Wie untersucht man eine Funktion und zeichnet ihren Graphen?

Es scheint, dass ich beginne, das seelenvolle Gesicht des Führers des Weltproletariats, des Autors gesammelter Werke in 55 Bänden, zu verstehen .... Die lange Reise begann mit elementaren Informationen über Funktionen und Graphen, und jetzt endet die Arbeit an einem mühsamen Thema mit einem natürlichen Ergebnis - einem Artikel über die Vollfunktionsstudie. Die langersehnte Aufgabe ist wie folgt formuliert:

Untersuchen Sie die Funktion mit Methoden der Differentialrechnung und erstellen Sie auf der Grundlage der Ergebnisse der Studie ihren Graphen

Oder kurz: Untersuche die Funktion und zeichne sie.

Warum erkunden? In einfachen Fällen wird es uns nicht schwer fallen, mit elementaren Funktionen umzugehen und einen mit erhaltenen Graphen zu zeichnen elementare geometrische Transformationen usw. Die Eigenschaften und grafischen Darstellungen komplexerer Funktionen sind jedoch alles andere als offensichtlich, weshalb eine ganze Studie erforderlich ist.

Die Hauptschritte der Lösung sind im Referenzmaterial zusammengefasst Funktionsstudienschema, dies ist Ihr Abschnittsleitfaden. Dummies brauchen eine Schritt-für-Schritt-Erklärung des Themas, manche Leser wissen nicht, wo sie anfangen und wie sie das Studium organisieren sollen, und Fortgeschrittene interessieren sich vielleicht nur für wenige Punkte. Aber wer auch immer Sie sind, lieber Besucher, die vorgeschlagene Zusammenfassung mit Hinweisen auf verschiedene Lektionen wird Sie in kürzester Zeit in die Richtung Ihres Interesses orientieren und lenken. Die Roboter vergossen eine Träne =) Das Handbuch wurde in Form einer PDF-Datei erstellt und nahm seinen rechtmäßigen Platz auf der Seite ein Mathematische Formeln und Tabellen.

Früher habe ich das Studium der Funktion in 5-6 Punkte unterteilt:

6) Zusätzliche Punkte und Diagramm basierend auf den Ergebnissen der Studie.

Was die letzte Aktion betrifft, denke ich, dass jeder alles versteht - es wird sehr enttäuschend sein, wenn sie in Sekundenschnelle durchgestrichen und die Aufgabe zur Überarbeitung zurückgegeben wird. EINE KORREKTE UND GENAUE ZEICHNUNG ist das Hauptergebnis der Lösung! Es ist sehr wahrscheinlich, dass analytische Versehen „vertuscht“ werden, während ein falscher und/oder schlampiger Zeitplan selbst bei einer perfekt durchgeführten Studie Probleme verursacht.

Es sollte beachtet werden, dass in anderen Quellen die Anzahl der Forschungselemente, die Reihenfolge ihrer Implementierung und der Designstil erheblich von dem von mir vorgeschlagenen Schema abweichen können, aber in den meisten Fällen völlig ausreichend sind. Die einfachste Variante der Aufgabe besteht aus nur 2-3 Stufen und ist etwa so formuliert: „Untersuche die Funktion mit der Ableitung und zeichne“ oder „Untersuche die Funktion mit der 1. und 2. Ableitung, zeichne“.

Wenn in Ihrem Schulungshandbuch ein anderer Algorithmus ausführlich analysiert wird oder Ihr Lehrer Sie strikt an seine Vorlesungen hält, müssen Sie natürlich einige Anpassungen an der Lösung vornehmen. Nicht schwieriger, als eine Gabel durch einen Kettensägenlöffel zu ersetzen.

Lassen Sie uns die Funktion für gerade / ungerade überprüfen:

Es folgt eine Vorlage zum Abbestellen:
, also ist diese Funktion weder gerade noch ungerade.

Da die Funktion stetig ist, gibt es keine vertikalen Asymptoten.

Es gibt auch keine schiefen Asymptoten.

Notiz : Ich erinnere Sie daran, dass je höher Reihenfolge des Wachstums als , also ist die endgültige Grenze genau " ein Plus Unendlichkeit."

Lassen Sie uns herausfinden, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält:

Mit anderen Worten, wenn wir nach rechts gehen, dann geht der Graph unendlich weit nach oben, wenn wir nach links gehen, unendlich weit nach unten. Ja, es gibt auch zwei Limits unter einem einzigen Eintrag. Wenn Sie Schwierigkeiten haben, die Zeichen zu entziffern, besuchen Sie bitte die Lektion über infinitesimale Funktionen.

Also die Funktion nicht von oben begrenzt und nicht von unten begrenzt. Wenn man bedenkt, dass wir keine Haltepunkte haben, wird es klar und Funktionsumfang: ist auch eine beliebige reelle Zahl.

NÜTZLICHE TECHNIK

Jeder Aufgabenschritt bringt neue Informationen über den Graphen der Funktion, daher ist es im Zuge der Lösung bequem, eine Art LAYOUT zu verwenden. Lassen Sie uns ein kartesisches Koordinatensystem auf den Entwurf zeichnen. Was ist sicher bekannt? Erstens hat der Graph keine Asymptoten, daher müssen keine geraden Linien gezeichnet werden. Zweitens wissen wir, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält. Nach der Analyse ziehen wir die erste Näherung:

Beachten Sie dies in Kraft Kontinuität Funktion an und die Tatsache, dass der Graph die Achse mindestens einmal kreuzen muss. Oder gibt es vielleicht mehrere Schnittpunkte?

3) Nullstellen der Funktion und Intervalle mit konstantem Vorzeichen.

Finden Sie zuerst den Schnittpunkt des Diagramms mit der y-Achse. Das ist einfach. Es ist notwendig, den Wert der Funktion zu berechnen, wenn:

Halb über dem Meeresspiegel.

Um die Schnittpunkte mit der Achse (Nullen der Funktion) zu finden, müssen Sie die Gleichung lösen, und hier erwartet uns eine unangenehme Überraschung:

Am Ende lauert ein freies Mitglied, was die Aufgabe erheblich erschwert.

Eine solche Gleichung hat mindestens eine reelle Wurzel, und meistens ist diese Wurzel irrational. Im schlimmsten Märchen warten drei kleine Schweinchen auf uns. Die Gleichung ist lösbar mit dem sog Cardanos Formeln, aber Papierschaden ist vergleichbar mit fast der gesamten Studie. In dieser Hinsicht ist es klüger, mündlich oder auf einem Entwurf zu versuchen, mindestens einen aufzuheben ganz Wurzel. Lassen Sie uns überprüfen, ob diese Zahlen sind:
- ungeeignet;
- Es gibt!

Hier hat man Glück. Im Falle eines Misserfolgs kann man auch testen und, und wenn diese Zahlen nicht passen, dann sind die Chancen für eine gewinnbringende Lösung der Gleichung leider sehr gering. Dann ist es besser, den Forschungspunkt komplett zu überspringen - vielleicht wird im letzten Schritt etwas klarer, wenn weitere Punkte durchbrechen. Und wenn die Wurzel (Wurzeln) eindeutig „schlecht“ ist, ist es besser, bescheiden über die Intervalle der Zeichenkonstanz zu schweigen und die Zeichnung genauer zu vervollständigen.

Wir haben jedoch eine schöne Wurzel, also dividieren wir das Polynom ohne Rest:

Der Algorithmus zum Teilen eines Polynoms durch ein Polynom wird ausführlich im ersten Beispiel der Lektion besprochen. Komplexe Grenzen.

Als Ergebnis die linke Seite der ursprünglichen Gleichung erweitert sich zu einem Produkt:

Und jetzt ein wenig über einen gesunden Lebensstil. Das verstehe ich natürlich quadratische Gleichungen müssen jeden Tag gelöst werden, aber heute machen wir eine Ausnahme: die Gleichung hat zwei echte Wurzeln.

Auf dem Zahlenstrahl zeichnen wir die gefundenen Werte auf und Intervallmethode Definieren Sie die Vorzeichen der Funktion:


og Also auf die Intervalle Diagramm befindet
unterhalb der x-Achse und in Intervallen - über dieser Achse.

Die daraus resultierenden Erkenntnisse ermöglichen es uns, unser Layout zu verfeinern, und die zweite Annäherung des Diagramms sieht folgendermaßen aus:

Bitte beachten Sie, dass die Funktion mindestens ein Maximum im Intervall und mindestens ein Minimum im Intervall haben muss. Aber wir wissen nicht, wie oft, wo und wann sich der Zeitplan "herumschlängeln" wird. Eine Funktion kann übrigens unendlich viele haben Extreme.

4) Steigende, fallende und Extrema der Funktion.

Finden wir die kritischen Punkte:

Diese Gleichung hat zwei reelle Wurzeln. Setzen wir sie auf den Zahlenstrahl und bestimmen die Vorzeichen der Ableitung:


Daher erhöht sich die Funktion um und verringert sich um .
An dem Punkt, an dem die Funktion ihr Maximum erreicht: .
An dem Punkt, an dem die Funktion ihr Minimum erreicht: .

Die etablierten Fakten treiben unsere Vorlage in einen ziemlich starren Rahmen:

Unnötig zu erwähnen, dass die Differentialrechnung eine mächtige Sache ist. Beschäftigen wir uns abschließend mit der Form des Graphen:

5) Konvexität, Konkavität und Wendepunkte.

Finden Sie die kritischen Punkte der zweiten Ableitung:

Lassen Sie uns Zeichen definieren:


Der Funktionsgraph ist auf konvex und auf konkav. Lassen Sie uns die Ordinate des Wendepunkts berechnen: .

Fast alles aufgeklärt.

6) Es bleibt übrig, zusätzliche Punkte zu finden, die dabei helfen, einen Graphen genauer zu erstellen und einen Selbsttest durchzuführen. In diesem Fall sind es nur wenige, aber wir werden nicht vernachlässigen:

Lassen Sie uns die Zeichnung ausführen:

Der Wendepunkt ist grün markiert, weitere Punkte sind mit Kreuzen markiert. Der Graph einer kubischen Funktion ist symmetrisch um ihren Wendepunkt, der immer genau in der Mitte zwischen Maximum und Minimum liegt.

Im Zuge der Aufgabenstellung habe ich drei hypothetische Zwischenzeichnungen abgegeben. In der Praxis reicht es aus, ein Koordinatensystem zu zeichnen, die gefundenen Punkte zu markieren und sich nach jedem Punkt der Studie im Kopf auszumalen, wie der Graph der Funktion aussehen könnte. Gut vorbereiteten Studenten wird es nicht schwer fallen, eine solche Analyse nur gedanklich ohne Entwurf durchzuführen.

Für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 2

Untersuchen Sie die Funktion und erstellen Sie ein Diagramm.

Hier geht alles schneller und macht mehr Spaß, ein ungefähres Beispiel für den Abschluss am Ende der Lektion.

Viele Geheimnisse werden durch das Studium fraktionaler rationaler Funktionen enthüllt:

Beispiel 3

Untersuchen Sie die Funktion mit den Methoden der Differentialrechnung und konstruieren Sie auf der Grundlage der Ergebnisse der Studie ihren Graphen.

Lösung: Die erste Phase der Studie unterscheidet sich in nichts Auffälligem, mit Ausnahme eines Lochs im Definitionsbereich:

1) Die Funktion ist auf dem gesamten Zahlenstrahl bis auf den Punkt definiert und stetig, Domain: .

, also ist diese Funktion weder gerade noch ungerade.

Offensichtlich ist die Funktion nicht periodisch.

Der Graph der Funktion besteht aus zwei kontinuierlichen Zweigen, die sich in der linken und rechten Halbebene befinden - dies ist vielleicht die wichtigste Schlussfolgerung des 1. Absatzes.

2) Asymptoten, das Verhalten einer Funktion im Unendlichen.

a) Mit Hilfe einseitiger Grenzwerte untersuchen wir das Verhalten der Funktion in der Nähe des verdächtigen Punktes, wo die vertikale Asymptote eindeutig sein muss:

Tatsächlich bleiben die Funktionen bestehen endlose Lücke am Punkt
und die Gerade (Achse) ist vertikale Asymptote grafische Künste .

b) Prüfen Sie, ob schiefe Asymptoten existieren:

Ja, die Linie ist schräge Asymptote Grafik wenn.

Es macht keinen Sinn, die Grenzen zu analysieren, da bereits klar ist, dass die Funktion in einer Umarmung mit ihrer schiefen Asymptote liegt nicht von oben begrenzt und nicht von unten begrenzt.

Der zweite Punkt der Studie brachte viele wichtige Informationen über die Funktion. Machen wir eine grobe Skizze:

Schlussfolgerung Nr. 1 betrifft Intervalle der Zeichenkonstanz. Bei „minus unendlich“ liegt der Graph der Funktion eindeutig unterhalb der x-Achse und bei „plus unendlich“ oberhalb dieser Achse. Außerdem sagten uns einseitige Grenzen, dass sowohl links als auch rechts vom Punkt die Funktion auch größer als Null ist. Beachten Sie, dass der Graph in der linken Halbebene die x-Achse mindestens einmal kreuzen muss. In der rechten Halbebene darf es keine Nullstellen der Funktion geben.

Schlussfolgerung Nr. 2 ist, dass die Funktion auf und links vom Punkt zunimmt (geht „von unten nach oben“). Rechts von diesem Punkt nimmt die Funktion ab (geht „von oben nach unten“). Der rechte Ast des Graphen muss auf jeden Fall mindestens ein Minimum haben. Auf der linken Seite sind Extreme nicht garantiert.

Schlussfolgerung Nr. 3 gibt zuverlässige Auskunft über die Konkavität des Graphen in der Nähe des Punktes. Über Konvexität/Konkavität im Unendlichen können wir noch nichts sagen, da die Linie sowohl von oben als auch von unten gegen ihre Asymptote gedrückt werden kann. Im Allgemeinen gibt es jetzt einen analytischen Weg, dies herauszufinden, aber die Form des Diagramms „für nichts“ wird zu einem späteren Zeitpunkt klarer.

Warum so viele Worte? Um nachfolgende Forschungspunkte zu kontrollieren und Fehler zu vermeiden! Weitere Berechnungen sollten den gezogenen Schlussfolgerungen nicht widersprechen.

3) Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen, Intervalle konstanten Vorzeichens der Funktion.

Der Graph der Funktion schneidet die Achse nicht.

Mit der Intervallmethode bestimmen wir die Vorzeichen:

, wenn ;
, wenn .

Die Ergebnisse des Absatzes stimmen vollständig mit Schlussfolgerung Nr. 1 überein. Sehen Sie sich nach jedem Schritt den Entwurf an, beziehen Sie sich im Geiste auf die Studie und beenden Sie das Zeichnen des Graphen der Funktion.

In diesem Beispiel wird der Zähler Glied für Glied durch den Nenner dividiert, was für die Differenzierung sehr vorteilhaft ist:

Eigentlich ist dies bereits beim Auffinden von Asymptoten geschehen.

- kritischer Punkt.

Lassen Sie uns Zeichen definieren:

steigt um und sinkt auf

An dem Punkt, an dem die Funktion ihr Minimum erreicht: .

Auch zu Schlussfolgerung Nr. 2 gab es keine Abweichungen, und höchstwahrscheinlich sind wir auf dem richtigen Weg.

Das bedeutet, dass der Graph der Funktion über den gesamten Definitionsbereich konkav ist.

Ausgezeichnet - und Sie müssen nichts zeichnen.

Es gibt keine Wendepunkte.

Die Konkavität stimmt mit Schlussfolgerung Nr. 3 überein, außerdem zeigt sie an, dass sich der Graph der Funktion im Unendlichen (sowohl dort als auch dort) befindet Oben seine schiefe Asymptote.

6) Wir werden die Aufgabe gewissenhaft mit zusätzlichen Punkten fixieren. Hier müssen wir uns anstrengen, denn wir kennen nur zwei Punkte aus der Studie.

Und ein Bild, das wahrscheinlich viele schon lange präsentiert haben:

Im Zuge des Einsatzes muss darauf geachtet werden, dass es keine Widersprüche zwischen den Studienstufen gibt, aber manchmal ist die Situation eilig oder gar ausweglos ausweglos. Hier "konvergiert die Analytik nicht" - und das war's. In diesem Fall empfehle ich eine Notfalltechnik: Wir finden möglichst viele Punkte, die zum Graphen gehören (wie viel Geduld reicht), und markieren sie auf der Koordinatenebene. Die grafische Analyse der gefundenen Werte wird Ihnen in den meisten Fällen sagen, wo die Wahrheit und wo die Lüge ist. Darüber hinaus kann das Diagramm mit einem Programm, beispielsweise in demselben Excel, vorgefertigt werden (es ist klar, dass dies Fähigkeiten erfordert).

Beispiel 4

Untersuchen Sie die Funktion mit den Methoden der Differentialrechnung und zeichnen Sie ihren Graphen auf.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Darin wird die Selbstbeherrschung durch die Gleichmäßigkeit der Funktion verbessert - der Graph ist symmetrisch um die Achse, und wenn etwas in Ihrer Studie dieser Tatsache widerspricht, suchen Sie nach einem Fehler.

Eine gerade oder ungerade Funktion kann nur für untersucht werden, und dann kann die Symmetrie des Graphen verwendet werden. Diese Lösung ist optimal, sieht aber meiner Meinung nach sehr ungewöhnlich aus. Ich persönlich betrachte die gesamte Zahlenachse, finde aber trotzdem nur rechts zusätzliche Punkte:

Beispiel 5

Führen Sie eine vollständige Untersuchung der Funktion durch und zeichnen Sie ihren Graphen.

Lösung: eilte hart:

1) Die Funktion ist definiert und stetig auf der gesamten reellen Linie: .

Das bedeutet, dass diese Funktion ungerade ist, ihr Graph ist symmetrisch zum Ursprung.

Offensichtlich ist die Funktion nicht periodisch.

2) Asymptoten, das Verhalten einer Funktion im Unendlichen.

Da die Funktion stetig ist, gibt es keine vertikalen Asymptoten

Typischerweise für eine Funktion, die einen Exponenten enthält getrennt das Studium von "plus" und "minus unendlich" erleichtert uns jedoch das Leben allein durch die Symmetrie des Graphen - entweder gibt es links und rechts eine Asymptote oder nicht. Daher können beide Endlosgrenzen unter einem einzigen Eintrag angeordnet werden. Im Zuge der Lösung verwenden wir Die Regel von L'Hopital:

Die gerade Linie (Achse) ist die horizontale Asymptote des Diagramms bei .

Achten Sie darauf, wie ich den vollständigen Algorithmus zum Finden der schiefen Asymptote geschickt vermieden habe: Der Grenzwert ist ganz legal und verdeutlicht das Verhalten der Funktion im Unendlichen, und die horizontale Asymptote wurde "als ob gleichzeitig" gefunden.

Aus der Stetigkeit und der Existenz einer horizontalen Asymptote folgt, dass die Funktion von oben begrenzt und von unten begrenzt.

3) Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen, Konstanzintervalle.

Auch hier kürzen wir die Lösung ab:
Der Graph geht durch den Ursprung.

Weitere Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen gibt es nicht. Außerdem sind die Konstanzintervalle offensichtlich, und die Achse kann nicht gezeichnet werden: , was bedeutet, dass das Vorzeichen der Funktion nur vom „x“ abhängt:
, wenn ;
, wenn .

4) Zunehmend, abnehmend, Extrema der Funktion.


sind kritische Punkte.

Die Punkte sind symmetrisch um Null, wie es sein sollte.

Lassen Sie uns die Vorzeichen der Ableitung definieren:


Die Funktion nimmt mit dem Intervall zu und mit den Intervallen ab

An dem Punkt, an dem die Funktion ihr Maximum erreicht: .

Aufgrund der Immobilie (Kuriosität der Funktion) das Minimum kann weggelassen werden:

Da die Funktion im Intervall abnimmt, befindet sich der Graph offensichtlich bei "minus unendlich". unter mit seiner Asymptote. Auf dem Intervall nimmt die Funktion ebenfalls ab, aber hier ist das Gegenteil der Fall - nach dem Passieren des Maximalpunkts nähert sich die Linie der Achse von oben.

Aus dem Obigen folgt auch, dass der Graph der Funktion bei „minus unendlich“ konvex und bei „plus unendlich“ konkav ist.

Nach diesem Punkt der Studie wurde auch der Wertebereich der Funktion gezeichnet:

Wenn Sie einen Punkt falsch verstehen, fordere ich Sie noch einmal auf, Koordinatenachsen in Ihr Notizbuch zu zeichnen und mit einem Bleistift in Ihren Händen jede Schlussfolgerung der Aufgabe erneut zu analysieren.

5) Konvexität, Konkavität, Biegungen des Graphen.

sind kritische Punkte.

Die Symmetrie der Punkte bleibt erhalten, und höchstwahrscheinlich irren wir uns nicht.

Lassen Sie uns Zeichen definieren:


Der Graph der Funktion ist konvex auf und konkav auf .

Konvexität/Konkavität in extremen Intervallen wurde bestätigt.

An allen kritischen Punkten gibt es Wendepunkte im Graphen. Lassen Sie uns die Ordinaten der Wendepunkte finden, während wir die Anzahl der Berechnungen erneut reduzieren, indem wir die Ungeradheit der Funktion verwenden:

Die Aufgabe ist: eine vollständige Untersuchung der Funktion durchzuführen und ihren Graphen zu erstellen.

Jeder Schüler hat ähnliche Aufgaben durchlaufen.

Das Folgende setzt gute Kenntnisse voraus. Wir empfehlen Ihnen, diesen Abschnitt bei Fragen zu Rate zu ziehen.

Der Funktionsforschungsalgorithmus besteht aus den folgenden Schritten.

Finden des Umfangs einer Funktion.

Dies ist ein sehr wichtiger Schritt beim Studium der Funktion, da alle weiteren Aktionen im Definitionsbereich ausgeführt werden.

In unserem Beispiel müssen wir die Nullstellen des Nenners finden und sie aus dem Bereich der reellen Zahlen ausschließen.



(In anderen Beispielen kann es Wurzeln, Logarithmen usw. geben. Erinnern Sie sich, dass in diesen Fällen die Domäne wie folgt durchsucht wird:
für eine Wurzel geraden Grades zum Beispiel - wird der Definitionsbereich aus der Ungleichung gefunden;
für den Logarithmus - der Definitionsbereich ergibt sich aus der Ungleichung ).

Untersuchung des Verhaltens einer Funktion am Rand des Definitionsbereichs, Auffinden vertikaler Asymptoten.

An den Grenzen des Definitionsbereichs hat die Funktion vertikale Asymptoten, wenn an diesen Randpunkten unendlich sind.

In unserem Beispiel sind die Randpunkte des Definitionsbereichs .

Wir untersuchen das Verhalten der Funktion bei Annäherung an diese Punkte von links und rechts, wofür wir einseitige Grenzen finden:


Da die einseitigen Grenzen unendlich sind, sind die Linien die vertikalen Asymptoten des Graphen.

Untersuchung einer Funktion auf gerade oder ungerade Parität.

Die Funktion ist eben, wenn . Die Parität der Funktion gibt die Symmetrie des Graphen um die y-Achse an.

Die Funktion ist seltsam, wenn . Die Ungeradheit der Funktion zeigt die Symmetrie des Graphen in Bezug auf den Ursprung an.

Wenn keine der Gleichheiten erfüllt ist, dann haben wir eine Funktion allgemeiner Form.

In unserem Beispiel ist die Gleichheit wahr, daher ist unsere Funktion gerade. Wir werden dies beim Zeichnen des Diagramms berücksichtigen - es wird symmetrisch um die y-Achse sein.

Auffinden von Intervallen steigender und fallender Funktionen, Extrempunkte.

Die Intervalle der Zunahme und Abnahme sind Lösungen der Ungleichungen bzw.

Die Punkte, an denen die Ableitung verschwindet, werden genannt stationär.

Kritische Punkte der Funktion nenne die inneren Punkte des Definitionsbereichs, an denen die Ableitung der Funktion gleich Null ist oder nicht existiert.

KOMMENTAR(ob kritische Punkte in die Intervalle der Zunahme und Abnahme aufgenommen werden sollen).

Wir werden kritische Punkte in aufsteigende und absteigende Intervalle aufnehmen, wenn sie in den Funktionsbereich gehören.

Auf diese Weise, um die Intervalle der Zunahme und Abnahme einer Funktion zu bestimmen

• zuerst finden wir die Ableitung;
• zweitens finden wir kritische Punkte;
• drittens unterteilen wir den Definitionsbereich durch kritische Punkte in Intervalle;
• viertens bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung für jedes der Intervalle. Das Pluszeichen entspricht dem Erhöhungsintervall, das Minuszeichen dem Verringerungsintervall.

Gehen!

Wir finden die Ableitung auf dem Definitionsbereich (bei Schwierigkeiten siehe Abschnitt).


Kritische Punkte finden wir dafür:

Wir setzen diese Punkte auf die numerische Achse und bestimmen das Vorzeichen der Ableitung innerhalb jedes resultierenden Intervalls. Alternativ können Sie einen beliebigen Punkt im Intervall nehmen und den Wert der Ableitung an diesem Punkt berechnen. Wenn der Wert positiv ist, setzen Sie ein Pluszeichen über dieses Intervall und fahren Sie mit dem nächsten fort, wenn es negativ ist, setzen Sie ein Minus usw. Z.B, , deshalb setzen wir ein Plus über das erste Intervall auf der linken Seite.


Wir fassen zusammen:

Schematisch markieren die Plus-/Minuszeichen die Intervalle, in denen die Ableitung positiv/negativ ist. Die aufsteigenden / absteigenden Pfeile zeigen die aufsteigende / absteigende Richtung.

Extrempunkte der Funktion sind die Punkte, an denen die Funktion definiert ist und durch die die Ableitung das Vorzeichen ändert.

In unserem Beispiel ist der Extrempunkt x=0. Der Wert der Funktion an dieser Stelle ist . Da die Ableitung beim Durchgang durch den Punkt x = 0 das Vorzeichen von Plus auf Minus ändert, ist (0; 0) ein lokaler Maximumpunkt. (Wenn die Ableitung das Vorzeichen von Minus zu Plus ändert, dann hätten wir einen lokalen Minimalpunkt).

Intervalle der Konvexität und Konkavität einer Funktion und Wendepunkte finden.

Die Intervalle der Konkavität und Konvexität der Funktion werden durch Lösen der Ungleichungen bzw. gefunden.

Manchmal wird eine Konkavität als nach unten gerichtete Konvexität und eine Konvexität als nach oben gerichtete Konvexität bezeichnet.

Auch hier gelten ähnliche Bemerkungen wie im Absatz über die Intervalle der Zunahme und Abnahme.

Auf diese Weise, um die Spannweite der Konkavität und Konvexität einer Funktion zu bestimmen:

• zuerst finden wir die zweite Ableitung;
• zweitens finden wir die Nullstellen des Zählers und Nenners der zweiten Ableitung;
• drittens unterteilen wir den Definitionsbereich durch die erhaltenen Punkte in Intervalle;
• viertens bestimmen wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung für jedes der Intervalle. Das Pluszeichen entspricht dem konkaven Intervall, das Minuszeichen dem konvexen Intervall.

Gehen!

Wir finden die zweite Ableitung im Definitionsbereich.


In unserem Beispiel gibt es keine Zähler-Nullen, Nenner-Nullen.

Wir legen diese Punkte auf die reelle Achse und bestimmen das Vorzeichen der zweiten Ableitung innerhalb jedes resultierenden Intervalls.



Wir fassen zusammen:

Der Punkt wird aufgerufen Wendepunkt, wenn an einem gegebenen Punkt eine Tangente an den Funktionsgraphen anliegt und die zweite Ableitung der Funktion beim Durchgang das Vorzeichen wechselt .

Mit anderen Worten, Wendepunkte können Punkte sein, durch die die zweite Ableitung das Vorzeichen ändert, an den Punkten selbst entweder gleich Null ist oder nicht existiert, aber diese Punkte sind im Definitionsbereich der Funktion enthalten.

In unserem Beispiel gibt es keine Wendepunkte, da die zweite Ableitung beim Durchlaufen der Punkte das Vorzeichen wechselt und sie nicht im Definitionsbereich der Funktion enthalten sind.

Horizontale und schiefe Asymptoten finden.

Horizontale oder schräge Asymptoten sollten nur gesucht werden, wenn die Funktion im Unendlichen definiert ist.

Schräge Asymptoten werden in Form von geraden Linien gesucht, wo und .

Wenn ein k=0 und b ungleich unendlich, dann wird die schiefe Asymptote horizontal.

Wer sind diese Asymptoten überhaupt?

Dies sind die Linien, denen sich der Graph der Funktion im Unendlichen nähert. Daher sind sie beim Zeichnen einer Funktion sehr hilfreich.

Wenn es keine horizontalen oder schrägen Asymptoten gibt, aber die Funktion bei plus unendlich und/oder minus unendlich definiert ist, dann sollte der Grenzwert der Funktion bei plus unendlich und/oder minus unendlich berechnet werden, um eine Vorstellung vom Verhalten von zu bekommen der Graph der Funktion.

Für unser Beispiel

ist die horizontale Asymptote.

Damit ist das Studium der Funktion abgeschlossen, wir fahren mit dem Plotten fort.

Wir berechnen die Funktionswerte an Zwischenpunkten.

Für eine genauere Darstellung empfehlen wir, mehrere Funktionswerte an Zwischenpunkten (dh an beliebigen Punkten aus dem Funktionsdefinitionsbereich) zu finden.

Lassen Sie uns für unser Beispiel die Werte der Funktion an den Punkten x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4 finden. Aufgrund der Parität der Funktion stimmen diese Werte mit den Werten an den Punkten x=2 , x=1 , x=3/4 , x=1/4 überein.


Erstellen eines Diagramms.

Zuerst bauen wir Asymptoten, zeichnen die Punkte lokaler Maxima und Minima der Funktion, Wendepunkte und Zwischenpunkte auf. Zur Vereinfachung des Plottens können Sie auch eine schematische Bezeichnung der Intervalle von Zunahme, Abnahme, Konvexität und Konkavität anwenden, es war nicht umsonst, dass wir die Funktion =) untersucht haben.


Es bleibt, die Linien des Diagramms durch die markierten Punkte zu ziehen, sich den Asymptoten zu nähern und den Pfeilen zu folgen.


Mit diesem Meisterwerk der bildenden Kunst ist die Aufgabe, die Funktion und das Plotten vollständig zu untersuchen, abgeschlossen.

Graphen einiger elementarer Funktionen können unter Verwendung von Graphen grundlegender elementarer Funktionen erstellt werden.

Wenn es in der Aufgabe erforderlich ist, eine vollständige Untersuchung der Funktion f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 mit der Konstruktion ihres Graphen durchzuführen, werden wir dieses Prinzip im Detail betrachten.

Um ein Problem dieser Art zu lösen, sollte man die Eigenschaften und Graphen der wichtigsten elementaren Funktionen verwenden. Der Forschungsalgorithmus umfasst die folgenden Schritte:

Den Definitionsbereich finden

Da auf dem Gebiet der Funktion geforscht wird, muss mit diesem Schritt begonnen werden.

Beispiel 1

Das gegebene Beispiel besteht darin, die Nullstellen des Nenners zu finden, um sie aus dem DPV auszuschließen.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Als Ergebnis erhalten Sie Wurzeln, Logarithmen usw. Dann kann die ODZ nach der Wurzel eines geraden Grades vom Typ g (x) 4 durch die Ungleichung g (x) ≥ 0 , nach dem Logarithmus log a g (x) durch die Ungleichung g (x) > 0 gesucht werden.

Untersuchung von ODZ-Grenzen und Auffinden vertikaler Asymptoten

An den Grenzen der Funktion gibt es vertikale Asymptoten, wenn die einseitigen Grenzen an solchen Punkten unendlich sind.

Beispiel 2

Betrachten Sie zum Beispiel die Grenzpunkte gleich x = ± 1 2 .

Dann ist es notwendig, die Funktion zu untersuchen, um den einseitigen Grenzwert zu finden. Dann erhalten wir das: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Dies zeigt, dass die einseitigen Grenzen unendlich sind, was bedeutet, dass die Linien x = ± 1 2 die vertikalen Asymptoten des Diagramms sind.

Untersuchung der Funktion und für gerade oder ungerade

Wenn die Bedingung y (- x) = y (x) erfüllt ist, wird die Funktion als gerade betrachtet. Dies deutet darauf hin, dass der Graph bezüglich O y symmetrisch angeordnet ist. Wenn die Bedingung y (- x) = - y (x) erfüllt ist, wird die Funktion als ungerade betrachtet. Dies bedeutet, dass die Symmetrie in Bezug auf den Koordinatenursprung geht. Wenn mindestens eine Ungleichung versagt, erhalten wir eine Funktion allgemeiner Form.

Die Erfüllung der Gleichheit y (- x) = y (x) zeigt an, dass die Funktion gerade ist. Bei der Konstruktion muss berücksichtigt werden, dass bezüglich O y eine Symmetrie besteht.

Zur Lösung der Ungleichung werden Zunahme- und Abnahmeintervalle mit den Bedingungen f "(x) ≥ 0 bzw. f" (x) ≤ 0 verwendet.

Bestimmung 1

Stationäre Punkte sind Punkte, die die Ableitung zu Null machen.

Kritische Punkte sind innere Punkte aus dem Bereich, wo die Ableitung der Funktion gleich Null ist oder nicht existiert.

Bei der Entscheidungsfindung sollten folgende Punkte berücksichtigt werden:

• für die bestehenden Intervalle der Zunahme und Abnahme der Ungleichung der Form f "(x) > 0 werden die kritischen Punkte nicht in die Lösung einbezogen;
• Punkte, an denen die Funktion ohne endliche Ableitung definiert ist, müssen in die Intervalle der Zunahme und Abnahme aufgenommen werden (z. B. y \u003d x 3, wobei der Punkt x \u003d 0 die definierte Funktion ausmacht, die Ableitung den Wert unendlich hat an diesem Punkt ist y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 ist im Erhöhungsintervall enthalten);
• Um Meinungsverschiedenheiten zu vermeiden, wird empfohlen, mathematische Literatur zu verwenden, die vom Bildungsministerium empfohlen wird.

Die Einbeziehung von kritischen Punkten in die Intervalle des Ansteigens und Abnehmens für den Fall, dass sie den Definitionsbereich der Funktion erfüllen.

Bestimmung 2

Zum um die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion zu bestimmen, ist es notwendig zu finden:

• Derivat;
• kritische Punkte;
• den Definitionsbereich mit Hilfe von kritischen Punkten in Intervalle zerlegen;
• Bestimmen Sie das Vorzeichen der Ableitung in jedem der Intervalle, wobei + eine Zunahme und - eine Abnahme ist.

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung auf der Domäne f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Lösung

Zur Lösung benötigen Sie:

• finde stationäre Punkte, dieses Beispiel hat x = 0 ;
• Finde die Nullstellen des Nenners, das Beispiel nimmt den Wert Null bei x = ± 1 2 an.

Wir exponieren Punkte auf der numerischen Achse, um die Ableitung für jedes Intervall zu bestimmen. Dazu genügt es, einen beliebigen Punkt aus dem Intervall zu nehmen und eine Berechnung durchzuführen. Wenn das Ergebnis positiv ist, zeichnen wir + in den Graphen, was eine Zunahme der Funktion bedeutet, und - bedeutet ihre Abnahme.

Zum Beispiel f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, was bedeutet, dass das erste Intervall links ein +-Zeichen hat. Betrachten Sie die Zahl Linie.

Antworten:

• es gibt eine Zunahme der Funktion auf dem Intervall - ∞ ; - 1 2 und (- 1 2 ; 0 ] ;
• es gibt eine Abnahme im Intervall [ 0 ; 1 2) und 1 2 ; +∞ .

Im Diagramm werden mit + und - die Positivität und Negativität der Funktion dargestellt, und die Pfeile zeigen abnehmend und zunehmend an.

Die Extrempunkte einer Funktion sind die Punkte, an denen die Funktion definiert ist und durch die die Ableitung das Vorzeichen ändert.

Beispiel 4

Betrachten wir ein Beispiel, in dem x \u003d 0 ist, dann ist der Wert der darin enthaltenen Funktion f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Wenn sich das Vorzeichen der Ableitung von + nach - ändert und den Punkt x \u003d 0 durchläuft, wird der Punkt mit den Koordinaten (0; 0) als maximaler Punkt betrachtet. Wenn das Vorzeichen von - nach + geändert wird, erhalten wir den Mindestpunkt.

Konvexität und Konkavität werden bestimmt, indem Ungleichungen der Form f "" (x) ≥ 0 und f "" (x) ≤ 0 gelöst werden. Seltener verwenden sie den Namen Ausbuchtung nach unten statt Konkavität und Ausbuchtung nach oben statt Ausbuchtung.

Bestimmung 3

Zum Bestimmen der Lücken von Konkavität und Konvexität notwendig:

• finden Sie die zweite Ableitung;
• finden Sie die Nullstellen der Funktion der zweiten Ableitung;
• Brechen Sie den Definitionsbereich durch die Punkte, die in Intervallen erscheinen;
• Bestimmen Sie das Vorzeichen der Lücke.

Beispiel 5

Finden Sie die zweite Ableitung aus dem Definitionsbereich.

Lösung

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Wir finden die Nullstellen von Zähler und Nenner, wobei wir in unserem Beispiel haben, dass die Nullstellen des Nenners x = ± 1 2 sind

Jetzt müssen Sie Punkte auf den Zahlenstrahl setzen und das Vorzeichen der zweiten Ableitung aus jedem Intervall bestimmen. Das verstehen wir

Antworten:

• die Funktion ist konvex aus dem Intervall - 1 2 ; 12 ;
• die Funktion ist konkav aus den Lücken - ∞ ; - 1 2 und 1 2 ; +∞ .

Bestimmung 4

Wendepunkt ein Punkt der Form x 0 ist; f(x0) . Wenn es eine Tangente an den Graphen der Funktion hat, ändert die Funktion beim Durchgang durch x 0 das Vorzeichen in das Gegenteil.

Mit anderen Worten, dies ist ein solcher Punkt, durch den die zweite Ableitung geht und das Vorzeichen wechselt, und an den Punkten selbst gleich Null ist oder nicht existiert. Alle Punkte werden als Definitionsbereich der Funktion betrachtet.

Im Beispiel hat man gesehen, dass es keine Wendepunkte gibt, da die zweite Ableitung beim Durchgang durch die Punkte x = ± 1 2 das Vorzeichen wechselt. Sie sind wiederum nicht im Definitionsbereich enthalten.

Horizontale und schiefe Asymptoten finden

Wenn man eine Funktion im Unendlichen definiert, muss man nach horizontalen und schiefen Asymptoten suchen.

Bestimmung 5

Schräge Asymptoten werden unter Verwendung von Linien gezeichnet, die durch die Gleichung y = k x + b gegeben sind, wobei k = lim x → ∞ f (x) x und b = lim x → ∞ f (x) – k x .

Für k = 0 und b ungleich unendlich finden wir, dass die schiefe Asymptote wird horizontal.

Mit anderen Worten, die Asymptoten sind die Linien, denen sich der Graph der Funktion im Unendlichen nähert. Dies trägt zum schnellen Aufbau des Graphen der Funktion bei.

Wenn es keine Asymptoten gibt, aber die Funktion an beiden Unendlichkeiten definiert ist, ist es notwendig, den Grenzwert der Funktion an diesen Unendlichkeiten zu berechnen, um zu verstehen, wie sich der Graph der Funktion verhalten wird.

Beispiel 6

Betrachten Sie das als Beispiel

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 – 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) – k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

ist eine horizontale Asymptote. Nachdem Sie die Funktion erforscht haben, können Sie mit dem Erstellen beginnen.

Berechnen des Wertes einer Funktion an Zwischenpunkten

Um das Plotten möglichst genau zu machen, wird empfohlen, mehrere Werte der Funktion an Zwischenpunkten zu finden.

Beispiel 7

Aus dem betrachteten Beispiel müssen die Werte der Funktion an den Punkten x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 ermittelt werden. Da die Funktion gerade ist, erhalten wir, dass die Werte mit den Werten an diesen Punkten übereinstimmen, dh wir erhalten x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Lassen Sie uns schreiben und lösen:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Um die Maxima und Minima der Funktion, Wendepunkte und Zwischenpunkte zu bestimmen, müssen Asymptoten gebildet werden. Zur bequemen Bezeichnung sind Intervalle für Zunahme, Abnahme, Konvexität und Konkavität festgelegt. Betrachten Sie die folgende Abbildung.

Es ist notwendig, Diagrammlinien durch die markierten Punkte zu ziehen, damit Sie den Asymptoten näher kommen können, indem Sie den Pfeilen folgen.

Damit ist die vollständige Untersuchung der Funktion abgeschlossen. Es gibt Fälle, in denen einige elementare Funktionen konstruiert werden, für die geometrische Transformationen verwendet werden.

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