Grundlegende Elementarfunktionen, ihre Eigenschaften und Graphen. Potenzfunktion, ihre Eigenschaften und ihr Diagramm Ein Beispiel für die Verwendung einer Potenzfunktion

Die Potenzfunktion wird durch eine Formel der Form gegeben.

Betrachten Sie die Art der Graphen einer Potenzfunktion und die Eigenschaften einer Potenzfunktion in Abhängigkeit vom Wert des Exponenten.

Beginnen wir mit einer Potenzfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten a. In diesem Fall hängen die Form von Graphen von Potenzfunktionen und die Eigenschaften von Funktionen vom geraden oder ungeraden Exponenten sowie von seinem Vorzeichen ab. Daher betrachten wir zunächst Potenzfunktionen für ungerade positive Werte des Exponenten a, dann - für gerade positive, dann - für ungerade negative Exponenten und schließlich für gerade negative a.

Die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit gebrochenen und irrationalen Exponenten (sowie die Art der Graphen solcher Potenzfunktionen) hängen vom Wert des Exponenten ab a. Wir werden sie zunächst betrachten, a von null auf eins und zweitens bei a große Einheiten, drittens, mit a von minus eins bis null, viertens wann a kleiner minus eins.

Zum Abschluss dieses Unterabschnitts beschreiben wir der Vollständigkeit halber eine Potenzfunktion mit Exponent Null.

Potenzfunktion mit ungeradem positivem Exponenten.

Betrachten Sie eine Potenzfunktion mit einem ungeraden positiven Exponenten, also mit a=1,3,5,….

Die folgende Abbildung zeigt Diagramme von Potenzfunktionen - schwarze Linie, - blaue Linie, - rote Linie, - grüne Linie. Bei a=1 wir haben lineare Funktion y=x.

Eigenschaften einer Potenzfunktion mit ungeradem positivem Exponenten.

Potenzfunktion mit geradem positiven Exponenten.

Betrachten Sie eine Potenzfunktion mit geradem positiven Exponenten, also z a=2,4,6,….

Nehmen wir als Beispiel Graphen von Potenzfunktionen - schwarze Linie, - blaue Linie, - rote Linie. Bei a=2 Wir haben eine quadratische Funktion, deren Graph ist quadratische Parabel.

Eigenschaften einer Potenzfunktion mit geradem positivem Exponenten.

Potenzfunktion mit ungeradem negativem Exponenten.

Betrachten Sie die Diagramme der Potenzfunktion für ungerade negative Werte des Exponenten, dh z a=-1,-3,-5,….

Power-Funktion ist eine Funktion der Form y = xp, wobei p eine gegebene reelle Zahl ist.

Eigenschaften der Potenzfunktion

Wenn der Indikator p = 2n- eine gerade natürliche Zahl:
- der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen, dh die Menge R;
- Wertesatz - nicht negative Zahlen, d.h. y ≥ 0;
- die Funktion ist gerade;
- Die Funktion nimmt im Intervall x ≤ 0 ab und im Intervall x ≥ 0 zu.
Ein Beispiel für eine Funktion mit p = 2n: y=x4.

Wenn der Indikator p = 2n - 1- ungerade natürliche Zahl:
- Definitionsbereich - Menge R;
- Wertesatz - R setzen;
- die Funktion ist ungerade;
- die Funktion nimmt auf der gesamten reellen Achse zu.
Ein Beispiel für eine Funktion mit p = 2n - 1: y=x5.

Wenn der Indikator p=-2n, wo n- natürliche Zahl:
- Wertemenge - positive Zahlen y > 0;
- die Funktion ist gerade;
- Die Funktion wächst im Intervall x 0.
Ein Beispiel für eine Funktion mit p = -2n: y = 1/x2.

Wenn der Indikator p = -(2n - 1), wo n- natürliche Zahl:
- der Definitionsbereich ist die Menge R, außer für x = 0;
- Wertesatz - R setzen, außer y = 0;
- die Funktion ist ungerade;
- Die Funktion nimmt in Intervallen x 0 ab.
Ein Beispiel für eine Funktion mit p = -(2n - 1): y = 1/x3.

Wenn der Indikator p ist eine positive reelle nicht ganzzahlige Zahl:
- Definitionsbereich - nicht negative Zahlen x ≥ 0;
- Wertemenge - nicht negative Zahlen y ≥ 0;
- die Funktion wächst im Intervall x ≥ 0.
Ein Beispiel für eine Funktion mit Exponent p, wobei p eine positive reelle Nicht-Ganzzahl ist: y=x4/3.

Wenn der Indikator p ist eine negative reelle nicht ganzzahlige Zahl:
- Definitionsbereich - positive Zahlen x > 0;
- Wertemenge - positive Zahlen y > 0;
- Die Funktion fällt im Intervall x > 0.
Ein Beispiel für eine Funktion mit Exponent p, wobei p eine negative reelle Nicht-Ganzzahl ist: y=x-1/3.

Erinnern Sie sich an die Eigenschaften und Graphen von Potenzfunktionen mit einem negativen ganzzahligen Exponenten.

Für gerade n gilt:

Funktionsbeispiel:

Alle Graphen solcher Funktionen gehen durch zwei Fixpunkte: (1;1), (-1;1). Ein Merkmal von Funktionen dieses Typs ist ihre Parität, die Graphen sind bezüglich der op-y-Achse symmetrisch.

Reis. 1. Graph einer Funktion

Für ungerade n gilt:

Funktionsbeispiel:

Alle Graphen solcher Funktionen gehen durch zwei Fixpunkte: (1;1), (-1;-1). Funktionen dieses Typs zeichnen sich durch ihre Ungewöhnlichkeit aus, die Graphen sind symmetrisch zum Ursprung.

Reis. 2. Funktionsgraph

Erinnern wir uns an die Hauptdefinition.

Der Grad einer nichtnegativen Zahl a mit einem rationalen positiven Exponenten heißt Zahl.

Der Grad einer positiven Zahl a mit einem rationalen negativen Exponenten heißt Zahl.

Für die folgende Gleichheit gilt:

Zum Beispiel: ; - der Ausdruck existiert nicht per Definition eines Grades mit negativem rationalen Exponenten; existiert, da der Exponent eine ganze Zahl ist,

Wenden wir uns der Betrachtung von Potenzfunktionen mit rational negativem Exponenten zu.

Zum Beispiel:

Um diese Funktion darzustellen, können Sie eine Tabelle erstellen. Wir werden es anders machen: Zuerst werden wir den Graphen des Nenners erstellen und untersuchen – wir kennen ihn (Abbildung 3).

Reis. 3. Graph einer Funktion

Der Graph der Nennerfunktion geht durch einen Fixpunkt (1;1). Bei der Konstruktion eines Graphen der ursprünglichen Funktion bleibt dieser Punkt erhalten, wenn auch die Wurzel gegen Null geht, strebt die Funktion gegen Unendlich. Und umgekehrt, wenn x gegen unendlich geht, tendiert die Funktion gegen Null (Abbildung 4).

Reis. 4. Funktionsgraph

Betrachten Sie eine weitere Funktion aus der Familie der untersuchten Funktionen.

Es ist wichtig, dass per Definition

Betrachten Sie den Graphen der Funktion im Nenner: Wir kennen den Graphen dieser Funktion, er nimmt in seinem Definitionsbereich zu und geht durch den Punkt (1; 1) (Abbildung 5).

Reis. 5. Funktionsgraph

Bei der Konstruktion eines Graphen der ursprünglichen Funktion bleibt der Punkt (1; 1) übrig, wenn auch die Wurzel gegen Null geht, strebt die Funktion gegen Unendlich. Und umgekehrt, wenn x gegen unendlich geht, tendiert die Funktion gegen Null (Abbildung 6).

Reis. 6. Funktionsgraph

Die betrachteten Beispiele helfen zu verstehen, wie der Graph verläuft und welche Eigenschaften die untersuchte Funktion hat - eine Funktion mit einem negativen rationalen Exponenten.

Funktionsgraphen dieser Schar gehen durch den Punkt (1;1), die Funktion nimmt über den gesamten Definitionsbereich ab.

Funktionsumfang:

Die Funktion ist nicht nach oben beschränkt, sondern nach unten. Die Funktion hat weder einen Maximal- noch einen Minimalwert.

Die Funktion ist stetig, sie nimmt alle positiven Werte von null bis plus unendlich an.

Konvexe Abwärtsfunktion (Abbildung 15.7)

Die Punkte A und B werden auf der Kurve genommen, ein Segment wird durch sie gezogen, die gesamte Kurve liegt unter dem Segment, diese Bedingung ist für zwei beliebige Punkte auf der Kurve erfüllt, daher ist die Funktion nach unten konvex. Reis. 7.

Reis. 7. Konvexität einer Funktion

Es ist wichtig zu verstehen, dass die Funktionen dieser Familie von unten durch Null begrenzt sind, aber sie haben nicht den kleinsten Wert.

Beispiel 1 - Finde das Maximum und Minimum einer Funktion auf dem Intervall \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Diagramm (Abb. 2).

Abbildung 2. Graph der Funktion $f\left(x\right)=x^(2n)$

Eigenschaften einer Potenzfunktion mit natürlichem ungeraden Exponenten
Der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ ist eine ungerade Funktion.

$f(x)$ ist stetig auf dem gesamten Definitionsbereich.

Der Bereich besteht ausschließlich aus reellen Zahlen.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Die Funktion nimmt über den gesamten Definitionsbereich zu.

$f\left(x\right)0$, für $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\links(x\rechts))=(\links(\links(2n-1\rechts)\cdot x^(2\links(n-1\rechts))\rechts))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Die Funktion ist konkav für $x\in (-\infty ,0)$ und konvex für $x\in (0,+\infty)$.

Diagramm (Abb. 3).

Abbildung 3. Graph der Funktion $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten
Zunächst führen wir den Begriff Grad mit ganzzahligem Exponenten ein.
Bestimmung 3

Der Grad einer reellen Zahl $a$ mit einem ganzzahligen Exponenten $n$ wird durch die Formel bestimmt:

Figur 4
Betrachten Sie nun eine Potenzfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten, ihre Eigenschaften und ihren Graphen.
Bestimmung 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ heißt Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten.
Ist der Grad größer Null, dann liegt der Fall einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten vor. Wir haben es oben bereits besprochen. Für $n=0$ erhalten wir eine lineare Funktion $y=1$. Ihre Betrachtung überlassen wir dem Leser. Es bleibt noch, die Eigenschaften einer Potenzfunktion mit negativem ganzzahligen Exponenten zu betrachten
Eigenschaften einer Potenzfunktion mit einem negativen ganzzahligen Exponenten
Der Geltungsbereich ist $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Wenn der Exponent gerade ist, dann ist die Funktion gerade, wenn er ungerade ist, dann ist die Funktion ungerade.

$f(x)$ ist stetig auf dem gesamten Definitionsbereich.

Wertebereich:

Wenn der Exponent gerade ist, dann $(0,+\infty)$, wenn er ungerade ist, dann $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Wenn der Exponent ungerade ist, verringert sich die Funktion als $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Bei einem geraden Exponenten nimmt die Funktion als $x\in (0,+\infty)$ ab. und erhöht sich als $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ über die gesamte Domäne