) Wie Werden die Winkel auf einem Kreis gezählt?

2) Worin werden sie gezählt (gemessen)?

Die Antwort auf die erste Frage ist das Thema der heutigen Lektion. Auf die erste Frage gehen wir gleich hier und jetzt im Detail ein. Die Antwort auf die zweite Frage wird hier nicht gegeben. Weil es ziemlich entwickelt ist. Wie die zweite Frage selbst ist sie sehr schlüpfrig, ja.) Ich werde jetzt nicht ins Detail gehen. Dies ist das Thema der nächsten separaten Lektion.

Sollen wir anfangen?

Wie berechnet man Winkel auf einem Kreis? Positive und negative Winkel.

Wer die Überschrift des Absatzes liest, dem stehen vielleicht schon die Haare zu Berge. Wie?! Negative Ecken? Ist das überhaupt möglich?

zum Negativen Zahlen daran haben wir uns schon gewöhnt. Wir können sie auf der Zahlenachse darstellen: positiv rechts von Null, negativ links von Null. Ja, und wir schauen regelmäßig auf das Thermometer vor dem Fenster. Vor allem im Winter, bei Frost.) Und das Geld am Telefon ist im "Minus" (d.h. Pflicht) gehen manchmal weg. Es ist alles vertraut.

Aber was ist mit den Ecken? Es stellt sich heraus, dass negative Winkel in der Mathematik kommt auch vor! Es hängt alles davon ab, wie man genau diesen Winkel zählt ... nein, nicht auf einem Zahlenstrahl, sondern auf einem Zahlenkreis! Ich meine, im Kreis. Kreis - hier ist er, ein Analogon des Zahlenstrahls in der Trigonometrie!

So, Wie berechnet man die Winkel auf einem Kreis? Es gibt nichts zu tun, wir müssen diesen Kreis zuerst zeichnen.

Ich werde dieses schöne Bild zeichnen:

Es ist den Bildern aus der vorherigen Lektion sehr ähnlich. Es gibt Achsen, es gibt einen Kreis, es gibt einen Winkel. Aber es gibt auch neue Informationen.

Ich habe auch Zahlen für 0°, 90°, 180°, 270° und 360° auf den Achsen hinzugefügt. Das ist jetzt interessanter.) Was sind das für Zahlen? Korrekt! Dies sind die Werte der von unserer festen Seite gemessenen Winkel, die fallen auf den Koordinatenachsen. Wir erinnern daran, dass die feste Seite des Winkels immer fest mit der positiven Halbachse OX verbunden ist. Und jeder Winkel in der Trigonometrie wird von dieser Halbachse aus gemessen. Dieser grundlegende Ursprung der Winkel muss ironisch im Auge behalten werden. Und die Achsen - sie schneiden sich rechtwinklig, richtig? Also fügen wir in jedem Viertel 90° hinzu.

Und mehr hinzugefügt roter Pfeil. Mit Plus. Der rote soll absichtlich ins Auge fallen. Und es ist mir gut in Erinnerung geblieben. Denn dies muss zuverlässig erinnert werden.) Was bedeutet dieser Pfeil?

So stellt es sich heraus, wenn wir um die Ecke biegen plus Pfeil(im Gegenuhrzeigersinn, im Zuge der Nummerierung der Viertel), dann der Winkel wird positiv gewertet! Die Abbildung zeigt als Beispiel einen Winkel von +45°. Bitte beachten Sie übrigens, dass auch die Achswinkel 0°, 90°, 180°, 270° und 360° genau im Plus zurückgespult werden! Durch den roten Pfeil.

Schauen wir uns nun ein anderes Bild an:

Hier ist fast alles gleich. Nur die Winkel auf den Achsen sind nummeriert umgedreht. Im Uhrzeigersinn. Und sie haben ein Minuszeichen.) blauer Pfeil. Auch mit einem Minus. Dieser Pfeil ist die Richtung der negativen Ablesung der Winkel auf dem Kreis. Das zeigt sie uns, wenn wir unsere Ecke verschieben im Uhrzeigersinn, dann Winkel wird als negativ betrachtet. Zum Beispiel habe ich einen Winkel von -45° gezeigt.

Beachten Sie übrigens, dass sich die Nummerierung der Quartale nie ändert! Dabei spielt es keine Rolle, ob wir Kurven in Plus oder Minus wickeln. Immer streng gegen den Uhrzeigersinn.)

Denken Sie daran:

1. Der Beginn der Winkelzählung ist von der positiven Halbachse ОХ. Stundenweise - "minus", gegen die Uhr - "plus".

2. Die Nummerierung der Viertel erfolgt immer gegen den Uhrzeigersinn, unabhängig von der Richtung der Berechnung der Winkel.

Übrigens, die Winkel auf den Achsen 0°, 90°, 180°, 270°, 360° zu signieren und dabei jeweils einen Kreis zu zeichnen, ist überhaupt keine Pflicht. Dies dient lediglich dem Verständnis der Essenz. Diese Nummern müssen aber vorhanden sein in deinem Kopf bei der Lösung eines Problems in der Trigonometrie. Wieso den? Ja, denn dieses elementare Wissen gibt Antworten auf viele weitere Fragen rund um die Trigonometrie! Die wichtigste Frage ist in welches Viertel fällt der Winkel, an dem wir interessiert sind? Ob Sie es glauben oder nicht, die richtige Antwort auf diese Frage löst den Löwenanteil aller anderen Probleme der Trigonometrie. Wir werden uns mit dieser wichtigen Lektion (der Verteilung der Winkel in Vierteln) in derselben Lektion, aber etwas später, befassen.

Die Werte der auf den Koordinatenachsen liegenden Winkel (0°, 90°, 180°, 270° und 360°) muss man sich merken! Denken Sie fest an den Automatismus. Und beides in Plus und Minus.

Doch ab diesem Moment beginnen die ersten Überraschungen. Und zusammen mit ihnen knifflige Fragen, die an mich gerichtet sind, ja ...) Und was passiert, wenn der negative Winkel auf dem Kreis liegt dem Positiven entsprechen? Es stellt sich heraus, dass der gleiche Punkt auf einem Kreis kann als positiver Winkel bezeichnet werden und als negativer ???

Ganz recht! So ist es.) Zum Beispiel nimmt ein positiver Winkel von +270° einen Kreis ein die gleiche Stellung , was der negative Winkel -90° ist. Oder zum Beispiel ein positiver Winkel von +45° auf einem Kreis die gleiche Stellung , was der negative Winkel -315° ist.

Wir schauen uns das nächste Bild an und sehen alles:

In ähnlicher Weise geht ein positiver Winkel von +150° dorthin, wo ein negativer Winkel von -210°, ein positiver Winkel von +230° an die gleiche Stelle geht wie ein negativer Winkel von -130°. Usw…

Und was kann ich jetzt tun? Wie genau die Winkel zählen, wenn es so und so möglich ist? Wie richtig?

Antworten: jedenfalls richtig! Die Mathematik verbietet keine der beiden Richtungen zum Zählen von Winkeln. Und die Wahl einer bestimmten Richtung hängt allein von der Aufgabe ab. Wenn die Aufgabe nichts im Klartext über das Vorzeichen des Winkels aussagt (wie z „Ermittle den Größten Negativ Ecke" etc.), dann arbeiten wir mit den für uns günstigsten Winkeln.

Natürlich kann beispielsweise bei so coolen Themen wie trigonometrischen Gleichungen und Ungleichungen die Richtung der Winkelberechnung einen großen Einfluss auf die Antwort haben. Und in den relevanten Themen werden wir diese Fallstricke berücksichtigen.

Denken Sie daran:

Jeder Punkt auf dem Kreis kann sowohl mit positiven als auch mit negativen Winkeln bezeichnet werden. Jeder! Was wir wollen.

Lassen Sie uns jetzt darüber nachdenken. Wir haben herausgefunden, dass der Winkel von 45° genau gleich dem Winkel von -315° ist? Wie habe ich von diesen 315 erfahren° ? Können Sie nicht erraten? Ja! Durch eine volle Umdrehung.) In 360 °. Wir haben einen Winkel von 45°. Wie viel fehlt vor einer vollen Umdrehung? Subtrahiere 45° ab 360° - hier bekommen wir 315° . Wir wickeln in die negative Richtung - und wir erhalten einen Winkel von -315 °. Noch unklar? Dann schauen Sie sich das Bild oben noch einmal an.

Und dies sollte immer getan werden, wenn positive Winkel in negative umgewandelt werden (und umgekehrt) - zeichnen Sie einen Kreis, beachten Sie um Bei einem bestimmten Winkel überlegen wir, wie viele Grad bis zu einer vollen Drehung fehlen, und wickeln die resultierende Differenz in die entgegengesetzte Richtung. Und alle.)

Was ist sonst noch interessant an den Ecken, die auf dem Kreis die gleiche Position einnehmen, was denkst du? Und die Tatsache, dass solche Ecken genauso Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens! Ist immer!

Zum Beispiel:

Sünde45° = Sünde(-315°)

cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = Ctg(-27°)

Und das ist jetzt extrem wichtig! Wozu? Ja, alle für dasselbe!) Um Ausdrücke zu vereinfachen. Denn die Vereinfachung von Ausdrücken ist ein Schlüsselverfahren für eine erfolgreiche Lösung irgendein Aufgaben in Mathematik. Und auch Trigonometrie.

Also haben wir die allgemeine Regel zum Zählen von Winkeln auf einem Kreis herausgefunden. Nun, wenn wir hier volle Drehungen angedeutet haben, etwa Viertel, dann wäre es an der Zeit, genau diese Ecken zu drehen und zu zeichnen. Sollen wir zeichnen?)

Lass uns beginnen mit positiv Ecken. Sie werden einfacher zu zeichnen sein.

Zeichnen Sie Winkel innerhalb einer Umdrehung (zwischen 0° und 360°).

Zeichnen wir zum Beispiel einen Winkel von 60°. Hier ist alles einfach, ohne Schnickschnack. Wir zeichnen Koordinatenachsen, einen Kreis. Sie können direkt von Hand, ohne Zirkel und Lineal. Wir zeichnen schematisch A: Wir haben kein Drafting mit Ihnen. GOSTs müssen nicht eingehalten werden, sie werden nicht bestraft.)

Sie können (für sich) die Werte der Winkel auf den Achsen markieren und den Pfeil in die Richtung angeben gegen die Uhr. Schließlich sparen wir Geld als Plus?) Das können Sie nicht tun, aber Sie müssen alles im Kopf behalten.

Und jetzt zeichnen wir die zweite (bewegliche) Seite der Ecke. Welches Quartal? Im ersten natürlich! Denn 60 Grad liegt streng genommen zwischen 0° und 90°. Also ziehen wir im ersten Viertel. in einem Winkel um 60 Grad zur festen Seite. Wie man zählt um 60 Grad ohne Winkelmesser? Leicht! 60° ist zwei Drittel eines rechten Winkels! Das erste Viertel des Kreises teilen wir gedanklich in drei Teile, zwei Drittel nehmen wir für uns. Und wir zeichnen ... Wie viel wir tatsächlich erreichen (wenn wir einen Winkelmesser anbringen und messen) - 55 Grad oder 64 - spielt keine Rolle! Es ist wichtig, dass noch irgendwo etwa 60°.

Wir bekommen ein Bild:

Das ist alles. Und es wurden keine Werkzeuge benötigt. Wir entwickeln ein Auge! Es wird sich bei Geometrieaufgaben als nützlich erweisen.) Diese unansehnliche Zeichnung kann unverzichtbar sein, wenn Sie in Eile einen Kreis und einen Winkel kratzen müssen, ohne wirklich an Schönheit zu denken. Aber gleichzeitig kritzeln Rechts, ohne Fehler, mit allen notwendigen Informationen. Zum Beispiel als Hilfe beim Lösen trigonometrischer Gleichungen und Ungleichungen.

Zeichnen wir nun einen Winkel, zum Beispiel 265°. Ratet mal, wo es sein könnte? Nun, das ist klar, nicht im ersten Viertel und auch nicht im zweiten: Sie enden bei 90 und 180 Grad. Sie können sich vorstellen, dass 265° 180° plus weitere 85° sind. Das heißt, zur negativen Halbachse muss OX (wobei 180°) addiert werden um 85°. Oder, noch einfacher, zu erraten, dass 265 ° die negative Halbachse OY (wo 270 °) von einigen unglücklichen 5 ° nicht erreichen. Mit einem Wort, im dritten Viertel wird es diese Ecke geben. Sehr nah an der negativen Achse OY, bis 270 Grad, aber immer noch im dritten!

Zeichnen:

Auch hier ist absolute Präzision nicht erforderlich. In Wirklichkeit hat sich herausgestellt, dass dieser Winkel beispielsweise 263 Grad beträgt. Aber die wichtigste Frage (welches Quartal?) wir haben richtig geantwortet. Warum ist das die wichtigste Frage? Ja, denn jede Arbeit mit einem Winkel in der Trigonometrie (ob wir diesen Winkel zeichnen oder nicht) beginnt mit der Antwort auf genau diese Frage! Ist immer. Wenn Sie diese Frage ignorieren oder versuchen, sie im Kopf zu beantworten, dann sind Fehler fast vorprogrammiert, ja ... Brauchen Sie das?

Denken Sie daran:

Jede Arbeit mit einem Winkel (einschließlich des Zeichnens dieses Winkels auf einem Kreis) beginnt immer mit der Bestimmung des Viertels, in das dieser Winkel fällt.

Jetzt hoffe ich, dass Sie die Winkel richtig zeichnen, zum Beispiel 182°, 88°, 280°. BEI Korrekt Viertel. Im dritten, ersten und vierten, wenn überhaupt ...)

Das vierte Viertel endet in einem 360°-Winkel. Dies ist eine volle Umdrehung. Pepper ist klar, dass dieser Winkel die gleiche Position auf dem Kreis einnimmt wie 0° (dh der Bezugspunkt). Aber die Ecken enden dort nicht, ja ...

Was tun bei Winkeln größer 360°?

"Gibt es solche Dinge?"- du fragst. Es gibt, wie! Es passiert beispielsweise ein Winkel von 444°. Und manchmal, sagen wir, ein Winkel von 1000 °. Es gibt alle möglichen Winkel.) Rein optisch werden solche exotischen Winkel etwas komplizierter empfunden als die üblichen Winkel innerhalb einer Umdrehung. Aber solche Winkel muss man auch zeichnen und berechnen können, ja.

Um solche Winkel korrekt auf einem Kreis zu zeichnen, müssen Sie dasselbe tun - finden Sie es heraus in welches Viertel fällt der Interessenwinkel. Hier ist die genaue Bestimmung des Viertels viel wichtiger als bei Winkeln von 0° bis 360°! Das eigentliche Verfahren zur Bestimmung eines Viertels wird durch nur einen Schritt kompliziert. Welche, wirst du bald sehen.

So müssen wir zum Beispiel herausfinden, in welches Viertel der Winkel 444° fällt. Wir beginnen zu spinnen. Wo? Als Plus natürlich! Sie gaben uns einen positiven Blickwinkel! +444°. Wir drehen, wir drehen ... Wir haben eine Umdrehung gedreht - wir haben 360 ° erreicht.

Wie viel bleibt bis 444° übrig?Wir zählen den verbleibenden Schwanz:

444°-360° = 84°.

444° sind also eine volle Umdrehung (360°) plus weitere 84°. Offensichtlich ist dies das erste Quartal. Damit fällt der Winkel 444° im ersten Quartal. Halb fertig.

Es bleibt nun, diesen Winkel darzustellen. Wie? Sehr einfach! Wir machen eine volle Umdrehung entlang des roten (Plus) Pfeils und fügen weitere 84 ° hinzu.

So:

Hier habe ich die Zeichnung nicht überladen - Viertel unterzeichnen, Winkel auf den Achsen zeichnen. All diese Güte hätte schon lange in meinem Kopf sein sollen.)

Aber ich habe mit einer "Schnecke" oder einer Spirale gezeigt, wie genau der Winkel von 444° aus den Winkeln von 360° und 84° gebildet wird. Die gepunktete rote Linie ist eine volle Umdrehung. An die 84° zusätzlich angeschraubt werden (durchgezogene Linie). Beachten Sie übrigens, dass das Ablegen dieser sehr vollen Drehung die Position unserer Ecke in keiner Weise beeinflusst!

Aber das ist wichtig! Winkelstellung 444° völlig übereinstimmt mit einer Winkelstellung von 84°. Es gibt keine Wunder, es passiert einfach.)

Ist es möglich, nicht eine volle Runde abzulegen, sondern zwei oder mehr?

Und warum nicht? Wenn die Ecke heftig ist, dann ist es nicht nur möglich, sondern sogar notwendig! Der Winkel ändert sich nicht! Genauer gesagt ändert sich natürlich der Winkel selbst in seiner Größe. Aber seine Position auf dem Kreis - auf keinen Fall!) Deshalb sie voll Momentum, dass, egal wie viele Kopien Sie hinzufügen, egal wie viel Sie subtrahieren, Sie immer noch denselben Punkt erreichen. Schön, oder?

Denken Sie daran:

Wenn wir den Winkel beliebig addieren (subtrahieren). ganz Anzahl vollständiger Umdrehungen, die Position der ursprünglichen Ecke auf dem Kreis ändert sich NICHT!

Zum Beispiel:

In welches Viertel fällt der Winkel 1000°?

Keine Probleme! Wir überlegen, wie viele volle Umdrehungen in tausend Grad sitzen. Eine Umdrehung ist 360°, eine andere schon 720°, die dritte 1080°… Stop! Büste! Also in einem Winkel von 1000° sitzt zwei vollen Umsatz. Werfen Sie sie aus 1000° heraus und berechnen Sie den Rest:

1000° - 2 360° = 280°

Also die Lage des Winkels 1000° auf dem Kreis das selbe, was dem Winkel von 280° entspricht. Mit denen ist es schon viel angenehmer zu arbeiten.) Und wo fällt diese Ecke hin? Er fällt in das vierte Viertel: 270° (negative Halbachse OY) plus weitere zehn.

Zeichnen:

Hier habe ich nicht mehr zwei volle Umdrehungen mit einer gepunkteten Spirale gezeichnet: Sie wird schmerzhaft lang. Habe nur den Rest des Pferdeschwanzes gezeichnet von Null, verwerfen alle zusätzliche Umdrehungen. Es ist, als hätten sie gar nicht existiert.)

Noch einmal. Auf gute Weise sind die Winkel 444° und 84°, sowie 1000° und 280° unterschiedlich. Aber für Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sind diese Winkel das Gleiche!

Wie Sie sehen können, müssen Sie definieren, um mit Winkeln größer als 360° zu arbeiten wie viele volle Umdrehungen sitzen in einem bestimmten großen Winkel. Dies ist der sehr zusätzliche Schritt, der vorher durchgeführt werden muss, wenn mit solchen Winkeln gearbeitet wird. Nichts kompliziertes, oder?

Volle Drehungen fallen zu lassen ist natürlich eine angenehme Erfahrung.) Aber in der Praxis, wenn mit absolut albtraumhaften Winkeln gearbeitet wird, treten auch Schwierigkeiten auf.

Zum Beispiel:

In welches Viertel fällt der Winkel 31240°?

Und was, wir werden viele, viele Male 360 Grad hinzufügen? Es ist möglich, wenn es nicht besonders brennt. Aber wir können nicht nur addieren.) Wir können auch dividieren!

Teilen wir also unseren riesigen Winkel in 360 Grad!

Durch diese Aktion finden wir gerade heraus, wie viele volle Umdrehungen in unseren 31240 Grad stecken. Sie können eine Ecke teilen, Sie können (in Ihr Ohr flüstern :)) auf einem Taschenrechner.)

Wir erhalten 31240:360 = 86,777777….

Die Tatsache, dass sich die Zahl als Bruchteil herausstellte, ist nicht beängstigend. Wir sind nur ganz Ich interessiere mich für Umsätze! Daher muss nicht bis zum Ende geteilt werden.)

In unserer Zottelecke sitzen also ganze 86 volle Umdrehungen. Grusel…

In Grad wird es sein86 360° = 30960°

So. So viele Grad können schmerzlos aus einem bestimmten Winkel von 31240 ° geworfen werden. Überreste:

31240° - 30960° = 280°

Alles! Winkelposition 31240° vollständig erkannt! An der gleichen Stelle wie 280°. Diese. viertes Viertel.) Anscheinend haben wir diesen Blickwinkel schon einmal dargestellt? Wann wurde der 1000°-Winkel gezeichnet?) Da sind wir auch 280 Grad gegangen. Zufall.)

Die Moral der Geschichte lautet also:

Wenn wir eine schreckliche kräftige Ecke bekommen, dann:

1. Ermitteln Sie, wie viele volle Umdrehungen in dieser Ecke sitzen. Teilen Sie dazu den ursprünglichen Winkel durch 360 und verwerfen Sie den Bruchteil.

2. Wir überlegen, wie viel Grad in der empfangenen Drehzahl enthalten sind. Multiplizieren Sie dazu die Anzahl der Umdrehungen mit 360.

3. Ziehen Sie diese Umdrehungen vom ursprünglichen Winkel ab und arbeiten Sie mit dem üblichen Winkel im Bereich von 0° bis 360°.

Wie arbeitet man mit negativen Winkeln?

Kein Problem! Genauso wie bei positiven, mit nur einem einzigen Unterschied. Was? Ja! Sie müssen um die Ecken biegen Rückseite, minus! im Uhrzeigersinn.)

Zeichnen wir zum Beispiel einen Winkel von -200°. Bei positiven Winkeln ist zunächst alles wie immer - Achsen, ein Kreis. Lassen Sie uns einen blauen Pfeil mit einem Minuszeichen zeichnen und die Winkel auf den Achsen anders signieren. Sie müssen natürlich auch in die negative Richtung gezählt werden. Dies sind alle die gleichen Winkel, schrittweise um 90°, aber in die entgegengesetzte Richtung gezählt, minus: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

Das Bild wird so aussehen:

Beim Arbeiten mit negativen Winkeln stellt sich oft ein leichtes Verwirrungsgefühl ein. Wie?! Es stellt sich heraus, dass dieselbe Achse sowohl +90° als auch -270° ist? Nein, hier stimmt was nicht...

Ja, alles ist sauber und transparent! Schließlich wissen wir bereits, dass jeder Punkt auf dem Kreis sowohl als positiver als auch als negativer Winkel bezeichnet werden kann! Absolut beliebig. Einschließlich auf einigen der Koordinatenachsen. In unserem Fall brauchen wir Negativ Berechnung von Winkeln. Also brechen wir alle Ecken auf Minus ab.)

Jetzt ist das Zeichnen des rechten Winkels von -200° kein Problem. Dies ist -180° und Minus- weitere 20°. Wir beginnen, von Null auf Minus zu wickeln: Wir fliegen durch das vierte Viertel, das dritte ist auch vorbei, wir erreichen -180 °. Wohin mit den restlichen zwanzig? Ja, da ist alles in Ordnung! Durch die Uhr.) Gesamtwinkel -200° fällt hinein zweite Quartal.

Verstehen Sie jetzt, wie wichtig es ist, sich die Winkel auf den Koordinatenachsen zu merken?

Die Winkel auf den Koordinatenachsen (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) müssen genau gemerkt werden, um genau das Viertel zu bestimmen, in das der Winkel fällt!

Und wenn der Winkel groß ist, mit mehreren vollen Umdrehungen? Macht nichts! Welchen Unterschied macht es, wo diese vollen Drehzahlen gedreht werden – in Plus oder Minus? Ein Punkt auf einem Kreis ändert seine Position nicht!

Zum Beispiel:

In welchen Quadranten fällt der Winkel -2000°?

Alles das selbe! Zunächst betrachten wir, wie viele volle Umdrehungen in dieser bösen Ecke sitzen. Um die Vorzeichen nicht zu vermasseln, lassen wir das Minus erstmal in Ruhe und teilen einfach 2000 durch 360. Wir bekommen 5 mit Schwanz. Das Heck stört uns noch nicht, wir werden es etwas später zählen, wenn wir die Ecke ziehen. Wir glauben fünf volle Umdrehungen in Grad:

5 360° = 1800°

Voot. So viele Extragrade können Sie getrost aus unserer Ecke werfen, ohne dass die Gesundheit Schaden nimmt.

Wir zählen den verbleibenden Schwanz:

2000° – 1800° = 200°

Und jetzt können Sie sich auch an das Minus erinnern.) Wo werden wir den Schwanz um 200 ° wickeln? Nachteil natürlich! Wir erhalten einen negativen Winkel.)

2000° = -1800° - 200°

Wir zeichnen also einen Winkel von -200 °, nur ohne zusätzliche Drehungen. Ich habe es gerade gezeichnet, aber sei's drum, ich male es noch einmal. Von Hand.

Der Pfeffer ist klar, dass der angegebene Winkel -2000 °, sowie -200 °, hineinfällt zweites Viertel.

Also wickeln wir uns auf einen Kreis ... Entschuldigung ... auf einen Schnurrbart:

Wenn ein sehr großer negativer Winkel angegeben wird, ist der erste Teil der Arbeit damit (Ermitteln der Anzahl der vollen Umdrehungen und Verwerfen) derselbe wie beim Arbeiten mit einem positiven Winkel. Das Minuszeichen spielt in diesem Lösungsstadium keine Rolle. Das Vorzeichen wird erst ganz am Ende berücksichtigt, wenn mit dem Winkel gearbeitet wird, der nach dem Entfernen von vollen Umdrehungen verbleibt.

Wie Sie sehen können, ist das Zeichnen negativer Winkel auf einem Kreis nicht schwieriger als das Zeichnen positiver.

Alles ist gleich, nur in die andere Richtung! In der Stunde!

Und jetzt - das Interessanteste! Wir haben positive Winkel, negative Winkel, große Winkel, kleine Winkel abgedeckt – die gesamte Bandbreite. Wir haben auch herausgefunden, dass jeder Punkt auf dem Kreis als positiver und negativer Winkel bezeichnet werden kann, wir haben volle Umdrehungen verworfen ... Keine Gedanken? Sollte verschoben werden...

Ja! Welchen Punkt auf dem Kreis Sie auch nehmen, er wird entsprechen endlose Winkel! Groß und nicht so, positiv und negativ - alle! Und der Unterschied zwischen diesen Winkeln wird sein ganz Anzahl kompletter Umdrehungen. Ist immer! Der trigonometrische Kreis ist also angeordnet, ja ...) Deshalb umkehren die aufgabe ist, den winkel durch den bekannten sinus/kosinus/tangens/kotangens zu finden - ist gelöst mehrdeutig. Und viel schwieriger. Im Gegensatz zum direkten Problem - den gesamten Satz seiner trigonometrischen Funktionen für einen bestimmten Winkel zu finden. Und in ernsteren Themen der Trigonometrie ( Bögen, trigonometrisch Gleichungen und Ungleichheiten ) werden wir diesem Chip ständig begegnen. Benutzt werden.)

1. In welches Viertel fällt der Winkel -345°?

2. In welches Viertel fällt der Winkel 666°?

3. In welches Viertel fällt der Winkel 5555°?

4. In welches Viertel fällt der -3700°-Winkel?

5. Was ist das Zeichencos999°?

6. Was ist das Zeichenctg999°?

Und hat es funktioniert? Wunderbar! Es gibt ein Problem? Dann Sie.

Antworten:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Diesmal werden die Antworten der Reihe nach gegeben und mit der Tradition gebrochen. Denn es gibt nur vier Viertel und nur zwei Zeichen. Du wirst nicht weglaufen...)

In der nächsten Lektion werden wir über das Bogenmaß sprechen, über die mysteriöse Zahl "pi", wir werden lernen, wie man einfach und unkompliziert das Bogenmaß in Grad umwandelt und umgekehrt. Und wir werden überrascht feststellen, dass selbst diese einfachen Kenntnisse und Fähigkeiten bereits ausreichen, um viele nicht triviale Probleme in der Trigonometrie erfolgreich zu lösen!